UPOTREBA na nivou matematičkog profila

Rad se sastoji od 19 zadataka.
1. dio:
8 zadataka sa kratkim odgovorom osnovnog nivoa složenosti.
Dio 2:
4 zadatka sa kratkim odgovorom
7 zadataka sa detaljnim odgovorom visokog nivoa složenosti.

Trajanje - 3 sata i 55 minuta.

Primjeri USE zadataka

Rješavanje USE zadataka iz matematike.

Za samostalno rješenje:

1 kilovat-sat električne energije košta 1 rublja 80 kopejki.
Strujomjer je 1. novembra pokazao 12625 kilovat-sati, a 1. decembra 12802 kilovat-sati.
Koliko treba da platite struju u novembru?
Odgovor dajte u rubljama.

Problem sa rešenjem:

U pravilnoj trokutastoj piramidi ABCS sa bazom ABC poznati su rubovi: AB = 5 korijena od 3, SC = 13.
Pronađite ugao koji formiraju ravnina osnove i prava koja prolazi središtem ivica AS i BC.

Rješenje:

1. Pošto je SABC pravilna piramida, onda je ABC jednakostranični trougao, a preostale strane su jednaki jednakokraki trouglovi.
To jest, sve strane baze su 5 sqrt(3), a sve bočne ivice su 13.

2. Neka je D središte BC, E središte AS, SH visina od tačke S do osnove piramide, EP visina od tačke E do osnove piramide.

3. Pronađite AD iz pravouglog trougla CAD koristeći Pitagorinu teoremu. Dobijate 15/2 = 7,5.

4. Pošto je piramida pravilna, tačka H je presečna tačka visina / medijana / simetrala trougla ABC, što znači da deli AD u omjeru 2:1 (AH = 2 AD).

5. Pronađite SH iz pravokutnog trougla ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, prema Pitagorinoj teoremi SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Trouglovi AEP i ASH su oba pravougaona i imaju zajednički ugao A, dakle sličan. Prema pretpostavci, AE = AS/2, dakle i AP = AH/2 i EP = SH/2.

7. Ostaje da razmotrimo pravougli trougao EDP (samo nas zanima ugao EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Ugaona tangenta EDP = EP/DP = 6/5,
Ugao EDP = arctg(6/5)

odgovor:

UPOTREBA 2019 u zadatku iz matematike 17 sa rješenjem

Demo verzija Jedinstvenog državnog ispita iz matematike 2019

Jedinstveni državni ispit iz matematike 2019 u pdf formatu Osnovni nivo | Nivo profila

Zadaci za pripremu ispita iz matematike: osnovni i profilni nivo sa odgovorima i rješenjima.

17 zadatak profilnog nivoa ispita iz matematike je zadatak koji se odnosi na finansije, naime ovaj zadatak može biti za kamate, dio dugova itd. Teškoća je u tome što je potrebno obračunati kamatu ili dio preko dug period, tako da ovaj zadatak nije direktna analogija standardnih problema sa procentima. Da ne bismo govorili o generalnom, idemo direktno na analizu tipičnog zadatka.

Analiza tipičnih opcija za zadatke br. 17 USE iz matematike na nivou profila

Prva verzija zadatka (demo verzija 2018)

Uslovi za njegovo vraćanje su sledeći:

• Svakog 1. u mjesecu dug se povećava za r posto u odnosu na kraj prethodnog mjeseca, gdje je r cijeli broj;
• od 2. do 14. svakog mjeseca dio duga se mora platiti;
• Svakog 15. dana u mjesecu dug mora iznositi određeni iznos prema sljedećoj tabeli.

Pronađite najveću vrijednost r za koju će ukupan iznos plaćanja biti manji od 1,2 miliona rubalja.

Algoritam rješenja:

1. Smatramo koliki je iznos otplate kredita mjesečno.
2. Mi utvrđujemo dug za svaki mjesec.
3. Pronađite traženi procenat.
4. Određujemo visinu plaćanja za cijeli period.
5. Izračunavamo procenat r iznosa otplate duga.
6. Zapisujemo odgovor.

Rješenje:

1. U skladu sa uslovom, dug prema banci treba da se smanji mesečno po sledećem redosledu:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. Neka je k = 1 + r / 100, tada je dug svakog mjeseca:

k; 0.6k; 0.4k; 0.3k; 0.2k; 0.1k.

3. Dakle, uplate od 2. do 14. mjesečno su:

k - 0,6; 0,6k - 0,4; 0,4k - 0,3; 0,3k - 0,2; 0,2k - 0,1; 0.1k

4. Ukupan iznos plaćanja je jednak:

Pod uslovom, ukupan iznos plaćanja je manji od 1,2 miliona rubalja, dakle,

Najveće cjelobrojno rješenje rezultirajuće nejednačine je 7. Tada je traženo - 7.

Druga opcija (od Yaschenka, br. 1)

U julu 2020. planirano je uzimanje kredita od banke u iznosu od 300.000 rubalja. Uslovi za njegovo vraćanje su sledeći:

• svakog januara dug raste za r% u odnosu na kraj prethodne godine;
• Od februara do juna svake godine, dio duga mora se platiti jednom uplatom.

Pronađite r ako se zna da će zajam biti u potpunosti otplaćen za dvije godine, te će prve godine biti isplaćeno 160.000 rubalja, au drugoj godini - 240.000 rubalja.

Algoritam za rješavanje problema:

1. Odredite iznos duga.
2. Iznos duga obračunavamo nakon prve rate.
3. Pronalaženje iznosa duga nakon druge rate
4. Pronađite traženi procenat.
5. Zapisujemo odgovor.

Rješenje:

1. Pozajmljeno je 300.000 rubalja. U skladu sa uslovom, iznos duga koji treba vratiti se povećava za r%, što znači puta. Da biste otplatili dug, morate banci dati 300.000∙k.

2. Nakon uplate u iznosu od 160.000 rubalja. Stanje duga je

Danas ćemo malo odstupiti od standardnih logaritama, integrala, trigonometrije itd., i zajedno ćemo razmotriti važniji zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, koji je direktno povezan sa našom zaostalom ruskom ekonomijom zasnovanom na resursima. A da budemo precizni, razmotrićemo problem depozita, kamata i kredita. Jer upravo su zadaci sa procentima nedavno dodani u drugi dio jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Odmah ću rezervirati da se za rješavanje ovog problema, prema specifikacijama Jedinstvenog državnog ispita, nude tri primarne točke odjednom, odnosno ispitivači smatraju ovaj zadatak jednim od najtežih.

Istovremeno, da biste riješili bilo koji od ovih zadataka sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, trebate znati samo dvije formule, od kojih je svaka sasvim dostupna svakom maturantu, međutim, iz razloga koje ja ne razumijem, ove formule su potpuno ignorisan od strane nastavnika i sastavljača raznih zadataka za pripremu za ispit. Stoga vam danas neću samo reći koje su to formule i kako ih primijeniti, već ću svaku od ovih formula izvući doslovno pred vašim očima, uzimajući kao osnovu zadatke iz otvorene USE banke iz matematike.

Stoga se lekcija pokazala prilično obimnom, prilično sadržajnom, pa se raskomotite i počinjemo.

Stavljanje novca u banku

Prije svega, htio bih napraviti malu lirsku digresiju vezanu za finansije, banke, kredite i depozite, na osnovu koje ćemo dobiti formule kojima ćemo riješiti ovaj problem. Dakle, hajde da se malo odmaknemo od ispita, od nadolazećih školskih problema i pogledamo u budućnost.

Recimo da ste odrasli i da ćete kupiti stan. Recimo da ćete kupiti ne neki loš stan na periferiji, već kvalitetan stan za 20 miliona rubalja. Istovremeno, pretpostavimo da ste dobili manje-više normalan posao i da zarađujete 300 hiljada rubalja mjesečno. U ovom slučaju, za godinu dana možete uštedjeti oko tri miliona rubalja. Naravno, zarađujući 300 hiljada rubalja mjesečno, za godinu ćete dobiti nešto veći iznos - 3.600.000 - ali neka se ovih 600.000 potroši na hranu, odjeću i druge svakodnevne kućne radosti. Ukupni ulazni podaci su sljedeći: potrebno je zaraditi dvadeset miliona rubalja, a na raspolaganju imamo samo tri miliona rubalja godišnje. Postavlja se prirodno pitanje: koliko godina treba da izdvojimo tri miliona da bismo dobili ovih istih dvadeset miliona. Smatra se elementarnim:

\[\frac(20)(3)=6,....\do 7\]

Međutim, kao što smo već napomenuli, zarađujete 300 hiljada rubalja mjesečno, što znači da ste pametni ljudi i nećete štedjeti novac "ispod jastuka", već ga odnesite u banku. I, stoga, godišnje na te depozite koje donesete u banku obračunavat će se kamata. Recimo da odaberete pouzdanu, ali u isto vrijeme manje-više profitabilnu banku, pa će vam depoziti rasti za 15% godišnje. Drugim riječima, možemo reći da će se iznos na vašim računima povećavati za 1,15 puta svake godine. Dozvolite mi da vas podsjetim na formulu:

Hajde da izračunamo koliko će novca biti na vašim računima nakon svake godine:

U prvoj godini, kada tek počnete da štedite, kamate se neće akumulirati, odnosno na kraju godine ćete uštedeti tri miliona rubalja:

Na kraju druge godine već će se obračunati kamata na ona tri miliona rubalja koja je ostala od prve godine, tj. moramo pomnožiti sa 1,15. Međutim, tokom druge godine prijavili ste i još tri miliona rubalja. Naravno, ova tri miliona još nije imala kamatu, jer su se do kraja druge godine ova tri miliona tek pojavila na računu:

Dakle, treća godina. Na kraju treće godine na ovaj iznos će se obračunati kamata, odnosno potrebno je cijeli ovaj iznos pomnožiti sa 1,15. I opet, tokom cijele godine vrijedno ste radili i izdvojili tri miliona rubalja:

\[\lijevo(3m\cdot 1,15+3m \desno)\cdot 1,15+3m\]

Izračunajmo još četvrtu godinu. Opet, cijeli iznos koji smo imali na kraju treće godine pomnožimo sa 1,15, tj. Na cjelokupan iznos će se obračunati kamata. Ovo uključuje kamatu na kamatu. I na ovaj iznos se dodaje još tri miliona, jer ste i vi tokom četvrte godine radili i uštedeli:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \desno)\cdot 1,15+3m \desno)\cdot 1,15+3m\]

A sad da otvorimo zagrade i vidimo koji iznos ćemo imati do kraja četvrte godine štednje:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \desno)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \desno)= \\& =3m\lijevo(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \desno) \\\end(poravnati)\]

Kao što vidite, u zagradama imamo elemente geometrijske progresije, odnosno imamo zbir elemenata geometrijske progresije.

Da vas podsjetim da ako je geometrijska progresija data elementom $((b)_(1))$, kao i nazivnikom $q$, onda će se zbir elemenata izračunati prema sljedećoj formuli:

Ova formula mora biti poznata i jasno primijenjena.

Napomena: formula n element zvuči ovako:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Zbog ove diplome, mnogi studenti su zbunjeni. Ukupno imamo samo n za sumu n- elementi, i n-ti element ima stepen $n-1$. Drugim riječima, ako sada pokušamo izračunati zbir geometrijske progresije, onda moramo uzeti u obzir sljedeće:

\[\početak(poravnati)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(poravnati)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Izračunajmo brojilac zasebno:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \desno))^(2))=((\left(1,3225 \right) ))^(2))=1,74900625\približno 1,75\]

Ukupno, vraćajući se na zbir geometrijske progresije, dobijamo:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Kao rezultat dobijamo da nam se za četiri godine štednje početni iznos neće povećati četiri puta, kao da nismo položili novac u banci, već pet puta, odnosno petnaest miliona. Hajde da to napišemo odvojeno:

4 godine → 5 puta

Gledajući unaprijed, reći ću da da smo štedjeli ne četiri godine, već pet godina, onda bi se kao rezultat toga iznos naše štednje povećao za 6,7 ​​puta:

5 godina → 6,7 puta

Drugim riječima, do kraja pete godine na računu bismo imali sljedeći iznos:

Odnosno, do kraja pete godine štednje, uzimajući u obzir kamate na depozit, već bismo dobili preko dvadeset miliona rubalja. Tako bi se ukupna štednja od bankarskih kamata smanjila sa skoro sedam godina na pet godina, odnosno za skoro dvije godine.

Dakle, i pored toga što banka na naše depozite obračunava prilično nisku kamatu (15%), nakon pet godina ovih istih 15% daje povećanje koje znatno premašuje našu godišnju zaradu. Istovremeno, glavni multiplikativni efekat se javlja poslednjih godina, pa čak iu poslednjoj godini štednje.

Zašto sam sve ovo napisao? Naravno, da vas ne agitiramo da nosite novac u banku. Jer ako zaista želite da povećate svoju ušteđevinu, onda morate da je uložite ne u banku, već u pravi biznis, gde ti isti procenti, odnosno profitabilnost u uslovima ruske privrede, retko padaju ispod 30%, odnosno dva puta, dva puta. koliko bankovnih depozita.

Ali ono što je zaista korisno u cijelom ovom razmišljanju je formula koja nam omogućava da kroz iznos godišnjih uplata, kao i kroz kamatu koju banka naplaćuje, pronađemo konačan iznos depozita. Pa da napišemo:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Sam po sebi, % se izračunava pomoću sljedeće formule:

I ovu formulu treba znati, kao i osnovnu formulu za iznos doprinosa. A, zauzvrat, glavna formula može značajno smanjiti proračune u onim problemima s procentima gdje je potrebno izračunati doprinos.

Zašto koristiti formule umjesto tabela?

Mnogi će vjerovatno imati pitanje čemu uopće sve te poteškoće, da li je moguće jednostavno svaku godinu napisati na tabletu, kao što to rade u mnogim udžbenicima, izračunati svaku godinu posebno, a zatim izračunati ukupan iznos doprinosa? Naravno, općenito možete zaboraviti na zbir geometrijske progresije i sve brojati koristeći klasične tablete - to se radi u većini kolekcija za pripremu za ispit. Međutim, prvo, obim proračuna se naglo povećava, a drugo, kao rezultat toga, povećava se vjerojatnost greške.

I općenito, korištenje stolova umjesto ove divne formule isto je kao da kopate rovove svojim rukama na gradilištu umjesto da koristite bager koji stoji u blizini i potpuno radi.

Pa, ili ista stvar kao množenje pet sa deset ne koristeći tablicu množenja, već dodavanje pet deset puta zaredom. Međutim, već sam skrenuo pažnju, pa ću još jednom ponoviti najvažniju ideju: ako postoji način da se proračuni pojednostave i skrate, onda je ovo način da se koristi.

Kamate na kredite

Shvatili smo depozite, pa prelazimo na sljedeću temu, odnosno na kamatu na kredite.

Dakle, dok vi štedite, pažljivo planirate budžet, razmišljate o budućem stanu, vaš drug iz razreda, a sada obična nezaposlena osoba, odlučio je živjeti za danas i samo je podigao kredit. Pritom će te i dalje zadirkivati ​​i smijati, kažu, ima kreditni telefon i polovni auto uzet na kredit, a ti se još voziš metroom i koristiš stari telefon. Naravno, za sva ova jeftina "pometanja" vaš bivši kolega će morati skupo da plati. Koliko skupo - to ćemo sada izračunati.

Prvo, kratak uvod. Recimo da je vaš bivši kolega uzeo dva miliona rubalja na kredit. Istovremeno, prema ugovoru, mora plaćati x rubalja mjesečno. Recimo da je uzeo kredit po stopi od 20% godišnje, što u sadašnjim uslovima izgleda sasvim pristojno. Takođe, pretpostavite da je rok kredita samo tri mjeseca. Pokušajmo sve ove količine povezati u jednu formulu.

Dakle, na samom početku, čim je tvoj bivši drug iz razreda izašao iz banke, on ima dva miliona u džepu, a ovo je njegov dug. U isto vrijeme nije prošla ni godina, ni mjesec, ali ovo je samo početak:

Zatim, nakon mjesec dana, na iznos dugovanja će se obračunati kamata. Kao što već znamo, za obračun kamate dovoljno je pomnožiti prvobitni dug sa koeficijentom koji se izračunava po sljedećoj formuli:

U našem slučaju govorimo o stopi od 20% godišnje, odnosno možemo napisati:

Ovo je omjer iznosa koji će se naplaćivati ​​godišnje. Međutim, naš drug iz razreda nije baš pametan i nije pročitao ugovor, a u stvari je dobio kredit ne 20% godišnje, već 20% mjesečno. I do kraja prvog mjeseca na ovaj iznos će se obračunati kamata, koja će se povećati za 1,2 puta. Odmah nakon toga, osoba će morati platiti ugovoreni iznos, odnosno x rubalja mjesečno:

\[\lijevo(2m\cdot 1,2-x\desno)\cdot 1,2-x\]

I opet, naš dječak vrši uplatu u iznosu od $x$ rubalja.

Zatim se do kraja trećeg mjeseca iznos njegovog duga ponovo povećava za 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\desno)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

A prema uslovu za tri mjeseca, mora platiti u cijelosti, odnosno nakon posljednje treće uplate iznos duga treba da bude jednak nuli. Ovu jednačinu možemo napisati:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\desno)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Hajde da odlučimo:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \desno) \\\end(poravnati)\]

Pred nama je opet geometrijska progresija, odnosno zbir tri elementa geometrijske progresije. Prepišimo ga uzlaznim redoslijedom elemenata:

Sada moramo pronaći zbir tri elementa geometrijske progresije. napišimo:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(poravnati)\]

Sada pronađimo zbir geometrijske progresije:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Treba podsjetiti da se zbir geometrijske progresije sa takvim parametrima $\left(((b)_(1));q \right)$ izračunava po formuli:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Ovo je formula koju smo upravo koristili. Zamijenite ovu formulu u naš izraz:

Za dalje proračune, moramo saznati koliko je jednako $((1,2)^(3))$. Nažalost, u ovom slučaju više ne možemo slikati kao prošli put u obliku dvostrukog kvadrata, ali možemo izračunati ovako:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Prepisujemo naš izraz:

Ovo je klasičan linearni izraz. Vratimo se na sljedeću formulu:

Zapravo, ako to generaliziramo, dobićemo formulu koja povezuje kamate, kredite, plaćanja i uslove. Formula ide ovako:

Evo je, najvažnije formule današnje video lekcije, uz pomoć koje se razmatra najmanje 80% svih ekonomskih zadataka sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike u drugom dijelu.

U stvarnim zadacima najčešće će se od vas tražiti uplata, a nešto rjeđe i kredit, odnosno ukupan iznos duga koji je naša drugarica imala na samom početku isplata. U složenijim zadacima od vas će se tražiti da pronađete procenat, ali za vrlo složene, koje ćemo analizirati u posebnoj video lekciji, od vas će se tražiti da pronađete vremenski okvir tokom kojeg, sa datim parametrima kredita i plaćanja, naš nezaposleni kolega iz razreda će moći u potpunosti da otplati banku.

Možda će neko sada pomisliti da sam žestoki protivnik kredita, finansija i bankarskog sistema uopšte. Dakle, ništa slično! Naprotiv, smatram da su kreditni instrumenti veoma korisni i neophodni za našu privredu, ali samo pod uslovom da se kredit uzme za razvoj poslovanja. U ekstremnim slučajevima možete uzeti kredit za kupovinu kuće, odnosno hipoteku ili za hitnu medicinsku pomoć – to je to, jednostavno nema drugih razloga za uzimanje kredita. I raznorazni nezaposleni koji uzimaju kredite da bi kupovali "izmetanje" a pritom uopće ne razmišljaju o posljedicama na kraju i postaju uzrok kriza i problema u našoj privredi.

Vraćajući se na temu današnje lekcije, napominjem da je potrebno znati i ovu formulu koja povezuje kredite, plaćanja i kamatu, kao i iznos geometrijske progresije. Uz pomoć ovih formula rješavaju se stvarni ekonomski problemi sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. E, sad kad sve ovo dobro znate, kada shvatite šta je kredit i zašto ga ne biste trebali uzeti, pređimo na rješavanje stvarnih ekonomskih problema sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.

Realne zadatke rješavamo sa ispita iz matematike

Primjer #1

Dakle, prvi zadatak je:

Aleksej je 31. decembra 2014. uzeo kredit od 9.282.000 rubalja od banke uz 10% godišnje. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svake naredne godine banka obračunava kamatu na preostali iznos duga (to jest, povećava dug za 10%), a zatim Aleksej prebacuje banci X rubalja. Koliki bi trebao biti iznos X da bi Aleksej otplatio dug u četiri jednaka plaćanja (tj. četiri godine)?

Dakle, ovo je problem oko kredita, pa odmah zapisujemo našu formulu:

Znamo zajam - 9.282.000 rubalja.

Sada ćemo se pozabaviti procentima. Govorimo o 10% problema. Stoga ih možemo prevesti:

Možemo napraviti jednačinu:

Dobili smo običnu linearnu jednačinu u odnosu na $x$, iako sa prilično ogromnim koeficijentima. Pokušajmo to riješiti. Prvo, pronađimo izraz $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Sada prepišimo jednačinu:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

To je to, naš problem sa procentima je riješen.

Naravno, ovo je bio samo najjednostavniji zadatak sa procentima sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Na pravom ispitu najvjerovatnije neće biti takvog zadatka. A ako jeste, smatrajte da ste veoma srećni. Pa, za one koji vole da računaju i ne vole da rizikuju, pređimo na sledeće teže zadatke.

Primjer #2

Stepan je 31. decembra 2014. od banke pozajmio 4.004.000 rubalja uz 20% godišnje. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svake naredne godine banka obračunava kamatu na preostali iznos duga (tj. povećava dug za 20%), a zatim Stepan plaća banci. Stepan je otplatio ceo dug u 3 jednaka plaćanja. Koliko bi rubalja manje dao banci kada bi mogao da otplati dug u 2 jednaka plaćanja.

Pred nama je problem oko kredita, pa zapisujemo našu formulu:

\[\]\

šta mi znamo? Prvo, znamo ukupni kredit. Znamo i procente. Nađimo omjer:

Što se tiče $n$, morate pažljivo pročitati stanje problema. Odnosno, prvo trebamo izračunati koliko je platio za tri godine, tj. $n=3$, a zatim ponoviti iste korake ali izračunati uplate za dvije godine. Napišimo jednačinu za slučaj kada se isplata plaća za tri godine:

Hajde da riješimo ovu jednačinu. Ali prvo, pronađimo izraz $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Prepisujemo naš izraz:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Ukupno, naša uplata će biti 1900800 rubalja. Međutim, obratite pažnju: u zadatku smo morali pronaći ne mjesečnu uplatu, već koliko bi Stepan ukupno platio za tri jednaka plaćanja, odnosno za cijelo vrijeme korištenja kredita. Stoga se rezultujuća vrijednost mora ponovo pomnožiti sa tri. izbrojimo:

Ukupno će Stepan platiti 5.702.400 rubalja za tri jednaka plaćanja. Toliko će ga koštati trogodišnje korištenje kredita.

Sada razmislite o drugoj situaciji, kada se Stepan sabrao, spremio i otplatio cijeli kredit ne u tri, već u dvije jednake isplate. Zapisujemo našu istu formulu:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Ali to nije sve, jer smo sada izračunali samo jednu od dvije uplate, tako da će ukupno Stepan platiti tačno dvostruko više:

Odlično, sada smo blizu konačnog odgovora. Ali obratite pažnju: ni u kom slučaju još nismo dobili konačan odgovor, jer će Stepan za tri godine plaćanja platiti 5.702.400 rubalja, a za dvije godine plaćanja 5.241.600 rubalja, odnosno nešto manje. Koliko manje? Da biste saznali, trebate oduzeti drugi iznos uplate od iznosa prve uplate:

Ukupan konačni odgovor je 460.800 rubalja. Koliko će tačno Stepan uštedjeti ako plati ne tri godine, već dvije.

Kao što vidite, formula koja povezuje kamate, rokove i plaćanja uvelike pojednostavljuje obračune u odnosu na klasične tabele i, nažalost, iz nepoznatih razloga, većina zbirki problema ipak koristi tabele.

Zasebno, skrećem vam pažnju na rok na koji je kredit uzet, kao i na iznos mjesečnih otplata. Činjenica je da ova veza nije direktno vidljiva iz formula koje smo zapisali, ali je njeno razumijevanje neophodno za brzo i efikasno rješavanje stvarnih problema na ispitu. Zapravo, ova veza je vrlo jednostavna: što se kredit duže uzima, to će manji iznos biti u mjesečnim otplatama, ali će se veći iznos akumulirati tokom cijelog perioda korištenja kredita. I obrnuto: što je kraći rok, to je veća mjesečna uplata, ali je niža konačna preplata i manji ukupni trošak kredita.

Naravno, svi ovi iskazi će biti jednaki samo pod uslovom da su iznos kredita i kamatna stopa u oba slučaja isti. Općenito, za sada samo zapamtite ovu činjenicu - koristit će se za rješavanje najtežih problema na ovu temu, ali za sada ćemo analizirati jednostavniji problem, gdje je potrebno samo pronaći ukupan iznos prvobitnog kredita.

Primjer #3

Dakle, još jedan zadatak za pozajmicu i, u kombinaciji, posljednji zadatak u današnjem video tutorijalu.

Vasilij je 31. decembra 2014. podigao određeni iznos od banke na kredit sa 13% godišnje. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svake naredne godine banka obračunava kamatu na preostali iznos duga (to jest, povećava dug za 13%), a zatim Vasilij prebacuje banci 5.107.600 rubalja. Koliki je iznos Vasilij pozajmio od banke ako je otplatio dug u dvije jednake rate (na dvije godine)?

Dakle, prije svega, ovaj problem se opet odnosi na kredite, pa zapisujemo našu divnu formulu:

Hajde da vidimo šta znamo iz stanja problema. Prvo, isplata - iznosi 5.107.600 rubalja godišnje. Drugo, procenti, tako da možemo pronaći omjer:

Osim toga, prema stanju problema, Vasilij je uzeo kredit od banke na dvije godine, tj. plaćeno u dvije jednake rate, dakle $n=2$. Zamenimo sve i napomenimo da nam je kredit nepoznat, tj. iznos koji je uzeo, i označimo ga sa $x$. Dobijamo:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Prepišimo našu jednačinu imajući na umu ovu činjenicu:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

To je to, ovo je konačan odgovor. Upravo je taj iznos Vasilij uzeo na kredit na samom početku.

Sada je jasno zašto se u ovom problemu od nas traži da uzmemo kredit na samo dvije godine, jer se ovdje pojavljuju dvocifrene kamate, odnosno 13%, što na kvadrat već daje prilično „brutalan“ broj. Ali to nije granica - u sljedećoj zasebnoj lekciji ćemo razmotriti složenije zadatke gdje će biti potrebno pronaći rok kredita, a stopa će biti jedan, dva ili tri posto.

Općenito, naučite rješavati probleme za depozite i kredite, pripremite se za ispite i položite ih "odlično". A ako nešto nije jasno u materijalima današnje video lekcije, onda ne oklijevajte - pišite, nazovite, a ja ću vam pokušati pomoći.

finansijska matematika

Za ispravno obavljen zadatak bez grešaka dobijate 3 boda.

Otprilike 35 minuta.

Da biste riješili zadatak 17 iz matematike na nivou profila, morate znati:

1. Zadatak je podijeljen u nekoliko vrsta:
   • poslovi vezani za banke, depozite i kredite;
   • zadataka za optimalan izbor.
2. Formula za obračun mjesečne uplate: S kredit = S/12t
3. Formula za izračunavanje proste kamate: S=α (1 + tp/m)
4. Formula za obračun složenih kamata: C \u003d x (1 + a%)n

postotak - je stoti dio vrijednosti.

• x*(1 + p/100) - vrijednost x uvećano za str%
• x*(1 - k/100) - vrijednost x smanjeno za k%
• x*(1 + p/100) k - vrijednost x uvećano za str% k jednom
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – vrijednost X prvo povećano za str%, a zatim smanjen za k%

Zadaci otplate kredita u jednakim ratama:

Iznos kredita se uzima kao X. bankarska kamata - a. Otplata kredita - S.

Godinu dana nakon obračuna kamate i uplate iznosa S dug - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Dug nakon 2 godine: (xp-S)p-S
• Dug nakon 3 godine: ((xp - S)p - S)p - S
• Iznos duga kroz n godine: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)