Eukleidese algoritm – suurima ühisjagaja leidmine. Matemaatika Mulle meeldib Eukleidese algoritm suurima ühisjagaja arvutamiseks
E. I. Ignatjev kirjutab oma esimese väljaande „In the Realm of Genuity” (1908) eessõnas: Tulemused on usaldusväärsed vaid siis, kui sissejuhatus matemaatiliste teadmiste valdkonda on tehtud lihtsal ja meeldival viisil, esemetel ja näidetel igapäevastest ja igapäevastest olukordadest, mis on valitud õige vaimukuse ja lõbustusega.
1911. aasta väljaande “Mälu roll matemaatikas” eessõnas on E.I. Ignatjev kirjutab "... matemaatikas ei tohiks meeles pidada valemeid, vaid mõtlemisprotsessi."
Ruutjuure eraldamiseks on kahekohaliste arvude ruutude tabelid, saate arvu algteguriteks lagundada ja ruutjuure korrutisest eraldada. Ruudude tabelist ei piisa, juure faktooringuga eraldamine on aeganõudev ülesanne, mis samuti ei vii alati soovitud tulemuseni. Proovige eraldada ruutjuur arvust 209764? Lagundamine algteguriteks annab korrutise 2 * 2 * 52441. Katse-eksituse meetodil, valik - seda saab muidugi teha, kui olete kindel, et see on täisarv. See, kuidas ma soovitan, võimaldab teil igal juhul ruutjuure võtta.
Kunagi instituudis (Permi Riiklik Pedagoogiline Instituut) tutvustati meile seda meetodit, millest ma nüüd tahan rääkida. Ma pole kunagi mõelnud, kas sellel meetodil on tõendeid, nii et nüüd pidin ise mõned tõendid tuletama.
Selle meetodi aluseks on arvu = koostis.
=&, st. &2=596334.
1. Jagage arv (5963364) paarideks paremalt vasakule (5`96`33`64)
2. Ekstraheerime vasakpoolse esimese rühma ruutjuure ( - number 2). Nii saame numbri & esimese numbri.
3. Leidke esimese numbri ruut (2 2 \u003d 4).
4. Leia vahe esimese rühma ja esimese numbri ruudu vahel (5-4=1).
5. Lammutame järgmised kaks numbrit (saime numbri 196).
6. Kahekordistame esimese leitud numbri, kirjutame selle joone taha vasakule (2*2=4).
7. Nüüd peate leidma numbri & teise koha: leitud kahekordsest esimesest numbrist saab arvu kümnendite number, ühikute arvuga korrutamisel peate saama arvu, mis on väiksem kui 196 ( see on number 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 on & teine number.
8. Leia erinevus (196-176=20).
9. Lammutame järgmise rühma (saame numbri 2033).
10. Kahekordistame arvu 24, saame 48.
11,48 kümneid arvus, kui korrutada ühikute arvuga, peaksime saama arvu, mis on väiksem kui 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Meie poolt leitud ühikute number (4) on arvu & kolmas koht.
Mina annan tõestuse järgmistel juhtudel:
1. Kolmekohalise arvu ruutjuure eraldamine;
2. Neljakohalise arvu ruutjuure eraldamine.
Ligikaudsed meetodid ruutjuure eraldamiseks (ilma kalkulaatorit kasutamata).
1. Vanad babüloonlased kasutasid oma x arvu ruutjuure ligikaudse väärtuse leidmiseks järgmist meetodit. Nad esitasid arvu x summana a 2 + b, kus a 2 on x-le lähim naturaalarvu a (a 2 ? x) täpsele ruudule ja kasutasid valemit. 
. (1)
Kasutades valemit (1), eraldame ruutjuure näiteks arvust 28:
MK 5.2915026 abil 28 juure ekstraheerimise tulemus.
Nagu näete, annab Babüloonia meetod juure täpsele väärtusele hea ligikaudse hinnangu.
2. Isaac Newton töötas välja ruutjuure meetodi, mis pärineb Aleksandria Heronist (umbes 100 pKr). See meetod (tuntud kui Newtoni meetod) on järgmine.
Lase a 1- arvu esimene lähendus (1-na võite võtta naturaalarvu ruutjuure väärtused - täpne ruut, mis ei ületa X) .
Järgmine, täpsem lähendus a 2 numbrid
leitud valemiga 
.
Suurus: px
Alusta näitamist lehelt:
ärakiri
1 LOENG 2 SUUR ÜHISJAOTUSE ARVUTAMINE Eukleidese algoritm Suurte liitarvudega töötamisel on nende lagunemine algteguriteks reeglina teadmata. Kuid paljude arvuteooria rakenduslike probleemide puhul on arvu faktooringu otsimine oluline, sageli kokku puutuv praktiline probleem. Arvuteoorias on kahe arvu gcd arvutamiseks suhteliselt kiire viis, mida nimetatakse Eukleidese algoritmiks. Algoritm 1. Eukleidese algoritm. Sissepääs. Täisarvud a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0, Eukleidese algoritm peatub ja selle loodud arv d on arvude a ja b suurim ühisjagaja. Tõestus . Jäägiga jagamisteoreemi järgi saame iga i 1 korral r i 1 = q i r i + r i+1, kus 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0 altpoolt piiratud. Selline jada ei saa olla lõpmatu, mistõttu Eukleidese algoritm peatub. Eukleidese binaaralgoritm Eukleidese binaarne GCD algoritm osutub selle rakendamisel kiiremaks
2 algoritmi arvutis, kuna see kasutab arvude a ja b binaarset esitust. Binaarne Eukleidese algoritm põhineb suurima ühisjagaja järgmistel omadustel (oletame, et 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, siis gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) kui a = b, siis gcd(a, b) = a. Algoritm 2. Binaarne Eukleidese algoritm. Sissepääs. Täisarvud a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >b. Siis on täisarvud x ja y nii, et d = ax + by. Teisisõnu, kahe numbri gcd saab esitada kujul
3 nende arvude lineaarse kombinatsioonina täisarvu koefitsientidega. Algoritm 3. Laiendatud Eukleidese algoritmi skeem. 1. Määrake = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b. 2. Olgu arv q arvu a jagatis arvuga b ja arv r nende arvude jagamise jääk (st a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = x i-1 ; = tq; // = x i paremale küljele = x i+1 paremale küljele; //t = y i-1 ; = tq; 5. Minge tagasi sammu juurde. Määrake x = x 0, y = y 0, d = αx + βy. Laiendatud Eukleidese algoritmi logi variant. Täisarvud a, b; 0< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,
4 arvutatud algoritmi järgi, näitab järgmine teoreem. Teoreem 4. Algoritmi 3 igal iteratsioonil on i = r i võrrand ax i + täidetud, kui i 0. Tõestus. Kasutame matemaatilise induktsiooni meetodit. Kui i = 0 ja i = 1, kehtib algoritmi 3 sammu 1 tõttu nõutav võrdsus. Oletame, et see on tõene i 1 ja i jaoks. Seejärel saame etapis 3 x i+1 = x i 1 x i ja y i+1 = y i 1 y i. Seetõttu ax i+1 + i+1 võrra = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + i 1 võrra (ax i + i võrra) = r i 1 r i = r i+1 . Näide. Antud a = 1769, b = 551. Kasutades laiendatud eukleidilist algoritmi, leidke täisarvud x ja y nii, et d = ax + by, kus arvude a ja b d gcd. Arvutuste järjestuse I etapp. 1. Määrake = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = jagatis q = a / b = 1769/551 = 3 ja jagamise jääk r = 116. a = 551; b = 116; t = =0: = t q = 1 0 = 1 = 0; = tq = 3; järgmised vaheväärtused
5 parameetrit: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Kuna jaotuse jääk on r 0, pöördume tagasi sammu 2 juurde. Arvutusjärjestuse II etapp. 1. Parameetri väärtus: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = jagatis q = a/b = 551/116 = 4 ja jääk r = 87. a = 116; b = 87; t = = 0; =1: = t q = = = 4 = 3; = t q = 1 (3) 4 = 13; parameetrite järgmised vaheväärtused: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Kuna jaotuse ülejäänud osa on r 0, läheme tagasi sammu 2 juurde. Arvutusjärjestuse III etapp . 1. Parameetrite väärtus: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = jagatis q = a/b = 116/87 = 1 ja jääk r = 29.
6 a = 87; b = 29; t = = 4: = t q = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = t q = 3 (13) 1 = 16; parameetrite järgmised vaheväärtused: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Kuna jaotuse ülejäänud osa on r 0, läheme tagasi sammu 2 juurde. Arvutusjärjestuse IV etapp . 1. Parameetri väärtus: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = jagatis q = a/b = 87/29 = 3 ja jääk r = 0. a = 87; b = 29; t == 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = t q = 13 (16) 3 = 61; järgmised parameetrite vahepealsed väärtused: a= 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Kuna jaotuse jääk on r = 0, siis teostame sammu 6.
7 6. Arvutage GCD valemiga d = αx + βy, kus x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α = 1769, β = 551. Asendades parameetrite väärtuse, saame d = αx + βy = = = 29 Laiendatud Eukleidese algoritmi saab realiseerida ka binaarsel kujul. Algoritm 4. Laiendatud binaarne Eukleidese algoritm. Sissepääs. Täisarvud a, b; 0< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.
Täisarvude võrrandite lahendamine Lineaarvõrrandid. Otsene loendusmeetod Näide. Küülikud ja faasanid istuvad puuris. Kokku on neil 8 jalga. Uurige, kui palju neid ja teisi on kambris. Loetlege kõik lahendused. Lahendus.
7. õppetund Arvu d nimetatakse arvude a ja b suurimaks ühisjagajaks (GCD), kui (1) d a ja d b ning ka (2) kõigi x jaoks alates x a ja x b järgib x d. Sel juhul kirjutame d = (a, b). Lemma 1. Mis tahes arvude jaoks
Teema. Elementaararvuteooria ja rakenduste alused - Teoreetiline materjal. Mooduljääkide hulk, kongruentside omadused. Laskma olema naturaalarv, mis on suurem kui . Tähistame Z-ga kõigi klasside hulka
Ugra füüsika ja matemaatika lütseum VP Tšuvakov ARVUTEORIA ALUSED Loengukonspekt (0)(mod) (0)(mod) Naturaalarvud N, - loendamisel või loendamisel kasutatav naturaalarvude kogum
2. peatükk Täisarvud, ratsionaal- ja reaalarvud 2.. Täisarvud Arve, 2, 3,... nimetatakse loomulikeks. Kõigi naturaalarvude hulk on tähistatud N-ga, s.o. N = (,2,3,...). Numbrid..., 3, 2,0,2,3,...
Jätkuvad murrud Lõplikud jätkumurrud Definitsioon Avaldist kujul a 0 + a + a + + a m, kus a 0 Z a a m N a m N/() nimetatakse jätkuvaks murruks ja m on jätkuva murru pikkus a 0 a a m. nimetatakse jätkuva murdosa koefitsientideks
LOENG 1 MÕNED ARVUTEOORIA ELEMED
Gorbatšov EI Polünoomid ühes muutujas Astmevõrrandite lahendamine Polünoomi mõiste Aritmeetilised tehted polünoomidega Dep Kolmanda astme polünoom (polünoom) muutuja suhtes
Täisarvude jaguvus Arv a jagub arvuga b (või b jagab a), kui on selline arv c, et a = bc Sel juhul nimetatakse arvu c jagatiseks a jagamiseks b-ga Märkus: a - a jagub b-ga või jagub ba b-ga
LOENG 12 TEISE ASTME VÕRDLUSED LIHTSE MOODUL- JA RUUTJÄÄKIDE KOHTA Teise astme mooduli p võrdlemise üldvorm on kujul (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p. Võrdluslahenduse leidmine (1)
Juhised, lahendused, vastused VÕRDED TÄISARVES. Võrrand ühe tundmatuga Lahendus. Paneme selle võrrandisse. Saame võrrandi (4a b 4) (a b 8) 0. Võrrand A B 0, kus A ja B on täisarvud, on täidetud,
Algebralised polünoomid. 1 Algebralised n-astme polünoomid väljal K Definitsioon 1.1 Polünoom astmega n, n N (0), muutujas z arvuväljal K on avaldis kujul: fz = a n z n
Loeng Ruutjäägid ja mittejäägid Lektor: Nyu Zolotykh Salvestanud: E Zamaraeva?? september 00 Sisu Ruutarvulised jäägid ja mittejäägid Legendre sümbol Legendre sümboli omadused Ruutarvuline vastastikkuse seadus
Riigi Õppeasutuse Internaatkool "Intellektuaalsed" naturaalarvud lineaarse kombinatsioonina täisarvu koefitsientidega"
Matemaatiline analüüs Sektsioon: Määramatu integraal Teema: Ratsionaalmurdude integreerimine Lektor Pakhomova E.G. 0 5. Ratsionaalsete murdude integreerimine MÄÄRATLUS. Ratsionaalmurdu nimetatakse
4 Arvuteooria 4 Täisarvud 7 Definitsioon Olgu, b Z Siis jagab b, kui on täisarv, et b (tähistatakse b-ga) 73 Teoreem (jagamine jäägiga) Kui, b Z ja b, siis on sellised täisarvud
Matemaatiline analüüs Sektsioon: Määramatu integraal Teema: Ratsionaalmurdude integreerimine Lektor Rožkova S.V. 0 5. Ratsionaalsete murdude integreerimine MÄÄRATLUS. Ratsionaalmurdu nimetatakse
009-00 konto aastal. 6, 9 rakku. matemaatika. Arvuteooria elemendid. 4. Suurima ühisjagaja ja vähima ühiskordaja arvutamine Jätame lõigu tähistuse. Naturaalarvu n korral tähistus n
RAKENDUSALGEBRA. I osa: Lõplikud väljad (Galois väljad). I 1 / 67 I osa Lõplikud väljad (Galois väljad). RAKENDASIN ALGEBRAT. I osa: Lõplikud väljad (Galois väljad). I 2 / 67 Jääkväljad modulo prime
5 Täisarvude võrrandite lahendamine Isegi selliste lihtsate võrrandite lahendamisel, nagu lineaarvõrrand ühe tundmatuga, on omapära, kui võrrandi kordajad on täisarvud ja see on vajalik
Laboratoorsed tööd 8 Kahe arvu suurima ühisjagaja arvutamine eukleidilise algoritmi abil
Jaotis 1. Krüptograafia matemaatilised alused 1 Välja definitsioon Lõplik väli GF q (või Galois' väli) on lõplik suvaline elementide kogum, mille vahel on määratud liitmis- ja korrutamistoimingud
XIX piirkondadevaheline matemaatika ja krüptograafia koolinoorte olümpiaad 11. klassi ülesanded Ülesande 1 lahendus Esiteks märgime, et kui N = pq, kus p ja q on algarvud, siis naturaalarvude arv on väiksem kui
Polünoomid ja nende juured 2018 Guštšina Jelena Nikolajevna Definitsioon: n n N astme polünoom on mis tahes avaldis kujul: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., kus a & , a &+, a, a. R, a&
Loeng 4. STANDARD AES. RIJNDAELI ALGORITM. AES (Advnced Encrypton Stndrd) on uus ühe võtmega krüpteerimisstandard, mis on asendanud DES-standardi. Rjndeli algoritm (rhine-dal)
Polünoomid ja nende juured Definitsioon: n (n N) astme polünoom on mis tahes avaldis kujul: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, kus a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n juhtiv koefitsient, a
1 Eukleidese algoritm ja selle keerukus Definitsioon 1. Arvude a ja b ühisjagajaks on arv c, kus c a ja c b. Definitsioon 2. Arvude a ja b suurim ühisjagaja on nende ühisjagaja,
LOENG 14 Ruutjuurte arvutamine modulokomposiit Ülaltoodud teooriast järeldub, et kui =, kus ja on algarvud, on rühm Z isomorfne ruumiga Z Z. Kuna isomorfism säilitab omadused
3. LOENG RUUTJUURTE ARVUTAMINE MODULAR Lihtsa mooduli juhtum Vaatleme võrdlust x a mod p, () kus arv p on algarvu ja täisarv a ei jagu p-ga Selle võrrandi lahendi x arvutamine on
Diskreetse matemaatika kollokviumi programm (põhivoog) Kollokviumi alguses saate pileti, mis sisaldab kolme küsimust: definitsiooniküsimus, ülesanne ja tõestusküsimus.
Shori algoritm Yu. Lifshits. 1. detsember 005 Loengu sisu 1. Ettevalmistus (a) Faktoringarvud (b) Kvantarvutus (c) Klassikalise andmetöötluse emuleerimine. Simoni algoritm (a) Kvantparalleelsus
Matemaatika ajaloost Esimene üsna mahukas raamat, milles aritmeetikat esitati geomeetriast sõltumatult, oli Nicomachuse Sissejuhatus aritmeetikasse (okne).
Lühike sissejuhatus elementaararvuteooria algusse Denis Kirienko arvuti suvekool, 1. jaanuar 2009 Täisarvude jagamine Olgu antud kaks täisarvu a ja b, b 0.
Teema 1-9: Polünoomid. Polünoomide rõnga konstrueerimine. Jaguvuse teooria. Tuletis A. Ya. Ovsyannikov Uurali föderaalülikooli matemaatika ja arvutiteaduse instituudi algebra ja diskreetsuse osakond
Algebralised võrrandid kus Definitsioon. Algebraline on võrrand kujul 0, P () 0, mõned reaalarvud. 0 0 Sel juhul nimetatakse muutujat tundmatuks ja numbreid 0
Loeng 6 Arvuteooria elemendid 1 Ülesanne. Jätka numbrite jada 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 Täisarv Aritmeetika Kasutab täisarve: Z = (, -2 , -1, 0,
Polünoomid Ühe muutujaga x astmega n polünoom on vormi avaldis, kus on suvalised arvud, mida nimetatakse polünoomi kordajateks ja polünoomi juhtivat kordajat nimetatakse muutuja asemel If
1 2 Sisu. 1. Sissejuhatus. 4-6 1.1. Abstraktne...4 1.2. Ülesanne 4 1.3. Töö eesmärk 5 1.4. Hüpotees..5 1.5. Uurimisaine... 5 1.6. Õppeobjekt. 5 1.7. Uudsus... 5-6 1.8. Uurimismeetodid...6
8.3, 8.4.2 klass, matemaatika (õpik Makarychev) 2018-2019 õppeaasta Mooduli teema „Täisarvud. Arvude jagatavus. Kraad täisarvu indikaatoriga ”Testis kontrollitakse teoreetilist ja praktilist osa. TEEMA Tea
Loeng RATSIONAALSETE MURUDE INTEGREERIMINE Ratsionaalmurrud Lihtratsionaalmurdude integreerimine Ratsionaalmurdu lagundamine lihtmurdudeks Ratsionaalmurdude integreerimine Ratsionaalne
Www.cryptolymp.ru XIX piirkondadevaheline matemaatika- ja krüptograafiaolümpiaad koolinoortele (11. klass) Ülesande 1 lahendus Esiteks märgime, et kui N pq, kus p ja q on algarvud, siis naturaalarvude arv,
Peatükk Täisarvud Jaguvuse teooria Täisarve nimetatakse arvudeks, -3, -, -, 0, 3, neid naturaalarve, 3, 4, samuti null- ja negatiivseid arve -, -, -3, -4, Kõikide täisarvude hulk on tähistatud
Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Uurali Riiklik Majandusülikool Yu. 4., rev. ja täiendav e-post: [e-postiga kaitstud],
(trigonomeetriliste jadade trigonomeetrilise süsteemi näited - laiendus intervallil [ -l; l ] suvalise perioodi funktsioonide korral - mittetäielik jada laiendamine siinustes ja koosinustes paaris ja paaritu jätk)
Teoreetiline arvutiteadus II Loeng 5. Täisarvulised algoritmid: laiendatud Eukleidese algoritm, pöördelement moodul, eksponentsiaalmoodul. Avaliku võtme krüptograafia, RSA protokoll. Tõenäosuslik
5. Bose-Chaudhury-Hokvinghami koodid Tsükliliste koodide korrigeerivaid omadusi saab määrata kahe teoreemi alusel. Teoreem 1. Iga m ja t jaoks on olemas tsükliline kood pikkusega n = 2 m 1 ja kordsusega
MODULAARITMEETIKA Mõnes rakenduses on mugav sooritada aritmeetilisi tehteid nn modulaarses esituses antud täisarvudega See esitus eeldab, et täisarv
MATEMAATIKA KASUTAMINE 00 Koryanov A.G. Ülesanded Brjanskist Saatke kommentaare ja ettepanekuid aadressile: [e-postiga kaitstud] VÕRRADUSED JA VÕRRADUSED TÄISARVUDES (kasvatusülesannetest olümpiaadiülesanneteni) Lineaarne
2.22. Võtke sulgudest välja ühistegur (n on naturaalarv): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Iga number oli määratud
15. LOEN ALGARVUD Ühest suuremat naturaalarvu p nimetatakse algarvuks, kui see jagub ainult 1-ga ja iseendaga. Teoreem (Euclid). Algarvude hulk on lõpmatu. Tähista π(x)
Teema 3. Algebralise ja analüütilise arvuteooria elemendid Teoreetiline materjal 1. Jätkuvad murded. Lõplik jätkuv murd on avaldis a +, (1), kus a on täisarv, a, i > 0, naturaalarvud,
Http://vk.ucoz.et/ Tehted polünoomidel k a k Polünoom (polünoom) astmega k on funktsioon kujul a, kus muutuja, a on arvulised koefitsiendid (=,.k) ja. Arvestada võib mis tahes nullist erinevat arvu
Penza Riiklik Pedagoogikaülikool sai nime V. G. Belinsky M. V. Glebov V. F. Timerbulatova
Täisarvude jaguvus jäägiga Olgu m täisarv ja n naturaalarv
Avdoshin S.M., Savelieva A.A. Algoritm lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks jääkrõngastes Töötatakse välja efektiivne algoritm jääkrõngaste lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks, mis on keerukuselt samaväärne
RAKENDUSALGEBRA. I osa: Lõplikud väljad (Galois väljad) I 1 / 88 I osa Lõplikud väljad (Galois väljad) I RAKENDAS ALGEBRAT. I osa: Lõplikud väljad (Galois' väljad) I 2/88 Jääkväljad algarvu modulo
5 Algebralised struktuurid 6 Definitsioon Binaartehte hulgal S on S S vastendamine S-ks
/E Arvuteooria elemendid ja. Rochev 28. august 2018 ..... 1 1.2 Suurim ühisjagaja ...................................
Peatükk Täisarvud, ratsionaal- ja reaalarvud. Jagage jäägiga. Jagage kõik arvud ±23, ±4 ülejäänud osaga iga numbriga ±5. 2. Leia kõik 42 positiivsed jagajad. 3. Kell on praegu 3.
Diferentsiaalvõrrandid loeng 4 Võrrandid summaarsetes diferentsiaalides. Integreeriv tegur Lektor Anna Igorevna Sherstneva 9. Võrrandid summaarsetes diferentsiaalides Võrrandit d + d = 14 nimetatakse võrrandiks
Teema. Elementaararvuteooria alused ja rakendused. Primitiivsed juured, indeksid. Teoreetiline materjal Olgu a, m naturaalarvud ja m, siis vastavalt Euleri teoreemile a m)
Matemaatika ja informaatika osakond Kõrgmatemaatika elemendid Õppe- ja metoodiline kompleks kaugtehnoloogiate abil õppivatele keskeriõppe üliõpilastele Piiriteooria moodul Koostanud: dotsent
2. jagu. Numbrilised meetodid krüptograafias Iseseisva töö ülesanne Uurida krüptograafias laialdaselt kasutatavaid algoritme. Arvuteooria elemendid: laiendatud Eukleidese algoritm;
Teemaplaneering põhineb 206-207 õppeaasta programmimaterjalil õpiku "Algebra 8" järgi, toim. A.G. Mordkovich, võttes arvesse soovitatavat kohustuslikku minimaalset hariduse sisu Teema
Loeng 2. Binoomkoefitsientide omadused. Summeerimine ja funktsioonide genereerimise meetod (lõppjuhtum). Polünoomkoefitsiendid. Binoom- ja polünoomkoefitsientide hinnangud. Summa hinnangud
Vaatleme seda algoritmi näitega. Otsime üles
1. samm. Jagame juure all oleva numbri kaheks numbriks (paremalt vasakule):
2. samm. Me eraldame ruutjuure esimesest tahust, see tähendab arvust 65, saame arvu 8. Esimese tahu alla kirjutame numbri 8 ruudu ja lahutame. Teise näo (59) omistame ülejäänud osale:
(number 159 on esimene jääk).
3. samm. Kahekordistame leitud juure ja kirjutame tulemuse vasakule:
4. samm. Ülejäänus (159) eraldame paremalt ühe numbri, vasakul saame kümnete arvu (see võrdub 15-ga). Seejärel jagame 15 juure kahekordistunud esimese numbriga ehk 16-ga, kuna 15 ei jagu 16-ga, siis jagatis saame nulli, mille kirjutame juure teiseks numbriks. Niisiis, jagatis saime arvu 80, mille kahekordistame uuesti ja lammutame järgmise näo
(number 15901 on teine jääk).
5. samm. Eraldame teises jäägis ühe numbri paremalt ja jagame saadud arvu 1590 160-ga. Tulemus (arv 9) kirjutatakse juure kolmandaks numbriks ja omistatakse arvule 160. Saadud arv 1609 korrutatakse 9-ga. ja leiame järgmise jäägi (1420):
Edasised toimingud tehakse algoritmis näidatud järjekorras (juurt saab vajaliku täpsusega eraldada).
kommenteerida. Kui juuravaldis on kümnendmurd, jagatakse selle täisarvuline osa kaheks numbriks paremalt vasakule, murdosa jagatakse kaheks numbriks vasakult paremale ja juur ekstraheeritakse vastavalt määratud algoritmile.
DIDAKTILINE MATERJAL
1. Võtame arvu ruutjuure: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.
Tervitused lugejatele ja meie saidi külastajatele!. Selles jaotises analüüsime erinevaid algoritme, aga ka nende rakendamist Pascalis.
Tänase tunni materjali valdamiseks vajate teadmisi ja.
Täna kaalume kolme algoritmi (viiest) kahe täisarvu suurima ühise jagaja leidmiseks, millest kaks on otseselt seotud Eukleidese nimega. Järgmises jaotises käsitleme veel kahte.
Kahe arvu a ja b suurim ühisjagaja (gcd) on suurim täisarv, mis jagab need mõlemad.
Näide: gcd(25, 5) = 5; gcd(12, 18) = 6.
Otsingu algoritm
Alustame sellest d- kahest arvust väikseim. See on esimene, ilmne kandidaat nende suurimaks ühiseks jagajaks. Ja siis, kuni d jagab mõlemad arvud, vähendame seda ühe võrra. Niipea kui selline jaotus on tagatud, peatame d vähenemise.
Var a, b, d: täisarv; begin write("Sisesta kaks numbrit: "); readln(a, b); kui a< b then d:= a + 1 else d:= b + 1; {так как мы используем цикл с постусловием, необходимо минимальное значение увеличить на один, иначе цикл repeat, в силу своих конструктивных особенностей, не учтет это минимальное число и не сделает его кандидатом в НОД. Например, 5 и 25.} repeat d:= d - 1 until (a mod d = 0) and (b mod d = 0); write("NOD = ", d) end.
Pöördume selle programmi juurde, näiteks numbritega 30 ja 18. Seejärel tuleb teel vastuseni (number 6) läbida numbrid: 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12 , 11, 10, 9, 8, 7 .6.
Eukleidese algoritm "lahutusega"
Olgu a ja b täisarvud, siis on tõesed järgmised väited:
- Kõik paari a ja b ühised jagajad on ka paari a - b, b ühisjagajad;
- Ja vastupidi, kõik paari a - b ja b ühised jagajad on ka paari a ja b ühised jagajad;
- gcd(A, B) = gcd(A - B, B), kui A > B;
- gcd(A, 0) = A.
Tõestus:
- Kui t on a ja b suvaline ühisjagaja, jagab see ka erinevuse a - b. Tõepoolest, a = t * u ja b = t * v põhjal järeldub, et a - b = t * u - t * v = t * (u - v). See tähendab, et t on ka a - b ja b ühine jagaja.
- Ja vastupidi, kui t on suvaline jagaja, a - b ja b ühisjagaja, jagab see ka nende summa a - b + b = a. Seda saab tõestada analoogselt eelmisega. Seetõttu on t ka a ja b ühine jagaja.
- Järeldame, et ühisjagajate hulk a ja b ühtib jagajate hulgaga a - b ja b. Eelkõige langevad kokku ka nende paaride suurimad ühised jagajad.
- Suurim täisarv, mis jagab arvu a, on arv a ise. Arv 0 jagub mis tahes arvuga. Seega on a ja 0 suurim ühisjagaja a.
Tõestatud valem (3) võimaldab taandada ühe paari suurima jagaja arvutamise teise paari suurima ühisjagaja arvutamiseks, milles arvud on juba väiksemad. Ilmne valem (4) annab meile teada, millal peatuda.
Lühidalt, Eukleidese "lahutamise" algoritm oleks järgmine. Lahutame suuremast arvust väiksema arvu ja asendame suurema vahega, kuni üks arvudest muutub nulliks. Siis on ülejäänud nullist erinev arv suurim ühisjagaja.
Näide. Olgu a = 82 ja b = 60. GCD(82, 60) = GCD(22, 60) = GCD(22, 38) = GCD(22, 16) = GCD(6, 16) = GCD(6, 10) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(2, 2) = gcd(2, 0) = 2.
Algoritmi eelviimasel sammul, enne 0 ilmumist, on mõlemad arvud võrdsed, muidu poleks saanud tekkida 0. Seetõttu ekstraheerime GCD just sellel hetkel.
Eukleidese "lahutamise" algoritmi plokkskeem
Programm
var a, b: täisarv; begin write("a = "); readln(a); write("b = "); readln(b); samas a<>b tee, kui a > b, siis a:= a - b else b:= b - a; writeln("NOD = ", a); lõpp.Eukleidese algoritm "jagamisega"
Olgu a ja b täisarvud ning r a jagamise b-ga jääk. Siis gcd(a, b) = gcd(b, r).
See valem võimaldab ka taandada ühe arvupaari suurima ühisjagaja arvutamise teise arvupaari suurima ühisjagaja arvutamiseks.
Näide. gcd(82, 60) = gcd(22, 60) = gcd(22, 16) = gcd(6, 16) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(0, 2) = 2 .
Var a, b: täisarv; begin write("a = "); readln(a); write("b = "); readln(b); samal ajal (a<>0) ja (b<>0) tee, kui a >= b, siis a:= a mod b else b:= b mod a; kirjuta(a + b) lõpp.
See on tänaseks kõik! Järgmistes õppetundides saate teada veel mõned Eukleidese algoritmi modifikatsioonid ja GCD leidmise viisid.