Կան մի քանի տեսակներ իռացիոնալություն կոտորակներըհայտարարի մեջ։ Այն կապված է դրանում նույն կամ տարբեր աստիճանի հանրահաշվական արմատի առկայության հետ։ Ազատվելու համար իռացիոնալություն, անհրաժեշտ է կատարել որոշակի մաթեմատիկական գործողություններ՝ կախված իրավիճակից։

Հրահանգներ

1. Նախքան ազատվելը իռացիոնալություն կոտորակներըհայտարարի մեջ դուք պետք է որոշեք դրա տեսակը և կախված դրանից՝ շարունակեք լուծումը։ Իրոք, ցանկացած իռացիոնալություն բխում է արմատների պարզ առկայությունից:

2. Հայտարարի քառակուսի արմատ, a/?b ձևի արտահայտություն Մուտքագրեք բ-ին հավասար հավելյալ գործակից: Որպեսզի կոտորակը չփոխվի, անհրաժեշտ է բազմապատկել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը՝ a/?b ? (a ?b)/b.Օրինակ 1: 10/?3 ? (10?3)/3.

3. Ներկայությունը գծի տակ կոտորակները m/n ձևի կոտորակային հզորության արմատ, և n>mԱյս արտահայտությունն ունի հետևյալ տեսքը՝ a/?(b^m/n):

4. Ազատվել նմանատիպից իռացիոնալություննաև բազմապատկիչ մուտքագրելով, այս անգամ ավելի դժվար՝ b^(n-m)/n, այ. բուն արմատի արտահայտիչից անհրաժեշտ է հանել արտահայտության աստիճանը նրա նշանի տակ։ Այդ դեպքում հայտարարում կմնա միայն առաջին հզորությունը՝ a/(b^m/n) ? a ?(b^(n-m)/n)/b Օրինակ 2: 5/(4^3/5) ? 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4.

5. Քառակուսի արմատների գումարը Բազմապատկեք երկու բաղադրիչները կոտորակներընմանատիպ տարբերությամբ։ Այնուհետև արմատների իռացիոնալ գումարումից հայտարարը փոխակերպվում է արմատական ​​նշանի տակ արտահայտությունների/թվերի տարբերության՝ a/(?b + ?c) ? a (?b – ?c)/(b – c).Օրինակ 3՝ 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13 – ?23)/(13 – 23) = 9 (?23 – ?13)/10:

6. Խորանարդային արմատների գումարը/տարբերությունը որպես լրացուցիչ գործոն Ընտրեք տարբերության թերի քառակուսին, եթե հայտարարը պարունակում է գումար, և, համապատասխանաբար, գումարի թերի քառակուսին արմատների տարբերության համար՝ a/(?b ± ?c) ? a (?b? ?(b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ?(b c) + ?c?) ?a (?b? ? ?(b c) + ? c?)/(b ± c).Օրինակ 4. 7/(?5 + ?4) ? 7 (?25-?20 +?16)/9.

7. Եթե ​​խնդիրը պարունակում է և՛ քառակուսի, և՛ խորանարդ արմատ, ապա լուծումը բաժանե՛ք երկու փուլի. աստիճանաբար ստացե՛ք քառակուսի արմատը հայտարարից, իսկ հետո՝ խորանարդ արմատը։ Դա արվում է ձեզ արդեն հայտնի մեթոդներով՝ առաջին գործողության մեջ պետք է ընտրել արմատների տարբերության/գումարի բազմապատկիչը, երկրորդում՝ գումարի/տարբերության թերի քառակուսին։

Հուշում 2. Ինչպե՞ս ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից

Կոտորակային թվի ճիշտ նշումը չի պարունակում իռացիոնալությունՎ հայտարար. Նման նշումը ավելի հեշտ է հասկանալ արտաքին տեսքով, հետևաբար, երբ իռացիոնալությունՎ հայտարարԴրանից ազատվելը խելացի է: Այս դեպքում իռացիոնալությունը կարող է համարիչ դառնալ։

Հրահանգներ

1. Սկսենք, եկեք դիտենք պարզունակ օրինակ՝ 1/sqrt(2): 2-ի քառակուսի արմատը իռացիոնալ թիվ է հայտարար.Այս դեպքում պետք է կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել նրա հայտարարով: Սա կապահովի ողջամիտ թիվ հայտարար. Իրոք, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2: 2 նույնական քառակուսի արմատները միմյանցով բազմապատկելու դեպքում կստացվի այն, ինչ կա բոլոր արմատների տակ. այս դեպքում՝ երկու (2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Այս ալգորիթմը հարմար է նաև կոտորակների համար, in հայտարարորի արմատը բազմապատկվում է ողջամիտ թվով։ Այս դեպքում համարիչը և հայտարարը պետք է բազմապատկվեն այնտեղ գտնվող արմատով հայտարար.Օրինակ՝ 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

2. Իհարկե, նման բան պետք է արվի, եթե հայտարարԳտնվում է ոչ թե քառակուսի արմատը, այլ, ասենք, խորանարդ արմատը կամ որևէ այլ աստիճան։ Արմատ ներս հայտարարանհրաժեշտ է բազմապատկել ճիշտ նույն արմատով, իսկ համարիչը նույնպես բազմապատկվում է նույն արմատով։ Այնուհետև արմատը կմտնի համարիչի մեջ:

3. Ավելի բարդ դեպքում հայտարարկա իռացիոնալ և ողջամիտ թվի գումար կամ տարբերություն կամ 2 իռացիոնալ թվերի գումարի (տարբերության) դեպքում 2 քառակուսի արմատների կամ քառակուսի արմատի և ողջամիտ թվի դեպքում կարելի է օգտագործել հայտնի բանաձևը (x+y. )(x-y) = (x^2)-(y^2): Դա կօգնի ձեզ ազատվել իռացիոնալությունՎ հայտարար. Եթե ​​ներս հայտարարտարբերությունը, ապա պետք է համարիչը և հայտարարը բազմապատկել նույն թվերի գումարով, եթե գումարը` ապա տարբերությամբ: Այս բազմապատկված գումարը կամ տարբերությունը կկոչվեն զուգորդված արտահայտության մեջ հայտարար.Այս սխեմայի արդյունքը հստակ տեսանելի է օրինակում՝ 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

4. Եթե ​​ներս հայտարարկա մի գումար (տարբերություն), որում առկա է ավելի մեծ աստիճանի արմատ, այնուհետև իրավիճակը դառնում է ոչ տրիվիալ և ազատագրվում. իռացիոնալությունՎ հայտարարանփոփոխ ընդունելի չէ

Խորհուրդ 3. Ինչպե՞ս ազատվել իռացիոնալությունից կոտորակի հայտարարում

Կոտորակը բաղկացած է համարիչից, որը գտնվում է տողի վերևում, և հայտարարից, որը բաժանում է, որը գտնվում է ներքևում: Իռացիոնալ թիվն այն թիվն է, որը չի կարող ներկայացվել ձևով կոտորակներըամբողջ թվով համարիչի մեջ և բնական թվով հայտարար. Այդպիսի թվերն են, ասենք, 2-ի կամ pi-ի քառակուսի արմատը։ Ավանդաբար, երբ խոսում են իռացիոնալության մասին հայտարար, արմատը ենթադրվում է.

Հրահանգներ

1. Վերացրեք իռացիոնալությունը՝ բազմապատկելով հայտարարով: Այսպես իռացիոնալությունը կտեղափոխվի համարիչին։ Համարը և հայտարարը նույն թվով բազմապատկելիս արժեքը կոտորակներըչի փոխվում. Օգտագործեք այս տարբերակը, եթե յուրաքանչյուր հայտարար արմատ է:

2. Բազմապատկեք համարիչն ու հայտարարը հայտարարով անհրաժեշտ քանակությամբ անգամ՝ կախված արմատից: Եթե ​​արմատը քառակուսի է, ապա մեկ անգամ:

3. Դիտարկենք քառակուսի արմատի օրինակը: Վերցրեք (56-y)/√(x+2) կոտորակը: Այն ունի համարիչ (56-y) և իռացիոնալ հայտարար √(x+2), որը քառակուսի արմատն է։

4. Բազմապատկեք համարիչը և հայտարարը կոտորակներըհայտարարին, այսինքն՝ √(x+2): Սկզբնական օրինակը (56-y)/√(x+2) կդառնա ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)): Արդյունքը կլինի ((56-y)*√(x+2))/(x+2): Այժմ արմատը համարիչի մեջ է, իսկ մեջ հայտարարիռացիոնալություն չկա.

5. Ոչ անփոփոխ հայտարարը կոտորակներըամեն մեկն արմատի տակ է: Ազատվեք իռացիոնալությունից՝ օգտագործելով (x+y)*(x-y)=x²-y² բանաձևը։

6. Դիտարկենք օրինակը (56-y)/(√(x+2)-√y կոտորակի հետ: Նրա իռացիոնալ հայտարարը պարունակում է 2 քառակուսի արմատների տարբերություն։ Լրացրո՛ւ հայտարարը (x+y)*(x-y):

7. Բազմապատկել հայտարարը արմատների գումարով: Արժեքը ստանալու համար համարիչը նույնով բազմապատկեք կոտորակներըչի փոխվել. Կոտորակը կունենա ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) )

8. Օգտվե՛ք վերը նշված հատկությունից (x+y)*(x-y)=x²-y² և ազատե՛ք հայտարարը իռացիոնալությունից։ Արդյունքը կլինի ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y): Հիմա արմատը համարիչի մեջ է, իսկ հայտարարն ազատվել է իռացիոնալությունից։

9. Դժվար դեպքերում կրկնեք այս երկու տարբերակները՝ օգտագործելով անհրաժեշտության դեպքում: Նկատի ունեցեք, որ միշտ չէ, որ հնարավոր է ձերբազատվել իռացիոնալությունից հայտարար .

Հանրահաշվական կոտորակը A/B ձևի արտահայտությունն է, որտեղ A և B տառերը նշանակում են ցանկացած թվային կամ տառային արտահայտություն: Հաճախ հանրահաշվական կոտորակներում համարիչն ու հայտարարը զանգվածային ձև են ունենում, բայց նման կոտորակների հետ գործողությունները պետք է կատարվեն նույն կանոններով, ինչ սովորականների հետ գործողությունները, որտեղ համարիչն ու հայտարարը դրական ամբողջ թվեր են:

Հրահանգներ

1. Եթե ​​տրվում է խառը կոտորակները, դարձրեք դրանք անկանոն կոտորակների (կոտորակ, որի համարիչը մեծ է հայտարարից) հայտարարը բազմապատկեք ամբողջ մասով և ավելացրեք համարիչը։ Այսպիսով, 2 1/3 թիվը կվերածվի 7/3-ի: Դա անելու համար 3-ը բազմապատկեք 2-ով և ավելացրեք մեկը:

2. Եթե ​​ձեզ անհրաժեշտ է տասնորդական թիվը վերածել ոչ պատշաճ կոտորակի, մտածեք, որ այն առանց տասնորդական կետի թիվը բաժանում է մեկի՝ այնքան զրոներով, որքան թվեր կան տասնորդական կետից հետո: Ասենք, պատկերացրեք 2.5 թիվը 25/10 (եթե կրճատեք, կստանաք 5/2), իսկ 3.61 թիվը՝ 361/100։ Անպատշաճ կոտորակների հետ աշխատելը հաճախ ավելի հեշտ է, քան խառը կամ տասնորդական կոտորակները:

3. Եթե ​​կոտորակները ունեն նույնական հայտարարներ, և դուք պետք է դրանք գումարեք, ապա պարզապես ավելացրեք համարիչները. հայտարարները մնում են անփոփոխ։

4. Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է նույնական հայտարար ունեցող կոտորակները հանել, ապա հանեք 2-րդ կոտորակի համարիչը առաջին կոտորակի համարիչից: Հայտարարները նույնպես չեն փոխվում։

5. Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է կոտորակներ ավելացնել կամ մեկ կոտորակը մյուսից հանել, և դրանք ունեն տարբեր հայտարարներ, ապա կոտորակները կրճատեք ընդհանուր հայտարարի: Դա անելու համար գտեք մի թիվ, որը կլինի երկու հայտարարների ամենափոքր համընդհանուր բազմապատիկը (LCM) կամ մի քանիսը, եթե կոտորակները 2-ից մեծ են: LCM-ն այն թիվն է, որը կբաժանվի բոլոր տրված կոտորակների հայտարարների: Օրինակ, 2-ի և 5-ի համար այս թիվը 10 է:

6. Հավասարության նշանից հետո հորիզոնական գիծ գծեք և հայտարարի մեջ գրեք այս թիվը (NOC): Ամբողջ տերմինին ավելացրեք լրացուցիչ գործոններ՝ այն թիվը, որով պետք է բազմապատկել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը, որպեսզի ստանաք LCM: Քայլ առ քայլ բազմապատկեք համարիչները լրացուցիչ գործոններով՝ պահպանելով գումարման կամ հանման նշանը։

7. Հաշվեք ընդհանուր գումարը, անհրաժեշտության դեպքում կրճատեք այն կամ ընտրեք ամբողջ մասը: Օրինակ, անհրաժեշտ է այն ծալել: Իսկ?. Երկու կոտորակների համար էլ LCM-ն 12 է։ Այնուհետև առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 4 է, 2-րդ կոտորակի համար՝ 3։ Ընդհանուր՝ ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12։

8. Եթե ​​օրինակ բերվի բազմապատկման համար, ապա բազմապատկեք համարիչները (սա կլինի ընդհանուրի համարիչը) և հայտարարները (սա կլինի ընդհանուրի հայտարարը): Այս դեպքում կարիք չկա դրանք հասցնել ընդհանուր հայտարարի։

9. Կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու համար պետք է երկրորդ կոտորակը գլխիվայր շրջել և բազմապատկել կոտորակները: Այսինքն, a/b: c/d = a/b · d/c:

10. Անհրաժեշտության դեպքում գործակցեք համարիչը և հայտարարը: Օրինակ, համընդհանուր գործոնը տեղափոխեք փակագծից կամ ընդլայնեք այն ըստ կրճատված բազմապատկման բանաձևերի, որպեսզի դրանից հետո անհրաժեշտության դեպքում կարողանաք կրճատել համարիչն ու հայտարարը GCD-ով՝ նվազագույն ունիվերսալ բաժանարարով:

Նշում!
Թվերն ավելացրեք թվերով, նույն տեսակի տառերը՝ նույն տեսակի տառերով: Ենթադրենք, հնարավոր չէ գումարել 3a և 4b, ինչը նշանակում է, որ դրանց գումարը կամ տարբերությունը կմնա համարիչում՝ 3a±4b։

Առօրյա կյանքում կեղծ թվերն ավելի տարածված են՝ 1, 2, 3, 4 և այլն։ (5 կգ կարտոֆիլ) և կոտորակային, ոչ ամբողջ թվով (5,4 կգ սոխ): Դրանցից շատերը ներկայացված են ձեւըտասնորդական կոտորակներ. Բայց ներկայացրու տասնորդական կոտորակը ձեւը կոտորակներըբավականին հեշտ.

Հրահանգներ

1. Ենթադրենք տրված է «0.12» թիվը։ Եթե ​​այս տասնորդական կոտորակը չկրճատեք և չներկայացնեք այնպես, ինչպես կա, ապա այն կունենա հետևյալ տեսքը՝ 12/100 («տասներկու հարյուրերորդական»): Հայտարարի հարյուրից ազատվելու համար պետք է և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բաժանել մի թվի, որը դրանք բաժանում է ամբողջ թվերի։ Այս թիվը 4 է։Այնուհետև, բաժանելով համարիչն ու հայտարարը, ստանում ենք թիվը՝ 3/25։

2. Եթե ​​մենք ավելի շատ նայենք առօրյա կյանքին, ապա մենք հաճախ կարող ենք տեսնել ապրանքների գնի վրա, որ դրա քաշը, օրինակ, 0,478 կգ կամ այլն, նույնպես հեշտ է պատկերացնել ձեւը կոտորակները:478/1000 = 239/500։ Այս կոտորակը բավականին տգեղ է, և եթե հավանականություն լիներ, ապա այս տասնորդական կոտորակը կթույլատրվեր ավելի փոքրացնել: Եվ բոլորը նույն կերպ՝ ընտրելով թիվ, որը բաժանում է և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը: Այս թիվը կոչվում է ամենամեծ ունիվերսալ գործոն: Գործոնը կոչվում է «ամենամեծ», քանի որ շատ ավելի հարմար է և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը անմիջապես բաժանել 4-ի (ինչպես առաջին օրինակում), քան երկու անգամ բաժանել 2-ի:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Տասնորդական մաս- բազմազանություն կոտորակները, որը հայտարարում ունի «կլոր» թիվ՝ 10, 100, 1000 և այլն, ասա. մաս 5/10-ն ունի 0,5 տասնորդական նշում: Այս թեզի հիման վրա՝ մասկարող է ներկայացվել որպես տասնորդական կոտորակները .

Հրահանգներ

1. Հնարավոր է, անհրաժեշտ է ներկայացնել որպես տասնորդական մաս 18/25 Նախ, դուք պետք է համոզվեք, որ «կլոր» թվերից մեկը հայտնվի հայտարարի մեջ՝ 100, 1000 և այլն: Դա անելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել հայտարարը 4-ով, սակայն պետք է բազմապատկել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը 4-ով:

2. Բազմապատկելով համարիչը և հայտարարը կոտորակները 18/25 4-ով, ստացվում է 72/100: Սա արձանագրված է մաստասնորդական ձևով՝ 0,72:

2 տասնորդական կոտորակներ բաժանելիս, երբ ձեռքի տակ չկա հաշվիչ, շատերը որոշակի դժվարություններ են ունենում։ Այստեղ իսկապես դժվար բան չկա: Տասնորդական կոտորակներըԱյսպիսին են կոչվում, եթե դրանց հայտարարն ունի 10-ի բազմապատիկ թիվ: Այդ թվերը, ինչպես միշտ, գրվում են մեկ տողի վրա և ունեն կոտորակային մասը ամբողջից բաժանող ստորակետ: Ըստ երևույթին, կոտորակային մասի առկայության պատճառով, որը նույնպես տարբերվում է տասնորդական կետից հետո թվանշանների քանակով, շատերի համար պարզ չէ, թե ինչպես կարելի է մաթեմատիկական գործողություններ կատարել այդպիսի թվերով առանց հաշվիչի։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• թուղթ, մատիտ

Հրահանգներ

1. Ստացվում է, որ մի տասնորդական կոտորակը մյուսի վրա բաժանելու համար պետք է նայել երկու թվերին և որոշել, թե տասնորդական կետից հետո դրանցից որն է ավելի շատ թվանշան։ Մենք երկու թվերն էլ բազմապատկում ենք 10-ի բազմապատիկ թվով, այսինքն. 10, 1000 կամ 100000, զրոների թիվը, որոնցում հավասար է մեր 2 սկզբնական թվերից մեկի տասնորդական կետից հետո թվանշանների ավելի մեծ թվին: Այժմ երկուսն էլ տասնորդական են կոտորակներըվերածվել է սովորական ամբողջ թվերի: Վերցրեք մի թերթիկ մատիտով և ստացված երկու թվերը «անկյունով» առանձնացրեք։ Մենք ստանում ենք արդյունքը.

2. Ենթադրենք, որ 7.456 թիվը պետք է բաժանենք 0.43-ի։ Առաջին թիվը ունի ավելի շատ տասնորդական նիշ (3 տասնորդական), հետևաբար երկու թվերն էլ բազմապատկում ենք ոչ թե 1000-ով և ստանում ենք երկու պարզունակ ամբողջ թիվ՝ 7456 և 430: Այժմ «անկյունով» 7456-ը բաժանում ենք 430-ի և ստանում ենք, որ եթե 7.456-ը բաժանվի: 0.43-ով դուրս կգա մոտավորապես 17.3:

3. Կա մեկ այլ բաժանման մեթոդ. Տասնորդական թվեր գրելը կոտորակներըհամարիչով և հայտարարով պարզունակ կոտորակների տեսքով, մեր դեպքում դրանք 7456/1000 և 43/100 են: Հետագայում գրում ենք 2 պարզունակ կոտորակներ բաժանելու արտահայտությունը՝ 7456*100/1000*43, որից հետո կրճատում ենք տասնյակները, ստանում ենք՝ 7456/10*43 = 7456/430 Վերջնական ելքում նորից ստանում ենք բաժանումը. 2 պարզունակ 7456 և 430 համարներ, որոնք կարելի է արտադրել «անկյունով»։

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Օգտակար խորհուրդ
Այսպիսով, տասնորդական կոտորակները բաժանելու եղանակը դրանք ամբողջ թվերի կրճատումն է՝ դրանցից յուրաքանչյուրը նույն թվով բազմապատկելու աջակցությամբ։ Ամբողջ թվերով գործողություններ կատարելը, ինչպես միշտ, ոչ մեկի համար դժվարություն չի առաջացնում։

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Այս թեմայում մենք կքննարկենք վերը թվարկված իռացիոնալությամբ սահմանների բոլոր երեք խմբերը: Սկսենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն պարունակող սահմաններից։

Անորոշության բացահայտում $\frac(0)(0)$:

Այս տեսակի ստանդարտ օրինակների լուծումը սովորաբար բաղկացած է երկու քայլից.

• Անորոշություն առաջացրած իռացիոնալությունից ազատվում ենք այսպես կոչված «խոնարհված» արտահայտությամբ բազմապատկելով.
• Անհրաժեշտության դեպքում, գործադրեք արտահայտությունը համարիչով կամ հայտարարով (կամ երկուսն էլ);
• Մենք նվազեցնում ենք անորոշության տանող գործոնները և հաշվարկում սահմանի ցանկալի արժեքը:

Վերևում օգտագործված «համակցված արտահայտություն» տերմինը մանրամասն կբացատրվի օրինակներում: Առայժմ դրա վրա մանրամասն անդրադառնալու պատճառ չկա։ Ընդհանուր առմամբ, դուք կարող եք գնալ այլ ճանապարհով, առանց օգտագործելու խոնարհված արտահայտությունը: Երբեմն լավ ընտրված փոխարինումը կարող է վերացնել իռացիոնալությունը: Նման օրինակները հազվադեպ են ստանդարտ թեստերում, ուստի մենք կքննարկենք միայն մեկ օրինակ թիվ 6 փոխարինման օգտագործման համար (տե՛ս այս թեմայի երկրորդ մասը):

Մեզ անհրաժեշտ կլինեն մի քանի բանաձևեր, որոնք ես կգրեմ ստորև.

\սկիզբ(հավասարում) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \վերջ(հավասարում) \սկիզբ(հավասարում) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \վերջ (հավասարում) \սկիզբ (հավասարում) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \վերջ (հավասարում) \սկիզբ (հավասարում) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\վերջ (հավասարում)

Բացի այդ, մենք ենթադրում ենք, որ ընթերցողը գիտի քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձեւերը։ Եթե ​​$x_1$-ը և $x_2$-ը $ax^2+bx+c$ քառակուսի եռանկյունի արմատներն են, ապա այն կարող է գործոնացվել հետևյալ բանաձևով.

\սկիզբ (հավասարում) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \վերջ (հավասարում)

(1)-(5) բանաձևերը միանգամայն բավարար են ստանդարտ խնդիրներ լուծելու համար, որոնց այժմ կանցնենք։

Օրինակ թիվ 1

Գտեք $\lim_(x\ից 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$:

Քանի որ $\lim_(x\մինչև 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ և $\lim_(x\ մինչև 3) (x-3)=3-3=0$, ապա տրված սահմանում ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն։ $\sqrt(7-x)-2$ տարբերությունը խանգարում է մեզ բացահայտել այս անորոշությունը: Նման իռացիոնալությունից ազատվելու համար օգտագործվում է այսպես կոչված «խոնարհված արտահայտությամբ» բազմապատկումը։ Այժմ մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես է աշխատում նման բազմապատկումը: Բազմապատկել $\sqrt(7-x)-2$-ը $\sqrt(7-x)+2$-ով:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Փակագծերը բացելու համար կիրառեք՝ $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$-ը փոխարինելով նշված բանաձևի աջ կողմում.

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Ինչպես տեսնում եք, եթե համարիչը բազմապատկեք $\sqrt(7-x)+2$-ով, ապա համարիչի արմատը (այսինքն՝ իռացիոնալությունը) կվերանա։ Այս արտահայտությունը կլինի $\sqrt(7-x)+2$ զուգորդել$\sqrt(7-x)-2$ արտահայտությանը։ Այնուամենայնիվ, մենք չենք կարող պարզապես բազմապատկել համարիչը $\sqrt(7-x)+2$-ով, քանի որ դա կփոխի $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ կոտորակը սահմանի տակ: . Դուք պետք է միաժամանակ բազմապատկեք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը.

$$ \lim_(x\մինչև 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \ձախ|\frac(0)(0)\աջ|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Հիմա հիշեք, որ $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ և բացեք փակագծերը։ Իսկ փակագծերը բացելուց և $3-x=-(x-3)$ փոքր փոխակերպումից հետո կոտորակը փոքրացնում ենք $x-3$-ով.

$$ \lim_(x\մինչև 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\մինչև 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\մինչև 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\մինչև 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

$\frac(0)(0)$ անորոշությունը վերացել է: Այժմ դուք կարող եք հեշտությամբ ստանալ այս օրինակի պատասխանը.

$$ \lim_(x\մինչև 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Նշում եմ, որ խոնարհված արտահայտությունը կարող է փոխել իր կառուցվածքը՝ կախված նրանից, թե ինչպիսի իռացիոնալություն պետք է հեռացնի։ Թիվ 4 և 5 օրինակներում (տե՛ս այս թեմայի երկրորդ մասը) կօգտագործվի այլ տեսակի խոնարհված արտահայտություն։

Պատասխանել$\lim_(x\մինչև 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$:

Օրինակ թիվ 2

Գտեք $\lim_(x\-ից մինչև 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$:

Քանի որ $\lim_(x\մինչև 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ և $\lim_(x\մինչև 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, ապա մենք գործ ունեն $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշության հետ: Եկեք ձերբազատվենք այս կոտորակի հայտարարի իռացիոնալությունից։ Դա անելու համար մենք ավելացնում ենք $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ կոտորակի համարիչը և հայտարարը: արտահայտությունը $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ խոնարհվում է հայտարարին.

$$ \lim_(x\մինչև 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\ձախ|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Կրկին, ինչպես թիվ 1 օրինակում, ընդլայնելու համար հարկավոր է օգտագործել փակագծեր: Փոխարինելով $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ նշված բանաձևի աջ կողմում, հայտարարի համար ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ աջ)=\\ =\ձախ(\sqrt(x^2+5)\աջ)^2-\ձախ(\sqrt(7x^2-19)\աջ)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Վերադառնանք մեր սահմանին.

$$ \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\մինչև 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Օրինակ թիվ 1-ում, կոնյուգացիոն արտահայտությամբ բազմապատկելուց գրեթե անմիջապես հետո կոտորակը կրճատվել է։ Այստեղ, մինչև կրճատումը, դուք պետք է ֆակտորիզացնեք $3x^2-5x-2$ և $x^2-4$ արտահայտությունները և միայն դրանից հետո անցնեք կրճատմանը։ $3x^2-5x-2$ արտահայտությունը գործոնավորելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել . Նախ, լուծենք քառակուսի հավասարումը $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \սկիզբ(հավասարեցված) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2: \վերջ (հավասարեցված) $$

Փոխարինելով $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$-ով, մենք կունենանք.

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\աջ)(x-2)=\ձախ(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2): $$

Այժմ ժամանակն է չափել $x^2-4$ արտահայտությունը: Եկեք օգտագործենք՝ դրանում փոխարինելով $a=x$, $b=2$.

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Եկեք օգտագործենք ստացված արդյունքները. Քանի որ $x^2-4=(x-2)(x+2)$ և $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, ապա.

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Նվազեցնելով $x-2$ փակագծով մենք ստանում ենք.

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2): $$

Բոլորը! Անորոշությունը վերացել է. Եվս մեկ քայլ և գալիս ենք պատասխանին.

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\մինչև 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4): $$

Պատասխանել$\lim_(x\մինչև 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

Հետևյալ օրինակում դիտարկենք այն դեպքը, երբ իռացիոնալությունը առկա է կոտորակի և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի մեջ:

Օրինակ թիվ 3

Գտեք $\lim_(x\մինչև 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) )) $.

Քանի որ $\lim_(x\մինչև 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ և $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, ապա մենք ունենք $ ձևի անորոշություն \frac (0)(0)$. Քանի որ այս դեպքում արմատներն առկա են և՛ հայտարարի, և՛ համարիչի մեջ, անորոշությունից ազատվելու համար պետք է բազմապատկել միանգամից երկու փակագծով։ Նախ, $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ արտահայտությանը միացրեք համարիչը: Եվ երկրորդ՝ $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ արտահայտությանը միացնել հայտարարին։

$$ \lim_(x\մինչև 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\ձախ|\frac(0)(0)\աջ|=\\ =\lim_(x\մինչև 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \սկիզբ (հավասարեցված) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \վերջ (հավասարեցված) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4): $$

$x^2-8x+15$ արտահայտության համար մենք ստանում ենք.

$$ x^2-8x+15=0;\\ \սկիզբ(հավասարեցված) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2)=5. \վերջ (հավասարեցված) \\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5): $$

Ստացված $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ և $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ ընդլայնումները փոխարինելով սահմանաչափի մեջ քննարկվող, կունենա՝

$$ \lim_(x\մինչև 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\մինչև 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\մինչև 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Պատասխանել$\lim_(x\մինչև 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Հաջորդ (երկրորդ) մասում մենք կքննարկենք ևս մի քանի օրինակ, որոնցում խոնարհված արտահայտությունը կունենա այլ ձև, քան նախորդ խնդիրներում: Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել, այն է, որ խոնարհված արտահայտություն օգտագործելու նպատակը անորոշություն պատճառող իռացիոնալությունից ազատվելն է:

Իռացիոնալ արտահայտության փոխակերպումներ ուսումնասիրելիս շատ կարևոր հարց է, թե ինչպես կարելի է ազատվել իռացիոնալությունից կոտորակի հայտարարում: Այս հոդվածի նպատակն է բացատրել այս գործողությունը՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակ խնդիրներ: Առաջին պարբերությունում մենք կանդրադառնանք այս փոխակերպման հիմնական կանոններին, իսկ երկրորդում `տիպիկ օրինակներ` մանրամասն բացատրություններով:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Իռացիոնալությունից ազատվելու հայեցակարգը հայտարարի մեջ

Սկսենք բացատրելով, թե որն է նման վերափոխման իմաստը: Դա անելու համար հիշեք հետևյալ դրույթները.

Կոտորակի հայտարարի մեջ կարող ենք խոսել իռացիոնալության մասին, եթե այնտեղ կա ռադիկալ, որը հայտնի է նաև որպես արմատի նշան։ Այս նշանով գրված թվերը հաճախ իռացիոնալ են: Օրինակները կլինեն 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5: Իռացիոնալ հայտարար ունեցող կոտորակներում ներառվում են նաև նրանք, որոնք ունեն տարբեր աստիճանի արմատների նշաններ (քառակուսի, խորանարդ և այլն), օրինակ՝ 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y: Պետք է ազատվել իռացիոնալությունից՝ արտահայտությունը պարզեցնելու և հետագա հաշվարկները հեշտացնելու համար։ Եկեք ձևակերպենք հիմնական սահմանումը.

Սահմանում 1

Ազատվեք կոտորակի հայտարարի իռացիոնալությունից- նշանակում է փոխակերպել այն՝ փոխարինելով նույնական հավասար կոտորակով, որի հայտարարը արմատներ կամ ուժեր չի պարունակում։

Նման գործողությունը կարելի է անվանել ազատագրում կամ ազատվել իռացիոնալությունից, բայց իմաստը մնում է նույնը։ Այսպիսով, անցումը 1 2-ից 2 2, այսինքն. հավասար արժեք ունեցող կոտորակի՝ առանց հայտարարի արմատի նշանի և կլինի մեզ անհրաժեշտ գործողությունը: Բերենք ևս մեկ օրինակ՝ ունենք x x - y կոտորակ: Կատարենք անհրաժեշտ փոխակերպումները և ձեռք բերենք x · x + y x - y նույնական հավասար կոտորակ՝ ազատվելով հայտարարի իռացիոնալությունից։

Սահմանումը ձևակերպելուց հետո մենք կարող ենք ուղղակիորեն անցնել գործողությունների հաջորդականության ուսումնասիրությանը, որոնք պետք է կատարվեն նման վերափոխման համար:

Կոտորակի հայտարարում իռացիոնալությունից ազատվելու հիմնական քայլերը

Արմատներից ազատվելու համար պետք է կոտորակի երկու հաջորդական փոխակերպումներ կատարել՝ կոտորակի երկու մասերը բազմապատկել զրոյից տարբեր թվով, իսկ հետո ստացված արտահայտությունը փոխակերպել հայտարարի մեջ։ Դիտարկենք հիմնական դեպքերը.

Ամենապարզ դեպքում կարող եք ստանալ՝ փոխակերպելով հայտարարը: Օրինակ՝ կարող ենք վերցնել 9-ի արմատին հավասար հայտարար ունեցող կոտորակը։ Հաշվելով 9-ը՝ հայտարարի մեջ գրում ենք 3 և այդպիսով ազատվում իռացիոնալությունից։

Այնուամենայնիվ, շատ ավելի հաճախ անհրաժեշտ է նախ բազմապատկել համարիչն ու հայտարարը մի թվով, որն այնուհետ թույլ կտա հայտարարը հասցնել ցանկալի ձևին (առանց արմատների): Այսպիսով, եթե 1 x + 1 բազմապատկենք x + 1-ով, ապա կստանանք x + 1 x + 1 x + 1 կոտորակը և կարող ենք փոխարինել նրա հայտարարի արտահայտությունը x + 1-ով: Այսպիսով, մենք 1 x + 1-ը վերածեցինք x + 1 x + 1-ի՝ ազատվելով իռացիոնալությունից։

Երբեմն փոխակերպումները, որոնք դուք պետք է կատարեք, բավականին կոնկրետ են: Դիտարկենք մի քանի պատկերավոր օրինակներ։

Ինչպես արտահայտությունը վերածել կոտորակի հայտարարի

Ինչպես ասացինք, դա անելու ամենահեշտ ձևը հայտարարի փոխակերպումն է:

Օրինակ 1

Վիճակը:ազատել 1 2 · 18 + 50 կոտորակը հայտարարի իռացիոնալությունից:

Լուծում

Նախ բացենք փակագծերը և ստանանք 1 2 18 + 2 50 արտահայտությունը։ Օգտագործելով արմատների հիմնական հատկությունները՝ անցնում ենք 1 2 18 + 2 50 արտահայտությանը։ Մենք հաշվարկում ենք երկու արտահայտությունների արժեքները արմատների տակ և ստանում ենք 1 36 + 100: Այստեղ դուք արդեն կարող եք արդյունահանել արմատները: Արդյունքում ստացանք 1 6 + 10 կոտորակը, որը հավասար է 1 16-ի։ Փոխակերպումը կարող է ավարտվել այստեղ:

Եկեք առանց մեկնաբանության գրենք ամբողջ լուծման առաջընթացը.

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Պատասխան. 1 2 18 + 50 = 1 16:

Օրինակ 2

Վիճակը:տրված է 7 - x (x + 1) կոտորակը 2. Ազատվեք հայտարարի իռացիոնալությունից.

Լուծում

Ավելի վաղ արմատների հատկությունների օգտագործմամբ իռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպումներին նվիրված հոդվածում նշել էինք, որ ցանկացած A և նույնիսկ n-ի համար կարող ենք փոխարինել A n n արտահայտությունը | Ա | փոփոխականների թույլատրելի արժեքների ողջ տիրույթում: Հետեւաբար, մեր դեպքում կարող ենք գրել այսպես՝ 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1: Այդպես մենք ազատվեցինք հայտարարի իռացիոնալությունից։

Պատասխան. 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1:

Ազատվել իռացիոնալությունից՝ արմատով բազմապատկելով

Եթե ​​կոտորակի հայտարարը պարունակում է A ձևի արտահայտություն, իսկ A արտահայտությունն ինքնին չունի արմատների նշաններ, ապա մենք կարող ենք ազատվել իռացիոնալությունից՝ պարզապես սկզբնական կոտորակի երկու կողմերը բազմապատկելով A-ով։ Այս գործողության հնարավորությունը որոշվում է նրանով, որ A-ն ընդունելի արժեքների միջակայքում չի վերածվի 0-ի: Բազմապատկելուց հետո հայտարարը կպարունակի A · A ձևի արտահայտություն, որը հեշտ է ազատվել արմատներից՝ A · A = A 2 = A: Տեսնենք, թե ինչպես ճիշտ կիրառել այս մեթոդը գործնականում:

Օրինակ 3

Վիճակը:տրված x 3 և - 1 x 2 + y - 4 կոտորակներ: Ազատվեք դրանց հայտարարների իռացիոնալությունից։

Լուծում

Առաջին կոտորակը բազմապատկենք 3-ի երկրորդ արմատով։ Մենք ստանում ենք հետևյալը.

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

Երկրորդ դեպքում մենք պետք է բազմապատկենք x 2 + y - 4-ով և ստացված արտահայտությունը փոխակերպենք հայտարարի մեջ.

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Պատասխան. x 3 = x · 3 3 և - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4:

Եթե ​​սկզբնական կոտորակի հայտարարը պարունակում է A n m կամ A m n ձևի արտահայտություններ (ենթակա է բնական m և n-ի), մենք պետք է ընտրենք այնպիսի գործոն, որ ստացված արտահայտությունը կարող է փոխարկվել A n n k կամ A n k n (ենթակա է բնական ժա) . Սրանից հետո իռացիոնալությունից ազատվելը հեշտ կլինի։ Եկեք նայենք այս օրինակին:

Օրինակ 4

Վիճակը:տրված 7 6 3 5 և x x 2 + 1 4 15 կոտորակները: Ազատվեք հայտարարների իռացիոնալությունից.

Լուծում

Մենք պետք է վերցնենք բնական թիվ, որը կարելի է բաժանել հինգի, և այն պետք է լինի երեքից մեծ։ Որպեսզի 6 աստիճանը հավասարվի 5-ի, մենք պետք է բազմապատկենք 6 2 5-ով: Հետևաբար, մենք ստիպված կլինենք սկզբնական կոտորակի երկու մասերը բազմապատկել 6 2 5-ով.

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

Երկրորդ դեպքում մեզ անհրաժեշտ է 15-ից մեծ թիվ, որը կարելի է առանց մնացորդի բաժանել 4-ի։ Մենք վերցնում ենք 16. Հայտարարում նման ցուցանիշ ստանալու համար պետք է որպես գործակից վերցնել x 2 + 1 4: Հստակեցնենք, որ այս արտահայտության արժեքը ոչ մի դեպքում 0 չի լինի։ Մենք հաշվարկում ենք.

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Պատասխանել 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 և x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4:

Ազատվել իռացիոնալությունից՝ բազմապատկելով խոնարհված արտահայտությամբ

Հետևյալ մեթոդը հարմար է այն դեպքերի համար, երբ սկզբնական կոտորակի հայտարարը պարունակում է a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b արտահայտությունները։ Նման դեպքերում մենք պետք է որպես գործոն ընդունենք խոնարհված արտահայտությունը։ Եկեք բացատրենք այս հասկացության իմաստը:

Առաջին a + b արտահայտության համար խոնարհումը կլինի a - b, երկրորդի համար a - b – a + b: a + b – a - b, a - b – a + b, a + b – a - b, իսկ a - b–ի համար – a + b։ Այլ կերպ ասած՝ խոնարհված արտահայտությունն այն արտահայտությունն է, որում երկրորդ անդամին նախորդում է հակառակ նշանը։

Եկեք նայենք, թե կոնկրետ ինչ է այս մեթոդը: Ենթադրենք, ունենք a - b · a + b ձևի արտադրյալ: Այն կարող է փոխարինվել a - b · a + b = a 2 - b 2 քառակուսիների տարբերությամբ, որից հետո անցնում ենք ռադիկալներից զուրկ a - b արտահայտությանը։ Այսպիսով, մենք կոտորակի հայտարարում իռացիոնալությունից ազատվեցինք՝ բազմապատկելով խոնարհված արտահայտությամբ։ Բերենք մի քանի պատկերավոր օրինակ։

Օրինակ 5

Վիճակը:ազատվեք 3 7 - 3 և x - 5 - 2 արտահայտությունների իռացիոնալությունից:

Լուծում

Առաջին դեպքում մենք վերցնում ենք խոնարհված արտահայտությունը հավասար 7 + 3: Այժմ մենք դրանով բազմապատկում ենք սկզբնական կոտորակի երկու մասերը.

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

Երկրորդ դեպքում մեզ անհրաժեշտ է - 5 + 2 արտահայտությունը, որը 5 - 2 արտահայտության խոնարհումն է։ Բազմապատկեք համարիչն ու հայտարարը դրանով և ստացեք.

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

Հնարավոր է նաև բազմապատկելուց առաջ փոխակերպում կատարել. եթե սկզբում հանենք մինուսը հայտարարից, ապա ավելի հարմար կլինի հաշվարկել.

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Պատասխան. 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 և x - 5 - 2 = x 2 - 5 3:

Կարևոր է ուշադրություն դարձնել այն փաստին, որ բազմապատկման արդյունքում ստացված արտահայտությունը չի վերածվում 0-ի այս արտահայտության համար ընդունելի արժեքների միջակայքում գտնվող որևէ փոփոխականի համար:

Օրինակ 6

Վիճակը:տրված է x x + 4 կոտորակը: Փոխակերպի՛ր այնպես, որ հայտարարի մեջ իռացիոնալ արտահայտություններ չլինեն։

Լուծում

Սկսենք x փոփոխականի համար ընդունելի արժեքների միջակայքը գտնելով: Այն սահմանվում է x ≥ 0 և x + 4 ≠ 0 պայմաններով: Դրանցից կարելի է եզրակացնել, որ ցանկալի շրջանը x ≥ 0 բազմություն է։

Հայտարարի խոնարհումը x - 4 է: Ե՞րբ կարող ենք դրանով բազմապատկել: Միայն եթե x - 4 ≠ 0: Ընդունելի արժեքների միջակայքում դա համարժեք կլինի x≠16 պայմանին: Արդյունքում մենք ստանում ենք հետևյալը.

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Եթե ​​x-ը հավասար է 16-ի, ապա մենք ստանում ենք.

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Հետևաբար, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 x-ի բոլոր արժեքների համար, որոնք պատկանում են ընդունելի արժեքների միջակայքին, բացառությամբ 16-ի: x = 16-ում մենք ստանում ենք x x + 4 = 2:

Պատասխան. x x + 4 = x · x - 4 x - 16, x ∈ [ 0, 16) ∪ (16, + ∞) 2, x = 16:

Իռացիոնալությամբ կոտորակների փոխարկումը հայտարարի մեջ՝ օգտագործելով խորանարդների գումարի և տարբերության բանաձևերը

Նախորդ պարբերությունում մենք բազմապատկեցինք խոնարհված արտահայտություններով, որպեսզի օգտագործենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը: Երբեմն, հայտարարի իռացիոնալությունից ազատվելու համար օգտակար է օգտագործել այլ կրճատված բազմապատկման բանաձևեր, օրինակ՝ խորանարդների տարբերություն. a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2). Այս բանաձևը հարմար է օգտագործել, եթե սկզբնական կոտորակի հայտարարը պարունակում է A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 ձևի երրորդ աստիճանի արմատներով արտահայտություններ: և այլն: Այն կիրառելու համար պետք է կոտորակի հայտարարը բազմապատկել A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 գումարի մասնակի քառակուսիով կամ A 3 - B 3 տարբերությամբ: Գումարի բանաձևը կարող է կիրառվել նույն կերպ a 3 + b 3 = (a) (a 2 − a b + b 2).

Օրինակ 7

Վիճակը:փոխակերպե՛ք 1 7 3 - 2 3 և 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 կոտորակները, որպեսզի ձերբազատվեք հայտարարի իռացիոնալությունից:

Լուծում

Առաջին կոտորակի համար մենք պետք է օգտագործենք երկու մասերը 7 3 և 2 3 գումարի մասնակի քառակուսիով բազմապատկելու մեթոդը, քանի որ այնուհետև կարող ենք փոխակերպել՝ օգտագործելով խորանարդների տարբերության բանաձևը.

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

Երկրորդ կոտորակի մեջ մենք ներկայացնում ենք հայտարարը որպես 2 2 - 2 x 3 + x 3 2: Այս արտահայտությունը ցույց է տալիս 2 և x 3 տարբերության թերի քառակուսին, ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք կոտորակի երկու մասերը բազմապատկել 2 + x 3 գումարով և օգտագործել խորանարդների գումարի բանաձևը: Դա անելու համար պետք է բավարարվի 2 + x 3 ≠ 0 պայմանը, որը համարժեք է x 3 ≠ - 2 և x ≠ − 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Եկեք 8-ը փոխարինենք կոտորակի մեջ և գտնենք արժեքը.

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Եկեք ամփոփենք. Բոլոր x-ի համար, որոնք ներառված են բնօրինակ կոտորակի արժեքների տիրույթում (R հավաքածու), բացառությամբ -8-ի, մենք ստանում ենք 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x: Եթե ​​x = 8, ապա 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4:

Պատասխան. 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8:

Փոխակերպման տարբեր մեթոդների հետևողական կիրառում

Հաճախ գործնականում կան ավելի բարդ օրինակներ, երբ մենք չենք կարող ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից՝ օգտագործելով ընդամենը մեկ մեթոդ: Նրանց համար դուք պետք է հետևողականորեն կատարեք մի քանի փոխակերպումներ կամ ընտրեք ոչ ստանդարտ լուծումներ: Վերցնենք նման մի խնդիր.

Օրինակ Ն

Վիճակը:փոխակերպել 5 7 4 - 2 4՝ հայտարարի մեջ արմատների նշաններից ազատվելու համար։

Լուծում

Բազմապատկենք սկզբնական կոտորակի երկու կողմերը 7 4 + 2 4 զուգակցված արտահայտությամբ՝ ոչ զրոյական արժեքով։ Մենք ստանում ենք հետևյալը.

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Հիմա եկեք նորից օգտագործենք նույն մեթոդը.

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Պատասխան. 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Կոտորակի հանրահաշվական արտահայտությունը փոխակերպելիս, որի հայտարարը պարունակում է իռացիոնալ արտահայտություն, սովորաբար փորձում են ներկայացնել կոտորակը, որպեսզի դրա հայտարարը ռացիոնալ լինի: Եթե ​​A,B,C,D,... որոշ հանրահաշվական արտահայտություններ են, ապա կարող եք նշել կանոններ, որոնց օգնությամբ ձևի արտահայտությունների հայտարարում կարող եք ազատվել արմատական ​​նշաններից։

Այս բոլոր դեպքերում իռացիոնալությունից ազատվելը ձեռք է բերվում կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկելով ընտրված գործակցով, որպեսզի կոտորակի հայտարարի արտադրյալը ռացիոնալ լինի։

1) Ձևի կոտորակի հայտարարում իռացիոնալությունից ազատվել: Բազմապատկել համարիչն ու հայտարարը

Օրինակ 1. .

2) ձևի կոտորակների դեպքում. Բազմապատկել համարիչն ու հայտարարը իռացիոնալ գործակցով

համապատասխանաբար, այսինքն՝ խոնարհված իռացիոնալ արտահայտությանը:

Վերջին գործողության իմաստն այն է, որ հայտարարում գումարի և տարբերության արտադրյալը վերածվում է քառակուսիների տարբերության, որն արդեն ռացիոնալ արտահայտություն կլինի։

Օրինակ 2. Ազատվեք իռացիոնալությունից արտահայտության հայտարարում.

Լուծում, ա) կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք արտահայտությամբ: Մենք ստանում ենք (պայմանով, որ)

3) նման արտահայտությունների դեպքում

հայտարարը դիտարկվում է որպես գումար (տարբերություն) և բազմապատկվում է տարբերության մասնակի քառակուսիով (գումար)՝ ստանալով խորանարդների գումարը (տարբերությունը) ((20.11), (20.12)): Համարիչը նույնպես բազմապատկվում է նույն գործակցով։

Օրինակ 3. Ազատվեք իռացիոնալությունից արտահայտությունների հայտարարում.

Լուծում, ա) Այս կոտորակի հայտարարը համարելով թվերի և 1-ի գումարը, համարիչը և հայտարարը բազմապատկեք այս թվերի տարբերության մասնակի քառակուսու վրա.

կամ վերջապես.

Որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է կատարել հակառակ բնույթի փոխակերպում` ազատել կոտորակը համարիչի իռացիոնալությունից: Այն իրականացվում է ճիշտ նույն կերպ.

Օրինակ 4. Ազատվեք կոտորակի համարիչում իռացիոնալությունից: