To, co nazywa się równoległościanem. prostopadłościan

Definicja

wielościan nazwiemy zamkniętą powierzchnię złożoną z wielokątów i ograniczającą pewną część przestrzeni.

Segmenty, które są bokami tych wielokątów, nazywają się żebra wielościan i same wielokąty - twarze. Wierzchołki wielokątów nazywane są wierzchołkami wielościanu.

Rozważymy tylko wielościany wypukłe (jest to wielościan znajdujący się po jednej stronie każdej płaszczyzny zawierającej jej twarz).

Wielokąty tworzące wielościan tworzą jego powierzchnię. Część przestrzeni ograniczona danym wielościanem nazywana jest jego wnętrzem.

Definicja: pryzmat

Rozważmy dwa równe wielokąty \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) umieszczone w równoległych płaszczyznach tak, aby segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) są równoległe. Wielościan utworzony z wielokątów \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) oraz równoległoboków \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), nazywa się (\(n\)-węgiel) pryzmat.

Wielokąty \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) nazywane są podstawami graniastosłupa, równoległobokiem \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– ścianki boczne, segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- żeberka boczne.
W ten sposób boczne krawędzie pryzmatu są równoległe i równe.

Rozważmy przykład - pryzmat \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), którego podstawą jest wypukły pięciokąt.

Wysokość Graniastosłup jest prostopadły z dowolnego punktu na jednej podstawie do płaszczyzny innej podstawy.

Jeśli krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy, wówczas taki pryzmat nazywa się skośny(ryc. 1), w przeciwnym razie - prosty. W przypadku pryzmatu prostego krawędzie boczne są wysokościami, a ściany boczne są równymi prostokątami.

Jeśli u podstawy prawego pryzmatu leży wielokąt foremny, to pryzmat ten nazywa się prawidłowy.

Definicja: pojęcie objętości

Jednostką objętości jest sześcian jednostkowy (sześcian o wymiarach \(1\times1\times1\) units\(^3\) , gdzie jednostka jest jednostką miary).

Można powiedzieć, że objętość wielościanu to ilość przestrzeni, jaką ten wielościan ogranicza. W przeciwnym razie: to jest wartość wartość numeryczna który pokazuje, ile razy sześcian jednostkowy i jego części mieszczą się w danym wielościanie.

Objętość ma takie same właściwości jak powierzchnia:

1. Objętości równych cyfr są równe.

2. Jeśli wielościan składa się z kilku nie przecinających się wielościanów, to jego objętość jest równa sumie tomy tych wielościanów.

3. Objętość jest wartością nieujemną.

4. Objętość mierzona jest w cm\(^3\) (centymetrach sześciennych), m\(^3\) ( Metry sześcienne) itp.

Twierdzenie

1. Powierzchnia bocznej powierzchni pryzmatu jest równa iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.
Pole powierzchni bocznej jest sumą pól powierzchni bocznych pryzmatu.

2. Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi powierzchni podstawy i wysokości pryzmatu: \

Definicja: pudełko!

Równoległościan Jest to pryzmat, którego podstawą jest równoległobok.

Wszystkie ściany równoległościanu (ich \(6\) : \(4\) ściany boczne i \(2\) podstawy) są równoległobokami, a przeciwległe ściany (równolegle do siebie) są równymi równoległobokami (ryc. 2).

Przekątna pudełka to odcinek łączący dwa wierzchołki równoległościanu, które nie leżą na tej samej powierzchni (ich \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) itp.).

prostopadłościan jest równoległościanem prawym z prostokątem u podstawy.
Ponieważ jest równoległościanem prawym, a ściany boczne są prostokątami. Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie ściany prostokątnego równoległościanu są prostokątami.

Wszystkie przekątne prostopadłościanu są równe (wynika to z równości trójkątów \(\triangle ACC_1=\trójkąt AA_1C=\trójkąt BDD_1=\trójkąt BB_1D\) itp.).

Komentarz

Tak więc równoległościan ma wszystkie właściwości pryzmatu.

Twierdzenie

Powierzchnia bocznej powierzchni prostokątnego równoległościanu jest równa \

Kwadrat pełna powierzchnia prostokątny równoległościan jest równy \

Twierdzenie

Objętość prostopadłościanu jest równa iloczynowi jego trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka (trzy wymiary prostopadłościanu): \

Dowód

Ponieważ dla prostopadłościanu prostokątnego krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy, wtedy są to również jego wysokości, czyli \(h=AA_1=c\) podstawa jest prostokątem \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Stąd pochodzi formuła.

Twierdzenie

Przekątnej \(d\) prostopadłościanu szukamy według wzoru (gdzie \(a,b,c\) to wymiary prostopadłościanu)\

Dowód

Rozważ ryc. 3. Ponieważ podstawa jest prostokątem, a następnie \(\triangle ABD\) jest prostokątne, zatem według twierdzenia Pitagorasa \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Ponieważ wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, to \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) prostopadłe do dowolnej linii w tej płaszczyźnie, tj. \(BB_1\perp BD\) . Tak więc \(\triangle BB_1D\) jest prostokątne. Następnie przez twierdzenie Pitagorasa \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), tys.

Definicja: kostka

Sześcian jest prostokątnym równoległościanem, którego wszystkie boki są równe kwadratom.

Zatem trzy wymiary są sobie równe: \(a=b=c\) . Więc poniższe są prawdziwe

Twierdzenia

1. Objętość sześcianu o krawędzi \(a\) wynosi \(V_(\text(sześcian))=a^3\) .

2. Przekątna sześcianu jest przeszukiwana według wzoru \(d=a\sqrt3\) .

3. Całkowita powierzchnia sześcianu \(S_(\text(pełne iteracje kostki))=6a^2\).

Równoległościan to figura geometryczna, której wszystkie 6 ścian jest równoległobokami.

W zależności od rodzaju tych równoległoboków rozróżnia się następujące typy równoległościanów:

• prosty;
• skłonny;
• prostokątny.

Prawy równoległościan to czworokątny pryzmat, którego krawędzie tworzą kąt 90 ° z płaszczyzną podstawy.

Prostokątny równoległościan to czworokątny graniastosłup, którego wszystkie twarze są prostokątami. Sześcian to rodzaj czworokątnego graniastosłupa, w którym wszystkie ściany i krawędzie są równe.

Cechy figury determinują jej właściwości. Należą do nich następujące 4 stwierdzenia:

Zapamiętanie wszystkich powyższych właściwości jest proste, są łatwe do zrozumienia i są wyprowadzane logicznie w oparciu o typ i cechy geometryczne ciało. Jednak proste stwierdzenia mogą być niezwykle przydatne przy rozwiązywaniu typowych zadań USE i zaoszczędzą czas potrzebny na zaliczenie testu.

Wzory równoległościanów

Aby znaleźć rozwiązanie problemu, nie wystarczy znać tylko właściwości figury. Możesz również potrzebować pewnych wzorów, aby znaleźć pole i objętość ciała geometrycznego.

Obszar podstaw znajduje się również jako odpowiedni wskaźnik równoległoboku lub prostokąta. Możesz samodzielnie wybrać podstawę równoległoboku. Z reguły przy rozwiązywaniu problemów łatwiej jest pracować z pryzmatem, który opiera się na prostokącie.

Wzór na znalezienie powierzchni bocznej równoległościanu może być również potrzebny w zadaniach testowych.

Przykłady rozwiązywania typowych zadań USE

Ćwiczenie 1.

Dany: prostopadłościan o wymiarach 3, 4 i 12 cm.
Niezbędny Znajdź długość jednej z głównych przekątnych figury.
Decyzja: Każde rozwiązanie problemu geometrycznego musi rozpocząć się od zbudowania poprawnego i czytelnego rysunku, na którym zostanie wskazana „dana” i pożądana wartość. Poniższy rysunek jest przykładem poprawny projekt warunki zadania.

Po rozważeniu wykonanego rysunku i zapamiętaniu wszystkich właściwości ciała geometrycznego dochodzimy do jedynego prawidłowego sposobu jego rozwiązania. Stosując właściwość 4 równoległościanu, otrzymujemy następujące wyrażenie:

Po prostych obliczeniach otrzymujemy wyrażenie b2=169, a więc b=13. Odpowiedź na zadanie została znaleziona, wyszukanie jej i narysowanie nie powinno zająć więcej niż 5 minut.

Cele Lekcji:

1. Edukacyjne:

Przedstaw pojęcie równoległościanu i jego typy;
- formułować (stosując analogię do równoległoboku i prostokąta) i dowodzić własności równoległościanu i równoległościanu prostokątnego;
- powtarzać pytania związane z równoległością i prostopadłością w przestrzeni.

2. Opracowanie:

Kontynuować rozwój takich procesów poznawczych u uczniów jak percepcja, rozumienie, myślenie, uwaga, pamięć;
- promowanie rozwoju pierwiastków u uczniów działalność twórcza jako cechy myślenia (intuicja, myślenie przestrzenne);
- kształtowanie u studentów umiejętności wyciągania wniosków, w tym przez analogię, co pomaga w zrozumieniu powiązań wewnątrzprzedmiotowych w geometrii.

3. Edukacyjne:

Przyczynić się do edukacji organizacji, nawyków systematyczna praca;
- promowanie kształtowania umiejętności estetycznych w zakresie przygotowywania nagrań, wykonywania rysunków.

Rodzaj lekcji: lekcja-nauka nowego materiału (2 godz.).

Struktura lekcji:

1. Moment organizacyjny.
2. Aktualizacja wiedzy.
3. Nauka nowego materiału.
4. Podsumowanie i zadanie domowe.

Wyposażenie: plakaty (slajdy) z dowodami, modele różnych ciał geometrycznych, w tym wszelkiego rodzaju równoległościany, rzutnik wykresów.

Podczas zajęć.

1. Moment organizacyjny.

2. Aktualizacja wiedzy.

Zgłoszenie tematu lekcji, sformułowanie celów i zadań wspólnie z uczniami, pokazanie praktycznego znaczenia studiowania tematu, powtórzenie wcześniej studiowanych zagadnień związanych z tym tematem.

3. Nauka nowego materiału.

3.1. Równoległościan i jego rodzaje.

Przedstawiono modele równoległościanów wraz z identyfikacją ich cech, które pomagają sformułować definicję równoległościanu przy użyciu pojęcia pryzmatu.

Definicja:

Równoległościan Nazywa się pryzmat, którego podstawą jest równoległobok.

Narysowany jest równoległościan (rysunek 1), elementy równoległościanu są wymienione jako szczególny przypadek pryzmatu. Pokazany jest slajd 1.

Schematyczny zapis definicji:

Z definicji wyciąga się wnioski:

1) Jeżeli ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 to graniastosłup, a ABCD to równoległobok, to ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 to równoległościan.

2) Jeżeli ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – równoległościan, to ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 to graniastosłup, a ABCD to równoległobok.

3) Jeżeli ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nie jest pryzmatem lub ABCD nie jest równoległobokiem, to
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - nie równoległościan.

4) . Jeżeli ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nie jest równoległościan, to ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nie jest pryzmatem lub ABCD nie jest równoległobokiem.

Ponadto rozważa się szczególne przypadki równoległościanu przy konstruowaniu schematu klasyfikacji (patrz ryc. 3), demonstruje się modele i rozróżnia charakterystyczne właściwości równoległościanu prostego i prostokątnego, formułuje ich definicje.

Definicja:

Równoległościan nazywany jest prostym, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy.

Definicja:

Równoległościan nazywa się prostokątny, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy, a podstawa jest prostokątem (patrz rysunek 2).

Po napisaniu definicji w formie schematycznej formułowane są wnioski z nich płynące.

3.2. Właściwości równoległościanów.

Szukaj figur planimetrycznych, których przestrzennymi odpowiednikami są równoległościan i równoległościan prostokątny (równoległobok i prostokąt). W tym przypadku mamy do czynienia z wizualnym podobieństwem postaci. Stosując regułę wnioskowania przez analogię, tabele są wypełniane.

Reguła wnioskowania przez analogię:

1. Wybierz spośród wcześniej studiowanych figury postać podobny do tego.
2. Sformułuj właściwość wybranej figury.
3. Sformułuj podobną właściwość oryginalnej figury.
4. Udowodnij lub odrzuć sformułowane stwierdzenie.

Po sformułowaniu właściwości, dowód każdego z nich przeprowadza się według następującego schematu:

• omówienie planu dowodowego;
• pokaz slajdów próbnych (slajdy 2-6);
• rejestracja dowodów w zeszytach przez studentów.

3.3 Sześcian i jego właściwości.

Definicja: Sześcian to prostopadłościan o równych wszystkich trzech wymiarach.

Przez analogię do równoległościanu uczniowie samodzielnie tworzą schematyczny zapis definicji, wyciągają z niej konsekwencje i formułują właściwości sześcianu.

4. Podsumowanie i zadanie domowe.

Zadanie domowe:

1. Korzystając z konspektu lekcji, zgodnie z podręcznikiem geometrii dla klas 10-11, L.S. Atanasyan i inni, studium rozdz.1, §4, s.13, rozdz.2, §3, s.24.
2. Udowodnić lub obalić właściwość równoległościanu, pozycja 2 tabeli.
3. Odpowiedz na pytania bezpieczeństwa.

Pytania testowe.

1. Wiadomo, że tylko dwie boczne powierzchnie równoległościanu są prostopadłe do podstawy. Jaki rodzaj równoległościanu?

2. Ile ścian bocznych o kształcie prostokąta może mieć równoległościan?

3. Czy można mieć równoległościan z tylko jedną ścianą boczną:

1) prostopadle do podstawy;
2) ma kształt prostokąta.

4. W prawym równoległościanie wszystkie przekątne są równe. Czy jest prostokątny?

5. Czy to prawda, że ​​w równoległościanie prawym sekcje przekątne są prostopadłe do płaszczyzn podstawy?

6. Sformułuj twierdzenie odwrotne do twierdzenia na kwadracie przekątnej prostopadłościanu prostokątnego.

7. Jakie dodatkowe cechy odróżniają sześcian od prostopadłościanu?

8. Czy sześcian będzie równoległościanem, w którym wszystkie krawędzie są równe na jednym z wierzchołków?

9. Sformułuj twierdzenie na kwadracie przekątnej prostopadłościanu prostokątnego dla przypadku sześcianu.

Lub (odpowiednik) wielościan z sześcioma ścianami i każda z nich - równoległobok.

Rodzaje pudełek

Istnieje kilka rodzajów równoległościanów:

• Prostopadłościan to prostopadłościan, którego ściany są prostokątami.
• Prawy równoległościan to równoległościan z 4 bocznymi ścianami, które są prostokątami.
• Skrzynka ukośna to skrzynka, której ściany boczne nie są prostopadłe do podstaw.

Główne elementy

Dwie ściany równoległościanu, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywane są przeciwległymi, a te, które mają wspólną krawędź, nazywane są sąsiednimi. Dwa wierzchołki równoległościanu, które nie należą do tej samej ściany, nazywane są przeciwległymi. Odcinek łączący przeciwległe wierzchołki nazywany jest przekątną równoległościanu. Długości trzech krawędzi prostopadłościanu, które mają wspólny wierzchołek, nazywamy jego wymiarami.

Nieruchomości

• Równoległościan jest symetryczny w stosunku do punktu środkowego jego przekątnej.
• Każdy odcinek z końcami należącymi do powierzchni równoległościanu i przechodzący przez środek jego przekątnej jest podzielony przez niego na pół; w szczególności wszystkie przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i przecinają go.
• Przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe.
• Kwadrat długości przekątnej prostopadłościanu jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów.

Podstawowe formuły

Prawy równoległościan

Powierzchnia boczna S b \u003d R o * h, gdzie R o to obwód podstawy, h to wysokość

Całkowita powierzchnia S p \u003d S b + 2S o, gdzie S o to powierzchnia podstawy

Tom V=S o *h

prostopadłościan

Powierzchnia boczna S b \u003d 2c (a + b), gdzie a, b to boki podstawy, c to boczna krawędź prostokątnego równoległościanu

Całkowita powierzchnia S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Tom V=abc, gdzie a, b, c są wymiarami prostopadłościanu.

Sześcian

Powierzchnia: $S=6a^2$
Tom: $V=a^3$, gdzie $a$- krawędź sześcianu.

Pole arbitralne

Objętość i stosunki w skrzynce skośnej są często definiowane za pomocą algebry wektorowej. Objętość równoległościanu jest równa wartości bezwzględnej mieszanego produktu trzech wektorów określonych przez trzy boki równoległościanu emanującego z jednego wierzchołka. Stosunek długości boków równoległościanu do kątów między nimi daje stwierdzenie, że wyznacznik Grama tych trzech wektorów jest równy kwadratowi ich iloczynu mieszanego: 215 .

W analizie matematycznej

W analizie matematycznej pod n-wymiarowym równoległościanem prostokątnym $B$ zrozumieć wiele punktów $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ uprzejmy $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Napisz recenzję artykułu „Równoległość”

Uwagi

Spinki do mankietów

Prawidłowy Prawidłowy niewypukły wypukły formuły, twierdzenia, teorie Inne

Fragment charakteryzujący równoległościan

- On dit que les rivaux se sont reconcilies łaska a l 'angine... [Mówią, że rywale pogodzili się dzięki tej chorobie.]
Z wielką przyjemnością powtórzyło się słowo angine.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Stary hrabia jest bardzo wzruszający, jak mówią. Płakał jak dziecko, kiedy lekarz powiedział ten niebezpieczny przypadek.]
Och, ce serait une perte straszne. C "est une femme ravissante. [Och, to byłaby wielka strata. Taka urocza kobieta.]
„Vous parlez de la pauvre comtesse”, powiedziała Anna Pawłowna podchodząc. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde - powiedziała Anna Pawłowna z uśmiechem ponad entuzjazmem. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m „empeche pas de l” etimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Mówisz o biednej hrabinie... Wysłałem, aby dowiedzieć się o jej zdrowiu. Powiedziano mi, że jest trochę lepiej. Och, bez wątpienia to najpiękniejsza kobieta na świecie. Należymy do różnych obozów, ale to nie przeszkadza mi szanować jej zgodnie z jej zasługami. Jest taka nieszczęśliwa.] dodała Anna Pawłowna.
Wierząc, że tymi słowami Anna Pawłowna nieco uchyliła zasłonę tajemnicy nad chorobą hrabiny, jeden nieostrożny młody człowiek pozwolił sobie wyrazić zdziwienie, że nie zostali wezwani znani lekarze, ale Hrabina jest leczona przez szarlatana, który potrafi podać niebezpieczne lekarstwa.
„Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes” Anna Pawłowna zaatakowała nagle niedoświadczonych młody człowiek. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C „est le medecin intime de la Reine d” Espagne. [Twoje wiadomości mogą być dokładniejsze niż moje... ale pochodzę z dobre źródła Wiem, że ten lekarz jest bardzo wykształconą i zręczną osobą. To jest lekarz życia królowej Hiszpanii.] - I w ten sposób niszcząc młodego człowieka, Anna Pawłowna zwróciła się do Bilibina, który w innym kręgu, podnosząc skórę i najwyraźniej zamierzając ją rozpuścić, mówiąc un mot, przemówił o Austriakach.
- Je trouve que c "est charmant! [Uważam to za urokliwe!] - mówił o dokumencie dyplomatycznym, pod którym wysłano do Wiednia austriackie sztandary, le heros de Petropol [bohater Petropolis] (jak on został wezwany w Petersburgu).
- Jak, jak to jest? Anna Pawłowna zwróciła się do niego, budząc ciszę, by usłyszeć mot, który już znała.
A Bilibin powtórzył następujące autentyczne słowa ze sporządzonej przez siebie depeszy dyplomatycznej:
- L „Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens”, powiedział Bilibin, „drapeaux amis et egares qu” il a trouve hors de la route [Cesarz wysyła chorągwie austriackie, przyjazne i błędne, które znalazł na zewnątrz prawdziwa droga.] dokończył Bilibin, rozluźniając skórę.
- Charmant, charmant, [Uroczy, uroczy] - powiedział książę Wasilij.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Może to droga warszawska.] - powiedział głośno i niespodziewanie książę Hippolyte. Wszyscy spojrzeli na niego, nie rozumiejąc, co chciał przez to powiedzieć. radosne zaskoczenie wokół niego.On, podobnie jak inni, nie rozumiał, co znaczyły słowa, które wypowiadał.W trakcie swojej kariery dyplomatycznej niejednokrotnie zauważył, że słowa nagle wypowiedziane w ten sposób okazały się bardzo dowcipne i na wszelki wypadek powiedział te słowa: „Może wyjdzie bardzo dobrze” – pomyślał – „a jak nie wyjdzie, to tam będą mogli to zaaranżować.” Rzeczywiście, gdy panowała niezręczna cisza, weszła ta niewystarczająco patriotyczna twarz Anna Pawłowna, a ona, uśmiechając się i potrząsając palcem do Ippolita, zaprosiła księcia Wasilija do stołu i przynosząc mu dwie świece i rękopis, poprosiła go, aby zaczął.

W tej lekcji każdy będzie mógł zapoznać się z tematem „Prostokątne pudełko”. Na początku lekcji powtórzymy, czym są dowolne i proste równoległościany, przypomnimy sobie właściwości ich przeciwległych ścian i przekątnych równoległościanu. Następnie zastanowimy się, czym jest prostopadłościan i omówimy jego główne właściwości.

Temat: Prostopadłość linii i płaszczyzn

Lekcja: Prostopadłościan

Powierzchnia składająca się z dwóch równych równoległoboków ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 oraz czterech równoległoboków ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 jest nazywana równoległościan(rys. 1).

Ryż. 1 równoległościan

Czyli: mamy dwa równe równoległoboki ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (podstawy), leżą one w równoległych płaszczyznach tak, że krawędzie boczne AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 są równoległe. Tak więc powierzchnia złożona z równoległoboków nazywa się równoległościan.

Zatem powierzchnia równoległościanu jest sumą wszystkich równoległoboków, które tworzą równoległościan.

1. Przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe.

(liczby są równe, to znaczy można je łączyć za pomocą nakładki)

Na przykład:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (z definicji równe równoległoboki),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (ponieważ AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (ponieważ AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu).

2. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i przecinają ten punkt.

Przekątne równoległościanu AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B przecinają się w jednym punkcie O, a każda przekątna jest podzielona na pół przez ten punkt (ryc. 2).

Ryż. 2 Przekątne równoległościanu przecinają i przecinają punkt przecięcia.

3. Istnieją trzy czwórki równych i równoległych krawędzi równoległościanu: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definicja. Równoległościan nazywa się prostym, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw.

Niech krawędź boczna AA 1 będzie prostopadła do podstawy (rys. 3). Oznacza to, że prosta AA 1 jest prostopadła do prostych AD i AB, które leżą w płaszczyźnie podstawy. I dlatego prostokąty leżą na bocznych ścianach. A podstawy są dowolnymi równoległobokami. Oznaczmy, ∠BAD = φ, kąt φ może być dowolny.

Ryż. 3 Prawe pudełko

Tak więc właściwe pudełko to pudełko, w którym boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw pudełka.

Definicja. Równoległościan nazywa się prostokątnym, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. Podstawy są prostokątami.

Równoległościan АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 jest prostokątny (ryc. 4), jeżeli:

1. AA 1 ⊥ ABCD (krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, czyli prosty równoległościan).

2. ∠BAD = 90°, tzn. podstawa jest prostokątem.

Ryż. 4 Prostopadłościan

Prostokątne pudełko ma wszystkie właściwości dowolnego pudełka. Ale istnieją dodatkowe właściwości, które wynikają z definicji prostopadłościanu.

Więc, prostopadłościan jest równoległościanem, którego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt.

1. W prostopadłościanie wszystkie sześć ścian to prostokąty.

ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 są z definicji prostokątami.

2. Żebra boczne są prostopadłe do podstawy. Oznacza to, że wszystkie ściany boczne prostopadłościanu są prostokątami.

3. Wszystkie dwuścienne kąty prostopadłościanu są kątami prostymi.

Rozważmy na przykład kąt dwuścienny równoległościanu prostokątnego z krawędzią AB, tj. kąt dwuścienny między płaszczyznami ABB 1 i ABC.

AB jest krawędzią, punkt A 1 leży w jednej płaszczyźnie - w płaszczyźnie ABB 1, a punkt D w drugiej - w płaszczyźnie A 1 B 1 C 1 D 1. Wówczas rozpatrywany kąt dwuścienny można również oznaczyć w następujący sposób: ∠А 1 АВD.

Weź punkt A na krawędzi AB. AA 1 jest prostopadła do krawędzi AB w płaszczyźnie ABB-1, AD jest prostopadła do krawędzi AB w płaszczyźnie ABC. Stąd ∠A 1 AD jest kątem liniowym danego kąta dwuściennego. ∠A 1 AD \u003d 90 °, co oznacza, że ​​kąt dwuścienny na krawędzi AB wynosi 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Podobnie udowadnia się, że wszelkie kąty dwuścienne prostopadłościanu prostokątnego są prawidłowe.

Kwadrat przekątnej prostopadłościanu jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów.

Notatka. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu są wymiarami prostopadłościanu. Czasami nazywa się je długością, szerokością, wysokością.

Biorąc pod uwagę: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - prostokątny równoległościan (ryc. 5).

Udowodnić: .

Ryż. 5 Prostopadłościan

Dowód:

Prosta CC 1 jest prostopadła do płaszczyzny ABC, a więc do prostej AC. Czyli trójkąt CC 1 A jest trójkątem prostokątnym. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Rozważać trójkąt prostokątny ABC. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Ale BC i AD są przeciwległymi stronami prostokąta. Więc BC = AD. Następnie:

Jak , a , następnie. Ponieważ CC 1 = AA 1, to co należało udowodnić.

Przekątne prostokątnego równoległościanu są równe.

Oznaczmy wymiary równoległościanu ABC jako a, b, c (patrz rys. 6), a następnie AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =