Juhuslike suuruste summa jaotustihedus. Kahe juhusliku sõltumatu muutuja summa jaotus. Ligikaudsed summade jaotus

Definitsioon. Juhuslikke muutujaid Х 1 , Х 2 , …, Х n nimetatakse sõltumatuteks, kui mis tahes x 1, x 2 , …, x n korral on sündmused sõltumatud

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Definitsioonist tuleneb otseselt, et sõltumatute juhuslike muutujate puhul X 1, X 2, …, X n jaotusfunktsioon n-mõõtmeline juhuslik suurus X = X 1, X 2, …, X n on võrdne juhuslike muutujate jaotusfunktsioonide korrutisega X 1, X 2, …, X n

F(x 1 , x2, …, x n) = F(x 1)F(x2)…F(x n). (1)

Eristagem võrdsust (1) n korda mööda x 1 , x2, …, x n, saame

lk(x 1 , x2, …, x n) = lk(x 1)lk(x2)…lk(x n). (2)

Juhuslike suuruste sõltumatuse kohta võib anda veel ühe definitsiooni.

Kui ühe juhusliku suuruse jaotusseadus ei sõltu sellest, milliseid võimalikke väärtusi on võtnud teised juhuslikud muutujad, siis nimetatakse selliseid juhuslikke suurusi koondarvus sõltumatuteks.

Näiteks ostetakse kaks erineva väljaande loteriipiletit. Las olla X– esimese pileti võidusumma, Y– teise pileti võidusumma. juhuslikud muutujad X ja Y- sõltumatu, kuna ühe pileti võitmine ei mõjuta teise pileti jaotusseadust. Aga kui piletid on sama teemaga, siis X ja Y- sõltuv.

Kahte juhuslikku muutujat nimetatakse sõltumatuks, kui neist ühe jaotusseadus ei muutu sõltuvalt sellest, milliseid võimalikke väärtusi teine ​​muutuja on võtnud.

1. teoreem(konvolutsioonid) või "teoreem 2 juhusliku suuruse summa tiheduse kohta".

Las olla X = (X 1;X 2) on sõltumatu pidev kahemõõtmeline juhuslik suurus, Y = X 1+ X 2. Siis jaotustihedus

Tõestus. Saab näidata, et kui , siis

kus X = (X 1 , X 2 , …, X n). Siis kui X = (X 1 , X 2), seejärel jaotusfunktsioon Y = X 1 + X 2 saab määratleda järgmiselt (joonis 1) –

Vastavalt definitsioonile on funktsiooniks juhusliku suuruse Y = X 1 + X 2 jaotustihedus, s.o.

py (t) = mida tuli tõestada.

Tuletagem valem kahe sõltumatu diskreetse juhusliku suuruse summa tõenäosusjaotuse leidmiseks.

2. teoreem. Las olla X 1 , X 2 – sõltumatud diskreetsed juhuslikud suurused,

Tõestus. Kujutage ette sündmust A x = {X 1 +X 2 = x) kokkusobimatute sündmuste summana

A x = å( X 1 = x i ; X 2 = x– x i).

Nagu X 1 , X 2 - iseseisev siis P(X 1 = x i ; X 2 = x– x i) = P(X 1 = x i) P(X 2 = x-x i), siis

P(A x) = P(å( X 1 = x i ; X 2 = x – x i)) = å( P(X 1 = x i) P(X 2 = x-x i))

Q.E.D.

Näide 1 Las olla X 1 , X 2 - sõltumatud juhuslikud muutujad, millel on parameetritega normaaljaotus N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).

Leiame nende summa jaotustiheduse (tähistame X 1 = x, Y = X 1 +X 2)

On lihtne näha, et integrand on tavalise juhusliku suuruse jaotustihedus koos parameetritega a= , , st. integraal on 1.

Funktsioon py(t) on normaaljaotuse tihedus parameetritega a = 0, s = . Seega on sõltumatute normaaljuhuslike suuruste summal parameetritega (0,1) normaaljaotus parameetritega (0,), s.t. Y = X 1 + X 2 ~ N(0;).

Näide 2. Olgu siis antud kaks diskreetset sõltumatut Poissoni jaotusega juhuslikku muutujat

kus k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Teoreemi 2 järgi on meil:

Näide 3 Las olla X 1, X 2 - sõltumatud eksponentsiaalse jaotusega juhuslikud muutujad . Leiame tiheduse Y= X 1 +X 2 .

Tähistage x = x 1. Alates X 1, X 2 on sõltumatud juhuslikud muutujad, siis kasutame konvolutsiooniteoreemi

Võib näidata, et kui summa ( Х i on eksponentsiaalne jaotus parameetriga l), siis Y= omab jaotust nimega Erlangi jaotus ( n- 1) tellimus. See seadus saadi telefonikeskjaamade töö modelleerimisel esimestes järjekorra teooria töödes.

Matemaatilises statistikas kasutatakse jaotusseadusi sageli juhuslike suuruste jaoks, mis on sõltumatute normaalsete juhuslike muutujate funktsioonid. Vaatleme kolme seadust, mida juhuslike nähtuste modelleerimisel kõige sagedamini kohtab.

3. teoreem. Kui juhuslikud suurused on sõltumatud X 1, ..., X n, siis on ka nende juhuslike suuruste funktsioonid sõltumatud Y 1 = f 1 (X 1), ...,Y n = f n(X n).

Pearsoni jaotus(alates 2 - levitamine). Las olla X 1, ..., X n on sõltumatud normaalsed juhuslikud muutujad parameetritega a= 0, s = 1. Koostage juhuslik suurus

Seega

Võib näidata, et tihedus x > 0 korral on kujul , kus k n on mingi koefitsient tingimuse jaoks, mis tuleb täita. Kuna n ® ¥, kaldub Pearsoni jaotus normaaljaotusele.

Olgu Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s), siis juhuslikud suurused ~ N(0,1). Seetõttu on juhuslikul suurusel c 2 jaotus n vabadusastmega.

Pearsoni jaotus esitatakse tabelina ja seda kasutatakse matemaatilise statistika erinevates rakendustes (näiteks jaotusseaduse järjepidevuse hüpoteesi testimisel).

Otsustaja võib teatud tüüpi juhuslike sündmuste negatiivse finantsmõju leevendamiseks kasutada kindlustust.

Kuid see arutelu on väga üldine, kuna otsustaja võib tähendada nii üksikisikut, kes otsib kaitset vara, säästude või sissetulekute kahjustamise eest, kui ka organisatsiooni, kes otsib kaitset sama tüüpi kahjude eest.

Tegelikult võib selline organisatsioon olla kindlustusselts, kes otsib võimalusi kaitsta end rahaliste kahjude eest, mis on tingitud liiga paljudest üksikkliendi või tema kindlustusportfelliga toimunud kindlustusjuhtumitest. Seda kaitset nimetatakse edasikindlustus.

Mõelge ühele kahest mudelist (nimelt individuaalne riskimudel) kasutatakse laialdaselt kindlustusmäärade ja -reservide määramisel, samuti edasikindlustuses.

Tähistage S kindlustusseltsi juhuslike kahjude summa teatud osa oma riskidest. Sel juhul S on juhuslik suurus, mille tõenäosusjaotuse peame määrama. Ajalooliselt on r.v. S postulaate oli kaks komplekti. Individuaalne riskimudel määratleb S järgmisel viisil:

kus r.v. tähendab numbriga kindlustusobjekti tekitatud kahjusid mina, a n tähistab kindlustusobjektide koguarvu.

Tavaliselt eeldatakse, et need on sõltumatud juhuslikud suurused, kuna sel juhul on matemaatilised arvutused lihtsamad ja nendevahelise seose olemuse kohta teavet pole vaja. Teine mudel on kollektiivse riski mudel.

Üksikute riskide vaadeldav mudel ei kajasta raha väärtuse muutusi ajas. Seda tehakse mudeli lihtsustamiseks, mistõttu artikli pealkiri viitab lühikesele ajaintervallile.

Vaatleme ainult suletud mudeleid, st. need, milles kindlustusobjektide arv n valemis (1.1) on teada ja fikseeritud vaadeldava ajavahemiku alguses. Kui võtta kasutusele eeldused migratsiooni olemasolu kohta kindlustussüsteemist või kindlustussüsteemi, siis saame avatud mudeli.

Juhuslikud muutujad, mis kirjeldavad individuaalseid väljamakseid

Kõigepealt tuletagem meelde elukindlustuse põhisätteid.

Üheaastase surmakindlustuse korral kohustub kindlustusandja summa tasuma b, kui kindlustusvõtja sureb aasta jooksul alates kindlustuslepingu sõlmimisest ja ei maksa midagi, kui kindlustusvõtja elab sel aastal.

Kindlustusjuhtumi toimumise tõenäosus määratud aasta jooksul on tähistatud .

Kindlustusmakseid kirjeldaval juhuslikul suurusel on jaotus, mida saab määrata kas tõenäosusfunktsiooniga

(2.1)

või vastav jaotusfunktsioon

(2.2)

Valemist (2.1) ja momentide definitsioonist saame

(2.4)

Neid valemeid saab ka kirjutades X nagu

kus on konstantne väärtus, mida makstakse surma korral, ja on juhuslik suurus, mis saab surma korral väärtuse 1 ja muul juhul 0.

Seega ja ning r.v. keskmine väärtus ja dispersioon. on võrdsed ja vastavalt ning r.v keskmine väärtus ja dispersioon. on võrdsed ja , mis langeb kokku ülaltoodud valemitega.

Juhuslikku suurust vahemikuga (0,1) kasutatakse aktuaarimudelites laialdaselt.

Tõenäosusteooria õpikutes nimetatakse seda indikaator, Bernoulli juhuslik väärtus või binoomne juhuslik suurusühe testi kujunduses.

Me helistame talle indikaator lühiduse tõttu ja ka seetõttu, et see näitab kõnealuse sündmuse algust või mitte algust.

Liigume edasi üldisemate mudelite otsimise juurde, milles kindlustusmakse väärtus on samuti juhuslik suurus ja vaadeldava ajaintervalli jooksul võib juhtuda mitu kindlustusjuhtumit.

Tervisekindlustus, auto- ja muu varakindlustus ning vastutuskindlustus pakuvad kohe palju näiteid. Üldistades valemi (2.5), seame

kus on juhuslik suurus, mis kirjeldab kindlustusmakseid vaadeldaval ajavahemikul, r.v. tähistab maksete kogusummat selles intervallis ja r.v. on vähemalt ühe kindlustusjuhtumi toimumise näitaja.

Olles sellise sündmuse näitaja, on r.v. fikseerib kohaloleku () või puudus () kindlustusjuhtumid selles ajavahemikus, kuid mitte kindlustusjuhtumite arv selles.

Tõenäosust tähistatakse ka edaspidi .

Arutleme mitme näite üle ja määrame juhuslike muutujate jaotuse ja mõnes mudelis.

Mõelgem esmalt ühe aasta surmakindlustusele, millele lisandub hüvitis, kui surm on õnnetusjuhtum.

Täpsustuseks oletame, et kui surm saabus õnnetuse tagajärjel, siis makse suurus on 50 000. Kui surm saabub muul põhjusel, on makse suurus 25 000.

Oletame, et antud vanuses, terviseseisundis ja elukutsega inimesel on tõenäosus surra aasta jooksul õnnetuse tagajärjel 0,0005 ja muul põhjusel surra 0,0020. Valemi kujul näeb see välja järgmine:

Summeerides kõik võimalikud väärtused, saame

,

Tingimuslik jaotus c. sisse. tingimusel on vorm

Vaatleme nüüd auto kokkupõrkekindlustust (auto omanikule makstud hüvitis tema autole tekitatud kahju eest), mille tingimusteta omavastutus on 250 ja maksimaalne väljamakse 2000.

Selguse huvides eeldame, et ühe kindlustusjuhtumi toimumise tõenäosus vaadeldaval perioodil üksikisiku puhul on 0,15 ja rohkem kui ühe kokkupõrke toimumise tõenäosus on võrdne nulliga:

, .

Ebareaalne oletus, et ühe perioodi jooksul ei saa juhtuda rohkem kui üks kindlustusjuhtum, on tehtud r.v jaotuse lihtsustamiseks. .

Loobume sellest eeldusest järgmises osas pärast seda, kui oleme kaalunud mitmete kindlustusnõuete summa jaotust.

Kuna tegemist on kindlustusandja maksete väärtusega, mitte autole tekitatud kahjuga, siis saame arvestada kahte omadust ja.

Esiteks hõlmab sündmus neid kokkupõrkeid, mille puhul kahju on väiksem kui tingimusteta omavastutus, mis on 250.

Teiseks, r.v. on tõenäosusliku massiga "tromb" kindlustusmaksete maksimumsumma punktis, mis on võrdne 2000-ga.

Oletame, et sellesse punkti koondunud tõenäosusmass on 0,1. Lisaks oletame, et kindlustusmaksete väärtust vahemikus 0 kuni 2000 saab modelleerida pideva jaotusega tihedusfunktsiooniga, mis on võrdeline (Praktikas on kindlustusmaksete jaotuse kujutamiseks valitud pidev kõver eelmise perioodi kindlustusmaksete uuringute tulemus.)

Võttes kokku need eeldused r.v tingliku jaotuse kohta. tingimusel , jõuame segatüüpi jaotuseni, mille positiivne tihedus on vahemikus 0 kuni 2000 ja teatud tõenäosusliku massi "hunnik" punktis 2000. Seda illustreerib graafik joonisel fig. 2.2.1.

Selle tingimusliku jaotuse jaotusfunktsioon näeb välja järgmine:

Joonis 2.1. R.v. jaotusfunktsioon. B tingimusel I = 1

Matemaatilise ootuse ja dispersiooni arvutame vaadeldavas näites autokindlustusega kahel viisil.

Kõigepealt kirjutame välja r.v. ja kasutage seda arvutamiseks ja . Tähistades jaotusfunktsiooni kaudu r.v. , meil on

Sest x<0

See on segajaotus. Nagu on näidatud joonisel fig. 2.2, sellel on nii diskreetne (tõenäosusliku massi "klomp" punktis 2000) kui ka pidev osa. Selline jaotusfunktsioon vastab tõenäosusfunktsiooni kombinatsioonile

Riis. 2.2. R.v. jaotusfunktsioon. X = IB

ja tihedusfunktsioonid

Eelkõige ja . Niisiis .

On mitmeid valemeid, mis seovad juhuslike muutujate momendid tingimuslike matemaatiliste ootustega. Matemaatilise ootuse ja dispersiooni jaoks on neil valemitel vorm

(2.10)

(2.11)

Eeldatakse, et nende võrrandite vasakpoolsed avaldised arvutatakse otse r.v jaotusest. . Parempoolsete avaldiste, nimelt ja, arvutamisel kasutatakse r.v tingimuslikku jaotust. fikseeritud väärtusega r.v. .

Need väljendid on seega r.v funktsioonid. ja me saame arvutada nende hetked, kasutades r.v jaotust. .

Tingimuslikke jaotusi kasutatakse paljudes kindlustusmatemaatilistes mudelites ja see võimaldab ülaltoodud valemeid vahetult rakendada. Meie mudelis. Arvestades r.v. as ja r.v. nagu , saame

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

ja arvestage tingimuslikke matemaatilisi ootusi

(2.16)

(2.17)

Valemid (2.16) ja (2.17) on defineeritud funktsioonina r.v. , mille saab kirjutada järgmise valemiga:

Alates kell , siis (2.21)

Sest meil on ja (2.22)

Valemeid (2.21) ja (2.22) saab kombineerida: (2.23)

Seega (2.24)

Asendades (2.21), (2.20) ja (2.24) väärtustega (2.12) ja (2.13), saame

Kasutame saadud valemeid arvutamisel ja autokindlustuse näitel (joonis 2.2). Kuna tihedusfunktsioon r.v. Tingimuses väljendatakse valemiga

ja P(B=2000|I=1)= 0,1, meil on

Lõpuks, eeldades q= 0,15, valemitest (2,25) ja (2,26) saame järgmised võrdsused:

Teise kindlustusolukorra kirjeldamiseks saame pakkuda teisi mudeleid r.v. .

Näide: lennuõnnetustes hukkunute arvu mudel

Vaatleme näiteks mudelit lennuõnnetustes hukkunute arvu kohta lennufirma üheaastase tegevusperioodi jooksul.

Võime alustada juhuslikust muutujast, mis kirjeldab ühe lennu surmajuhtumite arvu, ja seejärel summeerida need juhuslikud suurused kõigi aasta lendude kohta.

Ühe lennu puhul näitab sündmus lennuõnnetuse algust. Selle katastroofi põhjustatud surmajuhtumite arv esitatakse kahe juhusliku suuruse korrutisega, kus on õhusõiduki täitumistegur, st pardal olnud inimeste arv õnnetuse ajal, ja hukkunute osakaal lennukis viibivate inimeste seas. juhatus.

Surmajuhtumite arv on esitatud sel viisil, kuna eraldi statistika ja on paremini kättesaadavad kui statistika r.v. . Seega, kuigi surmajuhtumite osakaal pardal viibivate inimeste hulgas ja pardal viibivate inimeste arv on tõenäoliselt seotud, võib esimese ligikaudsusena eeldada, et r.v. ja sõltumatu.

Sõltumatute juhuslike muutujate summad

Individuaalse riski mudelis esitatakse kindlustusseltsi tehtud kindlustusmaksed paljudele isikutele tehtud maksete summana.

Tuletage meelde kaks meetodit sõltumatute juhuslike suuruste summa jaotuse määramiseks. Mõelge esmalt kahe juhusliku muutuja summale, mille valimiruum on näidatud joonisel fig. 3.1.

Riis. 2.3.1. Sündmus

Joon ja selle rea all olev ala tähistavad sündmust. Seetõttu jaotusfunktsiooni r.v. S on kujul (3.1)

Kahe diskreetse mittenegatiivse juhusliku muutuja puhul saame kasutada kogutõenäosuse valemit ja kirjutada (3.1) kui

Kui a X ja Y on sõltumatud, saab viimase summa ümber kirjutada kui

(3.3)

Sellele jaotusfunktsioonile vastava tõenäosusfunktsiooni saab leida valemiga

(3.4)

Pidevate mittenegatiivsete juhuslike muutujate korral on valemitele (3.2), (3.3) ja (3.4) vastavad valemid kujul

Kui üks või mõlemad juhuslikud muutujad X ja Y on segatüüpi jaotus (mis on tüüpiline üksikutele riskimudelitele), valemid on sarnased, kuid tülikamad. Juhuslike muutujate puhul, mis võivad võtta ka negatiivseid väärtusi, võetakse ülaltoodud valemites olevad summad ja integraalid üle kõik y väärtused alates kuni .

Tõenäosusteoorias nimetatakse valemites (3.3) ja (3.6) olevat tehet kahe jaotusfunktsiooni konvolutsiooniks ja ja tähistatakse . Konvolutsiooni saab defineerida ka tõenäosus- või tihedusfunktsioonide paari jaoks, kasutades valemeid (3.4) ja (3.7).

Rohkem kui kahe juhusliku suuruse summa jaotuse määramiseks saame kasutada konvolutsiooniprotsessi iteratsioone. Sest , kus on sõltumatud juhuslikud muutujad, tähistab r.v jaotusfunktsiooni ja on r.v jaotusfunktsioon. , me saame

Näide 3.1 illustreerib seda protseduuri kolme diskreetse juhusliku muutuja jaoks.

Näide 3.1. Juhuslikud muutujad ja on sõltumatud ning nende jaotused on määratletud alloleva tabeli veergudega (1), (2) ja (3).

Kirjutame välja tõenäosusfunktsiooni ja jaotusfunktsiooni r.v.

Otsus. Tabelis on kasutatud enne näidet kasutatud tähistust:

Veerud (1)–3 sisaldavad olemasolevat teavet.

Veerg (4) saadakse veergudest (1) ja (2), kasutades punkti 3.4.

Veerg (5) saadakse veergudest (3) ja (4), kasutades punkti 3.4.

Veeru (5) definitsioon lõpetab tõenäosusfunktsiooni määramise r.v. . Selle jaotusfunktsioon veerus (8) on veeru (5) osasummade kogum, alustades ülaosast.

Selguse huvides oleme lisanud veeru (6), veeru (1), veeru (7) jaotusfunktsiooni, mille saab otse veergudest (1) ja (6), kasutades (2.3.3), ja veeru (8) ) määratud samamoodi veergude (3) ja (7) jaoks. Veeru (5) saab määrata veerust (8) järjestikuse lahutamise teel.

Vaatleme kahte pidevate juhuslike muutujatega näidet.

Näide 3.2. Laske r.v. on ühtlane jaotus intervallil (0,2) ja olgu r.v. ei sõltu r.v. ja sellel on ühtlane jaotus intervallil (0,3). Määratleme r.v jaotusfunktsiooni.

Otsus. Kuna jaotused r.v. ja pidev, kasutame valemit (3.6):

Siis

Näidisruum r.v. ja on illustreeritud joonisel fig. 3.2. Ristkülikukujuline ala sisaldab kõiki võimalikke paari ja . Meile huvipakkuv sündmus , on joonisel kujutatud viie väärtuse puhul s.

Iga väärtuse puhul lõikub joon teljega Y punktis s ja joon punktis. Nende viie juhtumi funktsiooniväärtusi kirjeldatakse järgmise valemiga:

Riis. 3.2. Kahe ühtlase jaotuse konvolutsioonid

Näide 3.3. Vaatleme kolme sõltumatut r.v. . R.v. on eksponentsiaalse jaotusega ja . Leiame r.v tihedusfunktsiooni. rakendades konvolutsioonitehtet.

Otsus. Meil on

Kasutades valemit (3.7) kolm korda, saame

Teine meetod sõltumatute juhuslike suuruste summa jaotuse määramiseks põhineb hetke genereeriva funktsiooni kordumatusel, mis r.v. määratakse suhtega .

Kui see matemaatiline ootus on kõigi jaoks piiratud t mõnest alguspunkti sisaldavast avatud intervallist, siis on ainuke r.v jaotusmomente genereeriv funktsioon. selles mõttes, et pole muud funktsiooni peale , mis oleks r.v jaotusmomentide genereeriv funktsioon. .

Seda unikaalsust saab kasutada järgmiselt: summa jaoks

Kui need on sõltumatud, on korrutise ootus valemis (3.8) võrdne ..., nii

Eksplitsiitse avaldise leidmine ainsa jaotuse jaoks, mis vastab momentide genereerivale funktsioonile (3.9), lõpetaks r.v jaotuse leidmise. . Kui seda ei ole võimalik selgesõnaliselt määrata, siis saab seda otsida numbriliste meetoditega.

Näide 3.4. Vaatleme näite 3.3 juhuslikke muutujaid. Määratleme r.v tihedusfunktsiooni. , kasutades r.v. momentide genereerivat funktsiooni. .

Otsus. Võrdsuse (3.9) järgi mida saab kirjutada kui kasutades lihtmurrudeks lagundamise meetodit. Lahendus on . Kuid kas eksponentsiaaljaotuse momentide genereeriv funktsioon on parameetriga , nii et r.v tihedusfunktsioon. on vorm

Näide 3.5. Juhuslike protsesside uurimisel võeti kasutusele Gaussi pöördjaotus. Seda kasutatakse r.v. AT, kindlustusmaksete summa. Gaussi pöördjaotuse momentide tihedusfunktsioon ja genereerimisfunktsioon on antud valemitega

Leiame r.v jaotuse. , kus r.v. on sõltumatud ja neil on samad Gaussi pöördjaotused.

Otsus. Kasutades valemit (3.9), saame rv-momentide genereeriva funktsiooni jaoks järgmise avaldise. :

Momentide genereeriv funktsioon vastab unikaalsele jaotusele ja on näha, et sellel on Gaussi pöördjaotus parameetritega ja .

Ligikaudsed summade jaotuse

Keskne piirteoreem annab meetodi sõltumatute juhuslike suuruste summa jaotuse arvväärtuste leidmiseks. Tavaliselt on see teoreem sõnastatud sõltumatute ja identselt jaotatud juhuslike suuruste summa jaoks, kus .

Mis tahes n korral on r.v. kus = , mille matemaatiline ootus on 0 ja dispersioon 1. Nagu teada, on selliste jaotuste jada (for n= 1, 2, ...) kaldub standardsele normaaljaotusele. Millal n suur, rakendatakse seda teoreemi r.v jaotuse ligikaudseks määramiseks. normaaljaotus keskmisega μ ja dispersioon. Samamoodi summa jaotus n juhuslikud muutujad on lähendatud normaaljaotusega keskmise ja dispersiooniga.

Sellise lähenduse efektiivsus ei sõltu mitte ainult terminite arvust, vaid ka terminite jaotuse lähedusest normaalsele. Paljud algstatistika kursused väidavad, et n peab olema vähemalt 30, et lähendus oleks mõistlik.

Üks simulatsioonimodelleerimisel kasutatav normaaljaotusega juhuslike muutujate genereerimise programm rakendab aga tavalist juhuslikku muutujat keskmiselt 12 sõltumatu juhusliku muutujana, mis on ühtlaselt jaotatud intervalli (0,1) peale.

Paljudes üksikutes riskimudelites ei ole summades sisalduvad juhuslikud suurused võrdselt jaotunud. Seda illustreerivad näited järgmises jaotises.

Keskne piirteoreem laieneb ka ebaühtlaselt jaotunud juhuslike muutujate jadadele.

Individuaalse riskimudeli mõningate rakenduste illustreerimiseks kasutame arvuliste lahenduste saamiseks sõltumatute juhuslike suuruste summa jaotuse tavalist lähendamist. Kui a , siis

ja edasi, kui r.v. iseseisev siis

Kõnealuse rakenduse jaoks vajame ainult:

• leida individuaalseid kadusid simuleerivate juhuslike suuruste keskmised ja dispersioonid,
• summeerida need, et saada kindlustusseltsi kui terviku kahjude keskmine ja dispersioon,
• kasutage tavalist lähendust.

Allpool illustreerime seda toimingute jada.

Taotlused kindlustuse saamiseks

See osa illustreerib normaallähenduse kasutamist nelja näitega.

Näide 5.1. Elukindlustusselts pakub üheaastast surmakindlustuslepingut maksetega 1 ja 2 osakut isikutele, kelle surma tõenäosus on 0,02 või 0,01. Allolev tabel näitab inimeste arvu nk igas neljas vastavalt maksele moodustatud klassis b k ja kindlustusjuhtumi tõenäosus qk:

k	q k	b k	nk
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Kindlustusselts soovib sellelt 1800 isikust koosnevalt grupilt sisse nõuda summa, mis on võrdne selle grupi kindlustusmaksete kogusumma jaotuse 95. protsentiiliga. Lisaks soovib ta, et iga inimese osa sellest summast oleks proportsionaalne inimese eeldatava kindlustusmaksega.

Numbriga isiku osakaal, kelle keskmine makse on võrdne, peaks olema. 95. protsentiili nõudest tuleneb, et . Ülemäärane väärtus , on riskipreemia ja seda nimetatakse suhteliseks riskipreemiaks. Arvutame välja.

Otsus. Väärtuse määrab seos = 0,95, kus S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 . See tõenäosuslause on samaväärne järgmisega:

Vastavalt punktis Sec keskse piiriteoreemi kohta öeldule. 4, me ligikaudselt jaotust r.v. standardne normaaljaotus ja kasutada selle 95. protsentiili, millest saame:

Nelja klassi kohta, millesse kindlustusvõtjad on jagatud, saame järgmised tulemused:

k	q k	b k	Keskmine b k q k	Dispersioon b 2 k q k (1-q k)	nk
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

Seega

Seetõttu on suhteline riskipreemia

Näide 5.2. Autokindlustusseltsi kliendid jagunevad kahte klassi:

Klass	Number klassis	Esinemise tõenäosus kindlustusjuhtum	kindlustusmaksete jaotamine, kärbitud eksponentsiaalsed parameetrid levitamine
k				L
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Kärbitud eksponentsijaotuse määrab jaotusfunktsioon

See on tihedusfunktsiooniga segatüüpi jaotus , ja tõenäosusliku massi "klomp" punktis L. Selle jaotusfunktsiooni graafik on näidatud joonisel 5.1.

Riis. 5.1. Kärbitud eksponentsiaalne jaotus

Tõenäosus, et kindlustusmaksete kogusumma ületab kindlustusvõtjatelt laekuvat summat, peaks nagu varemgi olema 0,05. Eeldame, et suhteline riskipreemia peaks mõlemas vaadeldavas klassis olema sama. Arvutame välja.

Otsus. See näide on eelmisega väga sarnane. Ainus erinevus on see, et kindlustusmaksete väärtused on nüüd juhuslikud muutujad.

Esiteks saame kärbitud eksponentsijaotuse momentide avaldised. See on ettevalmistav samm valemite (2.25) ja (2.26) rakendamiseks:

Kasutades tingimuses antud parameetrite väärtusi ja rakendades valemeid (2.25) ja (2.26), saame järgmised tulemused:

k	q k	µk	σ 2k	Keskmine q k μ k	Dispersioon μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	nk
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

Niisiis, S, kindlustusmaksete kogusumma, on hetked

Definitsiooni tingimus jääb samaks nagu näites 5.1, nimelt

Kasutades taas normaaljaotuse lähendust, saame

Näide 5.3. Kindlustusseltsi portfellis on 16 000 surmakindlustuslepingut üheaastase perioodiga vastavalt järgmisele tabelile:

Iga 16 000 kliendi puhul (eeldatakse, et need sündmused on üksteisest sõltumatud) on kindlustusjuhtumi q tõenäosus 0,02. Ettevõte soovib määrata oma kinnipidamismäära. Iga kindlustusvõtja jaoks on omavastutuse määr väärtus, millest allapoole see ettevõte (loovutajaettevõte) iseseisvalt väljamakseid teeb ja seda väärtust ületavad maksed katab edasikindlustuslepingu alusel teine ​​ettevõtja (edasikindlustusandja).

Näiteks kui enda kinnipidamise määr on 200 000, jätab ettevõte iga kindlustatu kohta kuni 20 000 kindlustuskaitset ja ostab edasikindlustust, et katta kindlustusmakse ja summa 20 000 vahe iga 4500 kindlustusvõtja kohta, kelle kindlustusmaksed ületavad 20 000 .

Ettevõte valib otsustuskriteeriumiks tõenäosuse minimeerimise, et enda mahaarvamisel jäetud kindlustusnõuded, millele lisandub edasikindlustuse eest tasutud summa, ületavad summat 8 250 000. Edasikindlustuskulu 0,025 katteühiku kohta (s.o 125% väärtusest kindlustusmaksete osaku kohta 0,02).

Usume, et kõnealune portfell on suletud: jooksva aasta jooksul sõlmitud uusi kindlustuslepinguid kirjeldatud otsustusprotsessis arvesse ei võeta.

Osaline lahendus. Teeme esmalt kõik arvutused, valides väljamakseühikuks 10 000. Näiteks oletame, et c. sisse. S on enda mahaarvamisele jäetud maksete summa, millel on järgmine vorm:

Nendele kindlustusmaksetele, mis jäävad teie enda mahaarvamisele S, lisandub edasikindlustusmaksete summa. Kokku on katte kogusumma selle skeemi järgi

Enda mahaarvamisele jääv summa on võrdne

Seega on edasikindlustusväärtus kokku 35 000-24 000=11 000 ja edasikindlustuse maksumus on

Seega, kui oma kinnipidamise tase on 2, on enda kinnipidamisele jäetud kindlustusmaksed pluss edasikindlustuse kulu . Otsuse kriteerium põhineb tõenäosusel, et see kogusumma ületab 825,

Normaaljaotust kasutades saame, et see väärtus on ligikaudu võrdne 0,0062-ga.

Kindlustusmaksete keskmisi väärtusi kahjukindlustuse kui ühe edasikindlustusliigi korral saab ligikaudselt võrrelda normaaljaotuse abil kindlustusmaksete kogujaotusena.

Olgu kindlustusmaksete kogusummal X normaaljaotus keskmise ja dispersiooniga

Näide 5.4. Vaatleme kindlustusportfelli, nagu näites 5.3. Leiame kahjumlikkuse ületamise kindlustuslepingujärgsete kindlustusmaksete suuruse matemaatilise ootuse, kui

a) individuaalne edasikindlustus puudub ja tingimusteta omavastutus on 7 500 000

(b) individuaalsetele kindlustuslepingutele kehtestatakse isiklik kinnipidamine 20 000 ja portfelli tingimusteta omavastutus on 5 300 000.

Otsus.

(a) Individuaalse edasikindlustuse puudumisel ja üleminekul 10 000 valuutale

valemi (5.2) rakendamine annab

mis on summa 43 770 esialgsetes ühikutes.

(b) Näidis 5.3 saame 20 000 suuruse individuaalse omavastutuse kindlustusmaksete kogusummade keskmiseks ja dispersiooniks vastavalt 480 ja 784, kasutades ühikut 10 000. Seega =28.

valemi (5.2) rakendamine annab

mis on summa 4140 algühikutes.

Praktikas on sageli vaja leida juhuslike suuruste summa jaotusseadus.

Las olla süsteem (X b X 2) kaks pidevat s. sisse. ja nende summa

Leiame jaotustiheduse c. sisse. U. Eelmise lõigu üldlahenduse kohaselt leiame tasandi piirkonna, kus x + x 2 (joonis 9.4.1):

Eristades seda avaldist y suhtes, saame ap. juhuslik muutuja Y \u003d X + X 2:

Kuna funktsioon φ (x b x 2) = Xj + x 2 on oma argumentide suhtes sümmeetriline, siis

Kui koos. sisse. X ja X 2 on sõltumatud, siis on valemid (9.4.2) ja (9.4.3) järgmisel kujul:

Juhul kui sõltumatu c. sisse. x x ja X 2, rääkida jaotusseaduste koostisest. Toota koostis kaks jaotusseadust – see tähendab jaotusseaduse leidmist kahe sõltumatu c summale. c., mida levitatakse vastavalt nendele seadustele. Sümboolset tähistust kasutatakse jaotusseaduste koostise tähistamiseks

mida sisuliselt tähistatakse valemitega (9.4.4) või (9.4.5).

Näide 1. Vaadeldakse kahe tehnilise seadme (TD) tööd. Esiteks töötab TU pärast seda, kui selle rike (tõrge) on lülitatud TU 2 töösse. Tööaeg TU TU TU 2 - x x ja X 2 - on sõltumatud ja jaotatud eksponentsiaalseaduste järgi parameetritega A,1 ja X 2 . Seega aeg Y TLÜ-st koosneva TLÜ tõrgeteta töö! ja TU 2 määratakse valemiga

Nõutav on leida p.r. juhuslik muutuja jah st kahe eksponentsiaalseaduse koosseis parameetritega ja X 2 .

Otsus. Valemiga (9.4.4) saame (y > 0)

Kui eksisteerib kahe samade parameetritega eksponentsiaalseaduse koosseis (?c = X 2 = Y), siis saadakse avaldises (9.4.8) 0/0 tüüpi määramatus, mida laiendades saame:

Võrreldes seda avaldist avaldisega (6.4.8), oleme veendunud, et kahe identse eksponentsiaalseaduse koosseis (?c = X 2 = x) on teist järku Erlangi seadus (9.4.9). Kahe erinevate parameetritega eksponentsiaalseaduse koostamisel x x ja A-2 saavad teist järku üldistatud Erlangi seadus (9.4.8). ?

Ülesanne 1. Kahe s vahe jaotuse seadus. sisse. Süsteem koos. sisse. (X ja X 2) on ühine r.p./(x x x 2). Leia p.r. nende erinevused Y=X - X 2 .

Otsus. Süsteemi jaoks koos sisse. (X b - X 2) jne. on / (x b - x 2), ehk asendasime vahe summaga. Seetõttu a.r. Juhusliku muutuja U vorm (vt (9.4.2), (9.4.3)):

Kui a koos. sisse. X x iX 2 iseseisev siis

Näide 2. Leia f.r. kahe sõltumatu eksponentsiaalselt jaotatud s-i erinevus. sisse. parameetritega x x ja X 2 .

Otsus. Valemi (9.4.11) järgi saame

Riis. 9.4.2 Riis. 9.4.3

Joonisel 9.4.2 on p. g(y). Kui arvestada kahe sõltumatu eksponentsiaalselt jaotatud s-i erinevust. sisse. samade parameetritega (A-i= X 2 = AGA,), siis g(y) \u003d / 2 - juba tuttav

Laplace'i seadus (joon. 9.4.3). ?

Näide 3. Leia jaotusseadus kahe sõltumatu c summa jaoks. sisse. X ja X 2, Poissoni seaduse järgi jaotatud parameetritega a x ja a 2.

Otsus. Leidke sündmuse tõenäosus (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Seetõttu on s. sisse. Y = X x + X 2 jaotatud vastavalt Poissoni seadusele parameetriga a x2) - a x + a 2. ?

Näide 4. Leia jaotusseadus kahe sõltumatu c summa jaoks. sisse. x x ja X 2, jaotatud binoomseaduste järgi koos parameetritega p x ri p 2, lk vastavalt.

Otsus. Kujutage ette koos. sisse. x x nagu:

kus X 1) - sündmuse indikaator AGA wu "th kogemus:

Jaotusvahemik koos. sisse. X,- on kujul

Teeme sarnase esituse s. sisse. X 2: kus X] 2) - sündmuse indikaator AGA y-ndas kogemuses:

Seega

kus on X? 1)+(2), kui sündmuse indikaator AGA:

Seega oleme seda näidanud sisse. Äi summa (u + n 2) sündmuste indikaatorid AGA, millest järeldub, et s. sisse. ^jaotatud binoomseaduse järgi parameetritega ( n x + n 2), lk.

Pange tähele, et kui tõenäosus R erinevates katseseeriates on erinevad, siis kahe sõltumatu s lisamise tulemusena. c., jagatud binoomseaduste järgi, selgub c. c., jaotatud mitte binoomseaduse järgi. ?

Näited 3 ja 4 on kergesti üldistatavad suvalise arvu terminite jaoks. Poissoni seaduste koostamisel parameetritega a b a 2, ..., a t Poissoni seadus saadakse jällegi parameetriga a (t) \u003d a x + a 2 + ... + ja t.

Binoomseaduste koostamisel parameetritega (n r); (mina 2, R) , (n t, p) jälle saame binoomseaduse parameetritega ("("), R), kus n (t) \u003d u + n 2 + ... + jne.

Oleme tõestanud Poissoni seaduse ja binoomseaduse olulisi omadusi: "stabiilsuse omadust". Jaotusseadust nimetatakse jätkusuutlik, kui kahe sama tüüpi seaduse koosseis annab sama tüüpi seaduse (erinevad ainult selle seaduse parameetrid). Alajaotises 9.7 näitame, et tavaseadusel on sama stabiilsusomadus.

3. TEEMA
	jaotusfunktsiooni mõiste
	matemaatiline ootus ja dispersioon
	ühtlane (ristkülikukujuline) jaotus
	normaal (Gaussi) jaotus
	Levitamine
	t- Üliõpilaste jaotus
	F- levitamine
	kahe juhusliku sõltumatu muutuja summa jaotus
	näide: kahe sõltumatu summa jaotus ühtlaselt jaotatud kogused
	juhusliku muutuja teisendus
	näide: harmoonilise laine jaotus juhusliku faasiga
	keskpiiri teoreem
	juhusliku suuruse hetked ja nende omadused
TSÜKLI EESMÄRK LOENGUD:		ARUANNE ALGNE TEAVE KÕIGE TÄHTSAMATE JAOTUSFUNKTSIOONIDE JA NENDE OMADUSTE KOHTA

JAOTUSFUNKTSIOONID

Las olla x(k) on mingi juhuslik muutuja. Seejärel mis tahes fikseeritud väärtuse x korral juhuslik sündmus x(k) x määratletud kui kõigi võimalike tulemuste kogum k selline, et x(k) x. Valimiruumis antud algse tõenäosuse mõõtmise osas jaotusfunktsioonP(x) defineeritud kui punktide kogumile määratud tõenäosus k x(k) x. Pange tähele, et punktide kogum k ebavõrdsuse rahuldamine x(k) x, on ebavõrdsust rahuldavate punktide hulga alamhulk x(k) . Formaalselt

See on ilmne

Kui juhusliku suuruse väärtuste vahemik on pidev, mida allpool eeldatakse, siis tõenäosustihedus(ühemõõtmeline) p(x) määratakse diferentsiaalsuhtega

(4)

Seega

(6)

Diskreetsete juhtumite käsitlemiseks on vaja tunnistada deltafunktsioonide olemasolu tõenäosustiheduse koosseisus.

OODATUD VÄÄRTUS

Olgu juhuslik suurus x(k) võtab väärtused vahemikus -  kuni + . Tähendab(muidu, oodatud väärtus või oodatud väärtus) x(k) arvutatakse, kasutades väärtuste korrutiste summa piiri vastavat läbimist x(k) nende sündmuste toimumise tõenäosuse kohta:

(8)

kus E- nurksulgudes oleva avaldise matemaatiline ootus indeksi järgi k. Sarnaselt määratletakse ka reaalse üheväärtusliku pideva funktsiooni matemaatiline ootus g(x) juhuslikust muutujast x(k)

(9)

kus p(x)- juhusliku suuruse tõenäosustihedus x(k). Eelkõige võttes g(x)=x, saame keskmine ruut x(k) :

(10)

Dispersioonx(k) defineeritud kui erinevuse keskmine ruut x(k) ja selle keskmine väärtus,

st antud juhul g(x)= ja

A-prioor, standardhälve juhuslik muutuja x(k), tähistatud , on dispersiooni ruutjuure positiivne väärtus. Standardhälvet mõõdetakse samades ühikutes kui keskmist.

KÕIGE OLULISED JAOTUSFUNKTSIOONID

ÜHTNE (RISKÜKKULINE) JAOTUS.

Oletame, et katse koosneb punkti juhuslikust valikust vahemikust [ a,b] , sealhulgas selle lõpp-punktid. Selles näites juhusliku muutuja väärtusena x(k) võite võtta valitud punkti numbrilise väärtuse. Vastaval jaotusfunktsioonil on vorm

Seetõttu on tõenäosustihedus antud valemiga

Selles näites annab keskmise ja dispersiooni arvutamine valemite (9) ja (11) abil

NORMAALNE (GAUSSI) JAOTUS

, - aritmeetiline keskmine, - RMS.

Tõenäosusele P(z)=1- vastav z väärtus, s.o.

CHI – RUUTJAOTUS

Las olla - n sõltumatut juhuslikku muutujat, millest igaühel on normaaljaotus nullkeskmise ja ühikulise dispersiooniga.

Chi-ruut juhuslik suurus n vabadusastmega.

tõenäosustihedus.

DF: 100 - protsendipunktid - jaotusi tähistatakse , st.

keskmine ja dispersioon on võrdsed

t - ÕPILASTE JAOTUSED

y, z on sõltumatud juhuslikud suurused; y - on - jaotus, z - normaaljaotus nullkeskmise ja ühikulise dispersiooniga.

väärtus - on t- Studenti jaotus n vabadusastmega

DF: 100 - protsendipunkt t - jaotus on näidatud

Keskmine ja dispersioon on võrdsed

F – JAOTUS

Sõltumatud juhuslikud muutujad; has - jaotus vabadusastmetega; vabadusastmetega jaotus. Juhuslik väärtus:

,

F on jaotatud juhuslik suurus, millel on ja vabadusastmed.

,

DF: 100 – protsendipunkt:

Keskmine ja dispersioon on võrdsed:

SUMMA JAOTAMINE

KAKS JUHUSLIKU MUUTUJAT

Las olla x(k) ja y(k) on juhuslikud muutujad, millel on ühine tõenäosustihedus p(x,y). Leidke juhuslike suuruste summa tõenäosustihedus

Fikseeritud kohas x meil on y=z–x. Niisiis

Fikseeritud kohas z väärtused x käivitage intervall – kuni +. Niisiis

(37)

kust on näha, et summa soovitud tiheduse arvutamiseks peab teadma esialgset liigesetõenäosuse tihedust. Kui a x(k) ja y(k) on sõltumatud juhuslikud muutujad, mille tihedus ja vastavalt siis ja

(38)

NÄIDE: KAHE SÕLTUMATU ÜHTSALT JAOTATUD JUHUSLIKU MUUTUJA SUMMA.

Olgu kahel juhuslikul sõltumatul muutujal sellise kuju tihedus

Muudel juhtudel Leiame nende summa z= x+ y tõenäosustiheduse p(z).

Tõenäosuse tihedus jaoks st eest Seega x vähem kui z. Lisaks ei ole valemi (38) jaoks võrdne nulliga, leiame, et

Illustratsioon:

Kahe sõltumatu, ühtlaselt jaotatud juhusliku suuruse summa tõenäosustihedus.

JUHUSLIK KONVERSIOON

VÄÄRTUSED

Las olla x(t)- tõenäosustihedusega juhuslik suurus p(x), lase sel minna g(x) on ühe väärtusega reaalne pidev funktsioon x. Mõelge esmalt juhtumile, kui pöördfunktsioon x(g) on ka ühe väärtusega pidev funktsioon g. Tõenäosuse tihedus p(g), mis vastab juhuslikule suurusele g(x(k)) = g(k), saab määrata tõenäosustiheduse järgi p(x) juhuslik muutuja x(k) ja tuletis dg/dx eeldusel, et tuletis on olemas ja erineb nullist, nimelt:

(12)

Seega limiidis dg/dx#0

(13)

Seda valemit kasutades järgneb muutuja asemel selle paremal küljel x asendage sobiv väärtus g.

Mõelge nüüd juhtumile, kui pöördfunktsioon x(g) on kehtiv n-väärtuslik funktsioon g, kus n on täisarv ja kõik n väärtused on võrdselt tõenäolised. Siis

(14)

NÄIDE:

HARMOONILISTE FUNKTSIOONIDE JAOTUS.

Fikseeritud amplituudiga harmooniline funktsioon X ja sagedus f on juhuslik suurus, kui selle algfaasi nurk  =  (k)- juhuslik väärtus. Eelkõige lase t fikseeritud ja võrdsed t o, ja olgu harmoonilisel juhuslikul suurusel vorm

Teeskleme seda  (k) on ühtlane tõenäosustihedus p( ) lahke

Leidke tõenäosustihedus p(x) juhuslik muutuja x(k).

Selles näites on otsene funktsioon x( ) üheselt ja pöördfunktsioon  (x) mitmetähenduslik.

Kasutame ülaltoodud üldmeetodit ühe ülesande lahendamiseks, nimelt kahe juhusliku suuruse summa jaotusseaduse leidmiseks. On olemas kahe juhusliku suuruse (X,Y) süsteem jaotustihedusega f(x,y). Vaatleme juhuslike suuruste X ja Y summat: ja leiame väärtuse Z jaotusseadus. Selleks konstrueerime xOy tasapinnale sirge, mille võrrand on (joon. 7). See on sirgjoon, mis lõikab telgedel ära lõigud, mis on võrdsed z-ga. Sirge jagab xy tasapinna kaheks osaks; paremale ja selle kohale; vasakule ja alla.

Piirkond D on sel juhul xOy tasandi vasakpoolne alumine osa, mis on joonisel fig. 7. Vastavalt valemile (16) on meil:

Eristades seda avaldist sisemise integraali ülempiiris sisalduva muutuja z suhtes, saame:

See on kahe juhusliku suuruse summa jaotustiheduse üldvalem.

Ülesande sümmeetrilisuse huvides X ja Y suhtes võime kirjutada sama valemi teise versiooni:

mis on samaväärne esimesega ja mida saab selle asemel kasutada.

Näide normaalseaduste koostisest. Vaatleme kahte sõltumatut juhuslikku muutujat X ja Y, mille puhul kehtivad tavaseadused:

On vaja koostada nende seaduste kompositsioon, st leida suuruse jaotusseadus: .

Jaotusseaduste koostamiseks kasutame üldist valemit:

Kui avame integrandi eksponendis sulud ja toome sarnased terminid, saame:

Nende avaldiste asendamine valemiga, mida oleme juba kohanud

pärast teisendusi saame:

ja see pole midagi muud kui tavaline dispersioonikeskmega seadus

ja standardhälve

Samale järeldusele saab palju lihtsamini jõuda järgneva kvalitatiivse arutluskäigu abil.

Ilma sulgusid avamata ja integrandis (17) teisendusi tegemata jõuame kohe järeldusele, et eksponent on vormi x suhtes ruuttrinominaal.

kus z väärtus ei sisaldu koefitsiendis A üldse, kaasatakse koefitsient B esimesse astmesse ja koefitsient C on ruudus. Seda silmas pidades ja valemit (18) rakendades järeldame, et g(z) on eksponentsiaalne funktsioon, mille eksponent on z ja jaotustiheduse ruuttrinoom; selline vastab tavalisele seadusele. Seega meie; jõuame puhtalt kvalitatiivsele järeldusele: z jaotuse seadus peab olema normaalne. Selle seaduse parameetrite leidmiseks - ja - kasutame matemaatiliste ootuste liitmise teoreemi ja dispersioonide liitmise teoreemi. Matemaatiliste ootuste liitmise teoreemiga. Dispersiooni liitmise teoreemi järgi ehk millest järgneb valem (20).

Minnes ruutkeskmiste hälvetest nendega proportsionaalsetele tõenäolistele kõrvalekalletele, saame: .

Seega oleme jõudnud järgmise reeglini: normaalseaduste koostamisel saadakse taas normaalseadus ning matemaatilised ootused ja dispersioonid (ehk ruudus tõenäolised hälbed) summeeritakse.

Tavaseaduste kompositsioonireeglit saab üldistada suvalise arvu sõltumatute juhuslike muutujate korral.

Kui on n sõltumatut juhuslikku muutujat: alluvad normaalseadustele koos hajumiskeskmete ja standardhälbetega, siis väärtus kehtib ka parameetritega normaalseadusele

Valemi (22) asemel võib kasutada samaväärset valemit:

Kui juhuslike suuruste süsteem (X, Y) on jaotatud normaalseaduse järgi, kuid suurused X, Y on sõltuvad, siis on seda lihtne tõestada, nagu varemgi, üldvalemi (6.3.1) alusel. et suuruse jaotusseadus on ka tavaseadus. Hajumiskeskmed lisatakse endiselt algebraliselt, kuid standardhälbete puhul muutub reegel keerulisemaks: , kus r on X ja Y väärtuste korrelatsioonikordaja.

Mitme sõltuva juhusliku muutuja liitmisel, mis oma tervikuna järgivad normaalseadust, osutub ka summa jaotusseadus parameetritega normaalseks

või tõenäolised kõrvalekalded

kus on suuruste X i , X j korrelatsioonikordaja ja summeerimine laieneb kõikidele erinevatele suuruste paarikaupa kombinatsioonidele.

Oleme näinud normaalseaduse väga olulist omadust: kui normaalseadused kombineerida, saadakse jälle normaalne seadus. See on nn stabiilsusomadus. Jaotusseadust peetakse stabiilseks, kui kahe seda tüüpi seaduse koostamisel saadakse uuesti sama tüüpi seadus. Oleme eespool näidanud, et tavaline seadus on stabiilne. Väga vähestel jaotusseadustel on stabiilsuse omadus. Ühtlase tiheduse seadus on ebastabiilne: kahe ühtlase tiheduse seaduse koostamisel lõikudes 0 kuni 1, saime Simpsoni seaduse.

Tavaseaduse stabiilsus on selle laialdase praktikas rakendamise üks olulisi tingimusi. Stabiilsuse omadust omavad aga lisaks normaalsele ka mõned teised jaotusseadused. Tavaseaduse tunnuseks on see, et kui koostatakse piisavalt palju praktiliselt suvalisi jaotusseadusi, osutub koguseadus normaalseadusele meelevaldselt lähedaseks, olenemata sellest, millised olid terminite jaotusseadused. Seda saab illustreerida näiteks kolme ühtlase tiheduse seaduse koostise koostamisega lõigetes 0 kuni 1. Saadud jaotusseadus g(z) on näidatud joonisel fig. 8. Nagu jooniselt näha, on funktsiooni g (z) graafik väga sarnane normaalseaduse graafikule.