¿En qué expresión la primera acción es la resta? El orden de las acciones. Complete el número que falta: ejemplos entre paréntesis. Aparato de entrenamiento
- 1+2*3/4-5=?
- 1*3/(2+4)?
- 1+2*(3-1*5)=?
- Si en el ejemplo no hay paréntesis y hay operaciones (solo suma y resta, o solo multiplicación y división), en este caso todas las acciones se realizan en orden de izquierda a derecha.
- Si el ejemplo contiene operaciones mixtas: suma, resta, multiplicación y división, primero realizamos las operaciones de multiplicación y división, y luego solo suma o resta.
- Si el ejemplo contiene paréntesis, las acciones entre paréntesis se realizan primero.
Si comparamos las funciones suma y resta con multiplicación y división, entonces la multiplicación y la división siempre se calculan primero.
En el ejemplo, dos funciones como la suma y la resta, así como la multiplicación y la división, son equivalentes entre sí. El orden de ejecución se determina de izquierda a derecha.
Cabe recordar que las acciones entre paréntesis tienen especial prioridad en el ejemplo. Por lo tanto, incluso si hay una multiplicación fuera de los corchetes y una suma dentro de los corchetes, primero debes sumar y luego multiplicar.
Para comprender este tema, puede considerar todos los casos uno por uno.
Inmediatamente tengamos en cuenta que nuestras expresiones no tienen paréntesis.
Entonces, si en el ejemplo la primera acción es la multiplicación y la segunda es la división, entonces realizamos la multiplicación primero.
Si en el ejemplo la primera acción es la división y la segunda es la multiplicación, entonces hacemos la división primero.
En tales ejemplos, las acciones se realizan en orden de izquierda a derecha, independientemente de los números que se utilicen.
Si en los ejemplos, además de la multiplicación y la división, hay suma y resta, entonces primero se realizan la multiplicación y la división, y luego la suma y la resta.
En el caso de la suma y la resta, tampoco importa cuál de estas acciones se realiza primero: el orden se observa de izquierda a derecha.
Consideremos diferentes opciones:
En este ejemplo, la primera acción que se debe realizar es la multiplicación y luego la suma.
En este caso, primero multiplica los valores, luego divide y solo luego suma.
En este caso, primero debes hacer todas las operaciones entre paréntesis, y luego solo hacer la multiplicación y división.
Por eso, debes recordar que en cualquier fórmula, primero se realizan operaciones como la multiplicación y la división, y luego solo la resta y la suma.
Además, con los números que están entre paréntesis, es necesario contarlos entre paréntesis y solo entonces realizar varias manipulaciones, recordando la secuencia descrita anteriormente.
Las primeras operaciones serán: multiplicación y división.
Sólo entonces se realizan sumas y restas.
Sin embargo, si hay un paréntesis, entonces las acciones que estén en ellos se ejecutarán primero. Incluso si es suma y resta.
Por ejemplo:
En este ejemplo, primero multiplicaremos, luego 4 por 5, luego sumaremos 4 a 20. Obtenemos 24.
Pero si es así: (4+5)*4, entonces primero realizamos la suma, obtenemos 9. Luego multiplicamos 9 por 4. Obtenemos 36.
Si el ejemplo contiene las 4 operaciones, primero hay multiplicación y división, y luego suma y resta.
O en el ejemplo de 3 acciones diferentes, la primera será la multiplicación (o división) y luego la suma (o resta).
Cuando NO HAY SOPORTES.
Ejemplo: 4-2*5:10+8=11,
1 acción 2*5 (10);
Hechos 2 10:10 (1);
3 acciones 4-1 (3);
4 acciones 3+8 (11).
Las 4 operaciones se pueden dividir en dos grupos principales, en uno, suma y resta, en el otro, multiplicación y división. La primera será la acción que es la primera en el ejemplo, es decir, la que está más a la izquierda.
Ejemplo: 60-7+9=62, primero necesitas 60-7, luego lo que pasa es (53) +9;
Ejemplo: 5*8:2=20, primero necesitas 5*8, luego lo que pasa es (40):2.
Cuando HAY CORRESPONDENCIAS en un ejemplo, las acciones entre corchetes se realizan primero (de acuerdo con las reglas anteriores) y luego el resto se realiza como de costumbre.
Ejemplo: 2+(9-8)*10:2=7.
1 acción 9-8 (1);
2da acción 1*10 (10);
Hechos 3 10:2 (5);
4 acciones 2+5 (7).
Depende de cómo esté escrita la expresión, veamos la expresión numérica más simple:
18 - 6:3 + 10x2 =
Primero realizamos operaciones con división y multiplicación, luego por turno, de izquierda a derecha, con resta y suma: 18-2+20 = 36
Si se trata de una expresión entre paréntesis, entonces realice las operaciones entre paréntesis, luego la multiplicación o división y finalmente la suma/resta, por ejemplo:
(18-6): 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24
Todo es correcto: primero realiza la multiplicación y la división, luego la suma y la resta.
Si no hay paréntesis en el ejemplo, primero se realizan la multiplicación y división en orden, y luego se realizan la suma y la resta, en el mismo orden.
Si el ejemplo contiene solo multiplicación y división, las acciones se realizarán en orden.
Si el ejemplo contiene solo sumas y restas, las acciones también se realizarán en orden.
En primer lugar, las operaciones entre paréntesis se realizan de acuerdo con las mismas reglas, es decir, primero multiplicación y división, y solo luego suma y resta.
22-(11+3X2)+14=19
El orden de realización de las operaciones aritméticas está estrictamente prescrito para que no haya discrepancias al realizar el mismo tipo de cálculos por diferentes personas. En primer lugar, se realizan la multiplicación y la división, luego la suma y la resta, si las acciones del mismo orden se suceden una tras otra, entonces se realizan en orden de izquierda a derecha.
Si utiliza paréntesis al escribir una expresión matemática, primero debe realizar las acciones indicadas entre paréntesis. Los paréntesis ayudan a cambiar el orden cuando es necesario realizar primero la suma o la resta y luego la multiplicación y la división.
Se pueden ampliar los paréntesis y luego el orden de ejecución volverá a ser correcto:
6*(45+15) = 6*45 +6*15
Mejor inmediatamente en ejemplos:
En este caso, realizamos primero la multiplicación, ya que está a la izquierda de la división. Luego división. Luego la suma, por estar más a la izquierda, y al final la resta.
Primero hacemos el cálculo entre paréntesis, luego la multiplicación y la división.
Primero hacemos las operaciones entre paréntesis: multiplicación, luego resta. A esto le sigue la multiplicación fuera de los corchetes y la suma al final.
La multiplicación y la división son lo primero. Si hay paréntesis en el ejemplo, entonces la acción entre paréntesis se considera al principio. ¡Cualquiera que sea la señal!
Aquí debes recordar algunas reglas básicas:
Por ejemplo, 5+8-5=8 (hacemos todo en orden: sumamos 8 a 5 y luego restamos 5)
Por ejemplo, 5+8*3=29 (primero multiplica 8 por 3 y luego suma 5)
Por ejemplo, 3*(5+8)=39 (primero 5+8, y luego multiplicar por 3)
multiplicar en cualquier orden.
Metodológicamente, esta regla tiene como objetivo preparar al niño para que se familiarice con los métodos de multiplicación de números terminados en cero, por lo que se les presenta recién en cuarto grado. En realidad, esta propiedad de la multiplicación permite racionalizar los cálculos mentales tanto en 2º como en 3º de primaria.
Por ejemplo:
Calcular: (7 2) 5 = ...
En este caso, es mucho más fácil calcular la opción.
7 (2 5) = 7 10 - 70.
Calcular: 12 (5 7) = ...
8 en este caso es mucho más fácil calcular la opción (12-5)-7 = 60-7 = 420.
Técnicas de cálculo
1. Multiplicación y división de números terminados en cero: 20 3; 3 20; 60:3; 80:20
La técnica computacional en este caso se reduce a multiplicar y dividir números de un solo dígito que expresan el número de decenas en números dados. Por ejemplo:
20 3 =... 3 20 =... 60:3 = ...
2 de diciembre 3 = 20 3 = 60 b dism.: 3 = 2 dism.
20 - 3 = 60 3 20 = 60 60: 3 = 20
Para el caso 80:20 se pueden utilizar dos métodos de cálculo: el utilizado en los casos anteriores y el método de selección del cociente.
Por ejemplo: 80: 20 =... 80: 20 =...
8 dic.: 2 dic. = 4 o 20 4 = 80
80: 20 = 4 80: 20 = 4
En el primer caso se utilizó la técnica de representar decenas de dos dígitos en forma de unidades de dígitos, lo que reduce el caso considerado a uno tabular (8:2). En el segundo caso, la cifra del cociente se encuentra mediante selección y se verifica mediante multiplicación. En el segundo caso, es posible que el niño no seleccione inmediatamente el número correcto del cociente, lo que significa que la verificación se realizará más de una vez.
2. Método de multiplicar un número de dos cifras por un número de una sola cifra: 23 4; 4-23
Al multiplicar un número de dos cifras por un número de una cifra se actualizan los siguientes conocimientos y habilidades:
En el caso de una multiplicación de la forma 4 23, primero se aplica la permutación de factores y luego se aplica el mismo esquema de multiplicación anterior.
3. Método de dividir un número de dos cifras por un número de una sola cifra: 48:3; 48:2
Al dividir un número de dos cifras por un número de una sola cifra, se actualizan los siguientes conocimientos y habilidades:
4. Método de dividir un número de dos cifras por un número de dos cifras: 68: 17
Al dividir un número de dos dígitos por un número de dos dígitos, se requieren los siguientes conocimientos y habilidades:
La dificultad de la última técnica es que el niño no puede seleccionar inmediatamente el dígito deseado del cociente y realiza varias comprobaciones de los dígitos seleccionados, lo que requiere cálculos bastante complejos. Muchos niños dedican mucho tiempo a realizar cálculos de este tipo, porque no empiezan tanto a seleccionar el número cociente adecuado, sino a ordenar todos los factores seguidos, empezando por dos.
Para facilitar los cálculos se pueden utilizar dos técnicas:
1) orientación al último dígito del dividendo;
2) método de redondeo.
Primera cita Se supone que al seleccionar un posible dígito de un cociente, el niño se guía por el conocimiento de la tabla de multiplicar, multiplicando inmediatamente el dígito seleccionado (número) y el último dígito del divisor.
Por ejemplo, 3-7 = 21. El último dígito del número 68 es 8, lo que significa que no tiene sentido multiplicar 17 por 3, el último dígito del divisor aún no coincide. Probemos con el número 4 en el cociente: multiplique 7 4 = 28. El último dígito coincide, por lo que tiene sentido encontrar el producto 17 4.
Segunda cita Implica redondear el divisor y seleccionar el dígito del cociente en función del divisor redondeado.
Por ejemplo, 68:17, el divisor de 17 se redondea a 20. El cociente aproximado de 3 da, cuando se verifica, 20 3 = 60< 68, значит имеет смысл сразу проверять в качестве цифры частного 4:17 4 = 68.
Estas técnicas permiten reducir el coste de esfuerzo y tiempo a la hora de realizar cálculos de este tipo, pero requieren un buen conocimiento de las tablas de multiplicar y capacidad para redondear números.
Los números enteros que terminan en 0,1,2,3,4 se redondean a la decena entera más cercana, descartando esos dígitos.
Por ejemplo, los números 12, 13, 14 deben redondearse a 10. Los números 62, 63, 64 deben redondearse a 60.
Los números enteros que terminan en 5, 6, 7,8,9 se redondean a la decena entera más cercana.
Por ejemplo, los números 15,16,17,18,19 se redondean a 20. Los números 45,47, 49 se redondean a 50.
Orden de operaciones en expresiones que contienen multiplicación y división.
Las reglas para el orden de las acciones especifican las principales características de las expresiones que deben usarse al calcular sus valores.
Las primeras reglas que definían el orden de las operaciones en expresiones aritméticas especificaban el orden de las acciones en expresiones que contenían operaciones de suma y resta:
1. En expresiones sin paréntesis que contienen únicamente operaciones de suma y resta, las acciones se realizan en el orden en que están escritas: de izquierda a derecha.
2. Las acciones entre paréntesis se realizan primero.
3. Si una expresión contiene solo acciones de suma, entonces dos términos adyacentes siempre pueden reemplazarse por su suma (propiedad combinativa de la suma).
En 3er grado, se estudian nuevas reglas para el orden de realización de acciones en expresiones que contienen multiplicación y división:
4. En expresiones sin paréntesis que contienen únicamente multiplicación y división, las acciones se realizan en el orden en que están escritas: de izquierda a derecha.
5. En expresiones sin paréntesis, la multiplicación y división se realizan antes que la suma y la resta.
En este caso, se conserva la configuración para realizar primero la acción entre paréntesis. Los posibles casos de violación de esta configuración se discutieron anteriormente.
Las reglas para el orden de las acciones son reglas generales para calcular los valores de expresiones matemáticas (ejemplos), que se mantienen durante todo el período de estudio de matemáticas en la escuela. En este sentido, desarrollar en un niño una comprensión clara del algoritmo para realizar acciones es una tarea sucesiva importante en la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. El problema es que las reglas para el orden de las acciones son bastante variables y no siempre están claramente definidas.
Por ejemplo, en la expresión 48-3 + 7 + 8, como regla general, se debe aplicar la regla 1 para una expresión sin paréntesis que contenga operaciones de suma y resta. Al mismo tiempo, como opción para cálculos racionales, se puede utilizar la técnica de sustituir la suma de la parte 7 + 8, ya que después de restar el número 3 a 48 se obtiene 45, al que conviene sumar 15.
Sin embargo, tal análisis de dicha expresión no se proporciona en los grados de primaria, ya que se teme que con una comprensión inadecuada de este enfoque, el niño lo utilice en los casos de la forma 72 - 9 - 3 + 6. En este En este caso, reemplazar la expresión 3 + 6 con una suma es imposible, conducirá a una respuesta incorrecta.
La gran variabilidad en la aplicación de todo el grupo de reglas y variantes de reglas para determinar el orden de las acciones requiere una flexibilidad de pensamiento significativa, una buena comprensión del significado de las acciones matemáticas, la secuencia de acciones mentales, el "sentimiento" matemático y la intuición ( los matemáticos llaman a esto “sentido numérico”). En realidad, es mucho más fácil enseñarle a un niño a seguir estrictamente un procedimiento claramente establecido para analizar una expresión numérica desde el punto de vista de las características en las que se centra cada regla.
Al determinar el curso de acción, piense así:
1) Si hay paréntesis, primero realizo la acción escrita entre paréntesis.
2) Realizo multiplicaciones y divisiones en orden.
3) Realizo sumas y restas en orden.
Este algoritmo establece el orden de las acciones de forma bastante inequívoca, aunque con pequeñas variaciones.
En estas expresiones, el orden de acción está determinado únicamente por el algoritmo y es el único posible. Pongamos otros ejemplos.
Después de realizar la multiplicación y división en este ejemplo, puedes sumar inmediatamente 6 a 54, restar 9 de 18 y luego sumar los resultados. Técnicamente, sería mucho más fácil que el camino determinado por el algoritmo; inicialmente es posible un orden de acciones diferente en el ejemplo:
Por tanto, la cuestión de desarrollar la capacidad de determinar el orden de las acciones en expresiones en la escuela primaria contradice en cierta medida la necesidad de enseñar al niño métodos de cálculo racional.
Por ejemplo, en este caso, el orden de las acciones está determinado de forma absolutamente inequívoca por el algoritmo y requiere una serie de cálculos mentales complejos con transiciones a través de los dígitos: 42 - 7 y 35 + 8.
Si después de realizar la división 21:3, realizas la suma 42 + 8 = 50, y luego restas 50 - 7 = 43, lo cual es mucho más fácil técnicamente, la respuesta será la misma. Esta ruta de cálculo contradice la configuración dada en el libro de texto.
Y al calcular los valores de las expresiones, las acciones se realizan en un orden determinado, es decir, se debe observar orden de acciones.
En este artículo, descubriremos qué acciones se deben realizar primero y cuáles después. Comencemos con los casos más simples, cuando la expresión contiene solo números o variables conectadas por los signos más, menos, multiplicar y dividir. A continuación, explicaremos qué orden de acciones se deben seguir en expresiones entre paréntesis. Finalmente, veamos el orden en que se realizan las acciones en expresiones que contienen potencias, raíces y otras funciones.
Navegación de páginas.
Primero multiplicación y división, luego suma y resta.
La escuela da lo siguiente. una regla que determina el orden en que se realizan las acciones en expresiones sin paréntesis:
- las acciones se realizan en orden de izquierda a derecha,
- Además, primero se realizan la multiplicación y la división, y luego la suma y la resta.
La regla establecida se percibe con bastante naturalidad. La realización de acciones en orden de izquierda a derecha se explica por el hecho de que es costumbre que llevemos registros de izquierda a derecha. Y el hecho de que la multiplicación y la división se realicen antes que la suma y la resta se explica por el significado que tienen estas acciones.
Veamos algunos ejemplos de cómo se aplica esta regla. Como ejemplos, tomaremos las expresiones numéricas más simples para no distraernos con los cálculos, sino para centrarnos específicamente en el orden de las acciones.
Ejemplo.
Siga los pasos 7−3+6.
Solución.
La expresión original no contiene paréntesis y no contiene multiplicación ni división. Por lo tanto, debemos realizar todas las acciones en orden de izquierda a derecha, es decir, primero restamos 3 de 7, obtenemos 4, luego sumamos 6 a la diferencia resultante de 4, obtenemos 10.
Brevemente, la solución se puede escribir de la siguiente manera: 7−3+6=4+6=10.
Respuesta:
7−3+6=10 .
Ejemplo.
Indique el orden de las acciones en la expresión 6:2·8:3.
Solución.
Para responder a la pregunta del problema, pasemos a la regla que indica el orden de ejecución de las acciones en expresiones sin paréntesis. La expresión original contiene solo las operaciones de multiplicación y división y, según la regla, deben realizarse en orden de izquierda a derecha.
Respuesta:
En primer lugar Dividimos 6 entre 2, multiplicamos este cociente por 8 y finalmente dividimos el resultado entre 3.
Ejemplo.
Calcula el valor de la expresión 17−5·6:3−2+4:2.
Solución.
Primero, determinemos en qué orden se deben realizar las acciones en la expresión original. Contiene tanto multiplicación como división, suma y resta. Primero, de izquierda a derecha, debes realizar la multiplicación y la división. Entonces multiplicamos 5 por 6, obtenemos 30, dividimos este número por 3, obtenemos 10. Ahora dividimos 4 entre 2 y obtenemos 2. Sustituimos el valor encontrado 10 en la expresión original en lugar de 5·6:3, y en lugar de 4:2 - el valor 2, tenemos 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.
La expresión resultante ya no contiene multiplicación y división, por lo que queda realizar las acciones restantes en orden de izquierda a derecha: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Respuesta:
17−5·6:3−2+4:2=7.
En un principio, para no confundir el orden en que se realizan las acciones al calcular el valor de una expresión, es conveniente colocar números encima de los signos de acción que correspondan al orden en que se realizan. Para el ejemplo anterior se vería así: .
Se debe seguir el mismo orden de operaciones (primero multiplicación y división, luego suma y resta) cuando se trabaja con expresiones literales.
Acciones de la primera y segunda etapa.
En algunos libros de texto de matemáticas hay una división de las operaciones aritméticas en operaciones de la primera y segunda etapa. Resolvamos esto.
Definición.
Acciones de la primera etapa. se llaman suma y resta, y multiplicación y división se llaman acciones de segunda etapa.
En estos términos, la regla del párrafo anterior, que determina el orden de ejecución de las acciones, quedará escrita de la siguiente manera: si la expresión no contiene paréntesis, entonces, en orden de izquierda a derecha, las acciones de la segunda etapa (multiplicación y división) se realizan primero, luego las acciones de la primera etapa (suma y resta).
Orden de las operaciones aritméticas en expresiones entre paréntesis.
Las expresiones suelen contener paréntesis para indicar el orden en el que se deben realizar las acciones. En este caso una regla que especifica el orden de ejecución de acciones en expresiones entre paréntesis, se formula de la siguiente manera: primero se realizan las acciones entre paréntesis, mientras que también se realizan la multiplicación y división en orden de izquierda a derecha, luego la suma y la resta.
Entonces, las expresiones entre paréntesis se consideran componentes de la expresión original y conservan el orden de acciones que ya conocemos. Veamos las soluciones a los ejemplos para mayor claridad.
Ejemplo.
Siga estos pasos 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Solución.
La expresión contiene paréntesis, así que primero realicemos las acciones en las expresiones encerradas entre estos paréntesis. Comencemos con la expresión 7−2·3. En él primero debes realizar la multiplicación, y solo luego la resta, tenemos 7−2·3=7−6=1. Pasemos a la segunda expresión entre paréntesis 6-4. Aquí solo hay una acción: resta, la realizamos 6−4 = 2.
Sustituimos los valores obtenidos en la expresión original: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. En la expresión resultante, primero realizamos la multiplicación y división de izquierda a derecha, luego la resta, obtenemos 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. En este punto, todas las acciones están completadas, nos adherimos al siguiente orden de implementación: 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Anotemos una breve solución: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.
Respuesta:
5+(7−2·3)·(6−4):2=6.
Sucede que una expresión contiene paréntesis dentro de paréntesis. No hay por qué tener miedo de esto, solo es necesario aplicar consistentemente la regla establecida para realizar acciones en expresiones entre paréntesis. Mostremos la solución del ejemplo.
Ejemplo.
Realiza las operaciones en la expresión 4+(3+1+4·(2+3)) .
Solución.
Esta es una expresión entre paréntesis, lo que significa que la ejecución de acciones debe comenzar con la expresión entre paréntesis, es decir, con 3+1+4·(2+3). Esta expresión también contiene paréntesis, por lo que primero debes realizar las acciones en ellos. Hagamos esto: 2+3=5. Sustituyendo el valor encontrado, obtenemos 3+1+4·5. En esta expresión, primero realizamos la multiplicación, luego la suma, tenemos 3+1+4·5=3+1+20=24. El valor inicial, tras sustituir este valor, toma la forma 4+24, y solo queda completar las acciones: 4+24=28.
Respuesta:
4+(3+1+4·(2+3))=28.
En general, cuando una expresión contiene paréntesis dentro de paréntesis, suele ser conveniente realizar acciones comenzando con los paréntesis internos y avanzando hacia los externos.
Por ejemplo, digamos que necesitamos realizar las acciones en la expresión (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Primero, realizamos las acciones entre paréntesis interiores, ya que 4−6:2=4−3=1, luego de esto la expresión original tomará la forma (4+(4+1)−1)−1. Volvemos a realizar la acción entre paréntesis interiores, ya que 4+1=5, llegamos a la siguiente expresión (4+5−1)−1. Nuevamente realizamos las acciones entre paréntesis: 4+5−1=8, y llegamos a la diferencia 8−1, que es igual a 7.
Alfa significa número real. El signo igual en las expresiones anteriores indica que si sumas un número o infinito al infinito, nada cambiará, el resultado será el mismo infinito. Si tomamos como ejemplo el conjunto infinito de números naturales, entonces los ejemplos considerados se pueden representar de esta forma:
Para demostrar claramente que tenían razón, los matemáticos idearon muchos métodos diferentes. Personalmente, considero todos estos métodos como chamanes bailando con panderetas. Básicamente, todo se reduce al hecho de que algunas de las habitaciones están desocupadas y entran nuevos invitados, o que algunos de los visitantes son arrojados al pasillo para dejar espacio a los invitados (de manera muy humana). Presenté mi opinión sobre tales decisiones en forma de una historia de fantasía sobre la Rubia. ¿En qué se basa mi razonamiento? Reubicar a un número infinito de visitantes requiere una cantidad de tiempo infinita. Después de que hayamos dejado libre la primera habitación para un huésped, uno de los visitantes siempre caminará por el pasillo desde su habitación a la siguiente hasta el fin de los tiempos. Por supuesto, el factor tiempo puede ignorarse estúpidamente, pero esto entrará en la categoría de "ninguna ley está escrita para tontos". Todo depende de lo que estemos haciendo: ajustar la realidad a las teorías matemáticas o viceversa.
¿Qué es un “hotel sin fin”? Un hotel infinito es un hotel que siempre tiene cualquier número de camas vacías, independientemente de cuántas habitaciones estén ocupadas. Si todas las habitaciones del interminable corredor de "visitantes" están ocupadas, hay otro corredor interminable con habitaciones de "invitados". Habrá un número infinito de tales corredores. Además, el “hotel infinito” tiene un número infinito de pisos en un número infinito de edificios en un número infinito de planetas en un número infinito de universos creados por un número infinito de Dioses. Los matemáticos no pueden distanciarse de los problemas cotidianos banales: siempre hay un solo Dios-Alá-Buda, solo hay un hotel, solo hay un pasillo. Por eso los matemáticos están tratando de hacer malabarismos con los números de serie de las habitaciones de hotel, convenciéndonos de que es posible "meter lo imposible".
Les demostraré la lógica de mi razonamiento usando el ejemplo de un conjunto infinito de números naturales. Primero debes responder una pregunta muy simple: ¿cuántos conjuntos de números naturales hay, uno o muchos? No hay una respuesta correcta a esta pregunta, ya que nosotros mismos inventamos los números; los números no existen en la naturaleza. Sí, la naturaleza es excelente para contar, pero para ello utiliza otras herramientas matemáticas que no nos son familiares. En otra ocasión os contaré lo que piensa la Naturaleza. Como inventamos los números, nosotros mismos decidiremos cuántos conjuntos de números naturales hay. Consideremos ambas opciones, como corresponde a verdaderos científicos.
Opcion uno. “Se nos dará” un único conjunto de números naturales, que yace serenamente en el estante. Sacamos este juego del estante. Eso es todo, no quedan otros números naturales en el estante ni ningún lugar donde llevarlos. No podemos agregar uno a este conjunto porque ya lo tenemos. ¿Qué pasa si realmente quieres? Ningún problema. Podemos coger uno del juego que ya hemos cogido y devolverlo a la estantería. Después de eso, podemos coger uno del estante y añadirlo a lo que nos queda. Como resultado, obtendremos nuevamente un conjunto infinito de números naturales. Puedes anotar todas nuestras manipulaciones así:
Anoté las acciones en notación algebraica y en notación de teoría de conjuntos, con un listado detallado de los elementos del conjunto. El subíndice indica que tenemos un único conjunto de números naturales. Resulta que el conjunto de números naturales permanecerá sin cambios solo si se le resta uno y se le suma la misma unidad.
Opción dos. Tenemos muchos conjuntos infinitos diferentes de números naturales en nuestro estante. Destaco - DIFERENTES, a pesar de que son prácticamente indistinguibles. Tomemos uno de estos conjuntos. Luego tomamos uno de otro conjunto de números naturales y lo sumamos al conjunto que ya hemos tomado. Incluso podemos sumar dos conjuntos de números naturales. Esto es lo que obtenemos:
Los subíndices "uno" y "dos" indican que estos elementos pertenecían a conjuntos diferentes. Sí, si sumas uno a un conjunto infinito, el resultado también será un conjunto infinito, pero no será el mismo que el conjunto original. Si agrega otro conjunto infinito a un conjunto infinito, el resultado es un nuevo conjunto infinito que consta de los elementos de los dos primeros conjuntos.
El conjunto de los números naturales se utiliza para contar de la misma manera que una regla para medir. Ahora imagina que agregaste un centímetro a la regla. Esta será una línea diferente, no igual a la original.
Puede aceptar o no mi razonamiento: es asunto suyo. Pero si alguna vez te encuentras con problemas matemáticos, piensa si estás siguiendo el camino del razonamiento falso recorrido por generaciones de matemáticos. Después de todo, estudiar matemáticas, en primer lugar, forma en nosotros un estereotipo estable de pensamiento, y sólo entonces aumenta nuestras capacidades mentales (o, por el contrario, nos priva del libre pensamiento).
domingo, 4 de agosto de 2019
Estaba terminando una posdata de un artículo sobre y vi este maravilloso texto en Wikipedia:
Leemos: "... la rica base teórica de las matemáticas de Babilonia no tenía un carácter holístico y se reducía a un conjunto de técnicas dispares, desprovistas de un sistema común y una base de evidencia".
¡Guau! Qué inteligentes somos y qué tan bien podemos ver los defectos de los demás. ¿Es difícil para nosotros mirar las matemáticas modernas en el mismo contexto? Parafraseando ligeramente el texto anterior, personalmente obtuve lo siguiente:
La rica base teórica de las matemáticas modernas no es de naturaleza holística y se reduce a un conjunto de secciones dispares, desprovistas de un sistema común y una base de evidencia.
No iré muy lejos para confirmar mis palabras: tiene un lenguaje y convenciones que son diferentes del lenguaje y las convenciones de muchas otras ramas de las matemáticas. Los mismos nombres en diferentes ramas de las matemáticas pueden tener significados diferentes. Quiero dedicar toda una serie de publicaciones a los errores más evidentes de las matemáticas modernas. Nos vemos pronto.
Sábado, 3 de agosto de 2019.
¿Cómo dividir un conjunto en subconjuntos? Para hacer esto, debe ingresar una nueva unidad de medida que esté presente en algunos de los elementos del conjunto seleccionado. Veamos un ejemplo.
Que tengamos mucho A compuesto por cuatro personas. Este conjunto se forma a partir de “personas”. Designemos los elementos de este conjunto con la letra A, el subíndice con un número indicará el número de serie de cada persona en este conjunto. Introduzcamos una nueva unidad de medida "género" y designémosla con la letra b. Dado que las características sexuales son inherentes a todas las personas, multiplicamos cada elemento del conjunto. A basado en el género b. Observe que nuestro conjunto de "personas" ahora se ha convertido en un conjunto de "personas con características de género". Después de esto podemos dividir las características sexuales en masculinas. bm y de mujeres peso corporal características sexuales. Ahora podemos aplicar un filtro matemático: seleccionamos una de estas características sexuales, sin importar cuál sea masculina o femenina. Si una persona lo tiene, lo multiplicamos por uno, si no existe tal signo, lo multiplicamos por cero. Y luego utilizamos las matemáticas escolares habituales. Mira lo que paso.
Después de la multiplicación, reducción y reordenamiento, terminamos con dos subconjuntos: el subconjunto de hombres bm y un subconjunto de mujeres bw. Los matemáticos razonan aproximadamente de la misma manera cuando aplican la teoría de conjuntos en la práctica. Pero no nos cuentan los detalles, sino que nos dan el resultado final: "muchas personas están formadas por un subconjunto de hombres y un subconjunto de mujeres". Naturalmente, es posible que tengas una pregunta: ¿con qué precisión se han aplicado las matemáticas en las transformaciones descritas anteriormente? Me atrevo a asegurarles que esencialmente todo se hizo correctamente, basta con conocer las bases matemáticas de la aritmética, el álgebra de Boole y otras ramas de las matemáticas. ¿Lo que es? En otra ocasión os hablaré de esto.
En cuanto a los superconjuntos, puedes combinar dos conjuntos en un superconjunto seleccionando la unidad de medida presente en los elementos de estos dos conjuntos.
Como puede ver, las unidades de medida y las matemáticas ordinarias hacen de la teoría de conjuntos una reliquia del pasado. Una señal de que no todo va bien en la teoría de conjuntos es que los matemáticos han creado su propio lenguaje y notación para la teoría de conjuntos. Los matemáticos actuaron como alguna vez lo hicieron los chamanes. Sólo los chamanes saben cómo aplicar "correctamente" su "conocimiento". Nos enseñan este “conocimiento”.
En conclusión, quiero mostrarles cómo manipulan los matemáticos.
lunes, 7 de enero de 2019
En el siglo V a. C., el antiguo filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía “Aquiles y la Tortuga”. Así es como suena:
Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy, la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.
Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.
Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:
En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero llamar la atención especialmente es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
miércoles, 4 de julio de 2018
Ya os he dicho con qué ayuda los chamanes intentan ordenar la “realidad”. ¿Cómo lo hacen? ¿Cómo ocurre realmente la formación de un conjunto?
Echemos un vistazo más de cerca a la definición de conjunto: "una colección de elementos diferentes, concebidos como un todo único". Ahora sienta la diferencia entre dos frases: “concebible en su conjunto” y “concebible en su conjunto”. La primera frase es el resultado final, el conjunto. La segunda frase es una preparación preliminar para la formación de una multitud. En esta etapa, la realidad se divide en elementos individuales (el “todo”), a partir de los cuales luego se formará una multitud (el “todo único”). Al mismo tiempo, se controla cuidadosamente el factor que permite combinar el "todo" en un "todo único", de lo contrario los chamanes no tendrán éxito. Después de todo, los chamanes saben de antemano exactamente qué conjunto quieren mostrarnos.
Te mostraré el proceso con un ejemplo. Seleccionamos el "sólido rojo en un grano": este es nuestro "todo". Al mismo tiempo, vemos que estas cosas tienen arco y las hay sin arco. Después de eso, seleccionamos parte del “todo” y formamos un conjunto “con un lazo”. Así es como los chamanes obtienen su alimento vinculando su teoría de conjuntos a la realidad.
Ahora hagamos un pequeño truco. Tomemos "sólido con un grano con un lazo" y combinemos estos "enteros" según el color, seleccionando los elementos rojos. Tenemos mucho "rojo". Ahora la pregunta final: ¿los conjuntos resultantes “con lazo” y “rojo” son el mismo conjunto o dos conjuntos diferentes? Sólo los chamanes saben la respuesta. Más precisamente, ellos mismos no saben nada, pero como dicen, así será.
Este sencillo ejemplo muestra que la teoría de conjuntos es completamente inútil cuando se trata de la realidad. ¿Cuál es el secreto? Formamos un conjunto de "sólidos rojos con un grano y un lazo". La formación se realizó en cuatro unidades de medida diferentes: color (rojo), fuerza (sólido), rugosidad (con granos), decoración (con lazo). Sólo un conjunto de unidades de medida nos permite describir adecuadamente objetos reales en el lenguaje de las matemáticas.. Esto es lo que parece.
La letra "a" con diferentes índices denota diferentes unidades de medida. Entre paréntesis se destacan las unidades de medida por las que se distingue el "todo" en la etapa preliminar. Entre paréntesis se saca la unidad de medida por la que se forma el conjunto. La última línea muestra el resultado final: un elemento del conjunto. Como puedes ver, si usamos unidades de medida para formar un conjunto, entonces el resultado no depende del orden de nuestras acciones. Y esto son matemáticas, y no danzas de chamanes con panderetas. Los chamanes pueden llegar “intuitivamente” al mismo resultado, argumentando que es “obvio”, porque las unidades de medida no forman parte de su arsenal “científico”.
Usando unidades de medida, es muy fácil dividir un conjunto o combinar varios conjuntos en un superconjunto. Echemos un vistazo más de cerca al álgebra de este proceso.
Sábado, 30 de junio de 2018.
Si los matemáticos no pueden reducir un concepto a otros conceptos, entonces no entienden nada de matemáticas. Respondo: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? La respuesta es muy sencilla: números y unidades de medida.
Hoy en día, todo lo que no tomamos pertenece a algún conjunto (como nos aseguran los matemáticos). Por cierto, ¿viste en el espejo de tu frente una lista de esos conjuntos a los que perteneces? Y no he visto esa lista. Diré más: en realidad, ni una sola cosa tiene una etiqueta con una lista de los conjuntos a los que pertenece. Los conjuntos son todos inventos de chamanes. ¿Cómo lo hicieron? Profundicemos un poco más en la historia y veamos cómo eran los elementos del conjunto antes de que los chamanes matemáticos los incorporaran a sus conjuntos.
Hace mucho tiempo, cuando nadie había oído hablar de las matemáticas, y sólo los árboles y Saturno tenían anillos, enormes manadas de elementos salvajes de conjuntos deambulaban por los campos físicos (después de todo, los chamanes aún no habían inventado los campos matemáticos). Se parecían a esto.
Sí, no se sorprenda, desde el punto de vista de las matemáticas, todos los elementos de los conjuntos son muy similares a los erizos de mar: desde un punto, como agujas, las unidades de medida sobresalen en todas direcciones. Para aquellos que les recuerdo que cualquier unidad de medida se puede representar geométricamente como un segmento de longitud arbitraria y un número como un punto. Geométricamente, cualquier cantidad se puede representar como un conjunto de segmentos que sobresalen en diferentes direcciones desde un punto. Este punto es el punto cero. No dibujaré esta obra de arte geométrico (sin inspiración), pero puedes imaginarla fácilmente.
¿Qué unidades de medida forman un elemento de un conjunto? Todo tipo de cosas que describen un elemento determinado desde diferentes puntos de vista. Se trata de unidades de medida antiguas que utilizaban nuestros antepasados y que todo el mundo ha olvidado hace mucho tiempo. Estas son las unidades de medida modernas que utilizamos ahora. También son unidades de medida desconocidas para nosotros, que inventarán nuestros descendientes y que utilizarán para describir la realidad.
Hemos resuelto la geometría: el modelo propuesto de los elementos del conjunto tiene una representación geométrica clara. ¿Qué pasa con la física? Las unidades de medida son la conexión directa entre las matemáticas y la física. Si los chamanes no reconocen las unidades de medida como un elemento completo de las teorías matemáticas, ese es su problema. Personalmente, no puedo imaginar la verdadera ciencia de las matemáticas sin unidades de medida. Por eso, al principio de la historia sobre la teoría de conjuntos, hablé de ella como de la Edad de Piedra.
Pero pasemos a lo más interesante: el álgebra de elementos de conjuntos. Algebraicamente, cualquier elemento de un conjunto es un producto (el resultado de la multiplicación) de diferentes cantidades. Se ve así.
Deliberadamente no utilicé las convenciones de la teoría de conjuntos, ya que estamos considerando un elemento de un conjunto en su entorno natural antes del surgimiento de la teoría de conjuntos. Cada par de letras entre paréntesis denota una cantidad separada, que consta de un número indicado por la letra " norte" y la unidad de medida indicada por la letra " a". Los índices junto a las letras indican que los números y las unidades de medida son diferentes. Un elemento del conjunto puede consistir en un número infinito de cantidades (cuántas fantasías tenemos nosotros y nuestros descendientes). Cada paréntesis se representa geométricamente como un segmento separado En el ejemplo del erizo de mar, un soporte es una aguja.
¿Cómo forman los chamanes conjuntos a partir de diferentes elementos? De hecho, por unidades de medida o por números. Sin entender nada de matemáticas, toman diferentes erizos de mar y los examinan cuidadosamente en busca de esa única aguja, a lo largo de la cual forman un conjunto. Si existe tal aguja, entonces este elemento pertenece al conjunto; si no existe tal aguja, entonces este elemento no es de este conjunto. Los chamanes nos cuentan fábulas sobre los procesos de pensamiento y el todo.
Como habrás adivinado, un mismo elemento puede pertenecer a conjuntos muy diferentes. A continuación te mostraré cómo se forman conjuntos, subconjuntos y otras tonterías chamánicas. Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.
En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...
Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".
Cuando trabajamos con diversas expresiones que incluyen números, letras y variables, tenemos que realizar una gran cantidad de operaciones aritméticas. Cuando hacemos una conversión o calculamos un valor, es muy importante seguir el orden correcto de estas acciones. En otras palabras, las operaciones aritméticas tienen su propio orden especial de ejecución.
Yandex.RTB R-A-339285-1
En este artículo te contamos qué acciones se deben realizar primero y cuáles después. Primero, veamos algunas expresiones simples que contienen solo variables o valores numéricos, así como signos de división, multiplicación, resta y suma. Luego, tomemos ejemplos entre paréntesis y consideremos en qué orden deben calcularse. En la tercera parte daremos el orden necesario de transformaciones y cálculos en aquellos ejemplos que incluyan signos de raíces, potencias y otras funciones.
Definición 1En el caso de expresiones sin paréntesis, el orden de las acciones se determina de forma inequívoca:
- Todas las acciones se realizan de izquierda a derecha.
- Primero realizamos división y multiplicación, y luego resta y suma.
El significado de estas reglas es fácil de entender. El orden de escritura tradicional de izquierda a derecha define la secuencia básica de los cálculos, y la necesidad de multiplicar o dividir primero se explica por la esencia misma de estas operaciones.
Tomemos algunas tareas para mayor claridad. Usamos sólo las expresiones numéricas más simples para que todos los cálculos pudieran realizarse mentalmente. De esta manera podrá recordar rápidamente el orden deseado y comprobar rápidamente los resultados.
Ejemplo 1
Condición: calcula cuanto sera 7 − 3 + 6 .
Solución
En nuestra expresión no hay paréntesis, tampoco hay multiplicación ni división, por lo que realizamos todas las acciones en el orden especificado. Primero restamos tres de siete, luego sumamos seis al resto y terminamos con diez. Aquí hay una transcripción de la solución completa:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Respuesta: 7 − 3 + 6 = 10 .
Ejemplo 2
Condición:¿En qué orden se deben realizar los cálculos en la expresión? 6:2 8:3?
Solución
Para responder a esta pregunta, volvamos a leer la regla para expresiones sin paréntesis que formulamos anteriormente. Aquí solo tenemos multiplicación y división, lo que significa que mantenemos el orden escrito de los cálculos y contamos secuencialmente de izquierda a derecha.
Respuesta: Primero dividimos seis entre dos, multiplicamos el resultado por ocho y dividimos el número resultante entre tres.
Ejemplo 3
Condición: calcula cuánto será 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.
Solución
Primero, determinemos el orden correcto de las operaciones, ya que aquí tenemos todos los tipos básicos de operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. Lo primero que debemos hacer es dividir y multiplicar. Estas acciones no tienen prioridad entre sí, por lo que las realizamos en el orden escrito de derecha a izquierda. Es decir, hay que multiplicar 5 por 6 para obtener 30, luego dividir 30 entre 3 para obtener 10. Después de eso, divide 4 entre 2, esto es 2. Sustituyamos los valores encontrados en la expresión original:
17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2
Aquí ya no hay división ni multiplicación, así que hacemos los cálculos restantes en orden y obtenemos la respuesta:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Respuesta:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.
Hasta que se memorice firmemente el orden de realización de las acciones, puede colocar números encima de los signos de las operaciones aritméticas que indiquen el orden de cálculo. Por ejemplo, para el problema anterior podríamos escribirlo así:
Si tenemos expresiones con letras, entonces hacemos lo mismo con ellas: primero multiplicamos y dividimos, luego sumamos y restamos.
¿Cuáles son las acciones de la primera y segunda etapa?
A veces, en los libros de referencia, todas las operaciones aritméticas se dividen en acciones de la primera y segunda etapa. Formulemos la definición necesaria.
Las operaciones de la primera etapa incluyen resta y suma, la segunda, multiplicación y división.
Conociendo estos nombres, podemos escribir la regla dada anteriormente respecto al orden de las acciones de la siguiente manera:
Definición 2
En una expresión que no contiene paréntesis, primero se deben realizar las acciones de la segunda etapa en el sentido de izquierda a derecha, luego las acciones de la primera etapa (en la misma dirección).
Orden de cálculos en expresiones entre paréntesis.
Los propios paréntesis son un signo que nos indica el orden de acciones deseado. En este caso, la regla requerida se puede escribir de la siguiente manera:
Definición 3
Si hay paréntesis en la expresión, entonces el primer paso es realizar la operación en ellos, luego de lo cual multiplicamos y dividimos, y luego sumamos y restamos de izquierda a derecha.
En cuanto a la expresión entre paréntesis en sí, puede considerarse como parte integral de la expresión principal. Al calcular el valor de la expresión entre paréntesis, mantenemos el mismo procedimiento que conocemos. Ilustremos nuestra idea con un ejemplo.
Ejemplo 4
Condición: calcula cuanto sera 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2.
Solución
Hay paréntesis en esta expresión, así que comencemos con ellos. Primero que nada, calculemos cuánto será 7 − 2 · 3. Aquí necesitamos multiplicar 2 por 3 y restar el resultado a 7:
7 - 2 3 = 7 - 6 = 1
Calculamos el resultado en los segundos paréntesis. Allí solo tenemos una acción: 6 − 4 = 2 .
Ahora necesitamos sustituir los valores resultantes en la expresión original:
5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 5 + 1 2: 2
Comencemos con la multiplicación y la división, luego realicemos la resta y obtengamos:
5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6
Con esto concluyen los cálculos.
Respuesta: 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 6.
No se alarme si nuestra condición contiene una expresión en la que algunos paréntesis encierran otros. Sólo necesitamos aplicar la regla anterior de manera consistente a todas las expresiones entre paréntesis. Tomemos este problema.
Ejemplo 5
Condición: calcula cuanto sera 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).
Solución
Tenemos paréntesis dentro de paréntesis. Empezamos con 3 + 1 + 4 · (2 + 3), es decir, 2 + 3. Serán las 5. Será necesario sustituir el valor en la expresión y calcular que 3 + 1 + 4 · 5. Recordamos que primero debemos multiplicar y luego sumar: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Sustituyendo los valores encontrados en la expresión original, calculamos la respuesta: 4 + 24 = 28 .
Respuesta: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28.
En otras palabras, al calcular el valor de una expresión que incluye paréntesis dentro de paréntesis, comenzamos con los paréntesis internos y avanzamos hasta los externos.
Digamos que necesitamos encontrar cuánto será (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Comenzamos con la expresión entre paréntesis interiores. Dado que 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, la expresión original se puede escribir como (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Mirando nuevamente los paréntesis internos: 4 + 1 = 5. Hemos llegado a la expresión. (4 + 5 − 1) − 1 . Nosotros contamos 4 + 5 − 1 = 8 y como resultado obtenemos la diferencia 8 - 1, cuyo resultado será 7.
El orden de cálculo en expresiones con potencias, raíces, logaritmos y otras funciones.
Si nuestra condición contiene una expresión con potencia, raíz, logaritmo o función trigonométrica (seno, coseno, tangente y cotangente) u otras funciones, primero calculamos el valor de la función. Posteriormente actuamos según las reglas especificadas en los párrafos anteriores. En otras palabras, las funciones tienen la misma importancia que la expresión entre paréntesis.
Veamos un ejemplo de tal cálculo.
Ejemplo 6
Condición: halla cuánto es (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.
Solución
Tenemos una expresión con un grado, cuyo valor hay que encontrar primero. Contamos: 6 2 = 36. Ahora sustituyamos el resultado en la expresión, después de lo cual tomará la forma (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.
(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13
Respuesta: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.
En un artículo aparte dedicado al cálculo de los valores de expresiones, proporcionamos otros ejemplos de cálculos más complejos en el caso de expresiones con raíces, grados, etc. Le recomendamos que se familiarice con él.
Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter