En inskriven vinkel baserad på en cirkel. Cirkel och inskriven vinkel. Visuell guide (2019)

I den här artikeln kommer jag att berätta hur du löser problem som använder .

Först, som vanligt, kommer vi ihåg definitionerna och satserna som du behöver känna till för att framgångsrikt lösa problem på .

1.Inskriven vinkelär en vinkel vars spets ligger på cirkeln och vars sidor skär cirkeln:

2.Centrala hörnetär vinkeln vars spets sammanfaller med cirkelns centrum:

Graden av cirkelbågen mätt med centrala hörnet som förlitar sig på det.

I detta fall är gradvärdet för AC-bågen lika med värdet på vinkeln AOC.

3. Om de inskrivna och centrala vinklarna är baserade på samma båge, då den inskrivna vinkeln är två gånger den centrala vinkeln:

4. Alla inskrivna vinklar som lutar mot en båge är lika med varandra:

5. Den inskrivna vinkeln baserat på diametern är 90°:

Vi kommer att lösa flera problem.

ett . Uppgift B7 (#27887)

Låt oss hitta värdet på den centrala vinkeln, som är beroende av samma båge:

Uppenbarligen är värdet på vinkeln AOC 90°, därför är vinkeln ABC 45°

Svar: 45°

2. Uppgift B7 (nr 27888)

Hitta vinkeln ABC. Ge ditt svar i grader.

Uppenbarligen är vinkeln AOC 270°, sedan är vinkeln ABC 135°.

Svar: 135°

3 . Uppgift B7 (#27890)

Hitta gradvärdet för bågen AC för cirkeln som vinkeln ABC vilar på. Ge ditt svar i grader.

Låt oss hitta värdet på den centrala vinkeln, som är beroende av bågen AC:

Värdet på vinkeln AOC är 45°, därför är gradmåttet för bågen AC 45°.

Svar: 45°.

fyra. Uppgift B7 (#27885)

Hitta vinkeln ACB om de inskrivna vinklarna ADB och DAE är baserade på cirkelbågar, vars gradvärden är respektive och . Ge ditt svar i grader.

Vinkeln ADB vilar på bågen AB, därför är värdet på mittvinkeln AOB 118°, därför är vinkeln BDA 59° och den intilliggande vinkeln ADC är 180°-59°=121°

På liknande sätt är vinkeln DOE 38° och den motsvarande inskrivna vinkeln DAE är 19°.

Tänk på triangel ADC:

Summan av vinklarna i en triangel är 180°.

Värdet på vinkeln ASV är 180°- (121°+19°)=40°

Svar: 40°

5 . Uppgift B7 (#27872)

Sidorna på fyrhörningen ABCD AB, BC, CD och AD täcker bågarna i den omskrivna cirkeln, vars gradvärden är , , och , respektive. Hitta vinkel B för denna fyrhörning. Ge ditt svar i grader.

Vinkel B vilar på bågen ADC, vars värde är lika med summan av värdena för bågarna AD och CD, dvs 71°+145°=216°

Inskriven vinkel B halv storleken på ADC-bågen, dvs 108°

Svar: 108°

6. Uppgift B7 (#27873)

Punkterna A, B, C, D, som ligger på en cirkel, delar denna cirkel i fyra bågar AB, BC, CD och AD, vars gradvärden är relaterade till 4:2:3:6. Hitta vinkel A för fyrhörningen ABCD. Ge ditt svar i grader.

(se ritningen av föregående uppgift)

Eftersom vi har angett förhållandet mellan bågarnas storlek, introducerar vi enhetselementet x. Då kommer storleken på varje båge att uttryckas enligt följande:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Alla bågar bildar en cirkel, det vill säga deras summa är 360 °.

4x+2x+3x+6x=360°, därav x=24°.

Vinkel A vilar på bågarna BC och CD, som totalt har ett värde på 5x=120°.

Därför är vinkel A 60°

Svar: 60°

7. Uppgift B7 (#27874)

fyrsidig ABCD inskriven i en cirkel. Hörn ABC lika , vinkel CAD

Idag ska vi titta på en annan typ av problem 6 - denna gång med en cirkel. Många elever tycker inte om dem och tycker att de är svåra. Och det är helt förgäves, eftersom sådana uppgifter löses elementärt om du kan några satser. Eller så vågar de inte alls, om de inte är kända.

Innan jag pratar om de viktigaste egenskaperna, låt mig påminna dig om definitionen:

En inskriven vinkel är en vars spets ligger på själva cirkeln, och sidorna skär ett korda på denna cirkel.

En mittvinkel är vilken vinkel som helst med en vertex i cirkelns mittpunkt. Dess sidor skär också denna cirkel och snickrar ett ackord på den.

Så, begreppen för en inskriven och central vinkel är oupplösligt förbundna med en cirkel och ackord inuti den. Nu till huvudpåståendet:

Sats. Mittvinkeln är alltid två gånger den inskrivna vinkeln baserat på samma båge.

Trots påståendets enkelhet finns det en hel klass av problem 6 som löses med hjälp av det – och inget annat.

En uppgift. Hitta en spetsig inskriven vinkel baserat på ett korda som är lika med cirkelns radie.

Låt AB vara ackordet som övervägs, O cirkelns mittpunkt. Tilläggskonstruktion: OA och OB är cirkelradier. Vi får:

Tänk på triangel ABO. I den AB = OA = OB - alla sidor är lika med cirkelns radie. Därför är triangeln ABO liksidig, och alla vinklar i den är 60°.

Låt M vara spetsen för den inskrivna vinkeln. Eftersom vinklarna O och M är baserade på samma båge AB, är den inskrivna vinkeln M 2 gånger mindre än mittvinkeln O. Vi har:

M=O:2=60:2=30

En uppgift. Den centrala vinkeln är 36° större än den inskrivna vinkeln baserat på samma cirkelbåge. Hitta den inskrivna vinkeln.

Låt oss presentera notationen:

1. AB är cirkelns ackord;
2. Punkten O är cirkelns mittpunkt, så vinkeln AOB är central;
3. Punkt C är spetsen för den inskrivna vinkeln ACB.

Eftersom vi letar efter den inskrivna vinkeln ACB , låt oss beteckna den ACB = x . Då är mittvinkeln AOB x + 36. Å andra sidan är mittvinkeln två gånger den inskrivna vinkeln. Vi har:

AOB = 2 ACB;
x + 36 = 2 x;
x=36.

Så vi hittade den inskrivna vinkeln AOB - den är lika med 36 °.

En cirkel är en 360° vinkel

Efter att ha läst undertexten kommer kunniga läsare förmodligen nu att säga: "Fu!" Det är faktiskt inte helt korrekt att jämföra en cirkel med en vinkel. För att förstå vad vi pratar om, ta en titt på den klassiska trigonometriska cirkeln:

Varför den här bilden? Och till det faktum att en full rotation är en vinkel på 360 grader. Och om du delar upp det i, säg, 20 lika delar, blir storleken på var och en av dem 360: 20 = 18 grader. Detta är precis vad som krävs för att lösa Problem B8.

Punkterna A, B och C ligger på en cirkel och delar upp den i tre bågar, vars gradmått är relaterade till 1: 3: 5. Hitta den största vinkeln på triangeln ABC.

Låt oss först hitta gradmåttet för varje båge. Låt den minsta av dem vara lika med x . Denna båge är märkt AB i figuren. Då kan de återstående bågarna - BC och AC - uttryckas i termer av AB: bågen BC = 3x; AC=5x. Dessa bågar summerar till 360 grader:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x=40.

Betrakta nu en stor båge AC som inte innehåller punkten B . Denna båge är liksom motsvarande mittvinkel AOC 5x = 5 40 = 200 grader.

Vinkel ABC är den största av alla vinklar i en triangel. Det är en inskriven vinkel baserad på samma båge som den centrala vinkeln AOC. Så vinkel ABC är 2 gånger mindre än AOC. Vi har:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Detta kommer att vara gradmåttet för den största vinkeln i triangeln ABC.

Cirkel omskriven runt en rätvinklig triangel

Många glömmer detta teorem. Men förgäves, för vissa B8-uppgifter kan inte lösas alls utan det. Mer exakt är de lösta, men med en sådan volym av beräkningar att du hellre somnar än når svaret.

Sats. Mitten av en cirkel omskriven runt rät triangel, ligger i mitten av hypotenusan.

Vad följer av detta teorem?

1. Hypotenusans mittpunkt är lika långt från alla hörn i triangeln. Detta är en direkt följd av satsen;
2. Medianen som dras till hypotenusan delar den ursprungliga triangeln i två likbenta trianglar. Detta är precis vad som krävs för att lösa Problem B8.

Median-CD:n är ritad i triangel ABC. Vinkel C är 90° och vinkel B är 60°. Hitta vinkel ACD.

Eftersom vinkeln C är 90° är triangeln ABC en rätvinklig triangel. Det visar sig att CD är medianen som dras till hypotenusan. Så trianglar ADC och BDC är likbenta.

Tänk särskilt på triangeln ADC . I den AD = CD . Men i en likbent triangel är vinklarna vid basen lika - se "Problem B8: segment och vinklar i trianglar". Därför är den önskade vinkeln ACD = A.

Så det återstår att ta reda på vad är lika med vinkeln A. För att göra detta vänder vi oss igen till den ursprungliga triangeln ABC. Beteckna vinkeln A = x . Eftersom summan av vinklarna i en triangel är 180° har vi:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x=30.

Självklart kan det sista problemet lösas på annat sätt. Till exempel är det lätt att bevisa att triangeln BCD inte bara är likbent, utan liksidig. Så vinkeln BCD är 60 grader. Därför är vinkeln ACD 90 − 60 = 30 grader. Som du kan se kan du använda olika likbenta trianglar, men svaret kommer alltid att vara detsamma.

Oftast börjar processen att förbereda sig för provet i matematik med en upprepning av de grundläggande definitionerna, formlerna och satserna, inklusive ämnet "Central och inskriven i en cirkelvinkel." Som regel studeras denna sektion av planimetri i gymnasium. Det är inte förvånande att många studenter står inför behovet av att upprepa de grundläggande begreppen och satserna om ämnet "Central Angle of a Circle". Efter att ha räknat ut algoritmen för att lösa sådana problem kommer skolbarn att kunna räkna med att få konkurrenskraftiga poäng baserat på resultaten av att klara det enhetliga provet.

Hur förbereder man sig enkelt och effektivt inför certifieringstestet?

Att komma ikapp innan man ger upp en singel statlig examen, många gymnasieelever står inför problemet med att hitta nödvändig information på ämnet "Centrala och inskrivna vinklar i en cirkel." Det är inte alltid en skolbok finns till hands. Och att söka efter formler på Internet tar ibland mycket tid.

Att "pumpa" färdigheter och förbättra kunskapen i en så svår del av geometrin som planimetri, utbildningsportal. Shkolkovo inbjuder gymnasieelever och deras lärare att bygga upp processen för att förbereda sig för det enhetliga provet på ett nytt sätt. Allt grundmaterial presenteras av våra specialister i den mest tillgängliga formen. Efter att ha granskat informationen i avsnittet "Teoretisk referens" kommer eleverna att lära sig vilka egenskaper en cirkels centrala vinkel har, hur man hittar dess värde osv.

Sedan, för att befästa den förvärvade kunskapen och utveckla färdigheter, rekommenderar vi att du utför lämpliga övningar. Stort urval uppgifter för att hitta värdet på vinkeln inskriven i en cirkel och andra parametrar presenteras i avsnittet "Katalog". För varje övning skrev våra experter ner en detaljerad beskrivning av lösningen och angav det korrekta svaret. Listan över uppgifter på sajten kompletteras och uppdateras ständigt.

Gymnasieelever kan förbereda sig för provet genom att öva på övningar, till exempel att hitta värdet av den centrala vinkeln och längden på cirkelbågen, online, i vilken rysk region som helst.

Om det behövs kan den slutförda uppgiften sparas i avsnittet "Favoriter" för att återvända till det senare och återigen analysera principen för dess lösning.

Vinkel ABC är en inskriven vinkel. Den vilar på bågen AC, innesluten mellan dess sidor (bild 330).

Sats. En inskriven vinkel mäts med halva bågen den skär.

Detta ska förstås på följande sätt: en inskriven vinkel innehåller lika många vinkelgrader, minuter och sekunder som båggrader, minuter och sekunder finns i den halva av bågen som den vilar på.

För att bevisa detta teorem måste vi överväga tre fall.

Första fallet. Cirkelns centrum ligger på sidan av den inskrivna vinkeln (bild 331).

Låt ∠ABC vara en inskriven vinkel och cirkelns centrum O ligger på sidan BC. Det krävs för att bevisa att det mäts med halva bågen AC.

Anslut punkt A till cirkelns mitt. Vi får de likbenta \(\Delta\)AOB, där AO = OB, som radierna för samma cirkel. Därför är ∠A = ∠B.

∠AOC är utanför triangeln AOB, så ∠AOC = ∠A + ∠B, och eftersom vinklarna A och B är lika, är ∠B 1/2 ∠AOC.

Men ∠AOC mäts med båge AC, därför mäts ∠B med hälften av båge AC.

Till exempel, om \(\breve(AC)\) innehåller 60°18', så innehåller ∠B 30°9'.

Andra fallet. Cirkelns centrum ligger mellan sidorna av den inskrivna vinkeln (bild 332).

Låt ∠ABD vara en inskriven vinkel. Mitten av cirkel O ligger mellan dess sidor. Det krävs för att bevisa att ∠ABD mäts med hälften av bågen AD.

För att bevisa detta, låt oss rita diametern BC. Vinkel ABD delas upp i två vinklar: ∠1 och ∠2.

∠1 mäts med hälften av bågen AC och ∠2 mäts med hälften av bågen CD, därför mäts hela ∠ABD med 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), dvs hälften av bågen AD.

Till exempel, om \(\breve(AD)\) innehåller 124°, så innehåller ∠B 62°.

Tredje fallet. Cirkelns centrum ligger utanför den inskrivna vinkeln (bild 333).

Låt ∠MAD vara en inskriven vinkel. Mitten av cirkel O är utanför hörnet. Det krävs för att bevisa att ∠MAD mäts med hälften av bågen MD.

För att bevisa detta, låt oss rita diametern AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Men ∠MAB mäter 1/2 \(\breve(MB)\) och ∠DAB mäter 1/2 \(\breve(DB)\).

Därför mäter ∠MAD 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), d.v.s. 1/2 \(\breve(MD)\).

Till exempel, om \(\breve(MD)\) innehåller 48° 38", så innehåller ∠MAD 24° 19' 8".

Konsekvenser
1. Alla inskrivna vinklar baserade på samma båge är lika med varandra, eftersom de mäts med hälften av samma båge (Fig. 334, a).

2. En inskriven vinkel baserad på en diameter är en rät vinkel eftersom den är baserad på en halv cirkel. Halva cirkeln innehåller 180 båggrader, vilket innebär att vinkeln baserat på diametern innehåller 90 vinkelgrader (fig. 334, b).

Instruktion

Om cirkelns radie (R) och längden på bågen (L) som motsvarar den önskade mittvinkeln (θ) är kända, kan den beräknas både i grader och i radianer. Summan bestäms av formeln 2 * π * R och motsvarar en mittvinkel på 360° eller två pi-tal, om radianer används istället för grader. Utgå därför från proportionen 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Uttryck från den centralvinkeln i radianer θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R eller grader θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) och beräkna enligt den resulterande formeln.

Beroende på längden på kordan (m) som förbinder punkterna som definierar den centrala vinkeln (θ), kan dess värde också beräknas om cirkelns radie (R) är känd. För att göra detta, överväga en triangel som bildas av två radier och . Detta är en likbent triangel, alla är kända, men du måste hitta vinkeln som ligger mittemot basen. Sinus för dess halva är lika med förhållandet mellan basens längd - ackordet - och två gånger längden på sidan - radien. Använd därför den omvända sinusfunktionen för beräkningar - bågen: θ \u003d 2 * båge (½ * m / R).

Den centrala vinkeln kan också anges i bråkdelar av ett varv eller från en hel vinkel. Om du till exempel vill hitta den centrala vinkeln som motsvarar en fjärdedel av ett helt varv, dividera 360° med fyra: θ = 360°/4 = 90°. Samma värde i radianer bör vara 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Den utvecklade vinkeln är lika med ett halvt helt varv, så till exempel kommer den centrala vinkeln som motsvarar en fjärdedel av den att vara hälften av värdena som beräknats ovan, både i grader och i radianer.

Den inversa sinus trigonometriska funktionen kallas arcsine. Det kan ta värden som ligger inom hälften av antalet pi, både positiva och negativa. negativ sida mätt i radianer. När de mäts i grader kommer dessa värden att vara i intervallet från -90° till +90°.

Instruktion

Vissa "runda" värden behöver inte beräknas, de är lättare att komma ihåg. Till exempel:- if funktionsargument noll-, då är värdet på arcsine från det också lika med noll; - från 1/2 är lika med 30 ° eller 1/6 Pi, om det mäts; - arcsine från -1/2 är lika med -30 ° eller - 1/6 från talet Pi in; - bågform från 1 är lika med 90 ° eller 1/2 av talet Pi i radianer; - bågvinkel för -1 är lika med -90 ° eller -1/2 av antalet Pi i radianer;

För att mäta värdena för den här funktionen från andra argument är det enklaste sättet att använda standardkalkylatorn för Windows, om du har . För att starta, öppna huvudmenyn på "Start"-knappen (eller genom att trycka på WIN-tangenten), gå till avsnittet "Alla program" och sedan till undersektionen "Tillbehör" och klicka på "Kalkylator".

Växla räknarens gränssnitt till det driftsläge som låter dig beräkna trigonometriska funktioner. För att göra detta, öppna avsnittet "Visa" i dess meny och välj alternativet "Engineering" eller "Scientific" (beroende på operativ system).

Ange värdet på argumentet för att beräkna bågtangensen. Detta kan göras genom att klicka på räknarens gränssnittsknappar med musen, eller genom att trycka på tangenterna på , eller genom att kopiera värdet (CTRL + C) och sedan klistra in det (CTRL + V) i räknarens inmatningsfält.

Välj de enheter som du vill få resultatet av funktionsberäkningen i. Under inmatningsfältet finns tre alternativ, från vilka du måste välja (genom att klicka på det med musen) en - , radianer eller rader.

Markera kryssrutan som inverterar funktionerna som anges på räknarens gränssnittsknappar. Bredvid finns en kort inskription Inv.

Klicka på syndknappen. Kalkylatorn inverterar funktionen som är kopplad till den, utför beräkningen och presenterar resultatet i de givna enheterna.

Relaterade videoklipp

Ett av de vanliga geometriska problemen är beräkningen av arean av ett cirkulärt segment - en del av en cirkel som begränsas av ett ackord och en cirkelbåge som motsvarar ackordet.

Arean av ett cirkulärt segment är lika med skillnaden mellan arean av motsvarande cirkulära sektor och arean av triangeln som bildas av radierna för sektorn som motsvarar segmentet och ackordet som begränsar segmentet.

Exempel 1

Längden på ackordet som spänner cirkeln är lika med a. gradsmått bågen som motsvarar ackordet är 60°. Hitta arean av det cirkulära segmentet.

Lösning

En triangel som bildas av två radier och ett korda är likbent, så höjden från spetsen av den centrala vinkeln till sidan av triangeln som bildas av kordan kommer också att vara bisektrisen av den centrala vinkeln, dividera den på mitten och medianen , dela ackordet på mitten. Genom att veta att sinus för vinkeln β är lika med förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan, kan vi beräkna radievärdet:

Sin 30°=a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, där h är höjden från toppen av den centrala vinkeln till ackordet. Enligt Pythagoras sats h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Följaktligen är S▲=√3/4*a².

Arean av segmentet, beräknat som Sceg = Sc - S▲, är lika med:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Ersätter numeriskt värde istället för värdet a kan du enkelt beräkna det numeriska värdet för segmentets area.

Exempel 2

Cirkelns radie är lika med a. Gradmåttet för den båge som motsvarar segmentet är 60°. Hitta arean av det cirkulära segmentet.

Lösning:

Arean av sektorn som motsvarar en given vinkel kan beräknas med hjälp av följande formel:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Arean av triangeln som motsvarar sektorn beräknas enligt följande:

S▲=1/2*ah, där h är höjden från toppen av den centrala vinkeln till ackordet. Enligt Pythagoras sats h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Följaktligen är S▲=√3/4*a².

Och slutligen, området för segmentet, beräknat som Sceg = Sc - S▲, är lika med:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a².

Lösningarna i båda fallen är nästan identiska. Således kan vi dra slutsatsen att för att beräkna arean av ett segment i det enklaste fallet är det tillräckligt att känna till värdet på vinkeln som motsvarar segmentets båge och en av de två parametrarna - antingen radien på cirkeln eller längden på ackordet som understryker cirkelbågen som bildar segmentet.

Källor:

• Segment - Geometri