Kurā izteiksmē pirmā darbība ir atņemšana? Darbību secība. Aizpildiet trūkstošo skaitli - piemērus ar iekavām. Treniņu aparāti

Ja salīdzinām funkcijas saskaitīšana un atņemšana ar reizināšanu un dalīšanu, tad reizināšanu un dalīšanu vienmēr aprēķina vispirms.

Piemērā divas funkcijas, piemēram, saskaitīšana un atņemšana, kā arī reizināšana un dalīšana, ir līdzvērtīgas viena otrai. Izpildes secība tiek noteikta secībā no kreisās puses uz labo.

Jāatceras, ka iekavās norādītajām darbībām piemērā ir īpaša prioritāte. Tādējādi, pat ja ir reizināšana ārpus iekavām un saskaitīšana iekavās, vispirms ir jāpievieno un pēc tam jāreizina.

Lai saprastu šo tēmu, varat izskatīt visus gadījumus pa vienam.

Uzreiz ņemsim vērā, ka mūsu izteicieniem nav iekavas.

Tātad, ja piemērā pirmā darbība ir reizināšana, bet otrā ir dalīšana, tad vispirms veicam reizināšanu.

Ja piemērā pirmā darbība ir dalīšana, bet otrā ir reizināšana, tad mēs vispirms veicam dalīšanu.

Šādos piemēros darbības tiek veiktas secībā no kreisās puses uz labo, neatkarīgi no tā, kādi skaitļi tiek izmantoti.

Ja piemēros papildus reizināšanai un dalīšanai ir saskaitīšana un atņemšana, tad vispirms tiek veikta reizināšana un dalīšana, bet pēc tam saskaitīšana un atņemšana.

Saskaitīšanas un atņemšanas gadījumā arī nav nozīmes, kura no šīm darbībām tiek veikta pirmā.Kārtība tiek ievērota no kreisās uz labo pusi.

Apsvērsim dažādas iespējas:

Šajā piemērā pirmā darbība, kas jāveic, ir reizināšana un pēc tam saskaitīšana.

Šajā gadījumā vispirms vērtības jāreizina, pēc tam dala un tikai tad pievieno.

Šajā gadījumā vispirms ir jāveic visas darbības iekavās un tikai tad jāveic reizināšana un dalīšana.

Un tāpēc jums jāatceras, ka jebkurā formulā vispirms tiek veiktas tādas darbības kā reizināšana un dalīšana, un pēc tam tikai atņemšana un saskaitīšana.

Arī ar skaitļiem, kas ir iekavās, tie ir jāskaita iekavās un tikai pēc tam jāveic dažādas manipulācijas, atceroties iepriekš aprakstīto secību.

Pirmās darbības būs: reizināšana un dalīšana.

Tikai pēc tam tiek veikta saskaitīšana un atņemšana.

Taču, ja ir iekava, tad vispirms tiks izpildītas tajās esošās darbības. Pat ja tā ir saskaitīšana un atņemšana.

Piemēram:

Šajā piemērā mēs vispirms reiziināsim, pēc tam 4 ar 5, pēc tam pievienosim 4 pret 20. Iegūsim 24.

Bet, ja ir šādi: (4+5)*4, tad vispirms veicam saskaitīšanu, iegūstam 9. Tad 9 reizinām ar 4. Iegūstam 36.

Ja piemērā ir visas 4 darbības, tad vispirms ir reizināšana un dalīšana, un tad saskaitīšana un atņemšana.

Vai 3 dažādu darbību piemērā, tad pirmā būs vai nu reizināšana (vai dalīšana), un pēc tam saskaitīšana (vai atņemšana).

Kad NAV IEKAVU.

Piemērs: 4-2*5:10+8=11,

1 darbība 2*5 (10);

2. likuma 10:10 (1);

3 darbība 4-1 (3);

4 darbība 3+8 (11).

Visas 4 darbības var iedalīt divās galvenajās grupās, vienā - saskaitīšana un atņemšana, otrā - reizināšana un dalīšana. Pirmā būs darbība, kas ir pirmā piemērā, tas ir, vistālāk pa kreisi.

Piemērs: 60-7+9=62, vispirms vajag 60-7, tad notiek (53) +9;

Piemērs: 5*8:2=20, vispirms vajag 5*8, tad notiek (40) :2.

Ja piemērā IR IEKAVĀTI, vispirms tiek veiktas darbības iekavās (saskaņā ar iepriekš minētajiem noteikumiem), un pēc tam pārējās tiek veiktas kā parasti.

Piemērs: 2+(9-8)*10:2=7.

1 darbība 9-8 (1);

2. darbība 1*10 (10);

Act 3 10:2 (5);

4 darbība 2+5 (7).

Tas ir atkarīgs no tā, kā izteiksme ir uzrakstīta, apskatīsim vienkāršāko skaitlisko izteiksmi:

18 - 6:3 + 10x2 =

Vispirms veicam darbības ar dalīšanu un reizināšanu, tad pēc kārtas no kreisās uz labo, ar atņemšanu un saskaitīšanu: 18-2+20 = 36

Ja šī ir izteiksme ar iekavām, tad veiciet darbības iekavās, tad reizināšanu vai dalīšanu un visbeidzot saskaitīšanu/atņemšanu, piemēram:

(18-6) : 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4 + 20 = 24

Viss ir pareizi: vispirms veic reizināšanu un dalīšanu, tad saskaitīšanu un atņemšanu.

Ja piemērā nav iekavas, tad vispirms tiek veikta reizināšana un dalīšana secībā, un pēc tam tiek veikta saskaitīšana un atņemšana, tāpat secībā.

Ja piemērā ir tikai reizināšana un dalīšana, tad darbības tiks veiktas secībā.

Ja piemērā ir tikai saskaitīšana un atņemšana, tad arī darbības tiks veiktas secībā.

Pirmkārt, darbības iekavās tiek veiktas pēc vieniem un tiem pašiem noteikumiem, tas ir, vispirms reizināšana un dalīšana, un tikai tad saskaitīšana un atņemšana.

22-(11+3X2)+14=19

Aritmētisko darbību veikšanas secība ir stingri noteikta, lai, dažādiem cilvēkiem veicot viena veida aprēķinus, nerastos neatbilstības. Vispirms tiek veikta reizināšana un dalīšana, tad saskaitīšana un atņemšana, ja vienas secības darbības nāk viena pēc otras, tad tās tiek veiktas secībā no kreisās uz labo.

Ja, rakstot matemātisko izteiksmi, izmantojat iekavas, tad vispirms jāveic iekavās norādītās darbības. Iekavas palīdz mainīt secību, ja vispirms ir jāveic saskaitīšana vai atņemšana un pēc tam reizināšana un dalīšana.

Jebkuras iekavas var paplašināt, un tad izpildes secība atkal būs pareiza:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Labāk uzreiz piemēros:

• 1+2*3/4-5=?

Šajā gadījumā mēs vispirms veicam reizināšanu, jo tā atrodas pa kreisi no dalīšanas. Tad sadalīšana. Pēc tam pievienošana, jo atrašanās vieta ir vairāk kreisā, un beigās atņemšana.

• 1*3/(2+4)?

Vispirms veicam aprēķinu iekavās, tad reizināšanu un dalīšanu.

• 1+2*(3-1*5)=?

Vispirms veicam darbības iekavās: reizināšanu, tad atņemšanu. Tam seko reizināšana ārpus iekavām un saskaitīšana beigās.

Reizināšana un dalīšana ir pirmajā vietā. Ja piemērā ir iekavas, tad darbība iekavās tiek aplūkota sākumā. Lai kāda būtu zīme!

Šeit jums jāatceras daži pamatnoteikumi:

1. Ja piemērā nav iekavu un ir darbības - tikai saskaitīšana un atņemšana vai tikai reizināšana un dalīšana - šajā gadījumā visas darbības tiek veiktas secībā no kreisās puses uz labo.

Piemēram, 5+8-5=8 (visu darām secībā - pievieno 8 pret 5 un pēc tam atņem 5)

1. Ja piemērā ir jauktas darbības - saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana, tad vispirms veicam reizināšanas un dalīšanas darbības un pēc tam tikai saskaitīšanu vai atņemšanu.

Piemēram, 5+8*3=29 (vispirms reiziniet 8 ar 3 un pēc tam pievienojiet 5)

1. Ja piemērā ir iekavas, vispirms tiek veiktas iekavās norādītās darbības.

Piemēram, 3*(5+8)=39 (vispirms 5+8 un pēc tam reiziniet ar 3)

reizināt jebkurā secībā.

Metodoloģiski šī noteikuma mērķis ir sagatavot bērnu iepazīties ar skaitļu reizināšanas metodēm, kas beidzas ar nullēm, tāpēc viņi tiek iepazīstināti ar to tikai ceturtajā klasē. Patiesībā šī reizināšanas īpašība ļauj racionalizēt prāta aprēķinus gan 2., gan 3. klasē.

Piemēram:

Aprēķināt: (7 2) 5 = ...

Šajā gadījumā ir daudz vieglāk aprēķināt opciju

7 (2 5) = 7 10 - 70.

Aprēķināt: 12 (5 7) = ...

8 šajā gadījumā ir daudz vieglāk aprēķināt opciju (12-5)-7 = 60-7 = 420.

Aprēķinu metodes

1. Skaitļu, kas beidzas ar nulli, reizināšana un dalīšana: 20 3; 3 20; 60:3; 80:20

Aprēķinu tehnika šajā gadījumā ir saistīta ar viencipara skaitļu reizināšanu un dalīšanu, kas izsaka desmitu skaitu dotajos skaitļos. Piemēram:

20 3 =... 3 20 =... 60:3 = ...

2. dec. 3 = 20 3 = 60 b dec.: 3 = 2 dec.

20 - 3 = 60 3 20 = 60 60: 3 = 20

80:20 gadījumā var izmantot divas aprēķina metodes: iepriekšējos gadījumos izmantoto un koeficienta atlases metodi.

Piemēram: 80: 20 =... 80: 20 =...

8. decembris: 2. dec. = 4 vai 20 4 = 80

80: 20 = 4 80: 20 = 4

Pirmajā gadījumā tika izmantots paņēmiens divciparu desmitnieku attēlošanai ciparu vienību veidā, kas reducē aplūkojamo gadījumu līdz tabulas veidam (8:2). Otrajā gadījumā koeficienta skaitli atrod atlases ceļā un pārbauda, ​​reizinot. Otrajā gadījumā bērns var uzreiz neizvēlēties pareizo koeficienta numuru, kas nozīmē, ka pārbaude tiks veikta vairāk nekā vienu reizi.

2. Metode divciparu skaitļa reizināšanai ar viencipara skaitli: 23 4; 4-23

Reizinot divciparu skaitli ar viencipara skaitli, tiek atjauninātas šādas zināšanas un prasmes:

Formas 4 23 reizināšanas gadījumā vispirms tiek piemērota koeficientu pārkārtošana, un pēc tam tiek piemērota tā pati reizināšanas shēma, kas norādīta iepriekš.

3. Divciparu skaitļa dalīšanas paņēmiens ar viencipara skaitli: 48:3; 48:2

Dalot divciparu skaitli ar viencipara skaitli, tiek atjauninātas šādas zināšanas un prasmes:

4. Metode divciparu skaitļa dalīšanai ar divciparu skaitli: 68:17

Dalot divciparu skaitli ar divciparu skaitli, ir nepieciešamas šādas zināšanas un prasmes:

Pēdējās tehnikas grūtības ir tādas, ka bērns nevar uzreiz izvēlēties vajadzīgo koeficienta ciparu un veic vairākas atlasīto ciparu pārbaudes, kas prasa diezgan sarežģītus aprēķinus. Daudzi bērni pavada daudz laika, veicot šāda veida aprēķinus, jo viņi sāk ne tik daudz izvēlēties atbilstošo koeficienta skaitli, bet gan kārtot visus faktorus pēc kārtas, sākot ar diviem.

Lai atvieglotu aprēķinus, var izmantot divas metodes:

1) orientācija uz dividendes pēdējo ciparu;

2) noapaļošanas metode.

Pirmā tikšanās pieņem, ka, izvēloties iespējamo koeficienta ciparu, bērns vadās pēc reizināšanas tabulas zināšanām, uzreiz reizinot izvēlēto ciparu (skaitli) un dalītāja pēdējo ciparu.

Piemēram, 3-7 = 21. Skaitļa 68 pēdējais cipars ir 8, kas nozīmē, ka nav jēgas reizināt 17 ar 3, dalītāja pēdējais cipars joprojām nesakrīt. Izmēģināsim skaitli 4 koeficientā - reiziniet ar 7 4 = 28. Pēdējais cipars atbilst, tāpēc ir jēga atrast reizinājumu 17 4.

Otrā tikšanās ietver dalītāja noapaļošanu un koeficienta cipara izvēli, pamatojoties uz noapaļoto dalītāju.

Piemēram, 68:17, dalītājs 17 tiek noapaļots līdz 20. Aptuvenais koeficients 3 dod, ja ir atzīmēts, 20 3 = 60< 68, значит имеет смысл сразу проверять в качестве цифры частного 4:17 4 = 68.

Šīs metodes ļauj samazināt pūles un laika izmaksas, veicot šāda veida aprēķinus, taču tām ir nepieciešamas labas reizināšanas tabulas zināšanas un spēja noapaļot skaitļus.

Veseli skaitļi, kas beidzas ar 0,1,2,3,4, tiek noapaļoti līdz tuvākajam veselajam desmit, atmetot šos ciparus.

Piemēram, skaitļi 12, 13, 14 ir jānoapaļo līdz 10. Skaitļi 62, 63, 64 ir jānoapaļo līdz 60.

Veseli skaitļi, kas beidzas ar 5, 6, 7, 8, 9, tiek noapaļoti līdz tuvākajam veselajam desmitam.

Piemēram, skaitļi 15,16,17,18,19 ir noapaļoti līdz 20. Skaitļi 45,47, 49 ir ​​noapaļoti līdz 50.

Operāciju secība izteiksmēs, kas satur reizināšanu un dalīšanu

Darbību secības noteikumi nosaka galvenos izteiksmju raksturlielumus, kas jāizmanto, aprēķinot to vērtības.

Pirmie noteikumi, kas nosaka darbību secību aritmētiskajās izteiksmēs, noteica darbību secību izteiksmēs, kas satur saskaitīšanas un atņemšanas darbības:

1. Izteiksmēs bez iekavām, kas satur tikai saskaitīšanas un atņemšanas darbības, darbības tiek veiktas to pierakstīšanas secībā: no kreisās uz labo.

2. Vispirms tiek veiktas darbības iekavās.

3. Ja izteiksmē ir tikai saskaitīšanas darbības, tad divus blakus esošus vārdus vienmēr var aizstāt ar to summu (saskaitīšanas kombinatīva īpašība).

klasē tiek pētīti jauni noteikumi darbību veikšanas secībai izteiksmēs, kas satur reizināšanu un dalīšanu:

4. Izteiksmēs bez iekavām, kas satur tikai reizināšanu un dalīšanu, darbības tiek veiktas to pierakstīšanas secībā: no kreisās puses uz labo.

5. Izteiksmēs bez iekavām reizināšanu un dalīšanu veic pirms saskaitīšanas un atņemšanas.

Šajā gadījumā tiek saglabāts iestatījums vispirms veikt iekavās norādīto darbību. Iespējamie šī iestatījuma pārkāpšanas gadījumi tika apspriesti iepriekš.

Darbību kārtības noteikumi ir vispārīgi noteikumi matemātisko izteiksmju (piemēru) vērtību aprēķināšanai, kas tiek uzturēti visu matemātikas mācību laiku skolā. Šajā sakarā bērnā skaidras izpratnes veidošana par darbību veikšanas algoritmu ir svarīgs secīgs uzdevums matemātikas mācīšanai sākumskolā. Problēma ir tāda, ka darbību secības noteikumi ir diezgan mainīgi un ne vienmēr ir skaidri noteikti.

Piemēram, izteiksmē 48-3 + 7 + 8 izteiksmei bez iekavām, kas satur saskaitīšanas un atņemšanas darbības, parasti jāpiemēro 1. noteikums. Tajā pašā laikā kā iespēju racionāliem aprēķiniem varat izmantot paņēmienu, kā aizstāt daļas 7 + 8 summu, jo pēc skaitļa 3 atņemšanas no 48 jūs saņemat 45, kam ir ērti pievienot 15.

Taču šāda izteiciena analīze pamatklasēs netiek sniegta, jo pastāv bažas, ka, nepietiekami saprotot šo pieeju, bērns to izmantos formas 72 - 9 - 3 + 6 gadījumos. Gadījumā, ja izteiksmes 3 + 6 aizstāšana ar summu nav iespējama, tas novedīs pie nepareizas atbildes.

Liela mainīgums visas noteikumu grupas un noteikumu variantu piemērošanā darbību secības noteikšanā prasa ievērojamu domāšanas elastību, labu matemātisku darbību nozīmes izpratni, garīgo darbību secību, matemātisko “sajūtu” un intuīciju ( matemātiķi to sauc par "skaitļu sajūtu"). Patiesībā ir daudz vieglāk iemācīt bērnam stingri ievērot skaidri noteiktu procedūru, lai analizētu skaitlisko izteiksmi no pazīmju viedokļa, uz kurām ir vērsts katrs noteikums.

Nosakot darbības virzienu, domājiet šādi:

1) Ja ir iekavas, es vispirms veicu iekavās rakstīto darbību.

2) Veicu reizināšanu un dalīšanu secībā.

3) Es veicu saskaitīšanu un atņemšanu secībā.

Šis algoritms diezgan nepārprotami nosaka darbību secību, lai gan ar nelielām izmaiņām.

Šajās izteiksmēs darbības secību unikāli nosaka algoritms, un tā ir vienīgā iespējamā. Sniegsim citus piemērus

Pēc reizināšanas un dalīšanas šajā piemērā varat nekavējoties pievienot 6 līdz 54 un atņemt 9 no 18 un pēc tam pievienot rezultātus. Tehniski tas būtu daudz vienkāršāk nekā algoritma noteiktais ceļš, piemērā ir iespējama sākotnēji cita darbību secība:

Tādējādi jautājums par spēju noteikt darbību secību izteicienos pamatskolā noteiktā veidā ir pretrunā ar nepieciešamību mācīt bērnam racionālu aprēķinu metodes.

Piemēram, šajā gadījumā darbību secību absolūti nepārprotami nosaka algoritms, un tai ir nepieciešama virkne sarežģītu garīgu aprēķinu ar pārejām caur cipariem: 42 - 7 un 35 + 8.

Ja pēc dalīšanas 21:3 izpildīsit saskaitīšanu 42 + 8 = 50 un pēc tam atņemat 50 - 7 = 43, kas tehniski ir daudz vieglāk, atbilde būs tāda pati. Šis aprēķina ceļš ir pretrunā ar mācību grāmatā norādīto iestatījumu

Un, aprēķinot izteiksmju vērtības, darbības tiek veiktas noteiktā secībā, citiem vārdiem sakot, jums jāievēro darbību secība.

Šajā rakstā mēs izdomāsim, kuras darbības jāveic vispirms un kuras pēc tām. Sāksim ar vienkāršākajiem gadījumiem, kad izteiksmē ir tikai skaitļi vai mainīgie, kas savienoti ar plusa, mīnusa, reizināšanas un dalīšanas zīmēm. Tālāk mēs paskaidrosim, kāda darbību secība jāievēro izteicienos ar iekavām. Visbeidzot, apskatīsim secību, kādā tiek veiktas darbības izteiksmēs, kas satur pilnvaras, saknes un citas funkcijas.

Lapas navigācija.

Vispirms reizināšana un dalīšana, tad saskaitīšana un atņemšana

Skola sniedz sekojošo noteikums, kas nosaka secību, kādā tiek veiktas darbības izteiksmēs bez iekavām:

• darbības tiek veiktas secībā no kreisās uz labo,
• Turklāt vispirms tiek veikta reizināšana un dalīšana, bet pēc tam saskaitīšana un atņemšana.

Norādītais noteikums tiek uztverts diezgan dabiski. Darbību veikšana secībā no kreisās puses uz labo ir izskaidrojama ar to, ka mums ir ierasts veikt ierakstus no kreisās uz labo pusi. Un tas, ka reizināšana un dalīšana tiek veikta pirms saskaitīšanas un atņemšanas, ir izskaidrojams ar šo darbību nozīmi.

Apskatīsim dažus šī noteikuma piemērošanas piemērus. Piemēriem ņemsim visvienkāršākās skaitliskās izteiksmes, lai nenovirzītos no aprēķiniem, bet lai koncentrētos īpaši uz darbību secību.

Piemērs.

Izpildiet soļus 7-3+6.

Risinājums.

Sākotnējā izteiksmē nav iekavas, kā arī nav reizināšanas vai dalīšanas. Tāpēc mums ir jāveic visas darbības secībā no kreisās puses uz labo, tas ir, vispirms no 7 atņemam 3, iegūstam 4, pēc kura iegūtajai starpībai 4 pievienojam 6, iegūstam 10.

Īsumā risinājumu var uzrakstīt šādi: 7−3+6=4+6=10.

Atbilde:

7−3+6=10 .

Piemērs.

Norādiet darbību secību izteiksmē 6:2·8:3.

Risinājums.

Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, pievērsīsimies noteikumam, kas norāda darbību izpildes secību izteiksmēs bez iekavām. Sākotnējā izteiksmē ir tikai reizināšanas un dalīšanas darbības, un saskaņā ar likumu tās jāveic secībā no kreisās uz labo pusi.

Atbilde:

Vispirms Mēs dalām 6 ar 2, reiziniet šo koeficientu ar 8 un visbeidzot dalām rezultātu ar 3.

Piemērs.

Aprēķināt izteiksmes vērtību 17−5·6:3−2+4:2.

Risinājums.

Vispirms noteiksim, kādā secībā ir jāveic darbības sākotnējā izteiksmē. Tas satur gan reizināšanu un dalīšanu, gan saskaitīšanu un atņemšanu. Pirmkārt, no kreisās puses uz labo, jums jāveic reizināšana un dalīšana. Tātad mēs reizinām 5 ar 6, mēs iegūstam 30, mēs dalām šo skaitli ar 3, mēs iegūstam 10. Tagad mēs sadalām 4 ar 2, mēs iegūstam 2. Atrasto vērtību 10 aizstājam sākotnējā izteiksmē 5·6:3 vietā, bet 4:2 vietā - vērtību 2, mums ir 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Iegūtā izteiksme vairs nesatur reizināšanu un dalīšanu, tāpēc atliek veikt atlikušās darbības secībā no kreisās puses uz labo: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Atbilde:

17−5·6:3−2+4:2=7.

Sākumā, lai, aprēķinot izteiksmes vērtību, nesajauktu darbību veikšanas secību, virs darbības zīmēm ir ērti novietot skaitļus, kas atbilst to izpildes secībai. Iepriekšējā piemērā tas izskatītos šādi: .

Strādājot ar burtu izteiksmēm, jāievēro tāda pati darbību secība – vispirms reizināšana un dalīšana, tad saskaitīšana un atņemšana.

Pirmā un otrā posma darbības

Dažās matemātikas mācību grāmatās aritmētiskās darbības ir sadalītas pirmā un otrā posma darbībās. Noskaidrosim šo.

Definīcija.

Pirmā posma darbības sauc saskaitīšanu un atņemšanu, kā arī reizināšanu un dalīšanu otrā posma darbības.

Šajos terminos iepriekšējās rindkopas noteikums, kas nosaka darbību izpildes secību, tiks rakstīts šādi: ja izteiksmē nav iekavas, tad secībā no kreisās uz labo, vispirms otrā posma darbības ( reizināšana un dalīšana), tad tiek veiktas pirmā posma darbības (saskaitīšana un atņemšana).

Aritmētisko darbību secība izteiksmēs ar iekavām

Izteiksmēs bieži ir iekavas, lai norādītu secību, kādā jāveic darbības. Šajā gadījumā noteikums, kas nosaka darbību izpildes secību izteiksmēs ar iekavām, tiek formulēts šādi: vispirms tiek veiktas darbības iekavās, savukārt reizināšanu un dalīšanu veic arī secībā no kreisās puses uz labo, pēc tam saskaitīšanu un atņemšanu.

Tātad izteiksmes iekavās tiek uzskatītas par sākotnējās izteiksmes sastāvdaļām, un tās saglabā mums jau zināmo darbību secību. Lai iegūtu lielāku skaidrību, aplūkosim piemēru risinājumus.

Piemērs.

Izpildiet šīs darbības 5+(7–2·3)·(6–4):2.

Risinājums.

Izteiksme satur iekavas, tāpēc vispirms veiksim darbības šajās iekavās ietvertajās izteiksmēs. Sāksim ar izteiksmi 7−2·3. Tajā vispirms jāveic reizināšana un tikai tad atņemšana, mums ir 7−2·3=7−6=1. Pārejam pie otrās izteiksmes iekavās 6–4. Šeit ir tikai viena darbība - atņemšana, mēs to veicam 6−4 = 2.

Iegūtās vērtības aizstājam sākotnējā izteiksmē: 5+(7-2·3)·(6-4):2=5+1·2:2. Iegūtajā izteiksmē vispirms veicam reizināšanu un dalīšanu no kreisās puses uz labo, tad atņemšanu, iegūstam 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. Šajā brīdī visas darbības ir pabeigtas, mēs ievērojām šādu to izpildes secību: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Pierakstīsim īsu risinājumu: 5+(7–2·3)·(6–4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Atbilde:

5+(7-2·3)·(6-4):2=6.

Gadās, ka izteiksmē ir iekavas iekavās. No tā nav jābaidās; jums vienkārši ir konsekventi jāpiemēro noteiktais noteikums darbību veikšanai izteiksmēs ar iekavām. Parādīsim piemēra risinājumu.

Piemērs.

Veiciet darbības izteiksmē 4+(3+1+4·(2+3)) .

Risinājums.

Šī ir izteiksme ar iekavām, kas nozīmē, ka darbību izpildei jāsākas ar izteiksmi iekavās, tas ir, ar 3+1+4·(2+3) . Šajā izteiksmē ir arī iekavas, tāpēc vispirms ir jāveic tajās norādītās darbības. Darīsim tā: 2+3=5. Aizvietojot atrasto vērtību, iegūstam 3+1+4·5. Šajā izteiksmē mēs vispirms veicam reizināšanu, pēc tam saskaitīšanu, mums ir 3+1+4·5=3+1+20=24. Sākotnējā vērtība pēc šīs vērtības aizstāšanas iegūst formu 4+24, un atliek tikai pabeigt darbības: 4+24=28.

Atbilde:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

Parasti, ja izteiksmē ir iekavas iekavās, bieži ir ērti veikt darbības, sākot ar iekšējām iekavām un pārejot uz ārējām.

Piemēram, pieņemsim, ka mums ir jāveic darbības izteiksmē (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Vispirms veicam darbības iekšējās iekavās, jo 4−6:2=4−3=1, tad pēc tam sākotnējā izteiksme būs formā (4+(4+1)−1)−1. Atkal veicam darbību iekšējās iekavās, jo 4+1=5, mēs nonākam pie šādas izteiksmes (4+5−1)−1. Atkal veicam darbības iekavās: 4+5−1=8, un nonākam pie starpības 8−1, kas ir vienāda ar 7.

Alfa apzīmē reālo skaitli. Vienādības zīme iepriekš minētajās izteiksmēs norāda, ka, ja bezgalībai pievienosi skaitli vai bezgalību, nekas nemainīsies, rezultāts būs tā pati bezgalība. Ja par piemēru ņemam bezgalīgo naturālo skaitļu kopu, tad aplūkotos piemērus var attēlot šādā formā:

Lai skaidri pierādītu, ka viņiem ir taisnība, matemātiķi nāca klajā ar daudzām dažādām metodēm. Personīgi es uz visām šīm metodēm skatos kā uz šamaņiem, kas dejo ar tamburīnām. Būtībā tie visi ir saistīti ar faktu, ka vai nu dažas telpas ir neapdzīvotas un ievācas jauni viesi, vai arī daži apmeklētāji tiek izmesti gaitenī, lai atbrīvotu vietu viesiem (ļoti cilvēciski). Es izklāstīju savu skatījumu uz šādiem lēmumiem kā fantāzijas stāstu par Blondīni. Uz ko balstās mans arguments? Bezgalīgi liela apmeklētāju skaita pārvietošana prasa bezgalīgi daudz laika. Pēc tam, kad esam atbrīvojuši pirmo istabu viesim, kāds no apmeklētājiem vienmēr staigās pa gaiteni no savas istabas uz nākamo līdz pat laika beigām. Protams, laika faktoru var muļķīgi ignorēt, bet tas būs kategorijā "neviens likums nav rakstīts muļķiem". Tas viss ir atkarīgs no tā, ko mēs darām: pielāgojam realitāti matemātiskām teorijām vai otrādi.

Kas ir "bezgalīga viesnīca"? Bezgalīga viesnīca ir viesnīca, kurā vienmēr ir neierobežots skaits tukšu gultu neatkarīgi no aizņemto numuru skaita. Ja visas telpas bezgalīgajā "apmeklētāju" koridorā ir aizņemtas, ir vēl viens bezgalīgs koridors ar "viesu" istabām. Tādu koridoru būs bezgalīgi daudz. Turklāt “bezgalīgajai viesnīcai” ir bezgalīgs stāvu skaits bezgalīgā daudzumā ēku uz bezgalīgi daudzām planētām bezgalīgā skaitā visumu, ko radījis bezgalīgs skaits dievu. Matemātiķi nespēj distancēties no banālām ikdienas problēmām: vienmēr ir tikai viens Dievs-Allāhs-Buda, ir tikai viena viesnīca, ir tikai viens koridors. Tāpēc matemātiķi mēģina žonglēt ar viesnīcu numuru sērijas numuriem, pārliecinot mūs, ka ir iespējams "iegrūst neiespējamo".

Es jums parādīšu sava argumentācijas loģiku, izmantojot bezgalīgas naturālu skaitļu kopas piemēru. Vispirms jums jāatbild uz ļoti vienkāršu jautājumu: cik naturālo skaitļu kopu ir - viens vai vairāki? Uz šo jautājumu nav pareizas atbildes, jo mēs paši izgudrojām skaitļus; skaitļi dabā neeksistē. Jā, Daba lieliski prot skaitīt, taču šim nolūkam viņa izmanto citus matemātiskos rīkus, kas mums nav pazīstami. Es jums pastāstīšu, ko Daba domā citreiz. Tā kā mēs izdomājām skaitļus, mēs paši izlemsim, cik naturālo skaitļu kopu ir. Apsvērsim abus variantus, kā jau īstiem zinātniekiem pienākas.

Pirmais variants. “Lai mums tiek dota” viena naturālo skaitļu kopa, kas mierīgi atrodas plauktā. Mēs ņemam šo komplektu no plaukta. Tas tā, citu naturālu skaitļu plauktā nav palicis un nav kur ņemt. Mēs nevaram to pievienot šim komplektam, jo ​​mums tas jau ir. Ko darīt, ja jūs patiešām vēlaties? Nekādu problēmu. Varam paņemt vienu no jau paņemtā komplekta un atdot plauktā. Pēc tam varam paņemt vienu no plaukta un pievienot tam, kas mums ir palicis. Rezultātā mēs atkal iegūsim bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Visas mūsu veiktās manipulācijas varat pierakstīt šādi:

Darbības pierakstīju algebriskajā un kopu teorijas pierakstā, detalizēti uzskaitot kopas elementus. Apakšraksts norāda, ka mums ir viena un vienīgā naturālo skaitļu kopa. Izrādās, ka naturālo skaitļu kopa paliks nemainīga tikai tad, ja no tās atņem vienu un saskaita to pašu vienību.

Otrais variants. Mūsu plauktā ir daudz dažādu bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Uzsveru - ATŠĶIRĪGI, neskatoties uz to, ka praktiski nav atšķirami. Ņemsim vienu no šiem komplektiem. Tad mēs ņemam vienu no citas naturālo skaitļu kopas un pievienojam jau ņemtajai kopai. Mēs pat varam pievienot divas naturālo skaitļu kopas. Tas ir tas, ko mēs iegūstam:

Apakšraksti "viens" un "divi" norāda, ka šie elementi piederēja dažādām kopām. Jā, ja bezgalīgai kopai pievienosit vienu, rezultāts būs arī bezgalīga kopa, taču tā nebūs tāda pati kā sākotnējā kopa. Ja vienai bezgalīgai kopai pievienojat vēl vienu bezgalīgu kopu, rezultāts ir jauna bezgalīga kopa, kas sastāv no pirmo divu kopu elementiem.

Naturālo skaitļu kopa tiek izmantota skaitīšanai tāpat kā lineāls mērīšanai. Tagad iedomājieties, ka lineālam pievienojāt vienu centimetru. Šī būs cita līnija, kas nav vienāda ar sākotnējo.

Jūs varat pieņemt vai nepieņemt manu argumentāciju - tā ir jūsu pašu darīšana. Bet, ja jūs kādreiz saskaraties ar matemātiskām problēmām, padomājiet par to, vai ejat nepareizas spriešanas takas, ko staigājušas matemātiķu paaudzes. Galu galā matemātikas studijas, pirmkārt, veido mūsos stabilu domāšanas stereotipu un tikai pēc tam papildina mūsu garīgās spējas (vai, gluži pretēji, atņem mums brīvdomību).

Svētdien, 2019. gada 4. augustā

Es pabeidzu pēcskriptu rakstam par un ieraudzīju šo brīnišķīgo tekstu Vikipēdijā:

Mēs lasām: "... bagātajai Babilonas matemātikas teorētiskajai bāzei nebija holistiska rakstura, un tā tika samazināta līdz atšķirīgu paņēmienu kopumam, kam nebija kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes."

Oho! Cik mēs esam gudri un cik labi spējam saskatīt citu trūkumus. Vai mums ir grūti aplūkot mūsdienu matemātiku tādā pašā kontekstā? Nedaudz pārfrāzējot iepriekš minēto tekstu, es personīgi saņēmu sekojošo:

Mūsdienu matemātikas bagātīgā teorētiskā bāze pēc būtības nav holistiska, un tā ir reducēta uz atšķirīgu sadaļu kopumu, kam nav kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes.

Es neiešu tālu, lai apstiprinātu savus vārdus – tai ir valoda un noteikumi, kas atšķiras no daudzu citu matemātikas nozaru valodas un konvencijām. Vieniem un tiem pašiem nosaukumiem dažādās matemātikas nozarēs var būt dažādas nozīmes. Es vēlos veltīt veselu virkni publikāciju mūsdienu matemātikas acīmredzamākajām kļūdām. Uz drīzu redzēšanos.

Sestdien, 2019. gada 3. augustā

Kā kopu sadalīt apakškopās? Lai to izdarītu, jums jāievada jauna mērvienība, kas atrodas dažos atlasītās kopas elementos. Apskatīsim piemēru.

Lai mums ir daudz A kas sastāv no četriem cilvēkiem. Šī kopa veidota uz “cilvēku” bāzes. Apzīmēsim šīs kopas elementus ar burtu A, apakšindekss ar numuru norādīs katras personas sērijas numuru šajā komplektā. Ieviesīsim jaunu mērvienību "dzimums" un apzīmēsim to ar burtu b. Tā kā seksuālās īpašības ir raksturīgas visiem cilvēkiem, mēs reizinām katru komplekta elementu A pamatojoties uz dzimumu b. Ievērojiet, ka mūsu “cilvēku” kopums tagad ir kļuvis par “cilvēku ar dzimuma īpašībām” kopu. Pēc tam mēs varam sadalīt seksuālās īpašības vīriešiem bm un sieviešu bw seksuālās īpašības. Tagad mēs varam izmantot matemātisko filtru: mēs izvēlamies vienu no šīm seksuālajām pazīmēm neatkarīgi no tā, kura - vīrietis vai sieviete. Ja cilvēkam ir, tad reizinām ar vienu, ja tādas zīmes nav, tad ar nulli. Un tad mēs izmantojam parasto skolas matemātiku. Paskaties, kas notika.

Pēc reizināšanas, samazināšanas un pārkārtošanas mēs nonācām pie divām apakškopām: vīriešu apakškopas Bm un sieviešu apakškopa Bw. Matemātiķi spriež aptuveni tādā pašā veidā, kad viņi praksē pielieto kopu teoriju. Bet viņi mums nestāsta detaļas, bet sniedz mums gatavo rezultātu - "daudzi cilvēki sastāv no vīriešu apakškopas un sieviešu apakškopas." Protams, jums var rasties jautājums: cik pareizi matemātika ir izmantota iepriekš aprakstītajās transformācijās? Es uzdrošinos apliecināt, ka būtībā viss tika izdarīts pareizi, pietiek zināt aritmētikas, Būla algebras un citu matemātikas nozaru matemātisko pamatu. Kas tas ir? Citreiz par to pastāstīšu.

Kas attiecas uz superkopām, varat apvienot divas kopas vienā superkopā, atlasot šo divu kopu elementos esošo mērvienību.

Kā redzat, mērvienības un parastā matemātika padara kopu teoriju par pagātnes reliktu. Pazīme, ka ar kopu teoriju viss nav kārtībā, ir tas, ka matemātiķi ir nākuši klajā ar savu valodu un apzīmējumu kopu teorijai. Matemātiķi rīkojās kā kādreiz šamaņi. Tikai šamaņi zina, kā “pareizi” pielietot savas “zināšanas”. Viņi mums māca šīs "zināšanas".

Nobeigumā es vēlos jums parādīt, kā matemātiķi manipulē .

Pirmdiena, 2019. gada 7. janvāris

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Zenons no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir “Ahileja un bruņurupuča” aporija. Lūk, kā tas izklausās:

Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs noskrien simts soļus, bruņurupucis rāpo vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja Zenona aporiju. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās līdz šai dienai, zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas ; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, no kā sastāv maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no kvantitātes uz . Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis pastāvīgus. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, pateicoties domāšanas inercei, abpusējai vērtībai piemērojam nemainīgas laika vienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās pēc laika palēnināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.

Ja pagriežam savu ierasto loģiku otrādi, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu “bezgalība”, tad būtu pareizi teikt: “Ahillejs bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci”.

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nepārslēdzieties uz abpusējām vienībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma neatvairāmību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai “Ahillejs un bruņurupucis”. Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bulta, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu, vai automašīna pārvietojas, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču jūs nevarat noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienā brīdī uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, bet no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs ). Īpaši gribu pievērst uzmanību tam, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajag jaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.

Trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs

Es jums jau teicu, ar kuras palīdzību šamaņi mēģina sakārtot ““ realitāti. Kā viņi to dara? Kā patiesībā notiek kopas veidošanās?

Sīkāk aplūkosim kopas definīciju: "dažādu elementu kolekcija, kas iecerēta kā vienots veselums". Tagad jūtiet atšķirību starp divām frāzēm: "iedomājams kopumā" un "iedomājams kā veselums". Pirmā frāze ir gala rezultāts, komplekts. Otrā frāze ir iepriekšēja sagatavošanās pūļa veidošanai. Šajā posmā realitāte tiek sadalīta atsevišķos elementos (“veselumā”), no kuriem tad veidosies daudzums (“vienotais veselums”). Tajā pašā laikā tiek rūpīgi uzraudzīts faktors, kas ļauj apvienot “veselumu” “vienā veselumā”, pretējā gadījumā šamaņiem tas neizdosies. Galu galā šamaņi jau iepriekš precīzi zina, kādu komplektu viņi vēlas mums parādīt.

Es jums parādīšu procesu ar piemēru. Mēs izvēlamies “sarkano cietvielu pūtītē” - tas ir mūsu “viss”. Tajā pašā laikā mēs redzam, ka šīs lietas ir ar loku, un ir bez loka. Pēc tam mēs atlasām daļu no “veseluma” un veidojam komplektu “ar loku”. Šādi šamaņi iegūst ēdienu, saistot savu kopu teoriju ar realitāti.

Tagad izdarīsim nelielu triku. Ņemsim “cieto ar pūtīti ar banti” un apvienosim šos “veselumus” pēc krāsas, izvēloties sarkanos elementus. Mēs saņēmām daudz "sarkano". Tagad pēdējais jautājums: vai iegūtie komplekti “ar loku” un “sarkanais” ir viens un tas pats komplekts vai divi dažādi komplekti? Atbildi zina tikai šamaņi. Precīzāk, paši neko nezina, bet kā saka, tā būs.

Šis vienkāršais piemērs parāda, ka kopu teorija ir pilnīgi bezjēdzīga, kad runa ir par realitāti. Kāds ir noslēpums? Mēs izveidojām komplektu "sarkans ciets ar pūtīti un loku". Veidošana notika četrās dažādās mērvienībās: krāsa (sarkana), stiprība (ciets), raupjums (pūtīte), dekorēšana (ar banti). Tikai mērvienību kopums ļauj adekvāti aprakstīt reālus objektus matemātikas valodā. Tas izskatās šādi.

Burts "a" ar dažādiem indeksiem apzīmē dažādas mērvienības. Mērvienības, ar kurām sākotnējā posmā tiek atšķirts “veselais”, ir izceltas iekavās. Mērvienība, pēc kuras tiek veidota kopa, tiek izņemta no iekavām. Pēdējā rindā redzams gala rezultāts – komplekta elements. Kā redzat, ja kopas veidošanai izmantojam mērvienības, tad rezultāts nav atkarīgs no mūsu darbību secības. Un tā ir matemātika, nevis šamaņu dejas ar tamburīnām. Šamaņi var “intuitīvi” nonākt pie tāda paša rezultāta, apgalvojot, ka tas ir “acīmredzams”, jo mērvienības neietilpst viņu “zinātniskajā” arsenālā.

Izmantojot mērvienības, ir ļoti viegli sadalīt vienu komplektu vai apvienot vairākas kopas vienā supersetā. Apskatīsim tuvāk šī procesa algebru.

Sestdien, 2018. gada 30. jūnijā

Ja matemātiķi nevar reducēt jēdzienu uz citiem jēdzieniem, tad viņi neko nesaprot no matemātikas. Es atbildu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Atbilde ir ļoti vienkārša: skaitļi un mērvienības.

Mūsdienās viss, ko mēs neņemam, pieder kādai kopai (kā mums apliecina matemātiķi). Starp citu, vai jūs spogulī uz pieres redzējāt sarakstu ar tiem komplektiem, kuriem piederat? Un es tādu sarakstu neesmu redzējis. Teikšu vēl - ne vienai lietai patiesībā ir birka ar komplektu sarakstu, pie kuriem šī lieta pieder. Visi komplekti ir šamaņu izgudrojumi. Kā viņi to dara? Ieskatīsimies nedaudz dziļāk vēsturē un redzēsim, kā izskatījās kopas elementi, pirms matemātiķu šamaņi tos ņēma savās kopās.

Sen, kad neviens nebija dzirdējis par matemātiku un tikai kokiem un Saturnam bija gredzeni, fiziskajos laukos klīda milzīgi savvaļas kopu elementu bari (galu galā šamaņi vēl nebija izgudrojuši matemātiskos laukus). Viņi izskatījās apmēram šādi.

Jā, nebrīnieties, no matemātikas viedokļa visi komplektu elementi visvairāk līdzinās jūras ežiem - no viena punkta, piemēram, adatas, mērvienības izceļas visos virzienos. Tiem, kas atgādinu, ka jebkuru mērvienību var ģeometriski attēlot kā patvaļīga garuma segmentu un skaitli kā punktu. Ģeometriski jebkuru daudzumu var attēlot kā segmentu kopumu, kas no viena punkta izceļas dažādos virzienos. Šis punkts ir nulles punkts. Es nezīmēšu šo ģeometriskās mākslas darbu (bez iedvesmas), bet jūs to varat viegli iedomāties.

Kādas mērvienības veido kopas elementu? Visādas lietas, kas raksturo doto elementu no dažādiem skatu punktiem. Tās ir senas mērvienības, kuras izmantoja mūsu senči un par kurām visi jau sen ir aizmirsuši. Šīs ir mūsdienu mērvienības, kuras mēs izmantojam tagad. Tās ir arī mums nezināmas mērvienības, kuras izdomās mūsu pēcteči un kuras izmantos, lai aprakstītu realitāti.

Mēs esam sakārtojuši ģeometriju – piedāvātajam komplekta elementu modelim ir skaidrs ģeometriskais attēlojums. Kā ar fiziku? Mērvienības ir tieša saikne starp matemātiku un fiziku. Ja šamaņi neatzīst mērvienības kā pilnvērtīgu matemātisko teoriju elementu, tā ir viņu problēma. Es personīgi nevaru iedomāties reālo matemātikas zinātni bez mērvienībām. Tāpēc jau stāsta par kopu teoriju sākumā es runāju par to, ka tā ir akmens laikmetā.

Bet pāriesim uz interesantāko - kopu elementu algebru. Algebriski jebkurš kopas elements ir dažādu lielumu reizinājums (reizināšanas rezultāts) Tas izskatās šādi.

Es apzināti neizmantoju kopu teorijas konvencijas, jo mēs aplūkojam kopas elementu tās dabiskajā vidē pirms kopu teorijas rašanās. Katrs burtu pāris iekavās apzīmē atsevišķu daudzumu, kas sastāv no cipara, kas apzīmēts ar burtu " n" un mērvienība, kas apzīmēta ar burtu " a". Indeksi blakus burtiem norāda, ka skaitļi un mērvienības ir atšķirīgi. Viens komplekta elements var sastāvēt no bezgala daudzu daudzumu (cik mums un mūsu pēcnācējiem pietiek iztēles). Katra iekava ir ģeometriski attēlota kā atsevišķs segments.Piemērā ar jūras ežu viens kronšteins ir viena adata.

Kā šamaņi veido komplektus no dažādiem elementiem? Faktiski pēc mērvienībām vai skaitļiem. Neko nesaprotot no matemātikas, viņi paņem dažādus jūras ežus un rūpīgi tos apskata, meklējot to vienīgo adatu, pa kuru tie veido kopumu. Ja šāda adata ir, tad šis elements pieder komplektam, ja tādas nav, tad šis elements nav no šī komplekta. Šamaņi mums stāsta fabulas par domāšanas procesiem un kopumu.

Kā jūs, iespējams, uzminējāt, viens un tas pats elements var piederēt ļoti dažādām kopām. Tālāk es jums parādīšu, kā veidojas kopas, apakškopas un citas šamaniskas nejēdzības. Kā redzat, “kopā nevar būt divi identiski elementi”, bet, ja komplektā ir identiski elementi, šādu kopu sauc par “multisetu”. Saprātīgas būtnes nekad nesapratīs tik absurdu loģiku. Tas ir runājošu papagaiļu un apmācītu pērtiķu līmenis, kuriem nav saprāta no vārda “pilnīgi”. Matemātiķi darbojas kā parasti pasniedzēji, sludinot mums savas absurdās idejas.

Kādreiz tiltu būvējušie inženieri, testējot tiltu, atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, viduvējais inženieris nomira zem viņa radītajām drupām. Ja tilts varēja izturēt slodzi, talantīgais inženieris uzbūvēja citus tiltus.

Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "piedomājiet pie manis, es esmu mājā" vai, pareizāk sakot, "matemātika pēta abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas tos nesaraujami saista ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Pielietosim matemātisko kopu teoriju pašiem matemātiķiem.

Ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, izsniedzam algas. Tātad matemātiķis nāk pie mums par savu naudu. Mēs viņam noskaitām visu summu un izklājam uz sava galda dažādās kaudzēs, kurās ievietojam viena un tā paša nomināla banknotes. Pēc tam mēs paņemam vienu rēķinu no katras kaudzes un dodam matemātiķim viņa "matemātisko algas kopu". Paskaidrosim matemātiķim, ka atlikušos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad pierādīs, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.

Pirmkārt, derēs deputātu loģika: “Uz citiem to var attiecināt, bet uz mani nē!” Tad viņi sāks mūs pārliecināt, ka viena un tā paša nomināla vekseļiem ir dažādi vekseļu numuri, kas nozīmē, ka tos nevar uzskatīt par vienādiem elementiem. Labi, skaitīsim algas monētās – uz monētām nav skaitļu. Šeit matemātiķis sāks izmisīgi atcerēties fiziku: dažādās monētās ir atšķirīgs netīrumu daudzums, kristāla struktūra un atomu izvietojums katrai monētai ir unikāls...

Un tagad man ir interesantākais jautājums: kur ir tā robeža, aiz kuras multikopas elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Tāda līnija neeksistē – visu izlemj šamaņi, zinātne te pat ne tuvu nemelo.

Apskatīt šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar vienādu laukuma laukumu. Lauku platības ir vienādas – tas nozīmē, ka mums ir multikopa. Bet, ja paskatāmies uz šo pašu stadionu nosaukumiem, sanāk daudz, jo nosaukumi ir dažādi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa ir gan kopa, gan multikopa. Kura ir pareiza? Un te matemātiķis-šamanis-sharpis izvelk no piedurknes trumpju dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par setu, vai par multisetu. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.

Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, saistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez "iedomājams kā viens veselums" vai "nav iedomājams kā vienots veselums".

Strādājot ar dažādām izteiksmēm, kas ietver ciparus, burtus un mainīgos, mums ir jāveic liels skaits aritmētisku darbību. Veicot reklāmguvumu vai aprēķinot vērtību, ir ļoti svarīgi ievērot pareizo šo darbību secību. Citiem vārdiem sakot, aritmētiskajām operācijām ir sava īpaša izpildes secība.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šajā rakstā mēs jums pateiksim, kuras darbības jāveic vispirms un kuras pēc tam. Vispirms apskatīsim dažas vienkāršas izteiksmes, kurās ir tikai mainīgie vai skaitliskās vērtības, kā arī dalīšanas, reizināšanas, atņemšanas un saskaitīšanas zīmes. Tad ņemsim piemērus ar iekavām un apsvērsim, kādā secībā tie jāaprēķina. Trešajā daļā sniegsim nepieciešamo pārveidojumu un aprēķinu secību tajos piemēros, kas ietver sakņu, pakāpju un citu funkciju zīmes.

1. definīcija

Izteicieniem bez iekavām darbību secība tiek noteikta nepārprotami:

1. Visas darbības tiek veiktas no kreisās uz labo pusi.
2. Vispirms veicam dalīšanu un reizināšanu, bet pēc tam atņemšanu un saskaitīšanu.

Šo noteikumu nozīmi ir viegli saprast. Tradicionālā rakstīšanas secība no kreisās uz labo pusi nosaka aprēķinu pamata secību, un nepieciešamība vispirms reizināt vai dalīt ir izskaidrojama ar šo darbību būtību.

Skaidrības labad veiksim dažus uzdevumus. Mēs izmantojām tikai visvienkāršākās skaitliskās izteiksmes, lai visus aprēķinus varētu veikt garīgi. Tādā veidā jūs varat ātri atcerēties vēlamo pasūtījumu un ātri pārbaudīt rezultātus.

1. piemērs

Stāvoklis: parēķiniet, cik tas būs 7 − 3 + 6 .

Risinājums

Mūsu izteiksmē nav iekavu, nav arī reizināšanas un dalīšanas, tāpēc visas darbības veicam norādītajā secībā. Vispirms no septiņiem atņemam trīs, tad atlikušajam pievienojam sešus un beigās iegūstam desmit. Šeit ir visa risinājuma atšifrējums:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Atbilde: 7 − 3 + 6 = 10 .

2. piemērs

Stāvoklis: kādā secībā jāveic aprēķini izteiksmē? 6:2 8:3?

Risinājums

Lai atbildētu uz šo jautājumu, vēlreiz izlasiet noteikumu par izteiksmēm bez iekavām, ko mēs formulējām iepriekš. Šeit ir tikai reizināšana un dalīšana, kas nozīmē, ka mēs saglabājam rakstīto aprēķinu secību un skaitām secīgi no kreisās uz labo pusi.

Atbilde: Vispirms sešus sadalām ar divi, rezultātu reizini ar astoņiem un iegūto skaitli dalām ar trīs.

3. piemērs

Stāvoklis: aprēķiniet, cik tas būs 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

Risinājums

Pirmkārt, noteiksim pareizo darbību secību, jo šeit ir visi aritmētisko darbību pamata veidi - saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana. Pirmā lieta, kas mums jādara, ir dalīt un reizināt. Šīm darbībām nav prioritātes vienai pār otru, tāpēc mēs tās veicam rakstiskā secībā no labās uz kreiso pusi. Tas nozīmē, ka 5 jāreizina ar 6, lai iegūtu 30, pēc tam 30 dala ar 3, lai iegūtu 10. Pēc tam sadaliet 4 ar 2, tas ir 2. Aizstāsim atrastās vērtības sākotnējā izteiksmē:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Šeit vairs nav dalīšanas vai reizināšanas, tāpēc veicam atlikušos aprēķinus secībā un saņemam atbildi:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Atbilde:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Kamēr darbību izpildes secība nav stingri iegaumēta, virs aritmētisko darbību zīmēm varat ievietot skaitļus, kas norāda aprēķina secību. Piemēram, iepriekšminētajai problēmai mēs to varētu rakstīt šādi:

Ja mums ir burtu izteiksmes, tad ar tām rīkojamies tāpat: vispirms reizinām un dalām, tad saskaitām un atņemam.

Kādas ir pirmā un otrā posma darbības?

Dažreiz uzziņu grāmatās visas aritmētiskās darbības ir sadalītas pirmā un otrā posma darbībās. Formulēsim nepieciešamo definīciju.

Pirmā posma darbības ietver atņemšanu un saskaitīšanu, otrā - reizināšanu un dalīšanu.

Zinot šos nosaukumus, iepriekš doto noteikumu par darbību secību varam uzrakstīt šādi:

2. definīcija

Izteiksmē, kurā nav iekavas, vispirms jāveic otrā posma darbības virzienā no kreisās uz labo, pēc tam pirmā posma darbības (tajā pašā virzienā).

Aprēķinu secība izteiksmēs ar iekavām

Pašas iekavas ir zīme, kas mums norāda vēlamo darbību secību. Šajā gadījumā nepieciešamo noteikumu var uzrakstīt šādi:

3. definīcija

Ja izteiksmē ir iekavas, tad pirmais solis ir tajās veikt operāciju, pēc kuras reizinām un dalām un tad saskaitām un atņemam no kreisās uz labo.

Kas attiecas uz pašu iekavas izteiksmi, to var uzskatīt par galvenās izteiksmes neatņemamu sastāvdaļu. Aprēķinot izteiksmes vērtību iekavās, mēs saglabājam to pašu mums zināmo procedūru. Ilustrēsim savu ideju ar piemēru.

4. piemērs

Stāvoklis: parēķiniet, cik tas būs 5 + (7–2 3) (6–4): 2.

Risinājums

Šajā izteiksmē ir iekavas, tāpēc sāksim ar tām. Vispirms aprēķināsim, cik būs 7 − 2 · 3. Šeit mums jāreizina 2 ar 3 un rezultāts jāatņem no 7:

7 - 2 3 = 7 - 6 = 1

Mēs aprēķinām rezultātu otrajās iekavās. Šeit mums ir tikai viena darbība: 6 − 4 = 2 .

Tagad mums ir jāaizstāj iegūtās vērtības sākotnējā izteiksmē:

5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Sāksim ar reizināšanu un dalīšanu, pēc tam veiciet atņemšanu un iegūstiet:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Tas noslēdz aprēķinus.

Atbilde: 5 + (7–2 3) (6–4): 2 = 6.

Nebaidieties, ja mūsu nosacījums satur izteiksmi, kurā dažas iekavas ietver citus. Iepriekš minētais noteikums ir konsekventi jāpiemēro visām iekavās norādītajām izteiksmēm. Ņemsim šo problēmu.

5. piemērs

Stāvoklis: parēķiniet, cik tas būs 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Risinājums

Mums ir iekavas iekavās. Mēs sākam ar 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), proti, 2 + 3. Tas būs 5. Vērtība būs jāaizstāj izteiksmē un jāaprēķina, ka 3 + 1 + 4 · 5. Mēs atceramies, ka mums vispirms ir jāreizina un pēc tam jāpievieno: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Aizvietojot atrastās vērtības sākotnējā izteiksmē, mēs aprēķinām atbildi: 4 + 24 = 28 .

Atbilde: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

Citiem vārdiem sakot, aprēķinot izteiksmes vērtību, kas ietver iekavas iekavās, mēs sākam ar iekšējām iekavām un virzāmies uz ārējām iekavām.

Pieņemsim, ka mums jāatrod, cik būs (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Mēs sākam ar izteiksmi iekšējās iekavās. Tā kā 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, sākotnējo izteiksmi var uzrakstīt kā (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Vēlreiz apskatot iekšējās iekavas: 4 + 1 = 5. Mēs esam nonākuši pie izteiksmes (4 + 5 − 1) − 1 . Mēs skaitām 4 + 5 − 1 = 8 un rezultātā iegūstam starpību 8 - 1, kuras rezultāts būs 7.

Aprēķinu secība izteiksmēs ar pakāpēm, saknēm, logaritmiem un citām funkcijām

Ja mūsu nosacījums satur izteiksmi ar pakāpju, sakni, logaritmu vai trigonometrisko funkciju (sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu) vai citām funkcijām, tad vispirms mēs aprēķinām funkcijas vērtību. Pēc tam mēs rīkojamies saskaņā ar noteikumiem, kas norādīti iepriekšējos punktos. Citiem vārdiem sakot, funkcijas ir tikpat svarīgas kā iekavās ievietotā izteiksme.

Apskatīsim šāda aprēķina piemēru.

6. piemērs

Stāvoklis: atrodiet, cik ir (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 - 7.

Risinājums

Mums ir izteiksme ar pakāpi, kuras vērtība ir jāatrod vispirms. Mēs saskaitām: 6 2 = 36. Tagad aizstāsim rezultātu izteiksmē, pēc kuras tas iegūs formu (3 + 1) · 2 + 36: 3 - 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Atbilde: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.

Atsevišķā rakstā, kas veltīts izteiksmju vērtību aprēķināšanai, mēs sniedzam citus, sarežģītākus aprēķinu piemērus izteiksmēm ar saknēm, grādiem utt. Mēs iesakām ar to iepazīties.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter