Integraalide tabel on täielik ja lõimimise reeglid. Transtsendentaalsete funktsioonide integraalid
Definitsioon 1
Funktsiooni $y=f(x)$ antituletis $F(x)$ segmendis $$ on funktsioon, mis on selle segmendi igas punktis diferentseeruv ja selle tuletise kohta kehtib järgmine võrdsus:
Definitsioon 2
Mingil segmendil defineeritud antud funktsiooni $y=f(x)$ kõigi antiderivaatide hulka nimetatakse antud funktsiooni $y=f(x)$ määramatuks integraaliks. Määramata integraali tähistatakse sümboliga $\int f(x)dx $.
Tuletiste tabelist ja 2. definitsioonist saame põhiintegraalide tabeli.
Näide 1
Kontrolli valemi 7 kehtivust integraalide tabelist:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Eristame paremat poolt: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Näide 2
Kontrolli valemi 8 kehtivust integraalide tabelist:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Eristage parem pool: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Tuletis osutus integrandiga võrdseks. Seetõttu on valem õige.
Näide 3
Kontrollige integraalide tabelist valemi 11" kehtivust:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Erista parem pool: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Tuletis osutus integrandiga võrdseks. Seetõttu on valem õige.
Näide 4
Kontrolli valemi 12 kehtivust integraalide tabelist:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]
Eristage parem pool: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Tuletis võrdub integrandiga. Seetõttu on valem õige.
Näide 5
Kontrollige integraalide tabelist valemi 13 kehtivust:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]
Eristage parem pool: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) \]
Tuletis osutus integrandiga võrdseks. Seetõttu on valem õige.
Näide 6
Kontrolli valemi 14 kehtivust integraalide tabelist:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=konst.\]
Eristage parem pool: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Tuletis osutus integrandiga võrdseks. Seetõttu on valem õige.
Näide 7
Leidke integraal:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Kasutame integraalsumma teoreemi:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Kasutame teoreemi integraalimärgist konstantse teguri väljavõtmise kohta:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Integraalide tabeli järgi:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
Esimese integraali arvutamisel kasutame reeglit 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Seega
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]
Kasutades ära asjaolu, et integratsioon on diferentseerumise pöördvõrdeline. põhiintegraalide tabelit on võimalik saada diferentsiaalarvutuse vastavaid valemeid (diferentsiaalide tabelit) ümber pöörates ja määramata integraali omadusi kasutades. näiteks, nagu
d(patt u) = cos u*du, siis esitatakse peamiste integreerimismeetodite kaalumisel mitme tabelivalemi tuletamine.
Allolevas tabelis olevaid integraale nimetatakse tabelikujuline. Neid tuleks peast teada. Integraalarvutuses puuduvad lihtsad ja universaalsed reeglid elementaarfunktsioonide antiderivaatide leidmiseks, nagu diferentsiaalarvutuses. Antiderivaatide leidmise (st funktsiooni integreerimise) meetodid on taandatud meetodite näitamiseks, mis toovad antud (soovitud) integraali tabeliks. Seetõttu on vaja tunda tabeliintegraale ja osata neid ära tunda.
Pange tähele, et põhiintegraalide tabelis võib integreerimismuutuja ja tähistada nii sõltumatut muutujat kui ka sõltumatu muutuja funktsiooni (vastavalt integreerimisvalemi invariantsusomadusele).
Alltoodud valemite kehtivust saab kontrollida, võttes paremal küljel oleva diferentsiaali, mis on võrdne valemi vasakul küljel oleva integrandiga.
Tõestame näiteks valemi 2 kehtivust. Funktsioon 1/ u määratletud ja pidev kõigi väärtuste jaoks u, muud kui null.
Kui a u> 0. siis ln | u| =ln u, siis d ln | u| = d ln u = du/u. Niisiis 
Põhiintegraalide tabel 
Loetleme elementaarfunktsioonide integraalid, mida mõnikord nimetatakse tabeliteks:
Mistahes ülaltoodud valemit saab tõestada, võttes parempoolse külje tuletise (selle tulemusena saadakse integrand).
Integratsioonimeetodid
Vaatleme mõningaid integreerimise põhimeetodeid. Need sisaldavad:
1. Lagundamise meetod(otsene integratsioon).
See meetod põhineb tabelintegraalide otsesel rakendamisel, aga ka määramatu integraali omaduste 4 ja 5 rakendamisel (st konstantse teguri väljavõtmine sulust ja/või integrandi esitamine funktsioonide summana - laiendades integrandi terminiteks).
Näide 1 Näiteks (dx/x 4) leidmiseks saate x n dx jaoks otse kasutada tabeliintegraali. Tõepoolest, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Vaatame veel paar näidet.
Näide 2 Leidmiseks kasutame sama integraali:
Näide 3 Leidmiseks peate võtma
Näide 4 Leidmiseks esindame integrandi kujul 
ja kasutage eksponentsiaalfunktsiooni jaoks tabeliintegraali:
Kaaluge konstantse teguri sulgude kasutamist.
Näide 5
Leiame näiteks 
. Seda arvestades saame
Näide 6 Otsime üles. Niivõrd kui 
, kasutame tabeliintegraali 
Hangi
Sulgusid ja tabeliintegraale saate kasutada ka kahes järgmises näites.
Näide 7
(kasutame ja 
);
Näide 8
(me kasutame 
ja 
).
Vaatame keerukamaid näiteid, mis kasutavad summaintegraali.
Näide 9 Näiteks leiame 
. Laiendusmeetodi rakendamiseks lugejas kasutame summa-kuubi valemit ja jagame saadud polünoomiliikmete kaupa nimetajaga.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Tuleb märkida, et lahenduse lõppu kirjutatakse üks ühine konstant C (ja mitte iga termini integreerimisel eraldi). Edaspidi tehakse ka ettepanek jätta lahendamise käigus üksikute terminite integreerimisest konstandid välja seni, kuni avaldis sisaldab vähemalt ühte määramatut integraali (ühe konstandi kirjutame lahenduse lõppu).
Näide 10 Otsime üles 
. Selle ülesande lahendamiseks faktoreerime lugeja (pärast seda saame nimetajat vähendada).
Näide 11. Otsime üles. Siin saab kasutada trigonomeetrilisi identiteete.
Mõnikord tuleb avaldise terminiteks lagundamiseks kasutada keerukamaid tehnikaid.
Näide 12. Otsime üles 
. Integrandis valime murdosa täisarvulise osa 
. Siis
Näide 13 Otsime üles
2. Muutuv asendusmeetod (asendusmeetod)
Meetod põhineb järgmisel valemil: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kus x =(t) on vaadeldaval intervallil diferentseeruv funktsioon.
Tõestus. Leiame valemi vasakust ja paremast osast tuletised muutuja t suhtes.
Pange tähele, et vasakul pool on kompleksfunktsioon, mille vaheargumendiks on x = (t). Seetõttu eristamaks seda t suhtes, eristame esmalt integraali x suhtes ja seejärel võtame vaheargumendi tuletise t suhtes.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Parema külje tuletis:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Kuna need tuletised on võrdsed, siis Lagrange'i teoreemi järelduvalt erinevad tõestatava valemi vasak ja parem osa mingi konstandi võrra. Kuna määramata integraalid ise on defineeritud kuni määramata konstandiliikmeni, võib selle konstandi lõplikus tähistuses välja jätta. Tõestatud.
Muutuja edukas muutmine võimaldab meil algset integraali lihtsustada ja kõige lihtsamal juhul taandada tabeliks. Selle meetodi rakendamisel eristatakse lineaarse ja mittelineaarse asendamise meetodeid.
a) Lineaarne asendusmeetod vaatame näidet.
Näide 1
. Lett = 1 – 2x, siis
dx=d(½ - ½t) = - ½ dt
Tuleb märkida, et uut muutujat ei pea selgesõnaliselt välja kirjutama. Sellistel juhtudel räägitakse funktsiooni teisendamisest diferentsiaali märgi all või konstantide ja muutujate sisseviimisest diferentsiaali märgi alla, s.t. umbes kaudne muutuja asendus.
Näide 2 Näiteks leiame cos(3x + 2)dx. Diferentsiaali omaduste järgi dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), siiscos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Mõlemas vaadeldavas näites kasutati integraalide leidmiseks lineaarset asendust t=kx+b(k0).
Üldjuhul kehtib järgmine teoreem.
Lineaarne asendusteoreem. Olgu F(x) funktsiooni f(x) antituletis. Siisf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kus k ja b on mingid konstandid,k0.
Tõestus.
Integraali f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C definitsiooni järgi. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Integraalimärgi jaoks võtame välja konstantteguri k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nüüd saame jagada võrduse vasaku ja parema osa k-ga ja saada tõestatava väite kuni konstantse liikme tähistuseni.
See teoreem väidab, et kui avaldis (kx+b) on asendatud integraali definitsioonis f(x)dx= F(x) + C, siis see toob kaasa lisateguri 1/k ilmumise ees. antiderivaadist.
Tõestatud teoreemi kasutades lahendame järgmised näited.
Näide 3
Otsime üles 
. Siin kx+b= 3 –x, st k= -1,b= 3. Siis
Näide 4
Otsime üles. Siin kx+b= 4x+ 3, st k= 4,b= 3. Siis
Näide 5
Otsime üles 
. Siin kx+b= -2x+ 7, st k= -2,b= 7. Siis
.
Näide 6 Otsime üles 
. Siin kx+b= 2x+ 0, st k= 2,b= 0.
.
Võrdleme saadud tulemust näitega 8, mis oli lahendatud dekomponeerimismeetodil. Lahendades sama probleemi mõne muu meetodiga, saime vastuse 
. Võrdleme tulemusi: Seega erinevad need avaldised üksteisest konstantse liikme võrra 
, st. saadud vastused ei ole vastuolus.
Näide 7 Otsime üles 
. Valime nimetajasse täisruudu.
Mõnel juhul ei taanda muutuja muutmine integraali otse tabeliks, kuid see võib lahendust lihtsustada, võimaldades järgmises etapis rakendada dekomponeerimismeetodit.
Näide 8 Näiteks leiame 
. Asenda t=x+ 2, siis dt=d(x+ 2) =dx. Siis
,
kus C \u003d C 1 - 6 (kui asendada t asemel avaldis (x + 2), saame kahe esimese liikme asemel ½x 2 -2x - 6).
Näide 9 Otsime üles 
. Olgu t= 2x+ 1, siis dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Asendame t asemel avaldise (2x + 1), avame sulud ja anname sarnased.
Pange tähele, et teisenduste käigus läksime üle teisele konstantsele terminile, sest konstantsete terminite rühma teisenduste protsessis võiks ära jätta.
b) Mittelineaarse asendamise meetod vaatame näidet.
Näide 1
. Olgu t= -x 2 . Lisaks võib x-i väljendada t-ga, seejärel leida avaldise dx jaoks ja rakendada muutuja muudatust nõutavas integraalis. Aga sel juhul on lihtsam teisiti teha. Leidke dt=d(-x 2) = -2xdx. Pange tähele, et avaldis xdx on nõutava integraali integrandi tegur. Avaldame selle saadud võrrandist xdx= - ½dt. Siis
Integreerimine on matemaatilise analüüsi üks põhitoiminguid. Tuntud antiderivaatide tabelid võivad olla kasulikud, kuid nüüd, pärast arvutialgebrasüsteemide tulekut, on need kaotamas oma tähtsust. Allpool on loetelu kõige tavalisematest antiderivaatidest.
Põhiintegraalide tabel
Teine kompaktne versioon
Trigonomeetriliste funktsioonide integraalide tabel
Ratsionaalsetest funktsioonidest
Irratsionaalsetest funktsioonidest
Transtsendentaalsete funktsioonide integraalid
"C" on suvaline integreerimiskonstant, mis määratakse, kui integraali väärtus mingil hetkel on teada. Igal funktsioonil on lõpmatu arv antiderivaate.
Enamikul koolilastel ja üliõpilastel on probleeme integraalide arvutamisega. See leht sisaldab integraalide tabelid trigonomeetrilistest, ratsionaalsetest, irratsionaalsetest ja transtsendentaalsetest funktsioonidest, mis aitavad lahendada. Samuti on abiks tuletiste tabel.