Gustoća distribucije zbira slučajnih varijabli. Distribucija zbira dvije slučajne nezavisne varijable. Aproksimacije za distribuciju zbira

Definicija. Slučajne varijable H 1 , H 2 , …, H n nazivaju se nezavisnim ako su za bilo koje x 1, x 2 , …, x n događaji nezavisni

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Iz definicije direktno slijedi da za nezavisne slučajne varijable X 1, X 2, …, X n funkcija distribucije n-dimenzionalna slučajna varijabla X = X 1, X 2, …, X n jednak je proizvodu funkcija distribucije slučajnih varijabli X 1, X 2, …, X n

F(x 1 , x2, …, x n) = F(x 1)F(x2)…F(x n). (1)

Hajde da razlikujemo jednakost (1) n puta po x 1 , x2, …, x n, dobijamo

str(x 1 , x2, …, x n) = str(x 1)str(x2)…str(x n). (2)

Može se dati još jedna definicija nezavisnosti slučajnih varijabli.

Ako zakon distribucije jedne slučajne varijable ne ovisi o mogućim vrijednostima koje su druge slučajne varijable uzele, tada se takve slučajne varijable u agregatu nazivaju neovisnim.

Na primjer, kupuju se dvije lutrije različitih izdanja. Neka bude X– iznos dobitka za prvi listić, Y– iznos dobitka za drugi listić. slučajne varijable X i Y- nezavisni, budući da osvajanje jednog tiketa neće uticati na zakon raspodjele drugog. Ali ako su karte istog problema, onda X i Y- zavisna.

Dvije slučajne varijable nazivaju se neovisnim ako se zakon raspodjele jedne od njih ne mijenja ovisno o mogućim vrijednostima koje je druga varijabla preuzela.

Teorema 1(konvolucije) ili "teorema o gustini sume 2 slučajne varijable".

Neka bude X = (X 1;X 2) je nezavisna kontinuirana dvodimenzionalna slučajna varijabla, Y = X 1+ X 2. Zatim gustina distribucije

Dokaz. Može se pokazati da ako , Onda

gdje X = (X 1 , X 2 , …, X n). Onda ako X = (X 1 , X 2), zatim funkciju distribucije Y = X 1 + X 2 se može definirati na sljedeći način (slika 1) –

U skladu sa definicijom, funkcija je gustina distribucije slučajne varijable Y = X 1 + X 2 , tj.

py (t) = što je trebalo dokazati.

Hajde da izvedemo formulu za pronalaženje distribucije verovatnoće sume dve nezavisne diskretne slučajne varijable.

Teorema 2. Neka bude X 1 , X 2 – nezavisne diskretne slučajne varijable,

Dokaz. Zamislite događaj Sjekira = {X 1 +X 2 = x) kao zbir nespojivih događaja

Sjekira = å( X 1 = x i ; X 2 = x– x i).

As X 1 , X 2 - onda nezavisno P(X 1 = x i ; X 2 = x– x i) = P(X 1 = x i) P(X 2 = x-x i), onda

P(Sjekira) = P(å( X 1 = x i ; X 2 = x – x i)) = å( P(X 1 = x i) P(X 2 = x-x i))

Q.E.D.

Primjer 1 Neka bude X 1 , X 2 - nezavisne slučajne varijable koje imaju normalnu distribuciju sa parametrima N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).

Nađimo gustinu distribucije njihove sume (označavamo X 1 = x, Y = X 1 +X 2)

Lako je vidjeti da je integrand gustina distribucije normalne slučajne varijable s parametrima a= , , tj. integral je 1.

Funkcija py(t) je gustina normalne distribucije sa parametrima a = 0, s = . Dakle, zbir nezavisnih normalnih slučajnih varijabli sa parametrima (0,1) ima normalnu distribuciju sa parametrima (0,), tj. Y = X 1 + X 2 ~ N(0;).

Primjer 2. Neka su tada date dvije diskretne nezavisne slučajne varijable s Poissonovom distribucijom

gdje k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Po teoremi 2 imamo:

Primjer 3 Neka bude X 1, X 2 - nezavisne slučajne varijable sa eksponencijalnom distribucijom . Nađimo gustinu Y= X 1 +X 2 .

Označiti x = x 1. Od X 1, X 2 su nezavisne slučajne varijable, tada koristimo "teorem konvolucije"

Može se pokazati da ako je zbir ( H i imaju eksponencijalnu distribuciju sa parametrom l), tada Y= ima distribuciju koja se zove Erlangova distribucija ( n- 1) nalog. Ovaj zakon je dobijen modeliranjem rada telefonskih centrala u prvim radovima na teoriji čekanja.

U matematičkoj statistici, zakoni distribucije se često koriste za slučajne varijable koje su funkcije nezavisnih normalnih slučajnih varijabli. Razmotrimo tri zakona koja se najčešće susreću u modeliranju slučajnih pojava.

Teorema 3. Ako su slučajne varijable nezavisne X 1, ..., X n, tada su funkcije ovih slučajnih varijabli također nezavisne Y 1 = f 1 (X 1), ...,Y n = f n(X n).

Pearsonova distribucija(od 2 -distribucija). Neka bude X 1, ..., X n su nezavisne normalne slučajne varijable sa parametrima a= 0, s = 1. Sastavite slučajnu varijablu

dakle,

Može se pokazati da gustina za x > 0 ima oblik , gdje je k n neki koeficijent za ispunjenje uvjeta. Kako je n ® ¥, Pirsonova raspodjela teži normalnoj raspodjeli.

Neka je H 1 , H 2 , …, Hn ~ N(a,s), tada su slučajne varijable ~ N(0,1). Prema tome, slučajna varijabla ima c 2 distribuciju sa n stupnjeva slobode.

Pirsonova raspodjela je tabelarno prikazana i koristi se u različitim primjenama matematičke statistike (na primjer, kada se testira hipoteza da je zakon distribucije konzistentan).

Donosilac odluke može koristiti osiguranje da ublaži negativan finansijski uticaj određenih vrsta slučajnih događaja.

Ali ova rasprava je vrlo opšta, budući da donosilac odluke može značiti i pojedinca koji traži zaštitu od štete na imovini, ušteđevini ili prihodu i organizaciju koja traži zaštitu od iste vrste štete.

U stvari, takva organizacija može biti osiguravajuće društvo koje traži načine da se zaštiti od finansijskih gubitaka zbog prevelikog broja osiguranih slučajeva koji su se dogodili kod pojedinačnog klijenta ili njegovog portfelja osiguranja. Ova zaštita se zove reosiguranje.

Razmotrite jedan od dva modela (naime individualni model rizika) široko se koristi u određivanju stopa i rezervi osiguranja, kao iu reosiguranju.

Označiti sa S iznos slučajnih gubitaka osiguravajućeg društva za neki dio svojih rizika. U ovom slučaju S je slučajna varijabla za koju moramo odrediti distribuciju vjerovatnoće. Istorijski gledano, za distribucije r.v. S postojala su dva seta postulata. Individualni model rizika definira S na sljedeći način:

gdje je r.v. znači gubitke uzrokovane predmetom osiguranja sa brojem ja, a n označava ukupan broj objekata osiguranja.

Obično se pretpostavlja da su to nezavisne slučajne varijable, jer su u ovom slučaju matematički proračuni jednostavniji i informacija o prirodi odnosa između njih nije potrebna. Drugi model je model kolektivnog rizika.

Razmatrani model individualnih rizika ne odražava promjene vrijednosti novca tokom vremena. Ovo je učinjeno radi pojednostavljenja modela, zbog čega se naslov članka odnosi na kratak vremenski interval.

Razmotrićemo samo zatvorene modele, tj. one u kojima je broj objekata osiguranja n u formuli (1.1) poznata je i fiksirana na samom početku razmatranog vremenskog intervala. Ako uvedemo pretpostavke o prisutnosti migracije iz ili u sistem osiguranja, onda dobijamo otvoreni model.

Slučajne varijable koje opisuju pojedinačne isplate

Prvo, podsjetimo se na glavne odredbe u vezi sa životnim osiguranjem.

U slučaju osiguranja od smrti na period od godinu dana, osiguravač se obavezuje da isplati iznos b, ako ugovarač osiguranja umre u roku od godinu dana od dana zaključenja ugovora o osiguranju, a ne plati ništa ako ugovarač živi ove godine.

Vjerovatnoća da se osigurani slučaj dogodi tokom navedene godine označava se sa .

Slučajna varijabla koja opisuje isplate osiguranja ima distribuciju koja se može specificirati bilo funkcijom vjerovatnoće

(2.1)

ili odgovarajuću funkciju distribucije

(2.2)

Iz formule (2.1) i iz definicije momenata dobijamo

(2.4)

Ove formule se mogu dobiti i pisanjem X as

gdje je konstantna vrijednost koja se plaća u slučaju smrti, a slučajna varijabla koja uzima vrijednost 1 nakon smrti i 0 u suprotnom.

Dakle, i , te srednja vrijednost i varijansa r.v. su jednake i respektivno, a srednja vrijednost i varijansa r.v. jednake su i , što se poklapa sa gornjim formulama.

Slučajna varijabla s rasponom (0,1) se široko koristi u aktuarskim modelima.

U udžbenicima iz teorije vjerovatnoće to se zove indikator, Bernoulli random vrijednost ili binomna slučajna varijabla u dizajnu jednog testa.

Pozvaćemo je indikator iz razloga sažetosti, kao i zato što ukazuje na početak ili ne početak dotičnog događaja.

Okrenimo se potrazi za općenitijim modelima u kojima je vrijednost isplate osiguranja također slučajna varijabla te se u razmatranom vremenskom intervalu može dogoditi nekoliko događaja osiguranja.

Zdravstveno osiguranje, osiguranje automobila i drugih nekretnina i osiguranje od odgovornosti odmah daju mnoge primjere. Generalizirajući formulu (2.5), postavljamo

gdje je slučajna varijabla koja opisuje isplate osiguranja u razmatranom vremenskom intervalu, r.v. označava ukupan iznos plaćanja u ovom intervalu i r.v. je indikator za slučaj da se dogodio barem jedan osigurani slučaj.

Kao indikator ovakvog događaja, r.v. popravlja prisustvo () ili nedostatak () osigurane slučajeve u ovom vremenskom intervalu, ali ne i broj osiguranih slučajeva u njemu.

Vjerovatnoća će se i dalje označavati sa .

Razmotrimo nekoliko primjera i odredimo distribuciju slučajnih varijabli iu nekom modelu.

Razmotrimo prvo osiguranje od smrti na godinu dana, uz dodatnu pogodnost ako je smrt nesrećna.

Za jasnoću, pretpostavimo da ako je smrt nastupila kao posljedica nesreće, onda će iznos isplate biti 50.000, a ako je smrt nastupila iz drugih uzroka, iznos isplate će biti 25.000.

Pretpostavimo da je za osobu određenog uzrasta, zdravstvenog stanja i profesije vjerovatnoća smrti od posljedica nesreće u toku godine 0,0005, a vjerovatnoća smrti od drugih uzroka 0,0020. U formi formule to izgleda ovako:

Zbrajajući sve moguće vrijednosti , dobijamo

,

Uslovna distribucija c. in. stanje ima oblik

Razmotrimo sada osiguranje od sudara (naknada plaćena vlasniku automobila za štetu nanesenu njegovom automobilu) sa bezuslovnom franšizom od 250 i maksimalnom isplatom od 2000.

Radi jasnoće, pretpostavljamo da je vjerovatnoća nastanka jednog osiguranog slučaja u razmatranom vremenskom periodu za pojedinca 0,15, a vjerovatnoća nastanka više od jedne kolizije jednaka nuli:

, .

Nerealna pretpostavka da se u jednom periodu ne može dogoditi više od jednog osiguranog slučaja je napravljena kako bi se pojednostavila raspodjela r.v. .

Ovu pretpostavku ćemo odbaciti u sljedećem odjeljku nakon što razmotrimo distribuciju sume nekoliko osiguranja.

S obzirom da je vrijednost isplate osiguravača, a ne šteta nanesena na automobilu, možemo uzeti u obzir dvije karakteristike, i.

Prvo, događaj uključuje one sudare u kojima je šteta manja od bezuvjetne odbitne vrijednosti, koja iznosi 250.

Drugo, distribucija r.v. imaće "ugrušak" vjerovatnoće mase na tački maksimalnog iznosa uplata osiguranja, koji je jednak 2000.

Pretpostavimo da je probabilistička masa koncentrisana u ovoj tački 0,1. Nadalje, pretpostavimo da se vrijednost isplata osiguranja u intervalu od 0 do 2000 može modelirati kontinuiranom distribucijom sa funkcijom gustine proporcionalnom (U praksi, kontinuirana kriva koja je odabrana da predstavlja raspodjelu premija rezultat je studija premija u prethodnom periodu.)

Sumirajući ove pretpostavke o uslovnoj raspodjeli r.v. pod uslovom dolazimo do distribucije mješovitog tipa koja ima pozitivnu gustinu u rasponu od 0 do 2000 i neki "ugrušak" vjerovatnoće mase u tački 2000. Ovo je ilustrovano grafikom na Sl. 2.2.1.

Funkcija distribucije ove uslovne distribucije izgleda ovako:

Sl.2.1. Funkcija distribucije r.v. B pod uslovom I = 1

Matematičko očekivanje i varijansu u razmatranom primjeru sa osiguranjem automobila izračunavamo na dva načina.

Prvo ispisujemo distribuciju r.v. i koristite ga za izračunavanje i . Označavajući kroz funkciju distribucije r.v. , imamo

Za x<0

Ovo je mješovita distribucija. Kao što je prikazano na sl. 2.2, ima i diskretni (“grud” vjerovatnoće mase u tački 2000) i kontinuirani dio. Takva funkcija distribucije odgovara kombinaciji funkcije vjerovatnoće

Rice. 2.2. Funkcija distribucije r.v. X=IB

i funkcije gustoće

Konkretno, i . Dakle .

Postoji niz formula koje povezuju trenutke slučajnih varijabli sa uslovnim matematičkim očekivanjima. Za matematičko očekivanje i za varijansu, ove formule imaju oblik

(2.10)

(2.11)

Pretpostavlja se da su izrazi na lijevoj strani ovih jednakosti izračunati direktno iz raspodjele r.v. . Prilikom izračunavanja izraza na desnoj strani, naime, i , koristi se uvjetna raspodjela r.v. na fiksnu vrijednost r.v. .

Ovi izrazi su, dakle, funkcije r.v. , a njihove momente možemo izračunati koristeći distribuciju r.v. .

Uvjetne distribucije se koriste u mnogim aktuarskim modelima i to omogućava direktnu primjenu gornjih formula. U našem modelu. S obzirom na r.v. kao i r.v. kao , dobijamo

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

i razmotriti uslovna matematička očekivanja

(2.16)

(2.17)

Formule (2.16) i (2.17) su definirane kao funkcija r.v. , koji se može napisati kao sljedeća formula:

Od tada (2.21)

Jer imamo i (2.22)

Formule (2.21) i (2.22) se mogu kombinovati: (2.23)

Dakle, (2.24)

Zamjenom (2.21), (2.20) i (2.24) u (2.12) i (2.13) dobijamo

Primijenimo dobijene formule za obračun i na primjeru osiguranja automobila (sl. 2.2). Budući da je funkcija gustoće r.v. U stanju se izražava formulom

i P(B=2000|I=1)= 0,1, imamo

Konačno, pod pretpostavkom q= 0.15, iz formula (2.25) i (2.26) dobijamo sledeće jednakosti:

Da opišemo drugu situaciju osiguranja, možemo ponuditi druge modele za r.v. .

Primjer: model za broj smrtnih slučajeva zbog zrakoplovnih nesreća

Kao primjer, razmotrite model za broj smrtnih slučajeva zbog nesreća u zrakoplovstvu tokom jednogodišnjeg perioda rada aviokompanije.

Možemo početi sa slučajnom varijablom koja opisuje broj smrtnih slučajeva za jedan let, a zatim zbrojiti ove slučajne varijable za sve letove u godini.

Za jedan let, događaj će ukazivati ​​na početak zračne nesreće. Broj smrtnih slučajeva koje je ova katastrofa izazvala bit će predstavljen umnoškom dvije slučajne varijable i , gdje je faktor opterećenja aviona, odnosno broj ljudi u avionu u trenutku pada, i udio smrtnih slučajeva među ljudima na board.

Broj umrlih je predstavljen na ovaj način, budući da su odvojene statistike za i dostupnije od statistike za r.v. . Dakle, iako su udio umrlih među osobama na brodu i broj osoba na brodu vjerovatno povezani, kao prva aproksimacija može se pretpostaviti da je r.v. i nezavisni.

Zbroji nezavisnih slučajnih varijabli

U individualnom modelu rizika, isplate osiguranja od strane osiguravajućeg društva predstavljaju se kao zbir isplata mnogim pojedincima.

Prisjetimo se dvije metode za određivanje distribucije zbira nezavisnih slučajnih varijabli. Razmotrimo prvo zbir dvije slučajne varijable, čiji je prostor uzorka prikazan na Sl. 3.1.

Rice. 2.3.1. Događaj

Linija i područje ispod ove linije predstavljaju događaj. Dakle, funkcija distribucije r.v. S ima oblik (3.1)

Za dvije diskretne nenegativne slučajne varijable možemo koristiti formulu ukupne vjerovatnoće i zapisati (3.1) kao

Ako a X i Y su nezavisni, posljednji zbir se može prepisati kao

(3.3)

Funkcija vjerovatnoće koja odgovara ovoj funkciji distribucije može se naći po formuli

(3.4)

Za kontinuirane nenegativne slučajne varijable, formule koje odgovaraju formulama (3.2), (3.3) i (3.4) imaju oblik

Kada je jedna ili obje slučajne varijable X i Y imaju distribuciju mješovitog tipa (što je tipično za pojedinačne modele rizika), formule su slične, ali glomaznije. Za slučajne varijable koje također mogu imati negativne vrijednosti, zbroji i integrali u gornjim formulama preuzimaju se preko svih vrijednosti y od do.

U teoriji vjerojatnosti, operacija u formulama (3.3) i (3.6) naziva se konvolucija dvije funkcije distribucije i označava se sa . Operacija konvolucije se također može definirati za par funkcija vjerovatnoće ili gustoće koristeći formule (3.4) i (3.7).

Da bismo odredili distribuciju zbira više od dvije slučajne varijable, možemo koristiti iteracije procesa konvolucije. Za , gdje su nezavisne slučajne varijable, označava funkciju distribucije r.v., a je funkcija distribucije r.v. , dobićemo

Primjer 3.1 ilustruje ovu proceduru za tri diskretne slučajne varijable.

Primjer 3.1. Slučajne varijable i nezavisne su i imaju distribucije definisane kolonama (1), (2) i (3) donje tabele.

Napišimo funkciju vjerovatnoće i funkciju distribucije r.v.

Odluka. Tabela koristi notaciju uvedenu prije primjera:

Kolone (1)-(3) sadrže dostupne informacije.

Kolona (4) se dobija iz kolona (1) i (2) korišćenjem (3.4).

Kolona (5) se dobija iz kolona (3) i (4) korišćenjem (3.4).

Definicija stupca (5) završava određivanje funkcije vjerovatnoće za r.v. . Njegova funkcija distribucije u koloni (8) je skup parcijalnih suma kolone (5), počevši od vrha.

Radi jasnoće, uključili smo kolonu (6), funkciju distribucije za stupac (1), stupac (7), koji se može dobiti direktno iz stupaca (1) i (6) koristeći (2.3.3) i stupac (8 ) određeno slično za kolone (3) i (7). Kolona (5) se može odrediti iz kolone (8) sukcesivnim oduzimanjem.

Okrenimo se razmatranju dva primjera s kontinuiranim slučajnim varijablama.

Primjer 3.2. Neka r.v. ima ujednačenu distribuciju na intervalu (0,2), i neka r.v. ne zavisi od r.v. i ima ujednačenu distribuciju na intervalu (0,3). Definirajmo funkciju distribucije r.v.

Odluka. Pošto su distribucije r.v. i kontinuirano, koristimo formulu (3.6):

Onda

Uzorak prostora r.v. i ilustrovan je na sl. 3.2. Pravokutna površina sadrži sve moguće vrijednosti para i . Događaj koji nas zanima, , prikazan je na slici za pet vrijednosti s.

Za svaku vrijednost, linija siječe osu Y u tački s i prava u tački. Vrijednosti funkcije za ovih pet slučajeva opisane su sljedećom formulom:

Rice. 3.2. Konvolucija dvije uniformne distribucije

Primjer 3.3. Razmotrimo tri nezavisna r.v. . Za r.v. ima eksponencijalnu distribuciju i . Nađimo funkciju gustoće r.v. primjenom operacije konvolucije.

Odluka. Imamo

Koristeći formulu (3.7) tri puta, dobijamo

Druga metoda za određivanje distribucije sume nezavisnih slučajnih varijabli zasniva se na jedinstvenosti funkcije generiranja momenta, koja za r.v. određuje se odnosom .

Ako je ovo matematičko očekivanje konačno za sve t iz nekog otvorenog intervala koji sadrži ishodište, tada je jedina generirajuća funkcija momenata raspodjele r.v. u smislu da ne postoji druga funkcija osim , koja bi bila generirajuća funkcija momenata raspodjele r.v. .

Ova jedinstvenost se može koristiti na sljedeći način: za zbir

Ako su nezavisni, onda je očekivanje proizvoda u formuli (3.8) jednako ..., dakle

Pronalaženje eksplicitnog izraza za jedinu raspodjelu koja odgovara generirajućoj funkciji momenata (3.9) završilo bi nalaženje raspodjele r.v. . Ako to nije moguće eksplicitno specificirati, onda se može tražiti numeričkim metodama.

Primjer 3.4. Razmotrimo slučajne varijable iz primjera 3.3. Definirajmo funkciju gustoće r.v. , koristeći funkciju generiranja momenata r.v. .

Odluka. Prema jednakosti (3.9), koji se može napisati kao metodom dekompozicije na proste razlomke. Rješenje je . Ali da li je generirajuća funkcija momenata eksponencijalne raspodjele s parametrom , tako da je funkcija gustoće r.v. ima oblik

Primjer 3.5. U proučavanju slučajnih procesa uvedena je inverzna Gausova raspodjela. Koristi se kao distribucija r.v. AT, iznos uplata osiguranja. Funkcija gustoće i generirajuća funkcija momenata inverzne Gausove raspodjele date su formulama

Nađimo distribuciju r.v. , gdje je r.v. su nezavisne i imaju iste inverzne Gausove distribucije.

Odluka. Koristeći formulu (3.9), dobijamo sljedeći izraz za generirajuću funkciju r.v. momenata. :

Generirajuća funkcija momenata odgovara jedinstvenoj raspodjeli, a može se vidjeti da ima inverznu Gausovu raspodjelu s parametrima i .

Aproksimacije za distribuciju zbira

Centralna granična teorema daje metodu za pronalaženje numeričkih vrijednosti za distribuciju sume nezavisnih slučajnih varijabli. Obično se ova teorema formulira za zbir nezavisnih i identično raspoređenih slučajnih varijabli, gdje je .

Za bilo koje n, raspodjela r.v. gdje je = , ima matematičko očekivanje 0 i varijansu 1. Kao što je poznato, redoslijed takvih distribucija (za n= 1, 2, ...) teži standardnoj normalnoj distribuciji. Kada n velika, ova teorema se primjenjuje za aproksimaciju distribucije r.v. normalna distribucija sa srednjom μ i disperzija. Slično, distribucija sume n slučajne varijable se aproksimiraju normalnom distribucijom sa srednjom sredinom i varijansom.

Efikasnost takve aproksimacije ne zavisi samo od broja članova, već i od bliskosti distribucije termina normalnoj. Mnogi kursevi osnovne statistike navode da n mora biti najmanje 30 da bi aproksimacija bila razumna.

Međutim, jedan od programa za generiranje normalno raspoređenih slučajnih varijabli koji se koristi u simulacijskom modeliranju implementira normalnu slučajnu varijablu kao prosjek od 12 nezavisnih slučajnih varijabli ravnomjerno raspoređenih u intervalu (0,1).

U mnogim individualnim modelima rizika, slučajne varijable uključene u sume nisu jednako raspoređene. Ovo će biti ilustrovano primjerima u sljedećem odjeljku.

Centralna granična teorema se također proširuje na nizove nejednako raspoređenih slučajnih varijabli.

Da bismo ilustrirali neke primjene individualnog modela rizika, koristit ćemo normalnu aproksimaciju distribucije sume nezavisnih slučajnih varijabli da bismo dobili numerička rješenja. Ako a , onda

i dalje, ako r.v. nezavisni, dakle

Za predmetnu aplikaciju potrebno nam je samo:

• pronaći prosjeke i varijanse slučajnih varijabli koje simuliraju pojedinačne gubitke,
• zbrojite ih da biste dobili prosjek i varijansu gubitaka osiguravajućeg društva u cjelini,
• koristite normalnu aproksimaciju.

U nastavku ćemo ilustrirati ovaj slijed radnji.

Prijave za osiguranje

Ovaj odjeljak ilustruje korištenje normalne aproksimacije sa četiri primjera.

Primjer 5.1. Društvo za životno osiguranje nudi jednogodišnji ugovor o osiguranju od smrti sa isplatama od 1 i 2 jedinice osobama čija je vjerovatnoća smrti 0,02 ili 0,01. Tabela ispod pokazuje broj osoba nk u svakom od četiri razreda formirana u skladu sa plaćanjem b k i vjerovatnoću osiguranog slučaja qk:

k	q k	b k	nk
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Osiguravajuća kuća želi da od ove grupe od 1800 pojedinaca prikupi iznos jednak 95. percentilu raspodjele ukupnih uplata osiguranja za ovu grupu. Osim toga, ona želi da udio svake osobe u tom iznosu bude proporcionalan očekivanoj isplati osiguranja te osobe.

Udio osobe sa brojem , čija je prosječna uplata jednaka , treba da bude . Iz zahtjeva 95. percentila slijedi da . Višak vrijednosti, , je premija rizika i naziva se relativna premija rizika. Hajde da izračunamo.

Odluka. Vrijednost je određena omjerom = 0,95, gdje je S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 . Ova izjava vjerovatnoće je ekvivalentna sljedećem:

U skladu sa onim što je rečeno o centralnoj graničnoj teoremi u poglav. 4, aproksimiramo raspodjelu r.v. standardnu ​​normalnu distribuciju i koristimo njen 95. percentil, od čega dobijamo:

Za četiri klase u koje se dijele osiguranici dobijamo sljedeće rezultate:

k	q k	b k	Prosjek b k q k	Varijanca b 2 k q k (1-q k)	nk
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

dakle,

Dakle, relativna premija rizika je

Primjer 5.2. Klijenti društva za osiguranje automobila dijele se u dvije klase:

Klasa	Broj u razredu	Vjerovatnoća pojave osigurani slučaj	Distribucija plaćanja osiguranja, skraćeni eksponencijalni parametri distribucija
k				L
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Skraćena eksponencijalna raspodjela definirana je funkcijom distribucije

Ovo je distribucija mješovitog tipa s funkcijom gustoće , i "grud" vjerovatnoće mase u tački L. Grafikon ove funkcije distribucije prikazan je na slici 5.1.

Rice. 5.1. Skraćena eksponencijalna distribucija

Kao i ranije, vjerovatnoća da ukupan iznos uplata osiguranja premaši iznos naplaćen od osiguranika trebala bi biti jednaka 0,05. Pretpostavićemo da relativna premija rizika treba da bude ista u svakoj od dve klase koje se razmatraju. Hajde da izračunamo.

Odluka. Ovaj primjer je vrlo sličan prethodnom. Jedina razlika je u tome što su vrijednosti isplata osiguranja sada slučajne varijable.

Prvo ćemo dobiti izraze za momente skraćene eksponencijalne distribucije. Ovo će biti pripremni korak za primjenu formula (2.25) i (2.26):

Koristeći vrijednosti parametara date u uvjetu i primjenom formula (2.25) i (2.26) dobijamo sljedeće rezultate:

k	q k	µk	σ 2 k	Prosjek q k μ k	Disperzija μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	nk
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

dakle, S, ukupan iznos uplata osiguranja, ima momente

Uslov za definiciju ostaje isti kao u primjeru 5.1, tj.

Koristeći ponovo aproksimaciju normalne distribucije, dobijamo

Primjer 5.3. Portfolio osiguravajućeg društva obuhvata 16.000 ugovora o osiguranju od smrti na period od godinu dana prema sledećoj tabeli:

Vjerovatnoća osiguranog slučaja q za svakog od 16.000 klijenata (pretpostavlja se da su ovi događaji međusobno nezavisni) je 0,02. Kompanija želi da postavi sopstvenu stopu zadržavanja. Za svakog ugovarača police, nivo sopstvenog zadržavanja je vrednost ispod koje ovo društvo (ustupilac) samostalno vrši isplate, a plaćanja koja prelaze ovu vrednost su pokrivena ugovorom o reosiguranju od strane druge kompanije (reosiguravača).

Na primjer, ako je vlastita stopa zadržavanja 200.000, tada kompanija rezerviše pokriće do 20.000 za svakog osiguranika i kupuje reosiguranje da pokrije razliku između premije i iznosa od 20.000 za svakog od 4.500 osiguranika čije premije osiguranja prelaze 20.000.

Kompanija bira kao kriterijum odluke minimiziranje verovatnoće da će potraživanja iz osiguranja ostavljena na sopstveni odbitak, plus iznos plaćen za reosiguranje, preći iznos od 8.250.000. Reosiguranje košta 0,025 po jedinici pokrića (tj. 125% od očekivanog iznosa). vrijednost uplata osiguranja po jedinici 0,02).

Smatramo da je portfolio koji se razmatra je zatvoren: novi ugovori o osiguranju sklopljeni tokom tekuće godine neće biti uzeti u obzir u opisanom procesu donošenja odluka.

Djelomično rješenje. Hajde da prvo izvršimo sve proračune, birajući 10 000 kao jedinicu isplate. Kao ilustraciju, pretpostavimo da je c. in. S je iznos plaćanja koji ostaje na vlastiti odbitak, ima sljedeći oblik:

Na ove isplate osiguranja ostavljate na vlastiti odbitak S, dodaje se iznos premije reosiguranja. Ukupno, ukupan iznos pokrića prema ovoj šemi je

Iznos koji ostaje na vlastiti odbitak jednak je

Dakle, ukupna reosigurana vrijednost je 35.000-24.000=11.000 a trošak reosiguranja je

Dakle, na nivou sopstvenog zadržavanja jednakom 2, isplate osiguranja preostale na sopstvenom zadržavanju plus troškovi reosiguranja su . Kriterijum odluke zasniva se na vjerovatnoći da će ovaj zbir premašiti 825,

Koristeći normalnu distribuciju, dobijamo da je ova vrijednost približno jednaka 0,0062.

Prosječne vrijednosti isplata osiguranja u slučaju viškova gubitaka osiguranja, kao jedne od vrsta reosiguranja, mogu se aproksimirati primjenom normalne distribucije kao distribucije ukupnih uplata osiguranja.

Neka ukupne isplate osiguranja X imaju normalnu distribuciju sa srednjom sredinom i varijansom

Primjer 5.4. Razmotrimo portfelj osiguranja, kao u primjeru 5.3. Nađimo matematičko očekivanje visine isplata osiguranja po ugovoru o osiguranju za višak nerentabilnosti, ako

(a) ne postoji individualno reosiguranje i bezuslovna franšiza je određena na 7.500.000

(b) lični odbitak od 20.000 je utvrđen za pojedinačne ugovore o osiguranju, a bezuslovna odbitna vrijednost za portfelj je 5.300.000.

Odluka.

(a) U nedostatku individualnog reosiguranja i u prelasku na 10.000 kao valutu

primjena formule (5.2) daje

što je zbir od 43.770 u originalnim jedinicama.

(b) U prikazu 5.3 dobijamo srednju vrijednost i varijansu ukupnih premija za pojedinačnu odbitnu vrijednost od 20.000 na 480 i 784, respektivno, koristeći 10.000 kao jedinicu. Dakle, =28.

primjena formule (5.2) daje

što je zbir 4140 u originalnim jedinicama.

U praksi, često postaje neophodno pronaći zakon raspodjele za zbir slučajnih varijabli.

Neka postoji sistem (X b X 2) dva kontinuirana s. in. i njihov zbir

Nađimo gustinu distribucije c. in. U. U skladu sa opštim rešenjem iz prethodnog stava nalazimo oblast ravni gde x + x 2 (slika 9.4.1):

Diferencirajući ovaj izraz s obzirom na y, dobijamo ap. slučajna varijabla Y \u003d X + X 2:

Kako je funkcija φ (x b x 2) = Xj + x 2 simetrična u odnosu na svoje argumente, onda

Ako sa. in. X i X 2 su nezavisne, tada formule (9.4.2) i (9.4.3) imaju oblik:

U slučaju kada je nezavisna c. in. x x i X 2, govoriti o sastavu zakona o distribuciji. Proizvesti kompozicija dva zakona raspodjele - to znači pronalaženje zakona raspodjele za zbir dva nezavisna c. c., distribuirano u skladu sa ovim zakonima. Simbolička notacija se koristi za označavanje sastava zakona distribucije

što je u suštini označeno formulama (9.4.4) ili (9.4.5).

Primjer 1. Razmatran je rad dva tehnička uređaja (TD). Prvo, TU radi nakon što je njegov kvar (kvar) uključen u rad TU 2. Vrijeme rada TU TU TU 2 - x x i X 2 - su nezavisni i raspoređeni prema eksponencijalnim zakonima sa parametrima A,1 i X 2 . Dakle, vrijeme Y nesmetan rad TU koji se sastoji od TU! i TU 2 će se odrediti po formuli

Potrebno je pronaći p.r. slučajna varijabla Y, tj. kompozicija dva eksponencijalna zakona sa parametrima i X 2 .

Odluka. Formulom (9.4.4) dobijamo (y > 0)

Ako postoji kompozicija dva eksponencijalna zakona sa istim parametrima (?c = X 2 = Y), tada se u izrazu (9.4.8) dobija nesigurnost tipa 0/0, proširivanjem koje dobijamo:

Upoređujući ovaj izraz sa izrazom (6.4.8), uvjerili smo se da je sastav dva identična eksponencijalna zakona (?c = X 2 = x) je Erlangov zakon drugog reda (9.4.9). Prilikom sastavljanja dva eksponencijalna zakona sa različitim parametrima x x i A-2 dobiti generalizovani Erlangov zakon drugog reda (9.4.8). ?

Zadatak 1. Zakon raspodjele razlike dva s. in. Sistem sa. in. (X i X 2) ima zajednički r.p./(x x x 2). Pronađite p.r. njihove razlike Y=X - X 2 .

Odluka. Za sistem sa in. (X b - X 2) itd. će biti / (x b - x 2), tj. razliku smo zamijenili zbirom. Stoga, a.r. slučajna varijabla U će imati oblik (vidi (9.4.2), (9.4.3)):

Ako a sa. in. X x iX 2 nezavisni, dakle

Primjer 2. Pronađite f.r. razlika dva nezavisna eksponencijalno raspoređena s. in. sa parametrima x x i X 2 .

Odluka. Prema formuli (9.4.11) dobijamo

Rice. 9.4.2 Rice. 9.4.3

Slika 9.4.2 prikazuje str. g(y). Ako uzmemo u obzir razliku dva nezavisna eksponencijalno distribuirana s. in. sa istim postavkama (A-i= X 2 = ALI,), onda g(y) \u003d / 2 - već poznato

Laplasov zakon (slika 9.4.3). ?

Primjer 3. Naći zakon raspodjele za zbir dva nezavisna c. in. X i X 2, raspoređeni prema Poissonovom zakonu sa parametrima sjekira i a 2 .

Odluka. Pronađite vjerovatnoću događaja (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Stoga, s. in. Y= X x + X 2 distribuiran prema Poissonovom zakonu sa parametrom a x2) - a x + a 2. ?

Primjer 4. Naći zakon raspodjele za zbir dva nezavisna c. in. x x i X 2, raspoređeni prema binomskim zakonima sa parametrima p x ri p 2 , str respektivno.

Odluka. Zamislite sa. in. x x kao:

gdje X 1) - indikator događaja ALI sa iskustvom:

Raspon distribucije sa. in. X,- ima oblik

Napravit ćemo sličan prikaz za s. in. X 2: gdje je X] 2) - indikator događaja ALI u y"-tom iskustvu:

dakle,

gdje je X? 1)+(2) ako je indikator događaja ALI:

Tako smo to i pokazali in. Iznos svekra (u + n 2) indikatori događaja ALI, odakle slijedi da s. in. ^raspodijeljeno prema binomskom zakonu s parametrima ( n x + n 2), str.

Imajte na umu da ako su vjerovatnoće R u različitim serijama eksperimenata su različiti, tada kao rezultat zbrajanja dva nezavisna s. c., distribuirano prema binomskim zakonima, ispada c. c., distribuiran ne prema binomskom zakonu. ?

Primjeri 3 i 4 se lako generaliziraju na proizvoljan broj pojmova. Prilikom sastavljanja Poissonovih zakona s parametrima a b a 2 , ..., a t Poissonov zakon se ponovo dobija sa parametrom a (t) \u003d a x + a 2 + ... + i t.

Prilikom sastavljanja binomnih zakona s parametrima (n r); (ja 2 , R) , (n t, p) ponovo dobijamo binomni zakon sa parametrima (“(“), R), gdje n (t) \u003d u + n 2 + ... + itd.

Dokazali smo važne osobine Poissonovog zakona i binomskog zakona: "svojstvo stabilnosti". Zakon o raspodjeli se zove održivo, ako sastav dva zakona istog tipa rezultira zakonom istog tipa (razlikuju se samo parametri ovog zakona). U pododjeljku 9.7 pokazaćemo da normalni zakon ima isto svojstvo stabilnosti.

TEMA 3
	koncept funkcije distribucije
	matematičko očekivanje i varijansu
	ujednačena (pravougaona) distribucija
	normalna (Gausova) distribucija
	Distribucija
	t- Distribucija učenika
	F- distribucija
	raspodjela zbira dvije slučajne nezavisne varijable
	primjer: raspodjela zbira dva nezavisna ravnomerno raspoređene količine
	transformacija slučajne varijable
	primjer: raspodjela harmonijskog vala sa nasumičnom fazom
	centralna granična teorema
	momenti slučajne varijable i njihova svojstva
SVRHA CIKLUSA PREDAVANJA:		PRIJAVITE POČETNE INFORMACIJE O NAJVAŽNIJIM FUNKCIJAMA DISTRIBUCIJE I NJIHOVIM SVOJstvima

FUNKCIJE DISTRIBUCIJE

Neka bude x(k) je neka slučajna varijabla. Zatim za bilo koju fiksnu vrijednost x slučajni događaj x(k) x definisan kao skup svih mogućih ishoda k takav da x(k) x. U smislu originalne mjere vjerovatnoće date na prostoru uzorka, funkcija distribucijeP(x) definirana kao vjerovatnoća dodijeljena skupu bodova k x(k) x. Imajte na umu da je skup tačaka k zadovoljavanje nejednakosti x(k) x, je podskup skupa tačaka koje zadovoljavaju nejednakost x(k) . Formalno

Očigledno je da

Ako je raspon vrijednosti slučajne varijable kontinuiran, što se pretpostavlja u nastavku, onda gustina vjerovatnoće(jednodimenzionalno) p(x) određena je diferencijalnom relacijom

(4)

dakle,

(6)

Da bi se mogli razmatrati diskretni slučajevi, potrebno je priznati prisustvo delta funkcija u sastavu gustine vjerovatnoće.

OČEKIVANA VRIJEDNOST

Neka je slučajna varijabla x(k) uzima vrijednosti iz raspona od -  do + . Zlo(inače, očekivana vrijednost ili očekivana vrijednost) x(k) izračunava se korištenjem odgovarajućeg prijelaza do granice u zbroju proizvoda vrijednosti x(k) o vjerovatnoći da se ovi događaji dese:

(8)

gdje E- matematičko očekivanje izraza u uglastim zagradama po indeksu k. Slično je definirano matematičko očekivanje realne jednovrijedne kontinuirane funkcije g(x) iz slučajne varijable x(k)

(9)

gdje p(x)- gustina vjerovatnoće slučajne varijable x(k). Konkretno, uzimanje g(x)=x, dobijamo srednji kvadrat x(k) :

(10)

Disperzijax(k) definisan kao srednji kvadrat razlike x(k) i njegovu prosječnu vrijednost,

tj. u ovom slučaju g(x)= i

A-prioritet, standardna devijacija slučajna varijabla x(k), označeno , je pozitivna vrijednost kvadratnog korijena varijanse. Standardna devijacija se mjeri u istim jedinicama kao i srednja vrijednost.

NAJVAŽNIJE FUNKCIJE DISTRIBUCIJE

JEDNIČARNA (PRAVOUGAONA) DISTRIBUCIJA.

Pretpostavimo da se eksperiment sastoji od slučajnog odabira tačke iz intervala [ a,b] , uključujući njegove krajnje tačke. U ovom primjeru, kao vrijednost slučajne varijable x(k) možete uzeti brojčanu vrijednost odabrane točke. Odgovarajuća funkcija distribucije ima oblik

Stoga je gustina vjerovatnoće data formulom

U ovom primjeru, izračunavanje srednje vrijednosti i varijanse korištenjem formula (9) i (11) daje

NORMALNA (GAUSOVA) DISTRIBUCIJA

, - aritmetička sredina, - RMS.

Vrijednost z koja odgovara vjerovatnoći P(z)=1-, tj.

CHI - KVADRATNA DISTRIBUCIJA

Neka bude - n nezavisnih slučajnih varijabli, od kojih svaka ima normalnu distribuciju sa nultom srednjom i jediničnom varijansom.

Hi-kvadrat slučajne varijable sa n stepeni slobode.

gustina vjerovatnoće .

DF: 100 - procentni poeni - raspodjele se označavaju sa , tj.

srednja vrijednost i varijansa su jednake

t - DISTRIBUCIJE STUDENATA

y, z su nezavisne slučajne varijable; y - ima - distribuciju, z - normalno raspoređeno sa nultom srednjom i jediničnom varijansom.

vrijednost - ima t- Studentova distribucija sa n stepena slobode

DF: 100 - postotni poen t - distribucija je naznačena

Srednja vrijednost i varijansa su jednake

F - DISTRIBUCIJA

Nezavisne slučajne varijable; ima - raspodjelu sa stupnjevima slobode; distribucija sa stepenima slobode. Slučajna vrijednost:

,

F je distribuirana slučajna varijabla sa i stupnjevima slobode.

,

DF: 100 - procentni poen:

Srednja vrijednost i varijansa su jednake:

DISTRIBUCIJA IZNOSA

DVIJE SLUČAJNE VARIJABLE

Neka bude x(k) i y(k) su slučajne varijable koje imaju zajedničku gustinu vjerovatnoće p(x,y). Pronađite gustinu vjerovatnoće zbira slučajnih varijabli

Na fiksni x imamo y=z–x. Dakle

Na fiksni z vrijednosti x pokrenite interval od – do +. Dakle

(37)

odakle se može vidjeti da se za izračunavanje željene gustine sume mora znati originalna zajednička gustina vjerovatnoće. Ako a x(k) i y(k) su nezavisne slučajne varijable koje imaju gustine i, respektivno, tada i

(38)

PRIMJER: ZBIR DVIJE NEZAVISNE, UNIFORMNO RASPOREĐENE SLUČAJNE VARIJABLE.

Neka dvije slučajne nezavisne varijable imaju gustinu oblika

U drugim slučajevima Nađimo gustinu vjerovatnoće p(z) njihove sume z= x+ y.

Gustoća vjerovatnoće za tj. za dakle, x manje od z. Osim toga, nije jednako nuli za Formulom (38), nalazimo da

ilustracija:

Gustoća vjerovatnoće zbira dvije nezavisne, ravnomjerno raspoređene slučajne varijable.

RANDOM CONVERSION

VRIJEDNOSTI

Neka bude x(t)- slučajna varijabla sa gustinom vjerovatnoće p(x), pusti to g(x) je jednoznačna realna kontinuirana funkcija od x. Razmotrimo prvo slučaj kada je inverzna funkcija x(g) je također jednoznačna kontinuirana funkcija od g. Gustoća vjerovatnoće p(g), odgovara slučajnoj varijabli g(x(k)) = g(k), može se odrediti iz gustine vjerovatnoće p(x) slučajna varijabla x(k) i derivat dg/dx pod pretpostavkom da izvod postoji i da je različit od nule, naime:

(12)

Dakle, u granicama dg/dx#0

(13)

Koristeći ovu formulu, slijedi na desnoj strani umjesto varijable x zamijeniti odgovarajuću vrijednost g.

Razmotrimo sada slučaj kada je inverzna funkcija x(g) važi n-vrijedna funkcija od g, gdje n je cijeli broj i svih n vrijednosti su jednako vjerojatne. Onda

(14)

PRIMJER:

DISTRIBUCIJA HARMONIČKE FUNKCIJE.

Harmonična funkcija sa fiksnom amplitudom X i frekvencija fće biti slučajna varijabla ako je njegov početni fazni ugao  =  (k)- slučajna vrijednost. Konkretno, neka t fiksni i jednaki t o, i neka harmonijska slučajna varijabla ima oblik

Pretvarajmo se to  (k) ima ujednačenu gustinu vjerovatnoće p( ) vrsta

Pronađite gustinu vjerovatnoće p(x) slučajna varijabla x(k).

U ovom primjeru, direktna funkcija x( ) nedvosmisleno, i inverzna funkcija  (x) dvosmisleno.

Upotrijebimo gornju opštu metodu da riješimo jedan problem, odnosno da pronađemo zakon raspodjele za zbir dvije slučajne varijable. Postoji sistem od dvije slučajne varijable (X,Y) sa gustinom raspodjele f(x,y). Razmotrimo zbir slučajnih varijabli X i Y: i pronađemo zakon raspodjele vrijednosti Z. Da bismo to učinili, konstruiramo pravu na ravni xOy, čija je jednačina (slika 7). Ovo je prava linija koja odsijeca segmente jednake z na osi. Prava linija dijeli xy ravan na dva dijela; desno i iznad nje; lijevo i ispod.

Region D u ovom slučaju je donji lijevi dio ravni xOy, zasjenjen na Sl. 7. Prema formuli (16) imamo:

Diferencirajući ovaj izraz u odnosu na varijablu z uključenu u gornju granicu unutrašnjeg integrala, dobijamo:

Ovo je opća formula za gustinu distribucije zbira dvije slučajne varijable.

Iz razloga simetrije problema u odnosu na X i Y, možemo napisati drugu verziju iste formule:

što je ekvivalentno prvom i može se koristiti umjesto njega.

Primjer sastava normalnih zakona. Razmotrimo dvije nezavisne slučajne varijable X i Y, podložne normalnim zakonima:

Potrebno je napraviti kompoziciju ovih zakona, tj. pronaći zakon raspodjele veličine: .

Primjenjujemo opću formulu za sastav zakona distribucije:

Ako otvorimo zagrade u eksponentu integranda i donesemo slične članove, dobićemo:

Zamjena ovih izraza u formulu na koju smo se već susreli

nakon transformacije dobijamo:

a ovo nije ništa drugo nego normalan zakon sa disperzijskim centrom

i standardnu ​​devijaciju

Do istog zaključka se može mnogo lakše doći uz pomoć sljedećeg kvalitativnog rezonovanja.

Ne otvarajući zagrade i ne praveći transformacije u integrandu (17), odmah dolazimo do zaključka da je eksponent kvadratni trinom u odnosu na x oblika

gdje vrijednost z uopće nije uključena u koeficijent A, koeficijent B je uključen u prvi stepen, a koeficijent C je na kvadrat. Imajući to na umu i primjenom formule (18), zaključujemo da je g(z) eksponencijalna funkcija čiji je eksponent kvadratni trinom u odnosu na z, i gustinu raspodjele; ove vrste odgovara normalnom zakonu. Dakle, mi; dolazimo do čisto kvalitativnog zaključka: zakon raspodjele z mora biti normalan. Da bismo pronašli parametre ovog zakona - i - koristimo teoremu sabiranja matematičkih očekivanja i teoremu sabiranja varijansi. Po teoremu sabiranja matematičkih očekivanja. Po teoremu o dodavanju disperzije, ili odakle slijedi formula (20).

Prelazeći od srednjeg kvadrata odstupanja do vjerovatnih odstupanja proporcionalnih njima, dobićemo: .

Dakle, došli smo do sljedećeg pravila: kada se sastave normalni zakoni, opet se dobije normalni zakon, a matematička očekivanja i varijanse (ili kvadrat vjerovatnih odstupanja) se sumiraju.

Pravilo kompozicije za normalne zakone može se generalizirati na slučaj proizvoljnog broja nezavisnih slučajnih varijabli.

Ako postoji n nezavisnih slučajnih varijabli: podliježe normalnim zakonima sa centrima raspršenja i standardnim devijacijama, tada vrijednost također podliježe normalnom zakonu s parametrima

Umjesto formule (22), može se koristiti ekvivalentna formula:

Ako je sistem slučajnih varijabli (X, Y) distribuiran prema normalnom zakonu, ali su veličine X, Y zavisne, onda je lako dokazati, kao i ranije, na osnovu opšte formule (6.3.1), da je zakon raspodjele količine također normalan zakon. Centri raspršenja se i dalje sabiraju algebarski, ali za standardne devijacije pravilo postaje komplikovanije: , gdje je r koeficijent korelacije X i Y vrijednosti.

Kada se doda nekoliko zavisnih slučajnih varijabli koje se u svojoj cjelini povinuju normalnom zakonu, zakon raspodjele sume također se ispostavlja normalnim s parametrima

ili verovatna odstupanja

gdje je koeficijent korelacije veličina X i , X j , a sumiranje se proteže na sve različite kombinacije veličina u paru.

Videli smo veoma važno svojstvo normalnog zakona: kada se normalni zakoni kombinuju, opet se dobija normalan zakon. Ovo je takozvano "svojstvo stabilnosti". Za zakon raspodjele se kaže da je stabilan ako se sastavljanjem dva zakona ovog tipa ponovo dobije zakon istog tipa. Gore smo pokazali da je normalni zakon stabilan. Vrlo mali broj zakona o distribuciji ima svojstvo stabilnosti. Zakon uniformne gustine je nestabilan: kada smo sastavljali dva zakona uniformne gustine u delovima od 0 do 1, dobili smo Simpsonov zakon.

Stabilnost normalnog zakona jedan je od bitnih uslova za njegovu široku primjenu u praksi. Međutim, svojstvo stabilnosti, pored normalnog, posjeduju i neki drugi zakoni raspodjele. Karakteristika normalnog zakona je da kada se sastavi dovoljno veliki broj praktično proizvoljnih zakona raspodjele, ukupni zakon se ispostavlja proizvoljno blizak normalnom, bez obzira na to kakvi su bili zakoni raspodjele pojmova. Ovo se može ilustrovati, na primjer, sastavljanjem kompozicije od tri zakona ujednačene gustine u dijelovima od 0 do 1. Rezultirajući zakon raspodjele g(z) prikazan je na sl. 8. Kao što se vidi iz crteža, grafik funkcije g (z) je vrlo sličan grafu normalnog zakona.