Liikkuminen suoraviivaisessa tasaisesti kiihdytetyssä liikkeessä. Tasaisesti kiihdytetyn liikkeen siirtymäkaavan johtamisesta

Tasaisesti kiihdytetty liike kutsutaan liikettä, jossa kiihtyvyysvektori pysyy muuttumattomana suuruudeltaan ja suunnaltaan. Esimerkki tällaisesta liikkeestä on tietyssä kulmassa horisonttiin nähden heitetyn kiven liike (ilmanvastusta huomioimatta). Missä tahansa radan kohdassa kiven kiihtyvyys on yhtä suuri kuin vapaan pudotuksen kiihtyvyys. Täten tasaisesti kiihdytetyn liikkeen tutkiminen rajoittuu suoraviivaisen tasaisesti kiihdytetyn liikkeen tutkimukseen. Suoraviivaisessa liikkeessä nopeus- ja kiihtyvyysvektorit suunnataan suoraa liikeviivaa pitkin. Siksi liikkeen suunnan projektioiden nopeutta ja kiihtyvyyttä voidaan pitää algebrallisina suureina. Tasaisesti kiihdytetyllä suoraviivaista liikettä kehon nopeus määräytyy kaavalla (1)

Tässä kaavassa kehon nopeus on t = 0 (aloitusnopeus ), = const – kiihtyvyys. Projektiossa valitulle x-akselille yhtälö (1) kirjoitetaan muodossa: (2). Nopeusprojektiokaaviossa υ x ( t), tämä riippuvuus on muodoltaan suora.

Nopeuskäyrän kaltevuutta voidaan käyttää kiihtyvyyden määrittämiseen a kehon. Vastaavat rakenteet on tehty kuvista 1 ja 2. kaaviolle I Kiihtyvyys on numeerisesti yhtä suuri kuin kolmion sivujen suhde ABC: .

Mitä suurempi kulma β muodostaa nopeuskäyrän aika-akselin kanssa, eli sitä suurempi kuvaajan kaltevuus ( jyrkkyys), sitä suurempi kehon kiihtyvyys.

Kaavio I: υ 0 \u003d -2 m / s, a\u003d 1/2 m/s 2. Kaavio II: υ 0 \u003d 3 m / s, a\u003d -1/3 m/s 2.

Nopeuskäyrän avulla voit myös määrittää kappaleen siirtymän s projektion jollekin ajalle t. Varataan aika-akselille pieni aikaväli Δt. Jos tämä aikaväli on tarpeeksi pieni, niin nopeuden muutos tällä aikavälillä on pieni, eli liikettä tämän ajanjakson aikana voidaan pitää yhtenäisenä joidenkin keskinopeus, joka on yhtä suuri kuin kappaleen hetkellinen nopeus υ intervallin Δt keskellä. Siksi siirtymä Δs ajan Δt aikana on yhtä suuri kuin Δs = υΔt. Tämä siirtymä on yhtä suuri kuin kuvassa 1 varjostettu alue. raidat. Jakamalla aikaväli 0:sta tiettyyn hetkeen t pieniksi intervalleiksi Δt saadaan, että siirtymä s tietyllä ajalla t tasaisesti kiihdytetyn suoraviivaisen liikkeen aikana on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan ODEF pinta-ala. Vastaavat rakenteet on tehty kuvista 1 ja 2. aikataululle II. Aika t on 5,5 s.

(3) - tuloksena olevan kaavan avulla voit määrittää siirtymän kohdassa tasaisesti kiihdytetty liike jos kiihtyvyyttä ei tiedetä.

Jos korvaamme nopeuden (2) lausekkeen yhtälöllä (3), saadaan (4) - tätä kaavaa käytetään kehon liikeyhtälön kirjoittamiseen: (5).

Jos ilmaistamme yhtälöstä (2) liikeajan (6) ja korvaamme yhtälöllä (3), niin

Tämän kaavan avulla voit määrittää liikkeen tuntemattomalla liikehetkellä.

Sivu 8/12

§ 7. Liike tasaisesti kiihdytettynä
suoraviivaista liikettä

1. Käyttämällä kuvaajaa nopeudesta ajan funktiona saat kaavan kehon siirtämiseksi tasaisella suoraviivaisella liikkeellä.

Kuva 30 esittää kaaviota tasaisen liikkeen nopeuden projektiosta akselilla X ajasta. Jos asetamme jossain vaiheessa kohtisuoran aika-akseliin nähden C, niin saamme suorakulmion OABC. Tämän suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sivujen tulo OA ja OC. Mutta sivun pituus OA on yhtä suuri kuin v x, ja sivun pituus OC - t, siis S = v x t. Nopeuden akselin projektion tulo X ja aika on yhtä suuri kuin siirtymäprojektio, ts. s x = v x t.

Täten, siirtymän projektio tasaisen suoraviivaisen liikkeen aikana on numeerisesti yhtä suuri kuin koordinaattiakselien, nopeuskäyrän ja aika-akseliin nähden nostetun kohtisuoran rajaama suorakulmion pinta-ala.

2. Saamme samalla tavalla kaavan siirtymän projektiolle suoraviivaisessa tasaisesti kiihdytetyssä liikkeessä. Tätä varten käytämme kuvaajaa nopeuden projektion riippuvuudesta akselista X ajasta (kuva 31). Valitse kaaviosta pieni alue ab ja pudota kohtisuorat pisteistä a ja b aika-akselilla. Jos aikaväli D t, joka vastaa osaa CD Kun aika-akselilla on pieni, voidaan olettaa, että nopeus ei muutu tänä aikana ja keho liikkuu tasaisesti. Tässä tapauksessa kuva cabd eroaa vähän suorakulmiosta ja sen pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin kappaleen liikkeen projektio segmenttiä vastaavassa ajassa CD.

Voit jakaa koko hahmon sellaisiksi nauhoiksi OABC, ja sen pinta-ala on yhtä suuri kuin kaikkien liuskojen pinta-alojen summa. Siksi kehon liikkeen projektio ajan kuluessa t numeerisesti yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan pinta-ala OABC. Geometrian kurssista tiedät, että puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen kantajien ja korkeuden puolen summan tulo: S= (OA + eKr)OC.

Kuten kuvasta 31 näkyy, OA = v 0x , eKr = v x, OC = t. Tästä seuraa, että siirtymäprojektio ilmaistaan ​​kaavalla: s x= (v x + v 0x)t.

Tasaisesti kiihdytetyllä suoraviivaisella liikkeellä kehon nopeus milloin tahansa on yhtä suuri v x = v 0x + a x t, Näin ollen s x = (2v 0x + a x t)t.

Täältä:

Saadaksemme kappaleen liikeyhtälön korvaamme siirtymäprojektiokaavan sen ilmaisun koordinaattieron kautta s x = x – x 0 .

Saamme: x – x 0 = v 0x t+, tai

Liikeyhtälön mukaan on mahdollista määrittää kappaleen koordinaatti milloin tahansa, jos tunnetaan kappaleen alkukoordinaatti, alkunopeus ja kiihtyvyys.

3. Käytännössä on usein ongelmia, joissa on tarpeen löytää kappaleen siirtymä tasaisesti kiihtyvässä suoraviivaisessa liikkeessä, mutta liikkeen aikaa ei tunneta. Näissä tapauksissa käytetään erilaista siirtymän projektiokaavaa. Otetaan se.

Tasaisesti kiihdytetyn suoraviivaisen liikkeen nopeuden projektiokaavasta v x = v 0x + a x t ilmaistaan ​​aika:

t = .

Kun tämä lauseke korvataan siirtymän projektiokaavalla, saadaan:

s x = v 0x + .

Täältä:

s x = , tai
–= 2a x s x.

Jos kappaleen alkunopeus on nolla, niin:

2a x s x.

4. Esimerkki ongelmanratkaisusta

Hiihtäjä siirtyy lepotilasta alas vuoren rinnettä 0,5 m/s 2 kiihtyvyydellä 20 s:ssa ja liikkuu sitten vaakasuuntaista osaa pitkin 40 m pysähdyksen jälkeen. Millä kiihtyvyydellä hiihtäjä liikkui vaakasuora pinta? Mikä on vuoren rinteen pituus?

Yhdistämme vertailujärjestelmän Maahan, akseliin X ohjataan hiihtäjän nopeuden suuntaan jokaisessa liikkeen vaiheessa (kuva 32).

Kirjoitetaan yhtälö hiihtäjän nopeudelle vuorelta laskeutumisen lopussa:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

Projekteissa akselilla X saamme: v 1x = a 1x t. Koska nopeuden ja kiihtyvyyden projektiot akselilla X ovat positiivisia, hiihtäjän nopeuden moduuli on: v 1 = a 1 t 1 .

Kirjoitetaan yhtälö, joka liittyy hiihtäjän nopeuden, kiihtyvyyden ja liikkeen projektioihin toisessa liikevaiheessa:

–= 2a 2x s 2x .

Ottaen huomioon, että hiihtäjän alkunopeus tässä liikkeen vaiheessa on sama kuin hänen loppunopeus ensimmäisessä vaiheessa

v 02 = v 1 , v 2x= 0 saamme

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Täältä a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s 2.

Hiihtäjän liikemoduuli ensimmäisessä liikevaiheessa on yhtä suuri kuin vuoren rinteen pituus. Kirjoitetaan yhtälö siirtymälle:

s 1x = v 01x t + .

Siksi vuoren rinteen pituus on s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Vastaus: a 2 \u003d 0,125 m/s 2; s 1 = 100 m.

Kysymyksiä itsetutkiskelua varten

1. Kuten akselilla tasaisen suoraviivaisen liikkeen nopeuden projektion käyrän mukaan X

2. Kuten kaavion mukaan tasaisesti kiihdytetyn suoraviivaisen liikkeen nopeuden projektiosta akselilla X aika määrittää kehon siirtymän projektio?

3. Millä kaavalla lasketaan kappaleen siirtymän projektio tasaisesti kiihdytetyn suoraviivaisen liikkeen aikana?

4. Millä kaavalla lasketaan tasaisesti kiihtyvällä tavalla ja suoraviivaisesti liikkuvan kappaleen siirtymän projektio, jos kappaleen alkunopeus on nolla?

Tehtävä 7

1. Mikä on auton siirtymämoduuli 2 minuutissa, jos sen nopeus on tänä aikana muuttunut 0:sta 72 km/h:iin? Mikä on auton koordinaatti sillä hetkellä t= 2 minuuttia? Alkukoordinaatin oletetaan olevan nolla.

2. Juna liikkuu alkunopeudella 36 km/h ja kiihtyvyydellä 0,5 m/s 2 . Mikä on junan uppouma 20 sekunnissa ja sen koordinaatti ajanhetkellä t= 20 s, jos junan lähtökoordinaatti on 20 m?

3. Mikä on pyöräilijän liike 5 s jarrutuksen alkamisen jälkeen, jos hänen alkunopeus jarrutuksen aikana on 10 m/s ja kiihtyvyys 1,2 m/s 2? Mikä on pyöräilijän ajankohtainen koordinaatti t= 5 s, jos se oli alkuhetkellä origossa?

4. Nopeudella 54 km/h liikkuva auto pysähtyy jarruttaessaan 15 sekuntia. Mikä on auton siirtymämoduuli jarrutettaessa?

5. Kaksi autoa liikkuu toisiaan kohti kahdesta siirtokunnat sijaitsevat 2 km:n etäisyydellä toisistaan. Toisen auton alkunopeus on 10 m/s ja kiihtyvyys 0,2 m/s 2, toisen alkunopeus 15 m/s ja kiihtyvyys 0,2 m/s 2 . Määritä autojen kohtaamispisteen aika ja koordinaatit.

Lab #1

Tutkimus tasaisesti kiihdytetty
suoraviivaista liikettä

Työn tarkoitus:

oppia mittaamaan kiihtyvyyttä tasaisesti kiihtyvässä suoraviivaisessa liikkeessä; määrittää kokeellisesti kehon kulkemien reittien suhde tasaisesti kiihdytetyn suoraviivaisen liikkeen aikana peräkkäisinä yhtäläisin aikavälein.

Laitteet ja materiaalit:

kouru, kolmijalka, metallipallo, sekuntikello, mittanauha, metallisylinteri.

Työmääräys

1. Kiinnitä kourun toinen pää kolmijalan jalkaan niin, että se muodostaa pienen kulman pöydän pintaan nähden. Aseta kourun toiseen päähän metallisylinteri.

2. Mittaa pallon kulkemat reitit 3 peräkkäisenä ajanjaksona, jotka ovat kukin 1 s. Tämä voidaan tehdä eri tavoin. Voit laittaa kouruun merkit liidulla, kiinnittäen pallon sijainnin ajankohtiin, jotka ovat 1 s, 2 s, 3 s, ja mittaa etäisyydet s_ näiden merkkien välissä. Vapauttamalla pallo joka kerta samalta korkeudelta on mahdollista mitata polku s, ohitti hänet ensin 1 sekunnissa, sitten 2 sekunnissa ja 3 sekunnissa, ja laske sitten pallon kulkeman polun toisessa ja kolmannessa sekunnissa. Kirjaa mittaustulokset taulukkoon 1.

3. Laske toisessa sekunnissa kuljetun reitin suhde ensimmäisessä sekunnissa kuljettuun polkuun ja kolmannessa sekunnissa kuljetun polun ja ensimmäisen sekunnin aikana kuljetun polun suhde. Tee johtopäätös.

4. Mittaa aika, jonka pallo kulki kourua pitkin, ja sen kulkema matka. Laske sen kiihtyvyys kaavalla s = .

5. Laske kokeellisesti saatua kiihtyvyyden arvoa käyttäen polut, jotka pallon tulee kulkea liikkeensä ensimmäisen, toisen ja kolmannen sekunnin aikana. Tee johtopäätös.

pöytä 1

Johdetaan kaava, jolla voidaan laskea suoraviivaisesti liikkuvan ja tasaisesti kiihdytetyn kappaleen siirtymävektorin projektio minkä tahansa ajanjakson ajan. Tätä varten siirrytään kuvaan 14. Sekä kuvassa 14, a että kuvassa 14, b segmentti AC on kuvaaja vakiokiihtyvyydellä a (alkunopeudella) liikkuvan kappaleen nopeusvektorin projektiosta. v 0).

Riisi. 14. Suorassa linjassa liikkuvan ja tasaisesti kiihdytetyn kappaleen siirtymävektorin projektio on numeerisesti yhtä suuri kuin kuvaajan alla oleva alue S

Muista, että kappaleen suoraviivaisella tasaisella liikkeellä tämän kappaleen tekemä siirtymävektorin projektio määräytyy samalla kaavalla kuin nopeusvektoriprojektiokaavion alle suljetun suorakulmion pinta-ala (katso kuva 6). Siksi siirtymävektorin projektio on numeerisesti yhtä suuri kuin tämän suorakulmion pinta-ala.

Osoitetaan, että suoraviivaisen tasaisesti kiihdytetyn liikkeen tapauksessa siirtymävektorin s x projektio voidaan määrittää samalla kaavalla kuin AC-kuvaajan, Ot-akselin ja segmenttien OA ja osien välissä olevan kuvan pinta-ala. BC, eli että tässä tapauksessa siirtymävektorin projektio on numeerisesti yhtä suuri kuin nopeuskäyrän alla olevan kuvan pinta-ala. Tätä varten valitsemme Ot-akselilla (katso kuva 14, a) pienen aikavälin db. Pisteistä d ja b piirretään kohtisuorat Ot-akseliin, kunnes ne leikkaavat nopeusvektoriprojektiokuvaajan pisteissä a ja c.

Siten janaa db vastaavan ajanjakson ajan kappaleen nopeus muuttuu arvosta v ax arvoon v cx.

Riittävän lyhyen ajan kuluessa nopeusvektorin projektio muuttuu hyvin vähän. Siksi kehon liike tänä ajanjaksona eroaa vähän tasaisesta, toisin sanoen liikkeestä vakionopeudella.

On mahdollista jakaa koko OASV-hahmon alue, joka on puolisuunnikkaan muotoinen, tällaisiin nauhoihin. Siksi siirtymävektorin sx projektio janaa OB vastaavalle aikavälille on numeerisesti yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan OASV alue S ja se määräytyy samalla kaavalla kuin tämä alue.

Säännön mukaan koulun kursseja Geometriassa puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet sen kantajen ja korkeuden summasta. Kuva 14, b osoittaa, että puolisuunnikkaan OASV kantat ovat segmentit OA = v 0x ja BC = v x ja korkeus on jana OB = t. Näin ollen

Koska v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, voimme kirjoittaa:

Siten olemme saaneet kaavan siirtymävektorin projektion laskemiseksi tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana.

Saman kaavan avulla lasketaan myös siirtymävektorin projektio, kun kappale liikkuu alenevalla nopeusmoduulilla, vain tässä tapauksessa nopeus- ja kiihtyvyysvektorit suunnataan vastakkaisiin suuntiin, joten niiden projektioilla on eri etumerkit.

Kysymyksiä

1. Todista kuvan 14 a avulla, että siirtymävektorin projektio tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana on numeerisesti yhtä suuri kuin OASV-kuvan pinta-ala.
2. Kirjoita muistiin yhtälö, jolla määritetään kappaleen siirtymävektorin projektio sen suoraviivaisen tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana.

Harjoitus 7

Nyt meidän on selvitettävä tärkein asia - kuinka kehon koordinaatti muuttuu sen suoraviivaisen tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana. Tätä varten, kuten tiedämme, sinun on tiedettävä kappaleen siirtymä, koska siirtymävektorin projektio on täsmälleen yhtä suuri kuin koordinaattien muutos.

Siirtymän laskentakaava on helpoin saada graafisella menetelmällä.

Kehon tasaisesti kiihdytetyllä liikkeellä X-akselia pitkin nopeus muuttuu ajan myötä kaavan v x \u003d v 0x + mukaisesti a x t Koska aika sisältyy tähän kaavaan ensimmäiseen potenssiin, nopeuden ja ajan projisoinnin käyrä on suora, kuten kuvassa 39 näkyy. Tämän kuvan viiva 1 vastaa liikettä, jolla on positiivinen kiihtyvyyden projektio (nopeus kasvaa). , suora viiva 2 - liike negatiivisella kiihtyvyysprojektiolla (nopeus laskee). Molemmat kaaviot viittaavat tapaukseen, jolloin ajanhetkellä t = O keholla on alkunopeutta v 0.

Siirtymä ilmaistaan ​​alueena. Valitaan tasaisesti kiihdytetyn liikkeen nopeuden kuvaajasta (kuva 40) pieni alue ab ja pudota pisteistä a ja b kohtisuorat akseliin nähden t. Leikkauspituus CD akselilla t valitulla asteikolla on yhtä suuri kuin se pieni ajanjakso, jonka aikana nopeus muuttui arvostaan ​​pisteessä a sen arvoon kohdassa b. Juonen alla ab grafiikka osoittautui kapeaksi nauhaksi absd.

Jos segmenttiä vastaava aikaväli CD, on riittävän pieni, niin tämän lyhyen ajan aikana nopeus ei voi merkittävästi muuttua - liikettä tämän lyhyen ajanjakson aikana voidaan pitää yhtenäisenä. Strip absd siksi se eroaa vähän suorakulmiosta ja sen pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin segmenttiä vastaavan ajan siirtymän projektio CD(katso § 7).

Mutta on mahdollista jakaa koko nopeuskaavion alla olevan kuvan alue sellaisiksi kapeiksi nauhoiksi. Siksi siirtymä koko ajan t numeerisesti yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan OABS:n pinta-ala. Trapetsin pinta-ala, kuten geometriasta tiedetään, on yhtä suuri kuin puolet sen kantajen ja korkeuden summasta. Meidän tapauksessamme yhden kannan pituus on numeerisesti yhtä suuri kuin v ox, toisen on v x (katso kuva 40). Puolisuunnikkaan korkeus on numeerisesti yhtä suuri kuin t. Tästä seuraa, että projektio s x siirtymä ilmaistaan ​​kaavalla

3s 15.09

Jos alkunopeuden projektio v ox on yhtä suuri kuin nolla (alkuhetkellä keho oli levossa!), niin kaava (1) saa muotoa:

Kuvaaja tällaisen liikkeen nopeudesta on esitetty kuvassa 41.

Kun käytät kaavoja (1) ja(2) MUISTA TÄMÄ Sx, Vox ja v x voivat olla sekä positiivisia" että negatiivisia - loppujen lopuksi nämä ovat vektoreiden projektioita s, vo ja v x-akselille.

Näin ollen näemme, että tasaisesti kiihdytetyllä liikkeellä siirtymä kasvaa ajan myötä eri tavalla kuin tasaisella liikkeellä: nyt kaavaan tulee ajan neliö. Tämä tarkoittaa, että siirtymä kasvaa nopeammin ajan myötä kuin tasaisella liikkeellä.

Miten kehon koordinaatti riippuu ajasta? Nyt on helppo saada kaava koordinaattien laskemiseen X milloin tahansa tasaisella kiihtyvyydellä liikkuvalle keholle.

projektio s x siirtymävektori on yhtä suuri kuin muutos x-x koordinaatit 0 . Siksi voi kirjoittaa

Kaavasta (3) voidaan nähdä, että x-koordinaatin laskemiseksi milloin tahansa t, sinun on tiedettävä alkukoordinaatti, alkunopeus ja kiihtyvyys.

Kaava (3) kuvaa suoraviivaista tasaisesti kiihdytettyä liikettä, aivan kuten kaava (2) § 6 kuvaa suoraviivaista tasaista liikettä.

Toinen kaava liikkumiseen. Siirtymän laskemiseksi voit saada toisen hyödyllisen kaavan, joka ei sisällä aikaa.

Ilmaisusta vx = v0x + axt. saamme ilmaisun ajalle

t= (v x - v 0x): a x ja korvaa se siirtokaavassa s x , edellä. Sitten saamme:

Näiden kaavojen avulla voit löytää kehon siirtymän, jos kiihtyvyys tunnetaan, sekä liikkeen alku- ja loppunopeudet. Jos alkunopeus v o on nolla, kaavat (4) ovat muotoa: