Jak jest korzeń. Praca badawcza na temat: „Wyodrębnianie pierwiastków kwadratowych z dużych liczb bez kalkulatora”

Uczniowie zawsze pytają: „Dlaczego nie mogę użyć kalkulatora na egzaminie z matematyki? Jak wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczby bez kalkulatora? Spróbujmy odpowiedzieć na to pytanie.

Jak wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczby bez pomocy kalkulatora?

Akcja ekstrakcja pierwiastka kwadratowego przeciwieństwo kwadratury.

√81= 9 9 2 =81

Jeśli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej i podniesiemy wynik do kwadratu, otrzymamy tę samą liczbę.

Od nie duże liczby, które są dokładnymi kwadratami liczb naturalnych, na przykład 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 pierwiastków kwadratowych można wyodrębnić ustnie. Zwykle w szkole uczą tabeli kwadratów liczb naturalnych do dwudziestu. Znając tę ​​tabelę, łatwo jest wyodrębnić pierwiastki kwadratowe z liczb 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z liczb większych niż 400 możesz wyodrębnić za pomocą metody selekcji, korzystając z kilku wskazówek. Spróbujmy na przykład rozważyć tę metodę.

Przykład: Wyodrębnij korzeń liczby 676.

Zauważamy, że 20 2 \u003d 400 i 30 2 \u003d 900, co oznacza 20< √676 < 900.

Dokładne kwadraty liczb naturalnych kończą się na 0; jeden; 4; 5; 6; dziewięć.
Liczba 6 jest podana przez 4 2 i 6 2 .
Tak więc, jeśli korzeń pochodzi z 676, to jest to 24 lub 26.

Pozostaje sprawdzić: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Odpowiedź: √676 = 26 .

Więcej przykład: √6889 .

Ponieważ 80 2 \u003d 6400 i 90 2 \u003d 8100, to 80< √6889 < 90.
Liczba 9 jest podana przez 3 2 i 7 2, wtedy √6889 to 83 lub 87.

Sprawdź: 83 2 = 6889.

Odpowiedź: √6889 = 83 .

Jeśli masz trudności z rozwiązaniem za pomocą metody wyboru, możesz rozłożyć na czynniki pierwsze wyrażenie.

Na przykład, znajdź √893025.

Rozłóżmy na czynniki liczbę 893025, pamiętaj, zrobiłeś to w szóstej klasie.

Otrzymujemy: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Więcej przykład: √20736. Rozłóżmy na czynniki liczbę 20736:

Otrzymujemy √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Faktoring wymaga oczywiście znajomości kryteriów podzielności oraz umiejętności faktoringowych.

I wreszcie jest reguła pierwiastka kwadratowego. Spójrzmy na tę zasadę na przykładzie.

Oblicz √279841.

Aby wyodrębnić pierwiastek wielocyfrowej liczby całkowitej, dzielimy ją od prawej do lewej na twarze zawierające po 2 cyfry (może być jedna cyfra na skrajnej lewej ścianie). Napisz tak 27'98'41

Aby uzyskać pierwszą cyfrę pierwiastka (5), wyodrębniamy pierwiastek kwadratowy z największego dokładnego kwadratu zawartego na pierwszej lewej ścianie (27).
Następnie kwadrat pierwszej cyfry pierwiastka (25) jest odejmowany od pierwszej ściany, a następna ściana (98) jest przypisywana (wyburzana) do różnicy.
Po lewej stronie otrzymanej liczby 298 piszą podwójną cyfrę pierwiastka (10), dzielą przez nią liczbę wszystkich dziesiątek wcześniej uzyskanej liczby (29/2 ≈ 2), doświadczają ilorazu (102 ∙ 2 = 204 powinno być nie większe niż 298) i napisać (2) po pierwszej cyfrze pierwiastka.
Następnie otrzymany iloraz 204 jest odejmowany od 298, a następny aspekt (41) jest przypisywany (wyburzany) różnicy (94).
Po lewej stronie wynikowej liczby 9441 piszą podwójny iloczyn cyfr pierwiastka (52 ∙ 2 = 104), dzielą przez ten iloczyn liczbę wszystkich dziesiątek liczby 9441 (944/104 ≈ 9), doświadczenie iloraz (1049 ∙ 9 = 9441) powinien wynosić 9441 i zapisać go (9) po drugiej cyfrze pierwiastka.

Otrzymaliśmy odpowiedź √279841 = 529.

Podobnie ekstrakt pierwiastki ułamków dziesiętnych. Tylko radykalna liczba musi zostać podzielona na twarze, tak aby przecinek znajdował się między twarzami.

Przykład. Znajdź wartość 0,00956484.

Pamiętaj tylko, że jeśli ułamek dziesiętny ma nie Liczba parzysta miejsc dziesiętnych, dokładny pierwiastek kwadratowy nie jest z niego wyodrębniany.

Więc teraz widziałeś trzy sposoby na wyodrębnienie korzenia. Wybierz ten, który najbardziej Ci odpowiada i ćwicz. Aby nauczyć się rozwiązywać problemy, musisz je rozwiązać. A jeśli masz jakieś pytania, .

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Czas na demontaż metody ekstrakcji korzeni. Opierają się na właściwościach pierwiastków, w szczególności na równości, która obowiązuje dla każdego nie Liczba ujemna b.

Poniżej rozważymy z kolei główne metody ekstrakcji korzeni.

Zacznijmy od najprostszego przypadku - wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych za pomocą tablicy kwadratów, tablicy sześcianów itp.

Jeśli tabele kwadratów, kostek itp. nie jest pod ręką, logiczne jest użycie metody wyodrębniania pierwiastka, która polega na rozłożeniu liczby pierwiastka na proste czynniki.

Osobno warto się zastanowić, co jest możliwe dla pierwiastków o nieparzystych wykładnikach.

Na koniec rozważ metodę, która pozwala sekwencyjnie znaleźć cyfry wartości pierwiastka.

Zacznijmy.

Korzystanie z tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.

W najprostszych przypadkach tabele kwadratów, kostek itp. pozwalają na wydobycie korzeni. Czym są te stoły?

Tabela kwadratów liczb całkowitych od 0 do 99 włącznie (pokazana poniżej) składa się z dwóch stref. Pierwsza strefa tabeli znajduje się na szarym tle, zaznaczając określony wiersz i określoną kolumnę, pozwala na ułożenie liczby od 0 do 99. Na przykład wybierzmy rząd 8 dziesiątek i kolumnę 3 jednostek, tym samym naprawiliśmy liczbę 83. Druga strefa zajmuje resztę stołu. Każda z jego komórek znajduje się na przecięciu pewnego rzędu i pewnej kolumny i zawiera kwadrat o odpowiedniej liczbie od 0 do 99 . Na przecięciu wybranego przez nas rzędu 8 dziesiątek i kolumny 3 jednej znajduje się komórka o numerze 6889, która jest kwadratem liczby 83.

Tablice kostek, tablice czwartych potęg liczb od 0 do 99 itd. są podobne do tablic kwadratów, tylko zawierają sześciany, czwarte potęgi itd. w drugiej strefie. odpowiednie liczby.

Tabele kwadratów, kostek, czwartych potęg itp. pozwalają wyodrębnić pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwarte itp. odpowiednio z numerów w tych tabelach. Wyjaśnijmy zasadę ich zastosowania w ekstrakcji korzeni.

Powiedzmy, że musimy wyciągnąć pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, podczas gdy liczba a jest zawarta w tabeli n-tych stopni. Zgodnie z tą tabelą znajdujemy liczbę b taką, że a=b n . Następnie , dlatego liczba b będzie pożądanym pierwiastkiem n-tego stopnia.

Jako przykład pokażmy, jak wyodrębnia się korzeń kostki 19683 za pomocą tabeli kostki. Znajdujemy liczbę 19 683 w tabeli sześcianów, z niej dowiadujemy się, że ta liczba jest sześcianem liczby 27, dlatego .

Oczywiste jest, że tabele n-tego stopnia są bardzo wygodne podczas ekstrakcji korzeni. Jednak często nie są one pod ręką, a ich kompilacja wymaga pewnej ilości czasu. Co więcej, często konieczne jest wyodrębnienie pierwiastków z liczb, które nie są zawarte w odpowiednich tabelach. W takich przypadkach trzeba uciekać się do innych metod wydobywania korzeni.

Rozkład liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze

Dość wygodnym sposobem wyodrębnienia pierwiastka z liczby naturalnej (jeśli oczywiście zostanie wyodrębniony korzeń) jest rozłożenie pierwiastka na czynniki pierwsze. Jego esencja jest następująca: po tym dość łatwo jest przedstawić go jako stopień z pożądanym wskaźnikiem, który pozwala uzyskać wartość pierwiastka. Wyjaśnijmy ten punkt.

Niech pierwiastek n-tego stopnia zostanie wydobyty z liczby naturalnej a, a jego wartość będzie równa b. W tym przypadku równość a=b n jest prawdziwa. Liczbę b jako dowolną liczbę naturalną można przedstawić jako iloczyn wszystkich jej czynników pierwszych p 1 , p 2 , …, p m w postaci p 1 p 2 p m , a pierwiastek a w tym przypadku jest reprezentowany jako (p 1 p 2 ... p m) n . Ponieważ dekompozycja liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczna, dekompozycja pierwiastka a na czynniki pierwsze będzie wyglądać następująco (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , co umożliwia obliczenie wartości pierwiastka jako .

Zauważ, że jeśli faktoryzacji pierwiastka a nie można przedstawić w postaci (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , to pierwiastek n-tego stopnia z takiej liczby a nie jest całkowicie wyodrębniony.

Zajmijmy się tym przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład.

Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z 144 .

Decyzja.

Jeśli przejdziemy do tabeli kwadratów podanej w poprzednim akapicie, to widać wyraźnie, że 144=12 2 , z czego jasno wynika, że ​​pierwiastek kwadratowy z 144 wynosi 12 .

Ale w świetle tego punktu interesuje nas, jak wyodrębnia się pierwiastek przez rozłożenie pierwiastka 144 na czynniki pierwsze. Przyjrzyjmy się temu rozwiązaniu.

Rozłóżmy się 144 na czynniki pierwsze:

Czyli 144=2 2 2 2 3 3 . Na podstawie powstałego rozkładu można przeprowadzić następujące przekształcenia: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Stąd, .

Wykorzystując właściwości stopnia i właściwości korzeni, rozwiązanie można sformułować nieco inaczej: .

Odpowiedź:

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązania dwóch kolejnych przykładów.

Przykład.

Oblicz wartość pierwiastka.

Decyzja.

Pierwsza faktoryzacja liczby pierwiastkowej 243 wynosi 243=3 5 . Zatem, .

Odpowiedź:

Przykład.

Czy wartość pierwiastka jest liczbą całkowitą?

Decyzja.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóżmy liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze i zobaczmy, czy można ją przedstawić jako sześcian liczby całkowitej.

Mamy 285 768=2 3 3 6 7 2 . Wynikowy rozkład nie jest reprezentowany jako sześcian liczby całkowitej, ponieważ stopień podstawowy czynnik 7 nie jest wielokrotnością trzech. Dlatego pierwiastek sześcienny 285 768 nie jest w całości pobierany.

Odpowiedź:

Nie.

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb ułamkowych

Czas dowiedzieć się, w jaki sposób korzeń jest wyodrębniany z liczby ułamkowej. Niech pierwiastek ułamkowy zostanie zapisany jako p/q . Zgodnie z właściwością pierwiastka ilorazu, prawdziwa jest następująca równość. Z tej równości wynika reguła pierwiastka ułamkowego: Pierwiastek ułamka jest równy ilorazowi dzielenia pierwiastka licznika przez pierwiastek mianownika.

Spójrzmy na przykład wyodrębniania korzenia z ułamka.

Przykład.

Jaki jest pierwiastek kwadratowy z wspólny ułamek 25/169 .

Decyzja.

Zgodnie z tabelą kwadratów, pierwiastek kwadratowy licznika pierwotnego ułamka wynosi 5, a pierwiastek kwadratowy mianownika wynosi 13. Następnie . To kończy ekstrakcję korzenia ze zwykłej frakcji 25/169.

Odpowiedź:

Pierwiastek ułamka dziesiętnego lub liczby mieszanej jest wyodrębniany po zastąpieniu liczb pierwiastkowych zwykłymi ułamkami.

Przykład.

Weź pierwiastek sześcienny z liczby dziesiętnej 474,552.

Decyzja.

Zaprezentujmy oryginalny ułamek dziesiętny jako zwykły ułamek: 474.552=474552/1000 . Następnie . Pozostaje wyodrębnić pierwiastki sześcienne znajdujące się w liczniku i mianowniku wynikowego ułamka. Jak 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000=10 3 , to oraz . Pozostaje tylko dokończyć obliczenia .

Odpowiedź:

.

Wyodrębnianie pierwiastka liczby ujemnej

Osobno warto zastanowić się nad wydobywaniem pierwiastków z liczb ujemnych. Podczas badania pierwiastków powiedzieliśmy, że jeśli wykładnik pierwiastka jest liczbą nieparzystą, to pod znakiem pierwiastka może znajdować się liczba ujemna. Takim zapisom nadaliśmy następujące znaczenie: dla liczby ujemnej −a i nieparzystego wykładnika pierwiastka 2 n−1 mamy . Ta równość daje reguła wyodrębniania pierwiastków nieparzystych z liczb ujemnych: aby wyodrębnić pierwiastek z liczby ujemnej, musisz wyodrębnić pierwiastek przeciwnej liczby dodatniej i umieścić znak minus przed wynikiem.

Rozważmy przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Znajdź wartość główną.

Decyzja.

Przekształćmy oryginalne wyrażenie tak, aby pod znakiem głównym pojawiła się liczba dodatnia: . Teraz zastępujemy liczbę mieszaną zwykłym ułamkiem: . Stosujemy zasadę wydobywania korzenia ze zwykłego ułamka: . Pozostaje obliczyć pierwiastki w liczniku i mianowniku wynikowego ułamka: .

Oto podsumowanie rozwiązania: .

Odpowiedź:

.

Bitowe znajdowanie wartości głównej

W ogólnym przypadku pod pierwiastkiem znajduje się liczba, której przy użyciu omówionych powyżej technik nie można przedstawić jako n-tej potęgi żadnej liczby. Ale jednocześnie trzeba znać wartość danego pierwiastka, przynajmniej do pewnego znaku. W takim przypadku, aby wyodrębnić pierwiastek, możesz użyć algorytmu, który pozwala konsekwentnie uzyskiwać wystarczającą liczbę wartości cyfr pożądanej liczby.

Pierwszym krokiem tego algorytmu jest znalezienie najbardziej znaczącego bitu wartości pierwiastka. Aby to zrobić, liczby 0, 10, 100, ... są sukcesywnie podnoszone do potęgi n, aż do uzyskania liczby przekraczającej liczbę pierwiastkową. Wtedy liczba, którą podnieśliśmy do potęgi n w poprzednim kroku, wskaże odpowiedni wysoki rząd.

Rozważmy na przykład ten krok algorytmu, gdy wyodrębniamy pierwiastek kwadratowy z pięciu. Bierzemy liczby 0, 10, 100, ... i podnosimy je do kwadratu, aż otrzymamy liczbę większą niż 5 . Mamy 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , co oznacza, że ​​najbardziej znaczącą cyfrą będzie cyfra jednostek. Wartość tego bitu, a także niższych, zostanie znaleziona w kolejnych krokach algorytmu ekstrakcji korzenia.

Wszystkie kolejne kroki algorytmu mają na celu sukcesywne doprecyzowanie wartości pierwiastka ze względu na to, że znajdują się wartości kolejnych cyfr pożądanej wartości pierwiastka, zaczynając od najwyższej i przechodząc do najniższej . Na przykład wartość korzenia w pierwszym kroku wynosi 2 , w drugim - 2.2 , w trzecim - 2.23 i tak dalej 2.236067977 ... . Opiszmy, jak znajdują się wartości bitów.

Znalezienie cyfr odbywa się poprzez ich wyliczenie możliwa wartość 0, 1, 2, ..., 9 . W tym przypadku n-te potęgi odpowiednich liczb są obliczane równolegle i porównywane z liczbą pierwiastkową. Jeżeli na pewnym etapie wartość stopnia przekroczy liczbę pierwiastkową, wówczas wartość cyfry odpowiadającej poprzedniej wartości uważa się za znalezioną i następuje przejście do następnego kroku algorytmu ekstrakcji pierwiastków, jeśli tak się nie dzieje, wtedy wartość tej cyfry wynosi 9 .

Wyjaśnijmy wszystkie te punkty, używając tego samego przykładu wyciągania pierwiastka kwadratowego z pięciu.

Najpierw znajdź wartość cyfry jednostek. Będziemy iterować po wartościach 0, 1, 2, …, 9 , obliczając odpowiednio 0 2 , 1 2 , …, 9 2 aż otrzymamy wartość większą niż liczba radykalna 5 . Wszystkie te obliczenia są wygodnie przedstawione w formie tabeli:

Więc wartość cyfry jednostek wynosi 2 (ponieważ 2 2<5 , а 2 3 >5). Przejdźmy do znalezienia wartości dziesiątego miejsca. W takim przypadku podniesiemy do kwadratu liczby 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, porównując uzyskane wartości z pierwiastkiem nr 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , to wartość dziesiątego miejsca wynosi 2 . Możesz przejść do znalezienia wartości setnych miejsc:

Więc znaleziono następną wartość pierwiastka z piątki, która jest równa 2,23. A więc możesz dalej szukać wartości: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy ekstrakcję korzenia z dokładnością do setnych części za pomocą rozważanego algorytmu.

Najpierw definiujemy cyfrę seniora. Aby to zrobić, wstawiamy w kostkę liczby 0, 10, 100 itd. aż otrzymamy liczbę większą niż 2151,186 . Mamy 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , więc najbardziej znacząca jest cyfra dziesiątek.

Określmy jego wartość.

Od 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2151,186 , to wartość cyfry dziesiątek wynosi 1 . Przejdźmy do jednostek.

Tak więc wartość jedynego miejsca wynosi 2 . Przejdźmy do dziesięciu.

Ponieważ nawet 12,9 3 to mniej niż radykalna liczba 2 151,186 , wartość dziesiątego miejsca wynosi 9 . Pozostaje wykonać ostatni krok algorytmu, poda nam on wartość pierwiastka z wymaganą dokładnością.

Na tym etapie wartość korzenia sięga do setnych: .

Podsumowując ten artykuł, chciałbym powiedzieć, że istnieje wiele innych sposobów na wydobycie korzeni. Ale w przypadku większości zadań te, które omówiliśmy powyżej, są wystarczające.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 8 komórek. instytucje edukacyjne.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnicyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).

Matematyka narodziła się, gdy człowiek uświadomił sobie siebie i zaczął pozycjonować się jako autonomiczna jednostka świata. Chęć mierzenia, porównywania, obliczania tego, co cię otacza, leży u podstaw jednej z podstawowych nauk naszych czasów. Początkowo były to elementy matematyki elementarnej, które umożliwiały skojarzenie liczb z ich fizycznymi wyrażeniami, później wnioski zaczęto przedstawiać tylko teoretycznie (ze względu na ich abstrakcyjność), ale po pewnym czasie, jak to określił jeden naukowiec, „ matematyka osiągnęła pułap złożoności, gdy wszystkie liczby”. Pojęcie „pierwiastka kwadratowego” pojawiło się w czasach, gdy można było je łatwo poprzeć danymi empirycznymi, wykraczającymi poza płaszczyznę obliczeń.

Jak to się wszystko zaczęło

Pierwsza wzmianka o rdzeniu, obecnie oznaczanym jako √, została odnotowana w pismach babilońskich matematyków, którzy położyli podwaliny pod nowoczesną arytmetykę. Oczywiście wyglądały trochę jak obecna forma - naukowcy tamtych lat po raz pierwszy używali nieporęcznych tabletek. Ale w drugim tysiącleciu pne. mi. wymyślili przybliżoną formułę obliczeniową, która pokazała, jak wyciągnąć pierwiastek kwadratowy. Poniższe zdjęcie pokazuje kamień, na którym babilońscy naukowcy wyrzeźbili proces wyjściowy √2 i okazało się, że jest tak poprawne, że rozbieżność w odpowiedzi została znaleziona tylko w dziesiątym miejscu po przecinku.

Ponadto korzeń był używany, jeśli trzeba było znaleźć bok trójkąta, pod warunkiem, że znane były dwa pozostałe. Cóż, przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie ma ucieczki przed wydobyciem pierwiastka.

Wraz z pracami babilońskimi przedmiot artykułu był badany również w chińskim dziele „Matematyka w dziewięciu księgach”, a starożytni Grecy doszli do wniosku, że każda liczba, z której nie wyodrębnia się korzenia, daje wynik irracjonalny .

Pochodzenie tego terminu jest związane z arabskim przedstawieniem liczby: starożytni naukowcy wierzyli, że kwadrat dowolnej liczby wyrasta z korzenia, jak roślina. Po łacinie to słowo brzmi jak radix (można prześledzić wzór - wszystko, co ma „korzeniowy” ładunek semantyczny, jest spółgłoską, czy to rzodkiewka, czy rwa kulszowa).

Pomysł ten podchwycili naukowcy kolejnych pokoleń, nazywając go Rx. Na przykład w XV wieku, aby wskazać, że pierwiastek kwadratowy pochodzi z dowolnej liczby a, napisali R 2 a. Znany współczesnemu wyglądowi „kleszcz” pojawił się dopiero w XVII wieku za sprawą Rene Descartes.

Nasze dni

Matematycznie pierwiastek kwadratowy z y jest liczbą z, której kwadrat to y. Innymi słowy, z 2 =y jest równoważne √y=z. Jednak ta definicja dotyczy tylko pierwiastka arytmetycznego, ponieważ sugeruje nieujemną wartość wyrażenia. Innymi słowy, √y=z, gdzie z jest większe lub równe 0.

Ogólnie, co jest ważne dla określenia pierwiastka algebraicznego, wartość wyrażenia może być dodatnia lub ujemna. Zatem z uwagi na to, że z 2 =y i (-z) 2 =y, mamy: √y=±z lub √y=|z|.

Z uwagi na to, że miłość do matematyki wzrosła dopiero wraz z rozwojem nauki, pojawiają się do niej różne przejawy sympatii, nie wyrażające się suchymi kalkulacjami. Na przykład obok tak ciekawych wydarzeń jak dzień Pi obchodzone są również święta pierwiastka kwadratowego. Są obchodzone dziewięć razy w ciągu stu lat i są ustalane zgodnie z następującą zasadą: liczby oznaczające kolejno dzień i miesiąc muszą być pierwiastkiem kwadratowym z roku. Tak więc następnym razem to święto będzie obchodzone 4 kwietnia 2016 r.

Własności pierwiastka kwadratowego na polu R

Prawie wszystkie wyrażenia matematyczne mają podstawę geometryczną, ten los nie przeminął i √y, który jest zdefiniowany jako bok kwadratu o polu y.

Jak znaleźć pierwiastek liczby?

Istnieje kilka algorytmów obliczeniowych. Najprostsze, ale jednocześnie dość kłopotliwe, jest zwykłe obliczenie arytmetyczne, które wygląda następująco:

1) od liczby, której pierwiastka potrzebujemy, liczby nieparzyste są kolejno odejmowane - aż reszta wyniku będzie mniejsza niż odjęta jedynka lub nawet równa zero. Liczba ruchów ostatecznie stanie się pożądaną liczbą. Na przykład, obliczając pierwiastek kwadratowy z 25:

Następna nieparzysta liczba to 11, reszta to: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

W takich przypadkach istnieje rozszerzenie serii Taylora:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , gdzie n przyjmuje wartości od 0 do

+∞, oraz |y|≤1.

Graficzna reprezentacja funkcji z=√y

Rozważmy funkcję elementarną z=√y na polu liczb rzeczywistych R, gdzie y jest większe lub równe zero. Jej wykres wygląda tak:

Krzywa rośnie od początku i koniecznie przecina punkt (1; 1).

Własności funkcji z=√y na ciele liczb rzeczywistych R

1. Dziedziną definicji rozważanej funkcji jest przedział od zera do plus nieskończoności (uwzględnia się zero).

2. Zakres wartości rozważanej funkcji to przedział od zera do plus nieskończoności (znowu uwzględnia się zero).

3. Funkcja przyjmuje wartość minimalną (0) tylko w punkcie (0; 0). Nie ma maksymalnej wartości.

4. Funkcja z=√y nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

5. Funkcja z=√y nie jest okresowa.

6. Jest tylko jeden punkt przecięcia wykresu funkcji z=√y z osiami współrzędnych: (0; 0).

7. Punkt przecięcia wykresu funkcji z=√y jest jednocześnie zerem tej funkcji.

8. Funkcja z=√y stale rośnie.

9. Funkcja z=√y przyjmuje tylko wartości dodatnie, dlatego jej wykres zajmuje pierwszą współrzędną kąta.

Opcje wyświetlania funkcji z=√y

W matematyce, aby ułatwić obliczenie złożonych wyrażeń, czasami używa się potęgi zapisu pierwiastka kwadratowego: √y=y 1/2. Ta opcja jest wygodna na przykład przy podnoszeniu funkcji do potęgi: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Metoda ta jest również dobrą reprezentacją dla różniczkowania z całkowaniem, ponieważ dzięki niej pierwiastek kwadratowy jest reprezentowany przez zwykłą funkcję potęgową.

A w programowaniu zamiennikiem symbolu √ jest kombinacja liter sqrt.

Warto zauważyć, że w tym obszarze pierwiastek kwadratowy jest bardzo poszukiwany, ponieważ jest częścią większości wzorów geometrycznych niezbędnych do obliczeń. Sam algorytm zliczania jest dość skomplikowany i opiera się na rekurencji (funkcji, która sama siebie wywołuje).

Pierwiastek kwadratowy w polu zespolonym C

W zasadzie to właśnie temat tego artykułu był impulsem do odkrycia ciała liczb zespolonych C, ponieważ matematyków prześladowała kwestia uzyskania pierwiastka parzystego stopnia z liczby ujemnej. Tak powstała jednostka urojona i, która charakteryzuje się bardzo ciekawą właściwością: jej kwadrat wynosi -1. Dzięki temu rozwiązano równania kwadratowe iz ujemnym wyróżnikiem. W C dla pierwiastka kwadratowego obowiązują te same właściwości, co w R, jedyną rzeczą jest to, że usunięto ograniczenia dotyczące wyrażenia pierwiastka.

Jak wydobyć korzeń z numeru. W tym artykule dowiemy się, jak wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczb cztero- i pięciocyfrowych.

Weźmy jako przykład pierwiastek kwadratowy z 1936 roku.

Stąd, .

Ostatnia cyfra w 1936 to 6. Kwadrat 4 i 6 kończy się na 6. Dlatego 1936 może być kwadratem 44 lub 46. Pozostaje do zweryfikowania za pomocą mnożenia.

Znaczy,

Wyodrębnijmy pierwiastek kwadratowy z liczby 15129.

Stąd, .

Ostatnia cyfra w 15129 to 9. Dziewiątka kończy się kwadratem 3 i 7. Zatem 15129 może być kwadratem 123 lub 127. Sprawdźmy przez mnożenie.

Znaczy,

Jak rootować - wideo

A teraz proponuję obejrzeć film Anny Denisovej - „Jak wyodrębnić korzeń ", autor witryny" prosta fizyka”, w którym wyjaśnia, jak wyodrębnić pierwiastki kwadratowe i sześcienne bez kalkulatora.

Film omawia kilka sposobów wyodrębniania korzeni:

1. Najłatwiejszy sposób na wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego.

2. Dopasowywanie za pomocą kwadratu sumy.

3. Droga babilońska.

4. Metoda wydobywania pierwiastka kwadratowego z kolumny.

5. Szybki sposób na wyodrębnienie korzenia kostki.

6. Sposób wyodrębnienia pierwiastka sześciennego w kolumnie.