18 Aufgaben Klausur Informatik Lösungstechnik

Es ist bekannt, dass der Ausdruck

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ ((x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))

wahr (d. h. nimmt den Wert 1 an) für jeden Wert der Variablen x. Bestimmen Sie die größtmögliche Anzahl von Elementen in Menge A.

Lösung.

Wir führen die Notation ein:

(x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ EIN) ≡ EIN; ∧ ≡ ; ∨ ≡ +.

Dann erhalten wir durch Anwendung der Implikationstransformation:

(¬A + P) (¬Q + ¬A) ⇔ ¬A ¬Q + ¬Q P + ¬A + ¬A P ⇔

⇔ ¬A (¬Q + P + 1) + ¬Q P ⇔ ¬A + ¬Q P.

Es ist erforderlich, dass ¬A + ¬Q · P = 1. Der Ausdruck ¬Q · P ist wahr, wenn x ∈ (2, 4, 8, 10, 14, 16, 20). Dann muss ¬A wahr sein, wenn x ∈ (1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23,...).

Daher ist die maximale Anzahl von Elementen in der Menge A, wenn A alle Elemente der Menge ¬Q · P enthält, es sieben solcher Elemente gibt.

Antwort: 7.

Antwort: 7

Die Elemente der Menge A sind natürliche Zahlen. Es ist bekannt, dass der Ausdruck

(x (2, 4, 6, 8, 10, 12)) → (((x (3, 6, 9, 12, 15)) ∧ ¬(x A)) → ¬(x (2, 4, 6 , 8, 10, 12)))

Lösung.

Wir führen die Notation ein:

(x ∈ (2, 4, 6, 8, 10, 12)) ≡ P; (x ∈ (3, 6, 9, 12, 15)) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.

Durch Transformation erhalten wir:

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = P → (¬(Q ∧ ¬A) ∨ ¬P) = ¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬A) ∨ ¬P) = ¬P ∨ ¬Q ∨ A.

Das logische ODER ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist. Der Ausdruck ¬P ∨ ¬Q gilt für alle Werte von x mit Ausnahme der Werte 6 und 12. Daher muss das Intervall A die Punkte 6 und 12 enthalten. Das heißt, die minimale Menge von Punkten im Intervall A ≡ (6, 12). Die Summe der Elemente von Menge A ist 18.

Antwort: 18.

Antwort: 18

Die Elemente der Mengen A, P, Q sind natürliche Zahlen, und P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Es ist bekannt, dass der Ausdruck

wahr (d. h. nimmt den Wert 1 an) für jeden Wert der Variablen x. Bestimmen Sie den kleinstmöglichen Wert der Summe der Elemente der Menge A.

Lösung.

Vereinfachen wir:

¬(x P) ∨ ¬(x Q) ergibt nur dann 0, wenn die Zahl in beiden Mengen liegt. Damit der gesamte Ausdruck wahr ist, müssen wir also alle Zahlen in P und Q in A einsetzen. Solche Zahlen sind 6, 12, 18. Ihre Summe ist 36.

Antwort: 36.

Antwort: 36

Quelle: Ausbildungsarbeit zu INFORMATIK Klasse 11, 18. Januar 2017, Option IN10304

Die Elemente der Mengen A, P, Q sind natürliche Zahlen, und P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Es ist bekannt, dass der Ausdruck ((x A) → (x P)) ∨ (¬(x Q) → ¬(x A))

wahr (d. h. nimmt den Wert 1 an) für jeden Wert der Variablen x.

Bestimmen Sie die größtmögliche Anzahl von Elementen in Menge A.

Lösung.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln:

((x A) → (x P)) ∨ ((x Q) → (x A))

((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x Q) ∨ (x A))

(x A) ∨ (x P) ∨ (x Q)

Daher muss ein Element entweder in P oder Q enthalten sein oder nicht in A enthalten sein. Daher können nur Elemente aus P und Q in A enthalten sein. Und insgesamt gibt es 17 sich nicht wiederholende Elemente in diesen beiden Mengen.

Antwort: 17

Die Elemente der Mengen A, P, Q sind natürliche Zahlen, und P = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30). Es ist bekannt, dass der Ausdruck

((x P) → (x A)) ∨ (¬(x A) → ¬(x Q))

wahr (d. h. nimmt den Wert 1 an) für jeden Wert der Variablen x. Bestimmen Sie den kleinstmöglichen Wert der Summe der Elemente der Menge A.

Lösung.

Lassen Sie uns zwei Implikationen untersuchen. Wir bekommen:

(¬(x P) ∨ (x A)) ∨ ((x A) ∨ ¬(x Q))

Vereinfachen wir:

(¬(x P) ∨ (x A) ∨ ¬(x Q))

¬(x P) ∨ ¬(x Q) ergibt nur dann 0, wenn die Zahl in beiden Mengen liegt. Das bedeutet, dass Sie alle Zahlen in P und Q in A einsetzen müssen, damit der gesamte Ausdruck wahr ist. Solche Zahlen sind 3, 9, 15 und 21. Ihre Summe ist 48.

Antwort: 48.

Antwort: 48

Quelle: Ausbildungsarbeit zu INFORMATIK Klasse 11, 18. Januar 2017, Option IN10303

Und der Ausdruck

(y + 2x 30) ∨ (y > 20)

x und y?

Lösung.

Beachten Sie, dass für die identische Wahrheit dieses Ausdrucks der Ausdruck (y + 2x Antwort: 81.

Antwort: 81

Quelle: USE - 2018. Frühe Welle. Option 1., VERWENDUNG - 2018. Frühe Welle. Option 2.

Auf dem Zahlenstrahl ist ein Segment A. Es ist bekannt, dass die Formel

((x ∈ EIN) → (x2 ≤ 100)) ∧ ((x2 ≤ 64) → (x ∈ EIN))

ist für jede reelle Zahl identisch x. Was ist die kürzeste Länge von Segment A?

Lösung.

Indem wir die Implikation gemäß der Regel A → B = ¬A + B erweitern, die logische Summe durch eine Menge und das logische Produkt durch ein Beziehungssystem ersetzen, bestimmen wir die Werte des Parameters ABER, unter dem das System der Sammlungen

haben Lösungen für alle reellen Zahlen.

Damit die Lösungen des Systems alle reelle Zahlen sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Lösungen jeder der Sammlungen alle reelle Zahlen sind.

Die Lösungen der Ungleichung sind alle Zahlen aus dem Segment [−10; zehn]. Damit die Sammlung für alle reellen Zahlen gilt, müssen die Zahlen x, die nicht auf dem angegebenen Segment liegen, müssen zum Segment A gehören. Daher darf das Segment A nicht über das Segment [−10; zehn].

Ebenso sind die Lösungen der Ungleichung die Zahlen aus den Strahlen und damit die Menge für alle reellen Zahlen gilt, die Zahlen x, die nicht auf den angegebenen Strahlen liegen, müssen auf dem Segment A liegen. Daher muss das Segment A das Segment [−8; acht].

Somit kann die kleinste Länge von Segment A gleich 8 + 8 = 16 sein.

Antwort: 16.

Antwort: 16

EIN Ausdruck

(j + 2x ≠ 48) ∨ (EIN x) ∨ ( x j)

identisch wahr, das heißt, es nimmt den Wert 1 für alle nicht negativen ganzen Zahlen an x und j?

Lösung.

EIN x und j, überlegen Sie, in welchen Fällen die Bedingungen ( j + 2x≠ 48) und ( x y) sind falsch.

j = 48 − 2x) und (x ≥ y). Das x zwischen 16 und 24 j im Bereich von 0 bis 16. Beachten Sie, dass der Ausdruck für alle geeignet ist x und j, es ist erforderlich, zu nehmen x= 16 und j= 16. Dann EIN A wird gleich 15 sein.

Antwort: 15.

Antwort: 15

Quelle: USE in Informatics 28.05.2018. Die Hauptwelle, die Variante von A. Imaev - "Kotolis".

Was ist die größte nicht negative ganze Zahl EIN Ausdruck

(j + 2x ≠ 48) ∨ (EIN x) ∨ ( EIN j)

identisch wahr, das heißt, es nimmt den Wert 1 für alle nicht negativen ganzen Zahlen an x und j?

Lösung.

Um die größte nicht negative ganze Zahl zu finden EIN, bei dem der Ausdruck sein wird x und j, überlegen Sie, in welchen Fällen die Bedingung ( j + 2x≠ 48) ist falsch.

Somit finden wir alle Lösungen, wenn ( j = 48 − 2x). Das x zwischen 0 und 24 j im Bereich von 48 bis 0. Beachten Sie, dass der Ausdruck für alle geeignet ist x und j, es ist erforderlich, zu nehmen x= 16 und j= 16. Dann EIN A wird gleich 15 sein.

Antwort: 15.

Antwort: 15

Quelle: Demoversion des USE-2019 in Informatik.

Was ist die kleinste nicht negative ganze Zahl EIN Ausdruck

(2x + 3j > 30) ∨ (x + j ≤ EIN)

identisch gilt für alle nicht-negativen ganzen Zahlen x und j?

Lösung.

EIN, unter dem der Ausdruck für jede ganze Zahl, die nicht negativ ist, identisch wahr ist x und jj + 2x> 30) ist falsch.

j + 2x≤ 30). Das x zwischen 0 und 15 und j im Bereich von 10 bis 0. Beachten Sie, dass der Ausdruck für alle geeignet ist x und j, es ist erforderlich, zu nehmen x= 15 und j= 0. Dann 15 + 0 ≤ EIN. Daher die kleinste ganzzahlige nicht negative Zahl EIN wird gleich 15.

Antwort: 15.

Antwort: 15

Was ist die größte nicht negative ganze Zahl EIN Ausdruck

(2x + 3j x + j ≥ EIN)

identisch gilt für alle nicht-negativen ganzen Zahlen x und j?

Lösung.

Um die größte nicht negative ganze Zahl zu finden EIN, unter dem der Ausdruck für jede ganze Zahl, die nicht negativ ist, identisch wahr ist x und j, überlegen Sie, in welchen Fällen die Bedingung (3 j + 2x Wir finden also alle Lösungen, wenn (3 j + 2x≥ 30). Das xüber 15 u j größer als 10. Beachten Sie, dass der Ausdruck für alle geeignet ist x und j, es ist erforderlich, zu nehmen x= 0 und j= 10. Dann 0 + 10 ≤ EIN. Daher die größte nicht negative Ganzzahl EIN gleich 10.

Antwort: 10.

Antwort: 10

Was ist die kleinste nicht negative ganze Zahl EIN Ausdruck

(3x + 4j ≠ 70) ∨ (EIN > x) ∨ (EIN > j)

identisch gilt für alle nicht-negativen ganzen Zahlen x und j?

Lösung.

So finden Sie die kleinste ganzzahlige nicht negative Zahl EIN, unter dem der Ausdruck für jede ganze Zahl, die nicht negativ ist, identisch wahr ist x und j, überlegen Sie, in welchen Fällen die Bedingung (3 x + 4j≠ 70) ist falsch.

Wir finden also alle Lösungen, wenn (3 x + 4j= 70). Das x zwischen 2 und 22 j im Bereich von 16 bis 1. Beachten Sie, dass der Ausdruck für alle geeignet ist x und j, es ist erforderlich, zu nehmen x= 10 und j= 10. Dann EIN> 10. Also die kleinste nicht negative Ganzzahl EIN wird gleich 11.

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir einige logische Schlussfolgerungen ziehen, also „achten Sie auf Ihre Hände“.

1. Sie wollen, dass wir die minimale nicht negative ganze Zahl A finden, für die der Ausdruck immer wahr ist.
2. Was ist der Ausdruck als Ganzes? irgendwas da Implikation etwas in Klammern.
3. Erinnern wir uns an die Wahrheitstabelle für die Implikation:
   1 => 1 = 1
   1 => 0 = 0
   0 => 1 = 1
   0 => 0 = 1
4. Es gibt also drei Möglichkeiten, wann dies der Fall sein wird. Alle diese drei Optionen in Betracht zu ziehen, bedeutet, sich umzubringen und nicht zu leben. Denken wir darüber nach, ob wir „vom Gegenteil“ ausgehen können.
5. Lassen Sie uns, anstatt nach A zu suchen, versuchen, x zu finden, für das dieser Ausdruck falsch ist.
6. Das heißt, nehmen wir eine Nummer A (wir wissen noch nicht was, nur einige). Wenn wir plötzlich ein solches x finden, für das die ganze Aussage falsch ist, dann ist das gewählte A schlecht (weil die Bedingung verlangt, dass der Ausdruck immer wahr ist)!
7. Somit können wir eine Art Einschränkung für die Zahl A erhalten.
8. Gehen wir also vom Gegenteil aus und erinnern uns, wann die Implikation falsch ist? Wenn der erste Teil wahr und der zweite Teil falsch ist.
9. Meint
   \((\mathrm(x)\&25\neq 0)= 1 \\ (\mathrm(x)\&17=0\Rechtspfeil \mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\)
10. Was bedeutet es, dass \((x\&25\neq 0) = 1\) ? Das bedeutet, dass tatsächlich \(\mathrm(x)\&25\neq 0\) .
11. Konvertieren wir 25 in binär. Wir erhalten: 11001 2 .
12. Welche Einschränkungen erlegt dies x auf? Da es nicht gleich Null ist, bedeutet dies, dass bei einer bitweisen Konjunktion irgendwo eine Einheit erhalten werden muss. Aber wo könnte sie sein? Nur wo es schon eine Einheit in 25 gibt!
13. Das bedeutet, dass in der Zahl x mindestens ein Kreuz eine Einheit enthalten muss: XX**X.
14. Ok, betrachten Sie jetzt den zweiten Multiplikator: \((\mathrm(x)\&17=0\Rechtspfeil \mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\)
15. Auch dieser Ausdruck ist eine Implikation. Es ist jedoch genauso falsch.
16. Daher muss der erste Teil wahr und der zweite falsch sein.
17. Meint
    \((\mathrm(x)\&17=0) = 1 \\ ((\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0) = 0\)
18. Was bedeutet \(\mathrm(x)\&17=0\)? Die Tatsache, dass an allen Stellen, an denen in 17 Einsen stehen, in x Nullen stehen müssen (sonst ist das Ergebnis nicht 0).
19. Konvertieren wir 17 in binär: 10001 2 . Das bedeutet, dass in x an der letzten Stelle vom Ende und an der 5. Stelle vom Ende Nullen stehen müssen.
20. Aber halt, wir haben in Absatz 13 das letzte bekommen ODER 4 vom Ende ODER 5 vom Ende sollte eins sein.
21. Da es laut Zeile 19 keine Einheit am letzten oder 5 von den Endstellen geben darf, also es muss sein Platz 4 vom Ende.
22. Das heißt, wenn wir wollen, dass der ganze Ausdruck mit unserem x falsch ist, dann muss die 4. Stelle vom Ende eine sein: XX...XX1XXX 2 .
23. Ok, jetzt schauen wir uns die letzte Bedingung an: \((\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\). Was bedeutet das?
24. Das bedeutet, dass es nicht stimmt \(\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0\).
25. Das heißt tatsächlich \(\mathrm(x)\&\mathrm(A)=0\) .
26. Was wissen wir über x? Dass bei 4 vom Ende des Ortes eine Einheit ist. In jeder anderen Hinsicht kann x fast alles sein.
27. Wenn wir wollen, dass der ursprüngliche Ausdruck in der Problemstellung immer wahr ist, dann tun wir das sollte nicht gefunden werden x, das alle Bedingungen erfüllt. In der Tat, wenn wir ein solches x finden würden, würde sich herausstellen, dass der ursprüngliche Ausdruck nicht immer wahr ist, was der Bedingung des Problems widerspricht.
28. Dies bedeutet, dass diese allerletzte Bedingung einfach nicht erfüllt werden darf.
29. Wie kann es nicht getan werden? Wenn wir nur 100% sicher sind, dass bei einer bitweisen Konjunktion irgendwo eine Einheit bleibt.
30. Und das ist möglich: Wenn in A auch an der 4. Stelle vom Ende eine Einheit steht, dann bleibt durch eine bitweise Konjunktion eine Einheit an der 4. Stelle vom Ende übrig.
31. Was ist die kleinstmögliche Binärzahl, die am Ende der Stelle eine 1 mal 4 hat? Offensichtlich 1000 2 . Diese Nummer wird also die Antwort sein.
32. Es bleibt nur noch, es in Dezimalzahlen umzuwandeln: \(1000_2=0\mal 2^0 + 0\mal 2^1 + 0\mal 2^2 + 1\mal 2^3=8\)

Antwort: das kleinstmögliche A, das die Bedingungen erfüllt, gleich 8.

Jewgeni Smirnow

Experte für IT, Informatiklehrer

Lösung Nr. 2

Es kann ein etwas kürzerer Ansatz vorgeschlagen werden. Bezeichnen wir unsere Aussage als F = (A->(B->C)), wobei A die Aussage "X&25 ist ungleich 0", B= "X&17=0" und C="X&A ist ungleich 0" ist ".

Erweitern wir die Implikationen mit dem bekannten Gesetz X->Y = not(X) OR Y, wir erhalten F = A -> (not(B) OR C) = not(A) OR not(B) OR C. Wir schreiben auch die Binärwerte der Konstanten 25 und 17:

Unser Ausdruck ist ein logisches ODER von drei Aussagen:

1) not(A) - das bedeutet X&25 = 0 (Bits 0,3,4 von X sind alle 0)

2) not(B) - also ist X&17 ungleich 0 (Bits 0 und 4 von X mindestens eins ist gleich 1)

3) C - weiß, dass X&A ungleich 0 ist (Bits von Maske A gesetzt, mindestens 1 ist gleich 1)

X ist eine beliebige Zahl. Alle seine Bits sind unabhängig. Daher ist es möglich, die Erfüllung einer Bedingung von den Bits einer beliebigen Zahl nur in einem einzigen Fall zu fordern - wenn es sich um dieselbe Maske (Bitmenge) handelt. Wir können feststellen, dass die binäre Maske 17 fast die gleiche ist wie 25, es fehlt nur Bit Nummer 3. Wenn nun 17 mit Bit Nummer 3 ergänzt würde, dann würde der Ausdruck (not (B) OR C) zu not (not A), d.h. in A = (X&25 ist ungleich 0). Anders gesagt: Sagen wir A=8 (Bit 3=1). Dann entspricht die Anforderung (nicht (B) B oder C) der Anforderung: (Mindestens eines der Bits 4,0 ist 1) ODER (Bit 3 ist 1) = (mindestens eines der Bits 0,3,4 ist nicht 1) - die. Inversion not(A) = A = (X&25 ist ungleich 0).

Als Ergebnis haben wir festgestellt, dass wenn A = 8 ist, unser Ausdruck die Form F = nicht (A) ODER A annimmt, was nach dem Gesetz des ausgeschlossenen Dritten immer identisch wahr ist. Für andere, kleinere Werte von A kann keine Unabhängigkeit vom Wert von X erreicht werden, da Die Masken sind unterschiedlich. Nun, wenn es Einsen in den hohen Bits von A in Bits über 4 gibt, ändert sich nichts, weil in den restlichen Masken haben wir Nullen. Es stellt sich heraus, dass die Formel nur für A = 8 zu einer Tautologie für beliebiges X wird.

Dmitri Lisin

1. Beispiel aus der Demo

(erster Konsonant → zweiter Konsonant) / (vorletzter Vokal → letzter Vokal)

1) CHRISTINA 2) MAXIM 3) STEPAN 4) MARIA

Lösungsskizze Implikation a → b entspricht ¬a / b.

Die erste Implikation gilt für die Wörter CHRISTINA und STEPAN. Von diesen Wörtern gilt die zweite Implikation nur für das Wort CHRISTINA.

Antwort: 1. CHRISTINA

2. Zwei weitere Beispiele

Beispiel 1 (offenes Segment der FIPI Bank)

Welcher der folgenden Namen erfüllt die logische Bedingung:

(erster Konsonant → erster Vokal) / (letzter Vokal → letzter Konsonant)

1. IRINA 2. MAXIM 3. ARTEM 4. MARIA

Lösungsskizze. Implikation a → b entspricht ¬a / b. Dieser Ausdruck ist wahr, wenn entweder Ausdruck a falsch ist oder beide Ausdrücke a und b wahr sind. Da in unserem Fall in keiner der Implikationen beide Ausdrücke gleichzeitig wahr sein können, müssen die Aussagen „der erste Buchstabe ist ein Konsonant“ und „der letzte Buchstabe ist ein Vokal“ falsch sein, d.h. wir brauchen ein Wort dessen Der erste Buchstabe ist ein Vokal und der letzte ein Konsonant.

Antworten: 3. ART.

Beispiel 2 Für welche der angegebenen Werte der Zahl X ist die Aussage wahr

(X< 4)→(X >15)

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Lösung. Keine Zahl kann gleichzeitig kleiner als 4 und größer als 15 sein, daher ist die Implikation nur wahr, wenn die Prämisse X< 4 FALSCH.

Antworten 4.

2. Aufgaben im USE-Format 2013-2014

2.1. Demo 2013

Auf dem Zahlenstrahl sind zwei Segmente angegeben: P = und Q = .

Wählen Sie ein Segment A so, dass die Formel

1) 2) 3) 4)

2.2. Demo 2014

Auf dem Zahlenstrahl sind zwei Segmente angegeben: P = und Q = . Wählen Sie aus den vorgeschlagenen Segmenten ein solches Segment A aus, das den logischen Ausdruck ergibt

((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q))→ ¬ (x ∈ A)

identisch wahr, das heißt, es nimmt den Wert 1 für jeden Wert der Variablen an

Antwortmöglichkeiten: 1) 2) 3) 4)

Lösung. Lassen Sie uns den Ausdruck mit umwandeln. Wir haben:

¬((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - Ersatz der Implikation durch Disjunktion;

¬(¬(x ∈ P) ∨ ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - Ersatz der Implikation durch Disjunktion;

((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - De-Morgan-Regel und doppelte Negationsentfernung;

(x ∈ A) → ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) - Ersetzung der Disjunktion durch Implikation

Der letzte Ausdruck ist genau dann identisch wahr, wenn A ⊆ P∩ Q = ∩ = (siehe ). Von den vier gegebenen Segmenten erfüllt nur Segment - Option Nr. 2 diese Bedingung.

Antworten: - Option Nummer 2

3. Aufgaben im USE-Format 2015-2016

3.1. Aufgabe 1.

Auf dem Zahlenstrahl sind zwei Segmente angegeben: P = und Q = .

Es ist bekannt, dass die Grenzen des Segments A ganzzahlige Punkte sind und für das Segment A die Formel

((x ∈ A) → (x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

ist identisch wahr, d. h. sie nimmt für jeden Wert der Variablen x den Wert 1 an.

Was ist die größtmögliche Länge von Segment A?

Korrekte Antwort : 10

Lösung:

Wir transformieren den Ausdruck – wir ersetzen die Implikation durch eine Disjunktion. Wir bekommen:

(¬(x ∈ A)) \/ ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

Der Ausdruck ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q) gilt nur für x, die entweder in P oder in Q liegen, also für x ∈ R = P ∪ Q = ∪ . Ausdruck

(¬(x ∈ A)) \/ (x ∈ R)

ist genauso wahr genau dann, wenn A ∈ R. Da A eine Strecke ist, dann ist A ∈ R genau dann, wenn A ∈ P oder A ∈ Q. Da die Strecke Q länger als die Strecke P ist, ist die maximale Länge der Segment A wird erreicht, wenn A = Q = . Die Länge von Segment A beträgt in diesem Fall 30 - 20 = 10.

3.2. Aufgabe 2.

Bezeichne mit m&n bitweise Konjunktion von nicht negativen ganzen Zahlen m und n. Also zum Beispiel 14&5 = 1110 2 &0101 2 = 0100 2 = 4. Denn was ist die kleinste nicht negative Ganzzahl ABER Formel

x&25 ≠ 0 → (x&33 ≠ 0 → x&ABER ≠ 0)

ist identisch wahr, d.h. nimmt den Wert 1 für jeden nicht negativen ganzzahligen Wert der Variablen an X?

Korrekte Antwort : 57

Lösung:

Wir transformieren den Ausdruck – wir ersetzen die Implikationen durch Disjunktionen. Wir bekommen:

¬( x&25 ≠ 0) ∨ (¬( x&33 ≠ 0) ∨ x&ABER ≠ 0)

Wir öffnen die Klammern und ersetzen die Negationen der Ungleichungen durch Gleichheiten:

x&25 = 0 ∨ x&33 = 0 ∨ x&ABER ≠ 0 (*)

Wir haben: 25 = 11001 2 und 33 = 100001 2 . Daher die Formel

x&25 = 0 ∨ x&33 = 0

ist genau dann falsch, wenn die binäre Darstellung der Zahl x eine 1 in mindestens einer der folgenden Binärziffern enthält: 100000 (32), 10000 (16), 1000 (8) und 1.

Damit die Formel (*) für alle solche gilt x Es ist notwendig und ausreichend, dass die binäre Schreibweise der Zahl A in all diesen Ziffern 1 enthält. Die kleinste solche Zahl ist 32+16+8+1 = 57.

Aufgabe 18 Jobverzeichnis. Logische Aussagen

1. Aufgabe 18 Nr. 701. Für welchen Namen ist die Aussage falsch:

(Der erste Buchstabe des Namens ist ein Vokal→ Der vierte Buchstabe des Namens ist ein Konsonant).

1) ELENE

2) Wadim

3) Anton

4) FEDOR

Erläuterung.

Die Implikation ist genau dann falsch, wenn die Prämisse wahr und die Konsequenz falsch ist. In unserem Fall, wenn der erste Buchstabe des Namens ein Vokal und der vierte Buchstabe ein Vokal ist. Der Name Anton erfüllt diese Bedingung.

Notiz.

Dasselbe Ergebnis folgt aus den folgenden Transformationen: ¬ (A→ B) = ¬(¬A∨ B)=A∧ (¬B).

Die richtige Antwort ist Nummer 3.

2. Aufgabe 18 Nr. 8666. Auf dem Zahlenstrahl sind zwei Segmente angegeben: P = und Q = . Geben Sie die größtmögliche Länge des Intervalls A an, für das die Formel gilt

(¬ (xEIN)→ (xP))→ ((xEIN)→ (xQ))

ist identisch wahr, d. h. sie nimmt für jeden Wert der Variablen x den Wert 1 an.

Erläuterung.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln:

(¬ ( xEIN) → ( x P)) → (( x EIN) → ( xQ))

((xEIN)∨ (x P))→ ((x nicht EIN)∨ (x Q))

¬(( xbesessenEIN) ∨ ( xbesessenP)) ∨ (( x nicht besessenEIN) ∨ ( x besessenQ))

( xnicht besessenEIN) ∧ ( xnicht besessenP) ∨ ( x besessenEIN) ∨ ( x nicht besessenQ)

( xnicht besessenEIN) ∨ ( x besessenQ)

Also muss x entweder zu Q gehören oder nicht zu A gehören. Dies bedeutet, dass A vollständig in Q enthalten sein muss, um wahr für alle x zu erreichen. Dann ist das Maximum, das es werden kann, die Gesamtheit von Q, das heißt, der Länge 15 .

3. Aufgabe 18 Nr. 9170. Auf dem Zahlenstrahl sind zwei Segmente angegeben: P = und Q = .

Geben Sie die größtmögliche Länge des Segments A an, für das die Formel gilt

((xEIN)→ ¬(xP))→ ((xEIN)→ (xQ))

ist identisch wahr, d. h. sie nimmt für jeden Wert der Variablen den Wert 1 anX .

Erläuterung.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln.

(( x€ EIN) → ¬( xbesessenP)) → (( x besessenEIN) → ( x besessenQ))

(( xnicht besessenEIN) ∨ ( xnicht besessenP)) → (( x nicht besessenEIN) ∨ ( x besessenQ))

¬((x gehört nicht zu A)∨ (xgehört nicht zu P))∨ ((xgehört nicht zu A)∨ (xgehört Q))

Es stimmt, dass A∧ B∨ ¬A = ¬A∨ B. Wenn wir dies hier anwenden, erhalten wir:

(x gehört zu P)∨ (xgehört nicht zu A)∨ (x gehört zu Q)

Das heißt, entweder der Punkt muss zu Q gehören oder zu P gehören oder nicht zu A gehören. Das bedeutet, dass A alle Punkte abdecken kann, die P und Q abdecken. Das heißt, A = P Q = = . |A| = 48 - 10 = 38.

4. Aufgabe 18 Nr. 9202. Die Elemente der Mengen A, P, Q sind natürliche Zahlen, und P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Es ist bekannt, dass der Ausdruck

((xEIN)→ (xP))∨ (¬(xQ)→ ¬(xEIN))

wahr (d. h. nimmt den Wert 1 an) für jeden Wert der Variablen x.

5. Aufgabe 18 Nr. 9310. Die Elemente der Mengen A, P, Q sind natürliche Zahlen, und P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50).

Es ist bekannt, dass der Ausdruck

((xEIN)→ (xP))∨ (¬(xQ)→ ¬(xEIN))

wahr (d. h. nimmt den Wert 1 an) für jeden Wert der Variablen x.

Bestimmen Sie die größtmögliche Anzahl von Elementen in Menge A.

6. Aufgabe 18 Nr. 9321. Bezeichne mitDEL ( n, m ) die Aussage „eine natürliche Zahl n ist ohne Rest durch eine natürliche Zahl teilbarm ". Denn was ist die größte natürliche ZahlABER Formel

¬ DEL ( X, A ) → (¬ DEL ( x , 21) ∧ ¬ DEL ( x , 35))

ist identisch wahr (das heißt, es nimmt den Wert 1 für jeden natürlichen Wert der Variablen anx )?

(Zuweisung an M. V. Kuznetsova)

7. Aufgabe 18 Nr. 9768. Bezeichne mit m & n m und n 2 & 0101 2 = 0100 2 ABER Formel

x & 29 ≠ 0 → (x & 12 = 0 → x & ABER ≠ 0)

ist identisch wahr (d. h. nimmt den Wert 1 für jeden nicht negativen ganzzahligen Wert der Variablen an X )?

8. Aufgabe 18 Nr. 9804. Bezeichne mit m & n bitweise Konjunktion von nicht negativen ganzen Zahlen m und n . Also zum Beispiel 14 & 5 = 1110 2 & 0101 2 = 0100 2 = 4. Für was ist die kleinste nicht negative ganze Zahl ABER Formel

x & 29 ≠ 0 → (x & 17 = 0 → x & ABER ≠ 0)

ist identisch wahr (d. h. nimmt den Wert 1 für jeden nicht negativen ganzzahligen Wert der Variablen an x )?

9. Aufgabe 18 Nr. 723. Für welchen Namen gilt die Aussage:

Der dritte Buchstabe ist ein Vokal→ ¬ (Der erste Buchstabe ist ein Konsonant \/ Es gibt 4 Vokale im Wort)?

1) Rima

2) Anatolien

3) Swetlana

4) Dmitri

Erläuterung.

Wenden wir die Implikationstransformation an:

Dritter Buchstabe Konsonant∨ (Anfangsbuchstabe Vokal∧ Das Wort NOT hat 4 Vokale)

Eine Disjunktion ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist. Daher ist nur Option 1 geeignet.

10. Aufgabe 18 Nr. 4581. Welcher der folgenden Namen erfüllt die logische Bedingung:

(Anfangsbuchstabe Konsonant→ der letzte Buchstabe ist ein Konsonant) /\ (der erste Buchstabe ist ein Vokal→ der letzte Buchstabe ist ein Vokal)

Wenn es mehrere solcher Wörter gibt, geben Sie das längste an.

1) Anna

2) Bella

3) Anton

4) BORIS

Erläuterung.

Ein logisches UND ist nur wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.(1)

Eine Implikation ist nur dann falsch, wenn aus der Wahrheit ein Falsch folgt.(2)

Option 1 ist für alle Bedingungen geeignet.

Option 2 ist aufgrund von Bedingung (2) nicht geeignet.

Option 3 ist aufgrund von Bedingung (2) nicht geeignet.

Option 4 ist für alle Bedingungen geeignet.

Sie müssen das längste der Wörter angeben, daher ist die Antwort 4.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

1. Aufgabe 18 Nr. 711. Welcher der folgenden Ländernamen erfüllt die folgende logische Bedingung: ((letzter Konsonant) \/ (erster Konsonant))→ (der Name enthält den Buchstaben "p")?

1) Brasilien

2) Mexiko

3) Argentinien

4) Kuba

2. Aufgabe 18 Nr. 709. Welcher der folgenden Namen erfüllt die logische Bedingung:

(Erster Buchstabe ist ein Vokal)∧ ((Vierter Buchstabe Konsonant)∨ (Es gibt vier Buchstaben im Wort))?

1) Sergej

2) Wadim

3) Anton

4) Ilja

№3

№4

№5. Aufgabe 18 Nr. 736. Welcher der Vornamen erfüllt die logische Bedingung?

Der erste Buchstabe ist ein Vokal∧ vierter Konsonant∨ Hat das Wort vier Buchstaben?

1) Sergej

2) Wadim

3) Anton

4) Ilja