Ո՞ր արտահայտությունում է առաջին գործողությունը հանում: Գործողությունների կարգը. Լրացրե՛ք բաց թողնված թիվը՝ օրինակներ փակագծերով: Վերապատրաստման ապարատ

Եթե ​​գումարում և հանում ֆունկցիաները համեմատում ենք բազմապատկման և բաժանման հետ, ապա միշտ առաջինը հաշվում են բազմապատկումն ու բաժանումը։

Օրինակում երկու ֆունկցիաներ, ինչպիսիք են գումարումը և հանումը, ինչպես նաև բազմապատկումը և բաժանումը, համարժեք են միմյանց: Կատարման կարգը որոշվում է ձախից աջ հերթականությամբ։

Պետք է հիշել, որ օրինակում հատուկ առաջնահերթություն ունեն փակագծերում տրված գործողությունները։ Այսպիսով, եթե անգամ փակագծերից դուրս կա բազմապատկում և փակագծերի ներսում գումարում, պետք է նախ գումարել, ապա բազմապատկել։

Այս թեման հասկանալու համար կարող եք բոլոր դեպքերը մեկ առ մեկ դիտարկել։

Անմիջապես հաշվի առնենք, որ մեր արտահայտությունները փակագծեր չունեն։

Այսպիսով, եթե օրինակում առաջին գործողությունը բազմապատկումն է, իսկ երկրորդը՝ բաժանումը, ապա մենք առաջինը կատարում ենք բազմապատկումը։

Եթե ​​օրինակում առաջին գործողությունը բաժանումն է, իսկ երկրորդը՝ բազմապատկումը, ապա առաջինը կատարում ենք բաժանում։

Նման օրինակներում գործողությունները կատարվում են ձախից աջ հերթականությամբ՝ անկախ նրանից, թե որ թվերն են օգտագործվում։

Եթե ​​օրինակներում, բացի բազմապատկումից և բաժանումից, կա գումարում և հանում, ապա նախ կատարվում է բազմապատկում և բաժանում, իսկ հետո գումարում և հանում։

Գումարման և հանման դեպքում նույնպես տարբերություն չկա, թե այս գործողություններից որն է առաջինը կատարվում, կարգը պահպանվում է ձախից աջ։

Դիտարկենք տարբեր տարբերակներ.

Այս օրինակում առաջին գործողությունը, որը պետք է կատարվի, բազմապատկումն է, այնուհետև գումարումը:

Այս դեպքում նախ արժեքները բազմապատկում եք, այնուհետև բաժանում և հետո միայն ավելացնում:

Այս դեպքում նախ պետք է կատարել փակագծերում տրված բոլոր գործողությունները, իսկ հետո միայն կատարել բազմապատկումն ու բաժանումը։

Եվ այսպես, դուք պետք է հիշեք, որ ցանկացած բանաձևում նախ կատարվում են գործողություններ, ինչպիսիք են բազմապատկումը և բաժանումը, իսկ հետո միայն հանում և գումարում:

Նաև փակագծերում գտնվող թվերով պետք է դրանք հաշվել փակագծերում և միայն դրանից հետո կատարել տարբեր մանիպուլյացիաներ՝ հիշելով վերը նկարագրված հաջորդականությունը։

Առաջին գործողությունները կլինեն՝ բազմապատկում և բաժանում։

Միայն դրանից հետո են կատարվում գումարում և հանում:

Այնուամենայնիվ, եթե կա փակագիծ, ապա նախ կիրականացվեն դրանցում եղած գործողությունները։ Նույնիսկ եթե դա գումարում և հանում է:

Օրինակ:

Այս օրինակում նախ կբազմապատկենք, հետո 4-ը 5-ով, ապա 4-ը կավելացնենք 20-ին: Ստանում ենք 24:

Բայց եթե այսպես է՝ (4+5)*4, ապա սկզբում կատարում ենք գումարում, ստանում ենք 9։ Հետո 9-ը բազմապատկում ենք 4-ով։ Ստանում ենք 36։

Եթե ​​օրինակը պարունակում է բոլոր 4 գործողությունները, ապա նախ կա բազմապատկում և բաժանում, իսկ հետո գումարում և հանում:

Կամ 3 տարբեր գործողությունների օրինակում, ապա առաջինը կլինի կա՛մ բազմապատկում (կամ բաժանում), ապա կա՛մ գումարում (կամ հանում):

Երբ Փակագծեր Չկան։

Օրինակ՝ 4-2*5:10+8=11,

1 գործողություն 2*5 (10);

Գործք 2 10։10 (1);

3 գործողություն 4-1 (3);

4 գործողություն 3+8 (11).

Բոլոր 4 գործողությունները կարելի է բաժանել երկու հիմնական խմբի՝ մեկում՝ գումարում և հանում, մյուսում՝ բազմապատկում և բաժանում։ Առաջինը կլինի այն գործողությունը, որն առաջինն է օրինակում, այսինքն՝ ամենաձախը։

Օրինակ՝ 60-7+9=62, սկզբում պետք է 60-7, հետո տեղի է ունենում (53) +9;

Օրինակ՝ 5*8:2=20, սկզբում պետք է 5*8, հետո տեղի է ունենում (40) :2։

Երբ օրինակում ԿԱՆ Փակագծեր, փակագծում կատարվող գործողությունները նախ կատարվում են (ըստ վերը նշված կանոնների), իսկ հետո մնացածը կատարվում են սովորականի պես։

Օրինակ՝ 2+(9-8)*10:2=7։

1 գործողություն 9-8 (1);

2-րդ գործողություն 1*10 (10);

Գործք 3 10։2 (5);

4 գործողություն 2+5 (7).

Դա կախված է նրանից, թե ինչպես է գրված արտահայտությունը, եկեք դիտենք ամենապարզ թվային արտահայտությունը.

18 - 6:3 + 10x2 =

Սկզբում կատարում ենք բաժանման և բազմապատկման գործողություններ, ապա հերթով ձախից աջ՝ հանումով և գումարումով՝ 18-2+20 = 36:

Եթե ​​սա փակագծերով արտահայտություն է, ապա կատարեք փակագծերում տրված գործողությունները, այնուհետև բազմապատկում կամ բաժանում և վերջում գումարում/հանում, օրինակ.

(18-6)՝ 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Ամեն ինչ ճիշտ է՝ նախ կատարել բազմապատկում և բաժանում, հետո գումարում և հանում:

Եթե ​​օրինակում փակագծեր չկան, ապա սկզբում կատարվում են բազմապատկում և բաժանում ըստ հերթականության, իսկ հետո գումարում և հանում, նույն հերթականությամբ։

Եթե ​​օրինակը պարունակում է միայն բազմապատկում և բաժանում, ապա գործողությունները կկատարվեն հերթականությամբ:

Եթե ​​օրինակը պարունակում է միայն գումարում և հանում, ապա գործողությունները նույնպես կկատարվեն հերթականությամբ։

Առաջին հերթին փակագծերում կատարված գործողությունները կատարվում են նույն կանոններով, այսինքն՝ սկզբում բազմապատկում և բաժանում, հետո միայն գումարում և հանում։

22-(11+3X2)+14=19

Թվաբանական գործողություններ կատարելու կարգը խստորեն սահմանված է, որպեսզի տարբեր մարդկանց կողմից նույն տեսակի հաշվարկներ կատարելիս անհամապատասխանություններ չլինեն։ Նախ կատարվում են բազմապատկում և բաժանում, հետո գումարում և հանում, եթե նույն կարգի գործողությունները գալիս են մեկը մյուսի հետևից, ապա դրանք կատարվում են ձախից աջ հերթականությամբ։

Եթե ​​մաթեմատիկական արտահայտություն գրելիս օգտագործում եք փակագծեր, ապա առաջին հերթին պետք է կատարեք փակագծերում նշված գործողությունները։ Փակագծերը օգնում են փոխել հերթականությունը, երբ անհրաժեշտ է նախ կատարել գումարում կամ հանում, իսկ հետո բազմապատկում և բաժանում:

Ցանկացած փակագիծ կարող է ընդլայնվել, և այնուհետև կատարման հերթականությունը կրկին ճիշտ կլինի.

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Ավելի լավ է անմիջապես օրինակներով.

• 1+2*3/4-5=?

Այս դեպքում մենք նախ կատարում ենք բազմապատկում, քանի որ այն գտնվում է բաժանման ձախ կողմում: Հետո բաժանում. Այնուհետև գումարում, ավելի ձախակողմյան դիրքի պատճառով, իսկ վերջում՝ հանում:

• 1*3/(2+4)?

Սկզբում կատարում ենք հաշվարկը փակագծերում, հետո բազմապատկում և բաժանում։

• 1+2*(3-1*5)=?

Սկզբում կատարում ենք փակագծերի գործողությունները՝ բազմապատկում, հետո հանում։ Դրան հաջորդում է փակագծերից դուրս բազմապատկումը և վերջում գումարումը:

Առաջին տեղում բազմապատկումն ու բաժանումն է: Եթե ​​օրինակում կան փակագծեր, ապա սկզբում դիտարկվում է փակագծերի գործողությունը: Ինչ էլ որ լինի նշանը։

Այստեղ դուք պետք է հիշեք մի քանի հիմնական կանոններ.

1. Եթե ​​օրինակում փակագծեր չկան, և կան գործողություններ՝ միայն գումարում և հանում, կամ միայն բազմապատկում և բաժանում, ապա այս դեպքում բոլոր գործողությունները կատարվում են ձախից աջ հերթականությամբ:

Օրինակ՝ 5+8-5=8 (մենք ամեն ինչ անում ենք հերթականությամբ՝ 5-ին ավելացնում ենք 8, իսկ հետո հանում 5-ը)

1. Եթե ​​օրինակը պարունակում է խառը գործողություններ՝ գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում, ապա առաջին հերթին կատարում ենք բազմապատկման և բաժանման, իսկ հետո միայն գումարում կամ հանում:

Օրինակ՝ 5+8*3=29 (նախ 8-ը բազմապատկել 3-ով և հետո ավելացնել 5)

1. Եթե ​​օրինակը պարունակում է փակագծեր, ապա առաջինը կատարվում են փակագծերի գործողությունները:

Օրինակ՝ 3*(5+8)=39 (նախ 5+8, իսկ հետո բազմապատկել 3-ով)

բազմապատկել ցանկացած կարգով:

Մեթոդական այս կանոնը նպատակ ունի երեխային նախապատրաստել զրոներով վերջացող թվերի բազմապատկման մեթոդներին ծանոթանալուն, ուստի նրան ծանոթացնում են միայն չորրորդ դասարանում։ Իրականում բազմապատկման այս հատկությունը թույլ է տալիս ռացիոնալացնել մտավոր հաշվարկները ինչպես 2-րդ, այնպես էլ 3-րդ դասարանում:

Օրինակ:

Հաշվել՝ (7 2) 5 = ...

Այս դեպքում շատ ավելի հեշտ է հաշվարկել տարբերակը

7 (2 5) = 7 10 - 70.

Հաշվել՝ 12 (5 7) = ...

8 այս դեպքում շատ ավելի հեշտ է հաշվարկել տարբերակը (12-5)-7 = 60-7 = 420:

Հաշվարկման տեխնիկա

1. Զրո վերջացող թվերի բազմապատկում և բաժանում՝ 20 3; 3 20; 60:3; 80։20

Հաշվողական տեխնիկան այս դեպքում հանգում է տրված թվերում տասնյակների թիվը արտահայտող միանիշ թվերի բազմապատկմանը և բաժանմանը: Օրինակ:

20 3 =... 3 20 =... 60:3 = ...

2 դեկտ. 3 = 20 3 = 60 բ դեկ.՝ 3 = 2 դեկ.

20 - 3 = 60 3 20 = 60 60: 3 = 20

80:20 դեպքի համար կարելի է օգտագործել երկու հաշվարկի մեթոդ՝ նախորդ դեպքերում օգտագործվածը և գործակիցի ընտրության մեթոդը։

Օրինակ՝ 80: 20 =... 80: 20 =...

8 դեկտ.: 2 դեկտ. = 4 կամ 20 4 = 80

80: 20 = 4 80: 20 = 4

Առաջին դեպքում կիրառվել է երկնիշ տասնյակները թվանշանային միավորների տեսքով ներկայացնելու տեխնիկան, որը քննարկվող գործը վերածում է աղյուսակայինի (8։2)։ Երկրորդ դեպքում գործակիցը գտնվում է ընտրությամբ և ստուգվում բազմապատկմամբ։ Երկրորդ դեպքում երեխան կարող է անմիջապես չընտրել գործակիցի ճիշտ թիվը, ինչը նշանակում է, որ ստուգումը կկատարվի մեկից ավելի անգամ։

2. Երկնիշ թիվը միանիշ թվով բազմապատկելու եղանակ՝ 23 4; 4-23

Երկնիշ թիվը միանիշ թվով բազմապատկելիս թարմացվում են հետևյալ գիտելիքներն ու հմտությունները.

4 23 ձևի բազմապատկման դեպքում նախ կիրառվում է գործակիցների փոխակերպումը, ապա կիրառվում է նույն բազմապատկման սխեման, ինչպես վերը նշվածը։

3. Երկնիշ թիվը միանիշ թվի վրա բաժանելու եղանակ՝ 48:3; 48։2

Երկնիշ թիվը միանիշ թվի բաժանելիս թարմացվում են հետևյալ գիտելիքներն ու հմտությունները.

4. Երկնիշ թիվը երկնիշ թվի վրա բաժանելու եղանակ՝ 68:17.

Երկնիշ թիվը երկնիշ թվի բաժանելիս անհրաժեշտ են հետևյալ գիտելիքներն ու հմտությունները.

Վերջին տեխնիկայի դժվարությունն այն է, որ երեխան չի կարող անմիջապես ընտրել գործակիցի ցանկալի թվանշանը և կատարում է ընտրված թվերի մի քանի ստուգում, ինչը պահանջում է բավականին բարդ հաշվարկներ: Շատ երեխաներ շատ ժամանակ են ծախսում այս տեսակի հաշվարկներ կատարելու վրա, քանի որ նրանք սկսում են ոչ այնքան ընտրել համապատասխան գործակից թիվը, այլ ավելի շուտ դասավորել բոլոր գործոնները անընդմեջ՝ սկսած երկուսից:

Հաշվարկները հեշտացնելու համար կարող են օգտագործվել երկու տեխնիկա.

1) կողմնորոշումը շահաբաժնի վերջին նիշին.

2) կլորացման եղանակը.

Առաջին նշանակումըենթադրում է, որ գործակիցի հնարավոր թվանշան ընտրելիս երեխան առաջնորդվում է բազմապատկման աղյուսակի իմացությամբ՝ անմիջապես բազմապատկելով ընտրված թվանշանը (թիվը) և բաժանարարի վերջին թվանշանը։

Օրինակ, 3-7 = 21. 68 թվի վերջին նիշը 8-ն է, ինչը նշանակում է, որ իմաստ չկա 17-ը 3-ով բազմապատկել, բաժանարարի վերջին թվանշանը դեռ չի համընկնում: Փորձենք 4 թիվը քանորդում` բազմապատկենք 7 4 = 28: Վերջին թվանշանը համընկնում է, ուստի իմաստ ունի գտնել 17 4 արտադրյալը:

Երկրորդ նշանակումըներառում է բաժանարարի կլորացումը և կլորացված բաժանարարի հիման վրա գործակից թվանշանի ընտրությունը:

Օրինակ՝ 68:17, 17-ի բաժանարարը կլորացվում է 20-ի: 3-ի մոտավոր քանորդը ստուգելիս տալիս է 20 3 = 60:< 68, значит имеет смысл сразу проверять в качестве цифры частного 4:17 4 = 68.

Այս տեխնիկան թույլ է տալիս նվազեցնել ջանքերի և ժամանակի ծախսերը այս տեսակի հաշվարկներ կատարելիս, սակայն պահանջում են բազմապատկման աղյուսակի լավ իմացություն և թվերը կլորացնելու ունակություն:

0,1,2,3,4-ով վերջացող ամբողջ թվերը կլորացվում են մինչև ամբողջ տասը` հրաժարվելով այդ թվերից:

Օրինակ՝ 12, 13, 14 թվերը պետք է կլորացվեն 10-ի, 62, 63, 64 թվերը՝ 60-ի։

5, 6, 7,8,9 թվերով վերջացող ամբողջ թվերը կլորացվում են մինչև ամբողջ տասը։

Օրինակ՝ 15,16,17,18,19 թվերը կլորացվում են 20-ի, 45,47, 49 թվերը կլորացվում են 50-ի։

Բազմապատկում և բաժանում պարունակող արտահայտություններում գործողությունների հերթականությունը

Գործողությունների հերթականության կանոնները սահմանում են արտահայտությունների հիմնական բնութագրերը, որոնք պետք է օգտագործվեն դրանց արժեքները հաշվարկելիս:

Թվաբանական արտահայտություններում գործողությունների հերթականությունը սահմանող առաջին կանոնները սահմանում էին գումարման և հանման գործողություններ պարունակող արտահայտությունների գործողությունների հերթականությունը.

1. Միայն գումարում և հանում գործողություններ պարունակող առանց փակագծերի արտահայտություններում գործողությունները կատարվում են իրենց գրած հաջորդականությամբ՝ ձախից աջ։

2. Առաջին հերթին կատարվում են փակագծերի գործողությունները:

3. Եթե արտահայտությունը պարունակում է միայն գումարման գործողություններ, ապա երկու կից անդամները միշտ կարող են փոխարինվել դրանց գումարով (գումարման համակցված հատկություն):

3-րդ դասարանում ուսումնասիրվում են բազմապատկում և բաժանում պարունակող արտահայտություններում գործողություններ կատարելու հերթականության նոր կանոններ.

4. Միայն բազմապատկում և բաժանում պարունակող առանց փակագծերի արտահայտություններում գործողությունները կատարվում են իրենց գրած հաջորդականությամբ՝ ձախից աջ։

5. Առանց փակագծերի արտահայտություններում բազմապատկումն ու բաժանումը կատարվում են գումարումից և հանումից առաջ:

Այս դեպքում պահպանվում է նախ փակագծերում գործողությունը կատարելու կարգավորումը: Ավելի վաղ քննարկվել են այս պարամետրի խախտման հնարավոր դեպքերը։

Գործողությունների հերթականության կանոնները մաթեմատիկական արտահայտությունների (օրինակների) արժեքների հաշվարկման ընդհանուր կանոններն են, որոնք պահպանվում են դպրոցում մաթեմատիկա սովորելու ողջ ընթացքում: Այս առումով, երեխայի մեջ գործողություններ կատարելու ալգորիթմի հստակ ըմբռնում զարգացնելը տարրական դպրոցում մաթեմատիկայի դասավանդման կարևոր հաջորդական խնդիր է: Խնդիրն այն է, որ գործողությունների հերթականության կանոնները բավականին փոփոխական են և ոչ միշտ են հստակ սահմանված։

Օրինակ, 48-3 + 7 + 8 արտահայտության մեջ, որպես ընդհանուր կանոն, 1-ին կանոնը պետք է կիրառվի գումարում և հանում գործողություններ պարունակող առանց փակագծերի արտահայտության համար։ Միևնույն ժամանակ, որպես ռացիոնալ հաշվարկների տարբերակ, կարող եք օգտագործել 7 + 8 մասի գումարը փոխարինելու տեխնիկան, քանի որ 3 թիվը 48-ից հանելուց հետո ստանում եք 45, որին հարմար է ավելացնել 15։

Այնուամենայնիվ, տարրական դասարաններում նման արտահայտության նման վերլուծություն չի տրվում, քանի որ մտավախություն կա, որ այս մոտեցման ոչ համարժեք ըմբռնման դեպքում երեխան այն կօգտագործի 72 - 9 - 3 + 6 ձևի դեպքում: դեպքում, 3 + 6 արտահայտությունը գումարով փոխարինելը անհնար է, դա կբերի սխալ պատասխանի։

Գործողությունների հերթականությունը որոշելու կանոնների ամբողջ խմբի և կանոնների տարբերակների կիրառման մեծ փոփոխականությունը պահանջում է մտածողության զգալի ճկունություն, մաթեմատիկական գործողությունների իմաստի լավ ըմբռնում, մտավոր գործողությունների հաջորդականություն, մաթեմատիկական «զգացում» և ինտուիցիա ( մաթեմատիկոսները սա անվանում են «թվի իմաստ»): Իրականում շատ ավելի հեշտ է երեխային սովորեցնել խստորեն պահպանել թվային արտահայտությունը վերլուծելու հստակ սահմանված ընթացակարգը այն հատկանիշների տեսանկյունից, որոնց վրա կենտրոնացած է յուրաքանչյուր կանոն:

Գործողության ընթացքը որոշելիս մտածեք այսպես.

1) Եթե կան փակագծեր, ես նախ կատարում եմ փակագծերում գրված գործողությունը:

2) Բազմապատկում և բաժանում եմ կատարում հերթականությամբ:

3) Կատարում եմ հերթականությամբ գումարում և հանում:

Այս ալգորիթմը գործողությունների հերթականությունը սահմանում է միանգամայն միանշանակ, թեև աննշան տատանումներով:

Այս արտահայտություններում գործողության կարգը եզակիորեն որոշվում է ալգորիթմով և միակ հնարավորն է։ Բերենք այլ օրինակներ

Այս օրինակում բազմապատկում և բաժանում կատարելուց հետո դուք կարող եք անմիջապես ավելացնել 6-ը 54-ին և 18-ից հանել 9-ը և ավելացնել արդյունքները: Տեխնիկապես դա շատ ավելի հեշտ կլիներ, քան ալգորիթմի կողմից որոշված ​​ուղին, օրինակում հնարավոր է ի սկզբանե գործողությունների այլ կարգ.

Այսպիսով, տարրական դպրոցում արտահայտություններում գործողությունների հերթականությունը որոշելու ունակության զարգացման հարցը հակասում է երեխային ռացիոնալ հաշվարկների մեթոդներ սովորեցնելու անհրաժեշտությանը:

Օրինակ, այս դեպքում գործողությունների կարգը բացարձակապես միանշանակորեն որոշվում է ալգորիթմով և պահանջում է մի շարք բարդ մտավոր հաշվարկներ՝ թվանշաններով անցումներով՝ 42 - 7 և 35 + 8:

Եթե ​​21:3 բաժանումը կատարելուց հետո կատարեք 42 + 8 = 50 գումարում, ապա հանեք 50 - 7 = 43, ինչը տեխնիկապես շատ ավելի հեշտ է, պատասխանը կլինի նույնը։ Այս հաշվարկի ուղին հակասում է դասագրքում տրված պարամետրին

Իսկ արտահայտությունների արժեքները հաշվարկելիս գործողությունները կատարվում են որոշակի հերթականությամբ, այլ կերպ ասած՝ պետք է պահպանել. գործողությունների կարգը.

Այս հոդվածում մենք կպարզենք, թե որ գործողությունները պետք է կատարվեն առաջինը և որոնք դրանցից հետո: Սկսենք ամենապարզ դեպքերից, երբ արտահայտությունը պարունակում է միայն թվեր կամ փոփոխականներ, որոնք կապված են գումարած, մինուս, բազմապատկելու և բաժանելու նշաններով։ Հաջորդիվ կբացատրենք, թե ինչ հաջորդականություն է պետք կատարել փակագծերով արտահայտություններում: Ի վերջո, եկեք տեսնենք, թե ինչ հաջորդականությամբ են գործողությունները կատարվում ուժեր, արմատներ և այլ գործառույթներ պարունակող արտահայտություններում։

Էջի նավարկություն.

Նախ բազմապատկում և բաժանում, հետո գումարում և հանում

Դպրոցը տալիս է հետևյալը կանոն, որը որոշում է առանց փակագծերի արտահայտություններում գործողությունների կատարման հերթականությունը:

• գործողությունները կատարվում են ձախից աջ հերթականությամբ,
• Ընդ որում, նախ կատարվում է բազմապատկում և բաժանում, իսկ հետո գումարում և հանում։

Նշված կանոնը միանգամայն բնական է ընկալվում։ Ձախից աջ հերթականությամբ գործողությունների կատարումը բացատրվում է նրանով, որ մեզ մոտ ընդունված է գրանցումներ պահել ձախից աջ։ Իսկ այն, որ բազմապատկումն ու բաժանումը կատարվում են գումարումից և հանումից առաջ, բացատրվում է այն իմաստով, որ կրում են այդ գործողությունները։

Դիտարկենք մի քանի օրինակ, թե ինչպես է կիրառվում այս կանոնը: Օրինակների համար մենք կվերցնենք ամենապարզ թվային արտահայտությունները, որպեսզի չշեղվենք հաշվարկներով, այլ կենտրոնանանք հատուկ գործողությունների հերթականության վրա:

Օրինակ.

Հետևեք 7−3+6 քայլերին:

Լուծում.

Բնօրինակ արտահայտությունը չի պարունակում փակագծեր և չի պարունակում բազմապատկում կամ բաժանում։ Ուստի բոլոր գործողությունները պետք է կատարենք ձախից աջ հերթականությամբ, այսինքն՝ նախ 7-ից հանում ենք 3, ստանում ենք 4, որից հետո ստացված 4-ի տարբերությանը գումարում ենք 6, ստանում ենք 10։

Համառոտ լուծումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ 7−3+6=4+6=10։

Պատասխան.

7−3+6=10 .

Օրինակ.

6:2·8:3 արտահայտության մեջ նշի՛ր գործողությունների հերթականությունը:

Լուծում.

Խնդրի հարցին պատասխանելու համար անդրադառնանք առանց փակագծերի արտահայտություններում գործողությունների կատարման կարգը նշող կանոնին։ Բնօրինակ արտահայտությունը պարունակում է միայն բազմապատկման և բաժանման գործողություններ, և ըստ կանոնի՝ դրանք պետք է կատարվեն ձախից աջ հերթականությամբ։

Պատասխան.

Սկզբում 6-ը բաժանում ենք 2-ի, այս գործակիցը բազմապատկում ենք 8-ով և վերջում ստացվածը բաժանում ենք 3-ի։

Օրինակ.

Հաշվի՛ր 17−5·6:3−2+4:2 արտահայտության արժեքը։

Լուծում.

Նախ, եկեք որոշենք, թե ինչ հերթականությամբ պետք է կատարվեն սկզբնական արտահայտության գործողությունները: Այն պարունակում է և՛ բազմապատկում, և՛ բաժանում, և՛ գումարում և հանում: Նախ, ձախից աջ, դուք պետք է կատարեք բազմապատկում և բաժանում: Այսպիսով, մենք 5-ը բազմապատկում ենք 6-ով, ստանում ենք 30, այս թիվը բաժանում ենք 3-ի, ստանում ենք 10: Այժմ 4-ը բաժանում ենք 2-ի, ստանում ենք 2։ Գտնված 10 արժեքը փոխարինում ենք սկզբնական արտահայտության մեջ՝ 5·6:3-ի փոխարեն, իսկ 4:2-ի փոխարեն՝ 2 արժեքը, ունենք. 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Ստացված արտահայտությունն այլևս չի պարունակում բազմապատկում և բաժանում, ուստի մնում է մնացած գործողությունները կատարել ձախից աջ հերթականությամբ՝ 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7:

Պատասխան.

17−5·6:3−2+4:2=7։

Սկզբում արտահայտությունների արժեքը հաշվարկելիս գործողությունների կատարման հաջորդականությունը չշփոթելու համար հարմար է թվերը տեղադրել գործողությունների նշաններից վեր, որոնք համապատասխանում են դրանց կատարման հերթականությանը։ Նախորդ օրինակի համար այն կունենա հետևյալ տեսքը.

Գործողությունների նույն հաջորդականությունը՝ սկզբում բազմապատկում և բաժանում, հետո գումարում և հանում, պետք է պահպանել տառային արտահայտությունների հետ աշխատելիս:

Առաջին և երկրորդ փուլերի գործողություններ

Մաթեմատիկայի որոշ դասագրքերում թվաբանական գործողությունները բաժանվում են առաջին և երկրորդ փուլերի գործողությունների։ Եկեք պարզենք սա:

Սահմանում.

Առաջին փուլի գործողություններկոչվում են գումարում և հանում, իսկ բազմապատկումն ու բաժանումը կոչվում են երկրորդ փուլի գործողությունները.

Այս տերմիններում նախորդ պարբերության կանոնը, որը սահմանում է գործողությունների կատարման կարգը, կգրվի հետևյալ կերպ. կատարվում են բազմապատկում և բաժանում, ապա առաջին փուլի (գումարում և հանում) գործողությունները։

Փակագծերով արտահայտություններում թվաբանական գործողությունների կարգը

Արտահայտությունները հաճախ պարունակում են փակագծեր՝ ցույց տալու գործողությունների կատարման հերթականությունը: Այս դեպքում կանոն, որը սահմանում է գործողությունների կատարման կարգը փակագծերով արտահայտություններում, ձևակերպված է հետևյալ կերպ՝ նախ կատարվում են փակագծերի գործողությունները, իսկ ձախից աջ հերթականությամբ կատարվում են նաև բազմապատկումն ու բաժանումը, հետո գումարում և հանում։

Այսպիսով, փակագծերում դրված արտահայտությունները համարվում են սկզբնական արտահայտության բաղադրիչներ և պահպանում են մեզ արդեն հայտնի գործողությունների կարգը։ Ավելի հստակության համար նայենք օրինակների լուծումներին:

Օրինակ.

Հետևեք այս քայլերին 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Լուծում.

Արտահայտությունը պարունակում է փակագծեր, ուստի նախ կատարենք այս փակագծերում փակցված արտահայտությունների գործողությունները։ Սկսենք 7−2·3 արտահայտությունից։ Դրանում նախ պետք է բազմապատկել, իսկ հետո միայն հանել, ունենք 7−2·3=7−6=1։ Անցնենք 6−4 փակագծերի երկրորդ արտահայտությանը։ Այստեղ կա միայն մեկ գործողություն՝ հանում, մենք այն կատարում ենք 6−4 = 2։

Ստացված արժեքները փոխարինում ենք սկզբնական արտահայտությամբ. 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. Ստացված արտահայտության մեջ նախ կատարում ենք ձախից աջ բազմապատկում և բաժանում, ապա հանում, ստանում ենք 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6։ Այս պահին բոլոր գործողություններն ավարտված են, մենք հավատարիմ ենք մնացել դրանց կատարման հետևյալ հաջորդականությանը. 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Եկեք գրենք կարճ լուծում. 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Պատասխան.

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Պատահում է, որ արտահայտությունը փակագծերում պարունակում է փակագծեր: Սրանից վախենալու կարիք չկա, պարզապես անհրաժեշտ է հետևողականորեն կիրառել նշված կանոնը՝ փակագծերով արտահայտություններում գործողություններ կատարելու համար։ Եկեք ցույց տանք օրինակի լուծումը.

Օրինակ.

Կատարի՛ր 4+(3+1+4·(2+3)) արտահայտության գործողությունները:

Լուծում.

Սա փակագծերով արտահայտություն է, ինչը նշանակում է, որ գործողությունների կատարումը պետք է սկսվի փակագծերի արտահայտությամբ, այսինքն՝ 3+1+4·(2+3) . Այս արտահայտությունը պարունակում է նաև փակագծեր, ուստի նախ պետք է կատարեք դրանցում նշված գործողությունները: Եկեք այսպես անենք՝ 2+3=5: Գտնված արժեքը փոխարինելով՝ ստանում ենք 3+1+4·5։ Այս արտահայտության մեջ նախ կատարում ենք բազմապատկում, հետո գումարում, ունենք 3+1+4·5=3+1+20=24։ Սկզբնական արժեքը, այս արժեքը փոխարինելուց հետո, ստանում է 4+24 ձևը, և ​​մնում է լրացնել գործողությունները՝ 4+24=28։

Պատասխան.

4+(3+1+4·(2+3))=28.

Ընդհանուր առմամբ, երբ արտահայտությունը փակագծերում պարունակում է փակագծեր, հաճախ հարմար է գործողություններ կատարել՝ սկսած ներքին փակագծերից և անցնելով դեպի արտաքին:

Օրինակ, ենթադրենք, որ պետք է կատարենք (4+(4+(4−6:2))−1)−1 արտահայտության գործողությունները։ Նախ կատարում ենք ներքին փակագծերի գործողությունները, քանի որ 4−6:2=4−3=1, ապա դրանից հետո սկզբնական արտահայտությունը կստանա (4+(4+1)−1)−1 ձևը։ Կրկին կատարում ենք գործողությունը ներքին փակագծերում, քանի որ 4+1=5, հանգում ենք հետևյալ արտահայտությանը (4+5−1)−1. Կրկին կատարում ենք փակագծերում տրված գործողությունները՝ 4+5−1=8, և հասնում ենք 8−1 տարբերությանը, որը հավասար է 7-ի։

Ալֆան նշանակում է իրական թիվ: Վերոնշյալ արտահայտություններում հավասարության նշանը ցույց է տալիս, որ եթե անսահմանությանը ավելացնեք թիվ կամ անվերջություն, ոչինչ չի փոխվի, արդյունքը կլինի նույն անսահմանությունը: Եթե ​​որպես օրինակ վերցնենք բնական թվերի անսահման բազմությունը, ապա դիտարկված օրինակները կարող են ներկայացվել այս ձևով.

Հստակ ապացուցելու համար, որ նրանք իրավացի էին, մաթեմատիկոսները հայտնվեցին բազմաթիվ տարբեր մեթոդներով: Անձամբ ես այս բոլոր մեթոդներին նայում եմ որպես դափերի հետ պարող շամանների։ Ըստ էության, դրանք բոլորն էլ հանգում են նրան, որ կա՛մ սենյակներից մի քանիսը չբնակեցված են, և՛ նոր հյուրեր են ներխուժում, կա՛մ այցելուներից մի քանիսին դուրս են նետում միջանցք՝ հյուրերի համար տեղ բացելու համար (շատ մարդկայնորեն): Նման որոշումների վերաբերյալ իմ տեսակետը ներկայացրեցի շիկահերի մասին ֆանտաստիկ պատմության տեսքով։ Ինչի՞ վրա է հիմնված իմ պատճառաբանությունը: Անսահման թվով այցելուների տեղափոխումը անսահման ժամանակ է պահանջում: Այն բանից հետո, երբ մենք ազատեցինք հյուրի համար առաջին սենյակը, այցելուներից մեկը միշտ կքայլի միջանցքով իր սենյակից մյուսը մինչև ժամանակի վերջը: Իհարկե, ժամանակի գործոնը հիմարորեն կարելի է անտեսել, բայց դա կլինի «հիմարների համար օրենք չի գրված» կատեգորիայի մեջ։ Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե ինչ ենք մենք անում՝ հարմարեցնել իրականությունը մաթեմատիկական տեսություններին կամ հակառակը:

Ի՞նչ է «անվերջ հյուրանոցը»: Անսահման հյուրանոցը հյուրանոց է, որը միշտ ունի դատարկ մահճակալների ցանկացած քանակ, անկախ նրանից, թե քանի սենյակ է զբաղված: Եթե ​​անվերջանալի «այցելու» միջանցքի բոլոր սենյակները զբաղված են, ապա կա մեկ այլ անվերջ միջանցք՝ «հյուրերի» սենյակներով։ Այդպիսի միջանցքներ կլինեն անսահման թվով։ Ավելին, «անսահման հյուրանոցը» ունի անսահման թվով հարկեր անսահման թվով շենքերում անսահման թվով մոլորակների վրա անսահման թվով տիեզերքներում, որոնք ստեղծված են անսահման թվով Աստվածների կողմից: Մաթեմատիկոսները չեն կարողանում հեռու մնալ սովորական կենցաղային խնդիրներից. միշտ կա միայն մեկ Աստված-Ալլահ-Բուդդա, կա միայն մեկ հյուրանոց, կա միայն մեկ միջանցք: Այսպիսով, մաթեմատիկոսները փորձում են նենգափոխել հյուրանոցի համարների սերիական համարները՝ համոզելով մեզ, որ հնարավոր է «խցկել անհնարինը»։

Ես ձեզ ցույց կտամ իմ տրամաբանության տրամաբանությունը՝ օգտագործելով բնական թվերի անսահման բազմության օրինակը: Նախ պետք է պատասխանել մի շատ պարզ հարցի՝ բնական թվերի քանի՞ բազմություն կա՝ մեկ կամ շատ: Այս հարցին ճիշտ պատասխան չկա, քանի որ թվերը մենք ինքներս ենք հորինել, թվերը բնության մեջ գոյություն չունեն: Այո, բնությունը հիանալի է հաշվում, բայց դրա համար նա օգտագործում է այլ մաթեմատիկական գործիքներ, որոնք մեզ ծանոթ չեն: Ես ձեզ կասեմ, թե ինչ է մտածում բնությունը մեկ այլ անգամ: Քանի որ մենք թվեր ենք հորինել, մենք ինքներս ենք որոշելու, թե բնական թվերի քանի բազմություն կա: Դիտարկենք երկու տարբերակն էլ, ինչպես վայել է իրական գիտնականներին։

Տարբերակ առաջին. «Թող մեզ տրվի» բնական թվերի մի շարք, որը հանգիստ պառկած է դարակի վրա: Այս հավաքածուն վերցնում ենք դարակից։ Վերջ, այլ բնական թվեր չեն մնացել դարակում ու տանելու տեղ։ Մենք չենք կարող ավելացնել մեկը այս հավաքածուին, քանի որ այն արդեն ունենք: Իսկ եթե իսկապես ուզում ես: Ոչ մի խնդիր. Մենք արդեն վերցրած հավաքածուից կարող ենք վերցնել և վերադարձնել դարակ։ Դրանից հետո մենք կարող ենք դարակից վերցնել և ավելացնել այն, ինչ մնացել է։ Արդյունքում մենք կրկին կստանանք բնական թվերի անսահման բազմություն։ Մեր բոլոր մանիպուլյացիաները կարող եք գրել այսպես.

Ես գրեցի գործողությունները հանրահաշվական և բազմությունների տեսական նշումներով՝ բազմության տարրերի մանրամասն ցուցակով: Ստորագրությունը ցույց է տալիս, որ մենք ունենք բնական թվերի մեկ և միակ հավաքածու: Ստացվում է, որ բնական թվերի բազմությունը կմնա անփոփոխ միայն այն դեպքում, եթե նրանից հանվի մեկը և գումարվի նույն միավորը։

Տարբերակ երկու. Մենք մեր դարակում ունենք բնական թվերի շատ տարբեր անսահման հավաքածուներ: Շեշտում եմ՝ ՏԱՐԲԵՐ, չնայած նրան, որ դրանք գործնականում չեն տարբերվում։ Վերցնենք այս հավաքածուներից մեկը: Այնուհետև բնական թվերի մեկ այլ բազմությունից վերցնում ենք մեկը և ավելացնում արդեն վերցրած բազմությանը։ Մենք նույնիսկ կարող ենք ավելացնել բնական թվերի երկու հավաքածու։ Սա այն է, ինչ մենք ստանում ենք.

«Մեկ» և «երկու» ենթագրերը ցույց են տալիս, որ այդ տարրերը պատկանել են տարբեր խմբերի։ Այո, եթե մեկը ավելացնեք անսահման բազմությանը, արդյունքը նույնպես կլինի անսահման բազմություն, բայց այն նույնը չի լինի, ինչ սկզբնական հավաքածուն: Եթե ​​մեկ անսահման բազմությանն ավելացնեք ևս մեկ անսահման բազմություն, ապա ստացվում է նոր անսահման բազմություն, որը բաղկացած է առաջին երկու բազմությունների տարրերից:

Բնական թվերի բազմությունը հաշվելու համար օգտագործվում է այնպես, ինչպես քանոնը՝ չափելու համար։ Հիմա պատկերացրեք, որ դուք մեկ սանտիմետր ավելացրել եք քանոնին։ Սա կլինի այլ տող, որը հավասար չէ բնօրինակին:

Կարող եք ընդունել կամ չընդունել իմ պատճառաբանությունը՝ դա ձեր գործն է։ Բայց եթե երբևէ հանդիպեք մաթեմատիկական խնդիրների, մտածեք, թե արդյոք հետևում եք մաթեմատիկոսների սերունդների կողմից տրորված կեղծ դատողությունների ճանապարհին: Չէ՞ որ մաթեմատիկա սովորելը նախ և առաջ մեր մեջ ձևավորում է մտածողության կայուն կարծրատիպ և միայն դրանից հետո ավելացնում մեր մտավոր կարողությունները (կամ հակառակը՝ զրկում ազատ մտածելուց)։

Կիրակի, 4 օգոստոսի, 2019 թ

Ես ավարտում էի մի հոդվածի հետգրությունը և տեսա այս հրաշալի տեքստը Վիքիպեդիայում.

Կարդում ենք. «... Բաբելոնի մաթեմատիկայի հարուստ տեսական հիմքը չուներ ամբողջական բնույթ և վերածվեց մի շարք տարբեր տեխնիկաների՝ զուրկ ընդհանուր համակարգից և ապացույցների բազայից»:

Վա՜յ։ Որքան խելացի ենք մենք և որքան լավ ենք տեսնում ուրիշների թերությունները: Արդյո՞ք մեզ համար դժվար է ժամանակակից մաթեմատիկային նայել նույն համատեքստում: Թեթևակի վերափոխելով վերը նշված տեքստը, ես անձամբ ստացա հետևյալը.

Ժամանակակից մաթեմատիկայի հարուստ տեսական հիմքն իր բնույթով ամբողջական չէ և կրճատվում է մի շարք տարբեր բաժինների, որոնք զուրկ են ընդհանուր համակարգից և ապացույցների բազայից:

Ես հեռու չեմ գնա իմ խոսքերը հաստատելու համար. այն ունի լեզու և պայմանականություններ, որոնք տարբերվում են մաթեմատիկայի շատ այլ ճյուղերի լեզվից և պայմանականություններից: Մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում նույն անունները կարող են տարբեր նշանակություն ունենալ։ Ուզում եմ հրապարակումների մի ամբողջ շարք նվիրել ժամանակակից մաթեմատիկայի ամենաակնառու սխալներին։ Կհանդիպենք շուտով:

Շաբաթ, 3 օգոստոսի, 2019 թ

Ինչպե՞ս բազմությունը բաժանել ենթաբազմությունների: Դա անելու համար հարկավոր է մուտքագրել նոր չափման միավոր, որն առկա է ընտրված հավաքածուի որոշ տարրերում: Դիտարկենք մի օրինակ։

Թող որ մենք շատ լինենք Աբաղկացած չորս հոգուց. Այս հավաքածուն ձևավորվում է «մարդկանց» հիման վրա։ Այս բազմության տարրերը նշենք տառով Ա, համարով բաժանորդը ցույց կտա այս հավաքածուի յուրաքանչյուր անձի սերիական համարը: Ներկայացնենք չափման նոր միավոր «գենդեր» և այն նշանակենք տառով բ. Քանի որ սեռական հատկանիշները բնորոշ են բոլոր մարդկանց, մենք բազմապատկում ենք հավաքածուի յուրաքանչյուր տարր Աելնելով սեռից բ. Ուշադրություն դարձրեք, որ մեր «մարդկանց» խումբն այժմ դարձել է «գենդերային հատկանիշներ ունեցող մարդկանց» խումբ։ Սրանից հետո սեռական հատկանիշները կարող ենք բաժանել արականի bmև կանացի bwսեռական հատկանիշներ. Այժմ մենք կարող ենք կիրառել մաթեմատիկական ֆիլտր. մենք ընտրում ենք այս սեռական հատկանիշներից մեկը, անկախ նրանից, թե որ մեկը՝ արական, թե իգական: Եթե ​​մարդն ունի, ուրեմն բազմապատկում ենք մեկով, եթե նման նշան չկա՝ բազմապատկում ենք զրոյով։ Եվ հետո մենք օգտագործում ենք սովորական դպրոցական մաթեմատիկա: Տեսեք, թե ինչ է տեղի ունեցել.

Բազմապատկելուց, կրճատելուց և վերադասավորվելուց հետո մենք հայտնվեցինք երկու ենթաբազմության մեջ՝ տղամարդկանց ենթաբազմություն Բմև կանանց ենթաբազմություն Bw. Մաթեմատիկոսները մոտավորապես նույն կերպ են մտածում, երբ կիրառում են բազմությունների տեսությունը գործնականում: Բայց նրանք մեզ մանրամասներ չեն ասում, այլ տալիս են մեզ վերջնական արդյունքը. «շատ մարդիկ բաղկացած են տղամարդկանց և կանանց ենթաբազմությունից»: Բնականաբար, ձեզ մոտ կարող է հարց առաջանալ՝ որքանո՞վ է ճիշտ կիրառվել մաթեմատիկան վերը նշված վերափոխումների մեջ: Համարձակվում եմ ձեզ վստահեցնել, որ ըստ էության ամեն ինչ ճիշտ է արվել, բավական է իմանալ թվաբանության, Բուլյան հանրահաշվի և մաթեմատիկայի այլ ճյուղերի մաթեմատիկական հիմքերը։ Ինչ է դա? Մեկ այլ անգամ ես ձեզ կասեմ այս մասին:

Ինչ վերաբերում է սուպերբազմություններին, ապա դուք կարող եք միավորել երկու բազմություն մեկ սուպերբազմության մեջ՝ ընտրելով այս երկու հավաքածուների տարրերում առկա չափման միավորը:

Ինչպես տեսնում եք, չափման միավորները և սովորական մաթեմատիկան բազմությունների տեսությունը դարձնում են անցյալի մասունք: Նշան է, որ բազմությունների տեսության հետ ամեն ինչ լավ չէ, այն է, որ մաթեմատիկոսները հորինել են իրենց լեզուն և բազմությունների տեսության նշումը: Մաթեմատիկոսները վարվեցին այնպես, ինչպես ժամանակին արեցին շամանները: Միայն շամանները գիտեն, թե ինչպես «ճիշտ» կիրառել իրենց «գիտելիքները»: Նրանք մեզ սովորեցնում են այս «գիտելիքը»:

Եզրափակելով, ես ուզում եմ ձեզ ցույց տալ, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները շահարկում:

Երկուշաբթի, 7 հունվարի, 2019 թ

Հին հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեյացին մ. Ահա թե ինչ է այն հնչում.

Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, ինչ Աքիլեսից կպահանջվի այս տարածությունը վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ կսողա նույն ուղղությամբ։ Երբ Աքիլեսը վազում է հարյուր քայլ, կրիան սողում է ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը կշարունակվի անվերջ, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային:

Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Հիլբերտը... Նրանք բոլորն այս կամ այն ​​կերպ դիտարկում էին Զենոնի ապորիան։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « ... քննարկումները շարունակվում են մինչ օրս, գիտական ​​հանրությունը դեռ չի կարողացել ընդհանուր կարծիքի գալ պարադոքսների էության վերաբերյալ ... հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվել են մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, ֆիզիկական և փիլիսոփայական նոր մոտեցումներ: ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի ընդհանուր ընդունված լուծում...«[Wikipedia, «Zeno's Aporia». Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե ինչից է բաղկացած խաբեությունը։

Մաթեմատիկական տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը քանակից դեպի ։ Այս անցումը ենթադրում է մշտականի փոխարեն կիրառում։ Որքան հասկանում եմ, չափման փոփոխական միավորների օգտագործման մաթեմատիկական ապարատը կամ դեռ չի մշակվել, կամ չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա։ Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է ծուղակի մեջ: Մենք, մտածողության իներցիայի շնորհիվ, փոխադարձ արժեքին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից սա կարծես թե ժամանակն է դանդաղում, մինչև այն ամբողջովին դադարի այն պահին, երբ Աքիլլեսը կհասնի կրիային: Եթե ​​ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:

Եթե ​​շրջենք մեր սովորական տրամաբանությունը, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլլեսը վազում է հաստատուն արագությամբ։ Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը տասն անգամ պակաս է նախորդից։ Եթե ​​այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել՝ «Աքիլլեսը անսահման արագ կհասնի կրիային»։

Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից։ Մնացեք ժամանակի մշտական ​​միավորների մեջ և մի անցեք փոխադարձ միավորների: Զենոնի լեզվով դա հետևյալն է.

Այն ժամանակ, ինչ Աքիլլեսին կպահանջվի հազար քայլ վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ կսողա նույն ուղղությամբ։ Առաջինին հավասար հաջորդ ժամանակամիջոցում Աքիլլեսը կվազի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։

Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց սա խնդրի ամբողջական լուծում չէ։ Էյնշտեյնի հայտարարությունը լույսի արագության անդիմադրելիության մասին շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք ու լուծենք այս խնդիրը։ Իսկ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով։

Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.

Թռչող նետը անշարժ է, քանի որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այն հանգստի վիճակում է, և քանի որ այն հանգստանում է ժամանակի յուրաքանչյուր պահի, այն միշտ հանգստանում է:

Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հանգստանում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է: Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Որոշելու համար, թե արդյոք մեքենան շարժվում է, ձեզ անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, բայց դուք չեք կարող որոշել դրանցից հեռավորությունը: Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար անհրաժեշտ է ժամանակի մեկ կետում տարածության տարբեր կետերից արված երկու լուսանկար, բայց դրանցից դուք չեք կարող որոշել շարժման փաստը (իհարկե, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են պետք, եռանկյունաչափությունը կօգնի ձեզ ) Այն, ինչի վրա ուզում եմ հատուկ ուշադրություն հրավիրել, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետը տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք տարբեր հնարավորություններ են տալիս հետազոտության համար:

չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ

Ես արդեն ասել եմ ձեզ, որի օգնությամբ շամանները փորձում են տեսակավորել «» իրականությունը։ Ինչպե՞ս են նրանք դա անում: Ինչպե՞ս է իրականում տեղի ունենում հավաքածուի ձևավորումը:

Եկեք ավելի սերտ նայենք բազմության սահմանմանը. «տարբեր տարրերի հավաքածու՝ ընկալված որպես մեկ ամբողջություն»: Այժմ զգացեք տարբերությունը երկու արտահայտությունների միջև՝ «ըմբռնելի որպես ամբողջություն» և «ըմբռնելի որպես ամբողջություն»: Առաջին արտահայտությունը վերջնական արդյունքն է, հավաքածուն: Երկրորդ արտահայտությունը նախնական նախապատրաստություն է բազմության ձևավորման համար։ Այս փուլում իրականությունը բաժանվում է առանձին տարրերի («ամբողջությունը»), որոնցից հետո կձևավորվի բազմություն («մեկ ամբողջություն»)։ Միևնույն ժամանակ ուշադիր վերահսկվում է այն գործոնը, որը հնարավորություն է տալիս միավորել «ամբողջությունը» «մեկ ամբողջության», հակառակ դեպքում շամաններին չի հաջողվի։ Ի վերջո, շամանները նախապես գիտեն, թե ինչ հավաքածու են ուզում ցույց տալ մեզ։

Ես ձեզ ցույց կտամ գործընթացը օրինակով: Մենք ընտրում ենք «կարմիր պինդ պզուկը»՝ սա մեր «ամբողջությունն է»: Միևնույն ժամանակ մենք տեսնում ենք, որ այս բաները աղեղով են, և կան առանց աղեղի։ Դրանից հետո մենք ընտրում ենք «ամբողջության» մի մասը և կազմում «աղեղով»: Ահա թե ինչպես են շամանները ստանում իրենց սնունդը՝ կապելով իրենց հավաքածուների տեսությունը իրականության հետ:

Հիմա եկեք մի փոքր հնարք անենք: Վերցնենք «պինդ պզուկով աղեղով» և միավորենք այս «ամբողջությունները» ըստ գույնի՝ ընտրելով կարմիր տարրերը։ Մենք շատ «կարմիր» ստացանք։ Հիմա վերջնական հարցը. ստացված սեթերը «աղեղով» և «կարմիր» նույն հավաքածուն են, թե՞ երկու տարբեր սեթ: Պատասխանը գիտեն միայն շամանները։ Ավելի ճիշտ՝ իրենք իրենք ոչինչ չգիտեն, բայց ինչպես ասում են՝ այդպես էլ կլինի։

Այս պարզ օրինակը ցույց է տալիս, որ բազմությունների տեսությունը լիովին անօգուտ է, երբ խոսքը վերաբերում է իրականությանը: Ո՞րն է գաղտնիքը: Մենք ձևավորեցինք մի շարք «կարմիր պինդ բշտիկով և աղեղով»: Ձևավորումը տեղի է ունեցել չորս տարբեր չափման միավորներով՝ գույն (կարմիր), ամրություն (պինդ), կոպտություն (կռուտիտ), զարդարանք (աղեղով): Միայն չափման միավորների հավաքածուն թույլ է տալիս ադեկվատ կերպով նկարագրել իրական առարկաները մաթեմատիկայի լեզվով. Ահա թե ինչ տեսք ունի.

Տարբեր ինդեքսներով «ա» տառը նշանակում է տարբեր չափման միավորներ։ Չափման միավորները, որոնցով նախնական փուլում տարբերվում է «ամբողջը», ընդգծված են փակագծերում։ Չափման միավորը, որով կազմվում է հավաքածուն, հանվում է փակագծերից։ Վերջին տողը ցույց է տալիս վերջնական արդյունքը` հավաքածուի տարրը: Ինչպես տեսնում եք, եթե մենք օգտագործում ենք չափման միավորներ բազմություն կազմելու համար, ապա արդյունքը կախված չէ մեր գործողությունների հերթականությունից։ Եվ սա մաթեմատիկա է, և ոչ թե շամանների պարը դափերով։ Շամանները կարող են «ինտուիտիվորեն» հանգել նույն արդյունքին՝ պնդելով, որ դա «ակնհայտ է», քանի որ չափման միավորները նրանց «գիտական» զինանոցի մաս չեն կազմում։

Օգտագործելով չափման միավորները, շատ հեշտ է բաժանել մեկ հավաքածու կամ միավորել մի քանի հավաքածուներ մեկ սուպերսեթում: Եկեք մանրամասն նայենք այս գործընթացի հանրահաշիվին:

Շաբաթ, 30 հունիսի, 2018 թ

Եթե ​​մաթեմատիկոսները չեն կարողանում հասկացությունը նվազեցնել այլ հասկացությունների, ապա նրանք ոչինչ չեն հասկանում մաթեմատիկայից: Ես պատասխանում եմ՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Պատասխանը շատ պարզ է՝ թվեր և չափման միավորներ։

Այսօր այն ամենը, ինչ մենք չենք վերցնում, պատկանում է ինչ-որ մի շարքի (ինչպես մեզ վստահեցնում են մաթեմատիկոսները)։ Ի դեպ, ճակատիդ հայելու մեջ տեսե՞լ ես այն հավաքածուների ցանկը, որին պատկանում ես։ Իսկ ես նման ցուցակ չեմ տեսել։ Ես կասեմ ավելին. իրականում ոչ մի բան չունի պիտակ այն հավաքածուների ցանկով, որին պատկանում է այս բանը: Կոմպլեկտները բոլորը շամանների գյուտերն են: Ինչպե՞ս են դա անում։ Եկեք մի փոքր ավելի խորը նայենք պատմության մեջ և տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեին հավաքածուի տարրերը նախքան մաթեմատիկոս շամանները դրանք վերցնելը իրենց հավաքածուներում:

Շատ վաղուց, երբ ոչ ոք երբեք չէր լսել մաթեմատիկայի մասին, և միայն ծառերն ու Սատուրնն ունեին օղակներ, ֆիզիկական դաշտերում թափառում էին վայրի տարրերի հսկայական երամակներ (ի վերջո, շամանները դեռ չէին հորինել մաթեմատիկական դաշտերը): Նրանք այսպիսի տեսք ունեին.

Այո, մի զարմացեք, մաթեմատիկայի տեսանկյունից հավաքածուների բոլոր տարրերն առավել նման են ծովային եղջյուրներին՝ մի կետից, ասեղների պես, չափման միավորները դուրս են գալիս բոլոր ուղղություններով: Նրանց համար, ովքեր հիշեցնում եմ ձեզ, որ չափման ցանկացած միավոր երկրաչափորեն կարող է ներկայացվել որպես կամայական երկարության հատված, իսկ թիվը՝ որպես կետ: Երկրաչափական առումով ցանկացած մեծություն կարող է ներկայացվել որպես մի կետից տարբեր ուղղություններով դուրս ցցված հատվածների փունջ: Այս կետը զրոյական կետն է: Ես չեմ նկարի երկրաչափական արվեստի այս կտորը (առանց ոգեշնչման), բայց դուք հեշտությամբ կարող եք դա պատկերացնել:

Չափման ո՞ր միավորներն են կազմում բազմության տարրը: Բոլոր տեսակի բաներ, որոնք նկարագրում են տվյալ տարրը տարբեր տեսակետներից: Սրանք հնագույն չափման միավորներ են, որոնք օգտագործել են մեր նախնիները, և որոնց մասին բոլորը վաղուց մոռացել են: Սրանք ժամանակակից չափման միավորներն են, որոնք մենք օգտագործում ենք հիմա: Սրանք նույնպես մեզ անհայտ չափման միավորներ են, որոնք մեր հետնորդները կգտնեն և որոնք նրանք կօգտագործեն իրականությունը նկարագրելու համար:

Մենք դասավորել ենք երկրաչափությունը. հավաքածուի տարրերի առաջարկվող մոդելն ունի հստակ երկրաչափական պատկեր: Ինչ վերաբերում է ֆիզիկային: Չափման միավորները մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի անմիջական կապն են։ Եթե ​​շամանները չափման միավորները չեն ճանաչում որպես մաթեմատիկական տեսությունների լիարժեք տարր, դա նրանց խնդիրն է։ Ես անձամբ չեմ կարող պատկերացնել մաթեմատիկայի իրական գիտությունն առանց չափման միավորների: Ահա թե ինչու բազմությունների տեսության մասին պատմվածքի հենց սկզբում ես խոսեցի դրա մասին որպես քարի դարում:

Բայց անցնենք ամենահետաքրքիրին՝ բազմությունների տարրերի հանրահաշիվին։ Հանրահաշվորեն, բազմության ցանկացած տարր տարբեր մեծությունների արտադրյալ է (բազմապատկման արդյունք), այն ունի հետևյալ տեսքը.

Ես միտումնավոր չեմ օգտագործել բազմությունների տեսության պայմանականությունները, քանի որ մենք դիտարկում ենք բազմության տարրը իր բնական միջավայրում մինչև բազմությունների տեսության առաջացումը: Փակագծերում գտնվող յուրաքանչյուր զույգ տառ նշանակում է առանձին մեծություն, որը բաղկացած է տառով նշված թվից: n«և տառով նշված չափման միավորը» աՏառերի կողքին գտնվող ցուցիչները ցույց են տալիս, որ թվերն ու չափման միավորները տարբեր են: Կոմպլեկտի մեկ տարրը կարող է բաղկացած լինել անսահման թվով քանակներից (որքանով մենք և մեր սերունդները բավականաչափ երևակայություն ունենք): Յուրաքանչյուր փակագիծ երկրաչափորեն պատկերված է որպես առանձին հատված: Ծովային ոզնի օրինակում մեկ փակագիծը մեկ ասեղ է:

Ինչպե՞ս են շամանները տարբեր տարրերից կազմավորում: Իրականում չափման միավորներով կամ թվերով։ Ոչինչ չհասկանալով մաթեմատիկայից՝ նրանք վերցնում են տարբեր ծովախեցգետիններ և ուշադիր զննում նրանց՝ փնտրելով այդ մեկ ասեղը, որի երկայնքով նրանք կազմում են մի շարք։ Եթե ​​կա այդպիսի ասեղ, ապա այս տարրը պատկանում է հավաքածուին, եթե այդպիսի ասեղ չկա, ապա այս տարրը այս հավաքածուից չէ։ Շամանները մեզ առակներ են պատմում մտքի գործընթացների և ամբողջի մասին:

Ինչպես կռահեցիք, նույն տարրը կարող է պատկանել շատ տարբեր խմբերի: Հաջորդը ես ձեզ ցույց կտամ, թե ինչպես են ձևավորվում բազմությունները, ենթաբազմությունները և շամանական այլ անհեթեթությունները: Ինչպես տեսնում եք, «կոմպլեկտում չի կարող լինել երկու նույնական տարր», բայց եթե մի շարքում կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաթիվ»: Ողջամիտ էակները երբեք չեն հասկանա նման անհեթեթ տրամաբանությունը։ Սա խոսող թութակների և վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որոնք խելք չունեն «ամբողջովին» բառից։ Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները։

Ժամանակին կամուրջը կառուցած ինժեներները կամուրջը փորձարկելիս նավակի մեջ էին կամրջի տակ։ Եթե ​​կամուրջը փլվեր, միջակ ինժեները մահացավ իր ստեղծագործության փլատակների տակ։ Եթե ​​կամուրջը կարող էր դիմակայել ծանրաբեռնվածությանը, տաղանդավոր ինժեները կառուցեց այլ կամուրջներ:

Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «իմացիր ինձ, ես տանն եմ» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ՝ «մաթեմատիկան ուսումնասիրում է վերացական հասկացությունները», կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապում է դրանք իրականության հետ: Այս պորտալարը փող է։ Եկեք կիրառենք մաթեմատիկական բազմությունների տեսությունը հենց մաթեմատիկոսների վրա:

Մաթեմատիկան շատ լավ ենք սովորել, հիմա էլ նստած ենք դրամարկղի մոտ, աշխատավարձ ենք տալիս։ Այսպիսով, մի մաթեմատիկոս գալիս է մեզ մոտ իր փողի համար: Մենք նրան հաշվում ենք ամբողջ գումարը և այն դնում մեր սեղանի վրա տարբեր կույտերով, որոնց մեջ դնում ենք նույն անվանական թղթադրամներ։ Այնուհետև յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկական թղթադրամ և մաթեմատիկոսին տալիս իր «աշխատավարձի մաթեմատիկական հավաքածուն»։ Եկեք բացատրենք մաթեմատիկոսին, որ նա կստանա մնացած հաշիվները միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի հավաքածուն հավասար չէ նույն տարրերով բազմությանը: Այստեղից է սկսվում զվարճանքը:

Առաջին հերթին գործելու է պատգամավորների տրամաբանությունը. «Սա կարող է վերաբերվել ուրիշներին, իսկ ինձ՝ ոչ»։ Այնուհետև նրանք կսկսեն մեզ հանգստացնել, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամները տարբեր թղթադրամների համարներ ունեն, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույն տարրերը: Լավ, եկեք հաշվարկենք աշխատավարձերը մետաղադրամներով. մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի խելագարորեն հիշել ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամներ ունեն տարբեր քանակությամբ կեղտ, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմների դասավորությունը յուրահատուկ է յուրաքանչյուր մետաղադրամի համար...

Եվ հիմա ինձ մոտ ամենահետաքրքիր հարցն է՝ որտե՞ղ է այն գիծը, որից այն կողմ բազմաբնույթ տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ ստելուն։

Նայեք այստեղ։ Մենք ընտրում ենք նույն դաշտի տարածքով ֆուտբոլային մարզադաշտեր: Դաշտերի տարածքները նույնն են, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք բազմաբնույթ: Բայց եթե նայենք այս նույն մարզադաշտերի անուններին, շատ ենք ստանում, քանի որ անունները տարբեր են։ Ինչպես տեսնում եք, տարրերի նույն հավաքածուն և՛ բազմություն է, և՛ բազմաբնույթ: Ո՞րն է ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-սրախոսը թևից հանում է հաղթաթուղթ և սկսում պատմել մեզ կա՛մ կոմպլեկտի, կա՛մ բազմահավաքի մասին: Ամեն դեպքում նա մեզ կհամոզի, որ ճիշտ է։

Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում բազմությունների տեսության հետ՝ կապելով այն իրականության հետ, բավական է պատասխանել մի հարցի՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Ես ձեզ ցույց կտամ՝ առանց որևէ «պատկերացնելի որպես ոչ մի ամբողջություն» կամ «անընկալելի որպես մեկ ամբողջություն»։

Երբ մենք աշխատում ենք տարբեր արտահայտությունների հետ, որոնք ներառում են թվեր, տառեր և փոփոխականներ, մենք պետք է կատարենք մեծ թվով թվաբանական գործողություններ: Երբ մենք փոխակերպում ենք կատարում կամ հաշվարկում արժեքը, շատ կարևոր է հետևել այս գործողությունների ճիշտ հաջորդականությանը: Այսինքն՝ թվաբանական գործողություններն ունեն իրենց հատուկ կատարման կարգը։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Այս հոդվածում մենք ձեզ կպատմենք, թե որ գործողությունները պետք է կատարվեն առաջինը և որոնք հետո: Նախ դիտարկենք մի քանի պարզ արտահայտություններ, որոնք պարունակում են միայն փոփոխականներ կամ թվային արժեքներ, ինչպես նաև բաժանման, բազմապատկման, հանման և գումարման նշաններ։ Այնուհետև փակագծերով օրինակներ վերցնենք և մտածենք, թե ինչ հերթականությամբ պետք է դրանք հաշվարկվեն։ Երրորդ մասում մենք կտանք փոխակերպումների և հաշվարկների անհրաժեշտ հերթականությունը այն օրինակներում, որոնք ներառում են արմատների, հզորությունների և այլ գործառույթների նշաններ։

Սահմանում 1

Առանց փակագծերի արտահայտությունների դեպքում գործողությունների հերթականությունը որոշվում է միանշանակ.

1. Բոլոր գործողությունները կատարվում են ձախից աջ:
2. Նախ կատարում ենք բաժանում և բազմապատկում, իսկ երկրորդում՝ հանում և գումարում:

Այս կանոնների իմաստը հեշտ է հասկանալ: Ձախից աջ գրելու ավանդական կարգը սահմանում է հաշվարկների հիմնական հաջորդականությունը, և նախ բազմապատկելու կամ բաժանելու անհրաժեշտությունը բացատրվում է հենց այս գործողությունների էությամբ:

Պարզության համար եկեք մի քանի առաջադրանք վերցնենք: Մենք օգտագործեցինք միայն ամենապարզ թվային արտահայտությունները, որպեսզի բոլոր հաշվարկները մտովի կատարվեին: Այս կերպ Դուք կարող եք արագ հիշել ցանկալի կարգը և արագ ստուգել արդյունքները:

Օրինակ 1

Վիճակը:հաշվարկեք, թե որքան կլինի 7 − 3 + 6 .

Լուծում

Մեր արտահայտության մեջ փակագծեր չկան, չկա նաև բազմապատկում և բաժանում, ուստի բոլոր գործողությունները կատարում ենք նշված հերթականությամբ։ Սկզբում յոթից հանում ենք երեքը, հետո մնացածին ավելացնում ենք վեցը և վերջում ստանում տասը։ Ահա ամբողջ լուծման սղագրությունը.

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Պատասխան. 7 − 3 + 6 = 10 .

Օրինակ 2

Վիճակը:ի՞նչ հերթականությամբ պետք է կատարվեն հաշվարկները արտահայտության մեջ: 6:2 8:3?

Լուծում

Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք վերընթերցենք առանց փակագծերի արտահայտությունների կանոնը, որը մենք ավելի վաղ ձևակերպել էինք: Մենք այստեղ ունենք միայն բազմապատկում և բաժանում, ինչը նշանակում է, որ մենք պահում ենք հաշվարկների գրավոր կարգը և հաջորդաբար հաշվում ձախից աջ:

Պատասխան.Նախ վեցը բաժանում ենք երկուսի, ստացվածը բազմապատկում ենք ութով և ստացված թիվը բաժանում երեքի։

Օրինակ 3

Վիճակը:հաշվարկեք, թե որքան կլինի 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2:

Լուծում

Նախ որոշենք գործողությունների ճիշտ հերթականությունը, քանի որ այստեղ ունենք թվաբանական գործողությունների բոլոր հիմնական տեսակները՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում։ Առաջին բանը, որ մենք պետք է անենք, դա բաժանելն ու բազմապատկելն է: Այս գործողությունները միմյանց նկատմամբ առաջնահերթություն չունեն, ուստի մենք դրանք կատարում ենք գրավոր կարգով աջից ձախ: Այսինքն՝ 5-ը պետք է բազմապատկել 6-ով, որպեսզի ստացվի 30, այնուհետև 30-ը բաժանվի 3-ի՝ ստանալու համար 10: Դրանից հետո 4-ը բաժանեք 2-ի, սա 2 է։ Գտնված արժեքները փոխարինենք սկզբնական արտահայտությամբ.

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Այստեղ այլևս բաժանում կամ բազմապատկում չկա, ուստի մնացած հաշվարկներն անում ենք հերթականությամբ և ստանում պատասխանը.

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Պատասխան.17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Քանի դեռ գործողությունների կատարման կարգը ամուր անգիր չէ, դուք կարող եք թվեր դնել թվաբանական գործողությունների նշաններից վեր, որոնք ցույց են տալիս հաշվարկի կարգը: Օրինակ, վերը նշված խնդրի համար մենք կարող ենք գրել այսպես.

Եթե ​​ունենք տառային արտահայտություններ, ապա նրանց հետ նույնն ենք անում՝ սկզբում բազմապատկում և բաժանում ենք, հետո գումարում և հանում։

Որո՞նք են առաջին և երկրորդ փուլի գործողությունները:

Երբեմն տեղեկատու գրքերում բոլոր թվաբանական գործողությունները բաժանվում են առաջին և երկրորդ փուլերի գործողությունների: Ձևակերպենք անհրաժեշտ սահմանումը.

Առաջին փուլի գործողությունները ներառում են հանում և գումարում, երկրորդը` բազմապատկում և բաժանում:

Իմանալով այս անունները, մենք կարող ենք գրել նախկինում տրված կանոնը գործողությունների հերթականության վերաբերյալ հետևյալ կերպ.

Սահմանում 2

Փակագծեր չպարունակող արտահայտության մեջ նախ պետք է կատարեք երկրորդ փուլի գործողությունները ձախից աջ ուղղությամբ, ապա առաջին փուլի գործողությունները (նույն ուղղությամբ)։

Փակագծերով արտահայտություններում հաշվարկների կարգը

Փակագծերն իրենք նշան են, որը մեզ ասում է գործողությունների ցանկալի հաջորդականությունը: Այս դեպքում պահանջվող կանոնը կարող է գրվել հետևյալ կերպ.

Սահմանում 3

Եթե ​​արտահայտության մեջ կան փակագծեր, ապա առաջին քայլը դրանցում կատարվող գործողությունն է, որից հետո մենք բազմապատկում և բաժանում ենք, իսկ հետո գումարում և հանում ենք ձախից աջ։

Ինչ վերաբերում է բուն փակագծային արտահայտությանը, ապա այն կարելի է դիտարկել որպես հիմնական արտահայտության բաղկացուցիչ մաս։ Փակագծերում արտահայտության արժեքը հաշվարկելիս մենք պահպանում ենք մեզ հայտնի նույն ընթացակարգը։ Եկեք պատկերացնենք մեր միտքը օրինակով.

Օրինակ 4

Վիճակը:հաշվարկեք, թե որքան կլինի 5 + (7 − 2 3) (6 − 4)՝ 2.

Լուծում

Այս արտահայտության մեջ կան փակագծեր, ուստի սկսենք դրանցից։ Նախ, եկեք հաշվարկենք, թե որքան կլինի 7 − 2 · 3: Այստեղ մենք պետք է 2-ը բազմապատկենք 3-ով և արդյունքը հանենք 7-ից.

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Արդյունքը հաշվում ենք երկրորդ փակագծերում։ Այնտեղ մենք ունենք միայն մեկ գործողություն. 6 − 4 = 2 .

Այժմ մենք պետք է փոխարինենք ստացված արժեքները սկզբնական արտահայտության մեջ.

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Սկսենք բազմապատկելուց և բաժանելուց, ապա կատարել հանում և ստանալ.

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Սա եզրափակում է հաշվարկները:

Պատասխան. 5 + (7 − 2 3) (6 − 4)՝ 2 = 6.

Մի անհանգստացեք, եթե մեր վիճակը պարունակում է արտահայտություն, որտեղ որոշ փակագծեր փակցված են մյուսներին: Մենք միայն պետք է հետևողականորեն կիրառենք վերը նշված կանոնը փակագծերում բոլոր արտահայտությունների նկատմամբ: Վերցնենք այս խնդիրը:

Օրինակ 5

Վիճակը:հաշվարկեք, թե որքան կլինի 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Լուծում

Մենք փակագծեր ունենք փակագծերի մեջ։ Մենք սկսում ենք 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), մասնավորապես 2 + 3: Դա կլինի 5: Արժեքը պետք է փոխարինվի արտահայտության մեջ և հաշվարկվի, որ 3 + 1 + 4 · 5: Մենք հիշում ենք, որ նախ պետք է բազմապատկել, ապա ավելացնել. 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Գտնված արժեքները փոխարինելով բնօրինակ արտահայտությամբ՝ մենք հաշվարկում ենք պատասխանը. 4 + 24 = 28 .

Պատասխան. 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

Այլ կերպ ասած, փակագծերում փակագծեր ներառող արտահայտության արժեքը հաշվարկելիս մենք սկսում ենք ներքին փակագծերից և անցնում դեպի արտաքին:

Ենթադրենք, մենք պետք է գտնենք, թե որքան կլինի (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1: Մենք սկսում ենք ներքին փակագծերի արտահայտությունից. Քանի որ 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, սկզբնական արտահայտությունը կարելի է գրել որպես (4 + (4 + 1) − 1) − 1։ Կրկին նայելով ներքին փակագծերին՝ 4 + 1 = 5: Մենք եկել ենք արտահայտությանը (4 + 5 − 1) − 1 . Մենք հաշվում ենք 4 + 5 − 1 = 8 և արդյունքում ստանում ենք տարբերությունը 8 - 1, որի արդյունքը կլինի 7։

Հզորությունների, արմատների, լոգարիթմների և այլ ֆունկցիաներով արտահայտություններում հաշվարկման կարգը

Եթե ​​մեր պայմանը պարունակում է հզորություն, արմատ, լոգարիթմ կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիա (սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս) կամ այլ ֆունկցիաներով արտահայտություն, ապա առաջին հերթին մենք հաշվում ենք ֆունկցիայի արժեքը։ Դրանից հետո մենք գործում ենք նախորդ պարբերություններում նշված կանոններով: Այսինքն՝ ֆունկցիաները կարևորությամբ հավասար են փակագծերում փակցված արտահայտությանը։

Դիտարկենք նման հաշվարկի օրինակ:

Օրինակ 6

Վիճակը:գտե՛ք, թե որքան է (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7:

Լուծում

Ունենք աստիճանով արտահայտություն, որի արժեքը նախ պետք է գտնել։ Մենք հաշվում ենք՝ 6 2 = 36։ Այժմ եկեք արդյունքը փոխարինենք արտահայտությամբ, որից հետո այն կստանա (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 ձևը:

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Պատասխան. (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

Արտահայտությունների արժեքների հաշվարկին նվիրված առանձին հոդվածում մենք տրամադրում ենք հաշվարկների այլ, ավելի բարդ օրինակներ արմատներով, աստիճաններով և այլն արտահայտությունների դեպքում: Խորհուրդ ենք տալիս ծանոթանալ դրան:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter