Die durch die Schwerkraft geleistete Arbeit ist gleich. Die Arbeit der Schwerkraft. Potenzielle Energie eines Körpers, der über den Boden gehoben wird. Kontrollfragen und Aufgaben

02.11.2019

Die Arbeit der Schwerkraft. Schwere R Materielle Punktmasse t in der Nähe der Erdoberfläche kann als Konstante gleich angesehen werden mg

senkrecht nach unten gerichtet.

Arbeit ABER Stärke R unterwegs vom Punkt M 0 auf den Punkt M

wo h = z 0 - z x - Punktabsenkhöhe.

Die Schwerkraftarbeit ist gleich dem Produkt aus dieser Kraft und der Absenkhöhe (Arbeit ist positiv) oder der Anhebungshöhe (Arbeit ist negativ). Die Arbeit der Schwerkraft hängt nicht von der Form der Flugbahn zwischen Punkten ab M 0 und M|, und wenn diese Punkte zusammenfallen, dann ist die Schwerkraft gleich Null (bei einem geschlossenen Weg). Es ist auch gleich Null, wenn die Punkte M 0 und M liegen in der gleichen horizontalen Ebene.

Die Arbeit der linearen Elastizitätskraft. Die lineare elastische Kraft (oder lineare Rückstellkraft) ist die nach dem Hookeschen Gesetz wirkende Kraft (Abb. 63):

F = - Mitr,

wo r- Abstand vom Punkt des statischen Gleichgewichts, an dem die Kraft Null ist, zum betrachteten Punkt M; Mit- konstanter Koeffizient - Steifigkeitskoeffizient.

A=--().

Nach dieser Formel wird die Arbeit der linear elastischen Kraft berechnet. Wenn Punkt M 0 fällt mit dem Punkt des statischen Gleichgewichts zusammen Ö, also dann r 0 \u003d 0 und für die Arbeit der Kraft beim Verschieben vom Punkt Ö auf den Punkt M wir haben

Wert r- die kürzeste Entfernung zwischen dem betrachteten Punkt und dem Punkt des statischen Gleichgewichts. Wir bezeichnen es mit λ und nennen es eine Deformation. Dann

Die Arbeit der linear elastischen Kraft bei Verschiebung aus dem statischen Gleichgewichtszustand ist immer negativ und gleich dem halben Produkt aus Steifigkeitskoeffizient und Quadrat der Verformung. Die Arbeit der linear elastischen Kraft hängt nicht von der Form der Verschiebung ab und die Arbeit bei jeder geschlossenen Verschiebung ist Null. Es ist auch gleich Null, wenn die Punkte Mo und M liegen auf derselben Kugel, die vom Punkt des statischen Gleichgewichts umschrieben ist.

Die Arbeit einer variablen Kraft in krummliniger Bewegung.

Die Arbeit einer Kraft auf einem gekrümmten Abschnitt

Betrachten Sie den allgemeinen Fall, die Arbeit einer variablen Kraft zu finden, deren Angriffspunkt sich entlang einer krummlinigen Bahn bewegt. Der Angriffspunkt M der variablen Kraft F bewege sich entlang einer beliebigen kontinuierlichen Kurve. Bezeichnen Sie mit dem Vektor der unendlich kleinen Verschiebung des Punktes M. Dieser Vektor ist tangential zur Kurve in der gleichen Richtung wie der Geschwindigkeitsvektor gerichtet.

Elementare Arbeit einer veränderlichen Kraft F bei einer infinitesimalen Verschiebung

DS heißt Skalarprodukt der Vektoren F und DS:

wo a- Winkel zwischen den Vektoren F und DS

Das heißt, die elementare Arbeit der Kraft ist gleich dem Produkt der Module der Kraftvektoren und einer infinitesimalen Verschiebung, multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen diesen Vektoren.

Wir zerlegen den Kraftvektor F in zwei Komponenten: - entlang der Tangente an die Trajektorie gerichtet - und - entlang der Normalen gerichtet. Kraftlinie

ist senkrecht zur Tangente an den Weg, entlang dem sich der Punkt bewegt, und seine Arbeit ist Null. Dann:

da= FtDS.

Um die Arbeit der variablen Kraft F auf dem letzten Abschnitt der Kurve aus zu berechnen a zu b sollte man das Integral der Elementararbeit berechnen:

Potentielle und kinetische Energie.

Potenzielle Energie P-Matteserieller Punkt in Betrachtmein Kraftfeldpunkt M ruft Arbeit an, von den Einsatzkräften durchgeführtla wirkt auf einen materiellen Punkt, wenn man ihn von einem Punkt wegbewegtMzum AusgangspunktM 0 , d.h.

P = Ähm 0

P = =-U=- U

Die Konstante С 0 ist für alle Punkte des Feldes gleich, je nachdem, welcher Punkt des Feldes als Anfangspunkt gewählt wird. Es ist offensichtlich, dass potentielle Energie nur für ein potentielles Kraftfeld eingebracht werden kann, in dem die Arbeit nicht von der Form der Bewegung zwischen Punkten abhängt M und M 0 . Ein nicht-potentielles Kraftfeld hat keine potentielle Energie, und es gibt keine Kraftfunktion dafür.

da = du= -dP; ABER = U - U 0 = P 0 - P

Aus den obigen Formeln folgt das P bis auf eine willkürliche Konstante bestimmt, die von der Wahl des Ausgangspunktes abhängt, aber diese willkürliche Konstante beeinflußt nicht die Kräfte, die durch die potentielle Energie und die Arbeit dieser Kräfte berechnet werden. In Anbetracht dessen:

P= - U+ konstant oder P =- U.

Die potentielle Energie an jedem Punkt des Feldes kann bis zu einer beliebigen Konstante als Wert der Kraftfunktion an demselben Punkt definiert werden, genommen mit einem Minuszeichen.

Kinetische Energie System heißt Skalarwert T, gleich der Summe der kinetischen Energien aller Punkte des Systems:

Kinetische Energie ist ein Merkmal sowohl von Translations- als auch von Rotationsbewegungen des Systems. Die kinetische Energie ist eine skalare Größe und außerdem im Wesentlichen positiv. Daher hängt es nicht von den Bewegungsrichtungen der Teile des Systems ab und charakterisiert keine Änderungen in diesen Richtungen.

Lassen Sie uns auch den folgenden wichtigen Umstand festhalten. Auf Teile des Systems wirken innere Kräfte in entgegengesetzter Richtung. Änderungen der kinetischen Energie werden durch die Wirkung sowohl äußerer als auch innerer Kräfte beeinflusst.

Gleichförmige Bewegung eines Punktes.

Gleichförmige Bewegung eines Punktes- Bewegung, mit Krom kasat. Beschleunigung ω t Punkt (bei geradliniger Bewegung die Gesamtbeschleunigung ω )ständig. Das Gesetz der gleichförmigen Bewegung eines Punktes und das Gesetz der Änderung seiner Geschwindigkeit υ während dieser Bewegung sind durch die Gleichungen gegeben:

wobei s der Abstand des entlang des Trajektorienbogens gemessenen Punktes von dem auf der Trajektorie ausgewählten Bezugspunkt ist, t- Zeit, s 0 - Wert von s am Anfang. Zeitpunkt t = = 0. - Anf. Punktgeschwindigkeit. Wenn die Zeichen υ und ω identische, gleichförmige Bewegung. beschleunigt wird, und wenn anders - verlangsamt.

Beim Handeln. gleichmäßige Bewegung eines starren Körpers, alle oben genannten Punkte gelten für jeden Punkt des Körpers; mit gleichmäßiger Rotation um eine feste Winkelachse. Beschleunigung e des Körpers ist konstant, und das Rotationsgesetz und das Winkeländerungsgesetz. die Geschwindigkeiten ω des Körpers sind durch die Gleichungen gegeben

wobei φ der Rotationswinkel des Körpers ist, φ 0 der Wert von φ am Anfang ist. Moment der Zeit t= 0, ω 0 - Anf. ang. Körpergeschwindigkeit. Wenn die Vorzeichen von ω und ε übereinstimmen, ist die Drehung beschleunigt, und wenn sie nicht übereinstimmen, ist sie langsam.

Die Arbeit einer konstanten Kraft in geradliniger Bewegung.

Definieren wir die Arbeit für den Fall, dass die einwirkende Kraft in Größe und Richtung konstant ist und sich der Angriffspunkt auf einer geradlinigen Bahn bewegt. Betrachten Sie einen materiellen Punkt C, auf den eine Kraft mit konstantem Wert und Richtung ausgeübt wird (Abb. 134, a).

Für eine bestimmte Zeitspanne t hat sich der Punkt C auf einer geradlinigen Bahn in einem Abstand s zur Position C1 bewegt.

Die Arbeit W einer konstanten Kraft bei geradliniger Bewegung des Angriffspunktes ist gleich dem Produkt aus dem Kraftmodul F mal dem Abstand s und dem Kosinus des Winkels zwischen der Kraftrichtung und der Bewegungsrichtung, d.h.

Der Winkel α zwischen der Kraftrichtung und der Bewegungsrichtung kann von 0 bis 180° variieren. Für α< 90° работа положительна, при α >90° ist negativ, bei α = 90° ist die Arbeit null.

Bildet die Kraft mit der Bewegungsrichtung einen spitzen Winkel, spricht man von der treibenden Kraft, die Arbeit der Kraft ist immer positiv. Wenn der Winkel zwischen den Richtungen der Kraft und der Bewegung stumpf ist, leistet die Kraft der Bewegung Widerstand, verrichtet negative Arbeit und wird als Widerstandskraft bezeichnet. Beispiele für Widerstandskräfte sind Schnitt-, Reibungs-, Luftwiderstandskräfte und andere, die immer in die der Bewegung entgegengesetzte Richtung gerichtet sind.

Wenn α = 0°, d. h. wenn die Richtung der Kraft mit der Richtung der Geschwindigkeit zusammenfällt, dann ist W = F s, da cos 0° = 1. Das Produkt F cos α ist die Projektion der Kraft auf die Richtung von Bewegung des materiellen Punktes. Daher kann die Arbeit einer Kraft als das Produkt aus der Verschiebung s und der Projektion der Kraft und der Bewegungsrichtung des Punktes definiert werden.

33. Trägheitskräfte eines starren Körpers

In der klassischen Mechanik basieren die Darstellungen von Kräften und ihren Eigenschaften auf den Newtonschen Gesetzen und sind untrennbar mit dem Konzept des Trägheitsbezugssystems verbunden.

Tatsächlich wird die als Kraft bezeichnete physikalische Größe durch Newtons zweites Gesetz in Betracht gezogen, während das Gesetz selbst nur für Trägheitsbezugssysteme formuliert ist. Entsprechend erweist sich der Kraftbegriff zunächst als nur für solche Bezugsrahmen definiert.

Die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes, die die Beschleunigung und Masse eines materiellen Punktes mit der darauf wirkenden Kraft in Beziehung setzt, wird geschrieben als

Aus der Gleichung folgt direkt, dass nur Kräfte die Ursache der Beschleunigung von Körpern sind, und umgekehrt: Die Wirkung unkompensierter Kräfte auf einen Körper verursacht notwendigerweise seine Beschleunigung.

Newtons drittes Gesetz ergänzt und entwickelt das, was im zweiten Gesetz über Kräfte gesagt wurde.

Kraft ist ein Maß für die mechanische Einwirkung anderer Körper auf einen gegebenen materiellen Körper

gemäß Newtons drittem Gesetz können Kräfte nur paarweise existieren, und die Natur der Kräfte in jedem solchen Paar ist gleich.

Jede Kraft, die auf einen Körper wirkt, hat einen Ursprung in Form eines anderen Körpers. Mit anderen Worten, Kräfte sind zwangsläufig das Ergebnis Interaktionen Tel.

Es werden keine anderen Kräfte in der Mechanik berücksichtigt oder verwendet. Die Möglichkeit der Existenz von Kräften, die unabhängig entstanden sind, ohne wechselwirkende Körper, wird von der Mechanik nicht zugelassen.

Obwohl die Namen der Trägheitskräfte von Euler und d'Alembert das Wort enthalten Stärke sind diese physikalischen Größen keine Kräfte im Sinne der Mechanik.

34. Der Begriff der planparallelen Bewegung eines starren Körpers

Die Bewegung eines starren Körpers heißt planparallel, wenn sich alle Punkte des Körpers in Ebenen parallel zu einer festen Ebene (der Hauptebene) bewegen. Lassen Sie einen Körper V eine ebene Bewegung ausführen, π - die Hauptebene. Aus der Definition der planparallelen Bewegung und den Eigenschaften eines absolut starren Körpers folgt, dass jeder Abschnitt der Geraden AB senkrecht zur Ebene π eine Translationsbewegung ausführt. Das heißt, die Trajektorien, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen aller Punkte des Segments AB sind gleich. Somit bestimmt die Bewegung jedes Punktes des Schnitts s parallel zur Ebene π die Bewegung aller Punkte des Körpers V, die auf dem Abschnitt senkrecht zum Schnitt an diesem Punkt liegen. Beispiele für planparallele Bewegung sind: Rad, das entlang einer geraden Strecke rollt, da sich alle seine Punkte in Ebenen parallel zu der Ebene bewegen, die senkrecht zur Radachse steht; Ein Sonderfall einer solchen Bewegung ist die Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse, tatsächlich bewegen sich alle Punkte eines rotierenden Körpers in Ebenen parallel zu einer festen Ebene senkrecht zur Rotationsachse.

35. Trägheitskräfte bei der geradlinigen und krummlinigen Bewegung eines materiellen Punktes

Die Kraft, mit der sich ein Punkt einer Bewegungsänderung widersetzt, heißt Trägheitskraft eines materiellen Punktes. Die Trägheitskraft ist der Beschleunigung des Punktes entgegengerichtet und ist gleich Masse mal Beschleunigung.

In einer geraden Linie die Beschleunigungsrichtung fällt mit der Trajektorie zusammen. Die Trägheitskraft ist in die der Beschleunigung entgegengesetzte Richtung gerichtet und ihr numerischer Wert wird durch die Formel bestimmt:

Bei beschleunigter Bewegung fallen Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsrichtung zusammen und die Trägheitskraft ist der Bewegung entgegen gerichtet. Bei Zeitlupe, wenn die Beschleunigung entgegen der Geschwindigkeit gerichtet ist, wirkt die Trägheitskraft in Bewegungsrichtung.

Beikrummlinig und unebenBewegung Beschleunigung kann in normal zerlegt werden ein und Tangente bei Komponenten. Ebenso besteht auch die Trägheitskraft eines Punktes aus zwei Komponenten: normal und tangential.

Normal die Komponente der Trägheitskraft ist gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und der Normalbeschleunigung und dieser Beschleunigung entgegengerichtet:

Tangente die Komponente der Trägheitskraft ist gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und der Tangentialbeschleunigung und dieser Beschleunigung entgegen gerichtet:

Offensichtlich ist die gesamte Trägheitskraft des Punktes M ist gleich der geometrischen Summe der Normal- und Tangentenkomponenten, d.h.

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die tangentiale und die normale Komponente senkrecht aufeinander stehen, ist die Gesamtträgheitskraft:

36. Sätze über die Addition von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen eines Punktes in komplexer Bewegung

Geschwindigkeitsadditionssatz:

In der Mechanik ist die absolute Geschwindigkeit eines Punktes gleich der Vektorsumme seiner Relativ- und Translationsgeschwindigkeit:

Die Geschwindigkeit des Körpers relativ zum festen Bezugssystem ist gleich der Vektorsumme der Geschwindigkeit dieses Körpers relativ zum beweglichen Bezugssystem und der Geschwindigkeit (relativ zum festen Bezugssystem) des Punktes des beweglichen Bezugssystems, an dem die Körper befindet.

Bei einer komplexen Bewegung ist die absolute Geschwindigkeit eines Punktes gleich der geometrischen Summe aus Translations- und Relativgeschwindigkeit. Die Größe der Absolutgeschwindigkeit wird bestimmt wo α ist der Winkel zwischen den Vektoren und .

Beschleunigungsadditionssatz ( SATZ VON CORIOLIS)

acor = aper + avon + acor

Die Formel drückt das folgende Coriolis-Theorem über die Addition von beschleunigt aus

Rhenium: 1 für komplexe Bewegung, die Beschleunigung eines Punktes ist gleich der geometrischen

die Summe von drei Beschleunigungen: relativ, translatorisch und rotatorisch, oder

Koriolis.

akor = 2(ω × vot)

37. d'Alembert-Prinzip

d'Alemberts Prinzip für einen materiellen Punkt: In jedem Moment der Bewegung eines materiellen Punktes bilden aktive Kräfte, Bindungsreaktionen und die Trägheitskraft ein ausgeglichenes Kräftesystem.

d'Alembertsches Prinzip- in der Mechanik: eines der Grundprinzipien der Dynamik, wonach, wenn zu den gegebenen Kräften, die auf die Punkte des mechanischen Systems wirken, und den Reaktionen der überlagerten Bindungen die Trägheitskräfte addiert werden, ein ausgeglichenes Kräftesystem entsteht erhalten werden.

Nach diesem Prinzip gilt für jeden i-ten Punkt des Systems die Gleichheit

wo ist die aktive Kraft, die auf diesen Punkt wirkt, ist die Reaktion der Verbindung, die auf den Punkt ausgeübt wird, ist die Trägheitskraft, die numerisch gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und seiner Beschleunigung ist und dieser Beschleunigung entgegengerichtet ist ().

Tatsächlich sprechen wir über die Übertragung des Terms ma von rechts nach links in Newtons zweitem Gesetz (), die für jeden der betrachteten materiellen Punkte getrennt durchgeführt wird, und die Zensur dieses Terms durch die d'Alembert-Trägheitskraft.

Das d'Alembert-Prinzip ermöglicht es, einfachere Methoden der Statik zur Lösung dynamischer Probleme anzuwenden, weshalb es in der Ingenieurpraxis weit verbreitet ist, dem sogenannten. kinetostatische Methode. Es ist besonders praktisch, es zu verwenden, um die Reaktionen von Zwangsbedingungen in Fällen zu bestimmen, in denen das Gesetz der laufenden Bewegung bekannt ist oder aus der Lösung der entsprechenden Gleichungen gefunden wird.

Ein Strang \u003d mg (h n - h k) (14.19)

wobei h n und h k die Anfangs- und Endhöhe (Abb. 14.7) eines materiellen Punktes mit der Masse m sind, g der Beschleunigungsmodul des freien Falls ist.

Die Arbeit der Schwerkraft Ein Strang wird durch die Anfangs- und Endposition des materiellen Punktes bestimmt und hängt nicht von der Flugbahn zwischen ihnen ab.

Es kann positiv, negativ oder null sein:

a) Ein Strang > 0 - während des Abstiegs eines materiellen Punktes,

b) Ein schweres< 0 - при подъеме материальной точки,

c) A str = 0 - vorausgesetzt, dass sich die Höhe nicht ändert, oder bei einer geschlossenen Bahn eines materiellen Punktes.

Die Arbeit der Reibungskraft bei konstanter Geschwindigkeit b.w. ( v = konst) und Reibungskräfte ( F tr = konst) auf dem Zeitintervall t:

Ein tr = ( F tr, v)t, (14.20)

Die Arbeit der Reibungskraft kann positiv, negativ oder null sein. Zum Beispiel:

a
) die Arbeit der Reibungskraft, die von der Seite der oberen Stange auf die untere Stange wirkt (Abb. 14.8), A tr.2,1\u003e 0, weil der Winkel zwischen der Kraft, die auf die untere Stange wirkt, von der Seite der oberen Stange F tr.2.1 und Geschwindigkeit v 2 des unteren Balkens (relativ zur Erdoberfläche) ist gleich Null;

b) Ein tr.1,2< 0 - угол между силой трения F tr.1,2 und Geschwindigkeit v 1 des oberen Balkens ist gleich 180 (siehe Abb. 14.8);

c) A tr \u003d 0 - zum Beispiel befindet sich der Balken auf einer rotierenden horizontalen Scheibe (relativ zur Scheibe ist der Balken stationär).

Die Arbeit der Reibungskraft hängt von der Flugbahn zwischen der Anfangs- und Endposition des Materialpunktes ab.

§fünfzehn. mechanische Energie

Kinetische Energie eines materiellen Punktes K - SFV, gleich dem halben Produkt der Masse von b.w. zum Quadrat des Geschwindigkeitsmoduls:

(15.1)

Die kinetische Energie aufgrund der Bewegung des Körpers hängt vom Bezugssystem ab und ist eine nicht negative Größe:

Einheit der kinetischen Energie-Joule: [K] = J.

Kinetischer Energiesatz- Zunahme der kinetischen Energie b.w. ist gleich der Arbeit A p der resultierenden Kraft:

K = A p. (15.3)

Die Arbeit der resultierenden Kraft ergibt sich aus der Summe der Arbeiten A i aller Kräfte F i (i = 1,2,…n) angewendet auf die sw:

(15.4)

Geschwindigkeitsmodul eines materiellen Punktes: bei A p > 0 - steigt; ein Wasserhahn< 0 - уменьшается; при A р = 0 - не изменяется.

Kinetische Energie eines Systems materieller Punkte K c ist gleich der Summe der kinetischen Energien K i von allen n b.w. Zugehörigkeit zu diesem System:

(15.5)

wobei m i und v i der Massen- und Geschwindigkeitsmodul des i-ten m.t. dieses System.

Das Inkrement der kinetischen Energie des Systems b.t.K с ist gleich der Summe der Arbeiten А рi von allen n an den i-ten Materialpunkten des Systems angreifende resultierende Kräfte:

(15.6)

Kraftfeld- ein Raumbereich, an dessen jedem Punkt Kräfte auf den Körper einwirken.

Stationäres Kraftfeld- ein Feld, dessen Kräfte sich im Laufe der Zeit nicht ändern.

Einheitliches Kräftefeld- ein Feld, dessen Kräfte an allen seinen Punkten gleich sind.

Zentrales Kraftfeld- ein Feld, dessen Wirkungsrichtungen alle Kräfte durch einen Punkt, genannt Feldzentrum, führen und dessen Kraftmodul nur von der Entfernung zu diesem Zentrum abhängt.

Nichtkonservative Kräfte (nx.sl)- Kräfte, deren Arbeit von der Flugbahn zwischen der Anfangs- und Endposition des Körpers abhängt .

Ein Beispiel für nichtkonservative Kräfte sind Reibungskräfte. Die Reibungsarbeit entlang einer geschlossenen Bahn ist im allgemeinen Fall ungleich Null.

Konservative Kräfte (ks.sl)- Kräfte, deren Arbeit durch die Anfangs- und Endpositionen des m.t. und hängt nicht von der Flugbahn zwischen ihnen ab. Bei einer geschlossenen Flugbahn ist die Arbeit konservativer Kräfte gleich Null. Das Feld der konservativen Kräfte heißt Potential.

Ein Beispiel für konservative Kräfte ist Schwerkraft und Elastizität.

Potenzielle Energie P - SPV, das eine Funktion der relativen Position der Teile des Systems (Körpers) ist.

Einheit der potentiellen Energie-Joule: [P] = J.

Theorem der potentiellen Energie

Verlust an potentieller Energie eines Systems materieller Punkte ist gleichbedeutend mit der Arbeit konservativer Kräfte:

–P s = P n – P c = A ks.sl (15.7 )

Die potentielle Energie wird bis zu einem konstanten Wert bestimmt und kann positiv, negativ oder gleich Null sein.

Potentielle Energie eines materiellen Punktes P an jedem Punkt des Kraftfeldes - SPV, gleich der Arbeit konservativer Kräfte beim Bewegen des b.w. von einem gegebenen Punkt des Feldes zu einem Punkt, an dem die potentielle Energie als Null angenommen wird:

P \u003d A ks.sl. (15.8)

Potentielle Energie einer elastisch verformten Feder

(15.9)

G de x - Verschiebung des losen Endes der Feder; k ist die Steifigkeit der Feder, C ist eine willkürliche Konstante (ausgewählt aus der Bequemlichkeitsbedingung bei der Lösung des Problems).

P(x)-Graphen für verschiedene Konstanten: a) C > 0, b) C = 0, c) C< 0  параболы (рис.15.1).

Unter der Bedingung P (0) = 0 ist die Konstante C = 0 und

(15.10)

In dieser Lektion werden wir die verschiedenen Bewegungen eines Körpers unter dem Einfluss der Schwerkraft betrachten und lernen, wie man die Arbeit dieser Kraft findet. Wir werden auch das Konzept der potentiellen Energie eines Körpers einführen, herausfinden, wie diese Energie mit der Arbeit der Schwerkraft zusammenhängt, und die Formel ableiten, mit der diese Energie gefunden wird. Mit dieser Formel lösen wir die aus der Sammlung entnommene Aufgabe zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen.

In den vorherigen Lektionen haben wir die Vielfalt der Kräfte in der Natur studiert. Für jede Kraft ist es notwendig, die Arbeit richtig zu berechnen. Diese Lektion ist dem Studium der Arbeit der Schwerkraft gewidmet.

In kleinen Abständen von der Erdoberfläche ist die Schwerkraft konstant und modulo gleich , wo m- Körpermasse, g- Erdbeschleunigung.

Lassen Sie die Körpermasse m fällt frei von einer Höhe über jeder Ebene, von der aus die Zählung vorgenommen wird, auf eine Höhe über derselben Ebene (siehe Abb. 1).

Reis. 1. Freier Fall des Körpers von Höhe zu Höhe

In diesem Fall ist der Verschiebungsmodul des Körpers gleich der Differenz zwischen diesen Höhen:

Da die Bewegungsrichtung und die Schwerkraft gleich sind, ist die von der Schwerkraft verrichtete Arbeit:

Der Höhenwert in dieser Formel kann von jeder Ebene aus berechnet werden (Meereshöhe, Bodenhöhe eines in den Boden gegrabenen Lochs, Tischoberfläche, Bodenoberfläche usw.). In jedem Fall wird die Höhe dieser Fläche gleich Null gewählt, also heißt das Niveau dieser Höhe Null-Niveau.

Wenn ein Körper aus großer Höhe fällt h auf Null, dann ist die durch die Schwerkraft geleistete Arbeit:

Wenn ein Körper, der von der Nullebene nach oben geschleudert wird, eine Höhe h über dieser Ebene erreicht, ist die durch die Schwerkraft geleistete Arbeit gleich:

Lassen Sie die Körpermasse m auf einer schiefen Ebene bewegen h und macht gleichzeitig eine Bewegung, deren Modul gleich der Länge der schiefen Ebene ist (siehe Abb. 2).

Reis. 2. Bewegung eines Körpers entlang einer schiefen Ebene

Die Arbeit der Kraft ist gleich dem Skalarprodukt des Kraftvektors und des Verschiebungsvektors des Körpers, der unter der Wirkung dieser Kraft entsteht, das heißt, die Schwerkraftarbeit ist in diesem Fall gleich:

wo ist der Winkel zwischen dem Schwerkraft- und dem Verschiebungsvektor.

Abbildung 2 zeigt, dass die Verschiebung () die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und die Höhe ist h- Kathet. Nach der Eigenschaft eines rechtwinkligen Dreiecks:

Folglich

Wir haben den Ausdruck für die Arbeit der Schwerkraft erhalten, der derselbe ist wie im Fall der vertikalen Bewegung des Körpers. Daraus kann geschlossen werden, dass, wenn die Flugbahn des Körpers nicht geradlinig ist und sich der Körper unter der Wirkung der Schwerkraft bewegt, die Schwerkraftarbeit nur durch eine Änderung der Höhe des Körpers über einem bestimmten Nullniveau bestimmt wird und nicht davon abhängt auf der Bahn des Körpers.

Reis. 3. Bewegung eines Körpers entlang einer krummlinigen Bahn

Beweisen wir die vorherige Behauptung. Lassen Sie den Körper sich entlang einer krummlinigen Bahn bewegen (siehe Abb. 3). Wir teilen diese Flugbahn gedanklich in eine Anzahl kleiner Abschnitte auf, von denen jeder als kleine schiefe Ebene betrachtet werden kann. Die Bewegung des Körpers entlang der gesamten Trajektorie kann als Bewegung entlang einer Reihe von schiefen Ebenen dargestellt werden. Die Schwerkraftarbeit an jedem der Abschnitte ist gleich dem Produkt aus der Schwerkraft und der Höhe dieses Abschnitts. Wenn die Höhenänderungen in einzelnen Abschnitten gleich sind, ist die Schwerkraftarbeit auf sie gleich:

Die Gesamtarbeit auf der gesamten Trajektorie ist gleich der Summe der Arbeit auf einzelnen Abschnitten:

- die Gesamthöhe, die der Körper überwunden hat,

Die Schwerkraftarbeit hängt also nicht von der Flugbahn des Körpers ab und ist immer gleich dem Produkt aus Schwerkraft und Höhenunterschied in Anfangs- und Endlage. Q.E.D.

Bei der Abwärtsbewegung ist die Arbeit positiv, bei der Aufwärtsbewegung negativ.

Lassen Sie einen Körper sich auf einer geschlossenen Bahn bewegen, dh er ging zuerst nach unten und kehrte dann auf einer anderen Bahn zum Ausgangspunkt zurück. Da der Körper am selben Punkt gelandet ist, an dem er ursprünglich war, ist der Höhenunterschied zwischen der Anfangs- und Endposition des Körpers Null, daher ist die Schwerkraftarbeit Null. Folglich, Die Arbeit, die die Schwerkraft verrichtet, wenn sich ein Körper entlang einer geschlossenen Bahn bewegt, ist Null.

In der Formel für die Schwerkraftarbeit nehmen wir (-1) aus der Klammer:

Aus früheren Lektionen ist bekannt, dass die Arbeit der auf den Körper ausgeübten Kräfte gleich der Differenz zwischen den End- und Anfangswerten der kinetischen Energie des Körpers ist. Die resultierende Formel zeigt auch die Beziehung zwischen der Schwerkraftarbeit und der Differenz zwischen den Werten einer physikalischen Größe gleich . Ein solcher Wert wird aufgerufen potentielle Energie des Körpers was auf der Höhe ist hüber einem gewissen Nullniveau.

Die Änderung der potentiellen Energie ist negativ, wenn durch die Schwerkraft positive Arbeit geleistet wird (aus der Formel ersichtlich). Wenn negative Arbeit geleistet wird, ist die Änderung der potentiellen Energie positiv.

Wenn ein Körper aus großer Höhe fällt h auf das Nullniveau, dann ist die Schwerkraftarbeit gleich dem Wert der potentiellen Energie des auf eine Höhe angehobenen Körpers h.

Potentielle Energie des Körpers, angehoben auf eine bestimmte Höhe über dem Nullniveau, ist gleich der Arbeit, die die Schwerkraft verrichten wird, wenn der gegebene Körper von einer bestimmten Höhe auf das Nullniveau fällt.

Anders als die kinetische Energie, die von der Geschwindigkeit des Körpers abhängt, darf die potentielle Energie selbst bei ruhenden Körpern nicht Null sein.

Reis. 4. Der Körper unter dem Nullniveau

Befindet sich der Körper unterhalb des Nullniveaus, dann hat er eine negative potentielle Energie (siehe Abb. 4). Das heißt, Vorzeichen und Betrag der potentiellen Energie hängen von der Wahl des Nullniveaus ab. Die Arbeit, die beim Bewegen des Körpers verrichtet wird, hängt nicht von der Wahl der Nullebene ab.

Der Begriff "potenzielle Energie" bezieht sich nur auf ein System von Körpern. In all der obigen Argumentation war dieses System "Erde - ein Körper, der über der Erde erhaben ist".

Homogenes rechteckiges Parallelepiped mit Masse m mit Rippen werden auf einer horizontalen Ebene nacheinander auf jeder der drei Flächen platziert. Wie groß ist die potentielle Energie des Parallelepipeds in jeder dieser Positionen?

Gegeben:m- Masse des Parallelepipeds; - die Länge der Kanten des Parallelepipeds.

Finden:; ;

Lösung

Wenn es notwendig ist, die potentielle Energie eines Körpers mit endlichen Abmessungen zu bestimmen, dann können wir davon ausgehen, dass die gesamte Masse eines solchen Körpers an einem Punkt konzentriert ist, der als Massenmittelpunkt dieses Körpers bezeichnet wird.

Bei symmetrischen geometrischen Körpern fällt der Massenmittelpunkt mit dem geometrischen Mittelpunkt zusammen, also (für diese Aufgabe) mit dem Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelepipeds. Daher ist es notwendig, die Höhe zu berechnen, in der sich dieser Punkt an verschiedenen Stellen des Parallelepipeds befindet (siehe Abb. 5).

Reis. 5. Illustration für das Problem

Um die potentielle Energie zu finden, ist es notwendig, die erhaltenen Höhenwerte mit der Masse des Quaders und der Beschleunigung des freien Falls zu multiplizieren.

Antworten:; ;

In dieser Lektion haben wir gelernt, wie man die Arbeit der Schwerkraft berechnet. Gleichzeitig haben wir gesehen, dass unabhängig von der Flugbahn des Körpers die Arbeit der Schwerkraft durch die Differenz zwischen den Höhen der Anfangs- und Endposition des Körpers über einem bestimmten Nullniveau bestimmt wird. Wir führten auch das Konzept der potentiellen Energie ein und zeigten, dass die Arbeit der Schwerkraft gleich der Änderung der potentiellen Energie des Körpers ist, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen. Welche Arbeiten müssen durchgeführt werden, um einen Sack Mehl mit einem Gewicht von 2 kg von einem Regal in 0,5 m Höhe über dem Boden auf einen Tisch in 0,75 m Höhe über dem Boden zu verschieben? Wie groß ist die potenzielle Energie des auf dem Regal liegenden Mehlsacks und seine potenzielle Energie, wenn er auf dem Tisch steht, relativ zum Boden?