Matematik profili düzeyinde KULLANIM

Çalışma 19 görevden oluşmaktadır.
Bölüm 1:
Temel karmaşıklık seviyesinin kısa bir cevabı olan 8 görev.
Bölüm 2:
Kısa cevaplı 4 görev
Yüksek düzeyde karmaşıklığın ayrıntılı bir cevabı olan 7 görev.

Çalışma süresi - 3 saat 55 dakika.

KULLANIM atamalarına örnekler

Matematikte KULLANIM görevlerini çözme.

Bağımsız bir çözüm için:

1 kilovat saat elektrik 1 ruble 80 kopek maliyeti.
1 Kasım'daki elektrik sayacı 12625 kilovat saat, 1 Aralık'ta ise 12802 kilovat saat gösterdi.
Kasım ayında elektrik için ne kadar ödemeniz gerekiyor?
Cevabınızı ruble olarak verin.

Çözümle ilgili sorun:

ABC tabanına sahip düzenli bir üçgen ABCS piramidinde, kenarlar bilinir: AB \u003d 3'ten 5 kök, SC \u003d 13.
AS ve BC kenarlarının orta noktasından geçen doğru ile taban düzleminin oluşturduğu açıyı bulunuz.

Karar:

1. SABC düzgün bir piramit olduğundan, ABC bir eşkenar üçgendir ve kalan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir.
Yani, tabanın tüm kenarları 5 sqrt(3) ve tüm yan kenarlar 13'tür.

2. D BC'nin orta noktası, E AS'nin orta noktası, SH S noktasından piramidin tabanına olan yükseklik, EP E noktasından piramidin tabanına olan yükseklik olsun.

3. Pisagor teoremini kullanarak CAD dik üçgeninden AD'yi bulun. 15/2 = 7.5 elde edersiniz.

4. Piramit düzgün olduğundan, H noktası ABC üçgeninin yüksekliklerin / medyanların / açıortaylarının kesişme noktasıdır, yani AD'yi 2: 1 (AH = 2 AD) oranında böler.

5. ASH dik üçgeninden SH'yi bulun. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, Pisagor teoremi SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. AEP ve ASH üçgenlerinin her ikisi de dik açılıdır ve ortak bir A açısına sahiptir, dolayısıyla benzerdir. Varsayımla, AE = AS/2, dolayısıyla hem AP = AH/2 hem de EP = SH/2.

7. Sağ üçgen EDP'yi düşünmeye devam ediyor (sadece EDP açısıyla ilgileniyoruz).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Açı tanjantı EDP = EP/DP = 6/5,
EDP ​​açısı = yaytg(6/5)

Cevap:

2019'u bir çözümle matematik görev 17'de KULLANIN

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı 2019'un demo versiyonu

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı 2019 pdf formatında Temel seviye | Profil seviyesi

Matematikte sınava hazırlanma görevleri: cevaplar ve çözümlerle temel ve profil seviyesi.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavının profil seviyesinin 17 görevi finansla ilgili bir görevdir, yani bu görev faiz, borçların bir kısmı vb. İçin olabilir. Zorluk, faiz veya uzun bir süre boyunca parçalanır, bu nedenle bu görev, yüzdelerle standart problemlerin doğrudan analojisi değildir. Genelden bahsetmemek için doğrudan tipik bir görevin analizine geçelim.

17 No'lu ödevler için tipik seçeneklerin analizi, profil düzeyinde matematikte KULLANIM

Görevin ilk versiyonu (demo versiyonu 2018)

İade şartları ise şöyle:

• Her ayın 1'inde, borç bir önceki ayın sonuna göre yüzde r artar, burada r bir tam sayıdır;
• her ayın 2'sinden 14'üne kadar borcun bir kısmı ödenmelidir;
• Her ayın 15'inde aşağıdaki tabloya göre borcun belirli bir tutarda olması gerekir.

Toplam ödeme tutarının 1,2 milyon ruble'den az olacağı en büyük r değerini bulun.

Çözüm algoritması:

1. Kredinin ödeme tutarının aylık olarak ne olduğunu düşünüyoruz.
2. Her ay için borcu belirliyoruz.
3. Gerekli yüzdeyi bulun.
4. Tüm dönem için ödeme tutarını belirleriz.
5. Borç ödemelerinin yüzde r'sini hesaplıyoruz.
6. Cevabı yazıyoruz.

Karar:

1. Duruma göre bankaya olan borcun aylık olarak aşağıdaki sırayla azalması gerekir:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. k = 1 + r / 100 olsun, o zaman her ay borç:

k; 0.6k; 0.4k; 0.3k; 0.2k; 0.1k.

3. Yani, 2'den 14'e kadar olan ödemeler:

k - 0.6; 0.6k - 0.4; 0,4k - 0,3; 0,3k - 0,2; 0.2k - 0.1; 0.1 bin

4. Toplam ödeme tutarı şuna eşittir:

Koşul olarak, tüm ödeme tutarı 1,2 milyon ruble'den azdır, bu nedenle,

Ortaya çıkan eşitsizliğin en büyük tamsayı çözümü 7'dir. O zaman gerekli olan - 7'dir.

İkinci seçenek (Yaschenko'dan, No. 1)

Temmuz 2020'de bir bankadan 300.000 ruble tutarında kredi alınması planlanmaktadır. İade şartları ise şöyle:

• her Ocak ayında borç, bir önceki yılın sonuna göre % r artar;
• Her yılın Şubat ayından Haziran ayına kadar borcun bir kısmı tek seferde ödenmelidir.

Kredinin iki yıl içinde tamamen geri ödeneceği ve ilk yılda 160.000 ruble ve ikinci yılda - 240.000 ruble ödeneceği biliniyorsa r'yi bulun.

Problemi çözmek için algoritma:

1. Borç miktarını belirleyin.
2. İlk taksitten sonra borç miktarını hesaplıyoruz.
3. İkinci taksitten sonra borç miktarını bulma
4. Gerekli yüzdeyi bulun.
5. Cevabı yazıyoruz.

Karar:

1. 300.000 ruble ödünç alındı. Duruma göre geri ödenecek borç miktarı %r yani kat artar. Borcunu ödemek için bankaya 300.000∙k vermen gerekiyor.

2. 160.000 rubleye eşit bir ödeme yaptıktan sonra. Borç bakiyesi ise

Bugün standart logaritmalardan, integrallerden, trigonometriden vb. biraz uzaklaşacağız ve birlikte, geri Rus kaynak tabanlı ekonomimizle doğrudan ilgili olan matematikte Birleşik Devlet Sınavından daha hayati bir görevi ele alacağız. Kesin olmak gerekirse, mevduat, faiz ve kredi sorununu ele alacağız. Çünkü matematikte birleşik durum sınavının ikinci bölümüne son zamanlarda eklenen yüzdeli görevlerdir. Birleşik Devlet Sınavının özelliklerine göre, bu sorunu çözmek için hemen bir rezervasyon yapacağım, aynı anda üç ana nokta sunuluyor, yani sınav görevlileri bu görevi en zorlarından biri olarak görüyorlar.

Aynı zamanda, matematikteki Birleşik Devlet Sınavından bu görevlerden herhangi birini çözmek için, her biri herhangi bir okul mezunu için oldukça erişilebilir olan sadece iki formül bilmeniz gerekir, ancak anlamadığım nedenlerden dolayı bu formüller hem okul öğretmenleri hem de sınava hazırlık için çeşitli görevlerin derleyicileri tarafından tamamen göz ardı edilir. Bu nedenle bugün size sadece bu formüllerin ne olduğunu ve nasıl uygulanacağını anlatmakla kalmayacağım, bu formüllerin her birini matematikte açık USE bankasından görevleri temel alarak kelimenin tam anlamıyla gözünüzün önünden türeteceğim.

Bu nedenle, ders oldukça hacimli, oldukça anlamlı çıktı, bu yüzden kendinizi rahat ettirin ve başlayalım.

Bankaya para koymak

Her şeyden önce, bu sorunu çözmek için kullanacağımız formülleri alacağımız finans, bankalar, krediler ve mevduat ile ilgili küçük bir lirik arasöz yapmak istiyorum. Öyleyse, sınavlardan, yaklaşan okul sorunlarından biraz uzaklaşalım ve geleceğe bakalım.

Diyelim ki büyüdünüz ve bir daire satın alacaksınız. Diyelim ki varoşlarda kötü bir daire değil, 20 milyon ruble için kaliteli bir daire alacaksınız. Aynı zamanda, az çok normal bir işiniz olduğunu ve ayda 300 bin ruble kazandığınızı da varsayalım. Bu durumda, yıl için yaklaşık üç milyon ruble tasarruf edebilirsiniz. Tabii ki, ayda 300 bin ruble kazanarak, yıl için biraz daha büyük bir miktar - 3.600.000 - alacaksınız, ancak bu 600.000'in yiyecek, giysi ve diğer günlük ev eğlencelerine harcanmasına izin verin. Toplam girdi verileri aşağıdaki gibidir: Elimizde yılda sadece üç milyon ruble varken yirmi milyon ruble kazanmamız gerekiyor. Doğal bir soru ortaya çıkıyor: Aynı yirmi milyonu elde etmek için üç milyonu kaç yıl ayırmamız gerekiyor. Temel olarak kabul edilir:

\[\frac(20)(3)=6,....\to 7\]

Ancak, daha önce de belirttiğimiz gibi, ayda 300 bin ruble kazanıyorsunuz, bu da akıllı insanlar olduğunuz ve "yastığın altından" para biriktirmeyeceğiniz, bankaya götüreceğiniz anlamına geliyor. Ve bu nedenle, bankaya getirdiğiniz mevduatlara yıllık olarak faiz uygulanacaktır. Diyelim ki güvenilir, ancak aynı zamanda az ya da çok karlı bir banka seçtiniz ve bu nedenle mevduatınız yılda %15 oranında artacak. Yani hesaplarınızdaki tutarın her yıl 1,15 kat artacağını söyleyebiliriz. Formülü hatırlatayım:

Her yıl sonunda hesaplarınızda ne kadar para olacağını hesaplayalım:

İlk yıl, para biriktirmeye yeni başladığınızda, faiz birikmeyecek, yani yılın sonunda üç milyon ruble tasarruf edeceksiniz:

İkinci yılın sonunda, birinci yıldan kalan üç milyon ruble için zaten faiz tahakkuk ettirilecektir, yani. 1.15 ile çarpmamız gerekiyor. Ancak, ikinci yıl boyunca, üç milyon ruble daha bildirdiniz. Tabii ki, bu üç milyon henüz faiz tahakkuk etmemişti, çünkü ikinci yılın sonunda bu üç milyon sadece hesapta görünmüştü:

Yani üçüncü yıl. Üçüncü yılın sonunda bu tutara faiz tahakkuk ettirilecektir, yani bu tutarın tamamının 1,15 ile çarpılması gerekmektedir. Ve yine, yıl boyunca çok çalıştınız ve üç milyon ruble ayırdınız:

\[\sol(3m\cdot 1.15+3m \sağ)\cdot 1.15+3m\]

Bir dördüncü yıl daha hesaplayalım. Yine üçüncü yılın sonunda elimizdeki miktarın tamamı 1,15 ile çarpılır, yani. Tutarın tamamına faiz uygulanacaktır. Buna faize faiz de dahildir. Ve bu miktara üç milyon daha eklendi, çünkü dördüncü yıl boyunca siz de çalıştınız ve ayrıca para biriktirdiniz:

\[\sol(\sol(3m\cdot 1.15+3m \sağ)\cdot 1.15+3m \sağ)\cdot 1.15+3m\]

Şimdi parantezleri açalım ve dördüncü tasarruf yılının sonunda ne kadar paramız olacağını görelim:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \sağ)\cdot 1,15+3m \sağ)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \sağ)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\sol(((1,15)^(3))+((1) ,15)^(2))+1,15+1 \sağ)= \\& =3m\sol(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \sağ) \\\son(hizalama)\]

Gördüğünüz gibi, parantez içinde geometrik bir ilerlemenin öğelerine sahibiz, yani. bir geometrik ilerlemenin öğelerinin toplamına sahibiz.

Geometrik ilerleme $(b)_(1))$ öğesi ve ayrıca $q$ paydası tarafından verilirse, öğelerin toplamının aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanacağını hatırlatmama izin verin:

Bu formül bilinmeli ve açıkça uygulanmalıdır.

Lütfen dikkat: formül n th öğesi şöyle ses çıkarır:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Bu derece nedeniyle, birçok öğrencinin kafası karışır. Toplamda, biz sadece n toplam için n- elemanlar ve n-th elemanı $n-1$ derecesine sahiptir. Başka bir deyişle, şimdi bir geometrik ilerlemenin toplamını hesaplamaya çalışırsak, aşağıdakileri dikkate almamız gerekir:

\[\begin(hizalama)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(hizalama)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Payı ayrı ayrı hesaplayalım:

\[((1,15)^(4))=((\sol(((1,15)^(2)) \sağ))^(2))=(((\sol(1.325) \sağ) ))^(2))=1.74900625\yaklaşık 1.75\]

Toplamda, geometrik ilerlemenin toplamına dönersek, şunu elde ederiz:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Sonuç olarak, dört yıllık birikimde, başlangıçtaki miktarımız, sanki bankaya para yatırmamışız gibi dört katına değil, beş katına, yani on beş milyona ulaşacak. Ayrı ayrı yazalım:

4 yıl → 5 kez

İleriye baktığımda, dört yıl değil, beş yıl biriktirmiş olsaydık, sonuç olarak tasarruf miktarımız 6,7 kat artardı diyeceğim:

5 yıl → 6,7 kez

Başka bir deyişle, beşinci yılın sonunda, hesabımızda aşağıdaki tutar olacaktır:

Yani, mevduat faizini hesaba katarak, beşinci tasarruf yılının sonunda, yirmi milyon rublenin üzerinde almış olacaktık. Böylece banka faizinden toplam tasarruf hesabı yaklaşık yedi yıldan beş yıla, yani neredeyse iki yıla düşecektir.

Böylece, banka mevduatlarımıza oldukça düşük bir faiz (%15) uygulamamıza rağmen, beş yıl sonra bu aynı %15, yıllık kazancımızı önemli ölçüde aşan bir artış sağlıyor. Aynı zamanda, ana çarpan etkisi son yıllarda ve hatta daha ziyade tasarrufların son yılında ortaya çıkmaktadır.

Bütün bunları neden yazdım? Tabii ki, sizi bankaya para taşımaya kışkırtmamak için. Çünkü tasarruflarınızı gerçekten artırmak istiyorsanız, onları bir bankaya değil, aynı yüzdelerin, yani. Rus ekonomisi koşullarında karlılığın nadiren% 30'un altına düştüğü gerçek bir işletmeye yatırmanız gerekir. iki kez. kadar banka mevduatı.

Ancak tüm bu akıl yürütmede gerçekten yararlı olan şey, mevduatın nihai tutarını yıllık ödemelerin yanı sıra bankanın uyguladığı faiz yoluyla bulmamızı sağlayan bir formüldür. Öyleyse yazalım:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Kendi başına %, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bu formülün de bilinmesi gerekir, ayrıca katkı tutarının temel formülü de bilinmelidir. Ve sırayla, ana formül, katkıyı hesaplamak için gerekli olan yüzdelerle bu problemlerdeki hesaplamaları önemli ölçüde azaltabilir.

Tablolar yerine formüller neden kullanılır?

Birçoğunun muhtemelen bir sorusu olacaktır, tüm bu zorluklar neden birçok ders kitabında olduğu gibi her yılı bir tablete yazmak, her yılı ayrı ayrı hesaplamak ve ardından toplam katkı miktarını hesaplamak mümkün müdür? Elbette, genellikle bir geometrik ilerlemenin toplamını unutabilir ve klasik tabletleri kullanarak her şeyi sayabilirsiniz - bu, çoğu koleksiyonda sınava hazırlanmak için yapılır. Bununla birlikte, ilk olarak, hesaplamaların hacmi keskin bir şekilde artar ve ikincisi, sonuç olarak hata yapma olasılığı artar.

Ve genel olarak, bu harika formül yerine masa kullanmak, bir şantiyede yakınlarda duran ve tam olarak çalışan bir ekskavatör kullanmak yerine ellerinizle hendek kazmakla aynıdır.

Peki, ya da çarpım tablosunu kullanmadan beşi onla çarpmakla aynı şey, ancak arka arkaya on kez beşi kendisine eklemek. Ancak, zaten konuyu dağıttım, bu yüzden en önemli fikri bir kez daha tekrarlayacağım: hesaplamaları basitleştirmenin ve kısaltmanın bir yolu varsa, o zaman bu, kullanım şeklidir.

Kredi faizi

Mevduatı çözdük, bu yüzden bir sonraki konuya, yani kredi faizine geçiyoruz.

Böylece, para biriktirirken, bütçenizi dikkatlice planlarken, gelecekteki dairenizi, sınıf arkadaşınızı ve şimdi basit bir işsiz insanı düşünerek bugün için yaşamaya karar verdi ve sadece bir kredi aldı. Aynı zamanda, yine de sizinle alay edip gülecek, derler ki, kredili bir telefonu ve kullanılmış bir arabası var, kredili ve siz hala metroya biniyorsunuz ve eski bir tuşlu telefon kullanıyorsunuz. Tabii ki, tüm bu ucuz "gösteriler" için eski sınıf arkadaşınızın çok pahalıya ödemesi gerekecek. Ne kadar pahalı - şu anda hesaplayacağımız şey bu.

İlk olarak, kısa bir giriş. Diyelim ki eski sınıf arkadaşınız krediyle iki milyon ruble aldı. Aynı zamanda, sözleşmeye göre, ayda x ruble ödemesi gerekiyor. Diyelim ki mevcut koşullarda oldukça iyi görünen yıllık %20 oranında kredi aldı. Ayrıca, kredi vadesinin sadece üç ay olduğunu varsayalım. Tüm bu miktarları tek bir formülde birleştirmeye çalışalım.

Yani, en başta, eski sınıf arkadaşınız bankadan ayrılır ayrılmaz cebinde iki milyonu var ve bu onun borcu. Aynı zamanda, ne bir yıl ne de bir ay geçti, ancak bu sadece başlangıç:

Ardından, bir ay sonra, borçlu olunan miktara faiz tahakkuk ettirilir. Zaten bildiğimiz gibi, faizi hesaplamak için, orijinal borcu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanan bir katsayı ile çarpmak yeterlidir:

Bizim durumumuzda yıllık %20 oranından bahsediyoruz, yani şunu yazabiliriz:

Bu, yıllık olarak tahsil edilecek tutarın oranıdır. Ancak sınıf arkadaşımız çok zeki değil ve sözleşmeyi okumadı ve aslında ona yılda %20 değil, ayda %20 kredi verildi. Ve birinci ayın sonunda bu tutara faiz tahakkuk ettirilecek ve 1,2 kat artacaktır. Bundan hemen sonra, kişinin kararlaştırılan tutarı, yani ayda x ruble ödemesi gerekecektir:

\[\sol(2m\cdot 1,2-x\sağ)\cdot 1,2-x\]

Ve yine oğlumuz $x$ ruble tutarında bir ödeme yapıyor.

Ardından, üçüncü ayın sonunda borcunun miktarı tekrar %20 oranında artar:

\[\sol(\sol(2m\cdot 1,2- x\sağ)\cdot 1,2- x\sağ)1,2- x\]

Ve üç aylık şarta göre tam ödemesi, yani son üçüncü ödemesini yaptıktan sonra borcunun sıfıra eşit olması gerekir. Bu denklemi yazabiliriz:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\sağ)\cdot 1,2- x\sağ)1,2 - x=0\]

Karar verelim:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\sağ)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \sağ) \\\end(hizalama)\]

Önümüzde yine bir geometrik dizi, daha doğrusu geometrik bir dizilimin üç öğesinin toplamı var. Öğelerin artan sırasına göre yeniden yazalım:

Şimdi bir geometrik ilerlemenin üç elemanının toplamını bulmamız gerekiyor. Hadi yaz:

\[\begin(hizalama)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(hizalama)\]

Şimdi geometrik ilerlemenin toplamını bulalım:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

$\left(((b)_(1));q \right)$ gibi parametrelerle bir geometrik ilerlemenin toplamının aşağıdaki formülle hesaplandığı hatırlanmalıdır:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Az önce kullandığımız formül bu. Bu formülü ifademizde değiştirin:

Daha fazla hesaplama için, $((1,2)^(3))$'ın neye eşit olduğunu bulmamız gerekiyor. Ne yazık ki bu durumda artık son kez olduğu gibi çift kare şeklinde boyama yapamıyoruz ama şu şekilde hesaplayabiliriz:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(hizalama)\]

İfademizi yeniden yazıyoruz:

Bu klasik bir lineer ifadedir. Bir sonraki formüle geri dönelim:

Aslında genelleştirirsek faiz, kredi, ödeme ve vadeleri birbirine bağlayan bir formül elde ederiz. Formül şöyle gider:

İşte, ikinci bölümde matematikte Birleşik Devlet Sınavından tüm ekonomik görevlerin en az% 80'inin dikkate alındığı günümüzün video dersinin en önemli formülü.

Çoğu zaman, gerçek görevlerde, sizden bir ödeme veya biraz daha az sıklıkla bir kredi için, yani sınıf arkadaşımızın ödemelerin en başında sahip olduğu toplam borç miktarı istenecektir. Daha karmaşık görevlerde, bir yüzde bulmanız istenecek, ancak ayrı bir video derste analiz edeceğimiz çok karmaşık görevler için, verilen kredi ve ödeme parametreleriyle, hangi zaman dilimini bulmanız istenecek: işsiz sınıf arkadaşımız bankanın borcunu tamamen ödeyebilecek.

Belki şimdi birileri benim kredilerin, finansın ve genel olarak bankacılık sisteminin şiddetli bir rakibi olduğumu düşünecektir. Yani, öyle bir şey yok! Aksine, kredi araçlarının ekonomimiz için çok faydalı ve gerekli olduğuna inanıyorum, ancak sadece iş geliştirme için kredi alınması şartıyla. Aşırı durumlarda, bir ev satın almak, yani ipotek veya acil tıbbi tedavi için kredi alabilirsiniz - hepsi bu, kredi almak için başka neden yok. Ve "gösteri" satın almak için kredi alan ve aynı zamanda sonunda sonuçlarını hiç düşünmeyen ve ekonomimizdeki krizlerin ve sorunların nedeni haline gelen her türlü işsiz insan.

Bugünkü dersin konusuna dönersek, kredileri, ödemeleri ve faizi birbirine bağlayan bu formülün yanı sıra geometrik ilerleme miktarını da bilmenin gerekli olduğunu belirtmek isterim. Bu formüllerin yardımıyla, matematikteki Birleşik Devlet Sınavından elde edilen gerçek ekonomik problemler çözülür. Pekala, şimdi tüm bunları çok iyi bildiğinize göre, bir kredinin ne olduğunu ve neden almamanız gerektiğini anladığınıza göre, Birleşik Devlet Sınavından matematikte gerçek ekonomik sorunları çözmeye geçelim.

Matematikte sınavdan gerçek problemleri çözüyoruz

Örnek 1

Yani ilk görev:

31 Aralık 2014'te Alexei bankadan yılda %10 oranında 9.282.000 ruble kredi aldı. Kredi geri ödeme planı aşağıdaki gibidir: gelecek yılın 31 Aralık'ında, banka borcun kalan miktarına faiz tahakkuk ettirir (yani borcu% 10 artırır), ardından Alexey bankaya X ruble aktarır. Alexey'nin borcu dört eşit ödemede (yani dört yıl boyunca) ödemesi için X miktarı ne olmalıdır?

Yani, bu bir kredi ile ilgili bir problem, bu yüzden hemen formülümüzü yazıyoruz:

Krediyi biliyoruz - 9.282.000 ruble.

Şimdi yüzdelerle ilgileneceğiz. Sorunun %10'undan bahsediyoruz. Bu nedenle, onları tercüme edebiliriz:

Bir denklem kurabiliriz:

Oldukça zorlu katsayılara sahip olsa da, $x$'a göre sıradan bir lineer denklem elde ettik. Çözmeye çalışalım. İlk olarak, $((1,1)^(4))$ ifadesini bulalım:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \sağ))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(hizalama)$

Şimdi denklemi yeniden yazalım:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1.4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(hizalama)\]\[\]

İşte bu, yüzde sorunumuz çözüldü.

Tabii ki, bu matematikte Birleşik Devlet Sınavından elde edilen yüzdelerle yalnızca en basit görevdi. Gerçek bir sınavda, büyük olasılıkla böyle bir görev olmayacaktır. Ve eğer öyleyse, kendinizi çok şanslı sayın. Pekala, saymayı sevenler ve risk almayı sevmeyenler için, bir sonraki daha zor görevlere geçelim.

Örnek #2

31 Aralık 2014'te Stepan bir bankadan yılda% 20 oranında 4.004.000 ruble borç aldı. Kredi geri ödeme planı aşağıdaki gibidir: sonraki her yılın 31 Aralık'ında banka borcun kalan tutarına faiz tahakkuk ettirir (yani borcu %20 arttırır), ardından Stepan bankaya ödeme yapar. Stepan tüm borcu 3 eşit ödemede ödedi. Borcunu 2 eşit taksitte ödeyebilseydi bankaya kaç ruble daha az verirdi?

Önümüzde kredilerle ilgili bir sorun var, bu yüzden formülümüzü yazıyoruz:

\[\]\

Biz ne biliyoruz? İlk olarak, toplam krediyi biliyoruz. Yüzdeleri de biliyoruz. Oranı bulalım:

$n$'a gelince, sorunun durumunu dikkatlice okumanız gerekir. Yani, önce üç yıl için ne kadar ödediğini yani $n=3$'ı hesaplamamız ve sonra aynı adımları tekrar gerçekleştirmemiz ancak iki yıllık ödemeleri hesaplamamız gerekiyor. Ödemenin üç yıl boyunca ödendiği durum için bir denklem yazalım:

Bu denklemi çözelim. Ama önce $((1,2)^(3))$ ifadesini bulalım:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(hizalama)\]

İfademizi yeniden yazıyoruz:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1.728=x\cdot \frac(1.728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(hizalama)\]

Toplamda ödememiz 1900800 ruble olacak. Ancak, dikkat edin: görevde, aylık bir ödeme değil, Stepan'ın üç eşit ödeme için, yani krediyi kullanma süresi boyunca toplamda ne kadar ödeyeceğini bulmamız gerekiyordu. Bu nedenle, ortaya çıkan değer tekrar üç ile çarpılmalıdır. Sayalım:

Toplamda, Stepan üç eşit ödeme için 5.702.400 ruble ödeyecek. Krediyi üç yıl kullanmanın maliyeti bu kadar.

Şimdi ikinci durumu düşünün, Stepan kendini bir araya getirdiğinde, hazırlanıp tüm krediyi üç değil, iki eşit ödemede ödedi. Aynı formülümüzü yazıyoruz:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(hizalama)\]

Ancak hepsi bu kadar değil, çünkü şimdi iki ödemeden yalnızca birini hesapladık, bu nedenle toplamda Stepan tam olarak iki katı kadar ödeyecek:

Harika, şimdi son cevaba yakınız. Ancak dikkat edin: hiçbir durumda henüz nihai bir cevap almadık, çünkü üç yıllık ödemeler için Stepan 5.702.400 ruble ve iki yıllık ödemeler için 5.241.600 ruble, yani biraz daha az ödeyecek. Ne kadar az? Bunu öğrenmek için, ilk ödeme tutarından ikinci ödeme tutarını çıkarmanız gerekir:

Toplam nihai cevap 460.800 ruble. Stepan'ın üç değil iki yıl öderse tam olarak ne kadar tasarruf edeceğini.

Gördüğünüz gibi, faiz, vade ve ödemeleri birbirine bağlayan formül, klasik tablolara kıyasla hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir ve ne yazık ki, bilinmeyen nedenlerle tablolar hala çoğu sorunlu koleksiyonda kullanılmaktadır.

Ayrı olarak, kredinin alındığı vadeye ve aylık ödemelerin miktarına dikkatinizi çekmek isterim. Gerçek şu ki, bu bağlantı doğrudan yazdığımız formüllerden görünmüyor, ancak sınavdaki gerçek sorunların hızlı ve etkili çözümü için anlaşılması gerekiyor. Aslında, bu bağlantı çok basittir: kredi ne kadar uzun süre alınırsa, tutar aylık ödemelerde o kadar az olur, ancak kredinin tüm kullanım süresi boyunca miktar o kadar büyük olur. Ve tam tersi: vade ne kadar kısa olursa, aylık ödeme o kadar yüksek olur, ancak nihai fazla ödeme o kadar düşük ve kredinin toplam maliyeti o kadar düşük olur.

Elbette tüm bu ifadeler ancak her iki durumda da kredi tutarı ve faiz oranının aynı olması şartıyla eşit olacaktır. Genel olarak, şimdilik, sadece bu gerçeği hatırlayın - bu konuyla ilgili en zor sorunları çözmek için kullanılacak, ancak şimdilik, orijinal kredinin toplam tutarını bulmanız gereken daha basit bir sorunu analiz edeceğiz.

Örnek 3

Bu nedenle, bir kredi için bir görev daha ve bugünün video eğitimindeki son görev ile birlikte.

31 Aralık 2014'te Vasily, bankadan yıllık% 13 oranında krediyle belirli bir miktar çıkardı. Kredi geri ödeme planı aşağıdaki gibidir: gelecek yılın 31 Aralık'ında banka borcun kalan miktarına faiz tahakkuk ettirir (yani borcu% 13 arttırır), ardından Vasily bankaya 5.107.600 ruble aktarır. Vasily, borcu iki eşit taksitte (iki yıl boyunca) geri öderse bankadan ne kadar borç aldı?

Yani, her şeyden önce, bu sorun yine kredilerle ilgili, bu yüzden harika formülümüzü yazıyoruz:

Bakalım sorunun durumundan neler biliyoruz. İlk olarak, ödeme - yılda 5.107.600 rubleye eşittir. İkincisi, yüzdeler, böylece oranı bulabiliriz:

Ayrıca sorunun durumuna göre Vasily bankadan iki yıllığına kredi çekmiş, yani. iki eşit taksitte ödenir, dolayısıyla $n=2$. Her şeyi yerine koyalım ve ayrıca kredinin bizim için bilinmediğini, yani. aldığı miktar ve bunu $x$ olarak gösterelim. Alırız:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Bu gerçeği göz önünde bulundurarak denklemimizi yeniden yazalım:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(hizalama)\]

İşte bu, bu son cevap. Vasily'nin en başta kredi aldığı bu miktardı.

Şimdi, bu problemde neden sadece iki yıllığına kredi almamızın istendiği açık, çünkü burada çift haneli faiz oranları görünüyor, yani %13, karesi alındığında zaten oldukça “acımasız” bir rakam veriyor. Ancak bu sınır değildir - bir sonraki ayrı derste, kredi vadesini bulmanın gerekeceği daha karmaşık görevleri ele alacağız ve oran yüzde bir, iki veya üç olacaktır.

Genel olarak, mevduat ve kredi problemlerini çözmeyi, sınavlara hazırlanmayı ve "mükemmel" geçmeyi öğrenin. Ve bugünün video dersinin materyallerinde net olmayan bir şey varsa, tereddüt etmeyin - yazın, arayın ve size yardım etmeye çalışacağım.

Finansal matematik

Hatasız doğru tamamlanmış görev için alacaksınız 3 puan.

Aşağı yukarı 35 dakika.

Bir profil seviyesindeki matematikte 17. görevi çözmek için şunları bilmeniz gerekir:

1. Görev birkaç türe ayrılmıştır:
   • bankalar, mevduatlar ve kredilerle ilgili görevler;
   • Optimum seçim için görevler.
2. Aylık ödemeyi hesaplama formülü: S kredi = S/12 ton
3. Basit faiz hesaplama formülü: S=α (1 + t/dk)
4. Bileşik faiz hesaplama formülü: C \u003d x (1 + a%)n

Yüzde - bir değerin yüzde biridir.

• x*(1 + p/100) - değer x artan p%
• x*(1 - k/100) - değer x tarafından azaltılmış k%
• x*(1 + p/100) k - değer x artan p% k bir Zamanlar
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – değer X ilk arttı p% ve daha sonra azaldı k%

Kredinin eşit taksitlerle geri ödenmesine ilişkin görevler:

Kredi tutarı olarak alınır X. Banka faizi - a. Kredi geri ödeme - S.

Faizin tahakkuk ettirilmesinden ve tutarın ödenmesinden bir yıl sonra S borç - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• 2 yıl sonra borç: (xp-S)p-S
• 3 yıl sonra borç: ((xp - S)p - S)p - S
• aracılığıyla borç miktarı n yıllar: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)