Razmotrimo rezultat posmatranja određene ili takozvane determinističke PV Q kao slučajna varijabla (CV) koja uzima vrijednosti X ) u raznim zapažanjima.

Najuniverzalniji način da se opiše SW je pronalaženje njihovih integralnih ili diferencijalnih funkcija raspodjele

Integralna funkcija distribucije rezultata posmatranja je zavisnost od vrednosti x verovatnoće Rčinjenica da će rezultat zapažanja X. biti manji jc. Napisano je kako slijedi:

Drugim riječima, integralna funkcija distribucije slučajna varijabla X naziva se vjerovatnoća ispunjenja nejednakosti X

integralna funkcija F(x) ima sljedeća svojstva.

• 1. F(x) - neopadajuća funkcija.
• 2. F(x) teži jedinstvu kao jc -> +°°.
• 3. F(x) teži nuli kao x -> -°o.
• 4. F(x) - funkcija je kontinuirana, budući da rezultat posmatranja u određenom intervalu može poprimiti bilo koju vrijednost.

Međutim, četvrto svojstvo se obično ne implementira u praksi. To je zbog činjenice da SI koji se koristi ima konačnu rezoluciju: za pokazivačke instrumente, ovo je vrijednost podjele skale (PV quantum); za digitalne instrumente, ovo je cijena najmanje kodne cifre. Stoga, u stvarnosti, funkcija distribucije ima stepenast oblik (slika 4.4).

Unatoč tome, u mjeriteljskoj praksi se često pretpostavlja da je funkcija integralne distribucije kontinuirana, što uvelike pojednostavljuje analizu.

Za slučajnu grešku, kao i za slučajnu varijablu, postoji i vlastita funkcija integralne distribucije:

integralna funkcija F(x), kao i vjerovatnoća, je bezdimenzionalna veličina.

Pogodnije je i vizualnije opisati svojstvo rezultata promatranja pomoću funkcije diferencijalne distribucije, koja se zove gustina raspodjele vjerovatnoće. Treba napomenuti da su diferencijalne funkcije rezultata opservacija X i slučajna greška A utakmica, samo se početak grafa za A nalazi u nultoj tački:

Grafikon funkcije diferencijalne distribucije ili kriva distribucije najčešće je simetrična funkcija sa maksimumom u tački Q za rezultate posmatranja (slika 4.5). Kriva raspodjele za slučajnu grešku je također najčešće simetrična funkcija, ali sa maksimumom u tački “O” (slika 4.6).

Za rezultate posmatranja

Za slučajnu grešku

Tako se diferencijalna funkcija raspodjele rezultata promatranja ili slučajne greške dobiva diferenciranjem integralne funkcije raspodjele.

Postoje i asimetrične funkcije raspodjele, na primjer, Rayleighova funkcija (slika 4.7), ili funkcije koje nemaju maksimum (ujednačene ili trapezoidne) (sl. 4.8, 4.9).

Integralna funkcija je povezana s diferencijalnom funkcijom na sljedeći način:

jer , onda , tj. kvadrat

ispod krivulje funkcije distribucije jednak je jedan. Ovo je tzv stanje normalizacije.

Dimenzija gustine distribucije vjerovatnoće je inverzna dimenziji mjerene fizičke veličine, budući da je integralna funkcija raspodjele bezdimenzionalna. Koristeći koncept funkcije distribucije, može se dobiti izraz za vjerovatnoću da je rezultat posmatranja u poluotvorenim intervalima [x, x 2 ] ili [A„A 2]:

Ovaj izraz govori da je vjerovatnoća pogađanja rezultata posmatranja X ili slučajna greška mjerenja A u datom intervalu jednaka je razlici između vrijednosti integralne funkcije distribucije na naznačenim granicama ovog intervala.

Ako ovu vjerovatnoću izrazimo u terminima funkcije diferencijalne distribucije ili gustine distribucije vjerovatnoće, dobićemo:

one. vjerovatnoća pogađanja rezultata posmatranja X ili slučajne greške D unutar danog intervala je numerički jednak površini ispod krivulje gustine vjerovatnoće ograničene granicama intervala(Sl. 4.10).

Posao p x (x)dx pozvao element vjerovatnoće. U slučaju kada je zakon raspodjele gustine vjerovatnoće blizak tzv. normalnom zakonu, kao što se može vidjeti iz grafika funkcije diferencijalne distribucije, najvjerovatnije mala vrijednosti greške. Verovatnoća pojave velikih grešaka je mnogo manja. Rezultati posmatranja usredsređen oko prave vrednosti izmjereni PV, a kako mu se približavate, elementi vjerovatnoće se povećavaju. Ovo daje osnovu da se apscisa težišta figure koju formiraju apscisa i krivulja gustine raspodjele uzimaju kao procjena prave vrijednosti PV. Ova karakteristika slučajne varijable se zove matematičko očekivanje (Slika 4.11):

Sada možemo dati matematički rigoroznu definiciju slučajne i sistematske greške.

Sistematska greška 0 (slika 4.11) je odstupanje matematičkog očekivanja rezultata posmatranja od prave vrijednosti izmjerene fizičke veličine:

slučajna greška A je razlika između rezultata jednog posmatranja i matematičkog očekivanja rezultata posmatranja:

Dakle, stvarna vrijednost izmjerene fizičke veličine je jednaka

test pitanja

• 1. Šta se podrazumijeva pod diskretnim i kontinuiranim slučajnim varijablama?
• 2. Funkcija integralne distribucije i njena svojstva.
• 3. Diferencijalna funkcija raspodjele, veza između integralne i diferencijalne funkcije raspodjele.
• 4. Uvjet za normalizaciju funkcije integralne raspodjele.
• 5. Šta je grafički prikazano očekivanu vrijednost slučajna varijabla?
• 6. Kako razumjeti sistematske i slučajne komponente ukupne greške sa fizičke i matematičke tačke gledišta?
• 7. Šta se podrazumijeva pod elementom vjerovatnoće?
• 8. Kako odrediti vjerovatnoću da će rezultat posmatranja X ili slučajna greška D pasti u dati interval numerički, sa grafikom gustine distribucije vjerovatnoće ograničenom granicama intervala?

Pod uslovima lokalne Moivre-Laplaceove formule, vjerovatnoća da će broj uspjeha m biti između m 1 i m 2 može se približno pronaći integralnom formulom Moivre-Laplacea

gdje je x 1 =
, x 2 =
,
je Laplaceova funkcija.

Vrijednosti ovih funkcija nalaze se u prilozima udžbenika iz teorije vjerovatnoće.

Grafička dodjela zakona o raspodjeli prikazano na sl. jedan

Rice. 1 Poligon distribucije diskretne slučajne varijable.

Metoda opisivanja distribucije slučajne varijable u obliku tabele, u formi formule ili grafički je primenljiva samo na diskretne slučajne varijable.

1.5. Kumulativna funkcija distribucije

Funkcija integralne distribucije vam omogućava da specificirate i diskretnu i kontinuiranu slučajnu varijablu.

Funkcija kumulativne distribucije (IDF) je funkcija F(x) koja određuje, za svaku moguću vrijednost x, vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj.

Geometrijsko značenje funkcije integralne distribucije je vjerovatnoća da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost koja leži lijevo od tačke x na realnoj osi.

Za diskretnu slučajnu varijablu X, koji može uzeti vrijednosti X 1 , X 2 , …,X n, funkcija distribucije ima oblik gdje nejednakost pod predznakom zbira znači da se zbrajanje odnosi na sve te vrijednosti X i, čija je vrijednost manja X. Objasnimo ovu formulu na osnovu definicije funkcije F(x). Pretpostavimo da je argument x uzeo neki određen, ali takav da je nejednakost zadovoljena x i <x≤x i+1 . Tada će lijevo od broja x na brojevnoj osi biti samo one vrijednosti slučajne varijable koje imaju indeks 1, 2, 3, ..., i. Dakle, nejednakost X<x se izvršava ako je vrijednost X poprimiće vrednosti X to, gdje k = 1, 2, …, i. Dakle, događaj X<x doći će ako ih ima, bez obzira na koji, događaj X = X 1 , X=X 2 , X=X 3 , …, X=X i. Pošto su ovi događaji nekompatibilni, onda po teoremu o dodavanju vjerovatnoće imamo

Svojstva kumulativne funkcije distribucije:

1. Vrijednosti integralne funkcije raspodjele pripadaju intervalu

:
.

2. Vjerovatnoća da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (a, b) jednaka je priraštaju funkcije integralne distribucije na ovom intervalu

3. Ako sve moguće vrijednosti x slučajne varijable pripadaju intervalu (a, b), onda

, ako

, ako

Grafikon IGF kontinuirane slučajne varijable prikazan je na sl. 2

Rice. 2 Grafikon IGF-a kontinuirane slučajne varijable

Grafikon IGF diskretne slučajne varijable prikazan je na sl. 3

Rice. 3 Grafikon IGF-a diskretne slučajne varijable

1.6. Funkcija diferencijalne distribucije

Funkcija diferencijalne distribucije se koristi za opisivanje distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable.

Funkcija diferencijalne distribucije (DDF)(ili gustina vjerovatnoće) je prvi izvod integralne funkcije.

Kumulativna funkcija distribucije je antiderivat za diferencijalnu funkciju raspodjele. Onda

Vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla X uzme vrijednost koja pripada intervalu (a, b) jednaka je definitivnom integralu diferencijalne funkcije, uzetoj od a do b:

Geometrijsko značenje DFR-a je sljedeće: vjerovatnoća da kontinuirana slučajna varijabla X uzme vrijednost koja pripada intervalu (a, b) jednaka je površini krivolinijskog trapeza ograničenog osom x, krivulja distribucije f(x) i prave x = a i x = b (slika 4).

Rice. 4 Grafikon funkcije diferencijalne distribucije obično se naziva krivulja distribucije.

Svojstva funkcije diferencijalne distribucije:

1. Funkcija diferencijalne raspodjele je nenegativna, tj.

2. Ako sve moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu (a, b), onda

Funkcija diferencijalne distribucije se često naziva zakonom distribucije vjerovatnoće kontinuiranih slučajnih varijabli.

Prilikom rješavanja primijenjenih problema nailazi se na različite zakone distribucije vjerovatnoće kontinuiranih slučajnih varijabli. Često se nalazi zakoni uniformne i normalne distribucije.

Diferencijalni i integralni zakoni distribucije

Zakon distribucije slučajne varijable uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti ove veličine i vjerojatnosti njihovog pojavljivanja koje odgovaraju ovim vrijednostima. Postoje dva oblika opisivanja zakona distribucije slučajne varijable - diferencijalni i integralni . Štaviše, u mjeriteljstvu se uglavnom koristi diferencijalni oblik - zakon distribucije gustina vjerovatnoće slučajna varijabla.
Zakon diferencijalne distribucije okarakterisan gustina distribucije Gustoća distribucije slučajne varijable u ovom slučaju vjerovatnoća P udaranje slučajne varijable u intervalu od x 1 prije x2 :

Grafički, ova vjerovatnoća je omjer površine ispod krive f(x) u intervalu od x 1 prije x2 na ukupnu površinu ograničenu cijelom krivom raspodjele.

U ovom slučaju, distribucija kontinuirano slučajna varijabla. Pored njih, postoje diskretno slučajne varijable koje poprimaju određeni broj specifičnih vrijednosti koje se mogu numerisati.

Integralni zakon distribucije slučajne varijable je funkcija F(x), definisana formulom

Vjerovatnoća da će slučajna varijabla biti manja x1 dato vrijednošću funkcije F(x) at x = x 1:

F(X) je neopadajuća funkcija i kao X → ∞ F(X)→1

Kada je X → - ∞ F(X)→0

F(x) - funkcija je kontinuirana, jer rezultat posmatranja u određenom intervalu može imati bilo koju vrijednost

Međutim, četvrto svojstvo se obično ne implementira u praksi. To je zbog činjenice da korišteni SI imaju konačnu rezoluciju: za pokazivački uređaj, ovo je cijena podjele skale (kvantni FV), za digitalne uređaje, ovo je cijena najmanje cifre koda. Stoga, u stvarnosti, funkcija distribucije za grešku ima stepenast oblik.

Ipak, u metrološkoj praksi integralna funkcija se smatra kontinuiranom, što pojednostavljuje obradu grešaka.

Uniformni zakon raspodjele kontinuirane slučajne varijable.

Kontinuirana slučajna varijabla poštuje uniformni zakon raspodjele ako njene moguće vrijednosti leže u određenom intervalu, unutar kojeg su sve vrijednosti jednako vjerojatne, odnosno imaju istu gustoću vjerojatnosti. Drugim riječima, distribucija vjerojatnosti se naziva uniformnom ako na intervalu kojem pripadaju sve moguće vrijednosti slučajne varijable, diferencijalna funkcija ima konstantnu vrijednost.

Slučajne varijable koje imaju ujednačenu distribuciju vjerovatnoće,<<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

Nađimo diferencijalnu funkciju (gustoću) uniformne distribucije, uz pretpostavku da su sve moguće vrijednosti slučajne varijable X zaključan između , na kojem diferencijalna funkcija ostaje konstantna, tj.

f(x) = C

Po uslovu X ne preuzima vrijednosti izvan opsega , zbog toga f(x) = 0 za sve x< a i x< b.

Nađimo vrijednost konstante OD . Pošto sve moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu , onda je tačno:

Dakle, zakon uniformne distribucije slučajne varijable na intervalu (ovdje a< b ) može se analitički napisati na sljedeći način:

Nađimo sada integralnu funkciju uniformne distribucije kontinuirane slučajne varijable. Da bismo to učinili, koristimo formulu

ako x< a onda f(x) = 0 i stoga F(x) = 0

ako a ≤ x ≤ b onda i zbog toga

ako x ˃b onda

Dakle, željena funkcija integralne distribucije može se analitički napisati na sljedeći način:

F(x) = 0 za x< a

za a ≤ x ≤ b

F(x) = 1 za x ˃ b

Svojstva ujednačene kontinuirane distribucije:

1. Prvi trenutak (očekivanje)

2. Medijan: M = M(X)

3. Mod - bilo koji broj na segmentu (mod - najvjerovatnija vrijednost distribucije);

Označimo vjerovatnoćom da slučajna varijabla x ima vrijednost manju od koje je funkcija koja se naziva integralna funkcija distribucije x. Budući da bilo koja vjerovatnoća mora ležati između i 1, onda za sve vrijednosti imamo: Ako su takve da će vjerovatnoća koja će biti veća ili jednaka vjerovatnoći da se, drugim riječima, funkcija ne može smanjiti s povećanjem

Tipičan oblik funkcije integralne distribucije prikazan je na sl. 1, gdje je ucrtana horizontalna os i vertikalna funkcija

Poznavajući integralnu funkciju distribucije, lako možemo odrediti za bilo koju datu vjerovatnoću da Zaista, budući da su događaji nekompatibilni, vjerovatnoća da će se bilo koji od ovih događaja dogoditi će biti jednaka zbroju vjerovatnoća svakog od događaja, tj.

(vidi skeniranje)

Budući da se vjerovatnoća pojave bilo kojeg od ova dva događaja ili poklapa sa vjerovatnoćom nastanka događaja, onda u skladu sa relacijom (1.1) imamo

Stoga će željena vjerovatnoća nastanka događaja biti jednaka

U slučaju kada je slučajna varijabla x rezultat mjerenja neke karakteristike objekta slučajno odabranog iz grupe objekata, moguće je dati jednostavnu interpretaciju funkcije integralne distribucije. Kao što je navedeno u paragrafu 1.1.1, u ovom slučaj vjerovatnoća da je promatrana vrijednost x neka jednakost ili nejednakost (recimo, ili jednaka relativnoj proporciji (u datoj grupi objekata) takvih objekata za koje vrijednost x zadovoljava odgovarajuću jednakost ili nejednakost. Dakle, jednostavno određuje relativni udeo onih objekata za koje Ovakvim tumačenjem verovatnoća postaje očigledna relacija (1.2 ), koja zapravo kaže da je relativni broj objekata za koje je jednak relativnom broju objekata za koje je plus relativni broj objekata za koju Grupu objekata često nazivamo populacijom.Do sada smo razmatrali samo populacije koje sadrže konačan novi broj objekata. Takve populacije se nazivaju konačnim.

Tumačenje vjerovatnoće događaja za koji je zadovoljen određeni odnos (jednakost ili nejednakost), kao relativne proporcije u datoj opštoj populaciji takvih elemenata za koje vrijednost x zadovoljava ovu relaciju, pokazuje se vrlo korisnim u mnogo slučajeva, a mi ćemo ga često koristiti. Međutim, takva interpretacija vjerovatnoća nije uvijek moguća ako nismo ograničeni na konačne populacije. Zaista, funkcija integralne distribucije povezana s konačnom općom populacijom ima svoje karakteristike.

Pretpostavimo da se opšta populacija sastoji od elemenata. Tada slučajna varijabla x može uzeti samo različite vrijednosti. Neka su različite vrijednosti koje x može poprimiti, a te vrijednosti poređane u rastućem redoslijedu, jasno je da ako je vrijednost x ista za nekoliko elemenata, tada će funkcija kumulativne distribucije u ovom Slučaj će imati oblik stepenaste krive prikazane na Sl. 2.

Funkcija distribucije će imati tačno skokove, a veličina svakog skoka će biti jednaka jednom ili celom broju pomnoženom sa kumulativnom funkcijom raspodele, predstavljenom kontinuiranom krivom na Sl. 1 očigledno nije ovog tipa.

Dakle, ako je kumulativna funkcija distribucije kontinuirana kriva, onda je interpretacija vjerovatnoće kao relativnog udjela određenih elemenata konačne opće populacije nemoguća. Međutim, bilo koja kontinuirana kumulativna funkcija distribucije može se aproksimirati sa bilo kojom preciznošću postupnom kumulativnom funkcijom raspodjele povezanom s konačnom populacijom, pod uvjetom da je broj elemenata u potonjoj dovoljno velik. Dakle, bilo koja kontinuirana kumulativna funkcija raspodjele može se smatrati graničnim oblikom kumulativne funkcije distribucije povezane s konačnom populacijom. Granica se postiže beskonačnim povećanjem broja elemenata u ovoj općoj

agregati. To znači da ako dopustimo postojanje beskonačne populacije (populacije sa beskonačnim brojem elemenata), onda se svaka vjerovatnoća povezana sa ovom populacijom uvijek može tumačiti kao relativni udio odgovarajućih elemenata populacije. Naravno, koncept beskonačne populacije je samo korisna apstrakcija, uvedena samo da bi se teorija pojednostavila.

Kao primjer beskonačne opće populacije, razmotrite eksperiment koji se sastoji u mjerenju dužine određenog štapa. Ishod svakog mjerenja može se smatrati slučajnom varijablom, koju karakterizira integralna funkcija distribucije. Tada će beskonačna opća populacija biti beskonačan niz ponovljenih mjerenja dužine štapa, tako da se svako stvarno izvršeno mjerenje može smatrati elementom ove populacije. Ponekad je opća populacija konačna, ali je broj elemenata ove populacije toliko velik da se ispostavi da je zgodnije razmatrati probleme povezane s ovom populacijom kao da je beskonačna, odnosno kao da je opća populacija beskonačna. . Pretpostavimo, na primjer, da nas zanima distribucija visine svih žena od 20 i više godina koje žive u Sjedinjenim Državama. Očigledno, broj takvih pojedinaca je toliko velik da se može računati na značajna matematička pojednostavljenja ako smatramo da je opća populacija takvih pojedinaca beskonačna.

Funkcija distribucije integralne vjerovatnoće slučajne varijable

TZR-3. Funkcija distribucije integralne vjerovatnoće CB

Ovo je najuniverzalniji način postavljanja zakona o raspodjeli. Može se koristiti i za diskretni i za kontinuirani SW. Često, kada se govori o ovoj metodi, riječi ʼʼintegralʼʼ i ʼʼvjerovatnostiʼʼ se odbacuju i koristi se termin ʼʼ. funkcija distribucije CBʼʼ .

Funkcija kumulativne distribucije vjerovatnoće je vjerovatnoća da neka slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od trenutnog x:

F(x) = P(X< х) (20)

Na primjer, ako je za takav SW kao što je struja u dalekovodu, funkcija distribucije F(90) = 0,3, onda to znači da je vjerovatnoća da će struja u dalekovodu poprimiti vrijednost manju od 90 A 0,3.

Ako je za napon u mreži funkcija distribucije F(215) = 0,4, tada je 0,4 vjerovatnoća da je napon u mreži manji od 215 V.

Funkcija raspodjele vjerovatnoće mora biti specificirana analitički, tabelarno ili grafički.

Primjer 27

Prema zadatoj seriji raspodjele ocjena studenata na ispitu (tabela 8, red 1 i 2), zapisati integralnu funkciju raspodjele (tabela 8, red 3) i izgraditi njen grafik.

Tabela 8

Vrijedi reći da je za pronalaženje vrijednosti funkcije distribucije izuzetno važno koristiti njenu definiciju (20):

· za X = 2 F(2)= P(X< 2) = 0, jer na ispitu nema bodova manji od 2;

· za X= 3 F(3)= P(X< 3) \u003d P (X \u003d 2) = 0,1 jer manje od 3 je samo rezultat 2;

· za X = 4 F(4)= P(X< 4) = P( X= 2) + R(X= 3) = 0,1 + 0,5 = 0,6, jer manje od 4 postoje dvije ocjene - 2 ili 3 (dobiti ocjenu manju od 4 jednako je dobivanju ili razredi 2 ili bodova 3 i za pronalaženje F(4) možete koristiti formulu za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja);

· za X = 5 F(5)= P(X< 5) = R(X< 4) + R(X= 4) = 0,6 + 0,3 = 0,9, odnosno do F(4) dodaje se vjerovatnoća da je rezultat 4.

Analizirajući redoslijed pronalaženja vrijednosti F(x), vidimo da se vjerovatnoća najmanje vrijednosti CV prvo dodaje vjerovatnoći druge vrijednosti, zatim treće, i tako dalje. To jest, izgleda da se vjerovatnoće akumuliraju. Iz tog razloga se naziva i funkcija integralne distribucije ʼʼfunkcija kumulativnih vjerovatnoćaʼʼ.

U literaturi o statistici, funkcija kumulativnih vjerovatnoća se često naziva kumulativno.

Na osnovu tabele podataka. 8 treba nacrtati graf integralne funkcije diskretno slučajna varijabla (slika 29). Ova karakteristika je diskontinuirano. Jump fit odvojeno diskretno vrijednosti X, a visineʼʼkoraciʼʼ - prikladno vjerovatnoće. Na mjestima prekida, funkcija (slika 29) poprima vrijednosti označene tačkama, ᴛ.ᴇ. lijevo kontinuirano. Općenito, za diskretni SW možemo napisati: F(x) = P(X< х) = . (21)

Da biste razumjeli kako će izgledati graf funkcije integralne distribucije za kontinuirani CV, možete pribjeći sljedećem rezonovanju. Ako zamislimo da se broj diskretnih SW vrijednosti povećava, tada će biti više praznina, a visina stepenica će se smanjiti. U granici, kada broj mogućih vrijednosti postane beskonačan (a ovo je kontinuirani CV), graf koraka će se pretvoriti u kontinuirani (slika 30).

Zbog integralna funkcija raspodjele vjerovatnoće CB je od najveće važnosti, razmotrimo ga detaljnije svojstva:

Nekretnina 1. Ovakav način postavljanja zakona o raspodjeli univerzalni, budući da je pogodan za postavljanje zakona distribucije i za diskretne i za kontinuirane SW.

Nekretnina 2 . Pošto je funkcija integralne distribucije ϶ᴛᴏ vjerovatnoća, onda njegove vrijednosti leže na segmentu od 0 do 1.

Nekretnina 3 . funkcija distribucije bezdimenzionalni, kao i svaka vjerovatnoća.

Nekretnina 4 . Funkcija distribucije je neopadajuća funkcija, tj. veća vrijednost argumenta odgovara istoj ili većoj vrijednosti funkcije: kada x 2 > x 1 F(x 2) ≥ F(x 1).

Ovo svojstvo proizilazi iz činjenice (slika 31) da vjerovatnoća udarca u veći segment (od -∞ do x 2) ni na koji način ne smije biti manja od vjerovatnoće udara u manji segment (od -∞ do x 1).

U slučaju da na području od x 2 prije x 1(Sl. 32) ne postoje moguće SW vrijednosti (ovo je moguće za diskretni SW), tada F(x 2) = F(x 1).

Za funkciju distribucije kontinuiranog SW (Sl. 33) F(x 2) uvijek više F(x 1).

Svojstvo 4 ima dvije posljedice.

Zaključak 1

AT vjerovatnoća da će vrijednost X poprimiti vrijednost u intervalu (x 1; x 2) jednaka je razlici između vrijednosti integralne funkcije na granicama intervala:

P(x 1 ≤ X< х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

Ova posledica se može objasniti na sledeći način (slika 31):

F (x 2) \u003d P (X< х 2) –

vjerovatnoća da SW uzima vrijednosti lijevo od tačke x 2 .

F (x 1) \u003d P (X< х 1) je vjerovatnoća da SW uzima vrijednosti lijevo od tačke x 1 .

Otuda i razlika

P(X< х 2) - Р(Х < х 1) postoji mogućnost da se SW vrijednosti nalaze u području od x 1 prije x 2 (sl.34) .

Funkcija distribucije integralne vjerovatnoće slučajne varijable - pojam i tipovi. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Integralna funkcija distribucije vjerovatnoće slučajne varijable" 2017, 2018.