Irrationaaliset yhtälöt. Kattava opas. Irrationaalisten ilmaisujen muunnokset

Irrationaaliset lausekkeet ja niiden muunnokset

Viime kerralla muistimme (tai selvitimme - kuinka joku pitää siitä), mikä on , oppi tällaisten juurien poimimisen, erotti juurien pääominaisuudet pala palalta ja päätti olla tekemättä monimutkaisia ​​esimerkkejä juurten kanssa.

Tämä oppitunti on jatkoa edelliselle ja se on omistettu monenlaisten ilmaisujen muuntamiseen, jotka sisältävät kaikenlaisia ​​juuria. Tällaisia ​​ilmaisuja kutsutaan irrationaalinen. Täällä on ilmaisuja kirjaimilla ja lisäehtoja, eroon irrationaalisuudesta murtoluvuissa ja joitain edistyneitä temppuja juurien kanssa työskentelyssä. Näistä tekniikoista, joita tarkastellaan tällä oppitunnilla, tulee hyvä perusta yhtenäisen valtiontutkinnon (eikä vain) ongelmien ratkaisemiseen melkein minkä tahansa monimutkaisuuden tasolla. Joten aloitetaan.

Ensinnäkin kopioin tähän juurien peruskaavat ja ominaisuudet. Jotta ei hyppää aiheesta toiseen. Täällä he ovat:

klo

Nämä kaavat on tunnettava ja niitä on voitava soveltaa. Ja molempiin suuntiin - sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle. Heihin perustuu useimpien tehtävien ratkaisu, joiden juuret ovat kaiken monimutkaisuuden asteisia. Aloitetaan yksinkertaisimmasta - kaavojen tai niiden yhdistelmien suorasta soveltamisesta.

Kaavojen helppo soveltaminen

Tässä osassa tarkastellaan yksinkertaisia ​​ja vaarattomia esimerkkejä - ilman kirjaimia, lisäehtoja ja muita temppuja. Kuitenkin jopa niissä on yleensä vaihtoehtoja. Ja mitä hienompi esimerkki, sitä enemmän tällaisia ​​vaihtoehtoja. Ja kokemattomalla opiskelijalla on pääongelma- mistä aloittaa? Vastaus tähän on yksinkertainen - et tiedä mitä tehdä, tee mitä voit. Jos vain toimintasi meni rauhassa ja sopusoinnussa matematiikan sääntöjen kanssa eivätkä ole ristiriidassa niiden kanssa.) Esimerkiksi tällainen tehtävä:

Laskea:

Jopa näin yksinkertaisessa esimerkissä vastaukseen on useita polkuja mahdollisia.

Ensimmäinen on yksinkertaisesti kertoa juuret ensimmäisellä ominaisuudella ja erottaa juuri tuloksesta:

Toinen vaihtoehto on tämä: älä koske, käytä . Otamme tekijän pois juuren merkin alta ja sitten - ensimmäisen ominaisuuden mukaan. Kuten tämä:

Voit päättää mistä haluat. Missä tahansa vaihtoehdossa vastaus on yksi - kahdeksan. Minun on esimerkiksi helpompi kertoa 4 ja 128 ja saada 512, ja kuutiojuuri saadaan täydellisesti tästä numerosta. Jos joku ei muista, että 512 on 8 kuutiota, sillä ei ole väliä: voit kirjoittaa 512:ksi 2 9 (kahden 10 ensimmäistä potenssia, toivottavasti muistat?) Ja käyttämällä asteen juuren kaavaa:

Toinen esimerkki.

Laske:.

Jos työskentelet ensimmäisellä kiinteistöllä (ajaa kaikki yhden juuren alle), saat mojovan luvun, josta sitten poimitaan juuri - ei myöskään sokeria. Eikä se ole tosiasia, että se erotettaisiin tasaisesti.) Siksi tässä on hyödyllistä ottaa tekijät pois luvun juuren alta. Ja ota se maksimiin:

Ja nyt kaikki on hyvin:

Jää vielä kirjoittaa kahdeksan ja kaksi yhden juuren alle (ensimmäisen ominaisuuden mukaan) ja - kotelo on valmis. :)

Lisätään nyt muutama murtoluku.

Laskea:

Esimerkki on melko primitiivinen, mutta siinä on myös vaihtoehtoja. Voit muuntaa osoittajan ja vähentää nimittäjällä kertoimen avulla:

Ja voit heti käyttää kaavaa juurien jakamiseen:

Kuten näette, näin ja tuohon - kaikki on oikein.) Jos et kompastele puolivälissä ja tee virhettä. Mutta missä tässä on vika...

Tarkastellaan nyt viimeisintä esimerkkiä kotitehtävät viimeinen oppitunti:

Yksinkertaistaa:

Täysin käsittämätön joukko juuria ja jopa sisäkkäisiä. Kuinka olla? Pääasia, että älä pelkää! Tässä huomaamme ensin numeroiden 2, 4 ja 32 juurien alla - kahden potenssit. Ensimmäinen asia on laittaa kaikki luvut kahteen: loppujen lopuksi mitä enemmän identtisiä numeroita esimerkissä ja mitä vähemmän erilaisia, sitä helpompi.) Aloitetaan erikseen ensimmäisestä tekijästä:

Lukua voidaan yksinkertaistaa vähentämällä juuren alla olevaa kahta neljällä juurieksponentissa:

Nyt työn juuren mukaan:

.

Numerosta otamme pois juuren merkin kakkosen:

Ja käsittelemme lauseketta juuren kaavan mukaan juuresta:

Joten ensimmäinen tekijä kirjoitetaan näin:

Sisäkkäiset juuret ovat kadonneet, luvut ovat pienentyneet, mikä on jo ilahduttavaa. Juuret ovat vain erilaiset, mutta toistaiseksi jätämme sen siihen. Se on tarpeen - muunnetaan samaan. Otamme toisen tekijän.)

Muunnamme toisen tekijän samalla tavalla kaavan mukaan, jossa juuri on tulosta ja juuri juuresta. Tarvittaessa vähennämme indikaattoreita viidennen kaavan mukaan:

Liitämme kaiken alkuperäiseen esimerkkiin ja saamme:

Saimme tuotteen kokonaisesta joukosta täysin erilaisia ​​​​juuria. Olisi kiva saada ne kaikki yhteen indikaattoriin, ja sitten nähdään. No se on ihan mahdollista. Suurin juuriindekseistä on 12, ja kaikki loput - 2, 3, 4, 6 - ovat luvun 12 jakajia. Siksi tuomme kaikki viidennen ominaisuuden mukaiset juuret yhteen indikaattoriin - 12:een:

Laskemme ja saamme:

Emme saaneet hyvää numeroa, mutta se on hyvä. Meiltä kysyttiin yksinkertaistaa ilmaisu, ei Kreivi. Yksinkertaistettu? Tietysti! Ja vastauksen tyypillä (kokonaisluku vai ei) ei ole tässä mitään merkitystä.

Joitakin yhteen-/vähennys- ja lyhennettyjä kertolaskuja

Valitettavasti, yleiset kaavat varten juurien lisääminen ja vähentäminen ei matematiikassa. Tehtävissä usein nämä toiminnot löytyvät kuitenkin juuriltaan. Tässä on ymmärrettävä, että kaikki juuret ovat täsmälleen samoja matemaattisia kuvakkeita kuin kirjaimet algebrassa.) Ja samat tekniikat ja säännöt koskevat juuria kuin kirjaimia - avaavat sulut, tuovat samanlaisia, lyhennetyt kertolaskukaavat jne. P.

Esimerkiksi kaikille on selvää, että . Samanlainen sama Juuret voidaan helposti lisätä/vähentää keskenään:

Jos juuret ovat erilaiset, etsimme tapaa tehdä niistä samat - lisäämällä / poistamalla tekijä tai viidennen ominaisuuden avulla. Jos hyvin, se ei yksinkertaista millään tavalla, niin ehkä muunnokset ovat hankalampia.

Katsotaanpa ensimmäistä esimerkkiä.

Etsi lausekkeen arvo: .

Kaikki kolme juurta, vaikka ne ovat kuutioisia, ovat eri numeroita. Niitä ei eroteta puhtaasti, vaan ne lisätään/vähennetään toisistaan. Siksi yleisten kaavojen soveltaminen ei toimi tässä. Kuinka olla? Ja otetaan huomioon kunkin juuren tekijät. Joka tapauksessa se ei ole huonompi.) Lisäksi itse asiassa ei ole muita vaihtoehtoja:

Tuo on, .

Siinä koko ratkaisu. Täällä siirryttiin eri juurilta samoihin kertoimen ottaminen juuren alta. Ja sitten he vain toivat samanlaisia.) Päätämme edelleen.

Etsi lausekkeen arvo:

Kun juuret ovat seitsemäntoista, et todellakaan voi tehdä asialle mitään. Työskentelemme ensimmäisen ominaisuuden mukaan - teemme yhden juuren kahden juuren tuotteesta:

Katsotaanpa nyt tarkemmin. Mitä meillä on ison kuutiojuuren alla? Ero on kva.. No, tietysti! Neliön ero:

Nyt on vain purettava juuri: .

Laskea:

Tässä sinun on osoitettava matemaattista kekseliäisyyttä.) Ajattelemme suunnilleen seuraavasti: "Joten esimerkissä juurien tuote. Yhden juuren alla on erotus ja toisen alla on summa. Hyvin samanlainen kuin neliöiden erotuskaava. Mutta… juuret ovat erilaiset! Ensimmäinen on neliönmuotoinen ja toinen neljännen asteen... Olisi kiva tehdä niistä samanlaiset. Viidennellä kiinteistöllä voi helposti neliöjuuri tee neljäs juuri. Tätä varten riittää juurilausekkeen neliöinti.

Jos ajattelit samaa, olet puolivälissä menestykseen. Melko oikein! Käännetään ensimmäinen tekijä neljänneksi juureksi. Kuten tämä:

Nyt ei voi tehdä mitään, mutta sinun on muistettava eron neliön kaava. Vain juurille levitettynä. Mitä sitten? Miksi juuret ovat huonompia kuin muut numerot tai lausekkeet?! Rakennamme:

"Hmm, he rakensivat sen, mitä sitten? Retiisi piparjuuri ei ole makeampaa. Lopettaa! Ja jos otat neljän juuren alla? Sitten tulee sama lauseke kuin toisen juuren alla, vain miinuksella, ja juuri tätä yritämme saavuttaa!

Oikein! Otetaan neljä:

.

Ja nyt - tekniikasta:

Näin monimutkaiset esimerkit selviävät.) Nyt on aika harjoitella murtolukujen kanssa.

Laskea:

On selvää, että osoittaja on muutettava. Miten? Tietysti summan neliön kaavan mukaan. Onko meillä muita vaihtoehtoja? :) Neliöinti, kertoimien poistaminen, indikaattoreiden pienentäminen (tarvittaessa):

Miten! Saimme täsmälleen murto-osamme nimittäjän.) Joten koko murtoluku on luonnollisesti yhtä suuri kuin yksi:

Toinen esimerkki. Vasta nyt toiseen lyhennetyn kertolaskukaavaan.)

Laskea:

On selvää, että eron neliötä on sovellettava liiketoiminnassa. Kirjoitetaan nimittäjä erikseen ja - mennään!

Otamme kertoimet esiin juurien alta:

Näin ollen

Nyt kaikki huono on vähentynyt loistavasti ja se osoittautuu:

No, mennään seuraavalle tasolle. :)

Kirjeet ja lisäehdot

Kirjainilmaisut juuret ovat hankalampi asia kuin numeerisia lausekkeita, ja se on ehtymätön ärsyttävien ja erittäin törkeiden virheiden lähde. Estetään tämä lähde.) Virheitä tulee esiin, koska tällaisissa tehtävissä esiintyy usein negatiivisia lukuja ja lausekkeita. Ne joko annetaan meille suoraan tehtävässä tai piilotetaan kirjaimet ja lisäehdot. Ja työskennellessämme juurien kanssa meidän on jatkuvasti muistettava se juurissa tasainen tutkinto sekä juuren alla että irrottamisen seurauksena juuren tulisi olla ei-negatiivinen ilmaisu. Tämän kappaleen tehtävien avainkaava on neljäs kaava:

Parittoman asteen juurilla ei ole kysymyksiä - sieltä kaikki saadaan aina plussalla, miinuksella. Ja miinus, jos mitään, tuodaan eteenpäin. Käsittelemme heti juuria jopa astetta.) Esimerkiksi niin lyhyt tehtävä.

Yksinkertaistaa: , jos .

Vaikuttaa siltä, ​​​​että kaikki on yksinkertaista. Se selviää vain x.) Mutta miksi sitten lisäehto ? Tällaisissa tapauksissa on hyödyllistä arvioida lukujen perusteella. Puhtaasti itselleni.) Jos, niin x on negatiivinen luku. Miinus kolme esimerkiksi. Tai miinus neljäkymmentä. Anna olla . Voitko nostaa miinus kolme neljänteen potenssiin? Tietysti! Osoittautuu, että 81. Onko mahdollista erottaa neljännen asteen juuri 81:stä? Miksi ei? Voi! Hanki kolme. Analysoidaan nyt koko ketjumme:

Mitä me näemme? Tulo oli negatiivinen ja lähtö oli positiivinen. Se oli miinus kolme, nyt se on plus kolme.) Palataan kirjaimiin. Epäilemättä modulo se on täsmälleen X, mutta vain X itse on miinuksella (ehdon mukaan!), Ja erotuksen tuloksen (aritmeettisen juuren takia!) Pitäisi olla plussalla. Miten saada plussaa? Erittäin yksinkertainen! Tätä varten riittää ennen negatiivinen numero laita miinus.) Ja oikea ratkaisu näyttää tältä:

Muuten, jos käyttäisimme kaavaa, muistaen moduulin määritelmän, saisimme heti oikean vastauksen. Koska

|x| = -x kohdassa x<0.

Ota kerroin pois juurimerkistä: , missä .

Ensimmäinen katse on juurilauseke. Kaikki on kunnossa täällä. Joka tapauksessa se ei ole negatiivinen. Aloitamme purkamisen. Tuotteen juuren kaavan mukaan erotamme juuren jokaisesta tekijästä:

Enää ei mielestäni tarvitse selittää, mistä moduulit ovat peräisin.) Ja nyt analysoimme jokaisen moduulin.

Kerroin | a | joten jätämme sen ennalleen: meillä ei ole kirjeessä mitään ehtoaa. Emme tiedä, onko se positiivista vai negatiivista. Seuraava moduuli |b 2 | voidaan turvallisesti jättää pois: joka tapauksessa lausekeb 2 ei-negatiivinen. Ja entä |c 3 | - tämä on jo ongelma.) Jos, sitten ja c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть miinuksella: | c 3 | = - c 3 . Eli oikea ratkaisu olisi:

Ja nyt - käänteinen tehtävä. Ei helpoin, varoitan heti!

Syötä kerroin juuren merkin alle: .

Jos kirjoitat heti ratkaisun näin

sitten sinä joutui ansaan. Tämä väärä päätös! Mikä hätänä?

Katsotaanpa ilmaisua juuren alla. Kuten tiedämme, neljännen asteen juuren alla pitäisi olla ei-negatiivinen ilmaisu. Muuten juurella ei ole merkitystä.) Siksi Ja tämä puolestaan ​​tarkoittaa, että ja siksi on itse myös ei-positiivinen: .

Ja virhe tässä on se, että tuomme juuren alle ei-positiivinen määrä: neljäs teho muuttaa sen ei-negatiivinen ja saadaan väärä tulos - tahallinen miinus vasemmalla ja jo plus oikealla. Ja tuo juuren alle jopa vain meillä on oikeus ei-negatiivinen numeroita tai lausekkeita. Ja jätä miinus, jos sellainen on, juuren eteen.) Kuinka voimme valita numerosta ei-negatiivisen tekijän, tietäen, että se on itsessään negatiivinen? Kyllä, aivan sama! Laita miinus.) Ja jotta mikään ei ole muuttunut, kompensoi se toisella miinuksella. Kuten tämä:

Ja nyt ei-negatiivinen numero (-b) syötetään rauhallisesti juuren alle kaikkien sääntöjen mukaisesti:

Tämä esimerkki osoittaa selvästi, että toisin kuin muut matematiikan osa-alueet, juurien oikea vastaus ei aina automaattisesti seuraa kaavoista. Sinun on mietittävä ja tehtävä henkilökohtaisesti oikea päätös.) Erityisesti sisäänkirjautumisissa kannattaa olla varovaisempi irrationaaliset yhtälöt ja epäyhtälöt.

Käsittelemme seuraavia tärkeitä tekniikoita työskennellessämme juurien kanssa - eroon irrationaalisuudesta.

Irrationaalisuudesta eroon murto-osissa

Jos lausekkeessa on juuret, muistutan teitä, tällaista lauseketta kutsutaan ilmaisua irrationaalisesti. Joissakin tapauksissa on hyödyllistä päästä eroon tästä järjettömyydestä (eli juurista). Miten juuren voi poistaa? Juuremme katoaa, kun ... nostetaan valtaan. Eksponentilla, joka on joko yhtä suuri kuin juuren eksponentti tai sen kerrannainen. Mutta jos nostamme juuren potenssiin (eli kerromme juurin itsellään vaaditun määrän kertoja), lauseke muuttuu tästä. Ei hyvä.) Matematiikassa on kuitenkin aiheita, joissa kertolasku on melko kivutonta. Esimerkiksi murto-osissa. Murtoluvun perusominaisuuden mukaan jos osoittaja ja nimittäjä kerrotaan (jaetaan) samalla luvulla, murto-osan arvo ei muutu.

Oletetaan, että meille annetaan seuraava murtoluku:

Onko mahdollista päästä eroon nimittäjän juuresta? Voi! Tätä varten juuri on kuutioitava. Mitä meiltä puuttuu täyden kuution nimittäjästä? Meiltä puuttuu kerroin ts.. Joten kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla

Nimittäjän juuri on kadonnut. Mutta… hän ilmestyi osoittajaan. Mitään ei ole tehtävissä, sellainen on kohtalo.) Tämä ei ole enää meille tärkeää: meitä pyydettiin vapauttamaan nimittäjä juurista. Julkaistu? Epäilemättä.)

Muuten, ne, jotka ovat jo ristiriidassa trigonometrian kanssa, ovat saattaneet kiinnittää huomiota siihen, että esimerkiksi joissakin oppikirjoissa ja taulukoissa ne merkitsevät eri tavalla: jossain, mutta jossain. Kysymys kuuluu, mikä on oikein? Vastaus: kaikki on oikein!) Jos arvaat senon yksinkertaisesti seurausta murtoluvun nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta vapautumisesta. :)

Miksi meidän pitäisi vapautua irrationaalisuudesta murto-osissa? Mitä eroa sillä on, onko juuri osoittajassa vai nimittäjässä? Laskin laskee kaiken joka tapauksessa.) No, niille, jotka eivät eroa laskimen kanssa, ei todellakaan ole käytännössä mitään eroa ... Mutta jopa laskimen perusteella voit kiinnittää huomiota siihen, että Jaa päällä koko numero on aina kätevämpi ja nopeampi kuin irrationaalinen. Ja vaikenen palstalla jakautumisesta.)

Seuraava esimerkki vain vahvistaa sanani.

Kuinka poistaa neliöjuuri nimittäjästä tästä? Jos osoittaja ja nimittäjä kerrotaan lausekkeella, nimittäjä on summan neliö. Ensimmäisen ja toisen luvun neliöiden summa antaa meille vain numeroita ilman juuria, mikä on erittäin miellyttävää. Kuitenkin... se tulee esiin kaksinkertainen tuote ensimmäisestä numerosta toiseen, jossa kolmen juuri pysyy edelleen. Ei kanavoi. Kuinka olla? Muista toinen upea lyhennetyn kertolaskukaava! Missä ei ole kaksoistuotteita, vaan vain neliöitä:

Sellainen lauseke, joka kerrottuna jollakin summalla (tai erotuksella) johtaa neliöiden ero, kutsutaan myös konjugoitu ilmaisu. Esimerkissämme adjoint-lauseke on ero . Joten kerromme osoittajan ja nimittäjän tällä erolla:

Mitä tässä voi sanoa? Manipulointiemme seurauksena nimittäjän juuri ei hävinnyt - murto-osa katosi yleensä! :) Jopa laskimella kolmen juuren vähentäminen kolmesta on helpompaa kuin murto-osan laskeminen, jonka nimittäjässä on juuri. Toinen esimerkki.

Päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä:

Miten täältä pääsee ulos? Neliöiden lyhennettyjen kertolaskujen kaavat eivät toimi heti - juuria ei ole mahdollista poistaa kokonaan, koska juuri tällä kertaa ei ole neliö, vaan kuutio. On välttämätöntä, että juuri on jotenkin nostettu kuutioksi. Siksi joitain kaavoja on käytettävä kuutioilla. Mitä? Mietitään. Nimittäjä on summa. Kuinka saavutamme kuutiojuuren? Kerro epätäydellinen neliöero! Joten käytämme kaavaa kuutioiden summat. Tämä:

Kuten a meillä on kolme, ja as b on viiden kuutiojuuri:

Ja jälleen murto-osa katosi.) Sellaiset tilanteet, joissa murto-osan nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta vapautettuna murto-osa katoaa kokonaan juurien mukana, ovat hyvin yleisiä. Mitä pidät tästä esimerkistä!

Laskea:

Yritä vain lisätä nämä kolme murtolukua! Ei virheitä! :) Yksi yhteinen nimittäjä on jotain arvokasta. Mutta entä jos yritämme päästä eroon jokaisen murtoluvun nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta? No kokeillaan:

Vau miten mielenkiintoista! Kaikki murto-osat ovat poissa! Täysin. Ja nyt esimerkki on ratkaistu kahdessa erässä:

Yksinkertainen ja tyylikäs. Ja ilman pitkiä ja ikäviä laskelmia. :)

Siksi irrationaalisuudesta murto-osissa vapautumisen operaatio on kyettävä toteuttamaan. Tällaisissa hienoissa esimerkeissä vain hän säästää, kyllä.) Kukaan ei tietenkään perunut tarkkaavaisuutta. On tehtäviä, joissa heitä pyydetään päästämään eroon irrationaalisuudesta osoittaja. Nämä tehtävät eivät eroa käsitellyistä, vain osoittaja on tyhjennetty juurista.)

Monimutkaisempia esimerkkejä

On vielä harkittava joitain erityisiä tekniikoita juurien kanssa työskentelyssä ja harjoitella yksinkertaisimpien esimerkkien purkamista. Ja sitten saadut tiedot riittävät jo kaiken monimutkaisuuden tehtävien ratkaisemiseen. Joten - mene eteenpäin.) Selvitetään ensin, mitä tehdä sisäkkäisille juurille, kun juurikaava juuresta ei toimi. Esimerkiksi tässä on esimerkki.

Laskea:

Juuri juuren alla... Lisäksi juurien alla on summa tai erotus. Siksi juuren kaava juuresta (indikaattorien kertoimella) on tässä Se ei toimi. Asialle on siis tehtävä jotain radikaaleja ilmaisuja V: Meillä ei vain ole muita vaihtoehtoja. Tällaisissa esimerkeissä salataan useimmiten suuren juuren alla täysi neliö jonkin verran. Tai eroja. Ja neliön juuri on jo täydellisesti poimittu! Ja nyt meidän tehtävämme on purkaa se.) Tällainen salauksen purku on tehty kauniisti läpi yhtälöjärjestelmä. Nyt voit nähdä itse.)

Joten ensimmäisen juuren alla meillä on tämä lauseke:

Mitä jos et arvannut? Tarkistetaan! Neliöinti summaneliökaavalla:

Se on oikein.) Mutta... Mistä sain tämän ilmaisun? Taivaalta?

Ei). Pelkästään tätä lauseketta käyttämällä näytän tarkalleen, kuinka tehtävien kääntäjät salaavat tällaiset neliöt. :) Mikä on 54? Tämä ensimmäisen ja toisen luvun neliöiden summa. Ja huomio, jo ilman juuria! Mutta juuri säilyy kaksinkertainen tuote, joka meidän tapauksessamme on yhtä suuri kuin . Siksi tällaisten esimerkkien purkaminen alkaa kaksoistuotteen etsimisellä. Jos purat tavallisella valinnalla. Ja muuten, merkeistä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos ennen kaksinkertaistui plus, niin summan neliö. Jos miinus, niin ero.) Meillä on plus - mikä tarkoittaa summan neliötä.) Ja nyt - luvattu analyyttinen dekoodausmenetelmä. järjestelmän kautta.)

Joten juuremme alla ilmaisu roikkuu selvästi (a+b) 2, ja meidän tehtävämme on löytää a ja b. Meidän tapauksessamme neliöiden summa antaa 54. Joten kirjoitamme:

Nyt tuote tuplataan. Meillä on se. Joten kirjoitamme:

Meillä on seuraava järjestelmä:

Ratkaisemme tavallisella korvausmenetelmällä. Esitämme esimerkiksi toisesta yhtälöstä ja korvaamme ensimmäisellä:

Ratkaistaan ​​ensimmäinen yhtälö:

Otettu vastaan bi-neliö yhtälö fora . Pidämme syrjintää:

tarkoittaa,

Saimme peräti neljä mahdollista arvoaa. Emme pelkää. Nyt karsitaan pois kaikki tarpeeton.) Jos nyt laskemme vastaavat arvot jokaiselle neljälle löydetylle arvolle, saamme järjestelmäämme neljä ratkaisua. Täällä he ovat:

Ja sitten kysymys kuuluu - mikä ratkaisuista sopii meille? Mietitään. Negatiiviset ratkaisut voidaan heti hylätä: neliöitäessä miinukset "palavat pois", eikä koko radikaalilauseke muutu kokonaisuutena.) Kaksi ensimmäistä vaihtoehtoa jäävät. Voit valita ne täysin mielivaltaisesti: summa ei kuitenkaan muutu termien uudelleenjärjestelystä.) Olkoon esimerkiksi , ja .

Yhteensä saimme seuraavan summan neliön juuren alle:

Kaikki on selvää.)

En turhaan kuvaile ratkaisun kulkua niin yksityiskohtaisesti. Selvittääksemme, kuinka salauksen purku tapahtuu.) Mutta on yksi ongelma. Analyyttinen tulkintamenetelmä, vaikka se onkin luotettava, on erittäin pitkä ja hankala: sinun on ratkaistava kaksikvadraattinen yhtälö, hankittava järjestelmään neljä ratkaisua ja sitten mietittävä, mitkä niistä valita ... Ongelmallista? Olen samaa mieltä, se on vaikeaa. Tämä menetelmä toimii moitteettomasti useimmissa näistä esimerkeistä. Usein on kuitenkin hienoa vähentää työtäsi ja löytää molemmat numerot luovasti. Valinta.) Kyllä, kyllä! Nyt käytän esimerkkiä toisesta termistä (toinen juuri), näytän helpomman ja nopeamman tavan valita koko neliö juuren alla.

Joten nyt meillä on tämä juuri: .

Ajattelemme näin: "Juurin alla on todennäköisesti salattu täysi neliö. Ajat kaksinkertaisen miinuksen edessä tarkoittavat eron neliötä. Ensimmäisen ja toisen luvun neliöiden summa antaa meille luvun 54. Mutta mitä nämä neliöt ovat? 1 ja 53? 49 ja 5 ? Liian monta vaihtoehtoa... Ei, on parempi aloittaa purkaminen kaksoistuotteella. Meidänvoidaan kirjoittaa muodossa. Kerran työ kaksinkertainen, hylkäämme heti kakkosen. Sitten ehdokkaat rooliin a ja b pysyvät 7 ja . Ja yhtäkkiä kello on 14 ja/2 ? Ei poissuljettu. Mutta aloitamme aina yksinkertaisesta! Joten anna, a. Tarkastetaan niiden neliöiden summa:

Tapahtui! Joten juurilausekkeemme on itse asiassa erotuksen neliö:

Tässä on sellainen tapa-valo, jotta ei sotkeudu järjestelmään. Se ei aina toimi, mutta monissa tällaisissa esimerkeissä se riittää. Joten juurien alla on täysiä neliöitä. Jää vain purkaa juuret oikein ja laskea esimerkki:

Ja nyt analysoidaan vielä epätyypillisempi tehtävä juurissa.)

Todista, että luku Aon kokonaisluku if .

Mitään ei uuteta suoraan, juuret ovat sisäkkäisiä, ja jopa eriasteisia ... Painajainen! Tehtävä on kuitenkin järkevä.) Siksi sen ratkaisuun on avain.) Ja tässä on avain. Ajattele tasa-arvoamme

Miten yhtälö for A. Kyllä kyllä! Olisi kiva päästä eroon juurista. Juuremme ovat kuutioiset, joten nostetaan yhtälön molemmat puolet kuutioksi. Kaavan mukaan summa kuutio:

Kuutiot ja kuutiojuuret kompensoivat toisiaan, ja jokaisen suuren juuren alla otamme yhden hakasulkeen neliöstä ja käännämme erotuksen ja summan tulon neliöiden erotukseksi:

Laskemme erikseen juurien alla olevien neliöiden eron:

Muunnettaessa aritmeettisia juuria käytetään niiden ominaisuuksia (katso kohta 35).

Tarkastellaan useita esimerkkejä aritmeettisten juurien ominaisuuksien soveltamisesta radikaalien yksinkertaisimpiin muunnoksiin. Tässä tapauksessa kaikkien muuttujien katsotaan saavan vain ei-negatiivisia arvoja.

Esimerkki 1. Pura juuri tuotepäätöksestä. Käyttämällä ominaisuutta 1°, saamme:

Esimerkki 2. Ota kerroin juurimerkin alta

Päätös.

Tällaista muunnosa kutsutaan faktorin poistamiseksi juurimerkin alta. Muunnoksen tarkoituksena on yksinkertaistaa radikaalilauseketta.

Esimerkki 3: Yksinkertaista

Päätös. Ominaisuuden 3° mukaan yritetään yleensä yksinkertaistaa radikaalilauseketta, jolle otetaan pois juuren merkin ulkopuoliset tekijät. Meillä on

Esimerkki 4: Yksinkertaista

Päätös. Muunnamme lausekkeen ottamalla juuren merkin alle tekijän: Ominaisuudella 4° meillä on

Esimerkki 5: Yksinkertaista

Päätös. Ominaisuudella 5° meillä on oikeus jakaa juuren eksponentti ja radikaalilausekkeen eksponentti samalla luonnollisella luvulla. Jos tarkasteltavassa esimerkissä jaamme ilmoitetut indikaattorit kolmella, saamme

Esimerkki 6. Yksinkertaista lausekkeet: a)

Ratkaisu, a) Ominaisuudella 1° saadaan, että samanasteisten juurien kertomiseen riittää, että kerrotaan juurilausekkeet ja erotetaan saadusta tuloksesta samanasteinen juuri. tarkoittaa,

b) Ensinnäkin meidän on vähennettävä radikaalit yhteen indeksiin. Ominaisuuden 5° mukaan voidaan kertoa juurilausekkeen eksponentti ja juurilausekkeen eksponentti samalla luonnollisella luvulla. Siksi edelleen meillä on Ja nyt tuloksessa, joka saadaan jakamalla juuren indikaattorit ja radikaalilausekkeen aste kolmella, saamme

Valmentaja numero 1

Aihe: Voiman ja irrationaalisten ilmaisujen muuntaminen

1. Matematiikan valinnainen kurssiohjelma 10. luokan opiskelijoille

   Ohjelmoida

   Sovellus. Trigonometristen peruskaavojen soveltaminen muunnos ilmaisuja. Teema 4. Trigonometriset funktiot ja niiden kuvaajat. Yhteenveto.... 16.01-20.01 18 muunnos tehoa ja irrationaalinen ilmaisuja. 23.01-27.01 19 ...

2. Oppimateriaalialgebran kalenteriteemaattinen suunnittelu ja analyysin alku, luokka 11

   Kalenteriteemainen suunnittelu

   Ja järkevä indikaattori. muunnos tehoa ja irrationaalinen ilmaisuja. 2 2 2 syyskuu Logaritmien ominaisuudet. muunnos logaritminen ilmaisuja. 1 1 1 ... täysin käsitelty nuo korkeaan tavoittelevat opiskelijat...

3. Oppitunnin aihe Oppitunnin tyyppi (4)

   Oppitunti

   ... muunnoksia numeerinen ja aakkosellinen ilmaisuja sisältävät astetta ... astetta Tiedä: käsite tutkinnon irrationaalisen eksponentin kanssa; perusominaisuudet astetta. Osaa: löytää merkitys astetta kanssa irrationaalinen... 3 by aihe « Tutkinto positiivinen luku...

4. Aihe Työelämän psykologisen tiedon kehittämisen kulttuuriset ja historialliset perusteet Aihe Työelämä sosiopsykologisena todellisuutena

   Asiakirja

   Jne.) teema työ liittyy läheisesti sosioekonomiseen muunnoksia. Esimerkiksi ... tietoisuuden, vaistojen, irrationaalinen trendejä, ts. sisäiset konfliktit ... läsnäolon varmistaminen ja astetta ilmaisukyky ihmisellä on varma...

5. Neliöjuuria sisältävien lausekkeiden muuntaminen (1)

   Oppitunti

   Toimittanut S.A. Teljakovski. Teema oppitunti: muunnos ilmaisuja sisältää neliön...) muunnoksia tuotteen juuret, fraktiot ja astetta, kertolasku ... (identtisen taidon muodostuminen muunnoksia irrationaalinen ilmaisuja). Nro 421. (taululla...

Juurien ominaisuudet ovat kahden seuraavan muunnoksen taustalla, joita kutsutaan juuren merkin alle tuomiseksi ja juuren merkin alta poistamiseksi, joihin nyt käännytään.

Kerroimen syöttäminen juuren merkin alle

Tekijän syöttäminen merkin alle tarkoittaa lausekkeen , jossa B ja C ovat joitain lukuja tai lausekkeita, ja n on yhtä suurempi luonnollinen luku, korvaamista identtisellä muodon tai lausekkeella.

Esimerkiksi irrationaalinen lauseke sen jälkeen, kun kerroin 2 on lisätty juurimerkin alle, on muotoa .

Tämän muunnoksen teoreettiset perusteet, sen toteuttamissäännöt sekä ratkaisut kaikenlaisiin tyypillisiin esimerkkeihin esitetään artikkelissa, joka esittelee juurimerkin alla olevan tekijän.

Kertoimen ottaminen juuren merkin alta

Muunnos, tietyssä mielessä, päinvastoin kuin tekijän tuominen juurimerkin alle, on tekijän poistaminen juurimerkin alta. Se koostuu siitä, että juuri esitetään parittoman n:n tulona tai parillisen n:n tulona, ​​missä B ja C ovat joitain lukuja tai lausekkeita.

Palataanpa esimerkiksi edelliseen kappaleeseen: kun tekijä on otettu pois juurimerkin alta, irrationaalinen lauseke saa muotoa . Toinen esimerkki: tekijän poistaminen lausekkeen juurimerkin alta antaa tuotteen, joka voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon .

Mihin tämä muunnos perustuu ja minkä sääntöjen mukaan se suoritetaan, analysoimme erillisessä artikkelissa tekijän poistamista juurimerkin alta. Samalla annamme ratkaisuja esimerkkeihin ja luettelemme tapoja saada radikaalilauseke muotoon, joka on kätevä kertojan poistamiselle.

Muunnetaan juuria sisältäviä murtolukuja

Irrationaaliset lausekkeet voivat sisältää murto-osia, joiden osoittajassa ja nimittäjässä on juuria. Tällaisilla fraktioilla voit suorittaa minkä tahansa tärkeimmistä murtolukujen identtiset muunnokset.

Ensinnäkin mikään ei estä sinua työskentelemästä osoittajien ja nimittäjien lausekkeiden kanssa. Otetaan esimerkkinä murto-osa. Irrationaalinen lauseke osoittajassa on ilmeisesti identtisesti yhtä suuri kuin , ja juurien ominaisuuksiin viitaten nimittäjässä oleva lauseke voidaan korvata juurella. Tämän seurauksena alkuperäinen murto-osa muunnetaan muotoon .

Toiseksi, voit muuttaa etumerkkiä ennen murtolukua muuttamalla osoittajan tai nimittäjän etumerkkiä. Esimerkiksi irrationaalisen lausekkeen muunnoksia on: .

Kolmanneksi, joskus on mahdollista ja tarkoituksenmukaista vähentää fraktiota. Esimerkiksi kuinka kieltää itseltäsi murto-osan pienentämisen ilo irrationaaliseen ilmaisuun , tuloksena saamme .

On selvää, että monissa tapauksissa ennen murtoluvun pelkistämistä sen osoittajassa ja nimittäjässä olevat lausekkeet on otettava huomioon, mikä yksinkertaisissa tapauksissa voidaan saavuttaa lyhennettyjen kertolaskujen avulla. Ja joskus muuttujan korvaaminen auttaa vähentämään murtolukua, jolloin voit siirtyä alkuperäisestä murtoluvusta irrationaalisesti järkevään murto-osaan, jonka kanssa on mukavampaa ja tutumpaa työskennellä.

Otetaan esimerkkinä lauseke. Otetaan käyttöön uusia muuttujia ja näissä muuttujissa alkuperäinen lauseke on muotoa . Esiintyy osoittajassa

Artikkeli paljastaa irrationaalisten ilmaisujen merkityksen ja muunnokset niiden avulla. Harkitse irrationaalisten ilmaisujen, muunnoksen ja tunnusomaisten ilmaisujen käsitettä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mitä ovat irrationaaliset ilmaisut?

Kun tutustumme juureen koulussa, tutkimme irrationaalisten ilmaisujen käsitettä. Tällaiset ilmaisut liittyvät läheisesti juuriin.

Määritelmä 1

Irrationaalisia ilmaisuja ovat ilmaisuja, joilla on juuri. Eli nämä ovat ilmaisuja, joissa on radikaaleja.

Tämän määritelmän perusteella saamme, että x - 1 , 8 3 3 6 - 1 2 3 , 7 - 4 3 (2 + 3 ), 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 ovat kaikki irrationaalisia lausekkeita.

Kun tarkastellaan lauseketta x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3, huomaamme, että lauseke on rationaalinen. Rationaalisia lausekkeita ovat polynomit ja algebralliset murtoluvut. Irrationaalisia ovat esimerkiksi logaritmiset lausekkeet tai radikaalilausekkeet.

Irrationaalisten lausekkeiden muunnosten päätyypit

Tällaisia ​​lausekkeita laskettaessa on kiinnitettävä huomiota ODZ:ään. Usein ne vaativat lisämuunnoksia laajennettavien sulkeiden, jäsenten suoratoiston, ryhmittelyn ja niin edelleen muodossa. Tällaisten muunnosten perustana ovat operaatiot numeroiden kanssa. Irrationaalisten ilmaisujen muunnokset noudattavat tiukkaa järjestystä.

Esimerkki 1

Muunna lauseke 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 .

Päätös

Luku 9 on korvattava lausekkeella, joka sisältää juuren. Sitten saamme sen

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

Tuloksena olevalla lausekkeella on samanlaiset termit, joten suoritetaan pelkistys ja ryhmittely. Saada

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Vastaus: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

Esimerkki 2

Esitä lauseke x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 kahden irrationaalisen tulona käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja.

Ratkaisut

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

Esitämme luvun 9 muodossa 3 2 ja käytämme kaavaa neliöiden erolle:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Identtisten muunnosten tulos johti kahden rationaalisen lausekkeen tuloon, jotka oli löydettävä.

Vastaus:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Voit suorittaa useita muita muunnoksia, jotka koskevat irrationaalisia lausekkeita.

Radikaali ilmaisun muunnos

On tärkeää, että juuren merkin alla oleva lauseke voidaan korvata identtisellä sen kanssa. Tämä lausunto mahdollistaa työskentelyn radikaalin ilmaisun kanssa. Esimerkiksi 1 + 6 voidaan korvata luvulla 7 tai 2 · a 5 4 - 6 2 · a 4 · a 4 - 6 . Ne ovat identtisiä, joten korvaaminen on järkevää.

Kun ei ole 1:tä, joka eroaa a:sta, jossa epäyhtälö muotoa a n \u003d a 1 n on tosi, niin tällainen yhtäläisyys on mahdollista vain, kun \u003d a 1. Tällaisten lausekkeiden arvot ovat yhtä suuret kuin muut muuttujien arvot.

Pääominaisuuksien käyttäminen

Juuriominaisuuksia käytetään lausekkeiden yksinkertaistamiseen. Sovellettaessa ominaisuutta a · b = a · b , jossa a ≥ 0 , b ≥ 0 , niin irrationaalisesta muodosta 1 + 3 · 12 voidaan saada identtisesti yhtä suuri kuin 1 + 3 · 12 . Omaisuus. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2 , . . . , · n k , missä a ≥ 0 tarkoittaa, että x 2 + 4 4 3 voidaan kirjoittaa muodossa x 2 + 4 24 .

Radikaalilausekkeiden muuntamisessa on joitain vivahteita. Jos on lauseke, niin - 7 - 81 4 \u003d - 7 4 - 81 4 emme voi kirjoittaa muistiin, koska kaava a b n \u003d a n b n toimii vain ei-negatiiviselle a:lle ja positiiviselle b:lle. Jos ominaisuutta käytetään oikein, saadaan muotoa 7 4 81 4 oleva lauseke.

Oikeaa muunnosa varten käytetään irrationaalisten lausekkeiden muunnoksia juurien ominaisuuksien avulla.

Kerroimen syöttäminen juuren merkin alle

Määritelmä 3

Syötä juuren merkin alle– tarkoittaa lausekkeen B · C n korvaamista, ja B ja C ovat joitain lukuja tai lausekkeita, joissa n on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1, yhtä suurella lausekkeella, jonka muoto on B n · C n tai - B n · C n .

Jos yksinkertaistamme muodon 2 x 3 lauseketta, niin sen jälkeen, kun se on lisätty juuren alle, saadaan 2 3 x 3. Tällaiset muunnokset ovat mahdollisia vasta sen jälkeen, kun on tutkittu yksityiskohtaisesti säännöt, jotka koskevat tekijän lisäämistä juurimerkin alle.

Kertoimen ottaminen juuren merkin alta

Jos on lauseke muotoa B n · C n , niin se pelkistyy muotoon B · C n , jossa on parittomat n , jotka ovat muotoa B · C n parillisella n , B ja C ovat joitain lukuja ja ilmaisuja.

Eli jos otamme irrationaalisen lausekkeen muodossa 2 3 · x 3, otamme kertoimen juuren alta, niin saadaan lauseke 2 · x 3 . Tai x + 1 2 · 7 johtaa lausekkeeseen kuten x + 1 · 7 , jolla on toinen merkintä muodossa x + 1 · 7 .

Kertoimen poistaminen juuren alta on välttämätöntä lausekkeen ja sen nopean muuntamisen yksinkertaistamiseksi.

Muunnetaan juuria sisältäviä murtolukuja

Irrationaalinen lauseke voi olla joko luonnollinen luku tai murtoluku. Murtolukulausekkeiden muuntamiseksi kiinnitetään paljon huomiota sen nimittäjään. Jos otamme murto-osan muodosta (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, niin osoittaja saa muotoa 5 x 4, ja juurien ominaisuuksia käyttämällä saadaan, että nimittäjästä tulee x 2 + 5 6. Alkuperäinen murtoluku voidaan kirjoittaa muodossa 5 x 4 x 2 + 5 6 .

Huomaa, että vain osoittajan etumerkki tai vain nimittäjä täytyy muuttaa. Me ymmärrämme sen

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

Murtolukuvähennystä käytetään useimmiten yksinkertaistettaessa. Me ymmärrämme sen

3 x + 4 3 - 1 x x + 4 3 - 1 3 vähennämme x + 4 3 - 1 . Saamme lausekkeen 3 · x x + 4 3 - 1 2 .

Ennen pelkistystä on suoritettava muunnoksia, jotka yksinkertaistavat lauseketta ja mahdollistavat monimutkaisen lausekkeen faktoroinnin. Yleisimmin käytetyt kaavat ovat lyhennetty kertolasku.

Jos otamme murto-osan muodosta 2 · x - y x + y, on tarpeen ottaa käyttöön uudet muuttujat u \u003d x ja v \u003d x, jolloin annettu lauseke muuttaa muotoa ja siitä tulee 2 · u 2 - v 2 u + v. Osoittaja tulee jakaa polynomeiksi kaavan mukaan, niin saamme sen

2 u 2 - v 2 u + v = 2 (u - v) u + v u + v = 2 u - v . Käänteisen substituution suorittamisen jälkeen tulemme muotoon 2 · x - y , joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen.

Vähentäminen uuteen nimittäjään on sallittu, jolloin osoittaja on kerrottava lisäkertoimella. Jos otamme murto-osan muodosta x 3 - 1 0, 5 · x, niin pelkistetään nimittäjään x. tätä varten sinun on kerrottava osoittaja ja nimittäjä lausekkeella 2 x, jolloin saadaan lauseke x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

Jakeiden vähentäminen tai vastaavien tuominen on tarpeen vain määritellyn jakeen ODZ:lle. Kerrottaessa osoittaja ja nimittäjä irrationaalisella lausekkeella saadaan eroon nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta.

Eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä

Kun lauseke päästää eroon nimittäjässä olevasta juuresta muunnoksen avulla, sitä kutsutaan irrationaalisuuden irrationaalisuudeksi. Tarkastellaan esimerkkiä muodon x 3 3 murto-osasta. Irrationaalisuudesta eroon päästyämme saamme uuden murto-osan muodosta 9 3 · x 3 .

Siirtyminen juurista asteisiin

Siirtymät juurista potenssiin ovat välttämättömiä irrationaalisten ilmaisujen nopeaan muuntamiseen. Jos tarkastellaan yhtälöä a m n = a m n , niin on selvää, että sen käyttö on mahdollista, kun a on positiivinen luku, m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Jos tarkastelemme lauseketta 5-2 3, niin muuten meillä on oikeus kirjoittaa se muodossa 5-2 3. Nämä ilmaisut ovat vastaavia.

Kun juuren alla on negatiivinen luku tai luku, jossa on muuttujia, kaavaa a m n = a m n ei aina voida soveltaa. Jos sinun on korvattava tällaiset juuret (- 8) 3 5 ja (- 16) 2 4 potenssilla, niin saadaan, että - 8 3 5 ja - 16 2 4 kaavan a m n = a m n mukaan eivät toimi negatiivisen a kanssa. radikaalien ilmaisujen ja niiden yksinkertaistamisen aiheen analysoimiseksi yksityiskohtaisesti on tarpeen tutkia artikkeli siirtymisestä juurista valtuuksiin ja päinvastoin. On muistettava, että kaava a m n = a m n ei sovellu kaikkiin tämän tyyppisiin lausekkeisiin. Irrationaalisuudesta eroon pääseminen yksinkertaistaa edelleen ilmaisua, sen muuntamista ja ratkaisua.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter