Jak wyodrębnić kwadrat. Pierwiastek kwadratowy. Akcje z pierwiastkami kwadratowymi. Moduł. Porównanie pierwiastków kwadratowych

Obliczanie (lub ekstrakcja) pierwiastek kwadratowy można wytwarzać na kilka sposobów, ale nie można powiedzieć, że wszystkie z nich są bardzo proste. Oczywiście łatwiej jest skorzystać z pomocy kalkulatora. Ale jeśli nie jest to możliwe (lub chcesz zrozumieć istotę pierwiastka kwadratowego), radzę ci pójść w następujący sposób, jego algorytm wygląda następująco:

Jeśli nie masz siły, chęci lub cierpliwości do tak długich obliczeń, możesz uciec się do surowej selekcji, a jej zaletą jest to, że jest ona niesamowicie szybka i, z należytą pomysłowością, dokładna. Przykład:

Kiedy byłem w szkole (na początku lat 60.), uczono nas wyciągania pierwiastka kwadratowego z dowolnej liczby. Technika jest prosta, zewnętrznie podobna do „podziału kolumn”; ale żeby to tutaj określić, zajmie to pół godziny i 4-5 tysięcy znaków tekstu. Ale dlaczego tego potrzebujesz? Masz telefon lub inny gadżet, jest kalkulator w nm. W każdym komputerze jest kalkulator. Osobiście wolę robić tego rodzaju obliczenia w Excelu.

Często w szkole wymagane jest znalezienie pierwiastka kwadratowego różne liczby. Ale jeśli jesteśmy przyzwyczajeni do ciągłego korzystania z kalkulatora, to na egzaminach nie będzie takiej możliwości, więc musisz nauczyć się szukać korzenia bez pomocy kalkulatora. I w zasadzie jest to możliwe.

Algorytm to:

Spójrz najpierw na ostatnią cyfrę swojego numeru:

Na przykład,

Teraz musisz określić w przybliżeniu wartość dla pierwiastka z skrajnej lewej grupy

W przypadku, gdy liczba ma więcej niż dwie grupy, musisz znaleźć korzeń w ten sposób:

Ale następna liczba powinna być dokładnie największa, musisz ją odebrać w ten sposób:

Teraz musimy utworzyć nową liczbę A, dodając do reszty otrzymanej powyżej następną grupę.

W naszych przykładach:

Kolumna najna, a gdy potrzeba więcej niż piętnaście znaków, to najczęściej odpoczywają komputery i telefony z kalkulatorami. Pozostaje sprawdzić, czy opis metodyki zajmie 4-5 tys. znaków.

Berm dowolną liczbę, od przecinka liczymy pary cyfr z prawej i lewej strony

Na przykład 1234567890.098765432100

Para cyfr jest jak liczba dwucyfrowa. Korzeń dwucyfrowej to jeden do jednego. Wybieramy jednowartościowy, którego kwadrat jest mniejszy niż pierwsza para cyfr. W naszym przypadku jest to 3.

Podobnie jak przy dzieleniu przez kolumnę, pod pierwszą parą wypisujemy ten kwadrat i odejmujemy od pierwszej pary. Wynik jest podkreślony. 12 - 9 = 3. Dodaj drugą parę cyfr do tej różnicy (będzie to 334). Na lewo od liczby nasypów podwojona wartość tej części wyniku, która została już znaleziona, jest uzupełniana cyfrą (mamy 2 * 6 = 6), tak że pomnożona przez nieodebraną liczbę nie przekraczać liczby z drugą parą cyfr. Otrzymujemy, że znaleziona liczba to pięć. Ponownie znajdujemy różnicę (9), burzmy następną parę cyfr, otrzymując 956, ponownie wypisujemy podwojoną część wyniku (70), ponownie dodajemy potrzebną cyfrę i tak dalej, aż się zatrzyma. Lub do wymaganej dokładności obliczeń.

Po pierwsze, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy, musisz dobrze znać tabliczkę mnożenia. Bardzo proste przykłady wynosi 25 (5 na 5 = 25) i tak dalej. Jeśli bierzesz liczby bardziej skomplikowane, możesz użyć ten stół, gdzie jednostki są poziome, a dziesiątki pionowe.



Jest dobry sposób jak znaleźć pierwiastek liczby bez pomocy kalkulatorów. Aby to zrobić, potrzebujesz linijki i kompasu. Najważniejsze jest to, że na linijce znajdziesz wartość, którą masz pod korzeniem. Na przykład umieść znak w pobliżu 9. Twoim zadaniem jest podzielenie tej liczby na równą liczbę segmentów, czyli na dwie linie po 4,5 cm każda, i na równy segment. Łatwo zgadnąć, że w końcu otrzymasz 3 segmenty po 3 centymetry.

Metoda nie jest łatwa i duże liczby nie nadaje się, ale uważa się, że nie ma kalkulatora.

bez pomocy kalkulatora nauczono metody wyciągania pierwiastka kwadratowego w czasy sowieckie w szkole w 8 klasie.

Aby to zrobić, musisz podzielić wielocyfrową liczbę od prawej do lewej na twarze dwucyfrowe :

Pierwsza cyfra korzenia to cały korzeń lewej strony, w tym przypadku 5.

Odejmij 5 do kwadratu od 31, 31-25=6 i dodaj następną ścianę do sześciu, mamy 678.

Następna cyfra x jest wybierana, aby podwoić tę piątkę, tak aby

10x*x to maksimum, ale mniej niż 678.

x=6 ponieważ 106*6=636,

teraz obliczamy 678 - 636 = 42 i dodajemy następną ścianę 92, mamy 4292.

Ponownie szukamy maksimum x, takiego, że 112x*x lt; 4292.

Odpowiedź: korzeń to 563

Możesz więc kontynuować tak długo, jak chcesz.

W niektórych przypadkach możesz spróbować rozszerzyć liczbę pierwiastkową na dwa lub więcej czynników kwadratowych.

Warto też zapamiętać tabelę (lub przynajmniej jej część) - kwadraty liczb naturalnych od 10 do 99.



Proponuję wariant wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego do wymyślonej przeze mnie kolumny. Różni się od znanych, z wyjątkiem doboru liczb. Ale jak się później dowiedziałem, Ta metoda istniała już wiele lat przed moimi narodzinami. Wielki Isaac Newton opisał to w swojej książce General Arithmetic lub książce o syntezie i analizie arytmetycznej. Przedstawiam więc tutaj moją wizję i uzasadnienie algorytmu metody Newtona. Nie musisz zapamiętywać algorytmu. W razie potrzeby możesz po prostu użyć diagramu na rysunku jako pomocy wizualnej.







Za pomocą tabel nie możesz obliczyć, ale znaleźć pierwiastki kwadratowe tylko z liczb znajdujących się w tabelach. Najprostszym sposobem obliczenia pierwiastków jest nie tylko kwadrat, ale także inne stopnie, metodą kolejnych przybliżeń. Na przykład obliczamy pierwiastek kwadratowy z 10739, zastępujemy ostatnie trzy cyfry zerami i wyciągamy pierwiastek z 10000, otrzymujemy 100 z wadą, więc bierzemy liczbę 102 i poddajemy ją kwadratowi, otrzymujemy 10404, czyli również mniej niż określony, ponownie bierzemy 103 * 103 = 10609 z wadą, bierzemy 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, bierzemy jeszcze więcej 103,6 * 103,6 \u003d 10732, bierzemy 103,7 * 103,7 \u003d 10753,69, co jest już w nadmiar. Możesz wziąć pierwiastek kwadratowy z 10739, aby był w przybliżeniu równy 103,6. Dokładniej 10739=103,629... . . Podobnie obliczamy pierwiastek sześcienny, najpierw od 10000 otrzymujemy około 25 * 25 * 25 = 15625, czyli nadmiar, bierzemy 22 * ​​22 * ​​22 = 10,648, bierzemy nieco ponad 22,06 * 22,06 * 22,06 = 10735, co jest bardzo zbliżone do podanego.

źródło n potęga liczby naturalnej a numer nazywa się n którego potęga jest równa a. Korzeń jest oznaczony następująco: . Symbol √ nazywa się znak główny lub znak radykała, numer a - numer główny, n - wykładnik główny.

Czynność, dzięki której znajduje się pierwiastek danego stopnia, nazywa się ekstrakcja korzenia.

Ponieważ zgodnie z definicją pojęcia korzenia n stopień

następnie ekstrakcja korzenia- działanie, przeciwieństwo potęgowania, za pomocą którego, zgodnie z danym stopniem i zgodnie z danym wykładnikiem, znajduje się podstawę stopnia.

Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby a to liczba, której kwadrat to a.

Operacja, za pomocą której obliczany jest pierwiastek kwadratowy, nazywa się wyciąganiem pierwiastka kwadratowego.

Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego- przeciwna akcja kwadratury (lub podniesienia liczby do drugiej potęgi). Podnosząc liczbę do kwadratu, musisz znaleźć jej kwadrat. Podczas wyciągania pierwiastka kwadratowego kwadrat liczby jest znany, należy z niego znaleźć samą liczbę.

Dlatego, aby sprawdzić poprawność podjętego działania, można podnieść znaleziony korzeń do drugiego stopnia, a jeśli stopień jest równy liczbie pierwiastka, to korzeń został znaleziony poprawnie.

Rozważ wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego i jego weryfikację na przykładzie. Obliczamy lub (wykładnik pierwiastka o wartości 2 zwykle nie jest zapisywany, ponieważ 2 jest najmniejszym wykładnikiem i należy pamiętać, że jeśli nie ma wykładnika powyżej znaku pierwiastka, wówczas implikowany jest wykładnik 2), do tego potrzebujemy aby znaleźć liczbę, po podniesieniu do drugiego stopnia będzie to 49. Oczywiście ta liczba to 7, ponieważ

7 7 = 7 2 = 49.

Obliczanie pierwiastka kwadratowego

Jeśli dana liczba wynosi 100 lub mniej, to pierwiastek kwadratowy z niej można obliczyć za pomocą tabliczki mnożenia. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 25 to 5, ponieważ 5 x 5 = 25.

Rozważmy teraz sposób na znalezienie pierwiastka kwadratowego z dowolnej liczby bez użycia kalkulatora. Na przykład weźmy liczbę 4489 i zacznijmy obliczać krok po kroku.

1. Określmy, z jakich cyfr powinien składać się żądany pierwiastek. Ponieważ 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 i 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000 staje się jasne, że pożądany korzeń musi być większy niż 10 i mniejszy niż 100, tj. składają się z dziesiątek i jednostek.
2. Znajdź liczbę dziesiątek korzenia. Mnożenie dziesiątek daje setki, nasza liczba to 44, więc pierwiastek musi zawierać tyle dziesiątek, że kwadrat dziesiątek daje w przybliżeniu 44 setki. Dlatego u podstawy powinno być 6 dziesiątek, ponieważ 60 2 \u003d 3600 i 70 2 \u003d 4900 (to za dużo). W ten sposób dowiedzieliśmy się, że nasz korzeń zawiera 6 dziesiątek i kilka jedynek, ponieważ mieści się w przedziale od 60 do 70.
3. Tabliczka mnożenia pomoże określić liczbę jednostek u podstawy. Patrząc na liczbę 4489, widzimy, że ostatnia w niej cyfra to 9. Teraz patrzymy na tabliczkę mnożenia i widzimy, że 9 jednostek można uzyskać tylko przez podniesienie do kwadratu liczb 3 i 7. Zatem pierwiastek tej liczby będzie wynosił 63 lub 67.
4. Sprawdzamy liczby, które otrzymaliśmy 63 i 67, podnosząc je do kwadratu: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Uczniowie zawsze pytają: „Dlaczego nie mogę użyć kalkulatora na egzaminie z matematyki? Jak wydobyć pierwiastek kwadratowy z liczby bez kalkulatora? Spróbujmy odpowiedzieć na to pytanie.

Jak wydobyć pierwiastek kwadratowy z liczby bez pomocy kalkulatora?

Akcja ekstrakcja pierwiastka kwadratowego przeciwieństwo kwadratury.

√81= 9 9 2 =81

Jeśli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej i podniesiemy wynik do kwadratu, otrzymamy tę samą liczbę.

Z małych liczb, które są dokładnymi kwadratami liczb naturalnych, na przykład 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, pierwiastki kwadratowe można wyodrębnić ustnie. Zwykle w szkole uczą tabeli kwadratów liczb naturalnych do dwudziestu. Znając tę ​​tabelę, łatwo jest wyodrębnić pierwiastki kwadratowe z liczb 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z liczb większych niż 400 możesz wyodrębnić za pomocą metody selekcji, korzystając z kilku wskazówek. Spróbujmy przykładu, aby rozważyć tę metodę.

Przykład: Wyodrębnij korzeń liczby 676.

Zauważamy, że 20 2 \u003d 400 i 30 2 \u003d 900, co oznacza 20< √676 < 900.

Dokładne kwadraty liczb naturalnych kończą się na 0; jeden; cztery; 5; 6; 9.
Liczba 6 jest podana przez 4 2 i 6 2 .
Tak więc, jeśli korzeń pochodzi z 676, to jest to 24 lub 26.

Pozostaje sprawdzić: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Odpowiadać: √676 = 26 .

Więcej przykład: √6889 .

Ponieważ 80 2 \u003d 6400 i 90 2 \u003d 8100, to 80< √6889 < 90.
Liczba 9 jest podana przez 3 2 i 7 2, wtedy √6889 to 83 lub 87.

Sprawdź: 83 2 = 6889.

Odpowiadać: √6889 = 83 .

Jeśli masz trudności z rozwiązaniem za pomocą metody wyboru, możesz rozłożyć na czynniki pierwsze wyrażenie.

Na przykład, znajdź √893025.

Rozłóżmy na czynniki liczbę 893025, pamiętaj, zrobiłeś to w szóstej klasie.

Otrzymujemy: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Więcej przykład: √20736. Rozłóżmy na czynniki liczbę 20736:

Otrzymujemy √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Faktoring wymaga oczywiście znajomości kryteriów podzielności oraz umiejętności faktoringowych.

I wreszcie jest reguła pierwiastka kwadratowego. Spójrzmy na tę zasadę na przykładzie.

Oblicz √279841.

Aby wyodrębnić pierwiastek wielocyfrowej liczby całkowitej, dzielimy ją od prawej do lewej na twarze zawierające po 2 cyfry (może być jedna cyfra na skrajnej lewej ścianie). Napisz tak 27'98'41

Aby uzyskać pierwszą cyfrę pierwiastka (5), wyodrębniamy pierwiastek kwadratowy z największego dokładnego kwadratu zawartego na pierwszej lewej ścianie (27).
Następnie kwadrat pierwszej cyfry pierwiastka (25) jest odejmowany od pierwszej ściany, a następna ściana (98) jest przypisywana (wyburzana) do różnicy.
Po lewej stronie otrzymanej liczby 298 piszą podwójną cyfrę pierwiastka (10), dzielą przez nią liczbę wszystkich dziesiątek wcześniej uzyskanej liczby (29/2 ≈ 2), doświadczają ilorazu (102 ∙ 2 = 204 powinno być nie większe niż 298) i napisać (2) po pierwszej cyfrze pierwiastka.
Następnie otrzymany iloraz 204 jest odejmowany od 298, a następna fasetka (41) jest przypisywana (wyburzana) różnicy (94).
Po lewej stronie wynikowej liczby 9441 piszą podwójny iloczyn cyfr pierwiastka (52 ∙ 2 = 104), dzielą przez ten iloczyn liczbę wszystkich dziesiątek liczby 9441 (944/104 ≈ 9), doświadczenie iloraz (1049 ∙ 9 = 9441) powinien wynosić 9441 i zapisać go (9) po drugiej cyfrze pierwiastka.

Otrzymaliśmy odpowiedź √279841 = 529.

Podobnie ekstrakt pierwiastki ułamków dziesiętnych. Tylko radykalna liczba musi zostać podzielona na twarze, tak aby przecinek znajdował się między twarzami.

Przykład. Znajdź wartość 0,00956484.

Musisz tylko o tym pamiętać, jeśli dziesiętny To ma liczba nieparzysta miejsc dziesiętnych, dokładny pierwiastek kwadratowy nie jest z niego wyodrębniany.

Więc teraz widziałeś trzy sposoby na wyodrębnienie korzenia. Wybierz ten, który najbardziej Ci odpowiada i ćwicz. Aby nauczyć się rozwiązywać problemy, musisz je rozwiązać. A jeśli masz jakieś pytania, .

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Fakt 1.
\(\bullet\) Weź trochę nie liczba ujemna\(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Następnie (arytmetyka) pierwiastek kwadratowy z liczby \(a\) nazywamy taką liczbę nieujemną \(b\), podnosząc ją do kwadratu otrzymujemy liczbę \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tak samo jak )\quad a=b^2\] Z definicji wynika, że \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Te ograniczenia są ważnym warunkiem istnienia pierwiastka kwadratowego i należy o nich pamiętać!
Przypomnij sobie, że dowolna liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny. Czyli \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Co to jest \(\sqrt(25)\) ? Wiemy, że \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Ponieważ z definicji musimy znaleźć liczbę nieujemną, \(-5\) nie jest odpowiednia, stąd \(\sqrt(25)=5\) (od \(25=5^2\) ).
Znalezienie wartości \(\sqrt a\) jest nazywane wyciąganiem pierwiastka kwadratowego z liczby \(a\) , a liczba \(a\) jest nazywana wyrażeniem pierwiastka.
\(\bullet\) Na podstawie definicji wyrażenia \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) itp. nie ma sensu.

Fakt 2.
Do szybkich obliczeń przydatne będzie nauczenie się tabeli kwadratów liczb naturalnych od \(1\) do \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hlinia \koniec(tablica)\]

Fakt 3.
Co można zrobić z pierwiastkami kwadratowymi?
\(\pocisk\) Suma lub różnica pierwiastki kwadratowe NIERÓWNE pierwiastkowi kwadratowemu z sumy lub różnicy, tj. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jeśli więc chcesz obliczyć np. \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , to najpierw musisz znaleźć wartości \(\sqrt(25)\) i \(\sqrt (49)\ ), a następnie dodaj je. W konsekwencji, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jeśli podczas dodawania \(\sqrt a+\sqrt b\) nie można znaleźć wartości \(\sqrt a\) lub \(\sqrt b\), to takie wyrażenie nie jest dalej konwertowane i pozostaje bez zmian. Na przykład w sumie \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) możemy znaleźć \(\sqrt(49)\) - to jest \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nie może być przekonwertowany w jakikolwiek sposób, dlatego \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Co więcej, tego wyrażenia niestety nie można w żaden sposób uprościć.\(\bullet\) Iloczyn/iloraz pierwiastków kwadratowych jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu/ilorazu, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod warunkiem, że obie części równości mają sens)
Przykład: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Korzystając z tych właściwości, wygodnie jest znaleźć pierwiastki kwadratowe dużych liczb przez rozłożenie ich na czynniki.
Rozważ przykład. Znajdź \(\sqrt(44100)\) . Ponieważ \(44100:100=441\) , to \(44100=100\cdot 441\) . Zgodnie z kryterium podzielności liczba \(441\) jest podzielna przez \(9\) (ponieważ suma jej cyfr wynosi 9 i jest podzielna przez 9), zatem \(441:9=49\) , czyli \(441=9\ cdot 49\) .
W ten sposób otrzymaliśmy: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Spójrzmy na inny przykład: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9)=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokażmy jak wprowadzać liczby pod pierwiastkiem kwadratowym na przykładzie wyrażenia \(5\sqrt2\) (skrót od wyrażenia \(5\cdot \sqrt2\) ). Ponieważ \(5=\sqrt(25)\) , to \ Zwróć też uwagę, że na przykład
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Dlaczego? Wyjaśnijmy na przykładzie 1). Jak już zrozumiałeś, nie możemy w jakiś sposób przekonwertować liczby \(\sqrt2\) . Wyobraź sobie, że \(\sqrt2\) to pewna liczba \(a\) . W związku z tym wyrażenie \(\sqrt2+3\sqrt2\) to nic innego jak \(a+3a\) (jedna liczba \(a\) plus jeszcze trzy takie same liczby \(a\) ). A wiemy, że to jest równe czterem takim liczbom \(a\) , czyli \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Często mówi się „nie można wyodrębnić pierwiastka”, gdy nie można pozbyć się znaku \(\sqrt () \ \) pierwiastka (rodnik) podczas znajdowania wartości jakiejś liczby. Na przykład możesz wykorzenić liczbę \(16\), ponieważ \(16=4^2\) , więc \(\sqrt(16)=4\) . Ale wyciągnięcie pierwiastka z liczby \(3\) , czyli znalezienie \(\sqrt3\) , jest niemożliwe, ponieważ nie ma takiej liczby, która do kwadratu da \(3\) .
Takie liczby (lub wyrażenia z takimi liczbami) są irracjonalne. Na przykład liczby \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) itp. są irracjonalne.
Nieracjonalne są również liczby \(\pi\) (liczba „pi”, w przybliżeniu równa \(3,14\) ), \(e\) (liczba ta nazywa się liczbą Eulera, w przybliżeniu równą \(2 ,7\) ) itp.
\(\bullet\) Należy pamiętać, że każda liczba będzie wymierna lub nieracjonalna. I razem wszyscy racjonalni i wszyscy liczby niewymierne tworzą zestaw o nazwie zbiór liczb rzeczywistych (rzeczywistych). Ten zestaw jest oznaczony literą \(\mathbb(R)\) .
Oznacza to, że wszystkie liczby, które są ten moment wiemy, że nazywane są liczbami rzeczywistymi.

Fakt 5.
\(\bullet\) Moduł liczby rzeczywistej \(a\) jest liczbą nieujemną \(|a|\) równą odległości od punktu \(a\) do \(0\) na rzeczywistej linia. Na przykład \(|3|\) i \(|-3|\) są równe 3, ponieważ odległości od punktów \(3\) i \(-3\) do \(0\) są taki sam i równy \(3 \) .
\(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą nieujemną, to \(|a|=a\) .
Przykład: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to \(|a|=-a\) .
Przykład: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mówią, że dla liczb ujemnych moduł „zjada” minus, a dodatnie, a także liczbę \(0\) , moduł pozostaje bez zmian.
ALE ta zasada dotyczy tylko liczb. Jeżeli mamy nieznaną \(x\) (lub jakąś inną niewiadomą) pod znakiem modułu, na przykład \(|x|\) , o której nie wiemy, czy jest dodatnia, równa zero czy ujemna, to pozbyć się modułu, którego nie możemy. W tym przypadku to wyrażenie pozostaje takie: \(|x|\) . \(\bullet\) Następujące formuły mają zastosowanie: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( pod warunkiem ) a\geqslant 0\] Często popełniany jest następujący błąd: mówią, że \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) to to samo. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy \(a\) jest liczbą dodatnią lub zerem. Ale jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to nie jest to prawdą. Wystarczy rozważyć taki przykład. Weźmy liczbę \(-1\) zamiast \(a\). Wtedy \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale wyrażenie \((\sqrt (-1))^2\) w ogóle nie istnieje (ponieważ jest niemożliwe pod znakiem korzenia wprowadź liczby ujemne!).
Dlatego zwracamy uwagę, że \(\sqrt(a^2)\) nie jest równe \((\sqrt a)^2\) ! Przykład 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), dlatego \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Ponieważ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , wtedy \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (wyrażenie \(2n\) oznacza liczbę parzystą)
Oznacza to, że podczas wyciągania pierwiastka z liczby, która jest w pewnym stopniu, stopień ten zmniejsza się o połowę.
Przykład:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (zauważ, że jeśli moduł nie jest ustawiony, to okazuje się, że pierwiastek liczby jest równy \(-25 \) ; ale pamiętamy , że z definicji pierwiastka nie może to być: przy wyciąganiu pierwiastka zawsze powinniśmy otrzymać liczbę dodatnią lub zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ponieważ dowolna liczba do potęgi parzystej jest nieujemna)

Fakt 6.
Jak porównać dwa pierwiastki kwadratowe?
\(\bullet\) Prawda dla pierwiastków kwadratowych: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPrzykład:
1) porównaj \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Najpierw przekształcamy drugie wyrażenie w \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tak więc, ponieważ \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Pomiędzy którymi liczbami całkowitymi jest \(\sqrt(50)\) ?
Ponieważ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porównaj \(\sqrt 2-1\) i \(0,5\) . Załóżmy \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(wyrównany) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((dodaj po jednym z obu stron))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kwadrat obie części))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Widzimy, że uzyskaliśmy niewłaściwą nierówność. Dlatego nasze założenie było błędne i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Zauważ, że dodanie pewnej liczby po obu stronach nierówności nie wpływa na jej znak. Mnożenie/dzielenie obu stron nierówności przez liczbę dodatnią również nie zmienia jej znaku, ale mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności!
Obie strony równania/nierówności mogą być podniesione do kwadratu TYLKO JEŚLI obie strony są nieujemne. Na przykład, w nierówności z poprzedniego przykładu, możesz podnieść obie strony do kwadratu, w nierówności \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Zauważ, że \[\begin(wyrównane) &\sqrt 2\ok 1,4\\ &\sqrt 3\ok 1,7 \end(wyrównane)\] Znajomość przybliżonego znaczenia tych liczb pomoże ci przy porównywaniu liczb! \(\bullet\) Aby wydobyć pierwiastek (jeśli jest wyciągnięty) z jakiejś dużej liczby, której nie ma w tabeli kwadratów, musisz najpierw określić, między którymi jest to „setkami”, a następnie między którymi „dziesiątkami”, a następnie określ ostatnią cyfrę tej liczby. Pokażmy jak to działa na przykładzie.
Weź \(\sqrt(28224)\) . Wiemy, że \(100^2=10\000\) , \(200^2=40\000\) i tak dalej. Zauważ, że \(28224\) jest pomiędzy \(10\,000\) a \(40\,000\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) jest pomiędzy \(100\) a \(200\) .
Teraz ustalmy, pomiędzy którymi „dziesiątkami” jest nasza liczba (czyli np. między \(120\) a \(130\) ). Z tablicy kwadratów wiemy też, że \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., a następnie \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ) . Widzimy więc, że \(28224\) jest pomiędzy \(160^2\) a \(170^2\) . W związku z tym liczba \(\sqrt(28224)\) znajduje się między \(160\) a \(170\) .
Spróbujmy określić ostatnią cyfrę. Pamiętajmy jakie liczby jednocyfrowe przy kwadracie dają na końcu \ (4 \) ? Są to \(2^2\) i \(8^2\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) kończy się na 2 lub 8. Sprawdźmy to. Znajdź \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Stąd \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Aby właściwie rozwiązać egzamin z matematyki, należy przede wszystkim przestudiować materiał teoretyczny, który wprowadza liczne twierdzenia, wzory, algorytmy itp. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że jest to dość proste. Jednak znalezienie źródła, w którym teoria do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki jest przedstawiona w sposób łatwy i zrozumiały dla uczniów o dowolnym poziomie przygotowania, jest w rzeczywistości dość trudnym zadaniem. Podręczniki szkolne nie zawsze można mieć pod ręką. A znalezienie podstawowych wzorów na egzamin z matematyki może być trudne nawet w Internecie.

Dlaczego tak ważne jest studiowanie teorii z matematyki, nie tylko dla tych, którzy przystępują do egzaminu?

1. Ponieważ poszerza horyzonty. Studiowanie materiału teoretycznego w matematyce jest przydatne dla każdego, kto chce uzyskać odpowiedzi na szeroki zakres pytań związanych ze znajomością świata. Wszystko w naturze jest uporządkowane i ma jasną logikę. Właśnie to znajduje odzwierciedlenie w nauce, dzięki której można zrozumieć świat.
2. Ponieważ rozwija intelekt. Studiując materiały referencyjne do egzaminu z matematyki, a także rozwiązując różne problemy, człowiek uczy się logicznego myślenia i rozumowania, poprawnego i jasnego formułowania myśli. Rozwija umiejętność analizowania, uogólniania, wyciągania wniosków.

Zapraszamy do osobistej oceny wszystkich zalet naszego podejścia do systematyzacji i prezentacji materiałów edukacyjnych.

W przedmowie do swojego pierwszego wydania W królestwie pomysłowości (1908) E. I. Ignatiev pisze: Wyniki są wiarygodne tylko wtedy, gdy wprowadzenie w dziedzinę wiedzy matematycznej dokonuje się w łatwy i przyjemny sposób, na przedmiotach i przykładach codziennych i codziennych sytuacji, dobranych z należytym dowcipem i rozbawieniem.

W przedmowie do wydania „Rola pamięci w matematyce” z 1911 r. E.I. Ignatiev pisze „… w matematyce należy pamiętać nie o formułach, ale o procesie myślenia”.

Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy, istnieją tabele kwadratów dla liczb dwucyfrowych, możesz rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze i wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z produktu. Tabela kwadratów to za mało, wyodrębnienie pierwiastka przez faktoring to czasochłonne zadanie, które również nie zawsze prowadzi do pożądanego rezultatu. Spróbuj wydobyć pierwiastek kwadratowy z liczby 209764? Rozkład na czynniki pierwsze daje iloczyn 2 * 2 * 52441. Metodą prób i błędów wybór - to oczywiście można zrobić, jeśli masz pewność, że jest to liczba całkowita. Sposób, który chcę zaproponować, pozwala w każdym przypadku na wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego.

Kiedyś w instytucie (Państwowy Instytut Pedagogiczny w Permie) zostaliśmy zapoznani z tą metodą, o której teraz chcę opowiedzieć. Nigdy nie zastanawiałem się, czy ta metoda ma dowód, więc teraz musiałem sam wydedukować jakiś dowód.

Podstawą tej metody jest kompozycja liczby =.

=&, czyli &2=596334.

1. Podziel numer (5963364) na pary od prawej do lewej (5`96`33`64)

2. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z pierwszej grupy po lewej ( - numer 2). Otrzymujemy więc pierwszą cyfrę liczby &.

3. Znajdź kwadrat pierwszej cyfry (2 2 \u003d 4).

4. Znajdź różnicę między pierwszą grupą a kwadratem pierwszej cyfry (5-4=1).

5. Niszczymy kolejne dwie cyfry (otrzymaliśmy liczbę 196).

6. Podwajamy pierwszą znalezioną liczbę, zapisujemy ją po lewej stronie za linią (2*2=4).

7. Teraz musisz znaleźć drugą cyfrę liczby &: podwojona pierwsza cyfra, którą znaleźliśmy, staje się cyfrą dziesiątek liczby, po pomnożeniu przez liczbę jednostek musisz uzyskać liczbę mniejszą niż 196 ( to jest liczba 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 to druga cyfra &.

8. Znajdź różnicę (196-176=20).

9. Niszczymy kolejną grupę (otrzymujemy numer 2033).

10. Podwój liczbę 24, otrzymujemy 48.

11,48 dziesiątek w liczbie, po pomnożeniu przez liczbę jednostek otrzymamy liczbę mniejszą niż 2033 (484 * 4 = 1936). Znaleziona przez nas cyfra jednostek (4) jest trzecią cyfrą liczby &.

Dowód podaję dla przypadków:

1. Wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego z liczby trzycyfrowej;

2. Wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego z liczby czterocyfrowej.

Przybliżone metody wyciągania pierwiastka kwadratowego (bez użycia kalkulatora).

1. Starożytni Babilończycy używali następującej metody, aby znaleźć przybliżoną wartość pierwiastka kwadratowego ich liczby x. Reprezentowali liczbę x jako sumę a 2 + b, gdzie a 2 jest najbliższym x dokładnemu kwadratowi liczby naturalnej a (a 2 ? x) i użyli wzoru . (1)

Korzystając ze wzoru (1), wyciągamy pierwiastek kwadratowy, na przykład z liczby 28:

Wynik ekstrakcji korzenia 28 przy użyciu MK 5.2915026.

Jak widać, metoda babilońska daje dobre przybliżenie dokładnej wartości korzenia.

2. Isaac Newton opracował metodę pierwiastka kwadratowego, która sięga czasów Herona z Aleksandrii (ok. 100 ne). Ta metoda (znana jako metoda Newtona) jest następująca.

Wynajmować 1- pierwsze przybliżenie liczby (jako 1 można przyjąć wartości pierwiastka kwadratowego z liczby naturalnej - dokładny kwadrat, który nie przekracza X) .

Następne, dokładniejsze przybliżenie 2 liczby znaleziony przez formułę .