Największy wspólny dzielnik (GCD): definicja, przykłady i właściwości. Znajdowanie GCD przy użyciu algorytmu Euclid i przy użyciu faktoryzacji liczb pierwszych
Największy wspólny dzielnik
Definicja 2
Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, to $b$ nazywamy dzielnikiem $a$, a liczbę $a$ wielokrotnością $b$.
Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczba $c$ nazywana jest wspólnym dzielnikiem zarówno dla $a$, jak i $b$.
Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników jest największy, który nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$, a do jego oznaczenia używa się notacji:
$gcd \ (a;b) \ lub \ D \ (a;b)$
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb:
- Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
Przykład 1
Znajdź gcd liczb 121$ i 132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Wybierz liczby, które są zawarte w rozszerzeniu tych liczb
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$gcd=2\cdot 11=22$
Przykład 2
Znajdź GCD jednomianów 63$ i 81$.
Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego:
Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze
63 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 7 $
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Wybieramy liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb
63 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 7 $
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$gcd=3\cdot 3=9$
Możesz znaleźć NWD dwóch liczb w inny sposób, używając zestawu dzielników liczb.
Przykład 3
Znajdź gcd liczb 48$ i 60$.
Decyzja:
Znajdź zbiór dzielników $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Teraz znajdźmy zbiór dzielników $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ten zbiór określi zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Zatem największym wspólnym dzielnikiem 48$ i 60$ jest 12$.
Definicja NOC
Definicja 3
wspólna wielokrotność liczb naturalnych$a$ i $b$ to liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.
Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które są podzielne przez oryginał bez reszty.Na przykład dla liczb 25$ i 50$ wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50,100,150,200$ itd.
Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i oznaczana przez LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$
Aby znaleźć LCM dwóch liczb, potrzebujesz:
- Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
- Wypisz czynniki, które są częścią pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiej i nie przechodź do pierwszej
Przykład 4
Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.
Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego
Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
99 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 11 $
Zapisz czynniki zawarte w pierwszym
dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiego i nie przechodź do pierwszego
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Tworzenie list dzielników liczb jest często bardzo czasochłonne. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euklidesa.
Stwierdzenia, na których oparty jest algorytm Euklidesa:
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vdots b$, to $D(a;b)=b$
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b
Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie zmniejszać rozważane liczby, aż dojdziemy do pary liczb takiej, że jedna z nich jest podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem dla liczb $a$ i $b$.
Właściwości GCD i LCM
- Dowolna wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
- Jeśli $a\vdots b$ , to K$(a;b)=a$
Jeśli K$(a;b)=k$ i $m$-liczba naturalna, to K$(am;bm)=km$
Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem dla $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$
Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ równość
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Każdy wspólny dzielnik $a$ i $b$ jest dzielnikiem $D(a;b)$
Ale wiele liczb naturalnych jest równo podzielnych przez inne liczby naturalne.
na przykład:
Liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;
Liczba 36 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.
Liczby, według których liczba jest podzielna (dla 12 jest to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) są nazywane dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej a jest liczbą naturalną dzielącą podaną liczbę a bez śladu. Liczba naturalna, która ma więcej niż dwa czynniki, nazywa się złożony. Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Są to liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12.
Wspólny dzielnik dwóch podanych liczb a oraz b to liczba, przez którą obie podane liczby są podzielne bez reszty a oraz b. Wspólny dzielnik liczb wielokrotnych (NWP) to liczba, która służy jako dzielnik dla każdego z nich.
W skrócie największy wspólny dzielnik liczb a oraz b są napisane tak:
Przykład: gcd (12; 36) = 12.
Dzielniki liczb w zapisie rozwiązania oznaczają Wielka litera"D".
Przykład:
gcd (7; 9) = 1
Liczby 7 i 9 mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Takie liczby są nazywane pierwotnachi slam.
Liczby względnie pierwsze są liczbami naturalnymi, które mają tylko jeden wspólny dzielnik – liczbę 1. Ich gcd wynosi 1.
Największy wspólny dzielnik (GCD), właściwości.
- Główna właściwość: największy wspólny dzielnik m oraz n jest podzielna przez dowolny wspólny dzielnik tych liczb. Przykład: dla liczb 12 i 18 największym wspólnym dzielnikiem jest 6; jest podzielna przez wszystkie wspólne dzielniki tych liczb: 1, 2, 3, 6.
- Wniosek 1: zbiór wspólnych dzielników m oraz n pokrywa się ze zbiorem dzielników gcd( m, n).
- Wniosek 2: zbiór wspólnych wielokrotności m oraz n pokrywa się z zestawem wielu LCM ( m, n).
Oznacza to w szczególności, że aby sprowadzić ułamek do postaci nieredukowalnej, konieczne jest podzielenie jego licznika i mianownika przez ich gcd.
- Największy wspólny dzielnik liczb m oraz n można zdefiniować jako najmniejszy dodatni element zbioru wszystkich ich kombinacji liniowych:
i dlatego reprezentują jako liniową kombinację liczb m oraz n:
Ten stosunek nazywa się Stosunek Bezouta, a współczynniki ty oraz v — współczynniki bezout. Współczynniki Bézout są efektywnie obliczane przez rozszerzony algorytm Euclid. To stwierdzenie jest uogólnione na zbiory liczb naturalnych - oznacza to, że podgrupa grupy generowanej przez zbiór jest cykliczna i jest generowana przez jeden element: gcd ( a 1 , a 2 , … , jakiś).
Obliczanie największego wspólnego dzielnika (gcd).
Skutecznymi sposobami obliczania gcd dwóch liczb są Algorytm Euklidesa oraz dwójkowyalgorytm. Ponadto wartość GCD ( m,n) można łatwo obliczyć, jeśli znane jest rozwinięcie kanoniczne liczb m oraz n dla czynników pierwszych:
gdzie są odrębnymi liczbami pierwszymi i są nieujemnymi liczbami całkowitymi (mogą być równe zero, jeśli odpowiadająca im liczba pierwsza nie jest w rozkładzie). Następnie gcd ( m,n) i LCM ( m,n) wyrażają się wzorami:
Jeśli jest więcej niż dwie liczby: , ich GCD jest znajdowany zgodnie z następującym algorytmem:
- to jest pożądany GCD.
Również, aby znaleźć Największy wspólny dzielnik, możesz rozłożyć każdą z podanych liczb na czynniki pierwsze. Następnie wypisz osobno tylko te czynniki, które są zawarte we wszystkich podanych liczbach. Następnie mnożymy rozpisane między sobą liczby - wynik mnożenia jest największym wspólnym dzielnikiem .
Przeanalizujmy krok po kroku obliczenie największego wspólnego dzielnika:
1. Rozłóż dzielniki liczb na czynniki pierwsze:
Obliczenia są wygodnie pisane za pomocą pionowej kreski. Po lewej stronie linii najpierw zapisz dywidendę, po prawej - dzielnik. Dalej w lewej kolumnie wpisujemy wartości prywatne. Wyjaśnijmy od razu na przykładzie. Rozłóżmy liczby 28 i 64 na czynniki pierwsze.
2. Podkreślamy te same czynniki pierwsze w obu liczbach:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Znajdujemy iloczyn identycznych czynników pierwszych i zapisujemy odpowiedź:
NPK (28; 64) = 2. 2 = 4
Odpowiedź: NWD (28; 64) = 4
Możesz ustawić lokalizację GCD na dwa sposoby: w kolumnie (jak zrobiono powyżej) lub „w linii”.
Pierwszy sposób na napisanie GCD:
Znajdź GCD 48 i 36.
GCD (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12
Drugi sposób napisania GCD:
Napiszmy teraz rozwiązanie wyszukiwania GCD w linii. Znajdź GCD 10 i 15.
D(10) = (1, 2, 5, 10)
D(15) = (1, 3, 5, 15)
D(10, 15) = (1, 5)
Ten artykuł jest o znalezienie największego wspólnego dzielnika (gcd) dwa i jeszcze liczby. Najpierw rozważ algorytm Euclid, który pozwala znaleźć NWD dwóch liczb. Następnie zajmiemy się metodą, która pozwoli nam obliczyć NWD liczb jako iloczyn ich wspólnych czynników pierwszych. Następnie zajmiemy się znalezieniem największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb, a także podamy przykłady obliczania NWD liczb ujemnych.
Nawigacja po stronach.
Algorytm Euklidesa do znajdowania GCD
Zauważmy, że gdybyśmy od samego początku zajrzeli do tabeli liczb pierwszych, odkrylibyśmy, że liczby 661 i 113 są liczbami pierwszymi, z czego moglibyśmy od razu powiedzieć, że ich największym wspólnym dzielnikiem jest 1.
Odpowiedź:
gcd(661, 113)=1 .
Znajdowanie GCD przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze
Rozważ inny sposób na znalezienie GCD. Największy wspólny dzielnik można znaleźć, rozkładając liczby na czynniki pierwsze. Sformułujmy regułę: NWD dwóch dodatnich liczb całkowitych a i b jest równe iloczynowi wszystkich wspólnych czynników pierwszych w faktoryzacji a i b na czynniki pierwsze.
Podajmy przykład, aby wyjaśnić zasadę znajdowania GCD. Poznajmy rozwinięcia liczb 220 i 600 na czynniki pierwsze, mają one postać 220=2 2 5 11 i 600=2 2 2 3 5 5 . Wspólne czynniki pierwsze biorące udział w rozwinięciu liczb 220 i 600 to 2 , 2 i 5 . Dlatego gcd(220, 600)=2 2 5=20 .
Tak więc, jeśli rozłożymy liczby aib na czynniki pierwsze i znajdziemy iloczyn wszystkich ich wspólnych czynników, to znajdziemy największy wspólny dzielnik liczb aib.
Rozważ przykład znalezienia GCD zgodnie z ogłoszoną zasadą.
Przykład.
Znajdź największy wspólny dzielnik 72 i 96.
Decyzja.
Rozłóżmy liczby 72 i 96 na czynniki: 
Czyli 72=2 2 2 3 3 i 96=2 2 2 2 2 3 . Wspólne czynniki pierwsze to 2 , 2 , 2 i 3 . Czyli gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .
Odpowiedź:
gcd(72, 96)=24 .
Na zakończenie tego rozdziału zauważamy, że słuszność powyższej reguły dla znajdowania nwd wynika z własności największego wspólnego dzielnika, który stwierdza, że NWD(m a 1 , m b 1)=m NWD(a 1 , b 1), gdzie m jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą.
Znajdowanie GCD trzech lub więcej liczb
Znalezienie największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb można sprowadzić do znalezienia kolejno gcd dwóch liczb. Wspomnieliśmy o tym podczas badania właściwości GCD. Tam sformułowaliśmy i udowodniliśmy twierdzenie: największy wspólny dzielnik kilku liczb a 1 , a 2 , …, a k jest równa liczbie d k , który znajduje się w obliczeniu sekwencyjnym 1 , a k)=d k .
Zobaczmy, jak wygląda proces znajdowania NWD kilku liczb, rozważając rozwiązanie z przykładu.
Przykład.
Znajdź największy wspólny dzielnik czterech liczb 78 , 294 , 570 i 36 .
Decyzja.
W tym przykładzie 1 = 78 , 2 = 294 , 3 = 570 , 4 = 36 .
Najpierw za pomocą algorytmu Euklidesa wyznaczamy największy wspólny dzielnik d 2 z pierwszych dwóch liczb 78 i 294 . Dzieląc otrzymujemy równości 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 i 18=6 3 . Zatem d2 = GCD(78, 294)=6.
Teraz policzmy d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Ponownie stosujemy algorytm Euclid: 570=6,95 , zatem d 3 = GCD(6, 570)=6 .
Pozostaje obliczyć d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Ponieważ 36 jest podzielne przez 6, to d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.
Zatem największym wspólnym dzielnikiem czterech podanych liczb jest d 4 = 6 , czyli gcd(78, 294, 570, 36)=6 .
Odpowiedź:
gcd(78,294,570,36)=6 .
Rozkład liczb na czynniki pierwsze pozwala również obliczyć NWD trzech lub więcej liczb. W tym przypadku największy wspólny dzielnik znajduje się jako iloczyn wszystkich wspólnych czynników pierwszych danych liczb.
Przykład.
Oblicz NWD liczb z poprzedniego przykładu, używając ich rozkładów liczb pierwszych.
Decyzja.
Rozkładamy liczby 78 , 294 , 570 i 36 na czynniki pierwsze, otrzymujemy 78=2 3 13 , 294= 2 3 7 7 , 570= 2 3 5 19 , 36= 2 2 3 , 3 . Wspólne czynniki pierwsze wszystkich podanych czterech liczb to liczby 2 i 3. Stąd, NWD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.
Rozwiążmy problem. Mamy dwa rodzaje plików cookie. Niektóre są czekoladowe, a niektóre są zwykłe. Jest 48 kawałków czekolady, a prostych 36. Z tych ciasteczek należy zrobić maksymalną możliwą liczbę prezentów i wszystkie należy wykorzystać.
Najpierw zapiszmy wszystkie dzielniki każdej z tych dwóch liczb, ponieważ obie te liczby muszą być podzielne przez liczbę prezentów.
dostajemy
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Znajdźmy wśród dzielników wspólne dzielniki, które mają zarówno pierwsza, jak i druga liczba.
Wspólnymi dzielnikami będą: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Największym wspólnym dzielnikiem wszystkich jest 12. Liczba ta nazywana jest największym wspólnym dzielnikiem 36 i 48.
Na podstawie wyniku możemy wywnioskować, że ze wszystkich ciasteczek można zrobić 12 prezentów. Jeden taki prezent będzie zawierał 4 czekoladowe ciasteczka i 3 zwykłe ciasteczka.
Znalezienie największego wspólnego dzielnika
- Największa liczba naturalna, przez którą dwie liczby a i b są podzielne bez reszty, nazywana jest największym wspólnym dzielnikiem tych liczb.
Czasami skrót GCD jest używany do skrócenia wpisu.
Niektóre pary liczb mają jeden jako największy wspólny dzielnik. Takie liczby nazywają się liczby względnie pierwsze. Na przykład liczby 24 i 35. Miej GCD =1.
Jak znaleźć największy wspólny dzielnik
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik, nie jest konieczne wypisywanie wszystkich dzielników tych liczb.
Możesz zrobić inaczej. Najpierw podziel obie liczby na czynniki pierwsze.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Teraz z czynników, które są uwzględnione w rozwinięciu pierwszej liczby, usuwamy wszystkie te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. W naszym przypadku są to dwie dwójki.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Pozostaną dzielniki 2, 2 i 3. Ich iloczyn wynosi 12. Liczba ta będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36.
Ta reguła może zostać rozszerzona na trzy, cztery i tak dalej. liczby.
Ogólny schemat znajdowania największego wspólnego dzielnika
- 1. Rozłóż liczby na czynniki pierwsze.
- 2. Spośród czynników uwzględnionych w rozwinięciu jednej z tych liczb wykreśl te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu innych liczb.
- 3. Oblicz iloczyn pozostałych czynników.