Izgradnja modela stohastičkog procesa. Metoda za konstruisanje stohastičkih modela jednostepenih procesa Anastasia Vyacheslavovna Demidova. Materijalno modeliranje se bitno razlikuje od idealnog modeliranja, zasnovanog na idealnom, zamislivom sv.

24.08.2020

Serija "Ekonomija i menadžment"

6. Kondratiev N.D. Veliki konjukturni ciklusi i teorija predviđanja. - M.: Ekonomija, 2002. 768 str.

7. Kuzyk B.N., Kushlin V.I., Yakovets Yu.V. Predviđanje, strateško planiranje i nacionalno programiranje. M.: Izdavačka kuća "Ekonomija", 2008. 573 str.

8. Lyasnikov N.V., Dudin M.N. Modernizacija inovativne ekonomije u kontekstu formiranja i razvoja tržišta ulaganja // Društvene znanosti. M.: Izdavačka kuća "MII Nauka", 2011. br. 1. S. 278-285.

9. Sekerin V.D., Kuznjecova O.S. Razvoj strategije upravljanja inovacijskim projektima // Bilten Moskovske državne akademije za poslovnu administraciju. Serija: Economy. - 2013. br. 1 (20). - S. 129 - 134.

10. Yakovlev V.M., Senin A.S. Ne postoji alternativa inovativnom tipu razvoja ruske privrede // Aktuelna pitanja inovativne ekonomije. M.: Izdavačka kuća "Nauka"; Institut za menadžment i marketing Ruske akademije nauka i umetnosti pri predsedniku Ruske Federacije, 2012. br. 1(1).

11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Korištenje ekološkog pristupa u inovativnom razvoju industrijskih poduzeća // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Vol. 11, br. 2, - str. 189-194.

12. Dudin M.N. Sistematski pristup određivanju načina interakcije velikih i malih preduzeća // European Journal of Economic Studies. 2012. Vol. (2), br.2, str.84-87.

13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. Inovativna transformacija i transformacijski potencijal društveno-ekonomskih sistema // Middle East Journal of Scientific Research, 2013. Vol. 17, br. 10. P. 1434-1437.

14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. Inovativno predviđanje kao metoda upravljanja strateškim održivim razvojem poslovnih struktura // World Applied Sciences Journal. - 2013. - Vol. 26, br. 8. - P. 1086-1089.

15. Sekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovsky M. Ya., Aleksakhina V. G. B2G tržište: suština i statistička analiza // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014.

Izgradnja jednoparametarskog, stohastičkog modela proizvodnog procesa

dr.sc. vanr. Mordasov Yu.P.

Mašinski univerzitet, 8-916-853-13-32, [email protected] gi

Anotacija. Autor je razvio matematički stohastički model proizvodnog procesa u zavisnosti od jednog parametra. Model je testiran. Za to je kreiran simulacijski model procesa proizvodnje, mašinogradnje, uzimajući u obzir uticaj slučajnih poremećaja-kvarova. Poređenje rezultata matematičkog i simulacionog modeliranja potvrđuje svrsishodnost primjene matematičkog modela u praksi.

Ključne riječi: tehnološki proces, matematika, simulacijski model, operativno upravljanje, aprobacija, slučajne perturbacije.

Troškovi operativnog upravljanja mogu se značajno smanjiti razvojem metodologije koja vam omogućava da pronađete optimum između troškova operativnog planiranja i gubitaka koji nastaju zbog neslaganja između planiranih pokazatelja i pokazatelja stvarnih proizvodnih procesa. To znači pronalaženje optimalnog trajanja signala u povratnoj petlji. U praksi to znači smanjenje broja proračuna kalendarskih rasporeda za puštanje montažnih jedinica u proizvodnju i, zbog toga, uštedu materijalnih resursa.

Tok proizvodnog procesa u mašinstvu je vjerovatnoće. Stalni uticaj faktora koji se neprestano menjaju ne omogućavaju da se za određenu perspektivu (mjesec, kvartal) predvidi tok proizvodnog procesa u prostoru i vremenu. U statističkim modelima raspoređivanja, stanje dijela u svakom određenom trenutku treba dati u obliku odgovarajuće vjerovatnoće (distribucije vjerovatnoće) da se on nalazi na različitim radnim mjestima. Međutim, potrebno je osigurati determinizam konačnog rezultata preduzeća. To, pak, podrazumijeva mogućnost da se determinističkim metodama planiraju određeni termini za dijelove koji će biti u proizvodnji. Međutim, iskustvo pokazuje da su različiti međusobni odnosi i međusobne tranzicije stvarnih proizvodnih procesa raznolike i brojne. Prilikom razvoja determinističkih modela to stvara značajne poteškoće.

Pokušaj da se uzmu u obzir svi faktori koji utiču na tok proizvodnje čini model glomaznim i on prestaje da funkcioniše kao alat za planiranje, računovodstvo i regulaciju.

Jednostavnija metoda za konstruisanje matematičkih modela složenih realnih procesa koji zavise od velikog broja različitih faktora, koje je teško ili čak nemoguće uzeti u obzir, jeste konstrukcija stohastičkih modela. U ovom slučaju, kada se analiziraju principi funkcionisanja realnog sistema ili kada se posmatraju njegove individualne karakteristike, grade se funkcije raspodele verovatnoće za neke parametre. U prisustvu visoke statističke stabilnosti kvantitativnih karakteristika procesa i njihove male disperzije, rezultati dobijeni korišćenjem konstruisanog modela su u dobroj saglasnosti sa performansama realnog sistema.

Glavni preduslovi za izgradnju statističkih modela ekonomskih procesa su:

Prekomjerna složenost i povezana ekonomska neefikasnost odgovarajućeg determinističkog modela;

Velika odstupanja teorijskih pokazatelja dobijenih kao rezultat eksperimenta na modelu od pokazatelja stvarno funkcionalnih objekata.

Stoga je poželjno imati jednostavan matematički aparat koji opisuje uticaj stohastičkih poremećaja na globalne karakteristike proizvodnog procesa (proizvodnja robe, obim nedovršene proizvodnje, itd.). Odnosno, izgraditi matematički model proizvodnog procesa koji zavisi od malog broja parametara i odražava ukupan uticaj mnogih faktora različite prirode na tok proizvodnog procesa. Osnovni zadatak koji istraživač treba da sebi postavi prilikom izgradnje modela nije pasivno posmatranje parametara realnog sistema, već konstrukcija takvog modela koji bi, uz bilo koje odstupanje pod uticajem smetnji, doneo parametre prikazanog sistema. obrađuje na zadati način. Odnosno, pod djelovanjem bilo kojeg slučajnog faktora, u sistemu se mora uspostaviti proces koji konvergira planiranom rješenju. Trenutno, u automatizovanim sistemima upravljanja, ova funkcija je uglavnom dodeljena osobi, koja je jedna od karika u lancu povratnih informacija u upravljanju proizvodnim procesima.

Okrenimo se analizi stvarnog proizvodnog procesa. Obično se trajanje planskog perioda (učestalost izdavanja planova radionicama) bira na osnovu tradicionalno utvrđenih kalendarskih vremenskih intervala: smjena, dan, pet dana itd. Oni se uglavnom rukovode praktičnim razmatranjima. Minimalno trajanje planskog perioda određeno je operativnim sposobnostima planiranih organa. Ako se proizvodno-otpremni odjel preduzeća nosi sa izdavanjem prilagođenih smjenskih zadataka radnjama, tada se obračun vrši za svaku smjenu (odnosno, troškovi povezani s obračunom i analizom planiranih ciljeva nastaju svake smjene).

Odrediti numeričke karakteristike distribucije vjerovatnoće slučajnog

Serija poremećaja "Ekonomija i menadžment" izgradiće verovatnoćarski model realnog tehnološkog procesa proizvodnje jedne montažne jedinice. Ovdje i dalje pod tehnološkim procesom izrade montažne jedinice podrazumijeva se niz operacija (radova na izradi ovih dijelova ili sklopova), dokumentiranih u tehnologiji. Svaka tehnološka operacija izrade proizvoda u skladu sa tehnološkom trasom može se izvesti tek nakon prethodne. Shodno tome, tehnološki proces proizvodnje montažne jedinice je niz događaja-operacija. Pod uticajem različitih stohastičkih razloga, trajanje pojedine operacije može se promeniti. U nekim slučajevima, operacija možda neće biti dovršena tokom važenja ovog smjenskog posla. Očigledno je da se ovi događaji mogu dekomponovati na elementarne komponente: performanse i neizvođenje pojedinih operacija, koje se takođe mogu dovesti u korespondenciju sa verovatnoćama izvođenja i neizvršenja.

Za određeni tehnološki proces, vjerovatnoća izvođenja niza koji se sastoji od K operacija može se izraziti sljedećom formulom:

PC5 \u003d k) \u003d (1-pk + 1) PG = 1P1, (1)

gdje je: P1 - vjerovatnoća izvođenja 1. operacije, odvojeno; r je broj operacije po redu u tehnološkom procesu.

Ova formula se može koristiti za određivanje stohastičkih karakteristika određenog planskog perioda, kada je asortiman proizvoda puštenih u proizvodnju i spisak radova koji se moraju izvesti u datom planskom periodu, kao i njihove stohastičke karakteristike, koje se utvrđuju empirijski. , poznati su. U praksi, samo pojedini tipovi masovne proizvodnje, koji imaju visoku statističku stabilnost karakteristika, zadovoljavaju navedene zahtjeve.

Vjerovatnoća izvođenja jedne operacije ovisi ne samo o vanjskim faktorima, već i o specifičnosti obavljenog posla i o vrsti montažne jedinice.

Za određivanje parametara gornje formule, čak i uz relativno mali skup montažnih jedinica, uz male promjene u asortimanu proizvedenih proizvoda, potrebna je značajna količina eksperimentalnih podataka, što uzrokuje značajne materijalne i organizacione troškove i čini ovu metodu utvrđivanje vjerovatnoće neprekidne proizvodnje proizvoda teško primjenjivo.

Proučimo dobijeni model radi mogućnosti njegovog pojednostavljenja. Početna vrijednost analize je vjerovatnoća neometanog izvođenja jedne operacije tehnološkog procesa proizvodnje proizvoda. U realnim proizvodnim uslovima, verovatnoće izvođenja operacija svake vrste su različite. Za određeni tehnološki proces, ova vjerovatnoća zavisi od:

Od vrste izvršene operacije;

Od određene montažne jedinice;

Od proizvoda proizvedenih paralelno;

od spoljnih faktora.

Analizirajmo uticaj fluktuacija verovatnoće izvođenja jedne operacije na agregirane karakteristike proizvodnog procesa proizvodnih proizvoda (obim komercijalne proizvodnje, obim proizvodnje u toku, itd.) određene ovim modelom. Cilj rada je da se analizira mogućnost zamjene u modelu različitih vjerovatnoća izvođenja jedne operacije sa prosječnom vrijednošću.

Kombinovani efekat svih ovih faktora uzima se u obzir prilikom izračunavanja prosečne geometrijske verovatnoće izvođenja jedne operacije prosečnog tehnološkog procesa. Analiza savremene proizvodnje pokazuje da ona neznatno varira: praktično unutar 0,9 - 1,0.

Jasna ilustracija koliko je mala vjerovatnoća izvođenja jedne operacije

voki-toki odgovara vrijednosti od 0,9, sljedeći je apstraktni primjer. Recimo da imamo deset komada za napraviti. Tehnološki procesi proizvodnje svakog od njih sadrže deset operacija. Vjerovatnoća izvođenja svake operacije je 0,9. Nađimo vjerovatnoće zaostajanja za rasporedom za različit broj tehnoloških procesa.

Slučajni događaj, koji se sastoji u činjenici da će određeni tehnološki proces proizvodnje montažne jedinice zaostati u rasporedu, odgovara nedovoljnom učinku najmanje jedne operacije u ovom procesu. To je suprotno od događaja: izvršenje svih operacija bez greške. Njegova vjerovatnoća je 1 - 0,910 = 0,65. Pošto su kašnjenja u rasporedu nezavisni događaji, Bernulijeva distribucija vjerovatnoće se može koristiti za određivanje vjerovatnoće kašnjenja rasporeda za različit broj procesa. Rezultati proračuna su prikazani u tabeli 1.

Tabela 1

Proračun vjerovatnoće zaostajanja za rasporedom tehnoloških procesa

do C^o0.35k0.651O-k Zbir

Tabela pokazuje da će sa vjerovatnoćom od 0,92 pet tehnoloških procesa zaostati za rasporedom, odnosno za polovinu. Matematičko očekivanje broja tehnoloških procesa koji zaostaju za planom biće 6,5. To znači da će u prosjeku zaostajati 6,5 montažnih jedinica od 10, odnosno u prosjeku će se bez kvarova proizvesti od 3 do 4 dijela. Autoru nisu poznati primjeri ovako niske organizacije rada u stvarnoj proizvodnji. Razmatrani primjer jasno pokazuje da nametnuto ograničenje na vrijednost vjerovatnoće izvođenja jedne operacije bez kvarova nije u suprotnosti sa praksom. Sve navedene zahtjeve ispunjavaju proizvodni procesi mašinsko-montažnih radnji mašinsko-građevinske proizvodnje.

Dakle, za određivanje stohastičkih karakteristika proizvodnih procesa, predlaže se konstruisanje distribucije verovatnoće za operativno izvođenje jednog tehnološkog procesa, koja izražava verovatnoću izvođenja niza tehnoloških operacija za izradu montažne jedinice kroz geometrijsku prosečnu verovatnoću izvođenje jedne operacije. Vjerovatnoća izvođenja K operacija u ovom slučaju će biti jednaka umnošku vjerovatnoće izvođenja svake operacije, pomnoženoj sa vjerovatnoćom neizvršavanja ostatka tehnološkog procesa, što se poklapa sa vjerovatnoćom neizvršavanja (K + T )-ta operacija. Ova činjenica se objašnjava činjenicom da ako se bilo koja operacija ne izvrši, onda se sljedeće ne mogu izvršiti. Posljednji unos se razlikuje od ostalih, jer izražava vjerovatnoću potpunog prolaska bez kvara cjelokupnog tehnološkog procesa. Vjerovatnoća izvođenja K prvih operacija tehnološkog procesa je jedinstveno povezana sa vjerovatnoćom neizvršavanja preostalih operacija. Dakle, distribucija vjerovatnoće ima sljedeći oblik:

PY=0)=p°(1-p),

R(§=1) = r1(1-r), (2)

P(^=1) = p1(1-p),

P(t=u-1) = pn"1(1 - p), P(t=n) = pn,

gdje je: ^ - slučajna vrijednost, broj izvršenih operacija;

p je srednja geometrijska vjerovatnoća izvođenja jedne operacije, n je broj operacija u tehnološkom procesu.

Valjanost primjene dobijene jednoparametarske distribucije vjerovatnoće intuitivno je evidentna iz sljedećeg rezonovanja. Pretpostavimo da smo izračunali geometrijsku sredinu vjerovatnoće izvođenja jedne 1 operacije na uzorku od n elemenata, gdje je n dovoljno veliko.

p = USHT7P7= tl|n]t=1p!), (3)

gdje je: Iy - broj operacija koje imaju istu vjerovatnoću izvršenja; ] - indeks grupe operacija koje imaju istu vjerovatnoću izvršenja; m - broj grupa koje se sastoje od operacija koje imaju istu vjerovatnoću izvršenja;

^ = - - relativna učestalost pojavljivanja operacija sa vjerovatnoćom izvršenja p^.

Prema zakonu velikih brojeva, sa neograničenim brojem operacija, relativna učestalost pojavljivanja u nizu operacija sa određenim stohastičkim karakteristikama teži vjerovatnoći prema vjerovatnoći ovog događaja. Odakle to slijedi

za dva dovoljno velika uzorka = , tada:

gdje je: t1, t2 - broj grupa u prvom i drugom uzorku, respektivno;

1*, I2 - broj elemenata u grupi prvog i drugog uzorka, respektivno.

Iz ovoga se može vidjeti da ako se parametar izračunava za veliki broj testova, onda će biti blizu parametra P izračunatom za ovaj prilično veliki uzorak.

Treba obratiti pažnju na različitu blizinu pravoj vrijednosti vjerovatnoća izvođenja različitog broja procesnih operacija. U svim elementima raspodjele, osim u posljednjem, postoji faktor (I - P). Budući da je vrijednost parametra P u rasponu od 0,9 - 1,0, faktor (I - P) varira između 0 - 0,1. Ovaj množitelj odgovara množitelju (I - p;) u originalnom modelu. Iskustvo pokazuje da ova korespondencija za određenu vjerovatnoću može uzrokovati grešku do 300%. Međutim, u praksi se obično ne zanimaju vjerovatnoće izvođenja bilo kojeg broja operacija, već vjerovatnoća potpunog izvršenja bez kvarova u tehnološkom procesu. Ova vjerovatnoća ne sadrži faktor (I - P), te je stoga njeno odstupanje od stvarne vrijednosti malo (praktično ne više od 3%). Za ekonomske zadatke, ovo je prilično visoka preciznost.

Ovako konstruirana raspodjela vjerovatnoće slučajne varijable je stohastički dinamički model proizvodnog procesa montažne jedinice. Vrijeme u tome učestvuje implicitno, kao trajanje jedne operacije. Model vam omogućava da odredite vjerovatnoću da nakon određenog vremenskog perioda (odgovarajućeg broja operacija) proizvodni proces proizvodnje montažne jedinice neće biti prekinut. Za mehaničko montažne radnje mašinogradnje, prosječan broj operacija jednog tehnološkog procesa je prilično velik (15 - 80). Ako ovaj broj uzmemo u obzir kao osnovni broj i pretpostavimo da se u prosjeku u proizvodnji jedne montažne jedinice koristi mali skup proširenih vrsta radova (struganje, bravar, glodanje itd.),

onda se rezultujuća raspodela može uspešno koristiti za procenu uticaja stohastičkih poremećaja na tok proizvodnog procesa.

Autor je proveo simulacijski eksperiment izgrađen na ovom principu. Za generiranje niza pseudo-slučajnih varijabli ravnomjerno raspoređenih u intervalu 0,9 - 1,0, korišten je generator pseudoslučajnih brojeva, opisan u . Softver eksperimenta je napisan u algoritamskom jeziku COBOL.

U eksperimentu se formiraju proizvodi generisanih slučajnih varijabli, simulirajući realne vjerovatnoće potpunog izvođenja određenog tehnološkog procesa. Upoređuju se sa vjerovatnoćom izvođenja tehnološkog procesa, dobijenom pomoću srednje geometrijske vrijednosti, koja je izračunata za određeni niz slučajnih brojeva iste distribucije. Geometrijska sredina se podiže na stepen jednak broju faktora u proizvodu. Između ova dva rezultata izračunava se relativna razlika u procentima. Eksperiment se ponavlja za različit broj faktora u proizvodima i broj brojeva za koje se izračunava geometrijska sredina. Fragment rezultata eksperimenta prikazan je u tabeli 2.

tabela 2

Rezultati simulacionog eksperimenta:

n je stepen geometrijske sredine; k - stepen proizvoda

n do odstupanja proizvoda do proizvoda odstupanja do odstupanja proizvoda

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

Prilikom postavljanja ovog simulacionog eksperimenta, cilj je bio istražiti mogućnost dobijanja, korištenjem distribucije vjerovatnoće (2), jedne od proširenih statističkih karakteristika proizvodnog procesa - vjerovatnoće izvođenja jednog tehnološkog procesa izrade montažne jedinice koja se sastoji od K operacija bez kvarova. Za određeni tehnološki proces, ova vjerovatnoća je jednaka proizvodu vjerovatnoća izvođenja svih njegovih operacija. Kao što pokazuje simulacijski eksperiment, njegova relativna odstupanja od vjerovatnoće dobijene korištenjem razvijenog vjerovatnostnog modela ne prelaze 9%.

Budući da simulacijski eksperiment koristi distribuciju vjerovatnoće koja je nezgodnija od stvarne, praktična odstupanja će biti još manja. Odstupanja se uočavaju kako u pravcu opadanja tako i u pravcu prekoračenja vrednosti dobijene iz prosečnih karakteristika. Ova činjenica sugerira da ako uzmemo u obzir odstupanje vjerovatnoće bezuspješnog izvođenja ne jednog tehnološkog procesa, već nekoliko, onda će to biti mnogo manje. Očigledno, što će biti manji, više će se razmatrati tehnološki procesi. Dakle, simulacijski eksperiment pokazuje dobro slaganje vjerovatnoće izvođenja bez kvarova tehnološkog procesa proizvodnje proizvoda sa vjerovatnoćom dobivenom korištenjem jednoparametarskog matematičkog modela.

Osim toga, izvedeni su i simulacijski eksperimenti:

Proučiti statističku konvergenciju procjene parametara distribucije vjerovatnoće;

Proučiti statističku stabilnost matematičkog očekivanja broja operacija izvedenih bez otkaza;

Analizirati metode za određivanje trajanja minimalnog planskog perioda i procjenu neslaganja između planiranih i stvarnih pokazatelja procesa proizvodnje, ukoliko se planirani i proizvodni periodi vremenski ne poklapaju.

Eksperimenti su pokazali dobro slaganje između teorijskih podataka dobijenih upotrebom tehnika i empirijskih podataka dobijenih simulacijom na

Serija "Ekonomija i menadžment"

Računar stvarnih proizvodnih procesa.

Na osnovu primene konstruisanog matematičkog modela, autor je razvio tri specifične metode za unapređenje efikasnosti operativnog upravljanja. Za njihovu provjeru provedeni su zasebni simulacijski eksperimenti.

1. Metodologija za određivanje racionalnog obima proizvodnog zadatka za planski period.

2. Metodologija za određivanje najefikasnijeg trajanja perioda operativnog planiranja.

3. Procjena neslaganja u slučaju vremenskog neusklađenosti između planiranog i proizvodnog perioda.

Književnost

1. Mordasov Yu.P. Određivanje trajanja minimalnog operativnog planskog perioda pod dejstvom slučajnih smetnji / Ekonomsko-matematičko i simulaciono modelovanje korišćenjem računara. - M: MIU im. S. Ordžonikidze, 1984.

2. Naylor T. Eksperimenti simulacije mašina sa modelima ekonomskih sistema. -M: Mir, 1975.

Prelazak sa koncentracije na diversifikaciju je efikasan način za razvoj privrede malih i srednjih preduzeća

prof. Kozlenko N. N. Univerzitet mašinstva

Anotacija. Ovaj članak razmatra problem izbora najefikasnijeg razvoja ruskih malih i srednjih preduzeća kroz prelazak sa strategije koncentracije na strategiju diverzifikacije. Razmatrana su pitanja svrsishodnosti diverzifikacije, njenih prednosti, kriterijuma za izbor puta diverzifikacije, data je klasifikacija strategija diverzifikacije.

Ključne riječi: mala i srednja preduzeća; diversifikacija; strateško uklapanje; konkurentske prednosti.

Aktivna promjena parametara makro okruženja (promjene tržišnih uslova, pojava novih konkurenata u srodnim djelatnostima, povećanje nivoa konkurencije općenito) često dovodi do neispunjavanja planiranih strateških planova malih i srednjih preduzeća. -veličina preduzeća, gubitak finansijske i ekonomske stabilnosti preduzeća zbog značajnog jaza između objektivnih uslova za rad malih preduzeća i nivoa tehnologije za upravljanje njima.

Osnovni uslovi ekonomske stabilnosti i mogućnosti održavanja konkurentskih prednosti su sposobnost sistema menadžmenta da pravovremeno reaguje i promeni interne proizvodne procese (promena asortimana uzimajući u obzir diversifikaciju, rekonstrukciju proizvodnih i tehnoloških procesa, promene strukture organizacije, koristiti inovativne marketinške i upravljačke alate).

Studija prakse ruskih malih i srednjih preduzeća proizvodnog tipa i usluge otkrila je sledeće karakteristike i osnovne uzročno-posledične veze u vezi sa aktuelnim trendom tranzicije malih preduzeća iz koncentracije u diversifikaciju.

Većina malih i srednjih preduzeća počinje kao mala, jedinstvena preduzeća koja opslužuju lokalna ili regionalna tržišta. Na početku svoje delatnosti, proizvodni asortiman takve kompanije je veoma ograničen, kapitalna baza slaba, a konkurentska pozicija ranjiva. Obično se strategija takvih kompanija fokusira na rast prodaje i tržišnog udjela, kao i

4. Šema za konstruisanje stohastičkih modela

Izgradnja stohastičkog modela uključuje razvoj, procjenu kvaliteta i proučavanje ponašanja sistema korištenjem jednačina koje opisuju proces koji se proučava. Da biste to učinili, provođenjem posebnog eksperimenta sa stvarnim sistemom, dobivaju se početne informacije. U ovom slučaju se koriste metode planiranja eksperimenata, obrade rezultata, kao i kriterijumi za vrednovanje dobijenih modela, zasnovani na sekcijama matematičke statistike kao što su disperzija, korelacija, regresiona analiza itd.

Faze razvoja stohastičkog modela:

formulacija problema

izbor faktora i parametara

izbor tipa modela

planiranje eksperimenta

sprovođenje eksperimenta prema planu

izgradnju statističkog modela

validacija modela (vezano za 8, 9, 2, 3, 4)

prilagođavanje modela

istraživanje procesa s modelom (povezano s 11)

definicija parametara optimizacije i ograničenja

optimizacija procesa sa modelom (povezan sa 10 i 13)

eksperimentalne informacije opreme za automatizaciju

kontrola procesa sa modelom (povezano sa 12)

Kombinovanje koraka 1 do 9 daje nam informacioni model, koraci 1 do 11 daje nam model optimizacije, a kombinovanje svih stavki nam daje model kontrole.

5. Alati za obradu modela

Koristeći CAE sisteme, možete izvršiti sljedeće procedure za obradu modela:

preklapanje mreže konačnih elemenata na 3D model,

problemi toplotno napregnutog stanja; problemi dinamike fluida;

problemi prijenosa topline i mase;

kontakt zadaci;

kinematičke i dinamičke proračune itd.

simulacijsko modeliranje složenih proizvodnih sistema zasnovanih na modelima čekanja i Petrijevim mrežama

Tipično, CAE moduli pružaju mogućnost bojenja i slika u sivim tonovima, superponiranja originalnih i deformiranih dijelova, vizualizacije tokova tekućine i plina.

Primeri sistema za modeliranje polja fizičkih veličina u skladu sa MKE: Nastran, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

Primjeri sistema za modeliranje dinamičkih procesa na makro nivou: Adams i Dyna - u mehaničkim sistemima, Spice - u elektronskim kolima, PA9 - za višedimenzionalno modeliranje, tj. za modeliranje sistema čiji se principi zasnivaju na međusobnom uticaju fizičkih procesa različite prirode.

6. Matematičko modeliranje. Analitički i simulacijski modeli

Matematički model - skup matematičkih objekata (brojeva, varijabli, skupova itd.) i relacija među njima, koji na odgovarajući način odražava neka (esencijalna) svojstva projektovanog tehničkog objekta. Matematički modeli mogu biti geometrijski, topološki, dinamički, logički itd.

- adekvatnost reprezentacije simuliranih objekata;

Područje adekvatnosti je područje u prostoru parametara, unutar koje greške modela ostaju u prihvatljivim granicama.

- ekonomičnost (računarska efikasnost)- određuje se prema cijeni resursa,
potrebno za implementaciju modela (računarsko vrijeme, korištena memorija, itd.);

- tačnost - određuje stepen podudarnosti izračunatih i istinitih rezultata (stepen korespondencije između procjena svojstava istog imena objekta i modela).

Matematičko modeliranje- proces izgradnje matematičkih modela. Uključuje sljedeće korake: postavljanje problema; izgradnja modela i njegova analiza; razvoj metoda za dobijanje projektnih rješenja na modelu; eksperimentalna verifikacija i korekcija modela i metoda.

Kvalitet kreiranih matematičkih modela u velikoj mjeri ovisi o ispravnoj formulaciji problema. Potrebno je utvrditi tehničke i ekonomske ciljeve problema koji se rješava, prikupiti i analizirati sve početne informacije, utvrditi tehnička ograničenja. U procesu izgradnje modela treba koristiti metode sistemske analize.

Proces modeliranja je po pravilu iterativnog karaktera, što omogućava prečišćavanje prethodnih odluka donesenih u prethodnim fazama razvoja modela u svakom koraku iteracije.

Analitički modeli - numeričke matematičke modele koji se mogu predstaviti kao eksplicitne zavisnosti izlaznih parametara od internih i eksternih parametara. Simulacijski modeli - numerički algoritamski modeli koji prikazuju procese u sistemu u prisustvu eksternih uticaja na sistem. Algoritamski modeli - modeli u kojima je odnos izlaznih, unutrašnjih i eksternih parametara implicitno specificiran u obliku algoritma za modeliranje. Simulacijski modeli se često koriste na nivou dizajna sistema. Simulacijsko modeliranje se izvodi reprodukcijom događaja koji se dešavaju istovremeno ili uzastopno u vremenu modela. Primjer simulacionog modela može se smatrati korištenjem Petrijeve mreže za simulaciju sistema čekanja.

7. Osnovni principi za konstruisanje matematičkih modela

Klasični (induktivni) pristup. Pravi objekat koji se modelira podijeljen je u zasebne podsisteme, tj. odabiru se početni podaci za modeliranje i postavljaju ciljevi koji odražavaju određene aspekte procesa modeliranja. Na osnovu posebnog skupa početnih podataka, cilj je modelirati poseban aspekt funkcionisanja sistema, na osnovu čega se formira određena komponenta budućeg modela. Skup komponenti je kombinovan u model.

Takav klasični pristup može se koristiti za kreiranje prilično jednostavnih modela u kojima je moguće razdvajanje i međusobno neovisno razmatranje pojedinačnih aspekata funkcioniranja stvarnog objekta. Implementira kretanje od posebnog ka opštem.

Sistemski pristup. Na osnovu inicijalnih podataka poznatih iz analize eksternog sistema, onih ograničenja koja se sistemu nameću odozgo ili na osnovu mogućnosti njegove implementacije, a na osnovu svrhe funkcionisanja, postavljaju se početni zahtevi za formulisani su model sistema. Na osnovu ovih zahtjeva formiraju se približno određeni podsistemi i elementi i vrši se najteža faza sinteze - izbor komponenti sistema, za koje se koriste posebni kriteriji odabira. Sistemski pristup također podrazumijeva određeni slijed razvoja modela, koji se sastoji u razlikovanju dvije glavne faze projektovanja: makro-dizajna i mikro-dizajna.

Faza makro dizajna– na osnovu podataka o realnom sistemu i eksternom okruženju gradi se model eksternog okruženja, identifikuje resurse i ograničenja za izgradnju modela sistema, bira sistemski model i kriterijume za procenu adekvatnosti realnog sistema model. Izgradnjom modela sistema i modela eksternog okruženja, na osnovu kriterijuma efikasnosti funkcionisanja sistema, u procesu modeliranja se bira optimalna strategija upravljanja, koja omogućava realizaciju mogućnosti modela za reprodukciju određenih aspekata funkcionisanja realnog sistema.

Faza mikrodizajna u velikoj mjeri ovisi o određenoj vrsti odabranog modela. U slučaju simulacionog modela potrebno je osigurati kreiranje informacionih, matematičkih, tehničkih i softverskih sistema modeliranja. U ovoj fazi moguće je ustanoviti glavne karakteristike kreiranog modela, proceniti vreme rada sa njim i cenu resursa za dobijanje zadatog kvaliteta korespondencije između modela i procesa funkcionisanja sistema. model korišten
prilikom izgradnje potrebno je voditi se nizom principa sistematskog pristupa:

proporcionalno-uzastopno napredovanje kroz faze i pravce stvaranja modela;

koordinacija informacija, resursa, pouzdanosti i drugih karakteristika;

ispravan odnos pojedinačnih nivoa hijerarhije u sistemu modeliranja;

integritet pojedinačnih izolovanih faza izgradnje modela.

Analiza metoda korištenih u matematičkom modeliranju

U matematičkom modeliranju rješavanje diferencijalnih ili integro-diferencijalnih jednadžbi s parcijalnim derivatima izvodi se numeričkim metodama. Ove metode se zasnivaju na diskretizaciji nezavisnih varijabli - njihovoj reprezentaciji konačnim skupom vrijednosti u odabranim čvornim točkama prostora koji se proučava. Ove tačke se smatraju čvorovima neke mreže.

Među metodama mreže najviše se koriste dvije metode: metoda konačnih razlika (FDM) i metoda konačnih elemenata (FEM). Obično se vrši diskretizacija prostorno nezavisnih varijabli, tj. koristeći prostornu mrežu. U ovom slučaju, diskretizacija rezultira sistemom običnih diferencijalnih jednadžbi, koje se zatim svode na sistem algebarskih jednačina koristeći granične uslove.

Neka je potrebno riješiti jednačinu LV(z) = f(z)

sa datim graničnim uslovima MV(z) = .(z),

gdje L i M- diferencijalni operatori, V(z) - fazna varijabla, z= (x 1, x 2, x 3, t) - vektor nezavisnih varijabli, f(z) i ψ.( z) su date funkcije nezavisnih varijabli.

AT MKR algebraizacija izvoda u odnosu na prostorne koordinate zasniva se na aproksimaciji izvoda izrazima konačnih razlika. Kada koristite metodu, morate odabrati korake mreže za svaku koordinatu i tip šablona. Predložak se podrazumijeva kao skup čvornih tačaka, vrijednosti varijabli u kojima se koriste za aproksimaciju derivacije u jednoj određenoj tački.

FEM zasniva se na aproksimaciji ne derivacija, već samog rješenja V(z). Ali pošto je nepoznato, aproksimacija se vrši izrazima sa nedefinisanim koeficijentima.

U ovom slučaju govorimo o aproksimacijama rješenja unutar konačnih elemenata, a uzimajući u obzir njihove male veličine, možemo govoriti o korištenju relativno jednostavnih aproksimirajućih izraza (na primjer, polinoma niskog stupnja). Kao rezultat zamjene takvi polinomi u originalnu diferencijalnu jednadžbu i izvođenjem operacija diferencijacije, vrijednosti faznih varijabli se dobijaju u datim tačkama.

Polinomska aproksimacija. Upotreba metoda je povezana s mogućnošću aproksimacije glatke funkcije polinomom, a zatim korištenjem aproksimirajućeg polinoma za procjenu koordinata optimalne tačke. Neophodni uslovi za efikasnu implementaciju ovog pristupa su unimodalnost i kontinuitet funkcija koja se proučava. Prema Weierstrassovom aproksimacijskom teoremu, ako je funkcija kontinuirana u nekom intervalu, tada se može aproksimirati sa bilo kojim stepenom tačnosti polinomom dovoljno visokog reda. Prema Weierstrassovom teoremu, kvalitet procjena optimalnih koordinata točke dobivenih korištenjem aproksimirajućeg polinoma može se poboljšati na dva načina: korištenjem polinoma višeg reda i smanjenjem intervala aproksimacije. Najjednostavnija verzija polinomske interpolacije je kvadratna aproksimacija, koja se zasniva na činjenici da funkcija koja uzima minimalnu vrijednost u unutrašnjoj točki intervala mora biti barem kvadratna

Disciplina "Modeli i metode analize projektnih rješenja" (Kazakov Yu.M.)

Klasifikacija matematičkih modela.

Nivoi apstrakcije matematičkih modela.

Zahtjevi za matematičke modele.

Šema za konstruisanje stohastičkih modela.

Alati za obradu modela.

Matematičko modeliranje. Analitički i simulacijski modeli.

Osnovni principi za konstruisanje matematičkih modela.

Analiza primijenjenih metoda u matematičkom modeliranju.

1. Klasifikacija matematičkih modela

Matematički model (MM) tehničkog objekta je skup matematičkih objekata (brojeva, varijabli, matrica, skupova itd.) i relacija među njima, koji na odgovarajući način odražavaju svojstva tehničkog objekta koja su od interesa za inženjera koji razvija ovaj objekt.

Po prirodi prikaza svojstava objekta:

Funkcionalni - dizajniran za prikaz fizičkih ili informacionih procesa koji se dešavaju u tehničkim sistemima tokom njihovog rada. Tipičan funkcionalni model je sistem jednačina koje opisuju ili električne, termičke, mehaničke procese ili procese transformacije informacija.

Strukturno - prikazuje strukturna svojstva objekta (topološka, geometrijska). . Strukturni modeli se najčešće predstavljaju kao grafovi.

Po pripadnosti hijerarhijskom nivou:

Modeli mikronivoa - prikaz fizičkih procesa u kontinuiranom prostoru i vremenu. Za modeliranje se koristi aparat jednačina matematičke fizike. Primjeri takvih jednadžbi su parcijalne diferencijalne jednadžbe.

modeli na makro nivou. Koriste se povećanje, detaljizacija prostora na fundamentalnoj osnovi. Funkcionalni modeli na makronivou su sistemi algebarskih ili običnih diferencijalnih jednadžbi, za njihovo izvođenje i rješavanje koriste se odgovarajuće numeričke metode.

Metolivo modeli. Uvećani opis objekata koji se razmatraju. Matematički modeli na metalnom nivou - sistemi običnih diferencijalnih jednačina, sistemi logičkih jednačina, simulacioni modeli sistema čekanja.

Kako doći do modela:

Teorijski - grade se na osnovu proučavanja obrazaca. Za razliku od empirijskih modela, teorijski modeli su u većini slučajeva univerzalniji i primjenjivi na širi spektar problema. Teorijski modeli su linearni i nelinearni, kontinuirani i diskretni, dinamički i statistički.

empirijski

Glavni zahtjevi za matematičke modele u CAD-u:

adekvatnost reprezentacije simuliranih objekata;

Adekvatnost se dešava ako model odražava data svojstva objekta sa prihvatljivom tačnošću i vrednuje se listom reflektovanih svojstava i oblasti adekvatnosti. Područje adekvatnosti je područje u prostoru parametara, unutar koje greške modela ostaju u prihvatljivim granicama.

ekonomičnost (računarska efikasnost)– određuje se troškom resursa potrebnih za implementaciju modela (računarsko vrijeme, korištena memorija, itd.);

tačnost– određuje stepen podudarnosti izračunatih i istinitih rezultata (stepen korespondencije između procena svojstava istog imena objekta i modela).

Brojni drugi zahtjevi također se nameću matematičkim modelima:

Izračunljivost, tj. mogućnost ručnog ili uz pomoć računara proučavanja kvalitativnih i kvantitativnih obrazaca funkcionisanja objekta (sistema).

Modularnost, tj. korespondencija konstrukcija modela sa strukturnim komponentama objekta (sistema).

Algoritamabilnost, tj. mogućnost razvoja odgovarajućeg algoritma i programa koji implementira matematički model na računaru.

vidljivost, tj. zgodna vizualna percepcija modela.

Table. Klasifikacija matematičkih modela

Karakteristike klasifikacije	Vrste matematičkih modela
1. Pripadanje hijerarhijskom nivou	Modeli na mikro nivou Modeli na makro nivou Modeli meta nivoa
2. Priroda prikazanih svojstava objekta	Strukturalni Funkcionalni
3. Način predstavljanja svojstava objekta	Analitički Algoritamski simulacija
4. Kako doći do modela	Teorijski empirijski
5. Osobine ponašanja objekta	deterministički Probabilistički

Matematički modeli na mikro nivou proizvodnog procesa odražavaju fizičke procese koji se dešavaju, na primjer, pri rezanju metala. Oni opisuju procese na nivou tranzicije.

Matematički modeli na makro nivou proizvodni proces opisuju tehnološke procese.

Matematički modeli na metalnom nivou proizvodnog procesa opisuju tehnološke sisteme (odjele, radionice, preduzeće u cjelini).

Strukturni matematički modeli dizajniran da prikaže strukturna svojstva objekata. Na primjer, u CAD TP strukturno-logički modeli se koriste za predstavljanje strukture tehnološkog procesa, pakiranja proizvoda.

Funkcionalni matematički modeli dizajniran za prikaz informacija, fizičkih, vremenskih procesa koji se dešavaju u radnoj opremi, u toku tehnoloških procesa itd.

Teorijski matematički modeli nastaju kao rezultat proučavanja objekata (procesa) na teorijskom nivou.

Empirijski matematički modeli nastaju kao rezultat eksperimenata (proučavanje vanjskih manifestacija svojstava objekta mjerenjem njegovih parametara na ulazu i izlazu) i obrade njihovih rezultata korištenjem metoda matematičke statistike.

Deterministički matematički modeli opisuju ponašanje objekta sa stanovišta potpune sigurnosti u sadašnjosti i budućnosti. Primjeri takvih modela: formule fizičkih zakona, tehnološki procesi za obradu dijelova itd.

Vjerovatni matematički modeli uzeti u obzir uticaj slučajnih faktora na ponašanje objekta, tj. procijeniti svoju budućnost u smislu vjerovatnoće određenih događaja.

Analitički modeli - numeričke matematičke modele koji se mogu predstaviti kao eksplicitne zavisnosti izlaznih parametara od internih i eksternih parametara.

Algoritamski matematički modeli izraziti odnos između izlaznih parametara i ulaznih i internih parametara u obliku algoritma.

Simulacijski matematički modeli- to su algoritamski modeli koji odražavaju razvoj procesa (ponašanje objekta koji se proučava) u vremenu kada se specificiraju vanjski utjecaji na proces (objekat). Na primjer, ovo su modeli sistema čekanja dati u algoritamskom obliku.

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Hostirano na http://www.allbest.ru/

1. Primjer izgradnje modela stohastičkog procesa

U toku poslovanja banke vrlo je često potrebno riješiti problem izbora vektora aktive, tj. portfelja investicija banke, a neizvjesni parametri koji se moraju uzeti u obzir u ovom zadatku prvenstveno se odnose na neizvjesnost cijena sredstava (hartije od vrijednosti, realna ulaganja itd.). Kao ilustraciju možemo navesti primjer sa formiranjem portfelja kratkoročnih obaveza države.

Za probleme ove klase, fundamentalno je pitanje konstrukcije modela stohastičkog procesa promjene cijena, budući da istraživač operacija, naravno, ima samo konačan niz opservacija realizacija slučajnih varijabli – cijena. Zatim je predstavljen jedan od pristupa rješavanju ovog problema koji se razvija u Računskom centru Ruske akademije nauka u vezi sa rješavanjem upravljačkih problema za stohastičke Markovljeve procese.

Razmatraju se M vrste hartija od vrijednosti, i=1,… , M, kojima se trguje na posebnim berzanskim sjednicama. Hartije od vrijednosti karakteriziraju vrijednosti - izražene kao postotak prinosa tokom tekuće sesije. Ako se papir tog tipa na kraju sesije kupi po cijeni i proda na kraju sesije po cijeni, onda.

Prinosi su slučajne varijable formirane na sljedeći način. Pretpostavlja se postojanje osnovnih prinosa - slučajnih varijabli koje formiraju Markovljev proces i određene su sljedećom formulom:

Ovdje su konstante i standardne normalno raspoređene slučajne varijable (tj. sa nultim matematičkim očekivanjem i jediničnom varijansom).

gdje je određeni faktor skale jednak (), i slučajna varijabla koja ima značenje odstupanja od osnovne vrijednosti i određuje se na sličan način:

gdje su također standardne normalno raspoređene slučajne varijable.

Pretpostavlja se da neka operativna strana, u daljem tekstu operater, upravlja svojim kapitalom uloženim u hartije od vrijednosti (u svakom trenutku u papiru tačno jedne vrste) neko vrijeme, prodajući ih na kraju tekuće sjednice i odmah kupujući druge vrijednosne papire. sa zaradom. Upravljanje, odabir kupljenih hartija od vrijednosti vrši se po algoritmu koji zavisi od svijesti operatera o procesu koji formira prinos hartija od vrijednosti. Razmotrit ćemo različite hipoteze o ovoj svijesti i, shodno tome, različite algoritme upravljanja. Pretpostavićemo da istraživač operacije razvija i optimizuje algoritam upravljanja koristeći dostupne serije zapažanja procesa, odnosno koristeći informacije o cenama zatvaranja na sesijama razmene, kao i, eventualno, o vrednostima, u određenom vremenskom intervalu koji odgovaraju sesijama sa brojevima. Svrha eksperimenata je da se uporede procjene očekivane efikasnosti različitih algoritama upravljanja sa njihovim teorijskim matematičkim očekivanjima u uslovima kada su algoritmi podešeni i evaluirani na istoj seriji opservacija. Za procjenu teorijskog matematičkog očekivanja koristi se Monte Carlo metoda tako što se kontrola „prebacuje“ na dovoljno veliki generisani niz, tj. po matrici dimenzija, pri čemu kolone odgovaraju realizacijama vrijednosti i po sesijama, a broj je određen računskim mogućnostima, ali pod uslovom da je elemenata matrice najmanje 10 000. Potrebno je da "poligon" bude isto u svim eksperimentima. Dostupna serija zapažanja simulira generiranu matricu dimenzija, pri čemu vrijednosti u ćelijama imaju isto značenje kao gore. Broj i vrijednosti u ovoj matrici će se razlikovati u budućnosti. Matrice oba tipa se formiraju pomoću procedure za generisanje slučajnih brojeva, simulaciju implementacije slučajnih varijabli i izračunavanje željenih elemenata matrica korišćenjem ovih implementacija i formula (1) - (3).

Procjena efikasnosti upravljanja na nizu posmatranja vrši se prema formuli

gdje je indeks posljednje sesije u seriji opservacija, a broj veza odabranih od strane algoritma u koraku, tj. vrsta obveznica u kojima će se, prema algoritmu, u toku sesije nalaziti kapital operatera. Osim toga, izračunat ćemo i mjesečnu efikasnost. Broj 22 otprilike odgovara broju trgovačkih sesija mjesečno.

Računski eksperimenti i analiza rezultata

Hipoteze

Tačno znanje operatera o budućim povratima.

Indeks se bira kao. Ova opcija daje gornju procjenu za sve moguće algoritme upravljanja, čak i ako nam dodatne informacije (uzimajući u obzir neke dodatne faktore) omogućavaju da preciziramo model prognoze cijena.

Slučajna kontrola.

Operater ne poznaje zakon o cijenama i obavlja operacije nasumičnim odabirom. Teoretski, u ovom modelu, matematičko očekivanje rezultata operacija je isto kao da operater ne investira u jedan papir, već podjednako u sve. Sa nultim matematičkim očekivanjima vrijednosti, matematičko očekivanje vrijednosti je jednako 1. Proračuni prema ovoj hipotezi su korisni samo u smislu da omogućavaju u određenoj mjeri kontrolu ispravnosti napisanih programa i generirane matrice vrijednosti .

Menadžment sa preciznim poznavanjem modela profitabilnosti, svih njegovih parametara i posmatrane vrednosti .

U ovom slučaju, operator na kraju sesije, znajući vrijednosti za obje sesije, i, iu našim proračunima, koristeći redove, i, matrice, izračunava po formulama (1) - (3) matematičke vrijednosti.

gdje je, prema (2), . (6)

Kontrola sa poznavanjem strukture modela prinosa i posmatrane vrednosti , ali nepoznati koeficijenti .

Pretpostavit ćemo da istraživač operacije ne samo da ne zna vrijednosti koeficijenata, već ne zna ni broj vrijednosti koje utječu na formiranje koje prethode vrijednostima ovih parametara (dubina memorije Markovljevi procesi). Također ne zna da li su koeficijenti isti ili različiti za različite vrijednosti. Razmotrimo različite varijante radnji istraživača - 4.1, 4.2 i 4.3, gdje drugi indeks označava pretpostavku istraživača o dubini memorije procesa (isto za i). Na primjer, u slučaju 4.3, istraživač pretpostavlja da je formiran prema jednačini

Ovdje je, radi kompletnosti, dodat slobodan termin. Međutim, ovaj termin se može isključiti ili iz smislenih razloga ili statističkim metodama. Stoga, da bismo pojednostavili proračune, dodatno isključujemo slobodne termine prilikom postavljanja parametara iz razmatranja, a formula (7) poprima oblik:

U zavisnosti od toga da li istraživač pretpostavlja iste ili različite koeficijente za različite vrednosti, razmatraćemo podslučajeve 4.m. 1 - 4.m. 2, m = 1 - 3. U slučajevima 4.m. 1 koeficijenti će se korigovati prema uočenim vrijednostima za sve vrijednosne papire zajedno. U slučajevima 4.m. 2 koeficijenta se prilagođavaju za svaku hartiju posebno, dok istraživač radi pod hipotezom da su koeficijenti različiti za različite i, na primjer, u slučaju 4.2.2. vrijednosti su određene modificiranom formulom (3)

Prva metoda podešavanja- klasična metoda najmanjih kvadrata. Razmotrimo to na primjeru postavljanja koeficijenata na u opcijama 4.3.

Prema formuli (8),

Potrebno je pronaći takve vrijednosti koeficijenata kako bi se minimizirala varijansa uzorka za implementacije na poznatoj seriji opservacija, nizu, pod uslovom da je matematičko očekivanje vrijednosti određeno formulom (9).

Ovdje iu daljem tekstu znak "" označava realizaciju slučajne varijable.

Minimum kvadratnog oblika (10) se postiže u jedinoj tački u kojoj su svi parcijalni izvodi jednaki nuli. Odavde dobijamo sistem od tri algebarske linearne jednadžbe:

čije rješenje daje željene vrijednosti koeficijenata.

Nakon provjere koeficijenata, izbor kontrola se vrši na isti način kao u slučaju 3.

Komentar. Kako bi se olakšao rad na programima, prihvaćeno je napisati proceduru odabira kontrole opisanu za hipotezu 3, fokusirajući se ne na formulu (5), već na njenu modificiranu verziju u obliku

U ovom slučaju, u proračunima za slučajeve 4.1.m i 4.2.m, m = 1, 2, dodatni koeficijenti se postavljaju na nulu.

Drugi način podešavanja sastoji se u odabiru vrijednosti parametara tako da se maksimizira procjena iz formule (4). Ovaj zadatak je analitički i računski beznadežno težak. Dakle, ovdje se može govoriti samo o metodama nekog poboljšanja vrijednosti kriterija u odnosu na polaznu tačku. Početna tačka se može uzeti iz vrijednosti najmanjih kvadrata i zatim izračunati oko ovih vrijednosti na mreži. U ovom slučaju, slijed radnji je sljedeći. Prvo, mreža se izračunava na osnovu parametara (kvadrat ili kocka) sa fiksiranim preostalim parametrima. Zatim za slučajeve 4.m. 1, mreža se računa na parametrima, a za slučajeve 4.m. 2 na parametrima sa fiksnim preostalim parametrima. U slučaju 4.m. 2 dodatna parametra su također optimizirana. Kada su svi parametri iscrpljeni ovim procesom, proces se ponavlja. Ponavljanja se rade sve dok novi ciklus ne dovede do poboljšanja vrijednosti kriterija u odnosu na prethodni. Kako se broj iteracija ne bi pokazao prevelikim, primjenjujemo sljedeći trik. Unutar svakog bloka proračuna na 2- ili 3-dimenzionalnom prostoru parametara prvo se uzima prilično gruba mreža, a zatim, ako je najbolja tačka na ivici mreže, onda se kvadrat (kocka) koji se proučava se pomera i izračunavanje se ponavlja, ali ako je najbolja tačka unutrašnja, onda se oko ove tačke gradi nova mreža sa manjim korakom, ali sa istim ukupnim brojem tačaka, i tako dalje nekoliko, ali razuman broj puta.

Upravljanje pod nezapaženim i bez uzimanja u obzir zavisnosti između prinosa različitih hartija od vrednosti.

To znači da istraživač operacije ne uočava odnos između različitih hartija od vrednosti, ne zna ništa o postojanju i pokušava da predvidi ponašanje svake hartije od vrednosti posebno. Razmotrite, kao i obično, tri slučaja kada istraživač modelira proces generiranja prinosa kao Markovljev proces sa dubinama 1, 2 i 3:

Koeficijenti za predviđanje očekivanog prinosa nisu bitni, a koeficijenti se prilagođavaju na dva načina, opisana u paragrafu 4. Kontrole se biraju na isti način kao što je urađeno u prethodnom tekstu.

Napomena: Kao i za izbor kontrole, za metodu najmanjih kvadrata ima smisla napisati jednu proceduru sa maksimalnim brojem varijabli - 3. Ako su varijable prilagodljive, recimo, onda se iz rješenja linearnog sistema dobija formula ispisuje se, što uključuje samo konstante, određuje se kroz , i kroz i. U slučajevima kada ima manje od tri varijable, vrijednosti dodatnih varijabli se postavljaju na nulu.

Iako se proračuni u različitim varijantama provode na sličan način, broj varijanti je prilično velik. Kada se ispostavi da je priprema alata za proračune u svim gore navedenim opcijama teška, pitanje smanjenja njihovog broja razmatra se na stručnom nivou.

Upravljanje pod nezapaženim uzimajući u obzir zavisnost između prinosa različitih hartija od vrednosti.

Ova serija eksperimenata imitira manipulacije koje su izvedene u GKO problemu. Pretpostavljamo da istraživač ne zna praktično ništa o mehanizmu formiranja prinosa. On ima samo niz zapažanja, matricu. Iz suštinskih razmatranja, on postavlja pretpostavku o međuzavisnosti tekućih prinosa različitih hartija od vrednosti, grupisanih oko određenog osnovnog prinosa, određenog stanjem tržišta u celini. Razmatrajući grafikone prinosa hartija od vrednosti od sesije do sesije, on pretpostavlja da su u svakom trenutku tačke čije su koordinate brojevi hartija od vrednosti i prinosi (u stvarnosti to bili dospeća hartija od vrednosti i njihove cene) grupisane u blizini određena kriva (u slučaju GKO - parabole).

Ovdje - tačka presjeka teorijske linije sa y-osom (povratak baze), i - njen nagib (koji bi trebao biti jednak 0,05).

Konstruirajući teorijske linije na ovaj način, istraživač operacije može izračunati vrijednosti - odstupanja vrijednosti od njihovih teorijskih vrijednosti.

(Imajte na umu da ovdje imaju nešto drugačije značenje nego u formuli (2). Nema dimenzionalnog koeficijenta, a odstupanja se ne uzimaju u obzir od osnovne vrijednosti, već od teorijske prave linije.)

Sljedeći zadatak je predvidjeti vrijednosti iz trenutno poznatih vrijednosti, . Zbog

da bi predvidio vrijednosti, istraživač treba da uvede hipotezu o formiranju vrijednosti, i. Koristeći matricu, istraživač može uspostaviti značajnu korelaciju između vrijednosti i. Možete prihvatiti hipotezu o linearnom odnosu između veličina iz: . Iz smislenih razmatranja, odmah se pretpostavlja da je koeficijent jednak nuli, a metoda najmanjih kvadrata se traži u obliku:

Nadalje, kao što je gore, i modelirani su pomoću Markovljevog procesa i opisani su formulama sličnim (1) i (3) s različitim brojem varijabli ovisno o dubini memorije Markovljevog procesa u razmatranoj verziji. (ovdje se ne određuje formulom (2), već formulom (16))

Konačno, kao i gore, implementirana su dva načina prilagođavanja parametara metodom najmanjih kvadrata, a procjene se vrše direktnim maksimiziranjem kriterija.

Eksperimenti

Za sve opisane opcije izračunati su bodovi kriterijuma za različite matrice. (za svaku opciju dimenzije implementirane su matrice sa brojem redova 1003, 503, 103 i oko stotinu matrica). Prema rezultatima proračuna za svaku dimenziju, za svaku od pripremljenih opcija procijenjeno je matematičko očekivanje i disperzija vrijednosti, te njihovo odstupanje od vrijednosti.

Kao što pokazuje prva serija računskih eksperimenata sa malim brojem podesivih parametara (oko 4), izbor metode podešavanja ne utiče značajno na vrednost kriterijuma u zadatku.

2. Klasifikacija alata za modeliranje

algoritam banke stohastičke simulacije

Klasifikacija metoda i modela modeliranja može se izvršiti prema stepenu detaljnosti modela, prema prirodi karakteristika, prema obimu primjene itd.

Razmotrimo jednu od najčešćih klasifikacija modela pomoću modeliranja, ovaj aspekt je najvažniji u analizi različitih pojava i sistema.

materijal u slučaju kada se studija izvodi na modelima, čija veza sa predmetom koji se proučava objektivno postoji, je materijalne prirode. Modele u ovom slučaju gradi istraživač ili ih bira iz okolnog svijeta.

Metode modeliranja se prema modeliranju dijele u dvije grupe: metode modeliranja materijala i metode idealnog modeliranja.Modeliranje se naziva materijal u slučaju kada se studija izvodi na modelima, čija veza sa predmetom koji se proučava objektivno postoji, je materijalne prirode. Modele u ovom slučaju gradi istraživač ili ih bira iz okolnog svijeta. Zauzvrat, u materijalnom modeliranju mogu se razlikovati: prostorno, fizičko i analogno modeliranje.

U prostornom modeliranju koriste se modeli koji su dizajnirani za reprodukciju ili prikaz prostornih svojstava objekta koji se proučava. Modeli su u ovom slučaju geometrijski slični objektima proučavanja (bilo koji raspored).

Modeli koji se koriste u fizičko modeliranje dizajniran da reproducira dinamiku procesa koji se odvijaju u objektu koji se proučava. Štaviše, zajedničkost procesa u objektu proučavanja i modelu zasniva se na sličnosti njihove fizičke prirode. Ova metoda modeliranja se široko koristi u inženjerstvu pri projektovanju tehničkih sistema različitih tipova. Na primjer, proučavanje aviona na osnovu eksperimenata u aerotunelu.

analogni modeliranje je povezano sa upotrebom materijalnih modela koji imaju drugačiju fizičku prirodu, ali su opisani istim matematičkim odnosima kao predmet koji se proučava. Zasniva se na analogiji u matematičkom opisu modela i objekta (proučavanje mehaničkih vibracija uz pomoć električnog sistema opisanog istim diferencijalnim jednadžbama, ali pogodnije za eksperimente).

U svim slučajevima materijalnog modeliranja, model je materijalni odraz originalnog objekta, a proučavanje se sastoji u uticaju materijala na model, odnosno u eksperimentu sa modelom. Modeliranje materijala po svojoj prirodi je eksperimentalna metoda i ne koristi se u ekonomskim istraživanjima.

Ono se suštinski razlikuje od materijalnog modeliranja savršeno modeliranje, zasnovan na idealnoj, zamislivoj vezi između objekta i modela. Idealne metode modeliranja se široko koriste u ekonomskim istraživanjima. Uslovno se mogu podijeliti u dvije grupe: formalizovane i neformalizovane.

AT formalizovan U modeliranju kao model služe sistemi znakova ili slika, uz koje se postavljaju pravila za njihovu transformaciju i interpretaciju. Ako se sistemi znakova koriste kao modeli, onda se modeliranje naziva iconic(crteži, grafikoni, dijagrami, formule).

Važna vrsta modeliranja znakova je matematičko modeliranje, na osnovu činjenice da različiti proučavani objekti i pojave mogu imati isti matematički opis u obliku skupa formula, jednačina, čija se transformacija vrši na osnovu pravila logike i matematike.

Drugi oblik formaliziranog modeliranja je figurativno, u kojima se modeli grade na vizuelnim elementima (elastične lopte, tokovi fluida, putanje tijela). Analiza figurativnih modela se provodi mentalno, pa se mogu pripisati formaliziranom modeliranju, kada su pravila za interakciju objekata korištenih u modelu jasno fiksirana (na primjer, u idealnom plinu se razmatra sudar dvaju molekula kao sudar loptica, a rezultat sudara svi misle na isti način). Modeli ovog tipa se široko koriste u fizici, nazivaju se "misaonim eksperimentima".

Neformalizirano modeliranje. Može uključivati takvu analizu problema različitih tipova, kada se model ne formira, već se umjesto njega koristi neka precizno nefiksirana mentalna reprezentacija stvarnosti, koja služi kao osnova za rasuđivanje i odlučivanje. Dakle, svako rasuđivanje koje ne koristi formalni model može se smatrati neformalnim modeliranjem, kada misleći pojedinac ima neku sliku predmeta proučavanja, koja se može tumačiti kao neformalizirani model stvarnosti.

Proučavanje ekonomskih objekata dugo se provodilo samo na osnovu tako nesigurnih ideja. Trenutno, analiza neformalnih modela ostaje najčešće sredstvo ekonomskog modeliranja, naime, svaka osoba koja donosi ekonomsku odluku bez upotrebe matematičkih modela prinuđena je da se rukovodi ovim ili onim opisom situacije na osnovu iskustva. i intuicija.

Glavni nedostatak ovog pristupa je da rješenja mogu biti neefikasna ili pogrešna. Ove metode će, po svemu sudeći, još dugo vremena ostati glavno sredstvo donošenja odluka, ne samo u većini svakodnevnih situacija, već iu donošenju odluka u privredi.

Hostirano na Allbest.ru

...

Slični dokumenti

Principi i faze izgradnje autoregresivnog modela, njegove glavne prednosti. Spektar autoregresivnog procesa, formula za njegovo pronalaženje. Parametri koji karakteriziraju spektralnu procjenu slučajnog procesa. Karakteristična jednačina autoregresivnog modela.

test, dodano 10.11.2010

Koncept i vrste modela. Faze izgradnje matematičkog modela. Osnove matematičkog modeliranja odnosa ekonomskih varijabli. Određivanje parametara linearne jednofaktorske regresione jednadžbe. Metode optimizacije matematike u ekonomiji.

sažetak, dodan 02.11.2011

Proučavanje karakteristika razvoja i izgradnje modela društveno-ekonomskog sistema. Karakterizacija glavnih faza procesa simulacije. Eksperimentiranje korištenjem simulacionog modela. Organizacioni aspekti simulacionog modeliranja.

sažetak, dodan 15.06.2015

Pojam simulacijskog modeliranja, njegova primjena u privredi. Faze procesa konstruisanja matematičkog modela složenog sistema, kriterijumi njegove adekvatnosti. Modeliranje diskretnih događaja. Monte Karlo metoda je vrsta simulacionog modeliranja.

test, dodano 23.12.2013

Metodološke osnove ekonometrije. Problemi konstruisanja ekonometrijskih modela. Ciljevi ekonometrijskog istraživanja. Glavne faze ekonometrijskog modeliranja. Ekonometrijski modeli uparene linearne regresije i metode za procjenu njihovih parametara.

kontrolni rad, dodano 17.10.2014

Faze izgradnje stabala odluka: pravilo cijepanja, zaustavljanje i obrezivanje. Postavljanje problema višestepenog stohastičkog izbora u predmetnoj oblasti. Procjena vjerovatnoće implementacije uspješnih i neuspješnih aktivnosti u zadatku, njegov optimalni put.

sažetak, dodan 23.05.2015

Definicija, ciljevi i zadaci ekonometrije. Faze izgradnje modela. Tipovi podataka u modeliranju ekonomskih procesa. Primjeri, oblici i modeli. Endogene i egzogene varijable. Konstrukcija specifikacije neoklasične proizvodne funkcije.

prezentacija, dodano 18.03.2014

Glavna teza formalizacije. Modeliranje dinamičkih procesa i simulacija složenih bioloških, tehničkih, društvenih sistema. Analiza modeliranja objekta i izdvajanje svih njegovih poznatih svojstava. Izbor oblika predstavljanja modela.

sažetak, dodan 09.09.2010

Glavne faze matematičkog modeliranja, klasifikacija modela. Modeliranje ekonomskih procesa, glavne faze njihovog proučavanja. Sistemski preduslovi za formiranje modela sistema upravljanja marketinškim aktivnostima uslužnog preduzeća.

sažetak, dodan 21.06.2010

Opća shema procesa projektovanja. Formalizacija konstrukcije matematičkog modela tokom optimizacije. Primjeri korištenja jednodimenzionalnih metoda pretraživanja. Metode višedimenzionalne optimizacije nultog reda. Genetski i prirodni algoritmi.

Stohastički model opisuje situaciju kada postoji neizvjesnost. Drugim riječima, proces karakterizira određeni stepen slučajnosti. Sam pridjev "stohastički" dolazi od grčke riječi "pogoditi". Budući da je neizvjesnost ključna karakteristika svakodnevnog života, takav model može opisati bilo šta.

Međutim, svaki put kada ga primijenimo, rezultat će biti drugačiji. Stoga se češće koriste deterministički modeli. Iako nisu što bliže stvarnom stanju stvari, uvijek daju isti rezultat i olakšavaju razumijevanje situacije, pojednostavljuju je uvođenjem skupa matematičkih jednačina.

Glavne karakteristike

Stohastički model uvijek uključuje jednu ili više slučajnih varijabli. Ona nastoji odraziti stvarni život u svim njegovim manifestacijama. Za razliku od stohastičkog, on nema za cilj da sve pojednostavi i svede na poznate vrijednosti. Stoga je neizvjesnost njegova ključna karakteristika. Stohastički modeli su pogodni za opisivanje bilo čega, ali svi imaju sljedeće zajedničke karakteristike:

Svaki stohastički model odražava sve aspekte problema zbog kojeg je stvoren.
Ishod svakog od fenomena je neizvjestan. Stoga model uključuje vjerovatnoće. Ispravnost ukupnih rezultata zavisi od tačnosti njihovog proračuna.
Ove vjerovatnoće se mogu koristiti za predviđanje ili opisivanje samih procesa.

Deterministički i stohastički modeli

Za neke se čini da je život sukcesija za druge - procesi u kojima uzrok određuje posljedicu. U stvari, karakteriše ga neizvesnost, ali ne uvek i ne u svemu. Stoga je ponekad teško pronaći jasne razlike između stohastičkih i determinističkih modela. Vjerovatnoće su prilično subjektivne.

Na primjer, razmotrite situaciju bacanja novčića. Na prvi pogled izgleda da postoji 50% šanse da dobijete repove. Stoga se mora koristiti deterministički model. Međutim, u stvarnosti se ispostavlja da mnogo zavisi od spretnosti ruku igrača i savršenstva balansiranja novčića. To znači da se mora koristiti stohastički model. Uvijek postoje parametri koje ne znamo. U stvarnom životu, uzrok uvijek određuje posljedicu, ali postoji i određeni stepen neizvjesnosti. Izbor između korištenja determinističkih i stohastičkih modela ovisi o tome čega smo se spremni odreći – jednostavnosti analize ili realizma.

U teoriji haosa

Nedavno je koncept čiji se model naziva stohastičkim postao još više zamagljen. To je zbog razvoja takozvane teorije haosa. Opisuje determinističke modele koji mogu dati različite rezultate uz neznatnu promjenu početnih parametara. Ovo je kao uvod u izračunavanje nesigurnosti. Mnogi naučnici su čak priznali da je ovo već stohastički model.

Lothar Breuer je sve elegantno objasnio uz pomoć poetskih slika. Napisao je: „Planinski potok, srce koje kuca, epidemija velikih boginja, stub dima koji se diže - sve je to primjer dinamičnog fenomena koji se, kako se čini, ponekad karakterizira slučajno. U stvarnosti, takvi procesi su uvijek podložni određenom redu, koji naučnici i inženjeri tek počinju razumjeti. Ovo je takozvani deterministički haos.” Nova teorija zvuči vrlo uvjerljivo, zbog čega su mnogi savremeni naučnici njene pristalice. Međutim, još uvijek je malo razvijen i prilično ga je teško primijeniti u statističkim proračunima. Stoga se često koriste stohastički ili deterministički modeli.

Zgrada

Stohastika počinje izborom prostora elementarnih ishoda. Tako u statistici nazivaju listu mogućih rezultata procesa ili događaja koji se proučava. Istraživač tada određuje vjerovatnoću svakog od elementarnih ishoda. Obično se to radi na osnovu određene tehnike.

Međutim, vjerovatnoće su još uvijek prilično subjektivan parametar. Istraživač tada određuje koji su događaji najzanimljiviji za rješavanje problema. Nakon toga, jednostavno određuje njihovu vjerovatnoću.

Primjer

Razmotrimo proces izgradnje najjednostavnijeg stohastičkog modela. Pretpostavimo da bacimo kocku. Ako ispadne "šest" ili "jedan", onda će naš dobitak biti deset dolara. Proces izgradnje stohastičkog modela u ovom slučaju će izgledati ovako:

Definirajmo prostor elementarnih ishoda. Kocka ima šest strana, tako da mogu ispasti "jedan", "dva", "tri", "četiri", "pet" i "šest".
Vjerovatnoća svakog od ishoda bit će jednaka 1/6, bez obzira koliko bacimo kocku.
Sada treba da odredimo ishode koji nas zanimaju. Ovo je gubitak lica sa brojem "šest" ili "jedan".
Konačno, možemo odrediti vjerovatnoću događaja koji nas zanima. To je 1/3. Sumiramo vjerovatnoće oba elementarna događaja od interesa: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Koncept i rezultat

Stohastička simulacija se često koristi u kockanju. Ali ona je takođe neophodna u ekonomskom predviđanju, jer vam omogućava da razumete situaciju dublje od determinističkih. Stohastički modeli u ekonomiji se često koriste u donošenju investicionih odluka. Oni vam omogućavaju da napravite pretpostavke o isplativosti ulaganja u određena sredstva ili njihove grupe.

Modeliranje čini finansijsko planiranje efikasnijim. Uz njegovu pomoć, investitori i trgovci optimizuju distribuciju svoje imovine. Korištenje stohastičkog modeliranja uvijek ima prednosti na duge staze. U nekim industrijama, odbijanje ili nemogućnost primjene može čak dovesti do bankrota poduzeća. To je zbog činjenice da se u stvarnom životu svakodnevno pojavljuju novi važni parametri, a ako nisu, to može imati katastrofalne posljedice.

U posljednjim poglavljima ove knjige, stohastički procesi su gotovo uvijek predstavljeni korištenjem linearnih diferencijalnih sistema pobuđenih bijelim šumom. Ova reprezentacija stohastičkog procesa obično ima sljedeći oblik. Pretvarajmo se to

a je bijeli šum. Odabirom takvog prikaza stohastičkog procesa V može se simulirati. Upotreba ovakvih modela može se opravdati na sljedeći način.

a) U prirodi se često susreću stohastički fenomeni povezani sa djelovanjem brzo promjenjivih fluktuacija na inercijalni diferencijalni sistem. Tipičan primjer bijelog šuma koji djeluje na diferencijalni sistem je termalni šum u elektronskom kolu.

b) Kao što će se vidjeti iz onoga što slijedi, u teoriji linearnog upravljanja gotovo uvijek se razmatra samo prosječna vrijednost u. kovarijansa stohastičkog procesa. Za linearni model, uvijek je moguće aproksimirati bilo koju eksperimentalno dobivenu karakteristiku srednje vrijednosti i matrice kovarijanse sa proizvoljnom tačnošću.

c) Ponekad se javlja problem modeliranja stacionarnog stohastičkog procesa sa poznatom spektralnom gustinom energije. U ovom slučaju, uvijek je moguće generirati stohastički proces kao proces na izlazu linearnog diferencijalnog sistema; u ovom slučaju, matrica spektralnih gustoća anergije aproksimira sa proizvoljnom tačnošću matricu spektralnih gustoća energije početnog stohastičkog procesa.

Primjeri 1.36 i 1.37, kao i problem 1.11, ilustruju metodu modeliranja.

Primjer 1.36. Diferencijalni sistem prvog reda

Pretpostavimo da je izmjerena funkcija kovarijance stohastičkog skalarnog procesa za koju se zna da je stacionaran opisana eksponencijalnom funkcijom

Ovaj proces se može modelirati kao stanje diferencijalnog sistema prvog reda (vidi primjer 1.35)

gdje je intenzitet bijelog šuma - stohastička veličina sa nultom srednjom vrijednosti i varijansom.

Primjer 1.37. rezervoar za mešanje

Razmotrimo rezervoar za mešanje iz Primera 1.31 (Odeljak 1.10.3) i izračunajmo matricu varijanse izlazne varijable za nju. Dodajmo sada jednadžbe modela stohastičkih procesa diferencijalnoj jednačini rezervoara za miješanje.

Ovdje je intenzitet skalarnog bijelog šuma do

da dobijemo varijansu procesa jednaku prihvatljivoj. Za proces koristimo sličan model. Tako dobijamo sistem jednačina