การกระทำแรกคือการลบในนิพจน์ใด ลำดับของการกระทำ กรอกตัวเลขที่หายไป - ตัวอย่างด้วยวงเล็บ อุปกรณ์การฝึกอบรม

หากเราเปรียบเทียบฟังก์ชันการบวกและการลบกับการคูณและการหาร การคูณและการหารจะถูกคำนวณก่อนเสมอ

ในตัวอย่าง ฟังก์ชันสองรายการ เช่น การบวกและการลบ ตลอดจนการคูณและการหาร จะเทียบเท่ากัน ลำดับการดำเนินการจะพิจารณาจากซ้ายไปขวา

ควรจำไว้ว่าการกระทำในวงเล็บมีลำดับความสำคัญเป็นพิเศษในตัวอย่าง ดังนั้น แม้ว่าจะมีการคูณนอกวงเล็บและบวกในวงเล็บ คุณก็ควรบวกก่อนแล้วค่อยคูณ

เพื่อทำความเข้าใจหัวข้อนี้ คุณสามารถพิจารณาทุกกรณีทีละรายการ

ให้เราคำนึงทันทีว่าสำนวนของเราไม่มีวงเล็บ

ดังนั้น หากในตัวอย่างนี้ การกระทำแรกคือการคูณ และการกระทำที่สองคือการหาร เราจะทำการคูณก่อน

ถ้าในตัวอย่างนี้การกระทำแรกคือการหาร และการกระทำที่สองคือการคูณ เราจะทำการหารก่อน

ในตัวอย่างนี้ การดำเนินการจะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา ไม่ว่าจะใช้ตัวเลขใดก็ตาม

หากในตัวอย่าง นอกจากการคูณและการหารแล้ว มีการบวกและการลบ การคูณและการหารจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงบวกและลบ

ในกรณีของการบวกและการลบก็ไม่สำคัญว่าการกระทำใดจะเกิดขึ้นก่อน ลำดับจะสังเกตจากซ้ายไปขวา

พิจารณาตัวเลือกต่าง ๆ:

ในตัวอย่างนี้ การดำเนินการแรกที่ต้องทำคือการคูณแล้วบวก

ในกรณีนี้ คุณต้องคูณค่าก่อน จากนั้นจึงหาร จากนั้นจึงบวกเท่านั้น

ในกรณีนี้ คุณต้องดำเนินการทั้งหมดในวงเล็บก่อน แล้วจึงทำเฉพาะการคูณและการหารเท่านั้น

ดังนั้น คุณต้องจำไว้ว่าในสูตรใดๆ การดำเนินการต่างๆ เช่น การคูณและการหาร จะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงดำเนินการเฉพาะการลบและการบวกเท่านั้น

นอกจากนี้ด้วยตัวเลขที่อยู่ในวงเล็บคุณจะต้องนับพวกมันในวงเล็บแล้วจึงทำการปรับเปลี่ยนต่างๆ โดยจดจำลำดับที่อธิบายไว้ข้างต้น

การดำเนินการแรกจะเป็น: การคูณและการหาร

จากนั้นจะมีการบวกและการลบเท่านั้น

อย่างไรก็ตาม หากมีวงเล็บ การดำเนินการที่อยู่ในวงเล็บจะถูกดำเนินการก่อน ถึงแม้จะเป็นการบวกและการลบก็ตาม

ตัวอย่างเช่น:

ในตัวอย่างนี้ ขั้นแรกเราจะคูณ 4 ด้วย 5 แล้วบวก 4 เป็น 20 เราได้ 24

แต่ถ้าเป็นเช่นนี้: (4+5)*4 ก่อนอื่นเราทำการบวก เราได้ 9 จากนั้นเราคูณ 9 ด้วย 4 เราได้ 36

หากตัวอย่างประกอบด้วยการดำเนินการทั้ง 4 รายการ ขั้นแรกคือการคูณและการหาร จากนั้นจึงบวกและลบ

หรือในตัวอย่างของการกระทำที่แตกต่างกัน 3 แบบ การกระทำแรกจะเป็นการคูณ (หรือการหาร) จากนั้นจึงบวก (หรือลบ)

เมื่อไม่มีวงเล็บ

ตัวอย่าง: 4-2*5:10+8=11,

1 การกระทำ 2*5 (10);

กิจการ 2 10:10 (1);

3 แอ็กชั่น 4-1 (3);

4 การกระทำ 3+8 (11)

การดำเนินการทั้ง 4 รายการสามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่มหลัก โดยกลุ่มหนึ่งคือการบวกและการลบ อีกกลุ่มคือการคูณและการหาร อันแรกจะเป็นการกระทำที่เป็นอันแรกในตัวอย่างนั่นคืออันซ้ายสุด

ตัวอย่าง: 60-7+9=62 ก่อนอื่นคุณต้องได้ 60-7 แล้วสิ่งที่เกิดขึ้นคือ (53) +9;

ตัวอย่าง: 5*8:2=20 ก่อนอื่นคุณต้องมี 5*8 แล้วสิ่งที่เกิดขึ้นคือ (40) :2

เมื่อมีวงเล็บปีกกาในตัวอย่าง การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน (ตามกฎข้างต้น) จากนั้นส่วนที่เหลือจะดำเนินการตามปกติ

ตัวอย่าง: 2+(9-8)*10:2=7

1 การกระทำ 9-8 (1);

การกระทำที่ 2 1*10 (10);

กิจการ 3 10:2 (5);

4 การกระทำ 2+5 (7)

ขึ้นอยู่กับวิธีการเขียนนิพจน์ ลองดูนิพจน์ตัวเลขที่ง่ายที่สุด:

18 - 6:3 + 10x2 =

อันดับแรก เราทำการดำเนินการด้วยการหารและการคูณ จากนั้นจากซ้ายไปขวา ด้วยการลบและการบวก: 18-2+20 = 36

หากเป็นนิพจน์ที่มีวงเล็บ ให้ดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นจึงคูณหรือหาร และสุดท้ายก็บวก/ลบ เช่น:

(18-6) : 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

ทุกอย่างถูกต้อง: ขั้นแรกให้ทำการคูณและหาร จากนั้นจึงบวกและลบ

หากไม่มีวงเล็บในตัวอย่าง ให้ดำเนินการคูณและหารตามลำดับก่อน จากนั้นจึงบวกและลบตามลำดับ

หากตัวอย่างมีเพียงการคูณและการหาร การดำเนินการจะดำเนินการตามลำดับ

หากตัวอย่างมีเพียงการบวกและการลบ การดำเนินการก็จะดำเนินการตามลำดับเช่นกัน

ประการแรกการดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการตามกฎเดียวกันนั่นคือการคูณและการหารครั้งแรกและจากนั้นจึงบวกและลบเท่านั้น

22-(11+3X2)+14=19

มีการกำหนดลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัดเพื่อไม่ให้เกิดความคลาดเคลื่อนเมื่อทำการคำนวณประเภทเดียวกันโดยบุคคลอื่น ประการแรก การคูณและการหารจะดำเนินการ จากนั้นจึงบวกและลบ หากการกระทำที่มีลำดับเดียวกันเกิดขึ้นทีละรายการ จะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา

หากคุณใช้วงเล็บในการเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ก่อนอื่นคุณควรดำเนินการตามที่ระบุไว้ในวงเล็บ วงเล็บช่วยเปลี่ยนลำดับเมื่อจำเป็นต้องบวกหรือลบก่อน จากนั้นจึงคูณและหาร

วงเล็บใดๆ สามารถขยายได้ จากนั้นลำดับการดำเนินการจะถูกต้องอีกครั้ง:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

ดีขึ้นทันทีในตัวอย่าง:

• 1+2*3/4-5=?

ในกรณีนี้ เราจะทำการคูณก่อน เนื่องจากจะอยู่ทางด้านซ้ายของการหาร แล้วแบ่ง. จากนั้นบวกเนื่องจากตำแหน่งทางซ้ายมือมากกว่าและเมื่อลบออกตอนท้าย

• 1*3/(2+4)?

ขั้นแรกเราคำนวณในวงเล็บ จากนั้นจึงคูณและหาร

• 1+2*(3-1*5)=?

ขั้นแรกเราดำเนินการในวงเล็บ: คูณแล้วลบ ตามด้วยการคูณนอกวงเล็บแล้วบวกที่ตอนท้าย

การคูณและการหารมาก่อน หากมีวงเล็บอยู่ในตัวอย่าง การดำเนินการในวงเล็บจะได้รับการพิจารณาตั้งแต่ต้น ไม่ว่าสัญลักษณ์จะเป็นเช่นไร!

ที่นี่คุณต้องจำกฎพื้นฐานบางประการ:

1. หากไม่มีวงเล็บในตัวอย่างและมีการดำเนินการ - มีเพียงการบวกและการลบ หรือเฉพาะการคูณและการหาร - ในกรณีนี้ การดำเนินการทั้งหมดจะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา

ตัวอย่างเช่น 5+8-5=8 (เราทำทุกอย่างตามลำดับ - บวก 8 กับ 5 แล้วลบ 5)

1. หากตัวอย่างมีการดำเนินการแบบผสม - การบวก การลบ การคูณ และการหาร ก่อนอื่นเราจะดำเนินการการคูณและการหาร จากนั้นจึงบวกหรือลบเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น 5+8*3=29 (ขั้นแรกคูณ 8 ด้วย 3 แล้วบวก 5)

1. หากตัวอย่างมีวงเล็บ การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน

ตัวอย่างเช่น 3*(5+8)=39 (5+8 แรกแล้วคูณด้วย 3)

คูณในลำดับใดก็ได้

กฎนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อเตรียมเด็กให้คุ้นเคยกับวิธีการคูณตัวเลขที่ลงท้ายด้วยศูนย์ดังนั้นจึงแนะนำให้รู้จักเฉพาะในชั้นประถมศึกษาปีที่ 4 เท่านั้น ในความเป็นจริงคุณสมบัติการคูณนี้ช่วยให้คุณหาเหตุผลเข้าข้างตนเองในการคำนวณทางจิตทั้งในชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 และชั้นประถมศึกษาปีที่ 3

ตัวอย่างเช่น:

คำนวณ: (7 2) 5 = ...

ในกรณีนี้ การคำนวณตัวเลือกทำได้ง่ายกว่ามาก

7 (2 5) = 7 10 - 70.

คำนวณ: 12 (5 7) = ...

8 ในกรณีนี้ จะง่ายกว่ามากในการคำนวณตัวเลือก (12-5)-7 = 60-7 = 420

เทคนิคการคำนวณ

1. การคูณและการหารตัวเลขที่ลงท้ายด้วยศูนย์: 20 3; 3 20; 60:3; 80:20

เทคนิคการคำนวณในกรณีนี้คือการคูณและหารตัวเลขหลักเดียวซึ่งแสดงจำนวนหลักสิบในตัวเลขที่กำหนด ตัวอย่างเช่น:

20 3 =... 3 20 =... 60:3 = ...

2 ธ.ค. 3 = 20 3 = 60 ข ธ.ค. : 3 = 2 ธ.ค.

20 - 3 = 60 3 20 = 60 60: 3 = 20

สำหรับกรณี 80:20 สามารถใช้วิธีคำนวณได้สองวิธี: วิธีที่ใช้ในกรณีก่อนหน้า และวิธีการเลือกผลหาร

ตัวอย่างเช่น: 80: 20 =... 80: 20 =...

8 ธ.ค. : 2 ธ.ค. = 4 หรือ 20 4 = 80

80: 20 = 4 80: 20 = 4

ในกรณีแรก มีการใช้เทคนิคการแสดงเลขสิบสองหลักในรูปแบบของหน่วยหลัก ซึ่งจะลดขนาดกรณีที่กำลังพิจารณาให้เหลือเพียงตารางเดียว (8:2) ในกรณีที่สอง หาค่าผลหารได้โดยการเลือกและตรวจสอบโดยการคูณ ในกรณีที่สอง เด็กอาจไม่เลือกจำนวนผลหารที่ถูกต้องในทันที ซึ่งหมายความว่าจะดำเนินการตรวจสอบมากกว่าหนึ่งครั้ง

2. วิธีการคูณตัวเลขสองหลักด้วยตัวเลขหลักเดียว: 23 4; 4-23

เมื่อคูณตัวเลขสองหลักด้วยตัวเลขหนึ่งหลัก ความรู้และทักษะต่อไปนี้จะได้รับการอัปเดต:

ในกรณีของการคูณแบบฟอร์ม 4 23 จะใช้การจัดเรียงตัวประกอบใหม่ก่อน จากนั้นจึงใช้แผนการคูณแบบเดียวกับข้างต้น

3. วิธีการหารตัวเลขสองหลักด้วยตัวเลขหลักเดียว: 48:3; 48:2

เมื่อหารตัวเลขสองหลักด้วยตัวเลขหลักเดียว ความรู้และทักษะต่อไปนี้จะได้รับการอัปเดต:

4. วิธีการหารตัวเลขสองหลักด้วยตัวเลขสองหลัก: 68: 17

เมื่อหารตัวเลขสองหลักด้วยตัวเลขสองหลัก จำเป็นต้องมีความรู้และทักษะต่อไปนี้:

ความยากของเทคนิคสุดท้ายคือเด็กไม่สามารถเลือกตัวเลขที่ต้องการของผลหารได้ทันทีและทำการตรวจสอบตัวเลขที่เลือกหลายครั้งซึ่งต้องใช้การคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อน เด็กหลายคนใช้เวลาส่วนใหญ่ในการคำนวณประเภทนี้ เนื่องจากพวกเขาไม่ได้เริ่มต้นมากนักในการเลือกจำนวนผลหารที่เหมาะสม แต่แทนที่จะเรียงลำดับปัจจัยทั้งหมดในแถวโดยเริ่มจากสอง

เพื่อความสะดวกในการคำนวณ คุณสามารถใช้สองเทคนิค:

1) การวางแนวไปที่หลักสุดท้ายของเงินปันผล

2) วิธีการปัดเศษ

นัดแรกถือว่าเมื่อเลือกตัวเลขที่เป็นไปได้ของผลหาร เด็กจะได้รับคำแนะนำจากความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ โดยคูณตัวเลข (ตัวเลข) ที่เลือกและหลักสุดท้ายของตัวหารทันที

เช่น 3-7 = 21 หลักสุดท้ายของเลข 68 คือ 8 ซึ่งหมายความว่าไม่มีประเด็นในการคูณ 17 ด้วย 3 หลักสุดท้ายของตัวหารก็ยังไม่ตรงกัน ลองเลข 4 ในตัวหาร - คูณ 7 4 = 28 เลขหลักสุดท้ายตรงกัน ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะหาผลคูณ 17 4

นัดที่สองเกี่ยวข้องกับการปัดเศษตัวหารและการเลือกตัวเลขผลหารตามตัวหารที่ปัดเศษ

ตัวอย่างเช่น 68:17 ตัวหารของ 17 จะถูกปัดเศษเป็น 20 เมื่อตรวจสอบ ผลหารโดยประมาณของ 3 จะได้ 20 3 = 60< 68, значит имеет смысл сразу проверять в качестве цифры частного 4:17 4 = 68.

เทคนิคเหล่านี้ช่วยให้คุณลดต้นทุนความพยายามและเวลาในการคำนวณประเภทนี้ แต่ต้องมีความรู้ที่ดีเกี่ยวกับตารางสูตรคูณและความสามารถในการปัดเศษตัวเลข

จำนวนเต็มที่ลงท้ายด้วย 0,1,2,3,4 จะถูกปัดเศษให้เป็นจำนวนเต็มสิบที่ใกล้ที่สุด โดยทิ้งตัวเลขเหล่านั้นไป

เช่น ควรปัดตัวเลข 12, 13, 14 เป็น 10 ส่วนตัวเลข 62, 63, 64 ควรปัดเศษเป็น 60

จำนวนเต็มที่ลงท้ายด้วย 5, 6, 7,8,9 จะถูกปัดเศษขึ้นให้เป็นจำนวนเต็มสิบที่ใกล้ที่สุด

เช่น ตัวเลข 15,16,17,18,19 ปัดเศษเป็น 20 ตัวเลข 45,47, 49 ปัดเศษเป็น 50

ลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่มีการคูณและการหาร

กฎสำหรับลำดับการดำเนินการระบุคุณสมบัติหลักของนิพจน์ที่ควรใช้เมื่อคำนวณค่า

กฎข้อแรกที่กำหนดลำดับของการดำเนินการในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ระบุลำดับของการดำเนินการในนิพจน์ที่มีการดำเนินการบวกและการลบ:

1. ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บที่มีเฉพาะการดำเนินการบวกและการลบ การดำเนินการจะดำเนินการตามลำดับที่เขียนจากซ้ายไปขวา

2. การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน

3. หากนิพจน์มีเพียงการดำเนินการบวกเท่านั้น คำสองคำที่อยู่ติดกันสามารถแทนที่ด้วยผลรวมได้เสมอ (คุณสมบัติรวมของการบวก)

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 มีการศึกษากฎใหม่สำหรับลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่มีการคูณและการหาร:

4. ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บซึ่งมีเฉพาะการคูณและการหาร การกระทำจะดำเนินการตามลำดับที่เขียนจากซ้ายไปขวา

5. ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ การคูณและการหารจะดำเนินการก่อนการบวกและการลบ

ในกรณีนี้ การตั้งค่าให้ดำเนินการในวงเล็บก่อนจะยังคงอยู่ กรณีที่เป็นไปได้ของการละเมิดการตั้งค่านี้ได้มีการหารือกันก่อนหน้านี้

กฎสำหรับลำดับของการกระทำเป็นกฎทั่วไปสำหรับการคำนวณค่าของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ตัวอย่าง) ซึ่งได้รับการดูแลรักษาตลอดระยะเวลาการเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ในเรื่องนี้การพัฒนาความเข้าใจที่ชัดเจนเกี่ยวกับอัลกอริทึมในการดำเนินการในเด็กถือเป็นงานต่อเนื่องที่สำคัญในการสอนคณิตศาสตร์ในโรงเรียนประถมศึกษา ปัญหาคือกฎสำหรับลำดับการกระทำค่อนข้างผันแปรและไม่ได้กำหนดไว้ชัดเจนเสมอไป

ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 48-3 + 7 + 8 ตามกฎทั่วไป ควรใช้กฎ 1 กับนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บที่มีการบวกและการลบ ในเวลาเดียวกันเป็นตัวเลือกสำหรับการคำนวณอย่างมีเหตุผลคุณสามารถใช้เทคนิคการแทนที่ผลรวมของส่วนที่ 7 + 8 ได้เนื่องจากหลังจากลบเลข 3 จาก 48 คุณจะได้ 45 ซึ่งสะดวกในการบวก 15

อย่างไรก็ตามการวิเคราะห์นิพจน์ดังกล่าวไม่ได้จัดให้มีขึ้นในระดับประถมศึกษาเนื่องจากมีความกลัวว่าหากความเข้าใจไม่เพียงพอในแนวทางนี้เด็กจะใช้ในกรณีของแบบฟอร์ม 72 - 9 - 3 + 6 ในกรณีนี้ กรณีที่แทนที่นิพจน์ 3 + 6 ด้วยผลรวมเป็นไปไม่ได้ จะทำให้ตอบผิด

ความแปรปรวนอย่างมากในการประยุกต์ใช้กฎทั้งกลุ่มและกฎที่แตกต่างกันในการกำหนดลำดับของการกระทำนั้นต้องอาศัยความยืดหยุ่นในการคิดอย่างมากความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับความหมายของการกระทำทางคณิตศาสตร์ลำดับของการกระทำทางจิต "ความรู้สึก" ทางคณิตศาสตร์และสัญชาตญาณ ( นักคณิตศาสตร์เรียกสิ่งนี้ว่า "ความรู้สึกเชิงตัวเลข") ในความเป็นจริงการสอนเด็กให้ปฏิบัติตามขั้นตอนที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนในการวิเคราะห์การแสดงออกเชิงตัวเลขจากมุมมองของคุณลักษณะที่กฎแต่ละข้อมุ่งเน้นนั้นง่ายกว่ามากจะง่ายกว่ามาก

เมื่อกำหนดแนวทางปฏิบัติให้คิดดังนี้:

1) หากมีวงเล็บ ฉันจะดำเนินการที่เขียนในวงเล็บก่อน

2) ฉันทำการคูณและหารตามลำดับ

3) ฉันบวกและลบตามลำดับ

อัลกอริธึมนี้จะกำหนดลำดับของการดำเนินการค่อนข้างชัดเจน แม้ว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยก็ตาม

ในนิพจน์เหล่านี้ ลำดับของการกระทำจะถูกกำหนดโดยอัลกอริธึมโดยเฉพาะและเป็นลำดับเดียวที่เป็นไปได้ ลองยกตัวอย่างอื่น ๆ

หลังจากทำการคูณและหารในตัวอย่างนี้ คุณสามารถเพิ่ม 6 ถึง 54 ได้ทันที และลบ 9 จาก 18 แล้วบวกผลลัพธ์ ในทางเทคนิคแล้ว มันจะง่ายกว่าเส้นทางที่กำหนดโดยอัลกอริธึมมาก ลำดับการดำเนินการที่แตกต่างกันในตอนแรกเป็นไปได้:

ดังนั้นคำถามของการพัฒนาความสามารถในการกำหนดลำดับของการกระทำในการแสดงออกในโรงเรียนประถมศึกษาในทางใดทางหนึ่งขัดแย้งกับความจำเป็นในการสอนวิธีคำนวณเชิงเหตุผลให้เด็ก

ตัวอย่างเช่นในกรณีนี้ลำดับของการกระทำถูกกำหนดอย่างไม่คลุมเครือโดยอัลกอริธึมและต้องใช้ชุดการคำนวณทางจิตที่ซับซ้อนโดยเปลี่ยนผ่านตัวเลข: 42 - 7 และ 35 + 8

หลังจากหาร 21:3 แล้ว หากคุณบวก 42 + 8 = 50 แล้วลบ 50 - 7 = 43 ซึ่งในทางเทคนิคง่ายกว่ามาก คำตอบก็จะเหมือนเดิม เส้นทางการคำนวณนี้ขัดแย้งกับการตั้งค่าที่ให้ไว้ในตำราเรียน

และเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ การกระทำจะดำเนินการตามลำดับที่แน่นอน กล่าวคือ คุณต้องสังเกต ลำดับของการกระทำ.

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาว่าควรดำเนินการใดก่อนและควรดำเนินการใดหลังจากนั้น เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดก่อน เมื่อนิพจน์มีเพียงตัวเลขหรือตัวแปรที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายบวก ลบ คูณ และหาร ต่อไป เราจะอธิบายว่าควรปฏิบัติตามลำดับการดำเนินการใดในนิพจน์ที่มีวงเล็บเหลี่ยม สุดท้ายนี้ เรามาดูลำดับของการดำเนินการในนิพจน์ที่มีพลัง ราก และฟังก์ชันอื่นๆ

การนำทางหน้า

การคูณและการหารขั้นแรก จากนั้นจึงบวกและลบ

โรงเรียนให้สิ่งต่อไปนี้ กฎที่กำหนดลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ:

• การกระทำจะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา
• ยิ่งไปกว่านั้น การคูณและการหารจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงบวกและลบ

กฎที่ระบุไว้นั้นรับรู้ได้ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ การดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวาอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นเรื่องปกติที่เราจะเก็บบันทึกจากซ้ายไปขวา และความจริงที่ว่าการคูณและการหารเกิดขึ้นก่อนการบวกและการลบนั้นอธิบายได้ด้วยความหมายที่การกระทำเหล่านี้เกิดขึ้น

ลองดูตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ของการบังคับใช้กฎนี้ ตัวอย่างเช่นเราจะใช้นิพจน์ตัวเลขที่ง่ายที่สุดเพื่อไม่ให้การคำนวณเสียสมาธิ แต่จะเน้นไปที่ลำดับของการกระทำโดยเฉพาะ

ตัวอย่าง.

ทำตามขั้นตอนที่ 7−3+6

สารละลาย.

นิพจน์เดิมไม่มีวงเล็บ และไม่มีการคูณหรือการหาร ดังนั้นเราควรดำเนินการทั้งหมดตามลำดับจากซ้ายไปขวานั่นคือก่อนอื่นเราลบ 3 จาก 7 เราได้ 4 หลังจากนั้นเราบวก 6 เข้ากับผลต่างผลลัพธ์ของ 4 เราได้ 10

โดยสรุป สามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้: 7−3+6=4+6=10

คำตอบ:

7−3+6=10 .

ตัวอย่าง.

ระบุลำดับของการกระทำในนิพจน์ 6:2·8:3

สารละลาย.

เพื่อตอบคำถามของปัญหาเรามาดูกฎที่ระบุลำดับการดำเนินการในนิพจน์โดยไม่มีวงเล็บ นิพจน์ดั้งเดิมมีเพียงการดำเนินการของการคูณและการหารเท่านั้น และตามกฎแล้วจะต้องดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา

คำตอบ:

ตอนแรก เราหาร 6 ด้วย 2 คูณผลหารนี้ด้วย 8 และสุดท้ายก็หารผลลัพธ์ด้วย 3

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของนิพจน์ 17−5·6:3−2+4:2

สารละลาย.

ขั้นแรก เรามาพิจารณาว่าควรดำเนินการตามลำดับใดในนิพจน์ดั้งเดิม มันมีทั้งการคูณและการหารและการบวกและการลบ ขั้นแรก จากซ้ายไปขวา คุณต้องทำการคูณและหารก่อน เราก็คูณ 5 ด้วย 6, เราได้ 30, เราหารจำนวนนี้ด้วย 3, เราได้ 10. ทีนี้เราหาร 4 ด้วย 2 เราได้ 2. เราแทนที่ค่าที่พบ 10 ลงในนิพจน์ดั้งเดิมแทน 5·6:3 และแทนที่จะเป็น 4:2 - ค่า 2 เรามี 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

นิพจน์ผลลัพธ์ไม่มีการคูณและการหารอีกต่อไป ดังนั้นจึงยังคงดำเนินการที่เหลือตามลำดับจากซ้ายไปขวา: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

คำตอบ:

17−5·6:3−2+4:2=7.

ในตอนแรกเพื่อไม่ให้เกิดความสับสนในลำดับการดำเนินการเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์จะสะดวกในการวางตัวเลขไว้เหนือเครื่องหมายการกระทำที่สอดคล้องกับลำดับที่ดำเนินการ สำหรับตัวอย่างก่อนหน้านี้จะมีลักษณะดังนี้: .

ควรปฏิบัติตามลำดับการดำเนินการเดียวกัน - การคูณและการหารครั้งแรก จากนั้นการบวกและการลบ - เมื่อทำงานกับนิพจน์ตัวอักษร

การกระทำของระยะที่หนึ่งและระยะที่สอง

ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์บางเล่ม มีการแบ่งการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ออกเป็นการดำเนินการของขั้นที่หนึ่งและขั้นที่สอง ลองคิดดูสิ

คำนิยาม.

การกระทำของระยะแรกเรียกการบวกและการลบ และการคูณและการหารถูกเรียก การกระทำขั้นที่สอง.

ในข้อกำหนดเหล่านี้กฎจากย่อหน้าก่อนหน้าซึ่งกำหนดลำดับการดำเนินการจะถูกเขียนดังนี้: หากนิพจน์ไม่มีวงเล็บจากนั้นตามลำดับจากซ้ายไปขวาให้ดำเนินการขั้นที่สองก่อน ( ดำเนินการคูณและหาร) จากนั้นจึงดำเนินการขั้นแรก (การบวกและการลบ)

ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในนิพจน์ที่มีวงเล็บ

นิพจน์มักจะมีวงเล็บเพื่อระบุลำดับที่ควรดำเนินการ ในกรณีนี้ กฎที่ระบุลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่มีวงเล็บมีสูตรดังนี้ ขั้นแรก ดำเนินการในวงเล็บ ในขณะที่การคูณและการหารจะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา จากนั้นจึงบวกและลบ

ดังนั้นนิพจน์ในวงเล็บจึงถือเป็นองค์ประกอบของนิพจน์ดั้งเดิมและยังคงรักษาลำดับการกระทำที่เราทราบอยู่แล้ว ลองดูวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างเพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น

ตัวอย่าง.

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้ 5+(7−2·3)·(6−4):2.

สารละลาย.

นิพจน์มีวงเล็บ ดังนั้น เรามาดำเนินการในนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเหล่านี้ก่อน เริ่มจากนิพจน์ 7−2·3 กันก่อน ในนั้นคุณต้องทำการคูณก่อน แล้วจึงลบออก เราจะได้ 7−2·3=7−6=1 มาดูนิพจน์ที่สองในวงเล็บ 6−4 กัน มีการกระทำเดียวที่นี่ - การลบเราทำได้ 6−4 = 2

เราแทนที่ค่าที่ได้รับเป็นนิพจน์ดั้งเดิม: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. ในนิพจน์ผลลัพธ์ ขั้นแรกเราจะทำการคูณและหารจากซ้ายไปขวา จากนั้นจึงลบ เราจะได้ 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 ณ จุดนี้ การกระทำทั้งหมดเสร็จสิ้นแล้ว เราปฏิบัติตามลำดับต่อไปนี้: 5+(7−2·3)·(6−4):2

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

คำตอบ:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

มันเกิดขึ้นที่นิพจน์มีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ ไม่จำเป็นต้องกลัวสิ่งนี้คุณเพียงแค่ต้องใช้กฎที่ระบุไว้อย่างสม่ำเสมอเพื่อดำเนินการในนิพจน์ด้วยวงเล็บ เรามาแสดงวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

ดำเนินการในนิพจน์ 4+(3+1+4·(2+3))

สารละลาย.

นี่คือนิพจน์ที่มีวงเล็บเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่าการดำเนินการจะต้องเริ่มต้นด้วยนิพจน์ในวงเล็บ นั่นคือ 3+1+4·(2+3) นิพจน์นี้มีวงเล็บด้วย ดังนั้นคุณต้องดำเนินการในวงเล็บก่อน ลองทำสิ่งนี้: 2+3=5 แทนค่าที่พบ เราจะได้ 3+1+4·5 ในนิพจน์นี้ เราจะทำการคูณก่อน จากนั้นจึงบวกได้ 3+1+4·5=3+1+20=24 ค่าเริ่มต้นหลังจากแทนที่ค่านี้จะอยู่ในรูปแบบ 4+24 และสิ่งที่เหลืออยู่คือการดำเนินการให้เสร็จสิ้น: 4+24=28

คำตอบ:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

โดยทั่วไป เมื่อนิพจน์มีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ มักจะสะดวกที่จะดำเนินการโดยเริ่มจากวงเล็บด้านในแล้วย้ายไปที่วงเล็บด้านนอก

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราจำเป็นต้องดำเนินการในนิพจน์ (4+(4+(4−6:2))−1)−1 ขั้นแรก เราทำการกระทำในวงเล็บด้านใน เนื่องจาก 4−6:2=4−3=1 จากนั้นนิพจน์ดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ (4+(4+1)−1)−1 เราดำเนินการอีกครั้งในวงเล็บด้านใน เนื่องจาก 4+1=5 เราจึงได้นิพจน์ต่อไปนี้ (4+5−1)−1 เราดำเนินการในวงเล็บอีกครั้ง: 4+5−1=8 และเราก็มาถึงผลต่าง 8−1 ซึ่งเท่ากับ 7

อัลฟ่าย่อมาจากจำนวนจริง เครื่องหมายเท่ากับในนิพจน์ข้างต้นบ่งบอกว่าหากคุณเพิ่มตัวเลขหรืออนันต์เข้ากับอนันต์ จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์ก็จะอนันต์เหมือนเดิม หากเราใช้เซตอนันต์ของจำนวนธรรมชาติเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้:

เพื่อพิสูจน์อย่างชัดเจนว่าถูกต้อง นักคณิตศาสตร์จึงคิดค้นวิธีการต่างๆ มากมาย โดยส่วนตัวแล้วฉันมองว่าวิธีการทั้งหมดนี้เป็นเหมือนหมอผีเต้นรำกับแทมบูรีน โดยพื้นฐานแล้ว พวกเขาทั้งหมดเดือดลงไปที่ความจริงที่ว่าห้องบางห้องว่างและมีแขกใหม่เข้ามา หรือผู้เยี่ยมชมบางคนถูกโยนออกไปที่ทางเดินเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับแขก (เหมือนมนุษย์มาก) ฉันนำเสนอมุมมองของฉันเกี่ยวกับการตัดสินใจดังกล่าวในรูปแบบของเรื่องราวแฟนตาซีเกี่ยวกับสาวผมบลอนด์ เหตุผลของฉันมีพื้นฐานมาจากอะไร? การย้ายผู้เยี่ยมชมเป็นจำนวนไม่สิ้นสุดต้องใช้เวลาไม่สิ้นสุด หลังจากที่เราออกจากห้องแรกสำหรับแขกแล้ว ผู้มาเยี่ยมคนหนึ่งจะเดินไปตามทางเดินจากห้องของเขาไปยังห้องถัดไปจนกว่าจะหมดเวลา แน่นอนว่าปัจจัยด้านเวลาสามารถถูกมองข้ามอย่างโง่เขลาได้ แต่จะอยู่ในหมวดหมู่ของ "ไม่มีกฎหมายเขียนไว้สำหรับคนโง่" ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังทำ: ปรับความเป็นจริงให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือในทางกลับกัน

“โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” คืออะไร? โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุดคือโรงแรมที่มีเตียงว่างจำนวนเท่าใดก็ได้เสมอ ไม่ว่าจะมีคนอยู่กี่ห้องก็ตาม หากทุกห้องในทางเดิน "ผู้เยี่ยมชม" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดถูกครอบครอง ก็จะมีทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกห้องที่มีห้อง "แขก" จะมีทางเดินดังกล่าวจำนวนอนันต์ ยิ่งไปกว่านั้น “โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” ยังมีจำนวนชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอาคารจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนดาวเคราะห์จำนวนไม่สิ้นสุดในจักรวาลจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยเทพเจ้าจำนวนอนันต์ นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถหลีกหนีจากปัญหาซ้ำซากในชีวิตประจำวันได้: พระเจ้า - อัลลอฮ์ - พุทธะมีเพียงองค์เดียวเสมอมีโรงแรมเพียงแห่งเดียวมีทางเดินเพียงแห่งเดียว นักคณิตศาสตร์จึงพยายามสลับเลขลำดับของห้องพักในโรงแรม ทำให้เราเชื่อว่ามีความเป็นไปได้ที่จะ "ยัดเยียดสิ่งที่เป็นไปไม่ได้"

ฉันจะแสดงตรรกะของการใช้เหตุผลให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุด ก่อนอื่นคุณต้องตอบคำถามง่ายๆ: มีจำนวนธรรมชาติกี่ชุด - หนึ่งหรือหลายชุด? ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมาเอง ตัวเลขไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ใช่ ธรรมชาติเก่งเรื่องการนับ แต่ด้วยเหตุนี้ เธอจึงใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เราไม่คุ้นเคย ฉันจะบอกคุณว่าธรรมชาติคิดอย่างไรอีกครั้ง เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมา เราก็จะเป็นผู้ตัดสินใจว่าจำนวนธรรมชาติมีกี่ชุด ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือกตามความเหมาะสมกับนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง

ตัวเลือกที่หนึ่ง “ให้เราได้รับ” ตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวซึ่งวางอยู่อย่างสงบบนชั้นวาง เรานำชุดนี้มาจากชั้นวาง เพียงเท่านี้ ไม่มีตัวเลขธรรมชาติอื่นเหลืออยู่บนชั้นวางแล้วและไม่มีที่ไหนที่จะหยิบมันไปได้ เราไม่สามารถเพิ่มหนึ่งรายการในชุดนี้ได้ เนื่องจากเรามีอยู่แล้ว จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการจริงๆ? ไม่มีปัญหา. เราสามารถเอาอันหนึ่งจากชุดที่เราถ่ายไปแล้วและส่งคืนไปที่ชั้นวาง หลังจากนั้นเราก็สามารถนำอันหนึ่งจากชั้นวางมาเพิ่มเข้ากับสิ่งที่เราเหลือ ผลก็คือ เราจะได้เซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกครั้ง คุณสามารถเขียนกิจวัตรทั้งหมดของเราดังนี้:

ฉันเขียนการกระทำในรูปแบบพีชคณิตและสัญลักษณ์ทฤษฎีเซต พร้อมรายการองค์ประกอบของเซตอย่างละเอียด ตัวห้อยระบุว่าเรามีจำนวนธรรมชาติชุดเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าเซตของจำนวนธรรมชาติจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อมีการลบออกและเพิ่มหน่วยเดียวกัน

ตัวเลือกที่สอง เรามีชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์หลายชุดบนชั้นวางของเรา ฉันเน้นย้ำ - แตกต่างแม้ว่าจะแยกไม่ออกในทางปฏิบัติก็ตาม ลองเอาหนึ่งในชุดเหล่านี้ จากนั้นเราก็นำจำนวนหนึ่งจากชุดของจำนวนธรรมชาติอีกชุดหนึ่งมาบวกเข้ากับชุดที่เราได้มาแล้ว เรายังบวกจำนวนธรรมชาติสองชุดได้ด้วย นี่คือสิ่งที่เราได้รับ:

ตัวห้อย "หนึ่ง" และ "สอง" ระบุว่าองค์ประกอบเหล่านี้เป็นของชุดที่ต่างกัน ใช่ หากคุณเพิ่มหนึ่งเข้าไปในเซตอนันต์ ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ด้วย แต่จะไม่เหมือนกับเซตเดิม หากคุณเพิ่มเซตอนันต์อีกเซตให้กับเซตอนันต์หนึ่งเซต ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ใหม่ที่ประกอบด้วยสมาชิกของสองเซตแรก

เซตของจำนวนธรรมชาติใช้สำหรับการนับแบบเดียวกับไม้บรรทัดสำหรับการวัด ทีนี้ลองนึกภาพว่าคุณบวกหนึ่งเซนติเมตรเข้ากับไม้บรรทัด นี่จะเป็นเส้นอื่นไม่เท่ากับเส้นเดิม

คุณสามารถยอมรับหรือไม่ยอมรับเหตุผลของฉันได้ - มันเป็นธุรกิจของคุณเอง แต่ถ้าคุณเคยประสบปัญหาทางคณิตศาสตร์ ลองคิดดูว่าคุณกำลังเดินตามแนวทางการใช้เหตุผลผิดๆ ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่นเหยียบย่ำอยู่หรือไม่ ท้ายที่สุดแล้ว การศึกษาคณิตศาสตร์ ประการแรก ก่อให้เกิดทัศนคติแบบเหมารวมของการคิดที่มั่นคงในตัวเรา จากนั้นจึงเพิ่มความสามารถทางจิตของเรา (หรือในทางกลับกัน กีดกันเราจากการคิดอย่างอิสระ)

วันอาทิตย์ที่ 4 สิงหาคม 2019

ฉันกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้อยู่และเห็นข้อความที่ยอดเยี่ยมนี้ใน Wikipedia:

เราอ่านว่า: "... พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์แห่งบาบิโลนนั้นไม่มีคุณลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงชุดเทคนิคที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน"

ว้าว! เราฉลาดแค่ไหนและมองเห็นข้อบกพร่องของผู้อื่นได้ดีเพียงใด เป็นเรื่องยากสำหรับเราที่จะมองคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในบริบทเดียวกันหรือไม่? จากการถอดความข้อความข้างต้นเล็กน้อย ฉันได้รับสิ่งต่อไปนี้เป็นการส่วนตัว:

พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่นั้นไม่ได้มีลักษณะเป็นองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงส่วนต่างๆ ที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน

ฉันจะไม่ไปไกลเพื่อยืนยันคำพูดของฉัน - มันมีภาษาและแบบแผนที่แตกต่างจากภาษาและแบบแผนของคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ ชื่อเดียวกันในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสามารถมีความหมายต่างกันได้ ฉันต้องการอุทิศสิ่งพิมพ์ทั้งชุดให้กับข้อผิดพลาดที่ชัดเจนที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แล้วพบกันใหม่เร็วๆ นี้

วันเสาร์ที่ 3 สิงหาคม 2019

จะแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยได้อย่างไร? ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องป้อนหน่วยการวัดใหม่ที่มีอยู่ในองค์ประกอบบางส่วนของชุดที่เลือก ลองดูตัวอย่าง

ขอให้เรามีมากมาย กประกอบด้วยสี่คน ชุดนี้ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของ "คน" ให้เราแสดงองค์ประกอบของชุดนี้ด้วยตัวอักษร กตัวห้อยที่มีตัวเลขจะระบุหมายเลขซีเรียลของแต่ละคนในชุดนี้ ขอแนะนำหน่วยวัด "เพศ" ใหม่และเขียนแทนด้วยตัวอักษร ข. เนื่องจากลักษณะทางเพศมีอยู่ในทุกคน เราจึงเพิ่มแต่ละองค์ประกอบของชุด กขึ้นอยู่กับเพศ ข. โปรดสังเกตว่าตอนนี้กลุ่ม "คน" ของเรากลายเป็นกลุ่ม "คนที่มีลักษณะทางเพศ" แล้ว หลังจากนี้เราสามารถแบ่งลักษณะทางเพศออกเป็นเพศชายได้ บีเอ็มและของผู้หญิง bwลักษณะทางเพศ ตอนนี้เราสามารถใช้ตัวกรองทางคณิตศาสตร์ได้: เราเลือกลักษณะทางเพศอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ไม่ว่าจะเป็นชายหรือหญิงก็ตาม ถ้าคนมี เราก็คูณมันด้วย 1 หากไม่มีเครื่องหมาย เราก็คูณมันด้วยศูนย์ แล้วเราก็ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนปกติ ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

หลังจากการคูณ การลดลง และการจัดเรียงใหม่ เราก็ได้เซตย่อยสองชุด: เซตย่อยของผู้ชาย บีมและกลุ่มย่อยของผู้หญิง บว. นักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลในลักษณะเดียวกันโดยประมาณเมื่อพวกเขาใช้ทฤษฎีเซตในทางปฏิบัติ แต่พวกเขาไม่ได้บอกรายละเอียดให้เราทราบ แต่ให้ผลลัพธ์ที่ครบถ้วนแก่เรา - “ผู้คนจำนวนมากประกอบด้วยกลุ่มย่อยของผู้ชายและส่วนหนึ่งของผู้หญิง” โดยปกติแล้ว คุณอาจมีคำถาม: คณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้ในการแปลงที่อธิบายไว้ข้างต้นอย่างถูกต้องเพียงใด ฉันกล้ารับรองกับคุณว่าโดยพื้นฐานแล้วทุกอย่างถูกต้องก็เพียงพอแล้วที่จะรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิต พีชคณิตแบบบูลีน และสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ มันคืออะไร? ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกครั้ง

สำหรับซูเปอร์เซ็ต คุณสามารถรวมสองชุดให้เป็นซูเปอร์เซ็ตเดียวได้โดยการเลือกหน่วยการวัดที่มีอยู่ในองค์ประกอบของทั้งสองชุดนี้

ดังที่คุณเห็น หน่วยวัดและคณิตศาสตร์ทั่วไปทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นมรดกตกทอดจากอดีต สัญญาณที่บ่งบอกว่าทุกอย่างไม่เป็นไปตามทฤษฎีเซตก็คือนักคณิตศาสตร์มีภาษาและสัญลักษณ์ของตนเองขึ้นมาสำหรับทฤษฎีเซต นักคณิตศาสตร์ก็ทำตัวเหมือนหมอผีที่ครั้งหนึ่งเคยทำ มีเพียงหมอผีเท่านั้นที่รู้วิธีใช้ “ความรู้” ของตน “อย่างถูกต้อง” พวกเขาสอนเรา "ความรู้" นี้

โดยสรุป ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์จัดการกับ .

วันจันทร์ที่ 7 มกราคม 2019

ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้น aporia ที่มีชื่อเสียงของเขาขึ้นมา ซึ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดก็คือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลิสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยขั้น ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว ต้องสังเกตอีกประเด็นหนึ่งที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือ จุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ฉันได้บอกคุณไปแล้วว่าด้วยความช่วยเหลือจากหมอผีที่พยายามจัดเรียง "" ความเป็นจริง พวกเขาทำเช่นนี้ได้อย่างไร? การก่อตัวของเซตเกิดขึ้นได้อย่างไร?

เรามาดูคำจำกัดความของเซตกันดีกว่า: "กลุ่มขององค์ประกอบต่างๆ ที่รวมกันเป็นหนึ่งเดียว" ตอนนี้รู้สึกถึงความแตกต่างระหว่างสองวลี: “เป็นไปได้โดยรวม” และ “เป็นไปได้โดยรวม” วลีแรกคือผลลัพธ์สุดท้ายคือเซต วลีที่สองคือการเตรียมการเบื้องต้นสำหรับการก่อตัวของฝูงชน ในขั้นตอนนี้ ความจริงถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบแต่ละส่วน ("ทั้งหมด") ซึ่งจากนั้นจะก่อให้เกิดฝูงชนจำนวนมาก ("ทั้งหมดเดียว") ในเวลาเดียวกันปัจจัยที่ทำให้สามารถรวม "ทั้งหมด" ให้เป็น "ทั้งหมดเดียว" จะได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบ มิฉะนั้นหมอผีจะไม่ประสบความสำเร็จ ท้ายที่สุดหมอรู้ล่วงหน้าว่าพวกเขาต้องการแสดงให้เราดูอะไร

ฉันจะแสดงกระบวนการพร้อมตัวอย่างให้คุณดู เราเลือก "ของแข็งสีแดงในสิว" - นี่คือ "ทั้งหมด" ของเรา ในขณะเดียวกัน เราก็เห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีธนูและไม่มีธนู หลังจากนั้นเราเลือกส่วนหนึ่งของ "ทั้งหมด" และสร้างชุด "พร้อมธนู" นี่คือวิธีที่หมอผีได้รับอาหารโดยผูกทฤษฎีเซตไว้กับความเป็นจริง

ตอนนี้เรามาทำเคล็ดลับเล็กน้อย เรามาลอง "แข็งด้วยสิวด้วยธนู" แล้วรวม "ทั้งก้อน" เหล่านี้ตามสี โดยเลือกองค์ประกอบสีแดง เรามี "สีแดง" มากมาย ตอนนี้คำถามสุดท้าย: ชุดผลลัพธ์ "มีธนู" และ "สีแดง" เป็นชุดเดียวกันหรือสองชุดที่แตกต่างกันหรือไม่? หมอผีเท่านั้นที่รู้คำตอบ แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาเองไม่รู้อะไรเลย แต่อย่างที่พวกเขาพูดมันก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตไม่มีประโยชน์เลยเมื่อพูดถึงความเป็นจริง ความลับคืออะไร? เราสร้างชุด "ของแข็งสีแดงมีสิวและธนู" การก่อตัวเกิดขึ้นในหน่วยการวัดที่แตกต่างกันสี่หน่วย: สี (สีแดง) ความแข็งแกร่ง (ของแข็ง) ความหยาบ (สิว) การตกแต่ง (ด้วยธนู) มีเพียงชุดหน่วยวัดเท่านั้นที่ช่วยให้เราอธิบายวัตถุจริงในภาษาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ. นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน

ตัวอักษร "a" ที่มีดัชนีต่างกันแสดงถึงหน่วยการวัดที่แตกต่างกัน หน่วยการวัดที่แยกแยะ "ทั้งหมด" ในขั้นตอนเบื้องต้นจะถูกเน้นในวงเล็บ หน่วยวัดที่ใช้สร้างเซตจะถูกนำออกจากวงเล็บ บรรทัดสุดท้ายแสดงผลสุดท้าย - องค์ประกอบของชุด อย่างที่คุณเห็น หากเราใช้หน่วยการวัดเพื่อสร้างเซต ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำของเรา และนี่คือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีน หมอผีสามารถ "บรรลุผลแบบเดียวกันโดยสัญชาตญาณ" โดยโต้แย้งว่า "ชัดเจน" เพราะหน่วยการวัดไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคลังแสง "ทางวิทยาศาสตร์" ของพวกเขา

การใช้หน่วยวัดทำให้เป็นเรื่องง่ายมากที่จะแยกหนึ่งชุดหรือรวมหลายชุดเป็นซูเปอร์เซ็ตเดียว มาดูพีชคณิตของกระบวนการนี้กันดีกว่า

วันเสาร์ที่ 30 มิถุนายน 2018

หากนักคณิตศาสตร์ไม่สามารถลดแนวความคิดไปสู่แนวคิดอื่นได้ พวกเขาก็ไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เลย ฉันตอบ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร คำตอบนั้นง่ายมาก: ตัวเลขและหน่วยการวัด

ทุกวันนี้ ทุกสิ่งที่เราไม่ได้ใช้เป็นของบางเซต (ตามที่นักคณิตศาสตร์รับรองเรา) คุณเห็นรายการชุดที่คุณเป็นเจ้าของในกระจกบนหน้าผากของคุณหรือไม่? และฉันไม่ได้เห็นรายการดังกล่าว ฉันจะพูดมากกว่านี้ - ในความเป็นจริงไม่ใช่สิ่งเดียวที่มีแท็กพร้อมรายการชุดที่เป็นของสิ่งนี้ ฉากทั้งหมดล้วนเป็นสิ่งประดิษฐ์ของหมอผี พวกเขาทำมันได้อย่างไร? เรามาดูประวัติศาสตร์ให้ลึกลงไปอีกหน่อยแล้วดูว่าองค์ประกอบของฉากนี้เป็นอย่างไร ก่อนที่หมอผีนักคณิตศาสตร์จะพาพวกมันเข้าไปในฉากของพวกเขา

นานมาแล้ว เมื่อไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ มีเพียงต้นไม้และดาวเสาร์เท่านั้นที่มีวงแหวน ฝูงองค์ประกอบป่าจำนวนมหาศาลที่ตระเวนไปทั่วสนามฟิสิกส์ (ท้ายที่สุดแล้ว หมอผียังไม่ได้คิดค้นสนามคณิตศาสตร์เลย) พวกเขามีลักษณะเช่นนี้

ใช่ ไม่ต้องแปลกใจเลย จากมุมมองของคณิตศาสตร์ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตจะคล้ายกับเม่นทะเลมากที่สุด - จากจุดหนึ่ง เช่น เข็ม หน่วยวัดจะยื่นออกมาในทุกทิศทาง สำหรับผู้ที่ ฉันขอเตือนคุณว่าหน่วยการวัดใดๆ สามารถแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิตเป็นส่วนที่มีความยาวใดก็ได้ และแสดงตัวเลขเป็นจุดได้ ในเชิงเรขาคณิต ปริมาณใดๆ สามารถแสดงเป็นกลุ่มของส่วนต่างๆ ที่ยื่นออกมาในทิศทางที่ต่างกันจากจุดหนึ่งได้ จุดนี้คือจุดศูนย์ ฉันจะไม่วาดภาพศิลปะเรขาคณิตชิ้นนี้ (ไม่มีแรงบันดาลใจ) แต่คุณสามารถจินตนาการได้อย่างง่ายดาย

หน่วยวัดใดที่ประกอบเป็นองค์ประกอบของเซต? สิ่งต่าง ๆ มากมายที่อธิบายองค์ประกอบที่กำหนดจากมุมมองที่ต่างกัน เหล่านี้เป็นหน่วยวัดโบราณที่บรรพบุรุษของเราใช้และทุกคนลืมไปนานแล้ว นี่คือหน่วยวัดสมัยใหม่ที่เราใช้อยู่ตอนนี้ สิ่งเหล่านี้เป็นหน่วยวัดที่เราไม่รู้จัก ซึ่งลูกหลานของเราจะเกิดขึ้นและจะใช้อธิบายความเป็นจริง

เราได้แยกแยะเรขาคณิตออกแล้ว - แบบจำลองที่นำเสนอขององค์ประกอบของชุดนั้นมีการแสดงทางเรขาคณิตที่ชัดเจน แล้วฟิสิกส์ล่ะ? หน่วยวัดคือการเชื่อมโยงโดยตรงระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ หากหมอผีไม่ยอมรับหน่วยการวัดว่าเป็นองค์ประกอบที่ครบถ้วนของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ นี่ก็เป็นปัญหาของพวกเขา โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่สามารถจินตนาการถึงวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงของคณิตศาสตร์ได้หากไม่มีหน่วยการวัด นั่นคือเหตุผลว่าทำไมในตอนเริ่มต้นของเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีเซต ฉันจึงพูดถึงทฤษฎีนี้ว่าอยู่ในยุคหิน

แต่มาดูสิ่งที่น่าสนใจที่สุดกันดีกว่า - พีชคณิตขององค์ประกอบของเซต ในทางพีชคณิต องค์ประกอบใดๆ ของเซตจะเป็นผลคูณ (ผลคูณ) ของปริมาณที่ต่างกัน หน้าตาเป็นแบบนี้

ฉันจงใจไม่ใช้แบบแผนของทฤษฎีเซต เนื่องจากเรากำลังพิจารณาองค์ประกอบของเซตในสภาพแวดล้อมทางธรรมชาติของมันก่อนที่ทฤษฎีเซตจะเกิดขึ้น ตัวอักษรแต่ละคู่ในวงเล็บแสดงถึงปริมาณที่แยกจากกัน ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขที่ระบุด้วยตัวอักษร " n" และหน่วยวัดที่ระบุด้วยตัวอักษร " ก" ดัชนีถัดจากตัวอักษรระบุว่าตัวเลขและหน่วยวัดแตกต่างกัน องค์ประกอบหนึ่งของชุดสามารถประกอบด้วยจำนวนอนันต์ (เราและลูกหลานของเรามีจินตนาการเพียงพอมากแค่ไหน) แต่ละวงเล็บจะแสดงทางเรขาคณิตเป็น ส่วนที่แยกต่างหาก ในตัวอย่างที่มีเม่นทะเล วงเล็บหนึ่งอันคือเข็มหนึ่งอัน

หมอผีสร้างเซตจากองค์ประกอบที่แตกต่างกันได้อย่างไร ในความเป็นจริงตามหน่วยวัดหรือตามตัวเลข เนื่องจากไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ พวกเขาจึงนำเม่นทะเลหลายๆ ชนิดมาตรวจสอบอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเข็มอันเดียวที่ใช้ประกอบเป็นชุด ถ้ามีเข็มเช่นนั้น ธาตุนี้ก็อยู่ในชุด ถ้าไม่มีเข็มเช่นนั้น แสดงว่าธาตุนี้ไม่ได้มาจากชุดนี้ หมอผีเล่านิทานเกี่ยวกับกระบวนการคิดและภาพรวมให้เราฟัง

ดังที่คุณอาจเดาได้ องค์ประกอบเดียวกันสามารถอยู่ในเซตที่ต่างกันมากได้ ต่อไป ฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าเซต เซ็ตย่อย และเรื่องไร้สาระแบบชามานิกอื่นๆ เกิดขึ้นได้อย่างไร ดังที่คุณเห็นว่า "ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้" แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า "มัลติเซต" สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ขอให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์มาเป็นอย่างดี และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์คนหนึ่งมาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีเส้นดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูนี่. เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

เมื่อเราทำงานกับนิพจน์ต่างๆ ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และตัวแปร เราจะต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์จำนวนมาก เมื่อเราทำการแปลงหรือคำนวณมูลค่า สิ่งสำคัญมากคือต้องปฏิบัติตามลำดับที่ถูกต้องของการกระทำเหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มีลำดับการดำเนินการพิเศษของตนเอง

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

ในบทความนี้เราจะบอกคุณว่าการกระทำใดควรทำก่อนและควรทำสิ่งใดหลังจากนั้น ขั้นแรก มาดูนิพจน์ง่ายๆ สองสามนิพจน์ที่มีเฉพาะตัวแปรหรือค่าตัวเลข ตลอดจนเครื่องหมายการหาร การคูณ การลบ และการบวก จากนั้นลองยกตัวอย่างด้วยวงเล็บแล้วพิจารณาว่าควรคำนวณตามลำดับใด ในส่วนที่สาม เราจะให้ลำดับที่จำเป็นของการแปลงและการคำนวณในตัวอย่างเหล่านั้นซึ่งรวมถึงสัญญาณของราก พลัง และฟังก์ชันอื่นๆ

คำจำกัดความ 1

ในกรณีของนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ ลำดับของการกระทำจะถูกกำหนดอย่างชัดเจน:

1. การกระทำทั้งหมดจะดำเนินการจากซ้ายไปขวา
2. เราทำการหารและการคูณก่อน และการลบและการบวกอย่างที่สอง

ความหมายของกฎเหล่านี้ง่ายต่อการเข้าใจ ลำดับการเขียนจากซ้ายไปขวาแบบดั้งเดิมจะกำหนดลำดับพื้นฐานของการคำนวณ และความจำเป็นในการคูณหรือหารก่อนนั้นอธิบายได้จากสาระสำคัญของการดำเนินการเหล่านี้

เรามาทำงานบางอย่างเพื่อความชัดเจนกันดีกว่า เราใช้เฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ง่ายที่สุดเพื่อให้การคำนวณทั้งหมดสามารถทำได้ทางจิตใจ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถจดจำลำดับที่ต้องการได้อย่างรวดเร็วและตรวจสอบผลลัพธ์ได้อย่างรวดเร็ว

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 7 − 3 + 6 .

สารละลาย

ไม่มีวงเล็บในนิพจน์ของเรา และไม่มีการคูณและการหารด้วย ดังนั้นเราจึงดำเนินการทั้งหมดตามลำดับที่ระบุ ก่อนอื่นเราลบสามออกจากเจ็ด แล้วบวกหกเข้ากับเศษที่เหลือและจบลงด้วยสิบ นี่คือบันทึกของโซลูชันทั้งหมด:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

คำตอบ: 7 − 3 + 6 = 10 .

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:การคำนวณควรทำตามลำดับใดในนิพจน์? 6:2 8:3?

สารละลาย

เพื่อตอบคำถามนี้ เรามาอ่านกฎสำหรับนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บที่เรากำหนดไว้ก่อนหน้านี้อีกครั้ง เรามีเพียงการคูณและการหารตรงนี้ ซึ่งหมายความว่าเราเก็บลำดับการคำนวณเป็นลายลักษณ์อักษรและนับตามลำดับจากซ้ายไปขวา

คำตอบ:ขั้นแรกเราหารหกด้วยสอง คูณผลลัพธ์ด้วยแปด และหารตัวเลขผลลัพธ์ด้วยสาม

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะเท่ากับ 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2

สารละลาย

ขั้นแรก เรามากำหนดลำดับการดำเนินการที่ถูกต้อง เนื่องจากเรามีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ประเภทพื้นฐานทั้งหมดที่นี่ - การบวก ลบ การคูณ การหาร สิ่งแรกที่เราต้องทำคือหารและคูณ การกระทำเหล่านี้ไม่มีลำดับความสำคัญซึ่งกันและกัน ดังนั้นเราจึงดำเนินการตามลำดับลายลักษณ์อักษรจากขวาไปซ้าย นั่นคือ 5 ต้องคูณด้วย 6 จึงจะได้ 30 จากนั้น 30 หารด้วย 3 จึงได้ 10 หลังจากนั้นหาร 4 ด้วย 2 นี่คือ 2 แทนที่ค่าที่พบลงในนิพจน์ดั้งเดิม:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

ไม่มีการหารหรือการคูณอีกต่อไปแล้ว ดังนั้นเราจึงคำนวณที่เหลือตามลำดับและรับคำตอบ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

คำตอบ:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

จนกว่าจะจดจำลำดับของการดำเนินการได้อย่างแม่นยำ คุณสามารถใส่ตัวเลขไว้เหนือเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อระบุลำดับของการคำนวณ ตัวอย่างเช่น สำหรับปัญหาข้างต้น เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

หากเรามีนิพจน์ตัวอักษร เราก็ทำเช่นเดียวกัน ขั้นแรกเราคูณและหาร จากนั้นจึงบวกและลบ

การดำเนินการระยะที่หนึ่งและสองคืออะไร?

บางครั้งในหนังสืออ้างอิง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะแบ่งออกเป็นการดำเนินการของขั้นที่หนึ่งและขั้นที่สอง ให้เรากำหนดคำจำกัดความที่จำเป็น

การดำเนินการในระยะแรก ได้แก่ การลบและการบวก ขั้นที่สองคือการคูณและการหาร

เมื่อรู้ชื่อเหล่านี้แล้ว เราก็สามารถเขียนกฎที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับลำดับการกระทำได้ดังนี้:

คำจำกัดความ 2

ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ คุณต้องดำเนินการของขั้นตอนที่สองในทิศทางจากซ้ายไปขวาก่อน จากนั้นจึงดำเนินการของขั้นตอนแรก (ในทิศทางเดียวกัน)

ลำดับการคำนวณในนิพจน์ที่มีวงเล็บ

วงเล็บเป็นสัญญาณที่บอกเราถึงลำดับการกระทำที่ต้องการ ในกรณีนี้สามารถเขียนกฎที่ต้องการได้ดังนี้:

คำจำกัดความ 3

หากมีวงเล็บในนิพจน์ ขั้นตอนแรกคือดำเนินการในวงเล็บ หลังจากนั้นเราจะคูณและหาร จากนั้นจึงบวกและลบจากซ้ายไปขวา

สำหรับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บนั้นถือได้ว่าเป็นส่วนสำคัญของนิพจน์หลัก เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ในวงเล็บ เราจะคงขั้นตอนเดิมที่เรารู้จักไว้ เรามาแสดงแนวคิดของเราด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

สารละลาย

มีวงเล็บอยู่ในนิพจน์นี้ เรามาเริ่มกันที่วงเล็บกันก่อน ก่อนอื่น ลองคำนวณว่า 7 − 2 · 3 จะเป็นเท่าใด ที่นี่เราต้องคูณ 2 ด้วย 3 และลบผลลัพธ์ออกจาก 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

เราคำนวณผลลัพธ์ในวงเล็บที่สอง ที่นั่นเรามีการกระทำเดียวเท่านั้น: 6 − 4 = 2 .

ตอนนี้เราต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในนิพจน์ดั้งเดิม:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

เริ่มต้นด้วยการคูณและการหาร จากนั้นทำการลบและรับ:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

นี่เป็นการสรุปการคำนวณ

คำตอบ: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

อย่าตกใจหากเงื่อนไขของเรามีนิพจน์ที่มีวงเล็บบางอันล้อมรอบเครื่องหมายอื่น เราจำเป็นต้องใช้กฎข้างต้นกับนิพจน์ทั้งหมดในวงเล็บอย่างสม่ำเสมอ เรามาเอาปัญหานี้กัน

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

สารละลาย

เรามีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ เราเริ่มต้นด้วย 3 + 1 + 4 · (2 ​​​​+ 3) คือ 2 + 3 มันจะเป็น 5 ค่าจะต้องถูกแทนที่ในนิพจน์และคำนวณว่า 3 + 1 + 4 · 5 เราจำได้ว่าก่อนอื่นเราต้องคูณแล้วบวก: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. แทนที่ค่าที่พบลงในนิพจน์ดั้งเดิมเราจะคำนวณคำตอบ: 4 + 24 = 28 .

คำตอบ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่มีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ เราจะเริ่มต้นด้วยวงเล็บด้านในและดำเนินการไปจนถึงวงเล็บด้านนอก

สมมติว่าเราต้องหาว่า (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 จะเป็นเท่าใด เราเริ่มต้นด้วยนิพจน์ในวงเล็บด้านใน เนื่องจาก 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 นิพจน์เดิมสามารถเขียนเป็น (4 + (4 + 1) − 1) − 1 มองอีกครั้งที่วงเล็บด้านใน: 4 + 1 = 5 เรามาถึงการแสดงออก (4 + 5 − 1) − 1 . เรานับ 4 + 5 − 1 = 8 และผลที่ได้คือผลต่าง 8 - 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 7

ลำดับการคำนวณในนิพจน์ที่มีกำลัง ราก ลอการิทึม และฟังก์ชันอื่นๆ

หากเงื่อนไขของเรามีนิพจน์ที่มีฟังก์ชันยกกำลัง รูท ลอการิทึม หรือตรีโกณมิติ (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์) หรือฟังก์ชันอื่น ก่อนอื่นเราจะคำนวณค่าของฟังก์ชันนั้น หลังจากนั้นเราดำเนินการตามกฎที่ระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันมีความสำคัญเท่ากันกับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บ

ลองดูตัวอย่างการคำนวณดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:หาว่าเท่าไหร่ (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

สารละลาย

เรามีนิพจน์ที่มีดีกรีซึ่งจะต้องค้นหาค่าก่อน เรานับ: 6 2 = 36 ทีนี้ลองแทนที่ผลลัพธ์เป็นนิพจน์ หลังจากนั้นจะอยู่ในรูปแบบ (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 - 7 = 13

คำตอบ: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

ในบทความแยกต่างหากที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณค่าของนิพจน์ เรามีตัวอย่างการคำนวณอื่น ๆ ที่ซับซ้อนมากขึ้นในกรณีของนิพจน์ที่มีราก องศา ฯลฯ เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับมัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter