Tiek saukti leņķi, kas vienmēr ir vienādi. Izvērsts, strups, vertikāls un neizvērsts: ģeometrijas stūru veidi

Leņķis ir ģeometriska figūra, kas sastāv no diviem dažādiem stariem, kas izplūst no viena punkta. Šajā gadījumā šos starus sauc par leņķa malām. Punktu, kas ir staru sākums, sauc par leņķa virsotni. Attēlā var redzēt stūri ar virsotni punktā O, un pusēm k un m.

Stūra malās ir atzīmēti punkti A un C. Šo stūri var apzīmēt kā leņķi AOC. Vidū jābūt tā punkta nosaukumam, kurā atrodas stūra virsotne. Ir arī citi apzīmējumi, leņķis O vai leņķis km. Ģeometrijā vārda leņķa vietā bieži tiek uzrakstīta īpaša ikona.

Pagriezts un negriezts leņķis

Ja leņķa abas malas atrodas uz vienas taisnes, tad šādu leņķi sauc izvietoti leņķis. Tas ir, viena stūra puse ir stūra otras puses turpinājums. Zemāk redzamajā attēlā redzams leņķis O.

Jāatzīmē, ka jebkurš leņķis sadala plakni divās daļās. Ja stūris nav paplašināts, tad vienu no daļām sauc par stūra iekšējo reģionu, bet otru - par šī stūra ārējo reģionu. Zemāk esošajā attēlā ir parādīts nesaplacināts stūris un atzīmēts šī stūra ārējais un iekšējais apgabals.

Izstrādāta leņķa gadījumā jebkuru no divām daļām, kurās tas sadala plakni, var uzskatīt par leņķa ārējo apgabalu. Mēs varam runāt par punkta stāvokli attiecībā pret leņķi. Punkts var atrasties ārpus stūra (ārējā reģionā), var atrasties vienā no tā malām vai stūra iekšpusē (iekšējā reģionā).

Zemāk redzamajā attēlā punkts A atrodas ārpus stūra O, punkts B atrodas vienā stūra pusē un punkts C atrodas stūra iekšpusē.

Leņķa mērīšana

Leņķu mērīšanai ir ierīce, ko sauc par transportieri. Leņķa mērvienība ir grāds. Jāņem vērā, ka katram leņķim ir noteiktas pakāpes mērs, kas ir lielāks par nulli.

Atkarībā no pakāpes mērs stūri ir sadalīti vairākās grupās.

Studenti ir iepazinušies ar leņķa jēdzienu pamatskola. Bet kā ģeometrisku figūru ar noteiktām īpašībām viņi to sāk pētīt no 7. klases ģeometrijā. Šķiet, diezgan vienkārša forma ko par viņu var teikt. Bet, apgūstot jaunas zināšanas, skolēni arvien vairāk saprot, ka par viņu var uzzināt diezgan interesantus faktus.

Saskarsmē ar

Kad tiek pētīti

Skolas ģeometrijas kurss ir sadalīts divās daļās: planimetrija un cietā ģeometrija. Katram no viņiem tiek pievērsta liela uzmanība. dots stūriem:

• Planimetrijā tiek dota to pamatkoncepcija, notiek iepazīšanās ar to veidiem pēc izmēra. Sīkāk tiek pētītas katra veida trīsstūru īpašības. Parādās jaunas definīcijas studentiem - tās ir ģeometriskas formas, kas veidotas divu līniju krustpunktā savā starpā un vairāku sekanta līniju krustpunktā.
• Stereometrijā tiek pētīti telpiskie leņķi - divskaldnis un trīsstūris.

Uzmanību!Šajā rakstā ir apskatīti visi planimetrijas leņķu veidi un īpašības.

Definīcija un mērīšana

Sākot mācīties, vispirms nosaki, kas ir leņķis planimetrijā.

Ja ņemam noteiktu plaknes punktu un no tā izvelkam divus patvaļīgus starus, mēs iegūstam ģeometrisku figūru - leņķi, kas sastāv no šādiem elementiem:

• virsotne - punkts, no kura tika vilkti stari, apzīmēts lielais burts latīņu alfabēts;
• malas no augšas novilktas puslīnijas.

Visi elementi, kas veido figūru, kuru mēs apsveram, sadala plakni divas daļas:

• iekšējais - planimetrijā nepārsniedz 180 grādus;
• ārējā.

Leņķu mērīšanas princips planimetrijā intuitīvi paskaidroja. Sākumā studenti tiek iepazīstināti ar izstrādāta leņķa jēdzienu.

Svarīgs! Tiek uzskatīts, ka leņķis veidojas, ja puslīnijas, kas izplūst no tā virsotnes, veido taisnu līniju. Atlocīts leņķis ir visi pārējie gadījumi.

Ja to sadala 180 vienādās daļās, tad ir pieņemts uzskatīt, ka vienas daļas mērs ir vienāds ar 10. Šajā gadījumā viņi saka, ka mērījums tiek veikts grādos, un šāda skaitļa pakāpes mērs ir 180 grādi.

Galvenie veidi

Leņķu veidi tiek iedalīti pēc tādiem kritērijiem kā pakāpes mērs, to veidošanās raksturs un tālāk norādītās kategorijas.

Pēc izmēra

Ņemot vērā lielumu, leņķi tiek sadalīti:

• izvietots;
• taisni;
• neass;
• pikants.

Kurš leņķis tiek saukts par izvietotu, tika parādīts iepriekš. Definēsim taisnas līnijas jēdzienu.

To var iegūt, sadalot izvietotos divās vienādās daļās. Šajā gadījumā ir viegli atbildēt uz jautājumu: taisns leņķis, cik grādu tas ir?

Sadaliet 180 grādus ar 2, lai iegūtu taisnais leņķis ir 90 grādi. Šī ir brīnišķīga figūra, jo ar to ir saistīti daudzi ģeometrijas fakti.

Tam ir arī savas īpašības apzīmējumā. Lai attēlā parādītu taisnu leņķi, to norāda nevis ar loku, bet ar kvadrātu.

Leņķus, kas iegūti, dalot patvaļīgu taisnas līnijas staru, sauc par akūtiem. Pēc lietu loģikas izriet, ka akūts leņķis ir mazāks par taisnleņķi, bet tā mērs atšķiras no 0 grādiem. Tas ir, tā vērtība ir no 0 līdz 90 grādiem.

Strups leņķis ir lielāks par taisnu leņķi, bet mazāks par taisnu leņķi. Tās pakāpes mērs svārstās no 90 līdz 180 grādiem.

Šo elementu var sadalīt dažādi veidi aplūkotie skaitļi, izņemot paplašināto.

Neatkarīgi no tā, kā tiek salauzts nepagrieztais leņķis, vienmēr tiek izmantota planimetrijas pamataksioma - "mērīšanas galvenā īpašība".

Plkst sadalot leņķi ar vienu staru vai vairāki, dotā skaitļa pakāpes mērs ir vienāds ar to leņķu mēru summu, kuros tas ir sadalīts.

7. klases līmenī leņķu veidi savā lielumā tur beidzas. Bet, lai palielinātu erudīciju, var piebilst, ka ir arī citas šķirnes, kurām pakāpes mērs ir lielāks par 180. Tās sauc par izliektām.

Skaitļi līniju krustpunktā

Nākamie leņķu veidi, ar kuriem skolēni tiek iepazīstināti, ir elementi, kas veidojas, kad krustojas divas līnijas. Figūras, kas novietotas viena otrai pretī, sauc par vertikālām. Viņi atšķirīgā iezīme- viņi ir vienādi.

Elementus, kas atrodas blakus vienai līnijai, sauc par blakus esošajiem. To saka teorēma, kas kartē to īpašumu Blakus esošie leņķi tiek pievienoti līdz 180 grādiem.

Elementi trīsstūrī

Ja mēs uzskatām figūru par elementu trijstūrī, tad leņķus iedala iekšējos un ārējos. Trīsstūri ierobežo trīs segmenti un tas sastāv no trīs virsotnes. Leņķi, kas atrodas trijstūra iekšpusē katrā virsotnē, sauc par iekšējo.

Ja mēs ņemam jebkuru iekšējo elementu jebkurā virsotnē un pagarinām jebkuru malu, tad leņķi, kas veidojas un atrodas blakus iekšējam, sauc par ārējo. Šim elementu pārim ir šāda īpašība: to summa ir 180 grādi.

Divu taisnu līniju krustpunkts

Līnijas krustojums

Kad krustojas divas taisnes, veidojas arī leņķi, kas parasti tiek sadalīti pa pāriem. Katram elementu pārim ir savs nosaukums. Tas izskatās šādi:

• iekšējais krustojums: ∟4 un ∟6, ∟3 un ∟5;
• iekšējais vienpusējs: ∟4 un ∟5, ∟3 un ∟6;
• atbilst: ∟1 un ∟5, ∟2 un ∟6, ∟4 un ∟8, ∟3 un ∟7.

Kad sekants krustojas ar diviem

Šajā rakstā mēs vispusīgi analizēsim vienu no galvenajām ģeometriskajām formām - leņķi. Sāksim ar palīgjēdzieniem un definīcijām, kas mūs novedīs pie leņķa definīcijas. Pēc tam mēs sniedzam pieņemtās metodes leņķu noteikšanai. Tālāk mēs detalizēti aplūkosim leņķu mērīšanas procesu. Noslēgumā mēs parādīsim, kā jūs varat atzīmēt stūrus zīmējumā. Visu teoriju nodrošinājām ar nepieciešamajiem zīmējumiem un grafiskām ilustrācijām materiāla labākai iegaumēšanai.

Lapas navigācija.

Leņķa definīcija.

Leņķis ir viens no svarīgākajiem ģeometrijas rādītājiem. Leņķa definīcija tiek dota caur stara definīciju. Savukārt priekšstatu par staru nevar iegūt bez zināšanām par tādām ģeometriskām figūrām kā punkts, taisne un plakne. Tāpēc pirms iepazīšanās ar leņķa definīciju iesakām atsvaidzināt teoriju no sadaļām un.

Tātad, mēs sāksim no jēdzieniem punkts, taisna līnija plaknē un plakne.

Vispirms sniegsim stara definīciju.

Ļaujiet mums dot kādu taisnu līniju plaknē. Apzīmēsim to ar burtu a. Ļaujiet O ir kāds punkts no līnijas a . Punkts O sadala taisni a divās daļās. Katru no šīm daļām kopā ar punktu O sauc staru kūlis, un punktu O sauc stara sākums. Var arī dzirdēt, ka staru sauc daļēji tiešs.

Īsuma un ērtības labad tika ieviests šāds staru apzīmējums: staru apzīmē vai nu ar mazu latīņu burtu (piemēram, ray p vai ray k), vai ar diviem lieliem burtiem. ar latīņu burtiem, no kuriem pirmais atbilst stara sākumam, bet otrais apzīmē kādu šī stara punktu (piemēram, staru OA vai staru CD ). Parādīsim zīmējumā staru attēlu un apzīmējumu.

Tagad mēs varam sniegt pirmo leņķa definīciju.

Definīcija.

Injekcija- šī ir plakana ģeometriska figūra (tas ir, pilnībā atrodas noteiktā plaknē), ko veido divi nesakrītoši stari ar kopīgu izcelsmi. Katrs no stariem tiek saukts stūra puse, sauc par leņķa malu kopējo sākumu augšējais stūris.

Iespējams, ka leņķa malas veido taisnu līniju. Šim leņķim ir savs nosaukums.

Definīcija.

Ja abas leņķa malas atrodas uz vienas taisnes, tad leņķi sauc izvietoti.

Mēs piedāvājam jūsu uzmanībai izstrādāta leņķa grafisku ilustrāciju.

Leņķa simbolu izmanto, lai apzīmētu leņķi. Ja leņķa malas ir norādītas ar maziem latīņu burtiem (piemēram, viena leņķa puse ir k, bet otra ir h), tad, lai apzīmētu šo leņķi, aiz leņķa ikonas tiek rakstīti burti, kas atbilst malām. rinda, un ierakstīšanas secībai nav nozīmes (tas ir, vai). Ja leņķa malas apzīmē ar diviem lieliem latīņu burtiem (piemēram, leņķa viena puse OA un leņķa otrā puse OB), tad leņķi apzīmē šādi: aiz leņķa zīmes ir trīs burti. rakstīts, kas piedalās leņķa malu apzīmēšanā, un leņķa virsotnei atbilstošais burts, kas atrodas vidū (mūsu gadījumā leņķis tiks norādīts kā vai ). Ja stūra virsotne nav kāda cita stūra virsotne, tad šādu leņķi var apzīmēt ar burtu, kas atbilst stūra virsotnei (piemēram, ). Dažkārt var redzēt, ka zīmējumos stūri ir apzīmēti ar cipariem (1, 2 utt.), šie stūri ir apzīmēti kā un tā tālāk. Skaidrības labad mēs piedāvājam attēlu, kurā ir parādīti un norādīti stūri.

Jebkurš leņķis sadala plakni divās daļās. Turklāt, ja leņķis nav attīstīts, tad tiek izsaukta viena plaknes daļa iekšējā stūra zona, un otrs ārējā stūra zona. Nākamajā attēlā ir paskaidrots, kura plaknes daļa atbilst stūra iekšpusei un kura daļa - ārpusei.

Jebkuru no divām daļām, kurās saplacināts leņķis sadala plakni, var uzskatīt par saplacinātā leņķa iekšējo reģionu.

Leņķa iekšpuses definīcija noved mūs pie otrās leņķa definīcijas.

Definīcija.

Injekcija- šī ir ģeometriska figūra, ko veido divi nesakrītoši stari ar kopīgu izcelsmi un atbilstošo leņķa iekšējo apgabalu.

Jāatzīmē, ka otrā leņķa definīcija ir stingrāka nekā pirmā, jo tajā ir vairāk nosacījumu. Tomēr nevajadzētu atteikties no pirmās leņķa definīcijas, kā arī nevajadzētu atsevišķi apsvērt pirmo un otro leņķa definīciju. Paskaidrosim šo punktu. Kad mēs runājam par leņķi kā ģeometrisku figūru, tad ar leņķi saprot figūru, kas sastāv no diviem stariem ar kopīgu izcelsmi. Ja rodas nepieciešamība veikt kādas darbības ar šo leņķi (piemēram, izmērīt leņķi), tad ar leņķi jau jāsaprot divi stari ar kopīgu izcelsmi un iekšējo apgabalu (pretējā gadījumā varētu rasties divkārša situācija leņķa iekšējā un ārējā apgabala klātbūtne).

Sniegsim vairāk blakus esošo un vertikālo leņķu definīciju.

Definīcija.

Blakus esošie stūri- tie ir divi leņķi, kuros viena puse ir kopīga, bet pārējie divi veido taisnu leņķi.

No definīcijas izriet, ka blakus esošie leņķi viens otru papildina līdz pat taisnam leņķim.

Definīcija.

Vertikālie leņķi ir divi leņķi, kuros viena leņķa malas ir otra leņķa malu paplašinājumi.

Attēlā parādīti vertikālie leņķi.

Acīmredzot divas krustojošas līnijas veido četrus blakus leņķu pārus un divus vertikālo leņķu pārus.

Leņķu salīdzinājums.

Šajā raksta rindkopā aplūkosim vienādu un nevienādu leņķu definīcijas, kā arī nevienādu leņķu gadījumā skaidrosim, kurš leņķis uzskatāms par lielu un kurš mazāks.

Atgādiniet, ka divas ģeometriskas figūras sauc par vienādām, ja tās var uzklāt.

Ļaujiet mums dot divus leņķus. Sniegsim argumentāciju, kas palīdzēs mums iegūt atbildi uz jautājumu: “Vai šie divi leņķi ir vienādi vai nē”?

Acīmredzot mēs vienmēr varam saskaņot divu stūru virsotnes, kā arī pirmā stūra vienu pusi ar jebkuru no otrā stūra malām. Apvienosim pirmā stūra malu ar šo otrā stūra malu tā, lai stūru atlikušās malas būtu tajā pašā taisnes pusē, uz kuras atrodas stūru apvienotās malas. Tad, ja pārējās divas stūru malas ir izlīdzinātas, tad tiek izsaukti stūri vienāds.

Ja pārējās divas leņķu malas nesakrīt, tad tiek saukti leņķi nevienlīdzīgi, un mazāks leņķis tiek uzskatīts par daļu no cita ( liels ir leņķis, kas pilnībā satur citu leņķi).

Acīmredzot abi taisnie leņķi ir vienādi. Ir arī skaidrs, ka attīstīts leņķis ir lielāks par jebkuru neattīstītu leņķi.

Leņķa mērīšana.

Leņķa mērīšana balstās uz izmērītā leņķa salīdzināšanu ar leņķi, kas ņemts par mērvienību. Leņķu mērīšanas process izskatās šādi: sākot no vienas no izmērītā leņķa malām, tā iekšējo laukumu secīgi piepilda ar atsevišķiem leņķiem, cieši saliekot tos vienu pie otra. Tajā pašā laikā tiek atcerēts sakrauto stūru skaits, kas norāda izmērītā leņķa mēru.

Faktiski jebkuru leņķi var uzskatīt par leņķu mērvienību. Tomēr ir daudzas vispārpieņemtas leņķu mērīšanas vienības, kas saistītas ar dažādām zinātnes un tehnikas jomām, tās ir saņēmušas īpašus nosaukumus.

Viena no leņķu mērīšanas vienībām ir grāds.

Definīcija.

viens grāds ir leņķis, kas vienāds ar simt astoņdesmito daļu no iztaisnotā leņķa.

Pakāpe tiek apzīmēta ar simbolu "", tāpēc viens grāds tiek apzīmēts kā.

Tādējādi attīstītā leņķī vienā grādā varam ievietot 180 leņķus. Tas izskatīsies kā puse apaļa pīrāga, kas sagriezta 180 vienādos gabalos. Ļoti svarīgi: "pīrāga gabaliņi" cieši pieguļ viens otram (tas ir, stūru malas ir izlīdzinātas), pirmā stūra mala ir izlīdzināta ar saplacinātā stūra vienu malu un pēdējā vienības stūra mala. sakrita ar saplacinātā stūra otru pusi.

Mērot leņķus, tiek noskaidrots, cik reižu grāds (vai cita leņķu mērvienība) iekļaujas izmērītajā leņķī, līdz tiek pilnībā nosegts izmērītā leņķa iekšējais laukums. Kā jau redzējām, attīstītā leņķī grāds iederas tieši 180 reizes. Tālāk ir sniegti leņķu piemēri, kuros viena grāda leņķis iederas tieši 30 reizes (šāds leņķis ir sestā daļa no iztaisnotā leņķa) un tieši 90 reizes (puse iztaisnotā leņķa).

Lai izmērītu leņķus, kas mazāki par vienu grādu (vai citu leņķu mērvienību) un gadījumos, kad leņķi nevar izmērīt ar veselu grādu skaitu (ņemtās mērvienības), ir jāizmanto grāda daļas (ņemtās daļas mērvienības). Dažas grāda daļas saņēma īpašus nosaukumus. Visizplatītākās ir tā sauktās minūtes un sekundes.

Definīcija.

Minūte ir viena grāda sešdesmitā daļa.

Definīcija.

Otrkārt ir viena sešdesmitā daļa minūtes.

Citiem vārdiem sakot, minūtē ir sešdesmit sekundes un grādos sešdesmit minūtes (3600 sekundes). Simbolu "" izmanto, lai apzīmētu minūtes, un simbolu "" izmanto, lai apzīmētu sekundes (nejaukt ar atvasinājuma un otrā atvasinājuma zīmēm). Pēc tam ar ieviestajām definīcijām un apzīmējumiem mums ir , un leņķi, kurā iederas 17 grādi 3 minūtes un 59 sekundes, var apzīmēt kā .

Definīcija.

Leņķa pakāpes mērs tiek izsaukts pozitīvs skaitlis, kas parāda, cik reižu grāds un tā daļas iekļaujas dotajā leņķī.

Piemēram, iztaisnotā leņķa pakāpes mērs ir simts astoņdesmit, un leņķa pakāpes mērs ir .

Leņķu mērīšanai ir speciāli mērinstrumenti, no kuriem slavenākais ir transportieris.

Ja ir zināms gan leņķa apzīmējums (piemēram), gan tā pakāpes mērs (atļaujiet 110), izmantojiet īsu formas apzīmējumu un sakiet: "Leņķis AOB ir simts desmit grādi."

No leņķa un leņķa pakāpes mēra definīcijām izriet, ka ģeometrijā leņķa mēru grādos izsaka ar reālu skaitli no intervāla (0, 180] (trigonometrijā leņķi ar patvaļīgu grādu mēru) tiek uzskatīti, tos sauc). Deviņdesmit grādu leņķim ir īpašs nosaukums, to sauc pareizā leņķī. Tiek saukts leņķis, kas mazāks par 90 grādiem akūts leņķis. Tiek saukts leņķis, kas lielāks par deviņdesmit grādiem strups leņķis. Tātad asā leņķa mēru grādos izsaka ar skaitli no intervāla (0, 90), strupā leņķa mēru - ar skaitli no intervāla (90, 180), taisnais leņķis ir vienāds ar deviņdesmit. grādiem. Šeit ir ilustrācijas par akūtu leņķi, strupu leņķi un pareizā leņķī.

No leņķu mērīšanas principa izriet, ka vienādu leņķu pakāpes mēri ir vienādi, lielāka leņķa pakāpes mērs ir lielāks par mazāka un leņķa, kas sastāv no vairākiem leņķiem, pakāpes mērs. ir vienāds ar komponentu leņķu grādu mēru summu. Zemāk esošajā attēlā parādīts leņķis AOB, ko veido leņķi AOC, COD un DOB, savukārt .

Tādējādi blakus esošo leņķu summa ir simts astoņdesmit grādi, jo tie veido taisnu leņķi.

No šī apgalvojuma izriet, ka . Patiešām, ja leņķi AOB un COD ir vertikāli, tad leņķi AOB un BOC atrodas blakus un leņķi COD un BOC arī ir blakus, tāpēc ir spēkā vienādības un, no kurām izriet vienādība.

Kopā ar grādu tiek saukta ērta vienība leņķu mērīšanai radiāns. Radiāna mērs tiek plaši izmantots trigonometrijā. Definēsim radiānu.

Definīcija.

Viens radiāna leņķis-Šo centrālais stūris, kas atbilst loka garumam, kas vienāds ar atbilstošā apļa rādiusa garumu.

Sniegsim viena radiāna leņķa grafisku ilustrāciju. Zīmējumā rādiusa OA garums (kā arī rādiuss OB ) ir vienāds ar loka garumu AB , tāpēc pēc definīcijas leņķis AOB ir vienāds ar vienu radiānu.

Radiānu apzīmēšanai izmanto saīsinājumu "rad". Piemēram, rakstot 5 rad nozīmē 5 radiānus. Tomēr rakstveidā apzīmējums "rad" bieži tiek izlaists. Piemēram, ja ir rakstīts, ka leņķis ir vienāds ar pi, tas nozīmē pi rad.

Atsevišķi jāatzīmē, ka leņķa vērtība, kas izteikta radiānos, nav atkarīga no apļa rādiusa garuma. Tas ir saistīts ar faktu, ka figūras, ko ierobežo noteikts leņķis un riņķa loka, kura centrs ir noteikta leņķa virsotnē, ir līdzīgas viena otrai.

Leņķu mērīšanu radiānos var veikt tāpat kā leņķu mērīšanu grādos: uzziniet, cik reižu viena radiāna leņķis (un tā daļas) iekļaujas dotajā leņķī. Un jūs varat aprēķināt atbilstošā loka garumu centrālais stūris, pēc tam sadaliet to ar rādiusa garumu.

Prakses vajadzībām ir lietderīgi zināt, kā pakāpes un radiāna mēri ir saistīti viens ar otru, jo ir jāveic diezgan liela daļa. Šajā rakstā ir noteikta sakarība starp leņķa grādu un radiāna mēru, kā arī sniegti piemēri grādu pārvēršanai radiānos un otrādi.

Stūru apzīmējums zīmējumā.

Rasējumos ērtības un skaidrības labad stūrus var apzīmēt ar lokiem, kas parasti tiek zīmēti stūra iekšējā reģionā no vienas stūra puses uz otru. Vienādi leņķi atzīmējiet ar tādu pašu loku skaitu, nevienādiem leņķiem - dažāda summa loki. Taisni leņķi zīmējumā ir apzīmēti ar formas simbolu "", kas ir attēlots taisnā leņķa iekšējā apgabalā no vienas stūra puses uz otru.

Ja zīmējumā ir jāatzīmē daudz dažādu leņķu (parasti vairāk nekā trīs), tad, apzīmējot leņķus, papildus parastajiem lokiem ir pieļaujams izmantot arī kāda īpaša veida lokus. Piemēram, varat attēlot robainas lokas vai kaut ko līdzīgu.

Jāņem vērā, ka nevajadzētu aizrauties ar leņķu apzīmējumiem zīmējumos un nepārblīvēt zīmējumus. Iesakām atzīmēt tikai tos leņķus, kas nepieciešami risināšanas vai pierādīšanas procesā.

Bibliogrāfija.

• Atanasjans L.S., Butuzovs V.F., Kadomcevs S.B., Pozņaks E.G., Judina I.I. Ģeometrija. 7. - 9. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.
• Atanasjans L.S., Butuzovs V.F., Kadomcevs S.B., Kiseļeva L.S., Pozņaka E.G. Ģeometrija. Mācību grāmata vidusskolas 10-11 klasēm.
• Pogorelovs A.V., Ģeometrija. Mācību grāmata izglītības iestāžu 7.-11.klasei.

Sāksim, definējot, kas ir leņķis. Pirmkārt, tas ir Otrkārt, to veido divi stari, kurus sauc par leņķa malām. Treškārt, pēdējie nāk no viena punkta, ko sauc par stūra virsotni. Pamatojoties uz šīm zīmēm, mēs varam veikt definīciju: leņķis ir ģeometriska figūra, kas sastāv no diviem stariem (malām), kas iziet no viena punkta (virsotnes).

Tos klasificē pēc grādiem, pēc atrašanās vietas attiecībā pret otru un attiecībā pret apli. Sāksim ar leņķu veidiem pēc to lieluma.

Ir vairākas to šķirnes. Apskatīsim katru veidu tuvāk.

Ir tikai četri galvenie leņķu veidi - taisnais, strupais, asais un attīstītais leņķis.

Taisni

Tas izskatās šādi:

Tā grādu mērs vienmēr ir 90 o, citiem vārdiem sakot, taisns leņķis ir 90 grādu leņķis. Tie ir tikai tādiem četrstūriem kā kvadrāts un taisnstūris.

Strups

Tas izskatās šādi:

Pakāpju mērs vienmēr ir lielāks par 90 grādiem, bet mazāks par 180 grādiem. Tas var rasties tādos četrstūros kā rombs, patvaļīgs paralelograms, daudzstūros.

Pikants

Tas izskatās šādi:

Akūtā leņķa pakāpes mērs vienmēr ir mazāks par 90°. Tas notiek visos četrstūrī, izņemot kvadrātu un patvaļīgu paralelogramu.

izvietoti

Paplašinātais leņķis izskatās šādi:

Tas nenotiek daudzstūros, bet tas ir ne mazāk svarīgs kā visi pārējie. Taisns leņķis ir ģeometriska figūra, kuras pakāpes mērs vienmēr ir 180º. Jūs varat to izmantot, velkot vienu vai vairākus starus no tā virsotnes jebkurā virzienā.

Ir vairāki citi sekundārie leņķu veidi. Skolās tos nemācās, bet jāzina vismaz par to esamību. Ir tikai pieci sekundārie leņķu veidi:

1. Nulle

Tas izskatās šādi:

Pats leņķa nosaukums jau runā par tā lielumu. Tās iekšējais laukums ir 0 o, un malas atrodas viena virs otras, kā parādīts attēlā.

2. Slīpi

Slīpi var būt taisni un strupi, un akūti un attīstīts leņķis. Tās galvenais nosacījums ir tāds, ka tas nedrīkst būt vienāds ar 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Izliekts

Izliektie ir nulle, labie, strupi, akūti un attīstīti leņķi. Kā jūs jau sapratāt, izliekta leņķa pakāpes mērs ir no 0 o līdz 180 o.

4. Neizliekts

Neizliekti ir leņķi ar grādu mēru no 181 o līdz 359 o ieskaitot.

5. Pilns

Pilns leņķis ir 360 grādi.

Tie ir visu veidu leņķi atbilstoši to izmēram. Tagad apsveriet to veidus pēc atrašanās vietas lidmašīnā attiecībā pret otru.

1. Papildu

Tie ir divi asi leņķi, kas veido vienu taisnu līniju, t.i. to summa ir 90 o.

2. Saistītie

Blakus esošie leņķi veidojas, ja stars tiek novilkts jebkurā virzienā caur izvērstu, precīzāk, caur tā augšdaļu. To summa ir 180 o.

3. Vertikāli

Vertikālie leņķi veidojas, kad krustojas divas līnijas. Viņu grādu mēri ir vienādi.

Tagad pāriesim pie leņķu veidiem, kas atrodas attiecībā pret apli. No tiem ir tikai divi: centrālais un ierakstītais.

1. Centrālā

Centrālais leņķis ir leņķis, kura virsotne atrodas apļa centrā. Tās pakāpes mērs ir vienāds ar mazākā loka pakāpes mēru, ko noliek malas.

2. Ierakstīts

Ierakstīts leņķis ir tāds, kura virsotne atrodas uz apļa un kura malas to krusto. Tās pakāpes mērs ir vienāds ar pusi no loka, uz kura tas balstās.

Tas viss ir par stūriem. Tagad jūs zināt, ka papildus slavenākajiem - asajiem, stulbajiem, taisnajiem un izvietotajiem - ģeometrijā ir arī daudzi citi to veidi.

Leņķis ir galvenā ģeometriskā figūra, kuru mēs analizēsim visā tēmā. Leņķa definīcijas, iestatīšanas metodes, apzīmējumi un mērīšana. Analizēsim stūru atlases principus zīmējumos. Visa teorija ir ilustrēta un ir liels skaits vizuālie zīmējumi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definīcija

Injekcija- vienkārša svarīga figūra ģeometrijā. Leņķis ir tieši atkarīgs no stara definīcijas, kas savukārt sastāv no punkta, taisnes un plaknes pamatjēdzieniem. Lai veiktu rūpīgu pētījumu, jums jāiedziļinās tēmās taisna līnija plaknē - nepieciešamā informācija un lidmašīna - nepieciešamā informācija.

Leņķa jēdziens sākas ar jēdzieniem punkts, plakne un taisne, kas attēlota šajā plaknē.

2. definīcija

Dota līnija a plaknē. Apzīmē kādu punktu O uz tā. Līnija ir sadalīta ar punktu divās daļās, no kurām katrai ir nosaukums Rejs, un punkts O ir staru palaišana.

Citiem vārdiem sakot, sija vai puslīnija - tā ir līnijas daļa, kas sastāv no noteiktas līnijas punktiem, kas atrodas tajā pašā pusē no sākuma punkta, tas ir, punkta O.

Sijas apzīmējums ir atļauts divos variantos: viens mazais vai divi latīņu alfabēta lielie burti. Apzīmējot ar diviem burtiem, staram ir nosaukums, kas sastāv no diviem burtiem. Apskatīsim zīmējumu tuvāk.

Pāriesim pie leņķa noteikšanas jēdziena.

3. definīcija

Injekcija- šī ir figūra, kas atrodas noteiktā plaknē, ko veido divi nesakrītoši stari, kuriem ir kopīga izcelsme. sānu stūris ir sija virsotne- partiju kopīgais sākums.

Pastāv gadījums, ka leņķa malas var darboties kā taisna līnija.

4. definīcija

Ja leņķa abas malas atrodas uz vienas taisnes vai tā malas kalpo kā vienas taisnes papildu puslīnijas, tad šādu leņķi sauc izvietoti.

Zemāk redzamajā attēlā parādīts saplacināts stūris.

Punkts uz taisnas līnijas ir leņķa virsotne. Visbiežāk to apzīmē ar punktu O.

Leņķi matemātikā apzīmē ar zīmi "∠". Ja leņķa malas apzīmē ar mazo latīņu valodu, tad pareizai leņķa definīcijai burtus raksta rindā attiecīgi atbilstoši malām. Ja divas malas ir apzīmētas ar k un h, tad leņķi apzīmē kā ∠ k h vai ∠ h k .

Ja ir apzīmējums ar lielajiem burtiem, tad attiecīgi stūra malām ir nosaukumi O A un O B. Šajā gadījumā leņķim ir trīs latīņu alfabēta burtu nosaukums, kas rakstīts pēc kārtas, centrā ar virsotni - ∠ A O B un ∠ B O A . Ir apzīmējums ciparu formā, kad stūros nav nosaukumu vai burtu. Zemāk ir bilde, kur Dažādi ceļi stūri ir atzīmēti.

Leņķis sadala plakni divās daļās. Ja leņķis nav izstrādāts, tad vienai plaknes daļai ir nosaukums iekšējā stūra zona, otrs - ārējā stūra zona. Zemāk ir attēls, kurā paskaidrots, kuras plaknes daļas ir ārējās un kuras ir iekšējās.

Ja plaknē dala ar taisnu leņķi, jebkura tā daļa tiek uzskatīta par taisnā leņķa iekšpusi.

Stūra iekšējais laukums ir elements, kas kalpo otrajai stūra definīcijai.

5. definīcija

stūris tiek saukta ģeometriskā figūra, kas sastāv no diviem nesakrītošiem stariem, kuriem ir kopīga izcelsme un atbilstošs leņķa iekšējais laukums.

Šī definīcija ir stingrāka nekā iepriekšējā, jo tai ir vairāk nosacījumu. Abas definīcijas nav vēlams aplūkot atsevišķi, jo leņķis ir ģeometriska figūra, kas pārveidota, izmantojot divus starus, kas iziet no viena punkta. Ja ir nepieciešams veikt darbības ar leņķi, tad definīcija nozīmē divu staru klātbūtni ar kopīgu izcelsmi un iekšējo reģionu.

6. definīcija

Abi stūri tiek saukti saistīti, ja ir kopīga puse, un pārējās divas ir viena otru papildinošas puslīnijas vai veido taisnu leņķi.

Attēlā redzams, ka blakus esošie stūri viens otru papildina, jo ir viens otra turpinājums.

7. definīcija

Abi stūri tiek saukti vertikāli, ja vienas malas ir otras komplementāras puslīnijas vai ir otras malu paplašinājumi. Zemāk esošajā attēlā parādīts vertikālo stūru attēls.

Šķērsojot līnijas, tiek iegūti 4 pāri blakus esošu un 2 pāri vertikālo leņķu. Zemāk ir parādīts attēlā.

Rakstā parādītas vienādu un nevienādu leņķu definīcijas. Mēs analizēsim, kurš leņķis tiek uzskatīts par lielu, kurš ir mazāks un citas leņķa īpašības. Divus skaitļus uzskata par vienādiem, ja tie pilnībā sakrīt. Tas pats īpašums attiecas uz leņķu salīdzināšanu.

Doti divi leņķi. Jāsecina, vai šie leņķi ir vienādi vai nē.

Ir zināms, ka divu stūru virsotnes un pirmā stūra mala pārklājas ar jebkuru citu otrā stūra malu. Tas ir, pilnīgas sakritības gadījumā, kad leņķi ir uzlikti, doto leņķu malas pilnībā sakritīs, leņķi vienāds.

Var gadīties, ka uzliekot malas nedrīkst apvienot, tad stūrus nevienlīdzīga, mazāka no kuriem sastāv no cita, un vairāk ietver pilnīgi citu leņķi. Tālāk ir norādīti nevienlīdzīgi leņķi, kas nav izlīdzināti, kad tie ir uzlikti.

Izstrādātie leņķi ir vienādi.

Leņķu mērīšana sākas ar izmērītā leņķa malas un tā iekšējā apgabala mērīšanu, kuru aizpildot ar vienību leņķiem, tie tiek piemēroti viens otram. Ir nepieciešams saskaitīt sakrauto stūru skaitu, tie iepriekš nosaka izmērītā leņķa mēru.

Leņķa vienību var izteikt jebkurā izmērāmā leņķī. Zinātnē un tehnoloģijā tiek izmantotas vispārpieņemtas mērvienības. Viņi specializējas citos nosaukumos.

Visbiežāk izmantotais jēdziens grāds.

8. definīcija

viens grāds sauc par leņķi, kuram ir simt astoņdesmitā daļa no iztaisnotā leņķa.

Grāda standarta apzīmējums ir "°", tad viens grāds ir 1°. Tāpēc taisnais leņķis sastāv no 180 šādiem leņķiem, kas sastāv no viena grāda. Visi pieejamie stūri ir cieši sakrauti viens ar otru, un iepriekšējā malas ir izlīdzinātas ar nākamo.

Ir zināms, ka grādu skaits leņķī ir tas pats leņķa mērs. Izstrādātajā stūrī tā sastāvā ir 180 sakrauti stūri. Zemāk esošajā attēlā ir parādīti piemēri, kur leņķis ir novietots 30 reizes, tas ir, viena sestā daļa no izvērstā, un 90 reizes, tas ir, puse.

Lai precīzi noteiktu leņķa mērījumus, tiek izmantotas minūtes un sekundes. Tos izmanto, ja leņķa vērtība nav vesela skaitļa pakāpes apzīmējums. Šādas grāda daļas ļauj veikt precīzākus aprēķinus.

9. definīcija

minūte sauc par vienu sešdesmito grādu.

10. definīcija

otrais sauca vienu sešdesmito daļu minūtes.

Grāds satur 3600 sekundes. Minūtes apzīmē """ un sekundes """. Apzīmējums notiek:

1°=60"=3600", 1"=(160)°, 1"=60", 1""=(160)"=(13600)°,

un leņķa 17 grādi 3 minūtes un 59 sekundes apzīmējums ir 17° 3 "59"".

11. definīcija

Sniegsim piemēru leņķa pakāpes mēra apzīmējumam, kas vienāds ar 17 ° 3 "59" ". Ierakstam ir cita forma 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Lai precīzi izmērītu leņķus, izmantojiet šo mērierīce kā transportieri. Apzīmējot leņķi ∠ A O B un tā pakāpes mēru 110 grādi, tiek izmantots ērtāks apzīmējums ∠ A O B \u003d 110 °, kas skan "Leņķis A O B ir vienāds ar 110 grādiem".

Ģeometrijā izmanto leņķa mēru no intervāla (0 , 180 ], bet trigonometrijā par patvaļīgu grādu mēru sauc pagrieziena leņķi. Leņķu vērtību vienmēr izsaka kā reālu skaitli. Pareizā leņķī ir leņķis, kuram ir 90 grādi. Ass stūris ir leņķis, kas ir mazāks par 90 grādiem, un neass- vairāk.

Akūto leņķi mēra intervālā (0, 90) , bet strupo leņķi - (90, 180) . Tālāk ir skaidri parādīti trīs leņķu veidi.

Jebkurš jebkura leņķa pakāpes mērs ir vienāds. Attiecīgi lielākam leņķim ir lielāks grādu mērs nekā mazākam. Viena leņķa grādu mērs ir visu pieejamo iekšējo leņķu grādu mēru summa. Zemāk redzamajā attēlā redzams leņķis AOB, kas sastāv no leņķiem AOC, COD un DOB. Detalizēti tas izskatās šādi: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Pamatojoties uz to, var secināt, ka summa visi blakus esošie leņķi ir 180 grādi jo tie visi veido paplašinātu leņķi.

No tā izriet, ka jebkura vertikālie leņķi ir vienādi. Ja to aplūkojam ar piemēru, iegūstam, ka leņķis A O B un C O D ir vertikāli (zīmējumā), tad leņķu pārus A O B un B O C, C O D un B O C uzskata par blakus. Šādā gadījumā vienādība ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° kopā ar ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° tiek uzskatīta par vienreizēji patiesu. Tādējādi mēs iegūstam, ka ∠ A O B = ∠ C O D . Tālāk ir sniegts vertikālo nozveju attēla un apzīmējuma piemērs.

Papildus grādiem, minūtēm un sekundēm tiek izmantota cita mērvienība. Tas tiek saukts radiāns. Visbiežāk to var atrast trigonometrijā, apzīmējot daudzstūru leņķus. Ko sauc par radiānu.

12. definīcija

Viens radiāna leņķis sauc par centrālo leņķi, kura apļa rādiuss ir vienāds ar loka garumu.

Attēlā radiāns ir attēlots kā aplis, kur atrodas centrs, ko norāda punkts, ar diviem riņķa punktiem savienoti un pārvērsti rādiusos O A un O B. Pēc definīcijas šis trīsstūris A O B ir vienādmalu, kas nozīmē ka loka A B garums ir vienāds ar rādiusu O B un Oh A garumiem.

Leņķa apzīmējums tiek pieņemts kā "rad". Tas nozīmē, ka ieraksts 5 radiānos tiek saīsināts kā 5 rad. Dažreiz jūs varat atrast apzīmējumu, kam ir nosaukums pi. Radiāni nav atkarīgi no dotā apļa garuma, jo figūrām ir kaut kāds ierobežojums ar leņķa palīdzību un tā loka ar centru, kas atrodas noteiktā leņķa virsotnē. Tie tiek uzskatīti par līdzīgiem.

Radiāniem ir tāda pati nozīme kā grādiem, tikai atšķirība ir to lielumā. Lai to noteiktu, aprēķinātais centrālā leņķa loka garums ir jāsadala ar tā rādiusa garumu.

Praksē viņi izmanto pārvērst grādus radiānos un radiānus grādos vieglākai problēmu risināšanai. Norādītajā rakstā ir informācija par saikni starp pakāpes mēru un radiānu, kur var detalizēti izpētīt tulkojumus no pakāpes uz radiānu un otrādi.

Vizuālam un ērtam loku attēlojumam tiek izmantoti leņķi, zīmējumi. Ne vienmēr ir iespējams pareizi attēlot un atzīmēt konkrētu leņķi, loku vai nosaukumu. Vienādiem leņķiem ir apzīmējums vienāda loku skaita veidā, bet nevienādiem - dažādu loku veidā. Zīmējums parāda pareizo asu, vienādu un nevienlīdzīgu leņķu apzīmējumu.

Ja ir jāiezīmē vairāk nekā 3 stūri, tiek izmantoti īpaši loka apzīmējumi, piemēram, viļņaini vai robaini. Tam nav tik lielas nozīmes. Zemāk redzamajā attēlā parādīts to apzīmējums.

Leņķu apzīmējumam jābūt vienkāršam, lai netraucētu citām vērtībām. Risinot uzdevumu, ieteicams izvēlēties tikai risināšanai nepieciešamos stūrus, lai nepārblīvētu visu zīmējumu. Tas netraucēs risinājumam un pierādīšanai, kā arī piešķirs zīmējumam estētisku izskatu.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter