Matematika fanidan “mantiqiy masalalarni yechish” ilmiy-tadqiqot ishlari. Matematika fanidan abstrakt tadqiqot ishi: Mavzu: “Matematik induksiya usuli” – talabalarimning ishlari Shahar byudjet ta’lim muassasasi
Veb-saytimizning ushbu bo'limi taqdim etiladi mantiqqa oid ilmiy maqolalar mavzulari mantiqiy masalalar, matematikada sofizm va paradokslar, mantiq va mantiqiy fikrlash bo'yicha qiziqarli o'yinlar shaklida. Ish rahbari talabaga bevosita rahbarlik qilishi va uning tadqiqotiga yordam berishi kerak.
Mantiq bo'yicha tadqiqot va loyihalash ishlari uchun quyida keltirilgan mavzular mantiqiy fikrlashni, nostandart masalalar va misollarni echishni, paradoks va matematik muammolarni o'rganishni, nostandart mantiqiy o'yinlarni o'ynashni yaxshi ko'radigan bolalar uchun mos keladi.
Quyidagi ro'yxatda siz boshlang'ich maktabdan o'rta maktabgacha bo'lgan o'rta maktabning istalgan sinfi uchun mantiqiy loyiha mavzusini tanlashingiz mumkin. Mantiq va mantiqiy fikrlash bo'yicha matematika loyihasini to'g'ri ishlab chiqishga yordam berish uchun siz ishni loyihalash uchun ishlab chiqilgan talablardan foydalanishingiz mumkin.
Mantiqiy tadqiqot loyihalari uchun quyidagi mavzular yakuniy emas va loyiha oldidan qo'yilgan talablar tufayli o'zgartirilishi mumkin.
Mantiq bo'yicha ilmiy maqolalar mavzulari:
Talabalar uchun mantiq bo'yicha tadqiqot ishlari uchun namuna mavzulari:
Matematikadan qiziqarli mantiq.
Algebra mantiq
Mantiq va biz
Mantiq. Mantiq qonunlari
Mantiqiy quti. Qiziqarli mantiqiy masalalar to'plami.
Raqamlar bilan mantiqiy vazifalar.
Mantiqiy muammolar
Mantiqiy masalalar "Qiziqarli arifmetika"
Matematikadan mantiqiy masalalar.
Geometrik shakllar sonini aniqlash uchun mantiqiy masalalar.
Fikrlashni rivojlantirish uchun mantiqiy vazifalar
Matematika darslarida mantiqiy masalalar.
Mantiqiy o'yinlar
Mantiqiy paradokslar
Matematik mantiq.
Mantiqiy masalalarni yechish usullari va ularni tuzish usullari.
Mantiqiy masalalarni simulyatsiya qilish
"Mantiq asoslari" o'quv taqdimoti.
Mantiqiy masalalarning asosiy turlari va ularni yechish usullari.
Sherlok Xolms izidan yoki mantiqiy muammolarni hal qilish usullari.
Grafiklar nazariyasining mantiqiy masalalarni yechishda qo‘llanilishi.
To'rt rang muammolari.
Mantiqiy masalalarni yechish
Grafik usuli yordamida mantiqiy masalalarni yechish.
Mantiqiy masalalarni turli usullarda yechish.
Grafiklar yordamida mantiqiy masalalarni yechish
Mantiqiy masalalarni diagramma va jadvallar yordamida yechish.
Mantiqiy masalalarni yechish.
Sillogizmlar. Mantiqiy paradokslar.
Mantiqiy loyiha mavzular
Talabalar uchun mantiqiy loyihalar uchun namuna mavzulari:
Sofizm
Atrofimizdagi sofizm
Sofizmlar va paradokslar
Mantiqiy masalalarni tuzish usullari va yechish usullari.
Mantiqiy muammolarni hal qilishni o'rganish
Mantiq algebrasi va kompyuterning mantiqiy asoslari.
Mantiqiy fikrlash uchun vazifalar turlari.
Mantiqiy masalalarni yechishning ikkita usuli.
Mantiq va matematika.
Mantiq fan sifatida
Mantiqiy topishmoqlar.
Talabalar diqqatiga! Kurs ishi tanlangan mavzuga qat'iy muvofiq ravishda mustaqil ravishda bajariladi. Ikki nusxadagi mavzularga ruxsat berilmaydi! Sizdan o'qituvchiga tanlangan mavzu haqida istalgan qulay usulda, yakka tartibda yoki to'liq ismingiz, guruh raqamingiz va kurs ishi nomini ko'rsatgan holda ro'yxatda ma'lumot berishingizni so'raymiz.
Fan bo'yicha kurs ishi uchun mavzular namunalari
"Matematik mantiq"
1. Rezolyutsiya usuli va uning propozitsion algebra va predikatlar algebrasida qo‘llanilishi.
2. Aksiomatik tizimlar.
3. Minimal va eng qisqa CNF va DNF.
4. Formal tillar nazariyasida matematik mantiq usullarini qo‘llash.
5. Formal grammatika mantiqiy hisoblar sifatida.
6. Matn mantiqiy masalalarni yechish usullari.
7. Mantiqiy dasturlash tizimlari.
8. Mantiqiy o'yin.
9. Birinchi tartibli mantiqning noaniqligi.
10. Arifmetikaning nostandart modellari.
11. Matematik mantiqda diagonallashtirish usuli.
12. Tyuring mashinalari va Cherc tezisi.
13. Abakus va rekursiv funksiyalar bo'yicha hisoblash.
14. Rekursiv funksiyalarning ifodalanishi va matematik mantiqning salbiy natijalari.
15. Qo‘shish arifmetikasining yechilishi.
16. Arifmetikada ikkinchi tartibli mantiq va aniqlanish.
17. Model nazariyasida ultramahsulotlar usuli.
18. Formal arifmetikaning to‘liqsizligi haqidagi Gödel teoremasi.
19. Yechiladigan va hal etilmaydigan aksiomatik nazariyalar.
20. Kreygning interpolyatsiya lemmasi va uning qo‘llanilishi.
21. Eng oddiy axborot konvertorlari.
22. Kommutatsiya sxemalari.
24. Aloqa tuzilmalari.
25. Mantiqiy funksiyalarni rele kontaktli zanjirlarga qo‘llash.
26. Mantiqiy funksiyalarning qolipni tanib olish nazariyasida qo‘llanilishi.
27. Matematik mantiq va sun’iy intellekt tizimlari.
Kurs ishi 2 qismdan iborat bo‘lishi kerak: mavzuning nazariy mazmuni va yechimlari bilan mavzu bo‘yicha masalalar to‘plami (kamida 10 ta). Shuningdek, ikkinchi qismni (masalalarni echish) muhokama qilingan nazariy material asosida yaratilgan mustaqil ishlanma (masalan, ishchi algoritm, dastur, namuna va boshqalar) bilan almashtirib, tadqiqot turidagi kurs ishini yozishga ruxsat beriladi. ishning birinchi qismida.
1) Barwise J. (tahr.) Matematik mantiq bo'yicha ma'lumotnoma. - M.: Nauka, 1982 yil.
2) Dasturlash tillarining birodarlari. - M.: Nauka, 1975 yil.
3) Boulos J., hisoblash va mantiq. - M.: Mir, 1994 yil.
4) Masalalarda hindiy mantiq. - M., 1972 yil.
5), Palyutin mantig'i. - M.: Nauka, 1979 yil.
6) Ershovning echuvchanligi va konstruktiv modellari. - M.: Nauka, 1980 yil.
7), Taitslin nazariyasi // Uspekhi Mat.Nauk, 1965, 20, No 4, bet. 37-108.
8) Igoshin - matematik mantiq bo'yicha seminar. - M.: Ta'lim, 1986 yil.
9) Igoshin mantiqi va algoritmlar nazariyasi. - Saratov: Sarat nashriyoti. Universitet, 1991 yil.
10) Ts.da Turbo Prolog yordamida. - M.: Mir, 1993 yil.
11) metamatematikaga kirish. - M., 1957 yil.
12) atematik mantiq. - M.: Mir, 1973 yil.
13) masalani yechishdagi ogikalar. - M.: Nauka, 1990 yil.
14) Kolmogorov mantig'i: universitetlar uchun matematika darsligi. mutaxassisliklar /, - M.: URSS nashriyoti, 2004. - 238 p.
15) tugunli hikoya / Tarjima. ingliz tilidan - M., 1973 yil.
16) og'ir o'yin / Trans. ingliz tilidan - M., 1991 yil.
17), Maksimov to'plamlar nazariyasi, matematik mantiq va algoritmlar nazariyasi bo'yicha. - 4-nashr. - M., 2001 yil.
18), Sukacheva mantig'i. Ma'ruza kursi. Amaliy muammolar kitobi va yechimlari: o'quv qo'llanma. 3-nashr, rev. - Sankt-Peterburg.
19) "Lan" nashriyoti, 2008. - 288 b.
20) Liskova informatika fanidan / , . - M.: Asosiy bilimlar laboratoriyasi, 2001. - 160 b.
21) Matematik mantiq / Umumiy tahririyat ostida va boshqalar - Minsk: Oliy maktab, 1991 yil.
22) matematik mantiqqa kirish. - M.: Nauka, 1984 yil.
23) Moshchenskiy matematik mantiq bo'yicha. - Minsk, 1973 yil.
24) Nikolskaya matematik mantiq bilan. - M .: Moskva psixologik va ijtimoiy instituti: Flint, 1998. - 128 p.
25) Nikolskaya mantig'i. - M., 1981 yil.
26) Novikov matematik mantiq. - M.: Nauka, 1973 yil.
27) Rabin nazariyasi. Kitobda: Matematik mantiq bo'yicha ma'lumotnoma, 3-qism. Rekursiya nazariyasi. - M.: Nauka, 1982. - b. 77-111.
28) Tey A., Gribomon P. va boshqalar Sun'iy intellektga mantiqiy yondashuv. T. 1. - M.: Mir, 1990 y.
29) Tey A., Gribomon P. va boshqalar Sun'iy intellektga mantiqiy yondashuv. T. 2. - M.: Mir, 1998 y.
30) Chen Ch., Li R. Matematik mantiq va teoremalarning avtomatik isboti. - M.: Nauka, 1983 yil.
31) matematik mantiqqa kirish. - M.: Mir, 1960 yil.
32) Shabunin mantig'i. Taklif mantiqi va predikat mantiqi: darslik /, rep. ed. ; Chuvash davlati nomidagi universitet . - Cheboksari: Chuvash nashriyoti. Universitet, 2003. - 56 b.
Shahar ta'lim byudjet muassasasi -
51-sonli umumta’lim maktabi
Orenburg.
Loyiha bo'yicha:
matematika o'qituvchisi
Egorcheva Viktoriya Andreevna
2017
Gipoteza : Agar grafik nazariya amaliyotga yaqinlashtirilsa, u holda eng foydali natijalarga erishish mumkin.
Maqsad: Grafiklar tushunchasi bilan tanishing va ularni turli masalalarni yechishda qo‘llashni o‘rganing.
Vazifalar:
1) Grafiklarni qurish usullari haqidagi bilimlarni kengaytirish.
2) Yechishda grafiklar nazariyasidan foydalanish talab qilinadigan masalalar turlarini aniqlang.
3) Matematikada grafiklardan foydalanishni o‘rganing.
"Euler hech qanday ko'rinmas kuchsiz odam qanday nafas olayotganini yoki burgutning erdan qanday uchishini hisoblab chiqdi."
Dominik Arago.
I. Kirish. p.
II . Asosiy qism.
1. Grafik tushunchasi. Königsberg ko'priklari bilan bog'liq muammo. p.
2. Grafiklarning xossalari. p.
3. Grafiklar nazariyasidan foydalanish masalalari. p.
Sh. Xulosa.
Grafiklarning ma'nosi. p.
IV. Bibliografiya. p.
I . KIRISH
Grafik nazariyasi nisbatan yosh fan hisoblanadi. "Grafiklar" yunoncha "grapho" so'zining ildizi bo'lib, "men yozaman" degan ma'noni anglatadi. Xuddi shu ildiz "grafik", "biografiya" so'zlarida.
Men o'z ishimda grafik nazariyasi odamlar hayotining turli sohalarida qanday qo'llanilishini ko'rib chiqaman. Har bir matematika o'qituvchisi va deyarli har bir talaba geometrik masalalarni, shuningdek, algebra so'zli masalalarni yechish qanchalik qiyinligini biladi. Maktab matematikasi kursida grafiklar nazariyasini qo'llash imkoniyatlarini o'rganib chiqib, men bu nazariya muammolarni tushunish va hal qilishni sezilarli darajada osonlashtiradi degan xulosaga keldim.
II . ASOSIY QISM.
1. Grafik tushunchasi.
Grafiklar nazariyasi bo'yicha birinchi ish Leonhard Eylerga tegishli. U 1736 yilda Sankt-Peterburg Fanlar akademiyasining nashrlarida paydo bo'lgan va Königsberg ko'priklari muammosini ko'rib chiqish bilan boshlangan.
Kaliningrad kabi shahar borligini bilsangiz kerak, u ilgari Koenigsberg deb atalgan. Shahar bo'ylab Pregolya daryosi oqib o'tadi. U ikki shoxga bo‘linib, orol atrofida aylanib yuradi. 17-asrda shaharda rasmda ko'rsatilganidek, ettita ko'prik mavjud edi.
Aytishlaricha, bir kuni bir shaharlik do'stidan barcha ko'priklarni bosib o'tish mumkinmi, deb so'radi, shunda ularning har biriga faqat bir marta tashrif buyurib, yurish boshlangan joyga qaytib boraman. Ko'pgina shaharliklar bu muammoga qiziqish bildirishdi, ammo hech kim yechim topa olmadi. Bu masala ko'plab mamlakatlar olimlarining e'tiborini tortdi. Mashhur matematik Leonhard Eyler muammoni hal qilishga muvaffaq bo'ldi. Bazellik Leonhard Eyler 1707 yil 15 aprelda tug'ilgan. Eylerning ilmiy yutuqlari juda katta. U fundamental tadqiqotlar sohasida ham, ularni qo‘llashda ham matematika va mexanikaning deyarli barcha sohalarining rivojlanishiga ta’sir ko‘rsatdi. Leonhard Eyler nafaqat ushbu aniq muammoni hal qildi, balki ushbu muammolarni hal qilishning umumiy usulini ham ishlab chiqdi. Eyler quyidagilarni amalga oshirdi: u erni nuqtalarga "siqdi" va ko'priklarni chiziqlarga "cho'zdi". Natijada rasmda ko'rsatilgan raqam paydo bo'ladi.
Ushbu nuqtalarni bog'laydigan nuqtalar va chiziqlardan iborat bunday raqam deyiladihisoblash. A, B, C, D nuqtalari grafning uchlari deyiladi, cho'qqilarni bog'laydigan chiziqlar esa grafikning qirralari deb ataladi. Cho'qqilar chizmasida B, C, D 3 ta qovurg'a chiqadi va yuqoridan A - 5 qovurg'a. Toq sonli qirralari chiqadigan cho'qqilar deyiladig'alati uchlari, va chekkalari juft sonlar chiqadigan uchlarihatto.
2. Grafikning xossalari.
Königsberg ko'priklari haqidagi masalani hal qilishda Eyler, xususan, grafikning xususiyatlarini aniqladi:
1. Agar grafikning barcha uchlari juft bo‘lsa, u holda bitta zarba bilan (ya’ni qalamni qog‘ozdan ko‘tarmasdan va bir chiziq bo‘ylab ikki marta chizmasdan) grafik chizish mumkin. Bunday holda, harakat istalgan cho'qqidan boshlanib, xuddi shu cho'qqida tugashi mumkin.
2. Ikkita toq uchli grafikni bir zarba bilan ham chizish mumkin. Harakat har qanday toq cho'qqidan boshlanib, boshqa toq cho'qqida tugashi kerak.
3. Ikkitadan ortiq toq uchlari boʻlgan grafikni bir zarba bilan chizish mumkin emas.
4.Grafikdagi toq uchlari soni doim juft.
5. Agar grafikning toq uchlari bo‘lsa, u holda grafikni chizish uchun ishlatilishi mumkin bo‘lgan eng kichik zarbalar soni ushbu grafikning toq uchlari sonining yarmiga teng bo‘ladi.
Misol uchun, agar raqam to'rtta toq raqamga ega bo'lsa, uni kamida ikkita zarba bilan chizish mumkin.
Königsbergning ettita ko'prigi masalasida tegishli grafikning barcha to'rtta cho'qqisi toq, ya'ni. Siz barcha ko'priklarni bir marta kesib o'ta olmaysiz va sayohatni u boshlangan joyda tugata olmaysiz.
3. Grafiklar yordamida masalalar yechish.
1. Bir zarba bilan figuralarni chizish bo'yicha topshiriqlar.
Quyidagi shakllarning har birini qalamning bir zarbasi bilan chizishga urinish turli natijalarga olib keladi.
Agar rasmda g'alati nuqtalar bo'lmasa, qaerda chizishni boshlashingizdan qat'i nazar, uni har doim qalamning bir zarbasi bilan chizish mumkin. Bu 1 va 5 raqamlar.
Agar rasmda faqat bitta juft g'alati nuqta bo'lsa, unda bunday raqamni bitta zarba bilan chizish mumkin, toq nuqtalardan birida chizishni boshlash mumkin (qaysi biri muhim emas). Chizma ikkinchi toq nuqtada tugashi kerakligini tushunish oson. Bular 2, 3, 6-rasmlar. Masalan, 6-rasmda chizish A nuqtadan yoki B nuqtadan boshlanishi kerak.
Agar figurada bir nechta toq nuqtalar bo'lsa, uni bitta zarba bilan chizish umuman mumkin emas. Bular ikki juft toq nuqtadan iborat 4 va 7 raqamlar. Aytilganlar qaysi raqamlarni bir zarba bilan chizish mumkin emasligini va qaysilarini chizish mumkinligini, shuningdek, chizish qaysi nuqtadan boshlanishi kerakligini aniq aniqlash uchun etarli.
Men quyidagi raqamlarni bitta zarbada chizishni taklif qilaman.
2. Mantiqiy masalalarni yechish.
1-sonli topshiriq.
Stol tennisi bo'yicha chempionatda 6 nafar ishtirokchi bor: Andrey, Boris, Viktor, Galina, Dmitriy va Elena. Chempionat aylanma tizimda o'tkaziladi - har bir ishtirokchi boshqalar bilan bir martadan o'ynaydi. Bugungi kunga qadar ba'zi o'yinlar allaqachon o'ynalgan: Andrey Boris, Galina, Elena bilan o'ynagan; Boris - Andrey, Galina bilan; Viktor - Galina, Dmitriy, Elena bilan; Galina - Andrey, Viktor va Boris bilan. Hozirgacha nechta o'yin o'tkazildi va qanchasi qoldi?
YECHIM:
Keling, rasmda ko'rsatilgandek grafik tuzamiz.
7 ta o'yin o'tkazildi.
Bu rasmda grafik 8 ta chekkaga ega, shuning uchun o'ynash uchun 8 ta o'yin qoldi.
№2 topshiriq
Atrofi baland panjara bilan o‘ralgan hovlida qizil, sariq va ko‘k rangli uchta uy bor. Devorning uchta darvozasi bor: qizil, sariq va ko'k. Qizil uydan qizil darvozaga, sariq uydan sariq darvozaga, ko'k uydan ko'k darvozaga yo'l chizing, shunda bu yo'llar kesishmaydi.
YECHIM:
Muammoning yechimi rasmda ko'rsatilgan.
3. So‘z masalalarini yechish.
Grafik usuli yordamida muammolarni hal qilish uchun siz quyidagi algoritmni bilishingiz kerak:
1.Muammoda qanday jarayon haqida gapiramiz?2.Bu jarayonni qanday miqdorlar xarakterlaydi?3.Bu miqdorlar o‘rtasida qanday bog‘liqlik bor?4. Masalada necha xil jarayon tasvirlangan?5.Elementlar o'rtasida bog'lanish bormi?
Ushbu savollarga javob berib, biz muammoning holatini tahlil qilamiz va uni sxematik tarzda yozamiz.
Masalan . Avtobus 45 km/soat tezlikda 2 soat, 60 km/soat tezlikda 3 soat yurdi. Ushbu 5 soat davomida avtobus qancha masofani bosib o'tdi?
S 
¹=90 km V ¹=45 km/soat t ¹=2s
S=VT
S ²=180 km V ²=60 km/soat t ²=3 soat
S ¹ + S ² = 90 + 180
Yechim:
1)45 x 2 = 90 (km) - avtobus 2 soatda yurdi.
2) 60 x 3 = 180 (km) - avtobus 3 soatda yurdi.
3)90 + 180 = 270 (km) - avtobus 5 soatda yurdi.
Javob: 270 km.
III . XULOSA.
Loyiha ustida ishlash natijasida men Leonhard Eyler grafiklar nazariyasining asoschisi ekanligini va grafiklar nazariyasi yordamida masalalarni yechishini bilib oldim. Men o'zim uchun grafik nazariyasi zamonaviy matematikaning turli sohalarida va uning ko'plab ilovalarida qo'llaniladi degan xulosaga keldim. Biz talabalarni grafiklar nazariyasining asosiy tushunchalari bilan tanishtirish foydali ekanligiga shubha yo'q. Agar siz grafiklardan foydalansangiz, ko'plab matematik muammolarni hal qilish osonroq bo'ladi. Ma'lumotlar taqdimoti V grafik shakli ularga aniqlik beradi. Ko'pgina dalillar ham soddalashtirilgan va agar siz grafiklardan foydalansangiz, yanada ishonchli bo'ladi. Bu, ayniqsa, matematikaning matematik mantiq va kombinatorika kabi sohalariga taalluqlidir.
Shunday qilib, ushbu mavzuni o'rganish katta umumiy ta'lim, umumiy madaniy va umumiy matematik ahamiyatga ega. Kundalik hayotda grafik tasvirlar, geometrik tasvirlar va boshqa vizual texnika va usullar tobora ko'proq foydalanilmoqda. Shu maqsadda boshlang‘ich va o‘rta maktablarda grafik nazariyasi elementlarini o‘rganishni hech bo‘lmaganda sinfdan tashqari mashg‘ulotlarda joriy etish maqsadga muvofiqdir, chunki bu mavzu matematika o‘quv dasturiga kiritilmagan.
V . ADABIYOTLAR RO'YXATI:
2008 yil
Ko‘rib chiqish.
"Atrofimizdagi grafikalar" mavzusidagi loyiha Krasny Kut 3-sonli shahar ta'lim muassasasining 7 "A" sinf o'quvchisi Nikita Zaytsev tomonidan yakunlandi.
Nikita Zaitsev ishining o'ziga xos xususiyati uning dolzarbligi, amaliy yo'nalishi, mavzuni qamrab olish chuqurligi va undan kelajakda foydalanish imkoniyatidir.
Ish ijodiy, axborot loyihasi shaklida. Talaba ushbu mavzuni maktab avtobusi yo‘nalishi misolida grafiklar nazariyasining amaliyot bilan bog‘liqligini ko‘rsatish, grafiklar nazariyasi zamonaviy matematikaning turli sohalarida va uning ko‘plab ilovalarida, xususan, iqtisodiyot, matematik mantiq va kombinatorikada qo‘llanilishini ko‘rsatish uchun tanlagan. . U ko'rsatdiki, agar grafiklardan foydalanish mumkin bo'lsa, muammolarni hal qilish juda soddalashtirilgan; ma'lumotlarni grafik shaklida taqdim etish ularga aniqlik beradi; ko'plab dalillar ham soddalashtirilgan va ishonchli bo'ladi.
Ish quyidagi masalalarni hal qiladi:
1. Grafik tushunchasi. Königsberg ko'priklari bilan bog'liq muammo.
2. Grafiklarning xossalari.
3. Grafiklar nazariyasidan foydalanish masalalari.
4. Grafiklarning ma’nosi.
5. Maktab avtobusining marshrut varianti.
N. Zaitsev o'z ishini bajarayotganda:
1. Alxova Z.N., Makeeva A.V. «Matematika fanidan sinfdan tashqari ishlar».
2. “Matematika maktabda” jurnali. 13-sonli “Birinchi sentyabr” ilovasi
2008 yil
3. Ya.I.Perelman "Ko'ngilochar vazifalar va tajribalar." - Moskva: Ta'lim, 2000 yil.
Ish malakali bajarildi, material ushbu mavzu talablariga javob beradi, tegishli chizmalar ilova qilinadi.
Kirish. 3
1. Matematik mantiq (ma'nosiz mantiq) va "sog'lom aql" mantiqi 4
2. Matematik mulohazalar va xulosalar. 6
3. 21-asrda matematik mantiq va "Sog'lom aql". o'n bir
4. Matematika asoslarida g'ayritabiiy mantiq. 12
Xulosa. 17
Adabiyotlar… 18
Mantiqiy qiziqishlar doirasining kengayishi ilmiy bilimlar rivojlanishining umumiy tendentsiyalari bilan bog'liq. Shunday qilib, 19-asr oʻrtalarida matematik mantiqning paydo boʻlishi tabiiy tilning “kamchiliklari”dan (birinchi navbatda, uning koʻp maʼnoliligi, yaʼni koʻp maʼnoliligidan) xoli universal ramziy tilni yaratishga matematiklar va mantiqlarning koʻp asrlik intilishlari natijasi boʻldi. .
Mantiqning keyingi rivojlanishi amaliy sohalarda klassik va matematik mantiqning birgalikda qo'llanilishi bilan bog'liq. Klassik bo'lmagan mantiqlar (deontik, tegishli, huquqiy mantiq, qaror qabul qilish mantig'i va boshqalar) ko'pincha o'rganilayotgan ob'ektlarning noaniqligi va loyqaligi, ularning rivojlanishining nochiziqli tabiati bilan shug'ullanadi. Shunday qilib, sun'iy intellekt tizimlarida ancha murakkab muammolarni tahlil qilishda bir xil muammoni hal qilishda turli xil fikrlash turlari o'rtasidagi sinergiya muammosi paydo bo'ladi. Mantiqning informatika bilan konvergentsiyaga muvofiq rivojlanish istiqbollari mumkin bo'lgan fikrlash modellarining ma'lum bir ierarxiyasini yaratish bilan bog'liq, shu jumladan tabiiy tilda fikr yuritish, asosli fikrlash va rasmiylashtirilgan deduktiv xulosalar. Buni klassik, matematik va klassik bo'lmagan mantiq yordamida hal qilish mumkin. Shunday qilib, biz turli xil "mantiqlar" haqida emas, balki fikrlashni rasmiylashtirishning turli darajalari va mantiqiy ma'nolarning "o'lchovi" (ikki qiymatli, ko'p qiymatli va hokazo. mantiq) haqida.
Zamonaviy mantiqning asosiy yo'nalishlarini aniqlash:
1. umumiy yoki klassik mantiq;
2. ramziy yoki matematik mantiq;
3. noklassik mantiq.
Matematik mantiq juda noaniq tushunchadir, chunki matematik mantiqlar ham cheksiz ko'p. Bu erda biz ulardan ba'zilarini muhokama qilamiz, sog'lom fikrdan ko'ra an'analarga ko'proq hurmat ko'rsatamiz. Chunki, ehtimol, bu sog'lom fikrdir... Mantiqiymi?
Matematik mantiq sizni matematikaning boshqa sohalariga qaraganda mantiqiy fikrlashga o'rgatadi. Buning sababi shundaki, mantiqdagi fikrlashning "mantiqiyligi" mantiqning o'zi tomonidan belgilanadi va faqat mantiqning o'zida to'g'ri qo'llanilishi mumkin. Hayotda mantiqiy fikrlashda, qoida tariqasida, biz turli xil mantiqlar va mantiqiy fikrlashning turli usullaridan foydalanamiz, deduksiyani induksiya bilan uyalmasdan aralashtiramiz ... Bundan tashqari, hayotda biz o'z fikrimizni qarama-qarshi binolarga asoslaymiz, masalan, "Don" Bugun nima qilish mumkinligini ertaga qoldirmang" va "Odamlarni shoshib kuldirasiz". Ko'pincha biz yoqtirmaydigan mantiqiy xulosa dastlabki binolarni (aksiomalarni) qayta ko'rib chiqishga olib keladi.
Ehtimol, mantiq haqida gapirish vaqti keldi, ehtimol, eng muhimi: klassik mantiq ma'no bilan bog'liq emas. Na sog'lom, na boshqasi! Sog'lom fikrni o'rganish uchun, aytmoqchi, psixiatriya bor. Ammo psixiatriyada mantiq juda zararli.
Albatta, biz mantiqni ma’nodan farqlaganda, avvalo, klassik mantiq va sog‘lom fikrning kundalik tushunchasini nazarda tutamiz. Matematikada taqiqlangan yo'nalishlar yo'q, shuning uchun mantiq bo'yicha ma'noni o'rganish va aksincha, turli shakllarda mantiqiy fanning bir qator zamonaviy sohalarida mavjud.
(Oxirgi jumla yaxshi chiqdi, garchi men "mantiqiy fan" atamasini hatto taxminan belgilashga harakat qilmayman). Ma'no yoki semantika, agar xohlasangiz, masalan, model nazariyasi bilan shug'ullanadi. Va umuman olganda, semantika atamasi ko'pincha talqin atamasi bilan almashtiriladi. Va agar faylasuflarning biror narsaning talqini (ko‘rsatilishi!) uning ma’lum bir jihatdagi tushunchasi, degan fikrga qo‘shilsak, matematikaning mantiqdagi ma’noga hujum qilish uchun ishlatilishi mumkin bo‘lgan chegara sohalari tushunarsiz bo‘lib qoladi!
Amaliy nuqtai nazardan, nazariy dasturlash semantikaga qiziqish uyg'otishga majbur. Va unda faqat semantikadan tashqari, operativ, denotatsion, protsessual va boshqalar ham mavjud. va h.k. semantika...
Semantikani rasmiy, tushunarsiz sintaksisga olib kelgan apoteozni eslatib o'tamiz, bu erda ma'no juda oddiy - javonlarga qo'yilganki, oddiy odamning uning tubiga etib borishi mutlaqo mumkin emas. ... Bu elita uchun.
Xo'sh, mantiq nima qiladi? Hech bo'lmaganda uning eng klassik qismida? Mantiq faqat o'zi qiladigan narsani qiladi. (Va u buni juda qattiq belgilaydi). Mantiqdagi asosiy narsa - uni qat'iy belgilash! Aksiomatikani o'rnating. Va keyin mantiqiy xulosalar (!) asosan avtomatik bo'lishi kerak ...
Bu xulosalar haqida mulohaza yuritish boshqa masala! Ammo bu dalillar allaqachon mantiq chegarasidan tashqarida! Shuning uchun ular qattiq matematik tuyg'uni talab qiladi!
Bu oddiy og'zaki muvozanat harakati bo'lib tuyulishi mumkin. YO'Q! Muayyan mantiqiy (aksiomatik) tizimga misol sifatida, taniqli o'yinni olaylik 15. Keling, kvadrat chiplarning dastlabki tartibini o'rnatamiz (aralashtiramiz). Keyin o'yin (mantiqiy xulosa!), va xususan, chiplarning bo'sh joyga harakatlanishi qandaydir mexanik qurilma tomonidan boshqarilishi mumkin va siz mumkin bo'lgan harakatlar natijasida 1 dan 15 gacha bo'lgan ketma-ketlikni sabr bilan tomosha qilishingiz va xursand bo'lishingiz mumkin. qutida hosil bo'ladi.Ammo hech kim mexanik qurilmani boshqarishni taqiqlamaydi va jarayonni tezlashtirish uchun SOG'LOM TUG'ILGAN ASOSDA, chiplarning to'g'ri harakati bilan harakat qiladi. Yoki mantiqiy mulohaza yuritish uchun, masalan, KOMBİNATORIKA kabi matematikadan foydalanib, chiplarning dastlabki joylashuvi bilan kerakli yakuniy kombinatsiyani umuman olish mumkin emasligini isbotlang!
Mantiqning MANTIQ ALGEBRA deb ataladigan qismida boshqa umumiy aql yo'q. Bu yerda MANTIQ AMALIYATLAR kiritiladi va ularning xossalari aniqlanadi. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, ba'zi hollarda bu algebra qonunlari hayot mantig'iga mos kelishi mumkin, ammo boshqalarida ular mos kelmaydi. Bunday nomuvofiqlik tufayli mantiq qonunlarini hayot amaliyoti nuqtai nazaridan qonun deb hisoblash mumkin emas. Ularning bilimlari va mexanik ishlatilishi nafaqat yordam berishi, balki zarar etkazishi ham mumkin. Ayniqsa, psixologlar va huquqshunoslar. Vaziyat shundaki, ba'zan hayotiy mulohazaga mos keladigan yoki mos kelmaydigan mantiq algebrasi qonunlari bilan bir qatorda, ba'zi mantiqchilar mutlaqo tan olmaydigan mantiqiy qonunlar mavjud. Bu, birinchi navbatda, EXCLUSIVE UCHINCHI va ZARAJ qonunlari uchun amal qiladi.
2. Matematik mulohazalar va xulosalar
Tafakkurda tushunchalar alohida ko`rinmaydi, ular bir-biri bilan ma`lum bir tarzda bog`lanadi. Tushunchalarning bir-biri bilan bog`lanish shakli hukmdir. Har bir hukmda tushunchalar o'rtasida qandaydir bog'liqlik yoki qandaydir munosabat o'rnatiladi va bu bilan tegishli tushunchalar qamrab olgan ob'ektlar o'rtasida bog'liqlik yoki munosabat mavjudligini tasdiqlaydi. Agar hukmlar narsalar orasidagi ob'ektiv mavjud bo'lgan bu bog'liqliklarni to'g'ri aks ettirsa, biz bunday hukmlarni to'g'ri deb ataymiz, aks holda hukmlar noto'g'ri bo'ladi. Demak, masalan, “har bir romb parallelogrammdir” degan fikr to‘g‘ri taklifdir; "har bir parallelogramma rombdir" degan taklif noto'g'ri taklifdir.
Shunday qilib, hukm - ob'ektning o'zi mavjudligi yoki yo'qligini (uning biron bir xususiyati va aloqalarining mavjudligi yoki yo'qligi) aks ettiruvchi fikrlash shaklidir.
Fikrlash hukm chiqarishni anglatadi. Hukmlar, fikr va tushunchalar yordamida ularning keyingi rivojlanishi.
Har bir tushuncha ob'ektlar, hodisalar yoki ular orasidagi munosabatlarning ma'lum bir sinfini aks ettirganligi sababli, har qanday hukm bir tushunchaning boshqa tushuncha sinfiga kiritilishi yoki kiritilmasligi (qisman yoki to'liq) sifatida qaralishi mumkin. Masalan, “har bir kvadrat rombdir” degan taklif “kvadrat” tushunchasining “romb” tushunchasiga kiritilganligini ko‘rsatadi; "kesishuvchi chiziqlar parallel emas" degan taklif kesishuvchi chiziqlar parallel deb ataladigan chiziqlar to'plamiga tegishli emasligini ko'rsatadi.
Hukmning o'ziga xos lingvistik qobig'i bor - hukm, lekin har bir hukm hukm emas.
Hukmning o'ziga xos xususiyati - uni ifodalovchi jumlada haqiqat yoki yolg'onning majburiy mavjudligi.
Misol uchun, "ABC uchburchagi teng yonli" jumlasi ba'zi bir hukmni ifodalaydi; jumla "ABC teng yon tomonli bo'ladimi?" hukm bildirmaydi.
Har bir fan mohiyatan o'z o'rganish predmeti bo'lgan ob'ektlar to'g'risidagi ma'lum bir hukmlar tizimini ifodalaydi. Hukmlarning har biri ma'lum bir taklif shaklida rasmiylashtirilib, ushbu fanga xos atamalar va belgilar bilan ifodalanadi. Matematika, shuningdek, matematik yoki mantiqiy atamalar yoki ularga mos keladigan belgilar orqali matematik jumlalarda ifodalangan hukmlarning ma'lum bir tizimini ifodalaydi. Matematik atamalar (yoki belgilar) matematik nazariya mazmunini tashkil etuvchi tushunchalarni, mantiqiy atamalar (yoki belgilar) mantiqiy amallarni bildiradi, ular yordamida ba'zi matematik takliflardan boshqa matematik takliflar tuziladi, ba'zi hukmlardan boshqa hukmlar hosil bo'ladi. , uning butunligi matematikani fan sifatida tashkil etadi.
Umuman olganda, fikrlashda hukmlar ikki asosiy usulda shakllanadi: bevosita va bilvosita. Birinchi holda, idrok natijasi hukm yordamida ifodalanadi, masalan, "bu raqam aylana". Ikkinchi holda, hukm chiqarish xulosa deb ataladigan maxsus aqliy faoliyat natijasida yuzaga keladi. Masalan, “tekislikda berilgan nuqtalar to’plami shundayki, ularning bir nuqtadan masofasi bir xil bo’ladi; Bu shuni anglatadiki, bu raqam doiradir."
Ushbu aqliy faoliyat jarayonida odatda bir yoki bir nechta o'zaro bog'liq hukmlardan o'rganish ob'ekti haqida yangi bilimlarni o'z ichiga olgan yangi hukmga o'tish amalga oshiriladi. Bu o'tish fikrlashning eng yuqori shaklini ifodalovchi xulosadir.
Demak, xulosa chiqarish bir yoki bir nechta berilgan hukmlardan yangi xulosa chiqarish jarayonidir. Masalan, parallelogrammaning diagonali uni ikkita mos keladigan uchburchakka ajratadi (birinchi taklif).
Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 2d (ikkinchi taklif).
Paralelogrammaning ichki burchaklarining yig'indisi 4d ga teng (yangi xulosa).
Matematik xulosalarning kognitiv qiymati nihoyatda katta. Ular real olamning ob'ektlari va hodisalari haqidagi bilimlarimiz chegaralarini kengaytiradi, chunki ko'pchilik matematik takliflar, qoida tariqasida, to'g'ridan-to'g'ri tajriba orqali olingan va bizning fikrimizni aks ettiruvchi nisbatan kam sonli asosiy mulohazalar xulosasidir. uning ob'ektlari haqida eng oddiy va eng umumiy bilim.
Xulosa (fikrlash shakli sifatida) tushuncha va mulohazalardan individual fikrlar ustida mantiqiy operatsiya ekanligi bilan farq qiladi.
O'zaro hukmlarning har bir birikmasi ham xulosani tashkil etmaydi: hukmlar o'rtasida haqiqatda mavjud bo'lgan ob'ektiv aloqani aks ettiruvchi ma'lum bir mantiqiy bog'liqlik bo'lishi kerak.
Masalan, “uchburchakning ichki burchaklarining yig’indisi 2d” va “2*2=4” degan takliflardan xulosa chiqarib bo’lmaydi.
Turli matematik jumlalarni to'g'ri tuzish yoki fikrlash jarayonida xulosa chiqarish qobiliyati bizning matematik bilimlarimiz tizimida qanday ahamiyatga ega ekanligi aniq. Og'zaki til muayyan mulohazalarni ifodalash uchun juda mos emas, balki fikrlashning mantiqiy tuzilishini aniqlash uchun kamroq. Shu bois fikr yuritish jarayonida qo‘llaniladigan tilni takomillashtirish zarurati tug‘ilishi tabiiy. Buning uchun eng mos matematik (aniqrog'i, ramziy) til bo'lib chiqdi. 19-asrda paydo boʻlgan maxsus fan sohasi matematik mantiq nafaqat matematik isbotlash nazariyasini yaratish masalasini toʻliq hal qildi, balki butun matematika rivojiga ham katta taʼsir koʻrsatdi.
Formal mantiq (qadimda Aristotel asarlarida paydo bo'lgan) matematik mantiq bilan aniqlanmaydi (19-asrda ingliz matematigi J. Bul asarlarida paydo bo'lgan). Formal mantiqning predmeti - xulosalar va dalillar qoidalaridagi hukmlar va tushunchalarning o'zaro bog'liqligi qonuniyatlarini o'rganish. Matematik mantiqning formal mantiqdan farqi shundaki, u formal mantiqning asosiy qonunlariga tayangan holda matematik usullardan foydalanishga asoslangan mantiqiy jarayonlarning qonuniyatlarini o‘rganadi: “Hukmlar, tushunchalar va boshqalar o‘rtasida mavjud bo‘lgan mantiqiy bog‘lanishlar quyidagicha ifodalanadi. talqini og'zaki ifodadan osongina kelib chiqadigan noaniqliklardan xoli bo'lgan formulalar. Shunday qilib, matematik mantiq mantiqiy operatsiyalarni rasmiylashtirish, jumlalarning o'ziga xos mazmunidan to'liqroq abstraktsiyalash (har qanday hukmni ifodalash) bilan tavsiflanadi.
Buni bir misol bilan tushuntirib beraylik. Quyidagi xulosani ko'rib chiqing: "Agar barcha o'simliklar qizil bo'lsa va barcha itlar o'simlik bo'lsa, unda barcha itlar qizildir."
Bu erda qo'llanilgan hukmlarning har biri va biz cheklangan xulosalar natijasida olingan hukm ochiq-oydin bema'nilik kabi ko'rinadi. Biroq, matematik mantiq nuqtai nazaridan, biz bu erda to'g'ri jumla bilan shug'ullanamiz, chunki matematik mantiqda xulosaning haqiqati yoki noto'g'riligi ularning o'ziga xos mazmuniga emas, balki faqat uning tarkibiy qismlarining haqiqat yoki noto'g'riligiga bog'liq. Demak, agar formal mantiqning asosiy tushunchalaridan biri hukm bo'lsa, matematik mantiqning o'xshash tushunchasi bayon-bayon tushunchasi bo'lib, buning uchun faqat uning to'g'ri yoki yolg'onligini aytish mantiqiydir. Har bir bayonot uning mazmunida "sog'lom fikr" etishmasligi bilan tavsiflanadi deb o'ylamaslik kerak. Shunchaki u yoki bu gapni tashkil etuvchi jumlaning mazmunli qismi matematik mantiqda fonga tushib qoladi va u yoki bu xulosani mantiqiy qurish yoki tahlil qilish uchun ahamiyatsiz. (Albatta, bu masalani ko'rib chiqishda muhokama qilinayotgan narsaning mazmunini tushunish uchun zarur bo'lsa-da.)
Ko'rinib turibdiki, matematikaning o'zida mazmunli gaplar ko'rib chiqiladi. Matematik mulohazalar tushunchalar oʻrtasida turli bogʻlanishlar va munosabatlarni oʻrnatish orqali voqelik obʼyektlari va hodisalari oʻrtasidagi har qanday munosabatlarni tasdiqlaydi yoki inkor etadi.
3. 21-asrda matematik mantiq va "Sog'lom aql".
Mantiq nafaqat sof matematik, balki falsafiy fan hamdir. 20-asrda mantiqning bu ikki o'zaro bog'liq gipostazalari turli yo'nalishlarda ajralib chiqdi. Bir tomondan, mantiq to'g'ri fikrlash qonuniyatlari haqidagi fan sifatida tushunilsa, ikkinchi tomondan, u formal mantiqiy tizimlar deb ataladigan erkin bog'langan sun'iy tillar majmui sifatida taqdim etiladi.
Ko'pchilik uchun tafakkur murakkab jarayon bo'lib, uning yordamida kundalik, ilmiy yoki falsafiy muammolar hal qilinadi va yorqin g'oyalar yoki halokatli aldanishlar tug'iladi. Tilni ko'pchilik oddiygina tafakkur natijalarini zamondoshlariga etkazish yoki avlodlarga qoldirish vositasi sifatida tushunadi. Ammo ongimizda tafakkurni “jarayon” tushunchasi bilan, tilni esa “vosita” tushunchasi bilan bog‘lab, biz mohiyatan o‘zgarmas haqiqatni payqashdan to‘xtaymiz, bu holda “vositalar” to‘liq “jarayon”ga bo‘ysunmaydi. , lekin ma'lum yoki og'zaki klişelarni maqsadli yoki ongsiz ravishda tanlashimizga qarab, "jarayon" ning o'zi va natijasiga kuchli ta'sir qiladi. Bundan tashqari, bunday "teskari ta'sir" nafaqat to'g'ri fikrlashga to'sqinlik qiladigan, balki ba'zida uni buzuvchi ham bo'lib chiqadigan holatlar ko'p.
Falsafiy nuqtai nazardan, mantiqiy pozitivizm doirasida qo'yilgan vazifa hech qachon tugallanmagan. Xususan, bu yo‘nalish asoschilaridan biri Lyudvig Vitgenshteyn o‘zining keyingi tadqiqotlarida pozitivistlar tomonidan ishlab chiqilgan dasturga muvofiq tabiiy tilni isloh qilib bo‘lmaydi, degan xulosaga keldi. Hatto umuman matematika tili ham "mantiqiylik" ning kuchli bosimiga qarshi turdi, garchi pozitivistlar tomonidan taklif qilingan tilning ko'plab atamalari va tuzilmalari diskret matematikaning ba'zi bo'limlariga kirdi va ularni sezilarli darajada to'ldirdi. 20-asrning ikkinchi yarmida mantiqiy pozitivizmning falsafiy yo'nalish sifatida mashhurligi sezilarli darajada pasaydi - ko'plab faylasuflar tabiiy tilning ko'plab "mantiqsizliklarini" rad etish, uni asosiy tamoyillar doirasida siqib chiqarishga urinish degan xulosaga kelishdi. Mantiqiy pozitivizm idrok jarayonini va shu bilan birga butun insoniyat madaniyatini g'ayriinsoniylashtirishga olib keladi.
Tabiiy tilda qo'llaniladigan ko'plab fikrlash usullarini matematik mantiq tiliga bir ma'noda joylashtirish juda qiyin. Ba'zi hollarda bunday xaritalash tabiiy fikrlashning mohiyatini sezilarli darajada buzishga olib keladi. Va bu muammolar analitik falsafa va pozitivizmning tabiiy tilning mantiqsizligi va uni tubdan isloh qilish zarurligi haqidagi dastlabki uslubiy pozitsiyasining natijasidir, deb ishonishga asos bor. Pozitivizmning o'ziga xos uslubiy muhiti ham tanqidga dosh berolmaydi. Og'zaki tilni mantiqsizlikda ayblash shunchaki bema'nilikdir. Aslida, mantiqsizlik tilning o'ziga xos emas, balki mantiqni bilmaydigan yoki ishlatishni istamaydigan ushbu tilning ko'plab foydalanuvchilari va bu kamchilikni jamoatchilikka ta'sir qilishning psixologik yoki ritorik usullari bilan qoplaydilar yoki o'zlarining fikrlashlarida foydalanadilar. mantiq sifatida faqat noto'g'ri tushunish orqali mantiq deb ataladigan tizim. Shu bilan birga, nutqi ravshanlik va mantiq bilan ajralib turadigan ko'plab odamlar bor va bu fazilatlar matematik mantiq asoslarini bilish yoki bilmaslik bilan belgilanmaydi.
Matematik mantiqning rasmiy tilining qonun chiqaruvchisi yoki izdoshi sifatida tasniflanishi mumkin bo'lganlarning fikrlashlarida elementar mantiqiy xatolarga nisbatan o'ziga xos "ko'rlik" ko'pincha aniqlanadi. Buyuk matematiklardan biri Anri Puankare asrimiz boshlarida G. Kantor, D. Xilbert, B. Rassel, J. Peano va boshqalarning fundamental asarlarida ana shu ko‘rlikka e’tibor qaratgan.
Mulohaza yuritishga bunday mantiqsiz yondashishning bir misoli mashhur Rassell paradoksining formulasi bo'lib, unda ikkita sof heterojen tushunchalar "element" va "to'plam" asossiz ravishda aralashtiriladi. Gilbert dasturining ta'siri sezilarli bo'lgan mantiq va matematikaga oid ko'plab zamonaviy ishlarda tabiiy mantiq nuqtai nazaridan aniq absurd bo'lgan ko'plab bayonotlar izohlanmagan. "Element" va "to'plam" o'rtasidagi munosabat bu turdagi eng oddiy misoldir. Bu yoʻnalishdagi koʻpgina asarlarda maʼlum bir toʻplam (uni A deb ataymiz) boshqa toʻplamning elementi boʻlishi mumkinligi taʼkidlanadi (uni B deb ataymiz).
Masalan, matematik mantiq bo'yicha taniqli qo'llanmada biz quyidagi iborani topamiz: "To'plamlar o'zlari to'plamlarning elementlari bo'lishi mumkin, shuning uchun, masalan, barcha butun sonlar to'plamining elementlari uning elementlari sifatida to'plamlarga ega". E'tibor bering, bu bayonot shunchaki rad etish emas. U ko'plab mutaxassislar zamonaviy matematikaning asosi deb hisoblaydigan rasmiy to'plamlar nazariyasida, shuningdek, matematik K. Gödel o'zining mashhur teoremasini rasmiy tizimlarning to'liq emasligi haqidagi mashhur teoremasini isbotlashda qurgan rasmiy tizimda "yashirin" aksioma sifatida mavjud. Bu teorema mantiqiy tuzilishi tabiiy fikrlash va asoslashning mantiqiy tuzilishiga aniq mos kelmaydigan rasmiy tizimlarning ancha tor sinfiga taalluqlidir (ular formal to'plam nazariyasi va formal arifmetikani o'z ichiga oladi).
Biroq, yarim asrdan ko'proq vaqt davomida u umumiy bilish nazariyasi kontekstida mantiqshunos va faylasuflarning qizg'in muhokamasiga sabab bo'ldi. Ushbu teoremani shunday keng umumlashtirish bilan ko'plab elementar tushunchalarni tubdan bilib bo'lmaydi. Ammo yanada ehtiyotkorlik bilan yondashish bilan, Gödel teoremasi D. Gilbert tomonidan taklif qilingan va ko'plab matematiklar, mantiqchilar va faylasuflar tomonidan qabul qilingan matematikani rasmiy asoslash dasturining nomuvofiqligini ko'rsatdi. Quyidagi savolga javob berilmaguncha Gödel teoremasining kengroq uslubiy jihatini maqbul deb hisoblash qiyin: matematikani asoslash uchun Gilbert dasturi yagona mumkinmi? “A to‘plam B to‘plamning elementi” degan gapning noaniqligini tushunish uchun oddiy savolni berish kifoya: “Bu holda B to‘plami qanday elementlardan tashkil topgan?”. Tabiiy mantiq nuqtai nazaridan, faqat ikkita bir-birini istisno qiladigan tushuntirishlar mumkin. Bir tushuntirish. B to'plamining elementlari ba'zi to'plamlarning nomlari va xususan, A to'plamining nomi yoki belgisidir. Masalan, barcha juft sonlar to'plami barcha nomlar (yoki belgilar) to'plamining elementi sifatida mavjud. barcha butun sonlar to'plamidan ba'zi xususiyatlari bilan ajralib turadigan to'plamlar. Aniqroq misol keltirish uchun: barcha jirafalar to'plami barcha ma'lum hayvonlar turlari to'plamining elementi sifatida mavjud. Kengroq kontekstda B to'plami to'plamlarning kontseptual ta'riflaridan yoki to'plamlarga havolalardan ham tuzilishi mumkin. Ikkinchi tushuntirish. B to'plamining elementlari boshqa ba'zi to'plamlarning elementlari va xususan, A to'plamining barcha elementlari. Masalan, har bir juft son barcha butun sonlar to'plamining elementi yoki har bir jirafa to'plamning elementi hisoblanadi. barcha hayvonlar to'plami. Ammo keyin ma'lum bo'ladiki, ikkala holatda ham "A to'plami B to'plamining elementidir" iborasi ma'noga ega emas. Birinchi holda, B to'plamning elementi A to'plamining o'zi emas, balki uning nomi (yoki belgilanishi yoki unga havola) ekanligi ma'lum bo'ladi. Bunday holda, to'plam va uning belgilanishi o'rtasida bilvosita ekvivalentlik munosabati o'rnatiladi, bu na oddiy aql nuqtai nazaridan, na ortiqcha rasmiyatchilik bilan mos kelmaydigan matematik sezgi nuqtai nazaridan qabul qilinishi mumkin emas. Ikkinchi holda, A to'plami B to'plamiga kiritilganligi ma'lum bo'ladi, ya'ni. uning kichik to'plamidir, lekin element emas. Bu yerda ham tushunchalarning o‘rin almashishi yaqqol namoyon bo‘ladi, chunki matematikada to‘plamlarni kiritish munosabati va a’zolik munosabati (to‘plam elementi bo‘lish) tubdan farq qiladi. Rasselning mantiqchilarning to‘plam tushunchasiga bo‘lgan ishonchiga putur yetkazgan mashhur paradoksi ana shu absurdlikka asoslanadi – paradoks to‘plam boshqa to‘plamning elementi bo‘lishi mumkinligi haqidagi noaniq asosga asoslanadi.
Boshqa mumkin bo'lgan tushuntirish mumkin. A to'plam uning elementlarini oddiy sanab o'tish orqali aniqlansin, masalan, A = (a, b). B to'plami, o'z navbatida, ba'zi to'plamlarni sanab o'tish orqali aniqlanadi, masalan, B = ((a, b), (a, c)). Bunda B to’plamning elementi A to’plamning nomi emas, balki A to’plamning o’zi ekanligi ayon bo’lib ko’rinadi.Lekin bu holatda ham A to’plamning elementlari B to’plamning elementlari emas, to’plam Bu erda A ajralmas to'plam sifatida qaraladi, uni o'z nomi bilan almashtirish mumkin. Ammo uning tarkibidagi to'plamlarning barcha elementlarini B ning elementlari deb hisoblasak, bu holda B to'plam (a, b, c) to'plamga teng bo'ladi va bu holda A to'plam bo'lmaydi. B elementi, lekin uning kichik to'plami. Shunday qilib, tushuntirishning ushbu versiyasi bizning tanlovimizga qarab, ilgari sanab o'tilgan variantlarga to'g'ri keladi. Va agar tanlov taklif qilinmasa, unda elementar noaniqlik paydo bo'ladi, bu ko'pincha "tushunib bo'lmaydigan" paradokslarga olib keladi.
Agar bitta holat bo'lmasa, bu terminologik nuanslarga alohida e'tibor bermaslik mumkin edi. Ma’lum bo‘lishicha, zamonaviy mantiq va diskret matematikaning ko‘pgina paradoks va nomuvofiqliklari ana shu noaniqlikning bevosita natijasi yoki taqlididir.
Misol uchun, zamonaviy matematik fikrlashda ko'pincha "o'z-o'zini qo'llash" tushunchasi qo'llaniladi, bu Rassellning paradoksiga asoslanadi. Ushbu paradoksni shakllantirishda o'z-o'zini qo'llash o'z elementlari bo'lgan to'plamlarning mavjudligini nazarda tutadi. Bu bayonot darhol paradoksga olib keladi. Agar biz barcha "o'z-o'zidan qo'llanilmaydigan" to'plamlar to'plamini ko'rib chiqsak, u "o'z-o'zidan qo'llaniladigan" va "o'z-o'zidan qo'llanilmaydigan" ekanligi ayon bo'ladi.
Matematik mantiq 20-asrda axborot texnologiyalarining jadal rivojlanishiga katta hissa qo'shdi, ammo Aristotel davrida mantiqda paydo bo'lgan va tabiiy tilning mantiqiy asosi sifatida asos bo'lgan "hukm" tushunchasi , ko'rish maydonidan chiqib ketdi. Bunday e'tiborsizlik jamiyatda mantiqiy madaniyatning rivojlanishiga hech qanday hissa qo'shmadi va hatto ko'pchilik o'rtasida kompyuterlar odamlarning o'zidan ham yomon fikr yurita olmaydi, degan illyuziyani keltirib chiqardi. Uchinchi ming yillik arafasida umumiy kompyuterlashtirish fonida fanning o'zida (siyosat, qonun ijodkorligi va psevdofan haqida gapirmasa ham) mantiqiy absurdlar 19-asr oxiriga qaraganda ancha keng tarqalganligi ko'pchilikni xijolat qilmaydi. . Va bu absurdlarning mohiyatini tushunish uchun matematik mantiqda qo'llaniladigan ko'p o'rinli munosabatlar va rekursiv funktsiyalarga ega bo'lgan murakkab matematik tuzilmalarga murojaat qilishning hojati yo'q. Ma’lum bo‘lishicha, bu bema’niliklarni tushunish va tahlil qilish uchun hukmning ancha soddaroq matematik tuzilishini qo‘llash yetarli bo‘lib, u nafaqat zamonaviy mantiqning matematik asoslariga zid kelmaydi, balki ularni qaysidir ma’noda to‘ldiradi va kengaytiradi.
Adabiyotlar ro'yxati
1. Vasilev N. A. Xayoliy mantiq. Tanlangan asarlar. - M.: Fan. 1989; - 94-123-betlar.
2. Kulik B.A. Sog'lom fikr falsafasining asosiy tamoyillari (kognitiv jihat) // Sun'iy intellekt yangiliklari, 1996 yil, № 3, bet. 7-92.
3. Kulik B.A. Sog'lom fikrning mantiqiy asoslari / D.A. tomonidan tahrirlangan. Pospelov. - Sankt-Peterburg, Politexnika, 1997. 131 b.
4. Kulik B.A. Sog'lom fikrning mantiqiyligi. - Sog'lom fikr, 1997, No 1(5), b. 44 - 48.
5. Styazhkin N.I.Matematik mantiqning shakllanishi. M.: Nauka, 1967 yil.
6. Solovyov A. Formulalarsiz diskret matematika. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html