Grafik nazariyasi asoslari, kelib chiqish va rivojlanish tarixi. Grafik nima? Grafik: ta'rif - Tarix.NES Grafik nazariyasi tarixi

cho'qqilari(tugunlar) ulanadi qovurg'alar. Qattiq ta'rifda grafik - bu to'plamlar juftligi G = (V , E) (\displaystyle G=(V,E)), Qayerda V (\displaystyle V) har qanday hisoblanuvchi to‘plamning kichik to‘plamidir va E (\displaystyle E)- pastki to'plam V × V (\displaystyle V\times V).

Grafik nazariyasi, masalan, geografik axborot tizimlarida (GIS) qo'llanilishini topadi. Mavjud yoki yangi loyihalashtirilgan uylar, inshootlar, bloklar va boshqalar cho'qqilar, ularni bog'laydigan yo'llar, muhandislik tarmoqlari, elektr tarmoqlari va boshqalar esa chekka deb hisoblanadi. Bunday grafikda bajarilgan turli xil hisob-kitoblardan foydalanish, masalan, eng qisqa aylanma yo'lni yoki eng yaqin oziq-ovqat do'konini topish yoki optimal marshrutni rejalashtirish imkonini beradi.

Grafik nazariyasi juda ko'p hal qilinmagan muammolarni va hali tasdiqlanmagan farazlarni o'z ichiga oladi.

Grafik nazariyasi tarixi

Leonard Eyler grafiklar nazariyasining asoschisi hisoblanadi. 1736 yilda u o'zining maktublaridan birida Königsbergning ettita ko'prigi muammosini ishlab chiqdi va uni hal qilishni taklif qildi, bu keyinchalik grafiklar nazariyasining klassik muammolaridan biriga aylandi. "Grafik" atamasi birinchi marta Silvestr Jeyms Jozef tomonidan 1878 yilda Nature jurnalidagi maqolasida kiritilgan. ] .

Grafik nazariyasi terminologiyasi

Grafiklar nazariyasini qo'llash

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Adabiyot

• Distel R. Grafik nazariyasi Trans. ingliz tilidan - Novosibirsk: Matematika instituti nashriyoti, 2002. - 336 p. ISBN 5-86134-101-X.
• Diestel R. Grafik nazariyasi, elektron nashr. - NY: Springer-Verlag, 2005. - P. 422.
• Basaker R., Soati T. Cheklangan grafiklar va tarmoqlar. M.: Nauka, 1974. 368c.
• Belov V.V., Vorobiev E.M., Shatalov V.E. Grafik nazariyasi. - M .: Yuqori. maktab, 1976. - B. 392.
• Berge K. Grafik nazariyasi va uning qo'llanilishi. M.: IL, 1962. 320c.
• Emelichev V. A., Melnikov O. I., Sarvanov V. I., Tyshkevich R. I. Grafik nazariyasi bo'yicha ma'ruzalar. M.: Nauka, 1990. 384 b. (2-nashr, qayta ko'rib chiqilgan M.: URSS, 2009. 392 b.)

Leonard Eyler grafiklar nazariyasining asoschisi hisoblanadi. 1736 yilda u o'zining maktublaridan birida ettita Königsberg ko'prigi muammosini ishlab chiqdi va uni hal qilishni taklif qildi, bu keyinchalik grafiklar nazariyasining klassik muammolaridan biriga aylandi.

Grafik nazariyasining birinchi muammolari matematik rekreatsion masalalar va boshqotirmalarni echish bilan bog'liq edi. Mana, Eylerning 1736 yil 13 martdagi maktubidan parchaning takrorlanishi: “Menga Kenigsberg shahrida joylashgan va uning atrofida 7 ko'prikli daryo bilan o'ralgan orol haqida muammo berildi. Savol shundaki, kimdir ularni doimiy ravishda aylanib, har bir ko'prikdan faqat bir marta o'tishi mumkinmi? Va keyin menga hech kim buni qila olmaganligi haqida xabar berishdi, lekin hech kim bu mumkin emasligini isbotlamadi. Bu savol, garchi ahamiyatsiz bo'lsa-da, menga e'tibor berishga arziydi, chunki uni hal qilish uchun na geometriya, na algebra, na kombinatoriya san'ati etarli emas. Ko'p o'ylagach, men to'liq ishonchli dalillarga asoslangan oson qoidani topdim, uning yordami bilan barcha turdagi masalalarda bunday aylanma yo'lni istalgan raqam va istalgan raqam orqali amalga oshirish mumkinligini darhol aniqlash mumkin. ko'priklar biron-bir tarzda joylashgan yoki yo'q. Königsberg ko'priklarini sxematik tarzda quyidagicha tasvirlash mumkin:

Eyler qoidasi:

1. Toq gradusli cho‘qqilari bo‘lmagan grafikda grafikning istalgan cho‘qqisidan boshlanib, barcha qirralarning (va har bir cheti aynan bir marta o‘tkaziladi) o‘tish joyi mavjud.

2. Ikki va faqat ikkita toq gradusli cho'qqilarga ega bo'lgan grafikda bir toq darajali cho'qqidan boshlanib, ikkinchisida tugaydigan kesishma mavjud.

3. Toq darajali ikkitadan ortiq cho'qqilarga ega bo'lgan grafikda bunday o'tish mavjud emas.

Grafiklar bo'ylab sayohat qilish bilan bog'liq muammoning yana bir turi mavjud. Biz barcha cho'qqilardan o'tadigan yo'lni topish kerak bo'lgan va har biridan bir martadan ko'p bo'lmagan muammolar haqida gapiramiz. Har bir cho'qqidan bir marta va bir marta o'tadigan tsikl Gamilton chizig'i deb ataladi (bunday chiziqlarni birinchi bo'lib o'rgangan o'tgan asrning mashhur irland matematigi Uilyam Rouen Gamilton nomi bilan). Afsuski, umumiy mezon hali topilmadi, uning yordamida berilgan grafik Gamiltonian yoki yo'qligini aniqlash mumkin va agar shunday bo'lsa, unda barcha Gamilton chiziqlarini toping.

19-asr o'rtalarida yaratilgan. To'rt rang muammosi ham qiziqarli muammoga o'xshaydi, ammo uni hal qilishga urinishlar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo'lgan ba'zi grafik tadqiqotlarga olib keldi. To'rt rang muammosi quyidagicha tuzilgan: "Har qanday tekis xaritaning maydonini to'rtta rang bilan bo'yash mumkinmi, shunda ikkita qo'shni hudud turli xil ranglar bilan bo'yalgan?" Javobning ijobiy ekanligi haqidagi gipoteza 19-asr o'rtalarida shakllantirilgan. 1890 yilda zaifroq bayonot isbotlangan, ya'ni har qanday tekis xarita besh rangda bo'yalgan bo'lishi mumkin. Har qanday planar xaritani uning qo‘sh planar grafigi bilan bog‘lash orqali biz muammoning grafiklar bo‘yicha ekvivalent formulasini olamiz: Har qanday planar grafikning xromatik soni to‘rtdan kichik yoki teng ekanligi rostmi? Muammoni hal qilish bo'yicha ko'plab urinishlar grafik nazariyasining bir qator sohalarining rivojlanishiga ta'sir ko'rsatdi. 1976 yilda kompyuter yordamida muammoning ijobiy yechimi e'lon qilindi.

Uzoq vaqt davomida hal qilishga chidamli bo'lgan va jumboqlarni sevuvchilarni hayratda qoldirgan yana bir eski topologik muammo "elektr, gaz va suv ta'minoti muammosi" deb nomlanadi. 1917 yilda Genri E. Dudeney unga ushbu formulani berdi. Rasmda ko'rsatilgan uchta uyning har biriga gaz, elektr va suv o'rnatilishi kerak.

Grafik nazariyasi. 1

Grafik nazariyasining paydo bo'lish tarixi. 1

Eyler qoidasi. 1

Adabiyot

1. Belov grafik nazariyasi, Moskva, "Fan", 1968.

2. Yangi pedagogik va axborot texnologiyalari E.S.Po‘lat , Moskva, "Akademiya" 1999 yil

3. Kuznetsov O.P., Adelson-Velskiy G.M. Muhandis uchun diskret matematika. - M .: Energoatomizdat, 1988.

4. Kuk D., Baze G. Kompyuter matematikasi. - M.: Fan, 1990.

5. Nefedov V.N., Osipova V.A. Diskret matematika kursi. - M.: MAI nashriyoti, 1992.

6. Ruda O. Grafik nazariyasi. - M.: Fan, 1980.

7. Ismagilov R.S., Kalinkin A.V. Kurs bo'yicha amaliy mashg'ulotlar uchun materiallar: Diskret matematika

Grafiklar nazariyasining asoschisi matematik Leonhard Eyler (1707-1783) hisoblanadi. Bu nazariyaning tarixini buyuk olimning yozishmalari orqali kuzatish mumkin. Mana, 1736 yil 13 martda Sankt-Peterburgdan Eylerning italyan matematiki va muhandisi Marinoniga yuborgan maktubidan olingan lotin matnining tarjimasi [qarang. 41-42-betlar]:

"Bir marta menga Kenigsberg shahrida joylashgan va daryo bilan o'ralgan, ettita ko'prik otilgan orol haqida savol berishdi. Savol shundaki, kimdir ularni doimiy ravishda aylanib o'ta oladimi, har bir ko'prikdan faqat bir marta o'tadi. Va keyin men Haligacha hech kim buni uddalay olmaganini, lekin buning iloji yoʻqligini hech kim isbotlagani yoʻq.Bu savol arzimas boʻlsada, menga eʼtiborga loyiq koʻrindi, chunki na geometriya, na algebra, na kombinatoriya sanʼati. yechish uchun yetarli... Ko‘p o‘ylagach, to‘liq ishonarli isbotga asoslangan oson qoida topdim, uning yordami bilan bunday turdagi barcha masalalarda har qanday usul orqali bunday aylanma yo‘ldan o‘tish mumkinligini darhol aniqlash mumkin. ko'priklar soni har qanday tarzda joylashgan yoki yo'q, shuning uchun ularni quyidagi rasmda ko'rsatish mumkin[1-rasm] , unda A orolni, B, C va D esa materikning daryo tarmoqlari bilan bir-biridan ajratilgan qismlarini bildiradi. Etti ko'prik a, b, c, d, e, f, g deb belgilangan."

(1.1-rasm)

Bunday muammolarni hal qilish uchun kashf etgan usul haqida Eyler yozgan [qarang. 102-104-betlar]:

"Bu yechim o'z tabiatiga ko'ra matematikaga unchalik aloqasi yo'q va men nima uchun bu yechimni boshqa odamdan emas, balki matematikdan kutish kerakligini tushunmayapman, chunki bu qaror faqat mulohaza yuritish bilan qo'llab-quvvatlanadi va buning iloji yo'q. Bu yechimni topish uchun matematikaga xos bo‘lgan har qanday qonunlarni jalb qilish kerak. Shunday ekan, matematikaga juda oz aloqasi bo‘lgan savollar boshqalarnikiga qaraganda matematiklar tomonidan ko‘proq yechilganligi qanday ma’lum bo‘lganini bilmayman”.

Xo'sh, bu ko'priklarning har biridan faqat bir marta o'tish orqali Königsberg ko'priklarini aylanib o'tish mumkinmi? Javobni topish uchun Eylerning Marinoniga yozgan maktubini davom ettiramiz:

0 "Savol shu yetti ko'prikning hammasini aylanib o'tish mumkinmi yoki yo'qmi, har biridan faqat bir marta o'tish mumkinmi yoki yo'qmi aniqlash kerak. Mening qoidam bu savolga quyidagi yechimga olib keladi. Avvalo, qancha ko'prikni ko'rib chiqish kerak. u yerdagi bo'limlar suv bilan ajratilgan - ko'prikdan boshqa biridan boshqasiga o'tish imkoni bo'lmaganlar. Bu misolda to'rtta shunday bo'lim mavjud - A, B, C, D. Keyin, ularning soni yoki yo'qligini farqlashingiz kerak. bu alohida uchastkalarga olib boradigan ko'priklar juft yoki toq Demak, bizning holatlarimizda beshta ko'prik A bo'limiga, qolganlariga esa uchta ko'prik olib boradi, ya'ni alohida uchastkalarga olib boruvchi ko'priklar soni toq va buning o'zi hal qilish uchun etarli. Muammoni aniqlagandan so'ng, biz quyidagi qoidani qo'llaymiz: agar har bir alohida uchastkaga olib boradigan ko'priklar soni juft bo'lsa, unda ko'rib chiqilayotgan aylanma yo'l mumkin bo'lar edi va shu bilan birga bu aylanma yo'lni dan boshlash mumkin edi. Agar ular g'alati bo'lgan bo'lsa, chunki faqat bittasi toq bo'lishi mumkin emas, u holda ham o'tish belgilanganidek tugallanishi mumkin edi, lekin faqat aylanma yo'lning boshlanishi toq soni bo'lgan ikki qismdan biridan olinishi kerak. ko'priklar olib boradi. Agar, nihoyat, toq sonli ko'priklar olib boradigan ikkitadan ortiq uchastka bo'lsa, unda bunday harakat umuman mumkin emas ... agar bu erda boshqa, jiddiyroq muammolarni keltirib chiqarish mumkin bo'lsa, bu usul yanada katta foyda keltirishi mumkin va kerak. e'tiborsiz qoldirmang."

Yuqoridagi qoidaning mantiqiy asosini L. Eylerning o'sha yilning 3 aprelida do'sti Elerga yozgan maktubida topish mumkin. Quyida ushbu maktubdan parchani takrorlaymiz.

Matematikning yozishicha, agar daryoning vilkalarida toq sonli ko'priklar olib boradigan ikkitadan ko'p bo'lmagan maydon bo'lsa, o'tish mumkin. Buni tasavvur qilishni osonlashtirish uchun biz rasmdagi allaqachon kesib o'tgan ko'priklarni o'chirib tashlaymiz. Tekshirish oson, agar biz Eyler qoidalariga muvofiq harakat qilishni boshlasak, bitta ko'prikdan o'tsak va uni o'chirsak, rasmda yana ikkitadan ko'p bo'lmagan ko'priklar bor bo'lgan va agar mavjud bo'lsa, bo'lim ko'rsatiladi. toq sonli ko'priklar bo'lgan maydonlar bo'lib, biz ulardan birida joylashamiz. Shu tarzda harakatlanishda davom etib, barcha ko'priklarni bir marta kesib o'tamiz.

Königsberg shahrining ko'priklari haqidagi hikoya zamonaviy davomga ega. Misol uchun, N.Ya tomonidan tahrirlangan matematika bo'yicha maktab darsligini ochaylik. Vilenkina oltinchi sinf uchun. Unda, 98-betda, diqqat va aqlni rivojlantirish sarlavhasi ostida biz Eyler bir paytlar hal qilgan muammoga bevosita bog'liq bo'lgan muammoni topamiz.

Muammo № 569. Ko'lda ettita orol mavjud bo'lib, ular 1.2-rasmda ko'rsatilgandek bir-biri bilan bog'langan. Qayiq sayohatchilarni qaysi orolga olib borishi kerak, shunda ular har bir ko'prikdan faqat bir marta o'tishlari mumkin? Nega sayohatchilarni orolga olib borib bo'lmaydi? A?

Yechim. Bu muammo Königsberg ko'priklari muammosiga o'xshash bo'lgani uchun uni hal qilishda Eyler qoidasidan ham foydalanamiz. Natijada, biz quyidagi javobni olamiz: qayiq sayohatchilarni orolga etkazishi kerak E yoki F Shunday qilib, ular har bir ko'prikdan bir marta o'tishlari mumkin. Xuddi shu Eyler qoidasidan kelib chiqadiki, agar oroldan boshlansa, kerakli aylanma yo'l mumkin emas A.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, Königsberg ko'priklari muammosi va shunga o'xshash masalalar ularni o'rganish usullari majmuasi bilan birgalikda matematikaning amaliy jihatdan grafik nazariyasi deb ataladigan juda muhim bo'limini tashkil qiladi. Grafiklar bo'yicha birinchi ish L. Eylerga tegishli bo'lib, 1736 yilda paydo bo'lgan. Keyinchalik Koenig (1774-1833), Gamilton (1805-1865), zamonaviy matematiklar C. Berge, O. Ore, A. Zikovlar grafiklar ustida ishladilar.

Grafik nazariyasi- diskret matematikaning iqtisodiy va boshqaruv masalalarini hal qilishda, dasturlash, kimyo, elektr zanjirlarini loyihalash va o'rganish, aloqa, psixologiya, psixologiya, sotsiologiya, tilshunoslik va boshqa bilim sohalarida keng qo'llaniladigan eng keng tarqalgan bo'limlaridan biri. Grafik nazariyasi nuqtalar to‘plamidan va shu nuqtalar orasidagi bog‘lanishlarni ifodalovchi chiziqlar to‘plamidan iborat deyish mumkin bo‘lgan grafiklarning xossalarini tizimli va izchil o‘rganadi. Grafiklar nazariyasining asoschisi Leonhard Eyler (1707-1882) hisoblanadi, u 1736 yilda o'sha paytdagi taniqli Kenigsberg ko'prigi muammosini hal qildi.

Grafiklar qurilgan to'plamlarda munosabatlarni ko'rsatish uchun. Misol uchun, to'plam bo'lsin A = {a1 , a 2 , ... a n)- juda ko'p odamlar va har bir element nuqta sifatida ko'rsatiladi. Bir guruh B = {b1 , b 2 , ... b m)- ko'plab ulanishlar (to'g'ri chiziqlar, yoylar, segmentlar - bu hali muhim emas). To'plamda A bu to'plamdan kishilar o'rtasidagi tanishuv munosabati berilgan. Grafik yaratish nuqta va bog‘lovchilardan. Havolalar bir-birini biladigan juftliklarni bog'laydi. Tabiiyki, ba'zi odamlarning tanishlari soni boshqa odamlarning tanishlari sonidan farq qilishi mumkin, ba'zilari esa hech kimni tanimasligi mumkin (bunday elementlar boshqasiga bog'liq bo'lmagan nuqtalar bo'ladi). Shunday qilib, bizda grafik bor!

Biz birinchi marta "nuqtalar" deb atagan narsalarni grafikning cho'qqilari deb atash kerak va biz "bog'lanish" deb atagan narsalarni grafik qirralari deb atash kerak.

Grafik nazariyasi to'plamlarning o'ziga xos xususiyatini hisobga olmaydi A Va B. Juda ko'p turli xil o'ziga xos muammolar mavjud, ularni hal qilishda to'plamlarning o'ziga xos tarkibi va ularning elementlarini vaqtincha unutish mumkin. Ushbu o'ziga xoslik, uning qiyinligidan qat'i nazar, muammoni hal qilish jarayoniga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi! Misol uchun, bir nuqtadan mumkinmi yoki yo'qligini hal qilishda a nuqtaga keling e, faqat nuqtalarni bog'laydigan chiziqlar bo'ylab harakatlanayotganda, biz odamlar, shaharlar, raqamlar va boshqalar bilan shug'ullanamizmi, muhim emas. Ammo, muammo hal qilinganda, biz grafik sifatida modellashtirilgan har qanday tarkib uchun to'g'ri bo'lgan yechimni olamiz. Shuning uchun grafik nazariyasi sun'iy intellektni yaratishda eng mashhur vositalardan biri ekanligi ajablanarli emas: axir, sun'iy intellekt suhbatdosh bilan sevgi, musiqa yoki sport masalalari va turli muammolarni hal qilish masalalarini muhokama qilishi mumkin. , va buni hech qanday o'tish (o'tish)siz amalga oshiradi , bu holda odam bunday hollarda qilolmaydi.

Va endi grafikning qat'iy matematik ta'riflari.

Ta'rif 1.U grafik deb ataladi ixtiyoriy tabiatdagi ob'ektlar tizimi (cho'qqilar) va ushbu ob'ektlarning ba'zi juftlarini bog'laydigan bo'g'inlar (qirralar).

Ta'rif 2. Mayli V– (bo‘sh bo‘lmagan) cho‘qqilar, elementlar to‘plami v∈V- cho'qqilar. Grafik G = G(V) ko'p uchlari bilan V shaklning ma'lum bir juftlik oilasi mavjud: e = (a, b) , Qayerda a,b∈V , qaysi uchlari bog'langanligini ko'rsatadi. Har bir juftlik e = (a, b) - grafikning cheti. Bir guruh U- ko'p qirralar e grafik. Cho'qqilar a Va b– chekkaning oxirgi nuqtalari e .

Grafiklar ma'lumotlar strukturasi sifatida. Grafik nazariyasining informatika va axborot texnologiyalarida keng qo‘llanilishi yuqoridagi ta’riflarga ma’lumotlar strukturasi sifatida grafik tushunchasining qo‘shilishi bilan bog‘liq. Informatika va axborot texnologiyalarida grafik chiziqli bo'lmagan ma'lumotlar strukturasi sifatida aniqlanadi. Chiziqli ma'lumotlar strukturasi nima va grafiklar ulardan qanday farq qiladi? Chiziqli ma'lumotlar tuzilmalari elementlarni "oddiy qo'shnichilik" tipidagi munosabatlar orqali bog'lashi bilan tavsiflanadi. Chiziqli ma'lumotlar tuzilmalari, masalan, massivlar, jadvallar, ro'yxatlar, navbatlar, steklar, satrlardir. Bundan farqli o'laroq, chiziqli bo'lmagan ma'lumotlar tuzilmalari - bu elementlar ierarxiyaning turli darajalarida joylashgan va uch turga bo'lingan: original, yaratilgan va shunga o'xshash. Demak, grafik chiziqli bo'lmagan ma'lumotlar strukturasidir.

Grafik so'zi yunoncha "yozaman", "tasvirlayman" so'zlaridan olingan. Ushbu maqolaning boshidan biz grafik aniq nimani tasvirlashini bilamiz: u munosabatlarni tasvirlaydi. Ya'ni, har qanday grafik munosabatlarni tasvirlaydi. Va aksincha: har qanday munosabatni grafik sifatida tasvirlash mumkin.

Grafiklar nazariyasining asosiy tushunchalari

Insidans tushunchasi grafiklar bilan ko'plab amaliy masalalarni echish algoritmlarini ishlab chiqishda ham zarurdir. Misol uchun, siz dasturiy ta'minotni amalga oshirish bilan tanishishingiz mumkin insidans matritsasi bilan ifodalangan grafikning chuqurlik-birinchi o'tishi. Fikr oddiy: siz faqat qirralar bilan bog'langan cho'qqilar orqali harakat qilishingiz mumkin. Va agar qirralarga ba'zi qiymatlar tayinlangan bo'lsa ("tarozi", ko'pincha raqamlar ko'rinishida, bunday grafiklar vaznli yoki etiketli deb ataladi), unda murakkab qo'llaniladigan muammolarni hal qilish mumkin, ularning ba'zilari oxirgi xatboshida aytib o'tilgan. ushbu darsdan.

Grafiklar nazariyasining klassik masalalari va ularning yechimlari

Grafiklar nazariyasi va grafiklarni qo'llash bo'yicha ishlarning birinchi nashr etilgan namunalaridan biri 18-asrning taniqli matematigi Leonhard Eyler tomonidan yozilgan "Königsberg ko'prigi muammosi" (1736) bo'yicha ishdir. Muammo daryo, shu daryo tomonidan yuviladigan orollar va bir nechta ko'priklarni o'z ichiga oladi. Muammoning savoli: ma'lum bir nuqtadan chiqqandan keyin har bir ko'prikdan faqat bir marta o'tib, boshlang'ich nuqtasiga qaytish mumkinmi? (pastdagi rasm)

Muammoni quyidagicha modellashtirish mumkin: har bir quruqlik maydoniga bitta nuqta biriktirilgan va ikkita nuqta chiziq bilan bog'langan, agar tegishli er uchastkalari ko'prik bilan bog'langan bo'lsa (quyidagi rasm, tutashtiruvchi chiziqlar nuqtali chiziqlar bilan chizilgan) . Shunday qilib, grafik tuziladi.

Eylerning muammoli savolga javobi quyidagicha. Agar bu masala ijobiy yechimga ega bo'lsa, natijada olingan grafikda qirralar bo'ylab o'tadigan va har bir chekka faqat bir marta o'z ichiga olgan yopiq yo'l bo'ladi. Agar shunday yo'l mavjud bo'lsa, unda har bir cho'qqi faqat juft sonli qirralarga ega bo'lishi kerak. Biroq, natijada olingan grafikda toq sonli qirralarga ega bo'lgan uchlari mavjud. Shuning uchun muammo ijobiy yechimga ega emas.

O'rnatilgan an'anaga ko'ra, Eyler grafigi - bu barcha cho'qqilarni kesib o'tish va bir vaqtning o'zida bir chekkadan faqat bir marta o'tish mumkin bo'lgan grafik. Unda har bir cho'qqi faqat juft sonli qirralarga ega bo'lishi kerak. Eyler grafiklari bo'yicha o'rtacha qiyinchilik muammosi "Grafiklarning asosiy turlari" materialida.

1847 yilda Kirxgof chiziqli algebraik tenglamalarning bir vaqtning o'zida tizimini echish uchun daraxtlar nazariyasini ishlab chiqdi, bu har bir o'tkazgichda (yoyda) va elektr zanjirining har bir pallasida tokning qiymatini topish imkonini beradi. Qarshilik, kondansatör, indüktans va hokazolarni o'z ichiga olgan elektr zanjirlari va zanjirlaridan ajratib, u faqat tepaliklar va ulanishlarni (qirralar yoki yoylar) o'z ichiga olgan mos keladigan kombinatsion tuzilmalarni ko'rib chiqdi va ulanishlar uchun qanday turdagi elektr elementlarni hisobga olishning hojati yo'q. ga mos keladi. Shunday qilib, Kirchhoff har bir elektr zanjirini mos keladigan grafik bilan almashtirdi va tenglamalar tizimini echish uchun elektr zanjiri grafigining har bir tsiklini alohida ko'rib chiqish kerak emasligini ko'rsatdi.

Kayli 1858 yilda organik kimyoda sof amaliy masalalar ustida ishlaganda, daraxtlar deb ataladigan muhim grafik sinfini kashf etdi. U to'yingan uglevodorodlarning ma'lum miqdordagi uglerod atomlari bilan izomerlarini sanab o'tishga harakat qildi. Cayley birinchi navbatda muammoni mavhum shaklda tuzdi: barcha daraxtlar sonini toping p U har birining 1 va 4 darajali cho'qqilariga ega. U bu masalani darhol hal qila olmadi va uning formulasini shunday o'zgartira boshladiki, yangi sanash masalasini hal qilish mumkin bo'ladi:

• ildiz otgan daraxtlar (uning cho'qqilaridan biri tanlangan);
• barcha daraxtlar;
• tepalik darajalari 4 dan oshmaydigan daraxtlar;
• tepalik darajalari 1 va 4 bo'lgan daraxtlar (kimyodan masala bayoni).

Asosiy tushunchalarni mustahkamlash uchun grafik masalalar

1-misol. Mayli A- 1, 2, 3 raqamlar to'plami: A= (1, 2, 3) . O'zaro munosabatlarni ko'rsatish uchun grafik tuzing "

Yechim. Shubhasiz, 1, 2, 3 raqamlari grafikning uchlari sifatida ifodalanishi kerak. Keyin har bir juft cho'qqi bir chekka bilan bog'langan bo'lishi kerak. Ushbu muammoni hal qilish orqali biz grafik nazariyasi kabi asosiy tushunchalarga keldik yo'naltirilgan va yo'naltirilmagan grafiklar. Yo'naltirilmagan grafiklar qirralari yo'nalishi bo'lmagan grafiklardir. Yoki, ular tez-tez aytganidek, chekkaning ikki uchining tartibi muhim emas. Darhaqiqat, ushbu darsning boshida tuzilgan va odamlar o'rtasidagi tanishuv munosabatlarini aks ettiruvchi grafik chekka yo'nalishlarga muhtoj emas, chunki "1-raqamli shaxs" "2-raqamli shaxs" bilan bir xil darajada tanish, deb bahslashish mumkin. "2-raqamli shaxs" bilan "1-raqamli shaxs" sifatida. Hozirgi misolimizda bitta raqam boshqasidan kichik, lekin aksincha emas. Shuning uchun, grafikning mos keladigan chekkasi qaysi raqam boshqasidan kichik ekanligini ko'rsatadigan yo'nalishga ega bo'lishi kerak. Ya'ni, chekka uchlari tartibi muhim. Bunday grafik (qirralari yo'nalishga ega) yo'naltirilgan grafik yoki digraf deb ataladi.

Shunday qilib, bizning ko'pchiligimizda A 1-raqam 2-raqam va 3-raqamdan kichik, 2-raqam esa 3-raqamdan kichik. Biz quyidagi grafikni olamiz:

2-misol. Mayli A- 2, 4, 6, 14 raqamlar to'plami: A= (2, 4, 6, 14) . Ushbu to‘plamdagi “bo‘linish” munosabatini ko‘rsatish uchun grafik tuzing.

Yechim. Bu misolda ba'zi qirralarning yo'nalishi bo'ladi, ba'zilari esa yo'q, ya'ni biz qurmoqdamiz aralash grafik. To'plamdagi munosabatlarni sanab o'tamiz: 4 2 ga, 6 2 ga, 14 2 ga bo'linadi va bu to'plamdagi har bir son o'ziga bo'linadi. Bu munosabat, ya'ni son o'z-o'zidan bo'linadigan bo'lsa, cho'qqini o'zi bilan bog'laydigan qirralar ko'rinishida ko'rsatiladi. Bunday qirralar deyiladi halqalar. Bunday holda, pastadirga yo'nalish berishning hojati yo'q. Shunday qilib, bizning misolimizda uchta muntazam yo'naltirilgan qirralar va to'rtta halqa mavjud. Biz quyidagi grafikni olamiz:

3-misol. Berilgan to'plamlarga ruxsat bering A= (a, b, g) va B= (a, b, c) . “To‘plamlarning kartezian mahsuloti” munosabatini ko‘rsatish uchun grafik tuzing.

Yechim. Ta'rifdan ma'lumki To‘plamlarning dekart ko‘paytmasi, bir xil to'plam elementlarining tartiblangan to'plami mavjud emas. Ya'ni, bizning misolimizda siz yunoncha harflarni yunoncha va lotinni lotin bilan birlashtira olmaysiz. Bu fakt sifatida ko'rsatiladi ikki tomonlama grafik, ya'ni, bir xil qismga tegishli bo'lgan uchlari bir-biriga bog'lanmasligi uchun uchlari ikki qismga bo'lingan. Biz quyidagi grafikni olamiz:

4-misol. Ko'chmas mulk agentligida menejerlar Igor, Sergey va Piter ishlaydi. O1, O2, O3, O4, O5, O6, O7, O8 obyektlariga xizmat koʻrsatiladi. “Igor O4, O7 obyektlari bilan ishlaydi”, “Sergey O1, O2, O3, O5, O6 obyektlari bilan ishlaydi”, “Piter O8 obyekti bilan ishlaydi” munosabatlarini aks ettirish uchun grafik tuzing.

Yechim. Ushbu munosabatlarni aks ettiruvchi grafik ham ikki tomonlama bo'ladi, chunki menejer menejer bilan ishlamaydi va ob'ekt ob'ekt bilan ishlamaydi. Biroq, oldingi misoldan farqli o'laroq, grafik yo'naltiriladi. Aslida, masalan, Igor O4 ob'ekti bilan ishlaydi, lekin O4 ob'ekti Igor bilan ishlamaydi. Ko'pincha, munosabatlarning bunday xususiyati aniq bo'lsa, qirralarga yo'nalish berish zarurati "matematik ahmoqlik" kabi ko'rinishi mumkin. Ammo baribir, va bu matematikaning qat'iy tabiatidan kelib chiqadi, agar munosabatlar bir tomonlama bo'lsa, unda qirralarga yo'nalish berish kerak. Relyatsion ilovalarda bu qat'iylik, masalan, rejalashtirish uchun mo'ljallangan dasturlarda to'lanadi, bu erda grafiklar ham qo'llaniladi va cho'qqilar va qirralar bo'ylab marshrut qat'iy ma'lum bir yo'nalishda o'tishi kerak. Shunday qilib, biz quyidagi yo'naltirilgan ikki tomonlama grafikni olamiz:

Va yana raqamlar bilan misollar uchun.

5-misol. To'plam berilsin C = {2, 3, 5, 6, 15, 18} . Barcha son juftlarini aniqlovchi munosabatni amalga oshiradigan grafik tuzing a Va b ko'pchilikdan C, bunda ikkinchi elementni birinchisiga bo'lishda biz 1 dan katta butun son bo'lgan qismni olamiz.

Yechim. Ushbu munosabatlarni aks ettiruvchi grafik yo'naltirilgan bo'ladi, chunki shart ikkinchi va birinchi elementlarning eslatmasini o'z ichiga oladi, ya'ni chekka birinchi elementdan ikkinchisiga yo'naltiriladi. Bundan qaysi element birinchi va qaysi element ikkinchi ekanligi aniq ko'rinadi. Keling, ba'zi terminologiyani ham qo'shamiz: yo'naltirilgan qirralar odatda yoylar deb ataladi. Grafikimizda 7 ta yoy bo'ladi: e1 = (3, 15) , e2 = (3, 18) , e3 = (5, 15) , e4 = (3, 6) , e5 = (2, 18) , e6 = (6, 18) , e7 = (2, 6) . Ushbu misolda grafikning qirralari (yoylari) oddiygina raqamlangan, ammo seriya raqamlari yoyga tayinlanishi mumkin bo'lgan yagona narsa emas. Yoyga shuningdek, masalan, yukni bir nuqtadan boshqasiga jo'natish narxini anglatuvchi tarozilar ham berilishi mumkin. Ammo biz kamon og'irliklari bilan keyinroq va batafsilroq tanishamiz. Shunday qilib, biz quyidagi yo'naltirilgan grafikni olamiz:

Nazariy kirish qismidan allaqachon ma'lumki, grafiklar nazariyasi to'plamlarning o'ziga xos xususiyatini hisobga olmaydi va xuddi shu grafik yordamida mazmuni juda xilma-xil bo'lgan to'plamlardagi munosabatlarni aniqlash mumkin. Ya'ni, vazifani modellashtirishda aynan shu tarkibni mavhumlash mumkin. Keling, grafiklar nazariyasining ushbu ajoyib xususiyatini ko'rsatadigan misollarga o'tamiz.

6-misol. 3 X 3 o'lchamdagi shaxmat taxtasi bo'lagida quyidagi rasmda ko'rsatilganidek, ikkita oq ritsarlar va ikkita qora ritsarlar joylashtirilgan.

Ritsarlarni quyidagi rasmda ko'rsatilgan holatga ko'chirish mumkinmi, ikkita bo'lak bir kvadratda bo'lolmasligini esdan chiqarmaydi?

Yechim. Tuzilgan grafikda cho'qqi juftlari "ritsar harakati" munosabati bilan bog'lanadi. Ya'ni, bitta cho'qqi ritsar ketgan, ikkinchisi esa u kelgan cho'qqidir va "r" harfining oraliq katakchasi bu munosabatdan tashqarida bo'ladi. Biz quyidagi grafikni olamiz:

Va shunga qaramay, dizayn noqulay bo'lib chiqdi. Unda shaxmat taxtasining kataklari ko'rinadi va grafikning ko'pgina qirralari kesishadi. Shaxmat taxtasining tashqi ko'rinishidan mavhum bo'lib, munosabatlarni soddaroq tasavvur qilish mumkinmi? Bu mumkin ekan. Yangi grafikda qo'shni cho'qqilar shaxmat taxtasida qo'shnilar emas, balki "ritsar harakati" munosabati bilan bog'langanlar bo'ladi (quyidagi rasm).

Endi bu muammoning savoliga javob salbiy ekanligini ko'rish oson. Dastlabki holatda ikkita oq ritsar o'rtasida qora ritsar yo'q, lekin oxirgi holatda bu qora ritsar bo'lishi kerak. Grafikning chetlari ikkita qo'shni ritsarlar bir-biridan sakrab o'tolmasligi uchun joylashtirilgan.

7-misol. Bo'ri, echki va karam haqidagi muammo. Daryoning bir qirgʻogʻida odam (H), qayiq, boʻri (V), echki (Kz) va karam (Kp) bor. Qayiqda bir vaqtning o'zida bir kishi va bir nechta tashilgan narsalar bo'lishi mumkin. Biror kishi shartga rioya qilgan holda barcha narsalarni boshqa tomonga o'tkazishi kerak: bo'rini echki va echki bilan karam bilan qarovsiz qoldirmaslik kerak.

Yechim. Tuzilgan grafikda cho'qqilar konfiguratsiyalar, qirralar esa konfiguratsiyalar orasidagi "bitta qayiqda ulanish" munosabatidir. Konfiguratsiya deganda ob'ektlarning asl qirg'oqda va qarama-qarshi qirg'oqda joylashishi tushuniladi. Har bir konfiguratsiya ( A|B), Qayerda A- asl qirg'oqda joylashgan ob'ektlar va B- qarama-qarshi qirg'oqda joylashgan ob'ektlar. Shunday qilib, dastlabki konfiguratsiya - (PMCpKz| ) . Misol uchun, echkini boshqa tomonga olib o'tgandan so'ng, konfiguratsiya bo'ladi (VKp|ChKz) . Yakuniy konfiguratsiya har doim ( |PMCpKz) . Endi biz cho'qqilar va qirralar nimani anglatishini bilib, grafik yaratishimiz mumkin:

Grafikning uchlarini chetlari kesishmasligi uchun joylashtiramiz, qo‘shni cho‘qqilar esa grafikdagi munosabat bilan bog‘langanlardir. Keyin munosabatlarni ko'rish ancha oson bo'ladi (rasmni kattalashtirish uchun sichqonchaning chap tugmasi bilan bosing):

Ko'rib turganimizdek, dastlabki konfiguratsiyadan oxirgi konfiguratsiyaga qadar ikki xil uzluksiz yo'nalish mavjud. Shuning uchun muammoning ikki xil echimi bor (va ikkalasi ham to'g'ri).

Grafik nazariyasi va eng muhim zamonaviy amaliy masalalar

Grafiklar nazariyasiga asoslanib, juda murakkab tizimlar grafik shaklida modellashtirilgan amaliy masalalarni yechish usullari ishlab chiqilgan. Ushbu modellarda tugunlar alohida komponentlarni o'z ichiga oladi va qirralar komponentlar orasidagi aloqalarni ifodalaydi. Odatda, vaznli grafiklar transport tarmoqlarini, navbat tizimlarini va tarmoqni rejalashtirishni modellashtirish uchun ishlatiladi. Biz ular haqida allaqachon gapirgan edik, bular yoylarga og'irliklar tayinlangan grafiklardir.

Daraxt grafiklari, masalan, qurish uchun ishlatiladi qaror daraxtlari(xavfni tahlil qilish, noaniqlik sharoitida mumkin bo'lgan daromad va yo'qotishlarni tahlil qilish uchun xizmat qiladi). Grafik nazariyasidan foydalanib, ishlab chiqilgan va boshqa ko'plab matematik modellar muayyan mavzulardagi muammolarni hal qilish.

Grafiklar va oqim muammosi

Muammoni shakllantirish. Quyidagi rasmdagi grafik bilan ifodalangan suv quvurlari tizimi mavjud.

Grafikning har bir yoyi quvurni ifodalaydi. Yoylar (tarozi) ustidagi raqamlar quvur quvvati hisoblanadi. Tugunlar quvurlarni ulash joylari. Suv quvurlar orqali faqat bitta yo'nalishda oqadi. Tugun S- suv manbai, tugun T- Aksiya. Manbadan drenajga oqadigan suv hajmini maksimal darajada oshirish talab qilinadi.

Oqim muammosini hal qilish uchun siz Ford-Fulkerson usulidan foydalanishingiz mumkin. Usulning g'oyasi: maksimal oqimni qidirish bosqichma-bosqich amalga oshiriladi. Algoritmning boshida oqim nolga o'rnatiladi. Har bir keyingi bosqichda oqimning qiymati oshadi, buning uchun qo'shimcha oqim keladigan qo'shimcha yo'l izlanadi. Qo'shimcha yo'llar mavjud ekan, bu qadamlar takrorlanadi. Muammo turli taqsimlangan tizimlarda muvaffaqiyatli qo'llanildi: elektr ta'minoti tizimi, aloqa tarmog'i, temir yo'l tizimi va boshqalar.

Grafiklar va tarmoqni rejalashtirish

Ba'zilari parallel, ba'zilari ketma-ket bajariladigan ko'plab ishlardan iborat murakkab jarayonlarni rejalashtirish masalalarida PERT tarmoqlari deb nomlanuvchi vaznli grafiklar keng qo'llanila boshlandi.

PERT - Dasturni (loyihani) baholash va ko'rib chiqish texnikasi - loyihalarni boshqarishda qo'llaniladigan dasturlarni (loyihalarni) baholash va tahlil qilish texnikasi.

PERT tarmog'i vaznli asiklik yo'naltirilgan grafik bo'lib, unda har bir yoy ishni (harakat, operatsiya) ifodalaydi va yoyning og'irligi uni bajarish uchun zarur bo'lgan vaqtdir.

Agar tarmoqda yoylar bo'lsa ( a, b) va ( b, c), keyin yoy bilan ifodalangan ish ( a, b) yoy bilan ifodalangan ishdan oldin bajarilishi kerak ( b, c). Har bir cho'qqi ( vi) cho'qqida tugaydigan yoylar bilan belgilangan barcha ishlarning vaqt nuqtasini ifodalaydi ( vi).

Bunday ustunda:

• o'tmishdoshlari bo'lmagan bitta cho'qqi ishning boshlanish vaqtini belgilaydi;
• izdoshlari bo'lmagan bitta cho'qqi ishlar to'plami tugallangan vaqtga to'g'ri keladi.

Grafikning ushbu cho'qqilari orasidagi maksimal uzunlikdagi yo'l (ish jarayonining boshidan oxirigacha) kritik yo'l deb ataladi. Butun ish kompleksini bajarish uchun zarur bo'lgan vaqtni qisqartirish uchun, masalan, qo'shimcha ijrochilar, mexanizmlar va yangi texnologiyalarni jalb qilish orqali muhim yo'lda yotadigan ishni topish va uning davomiyligini qisqartirish kerak.

"Grafik nazariyasi" to'liq bloki

Vikipediyadan olingan material - bepul ensiklopediya

Grafik nazariyasi- grafiklarning xossalarini o'rganuvchi diskret matematikaning bo'limi. Umumiy ma'noda grafik to'plam sifatida ifodalanadi cho'qqilari(tugunlar) ulanadi qovurg'alar. Qattiq ta'rifda bunday to'plamlar juftligi grafik deb ataladi. $G\; =\; (V,\; E)$, Qayerda $V$ har qanday hisoblanuvchi to‘plamning kichik to‘plamidir va $E$- pastki to'plam $V\; \backslash \; marta\; V$.

Grafik nazariyasi, masalan, geografik axborot tizimlarida (GIS) qo'llanilishini topadi. Mavjud yoki yangi loyihalashtirilgan uylar, inshootlar, bloklar va boshqalar cho'qqilar, ularni bog'laydigan yo'llar, muhandislik tarmoqlari, elektr tarmoqlari va boshqalar esa chekka deb hisoblanadi. Bunday grafikda bajarilgan turli xil hisob-kitoblardan foydalanish, masalan, eng qisqa aylanma yo'lni yoki eng yaqin oziq-ovqat do'konini topish yoki optimal marshrutni rejalashtirish imkonini beradi.

Grafik nazariyasi juda ko'p hal qilinmagan muammolarni va hali tasdiqlanmagan farazlarni o'z ichiga oladi.

Grafik nazariyasi tarixi

Leonard Eyler grafiklar nazariyasining asoschisi hisoblanadi. 1736 yilda u o'zining maktublaridan birida Königsbergning ettita ko'prigi muammosini ishlab chiqdi va uni hal qilishni taklif qildi, bu keyinchalik grafiklar nazariyasining klassik muammolaridan biriga aylandi.

Grafik nazariyasi terminologiyasi

Grafiklarni tekislikda tasvirlash

Chizmalarda grafiklarni tasvirlashda ko'pincha quyidagi yozuv tizimi qo'llaniladi: grafikning cho'qqilari nuqta sifatida tasvirlangan yoki cho'qqi ma'nosini ko'rsatishda to'rtburchaklar, tasvirlar va boshqalar, bu erda cho'qqining ma'nosi ichkarida ochiladi. rasm (algoritmlarning oqim sxemalarining grafiklari). Agar cho'qqilar orasidagi chekka bo'lsa, unda mos keladigan nuqtalar (shakllar) chiziq yoki yoy bilan bog'lanadi. Yo'naltirilgan grafikda yoylar o'qlar bilan almashtiriladi yoki chekka yo'nalishi aniq ko'rsatiladi. Ba'zan chetning ma'nosini ochib beruvchi, masalan, chekli holat mashinalarining o'tish grafiklarida, chekka yoniga tushuntirish yozuvlari qo'yiladi. Planar va tekis bo'lmagan grafiklar mavjud. Planar grafik - bu rasmda (tekislikda) kesishuvchi qirralarsiz (eng oddiylari uchburchak yoki bir-biriga bog'langan cho'qqilar jufti) tasvirlanishi mumkin bo'lgan grafikdir, aks holda grafik tekis bo'lmaydi. Grafikda tsikllar bo'lmasa (kamida bitta yo'lni o'z ichiga olgan). bir marta qirralarning va cho'qqilarning asl cho'qqiga qaytishi bilan o'tishi), odatda "daraxt" deb ataladi. Grafik nazariyasidagi muhim daraxt turlari ikkilik daraxtlardir, bunda har bir tepada bitta kiruvchi va aynan ikkita chiquvchi yoki chekli - chiquvchi qirralari yo'q va kiruvchi qirrasi bo'lmagan bitta ildiz cho'qqisini o'z ichiga oladi.

Grafik tasvirini grafikning o'zi (mavhum tuzilma) bilan aralashtirib yubormaslik kerak, chunki bitta grafik bilan bir nechta grafik tasvirlar bog'lanishi mumkin. Rasm faqat cho'qqilarning qaysi juftlari qirralar bilan bog'langan va qaysi biri bog'lanmaganligini ko'rsatish uchun mo'ljallangan. Ikkita tasvir bir xil grafikning modelimi yoki yo'qmi (boshqacha qilib aytganda, tasvirlarga mos keladigan grafiklar izomorfmi) degan savolga javob berish ko'pincha amaliyotda qiyin. Vazifaga qarab, ba'zi tasvirlar boshqalarga qaraganda ko'proq ravshanlik berishi mumkin.

Grafiklar nazariyasining ba'zi muammolari

• Königsberg muammosining yetti ko'prigi Eyler tomonidan chop etilgan grafik nazariyasining birinchi natijalaridan biridir.
• To'rt rangli muammo 1852 yilda tuzilgan, ammo klassik bo'lmagan isbot faqat 1976 yilda olingan (sferadagi (tekislikdagi) xarita uchun 4 rang etarli).
• Sayohatchi sotuvchi muammosi eng mashhur NP-to'liq muammolardan biridir.
• Klik muammosi boshqa NP-to'liq muammodir.
• Minimal kenglikdagi daraxtni topish.
• Grafik izomorfizmi - bitta grafikning uchlarini qayta raqamlash orqali boshqasini olish mumkinmi?
• Grafikning tekisligi - grafikni qirralarning kesishmasdan (yoki bosilgan elektron platalar yoki mikrosxemalar elementlarining o'zaro bog'lanishini kuzatishda foydalaniladigan minimal qatlamlar soni bilan) tekislikda tasvirlash mumkinmi?

Grafiklar nazariyasini qo'llash

Shuningdek qarang

"Grafik nazariyasi" maqolasiga sharh yozing

Eslatmalar

Adabiyot

• Distel R. Grafik nazariyasi Trans. ingliz tilidan - Novosibirsk: Matematika instituti nashriyoti, 2002. - 336 p. ISBN 5-86134-101-X.
• Diestel R.. - NY: Springer-Verlag, 2005. - P. 422.
• Basaker R., Soati T.
• Belov V.V., Vorobiev E.M., Shatalov V.E. Grafik nazariyasi. - M .: Yuqori. maktab, 1976. - B. 392.
• Berge K.
• Emelichev V. A., Melnikov O. I., Sarvanov V. I., Tyshkevich R. I. Grafik nazariyasi bo'yicha ma'ruzalar. M.: Nauka, 1990. 384 b. (2-nashr, qayta ko'rib chiqilgan M.: URSS, 2009. 392 b.)
• Zikov A.A.. - M.: “Universitet kitobi”, 2004. - P. 664. - ISBN 5-9502-0057-8.(M.: Nauka, 1987. 383c.)
• Topologiya va grafiklar nazariyasining kimyoviy qo'llanilishi. Ed. R. King. Per. ingliz tilidan M.: Mir, 1987 yil.
• Kirsanov M.N. Maple tilidagi grafiklar. M.: Fizmatlit, 2007. 168 b. vuz.exponenta.ru/PDF/book/GrMaple.pdf eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kirsanov2007ru.pdf
• Kristofid N.
• Cormen T.H. va boshqalar. VI qism. Grafiklar bilan ishlash algoritmlari // Algoritmlar: qurish va tahlil qilish = Algoritmlarga kirish. - 2-nashr. - M.: Uilyams, 2006. - P. 1296. - ISBN 0-07-013151-1.
• Ruda O.. - 2-nashr. - M.: Fan, 1980. - B. 336.
• Salii V. N. Bogomolov A. M.. - M.: Fizika va matematika adabiyoti, 1997. - ISBN 5-02-015033-9.
• Svami M., Thulasiraman K.
• Tutt V.
• Uilson R.
• Harari F.. - M.: Mir, 1973 yil.(3-nashr, M.: KomKniga, 2006. - 296 b.)
• Harari F., Palmer E.. - Jahon, 1977 yil.
• Sergey Melnikov// Fan va hayot. - 1996. - Nashr. 3. - 144-145-betlar. Maqola Gustav Simmons tomonidan ixtiro qilingan Sim grafik o'yini haqida.

Havolalar

• : foydalanuvchiga grafiklardagi ma'lumotlarni vizuallashtirish va qidirish uchun keng ko'lamli vositalar va usullarni taqdim etadigan dastur

Klassik tahlil Funktsiyalar nazariyasi Differensial va integral tenglamalar

Grafik nazariyasini tavsiflovchi parcha

Ammo u bu so'zlarni tugatmasdanoq, knyaz Andrey uyat va g'azabdan ko'z yoshlarini tomog'ida ko'tarib, allaqachon otdan sakrab, bayroq tomon yugurdi.
- Bolalar, oldinga! – deb baqirdi u bolalarcha.
"Mana!" - deb o'yladi knyaz Andrey, bayroq ustunini ushlab, o'qlarning hushtakini zavq bilan eshitib, aniq unga qaratilgan. Bir necha askarlar yiqildi.
- Voy! - qichqirdi knyaz Andrey og'ir bayroqni qo'lida zo'rg'a ushlab, butun batalon uning orqasidan yugurishiga shubhasiz ishonch bilan oldinga yugurdi.
Darhaqiqat, u faqat bir necha qadam yugurdi. Bir askar yo'lga chiqdi, keyin boshqasi va butun batalon "Ura!" oldinga yugurib, uni bosib oldi. Batalonning unter-ofitseri yugurib kelib, knyaz Andreyning qo'lidagi og'irlikdan titrayotgan bayroqni oldi, ammo darhol o'ldirildi. Knyaz Andrey yana bayroqni ushlab oldi va uni ustundan sudrab, batalon bilan qochib ketdi. Oldinda u bizning artilleriyachilarimizni ko'rdi, ularning ba'zilari jang qilishdi, boshqalari to'plarini tashlab, unga qarab yugurishdi; u artilleriya otlarini ushlab, qurollarni aylantirgan frantsuz piyoda askarlarini ham ko'rdi. Knyaz Andrey va uning bataloni quroldan 20 qadam narida edi. U tepasida o'qlarning tinimsiz hushtak ovozini eshitdi va askarlar doimo ingrab, uning o'ng va chap tomoniga yiqildi. Lekin u ularga qaramadi; u faqat ro'parasida - batareyada sodir bo'layotgan narsaga qaradi. U qizil sochli artilleriyachining bir tomoni taqillatganini, bir tomonida bayroqni tortayotganini, boshqa tomondan esa frantsuz askari bayroqni o'ziga qarab tortayotganini aniq ko'rdi. Knyaz Andrey bu ikki kishining nima qilayotganini tushunmayotgan yuzlarida sarosimaga tushgan va ayni paytda g'azablangan ifodani allaqachon aniq ko'rdi.
"Ular nima qilishyapti? - deb o'yladi knyaz Andrey ularga qarab: - nega qizil sochli artilleriyachi quroli bo'lmasa, yugurmaydi? Nega fransuz uni pichoqlamaydi? Unga yetib borguncha, frantsuz qurolni eslaydi va uni pichoqlab o'ldiradi.
Darhaqiqat, boshqa bir frantsuz o'z foydasiga qurol bilan jangchilarga yugurdi va uni nima kutayotganini hali ham tushunmagan va bayroqni g'alaba bilan tortib olgan qizil sochli artilleriyachining taqdiri hal qilinishi kerak edi. Ammo knyaz Andrey bu qanday tugaganini ko'rmadi. Unga yaqin atrofdagi askarlardan biri kuchli tayoqni silkitgandek boshiga urgandek tuyuldi. Bu biroz og'riydi, eng muhimi, bu yoqimsiz edi, chunki bu og'riq uni quvontirdi va unga qaragan narsani ko'rishga to'sqinlik qildi.
"Nima bu? Men yiqilayapmanmi? Oyoqlarim bo‘shayapti”, deb o‘yladi va chalqancha yiqildi. U frantsuzlar bilan artilleriyachilar o‘rtasidagi kurash qanday yakunlanganini ko‘rmoqchi bo‘lib, qizil sochli artilleriyachi o‘ldirilganmi yoki yo‘qmi, qurollar olinganmi yoki saqlanib qolganmi, bilishni istab, ko‘zini ochdi. Ammo u hech narsani ko'rmadi. Uning tepasida endi osmondan boshqa hech narsa yo'q edi - baland osmon, tiniq emas, lekin baribir beqiyos baland, kulrang bulutlar jimgina o'rmalab yurar edi. "Qanday sokin, xotirjam va tantanali, men yugurganimga o'xshamaydi," deb o'yladi knyaz Andrey, "biz yugurganimiz, baqirganimiz va jang qilganimiz kabi emas; Bu frantsuz va artilleriyachining g'azablangan va qo'rqib ketgan yuzlari bilan bir-birlarining bayroqlarini tortib olishlariga umuman o'xshamaydi - bulutlar bu baland cheksiz osmon bo'ylab sudralib yurganiga o'xshamaydi. Nega men bu baland osmonni ilgari ko'rmaganman? Va nihoyat uni taniganimdan qanchalik xursandman. Ha! hamma narsa bo'm-bo'sh, hamma narsa yolg'on, bu cheksiz osmondan tashqari. Undan boshqa hech narsa, hech narsa yo'q. Ammo bu bo'lmasa ham, sukunat, xotirjamlikdan boshqa hech narsa yo'q. Va Xudoga shukur! ”…

Bagrationning o'ng qanotida soat 9 da ish hali boshlanmagan edi. Dolgorukovning biznesni boshlash haqidagi talabiga rozi bo'lishni istamagan va o'zidan mas'uliyatni chetlab o'tishni istamagan knyaz Bagration Dolgorukovni bu haqda bosh qo'mondondan so'rash uchun yuborishni taklif qildi. Bagration bilar ediki, bir qanotni boshqa qanotdan ajratib turadigan deyarli 10 verstlik masofa tufayli, agar yuborilgani o'ldirilmasa (bu juda katta ehtimol edi) va hatto bosh qo'mondonni topsa ham, bu juda qiyin edi. jo'natilgan kishi erta kechqurun qaytishga ulgurmasdi.
Bagration o'zining katta, ifodasiz, uyqusiz ko'zlari bilan mulozimlariga qaradi va Rostovning hayajon va umiddan beixtiyor qotib qolgan bolalarcha yuziga birinchi bo'lib ko'z tushdi. U yubordi.
— Janobi Oliylari, Janobi Oliylari huzurida uchrashsam-chi? - dedi Rostov qo'lini visorga tutib.
- Siz uni janob hazratlariga topshirishingiz mumkin, - dedi Dolgorukov shosha-pisha Bagrationning gapini bo'lib.
Zanjirdan ozod bo'lgan Rostov ertalabdan oldin bir necha soat uxlab qoldi va o'zini quvnoq, jasur, qat'iyatli, harakatlarning egiluvchanligi, baxtiga ishonch va hamma narsa oson, qiziqarli va mumkin bo'lgan kayfiyat bilan his qildi.
O'sha kuni ertalab uning barcha orzulari amalga oshdi; umumiy jang bo'ldi, u unda qatnashdi; Bundan tashqari, u eng jasur general qo'l ostidagi tartibli edi; Bundan tashqari, u Kutuzovga va hatto suverenning o'ziga topshiriq bilan sayohat qilgan. Tong ochiq edi, ostidagi ot yaxshi edi. Uning ruhi shod va shod edi. Buyruqni olgach, u otini qo'yib, chiziq bo'ylab chopdi. Avvaliga u hali harakatga kirmagan va harakatsiz turgan Bagration qo'shinlari chizig'i bo'ylab otlandi; keyin u Uvarov otliqlari egallagan bo'shliqqa kirdi va bu erda u harakat va ishga tayyorgarlik belgilarini allaqachon payqadi; Uvarovning otliq qo'shinlari yonidan o'tib, u oldinda to'p va o'q ovozlarini aniq eshitdi. Otishma kuchaydi.
Toza tong havosida endi tartibsiz vaqt oralig'ida ikki, uchta, keyin bir yoki ikkita o'q ovozi eshitilmadi, tog' yonbag'irlarida, Pratzen oldida otishma ovozi eshitilib, uzilib qoldi. qurollardan shunchalik tez-tez o'q uzilganki, ba'zida bir nechta to'p o'qlari endi bir-biridan ajralmay, bitta umumiy shovqinga birlashtirildi.
To'plarning tutuni qiyalik bo'ylab yugurib, bir-birini quvib o'tayotgani va qurol tutuni qanday aylanib, xiralashib, bir-biriga qo'shilib ketgani ko'rinib turardi. Tutun orasidagi nayzalarning porlashidan piyoda askarlarning harakatlanuvchi massalari va yashil qutilari bo'lgan tor artilleriya chiziqlari ko'rinib turardi.
Rostov nima bo'layotganini tekshirish uchun otini tepada bir daqiqa to'xtatdi; lekin u qanchalik e’tiborini tortmasin, nima bo‘layotganini na tushundi, na aniqlay oldi: u yerda ba’zi odamlar tutun ichida harakatlanar, bir qancha askar rasmlari ham oldinda, ham orqada harakatlanardi; lekin nega? JSSV? Qayerda? tushunish mumkin emas edi. Bu ko‘rinish va bu tovushlar uning qalbida zerikarli va qo‘rqoq tuyg‘ularni uyg‘otibgina qolmay, aksincha, kuch va qat’iyat berdi.
"Xo'sh, ko'proq, ko'proq bering!" - U aqlan bu tovushlarga o'girildi va yana harakatga kirgan qo'shinlar hududiga tobora ko'proq kirib, chiziq bo'ylab yugura boshladi.
"U erda qanday bo'lishini bilmayman, lekin hammasi yaxshi bo'ladi!" - deb o'yladi Rostov.
Avstriya qo'shinlarining bir qismidan o'tib, Rostov chiziqning keyingi qismi (bu qo'riqchi) allaqachon harakatga kelganini payqadi.
"Hammasi yaxshi! Men yaqinroq ko'rib chiqaman, - deb o'yladi u.
U deyarli oldingi chiziq bo'ylab yurdi. Bir qancha otliqlar unga qarab chopdilar. Bular tartibsiz saflarda hujumdan qaytayotgan bizning hayot nayzalari edi. Rostov ularning yonidan o'tib ketdi, beixtiyor ulardan birini qonga botganini payqadi va yugurib ketdi.
"Bu menga ahamiyat bermayapti!" - deb o'yladi u. U bir necha yuz qadam yurganidan so'ng, uning chap tomonida, butun maydon bo'ylab, to'g'ridan-to'g'ri unga qarab yugurib kelayotgan, qora otlarda, yaltiroq oq liboslarda ulkan otliq askarlar paydo bo'ldi. Rostov bu otliqlarning yo'lidan qutulish uchun otini to'liq chopdi va agar ular xuddi shunday yurishni davom ettirsalar, u ulardan uzoqlashgan bo'lardi, lekin ular tezlashdi, shuning uchun ba'zi otlar allaqachon chopib ketishdi. Rostov ularning oyoq-qo‘llarining oyoq-qo‘llarini oyoq osti qilishini va qurollarining taqillatishini tobora aniqroq eshitdi, otlari, figuralari va hatto yuzlari ko‘rinib qoldi. Bular bizning otliq qo'riqchilar edi, ular o'zlari tomon harakatlanayotgan frantsuz otliqlariga hujum qilishdi.
Otliq qo'riqchilar otlarini ushlab turishibdi. Rostov allaqachon ularning yuzlarini ko'rdi va buyruqni eshitdi: "Yur, yurish!" - deb qon otini bor tezligida bo'shatgan ofitser aytdi. Rostov frantsuzlarga hujum qilishdan qo'rqib, jabhada otini iloji boricha tezroq yugurdi va baribir ulardan o'ta olmadi.
Oxirgi otliq qorovul, bahaybat, cho‘ntak odam ro‘parasida muqarrar ravishda to‘qnashib ketadigan Rostovni ko‘rib, jahl bilan qovog‘ini chimirdi. Bu otliq qorovul, albatta, Rostov va uning badaviylarini (Rostovning o‘zi bu bahaybat odamlar va otlarga nisbatan juda kichik va zaif ko‘rinardi), agar u qamchini otliq qorovul otining ko‘ziga silkitishni o‘ylamaganida edi, albatta. Qora, og‘ir, besh dyuymli ot quloqlarini qo‘yib, qo‘rqib ketdi; lekin chandiqli otliq qorovul uning yon tomonlariga katta shpurlar tashladi va ot dumini silkitib, bo'ynini cho'zgancha tezroq yugurdi. Otliq qo'riqchilar Rostov yonidan o'tishi bilan u ularning: "Hurray!" Deganini eshitdi. va orqasiga qarasa, ularning oldingi saflari begonalar, ehtimol, frantsuzlar, qizil epauletli otliqlar bilan aralashib ketganini ko'rdi. Boshqa hech narsani ko‘rishning iloji yo‘q edi, chunki shundan so‘ng darrov qayerdandir to‘plar otila boshladi va hamma narsa tutunga botib ketdi.
O'sha paytda, otliq qo'riqchilar uning yonidan o'tib, tutun ichida g'oyib bo'lganlarida, Rostov ularning orqasidan yugurishni yoki kerakli joyga borishni ikkilanib qoldi. Bu frantsuzlarni hayratda qoldirgan otliq soqchilarning ajoyib hujumi edi. Rostov keyinroq eshitib qo'rqib ketdi, bunchalik ko'p kelishgan odamlar orasidan, minglab otlarga mingan bu ajoyib, boy yigitlar, ofitserlar va kursantlar, hujumdan keyin atigi o'n sakkiz kishi qolgan.