Gåta om 4 fångar. Intressanta logiska problem. Gåta om fångarna

Det finns 10 fångar i fängelset, var och en i isoleringscell. De kan inte kommunicera med varandra. En vacker dag meddelade fängelsechefen för dem att han gav alla en chans att släppas under följande villkor:

« I fängelsets källare finns ett rum med en strömbrytare som har två lägen: PÅ och AV ("på" och "av"). Varje natt kommer jag att ta med exakt en fånge in i det här rummet (och välja honom helt slumpmässigt) och ta bort honom efter ett tag. När du är i rummet kan var och en av er antingen ändra strömbrytarens läge eller inte göra något med den. Fängelsepersonalen kommer inte att röra den här strömbrytaren. Någon gång måste någon av er (vem som helst) inse att alla fångar har varit i rummet och rapportera det. Om han visar sig ha rätt kommer alla att släppas om han har fel, ni kommer alla att förbli i fängelse för alltid. Jag lovar att alla fångar kommer att besöka rummet, och var och en kommer att föras dit ett obegränsat antal gånger».

Efter detta fick fångarna samlas och diskutera sin handlingsstrategi och fördes sedan tillbaka till sina celler.

Kan de fångar kommer garanterat att släppas, och i så fall då Hur kan de uppnå detta?

Ledtråd

Det verkar, hur kan en fånge som förs in i ett rum dra fördel av det faktum att han ser strömbrytaren i PÅ-läget? Och om han växlar till AV – hur kan nästa fånge dra nytta av det?

Ändå finns en strategi som garanterat leder fångar till frälsning. Till exempel kan fångar dela upp dagarna i decennier (10-dagarsintervall) och komma överens om att de kommer att vänta på en sådan händelse: den första av dem kommer att tas in i rummet på decenniets första dag, den andra på den andra dag, etc., den tionde den sista dagen . Eftersom sannolikheten för en sådan händelse inte är noll, kommer det förr eller senare att hända! Gissa hur de kan agera så att den 10:e kan förstå att en sådan händelse faktiskt hände under ett givet decennium.

Lösning

1. Det enklaste, men också det längsta alternativet är att agera som anges i tipset. För att signalera det senare måste varje fånge som fördes in i ett rum INTE PÅ DERES dag vrida omkopplaren till PÅ-läget. Om den 10:e fången faktiskt är i rummet den 10:e dagen av decenniet och ser strömbrytaren i läget AV, säger han omedelbart till vaktmästaren att alla fångar har varit i rummet. Om den 10:e dagen någon annan är i rummet, eller den 10:e dagen ser strömbrytaren i läget PÅ, så börjar allt igen...

Denna lösning, trots all sin enkelhet, är i huvudsak dålig - de stackars fångarna kommer att få vänta för länge. Faktum är att av alla möjliga 10 10 alternativ för dem att besöka ett rum under ett decennium, är det bara ett som passar dem - därmed är sannolikheten sid deras frisättning i naturen inom ett decennium är lika med 1/10 10. Med relativt enkla beräkningar kan det bevisas att den genomsnittliga tiden det tar för dem att släppas är 1/ sid= 10 10 decennier, eller 10 11 dagar, eller mer än 270 miljoner år. I allmänhet lever människor inte så länge.

2. Men samma beslut föreslår hur de kan påskynda sin frigivning. För att göra detta måste de vänta på följande händelse: under decenniet besökte var och en av de 10 personerna rummet exakt en gång. Hur "signaleras" en sådan händelse? Ja, nästan likadant: om någon slås på för andra gången under samma årtionde, vrider han strömbrytaren till ON. Således, om en fånge som fördes dit den 10:e dagen av ett decennium är där för första gången (på ett decennium) och ser strömbrytaren i OFF-läge, informerar han vaktmästaren att alla kan släppas.

Denna metod fungerar mycket snabbare, eftersom antalet gynnsamma utfall nu inte är 1, utan 10! = 3628800. Det betyder att sannolikheten p" släpp under de första tio dagarna är inte så liten - det är lika med 0,00036288. Därför är det förväntade antalet decennier före utträde 1/ p"≈ 2755, det vill säga de kommer att släppas om cirka 75 år. Så någon kanske kommer att leva för att se befrielse, även om du egentligen inte borde hoppas på det.

Är det verkligen så tråkigt?

3. Lyckligtvis har fångar ett fundamentalt annorlunda sätt att göra saker på.

Till exempel kan de komma överens om att den som förs in i rummet den första natten ställer strömbrytaren till AV och blir RÄKNARE. Resten av fångarna förblir VANLIGA. Varje vanlig fånge måste sända exakt en signal till disken när han går in i rummet med strömbrytaren. Detta görs så här: väl framme tittar en vanlig fånge på strömbrytarens läge. Om den är AV, ställer fången den till PÅ och överväger den sända signalen. Om strömbrytaren redan är i ON-läget, gör fången ingenting - med andra ord väntar på nästa lämpliga tillfälle.

Räknaren, som går in i kameran och ser omkopplaren i PÅ-läget, förstår att en signal har sänts till den (kommer ihåg detta), och för att göra det möjligt att sända nästa signal ställer den omkopplaren till AV. Om han ser strömbrytaren i OFF, så gör han ingenting och väntar även på nästa gång.

Så fort räknaren får den 9:e signalen rapporterar han omedelbart detta till vaktmästaren.

Hur länge kommer deras fängelse att pågå med denna strategi? Att beräkna detta är inte längre lika lätt som det brukade vara, eftersom sannolikheten för att fången lyckas sända signalen nästa dag minskar gradvis från 9/10 för den första signalen till 1/10 för den sista signalen. Samtidigt är sannolikheten att komma in i diskens rum när som helst 1/10. Icke desto mindre är räknemekanismen i allmänhet liknande: i genomsnitt kommer det att gå 10/9 dagar innan den första signalen sänds, och ytterligare 10 dagar kommer att passera tills den tas emot av räknaren. Sedan tar den andra signalen 10/8 + 10 dagar, den tredje - 10/7 + 10, och så vidare. Det totala antalet dagar är inte alls lika många som i tidigare beslut.

Efterord

Finns det inte en ännu snabbare handlingsstrategi?

För 10 fångar kanske inte, men för fler, ja. Författaren till denna strategi, B. Felgenauer, kallade den "pyramidal".

För att göra det lättare att förstå, låt oss anta att antalet fångar är lika med en potens av två, till exempel 64. Som i den tidigare lösningen måste alla antingen ge en signal (exakt en) eller samla alla signaler. För att göra det lättare för dem att göra detta är alla nätter uppdelade i sektioner med olika "kostnader": först finns det "1-nätter", under vilka alla skickar eller tar emot enstaka signaler, sedan finns det "2-nätter", under som alla ger eller så får de "dubbla" signaler, det vill säga varje signal rapporterar två fångar, då inträffar "4-nätter", "8-nätter" etc. Om allt händer framgångsrikt, då när det kommer till "32-. nätter”, exakt två fångar kvarstår som bärare av signalerna, och under loppet av 32 nätter ger en av dem sin signal till den andra, varefter han inser att han har samlat en samling av alla 64 signalerna, vilket betyder att alla har varit i rummet.

Naturligtvis kan sådan "framgång" inte hända, så efter 32 nätter upprepas hela cykeln på 1-, 2-, 4-, 8-, 16-, 32-nätter igen.

Hur sker sändning och mottagning av signaler i ett pyramidspel?

Så här gör du: om under k-på natten kommer fången in i rummet och ser strömbrytaren i läge ON, då accepterar han k-signal och ställer omkopplaren på OFF. Om han vid det här laget redan hade en k-signal, då har han nu två sådana signaler, eller en 2 k-signal (som han kommer att försöka antingen ge bort eller dubbla igen i period 2 k-nätter). Om han kom in i rummet med sin k-signal och ser AV, sedan sätts den PÅ och räknas k-signal ges.

Det är i allmänhet allt. Resten är tråkiga tekniska detaljer (hur långa nätter av en viss typ ska vara så att alla nödvändiga signaler sänds med tillräcklig sannolikhet, och det inte är för mycket av en fördröjning innan nästa typ av natt börjar).

Denna uppgift är direkt relaterad till informationsteori - den visar att även den smalaste (endast 1 bit - PÅ/AV) kanalen låter dig överföra ganska mycket information.

Jag vet inte exakt vem som är författaren till formuleringen "fängelse", men det var denna roliga formulering som bokstavligen erövrade världen. Dessutom, trots problemets relativa ungdom, har det redan fått en massa oväntade variationer och komplikationer. Till exempel:

Två strömbrytare. I rummet där fångar förs finns det inte en utan två strömbrytare (därför kan du ta dig ut snabbare. Fråga: hur mycket?)

Två rum. Fångar förs inte till ett, utan till två olika rum, också utvalda slumpmässigt. Varje rum har sin egen strömbrytare.

Separering av sändare och mottagare. Varje midnatt vrider vaktmästaren omkopplaren till AV-läget. Klockan ett på morgonen för han dit den första fången, för sedan bort honom och klockan två på morgonen tar han dit den andra. Således måste den första av dem "fungera" som en sändare av information och den andra som en mottagare.

Arg chef. Vaktmästaren kan fångarnas strategi och varje dag väljer han en fånge att besöka rummet för att göra deras uppgift så svår som möjligt för fångarna.

Killar, vi lägger vår själ i sajten. Tack för det
att du upptäcker denna skönhet. Tack för inspirationen och gåshuden.
Gå med oss ​​på Facebook Och I kontakt med

Dessa uppgifter kan lösas i farten medan du mumsar på en smörgås under din lunchrast. Eller så kan du krossa hela din hjärna, men ändå inte ta reda på var sanningen är och vad haken är.

Vi erbjuder dig tillsammans med hemsida sträck på hjärnan och knäck logiska problem som nötter.

1. Gåtan om fångarna

4 fångar dömdes till döden.

De tog på sig två vita hattar och två svarta hattar. Män vet inte vilken färg hatt de bär. Fyra fångar ställdes upp en efter en (se bild) på ett sådant sätt att:

Fånge #1 kan se Prisoners #2 och #3.

Fånge #2 kan se Prisoner #3.

Fånge #3 ser ingen.

Fånge #4 ser ingen.

Domaren lovade frihet till alla fångar som angav färgen på hans hatt.

Fråga: Vem namngav färgen på deras hatt först?

De 4:e och 3:e fångarna är tysta eftersom de inte ser någonting alls.

Den 1:e fången är tyst eftersom han ser hattar i olika färger framför sig: de på 2:an och 3:an. Följaktligen har han antingen en vit eller en svart hatt.

Den 2:e fången, som inser att 1:an är tyst, drar slutsatsen att hans hatt inte är i samma färg som den 3:e, nämligen vit.

Slutsats: Fånge nr 2 var den första att namnge färgen på sin hatt.

2. Svårigheter på vägen

En man, medan han bytte däck på sin bil, tappade alla fyra muttrarna i ett avloppsgaller. Det är omöjligt att få dem därifrån. Föraren hade redan bestämt sig för att han satt fast länge på vägen, men då gav ett förbipasserande barn råd om hur han skulle säkra ratten. Chauffören följde rådet och körde lugnt till närmaste däckverkstad.

Fråga: Vad tipsade barnet om?

3. Valdeltagandet misslyckades

Mannen behövde infiltrera den hemliga klubben utan att väcka misstankar. Han märkte att alla som kom först svarade på vaktens frågor och först sedan gick in. Den första personen som kom tillfrågades: "22?" Han svarade: "11!" - och gick igenom. Till den andra: "28?" Svaret var: "14". Och det visade sig också stämma. Mannen bestämde sig för att allt var enkelt och närmade sig djärvt vakten. "42?" - frågade vakten. "21!" – svarade mannen självsäkert och blev omedelbart utvisad.

Fråga: Varför?

4. Gåva från Baba Yaga

Sommaren hade redan tagit slut när Ivan Tsarevich, på väg till det avlägsna kungariket för sin brud, bad om en övernattning i en hydda på kycklinglår. Baba Yaga hälsade vänligt på gästen, gav honom något att dricka, matade och lade honom i säng. Nästa morgon såg hon av Tsarevich Ivan med följande avskedsord: "Du kommer att möta en flod längs vägen, det finns ingen bro över den - du måste simma. Ta denna magiska kaftan. Ta på dig den och kasta dig djärvt i floden, kaftanen låter dig inte drunkna.” Ivan Tsarevich gick i hundra dagar och nätter och nådde slutligen floden. Men han behövde ingen kaftan för att övervinna det.

Fråga: Varför?

5. Burar med kaniner

På gården fanns det 3 stora celler i rad, målade i olika färger: rött, gult och grönt. Kaniner levde i burar, och det var dubbelt så många av dem i den gröna buren som i den gula. En dag togs 5 kaniner från den vänstra buren för ett levande hörn, och hälften av de återstående överfördes till den röda buren.

Fråga: Vilken färg hade den vänstra cellen?

Cellen var gul. Problemet tyder på att det fanns dubbelt så många kaniner i den gröna buren - därför finns det ett jämnt antal av dem där. Efter att fem togs från den vänstra cellen fanns ett jämnt nummer kvar i den (eftersom den lätt delades på mitten). Det betyder att antalet kaniner var udda före fångsten. Den vänstra cellen är alltså inte grön. Men det är inte heller rött, vilket kan ses av förhållandena för problemet.

6. Vem bär skulden?

Sent på kvällen, i en av gränderna, körde en okänd bil på en man och försvann. Polismannen märkte att bilen rörde sig i hög hastighet. 6 personer som var i närheten rapporterade motstridiga uppgifter.

Dessa uppgifter kan lösas i farten medan du mumsar på en smörgås under din lunchrast. Eller så kan du krossa hela din hjärna, men ändå inte ta reda på var sanningen är och vad haken är.

1. Gåtan om fångarna

4 fångar dömdes till döden.

De tog på sig två vita hattar och två svarta hattar. Män vet inte vilken färg hatt de bär. Fyra fångar ställdes upp en efter en (se bild) på ett sådant sätt att:

Fånge #1 kan se Prisoners #2 och #3.

Fånge #2 kan se Prisoner #3.

Fånge #3 ser ingen.

Fånge #4 ser ingen.

Domaren lovade frihet till alla fångar som angav färgen på hans hatt.

Fråga: Vem namngav färgen på deras hatt först?

De 4:e och 3:e fångarna är tysta eftersom de inte ser någonting alls.

Den 1:e fången är tyst eftersom han ser hattar i olika färger framför sig: de på 2:an och 3:an. Följaktligen har han antingen en vit eller en svart hatt.

Den 2:e fången, som inser att 1:an är tyst, drar slutsatsen att hans hatt inte är i samma färg som den 3:e, nämligen vit.

Slutsats: Fånge nr 2 var den första att namnge färgen på sin hatt.

2. Svårigheter på vägen

En man, medan han bytte däck på sin bil, tappade alla fyra muttrarna i ett avloppsgaller. Det är omöjligt att få dem därifrån. Föraren hade redan bestämt sig för att han satt fast länge på vägen, men då gav ett förbipasserande barn råd om hur han skulle säkra ratten. Chauffören följde rådet och körde lugnt till närmaste däckverkstad.

Fråga: Vad tipsade barnet om?

Skruva loss 1 mutter från de återstående 3 hjulen och fäst det fjärde med dem.

3. Valdeltagandet misslyckades

Mannen behövde infiltrera den hemliga klubben utan att väcka misstankar. Han märkte att alla som kom först svarade på vaktens frågor och först sedan gick in. Den första personen som kom tillfrågades: "22?" Han svarade: "11!" - och gick igenom. Till den andra: "28?" Svaret var: "14". Och det visade sig också stämma. Mannen bestämde sig för att allt var enkelt och närmade sig djärvt vakten. "42?" - frågade vakten. "21!" – svarade mannen självsäkert och blev omedelbart utvisad.

Fråga: Varför?

Vid första anblicken verkar det som om lösenordet är resultatet av att dividera det namngivna numret med 2. Detta är faktiskt antalet bokstäver i de föreslagna siffrorna. Rätt svar är inte 21 utan 8.

4. Gåva från Baba Yaga

Sommaren hade redan tagit slut när Ivan Tsarevich, på väg till det avlägsna kungariket för sin brud, bad om en övernattning i en hydda på kycklinglår. Baba Yaga hälsade vänligt på gästen, gav honom något att dricka, matade och lade honom i säng. Nästa morgon såg hon av Tsarevich Ivan med följande avskedsord: "Du kommer att möta en flod längs vägen, det finns ingen bro över den - du måste simma. Ta denna magiska kaftan. Ta på dig den och kasta dig djärvt i floden, kaftanen låter dig inte drunkna.” Ivan Tsarevich gick i hundra dagar och nätter och nådde slutligen floden. Men han behövde ingen kaftan för att övervinna det.

Fråga: Varför?

Ivan Tsarevich besökte Baba Yaga i september. Vi räknar ner 100 dagar och får reda på att vintern redan är i full gång. Floden är frusen, och du kan säkert korsa den utan kaftan.

5. Burar med kaniner

På gården fanns det 3 stora celler i rad, målade i olika färger: rött, gult och grönt. Kaniner levde i burar, och det var dubbelt så många av dem i den gröna buren som i den gula. En dag togs 5 kaniner från den vänstra buren för ett levande hörn, och hälften av de återstående överfördes till den röda buren.

Fråga: Vilken färg hade den vänstra cellen?

Cellen var gul. Problemet tyder på att det fanns dubbelt så många kaniner i den gröna buren - därför finns det ett jämnt antal av dem där. Efter att fem togs från den vänstra cellen fanns ett jämnt nummer kvar i den (eftersom den lätt delades på mitten). Det betyder att antalet kaniner var udda före fångsten. Den vänstra cellen är alltså inte grön. Men det är inte heller rött, vilket kan ses av förhållandena för problemet.

6. Vem bär skulden?

Sent på kvällen, i en av gränderna, körde en okänd bil på en man och försvann. Polismannen märkte att bilen rörde sig i hög hastighet. 6 personer som var i närheten rapporterade motstridiga uppgifter:

• "Bilen var blå, föraren var en man."
• "Bilen färdades i hög hastighet och med strålkastarna avstängda."
• "Bilen hade en registreringsskylt och körde inte särskilt fort."
• "Moskvich-bilen körde med släckta lampor."
• – Bilen saknade registreringsskylt och kördes av en kvinna.
• "Pobeda-bilen, grå."

När bilen greps visade det sig att endast ett vittne lämnat korrekta uppgifter. De återstående fem - en korrekt och en felaktig fakta vardera.

namn fabrikat, färg och hastighet på bilen. Hade bilen en registreringsskylt, hade den ljus och kördes den av en man eller en kvinna?

Det var en Pobeda-bil, blå, med registreringsskylt. Hon gick i hög hastighet och med strålkastarna avstängda. Det var en kvinna som körde. Vi fokuserar på vaktens avläsningar - hög fordonshastighet. Eftersom vi vet att bevisen på låg hastighet uppenbarligen är felaktiga, bestämmer vi de återstående alternativen.

7. Bonus

Så vad gör alla människor på jorden samtidigt?

De blir äldre.

1. Gåtan om fångarna

4 fångar dömda till döden
De tog på sig två vita hattar och två svarta hattar. Män vet inte vilken färg hatt de bär. Fyra fångar ställdes upp efter varandra (se bild) på ett sådant sätt att:
Fånge #1 kan se Prisoners #2 och #3.
Fånge #2 kan se Prisoner #3.
Fånge #3 ser ingen.
Fånge #4 ser ingen.
Domaren lovade frihet till alla fångar som angav färgen på hans hatt.
Fråga: Vem namngav färgen på deras hatt först?
2. Svårigheter på vägen
En man, medan han bytte däck på sin bil, tappade alla fyra muttrarna i ett avloppsgaller. Det är omöjligt att få dem därifrån. Föraren hade redan bestämt sig för att han satt fast på vägen en längre tid, men då gav ett barn som gick förbi honom råd om hur han skulle säkra ratten. Föraren följde rådet och körde lugnt till närmaste däckverkstad.
Fråga: Vad tipsade barnet om?

3. Valdeltagandet misslyckades
Mannen behövde infiltrera den hemliga klubben utan att väcka misstankar. Han märkte att alla som kom först svarade på vaktens frågor och först sedan gick in. Den första personen som kom tillfrågades: "22?" Han svarade: "11!" - och gick igenom. Till den andra: "28?" Svaret var: "14". Och det visade sig också vara sant. Mannen bestämde sig för att allt var enkelt och närmade sig djärvt vakten. "42?" - frågade vakten. "21!" – svarade mannen självsäkert och blev omedelbart utvisad.
Fråga: Varför?

4. Gåva från Baba Yaga
Sommaren hade redan tagit slut när Ivan Tsarevich, på väg till det avlägsna kungariket för sin brud, bad om en övernattning i en hydda på kycklinglår. Baba Yaga hälsade vänligt på gästen, gav honom något att dricka, matade och lade honom i säng. Nästa morgon såg hon av Tsarevich Ivan med följande avskedsord: "Du kommer att möta en flod längs vägen, det finns ingen bro över den - du måste simma. Ta denna magiska kaftan. Ta på dig den och kasta dig djärvt i floden, kaftanen låter dig inte drunkna.” Ivan Tsarevich gick i hundra dagar och nätter och nådde slutligen floden. Men han behövde ingen kaftan för att övervinna det.
Fråga: Varför?
5. Burar med kaniner
På gården fanns 3 stora celler i rad, målade i olika färger: rött, gult och grönt. Kaniner levde i burar, och det var dubbelt så många av dem i den gröna buren som i den gula. En dag togs 5 kaniner från den vänstra buren för ett levande hörn, och hälften av de återstående överfördes till den röda buren.
Fråga: Vilken färg hade den vänstra cellen?
6. Vem bär skulden?
Sent på kvällen, i en av gränderna, körde en okänd bil på en man och försvann. Polismannen märkte att bilen rörde sig i hög hastighet. 6 personer som råkade vara i närheten rapporterade motstridiga uppgifter: "Bilen var blå, föraren var en man." "Bilen hade en registreringsskylt och körde inte särskilt fort." "Moskvich-bilen körde med släckta lampor." "Bilen hade ingen registreringsskylt, föraren var en kvinna." "Pobeda-bilen, grå."
När bilen greps visade det sig att endast ett vittne lämnat korrekta uppgifter. De återstående fem - en korrekt och en felaktig fakta vardera.
namn fabrikat, färg och hastighet på bilen. Hade bilen en registreringsskylt, hade den ljus och kördes den av en man eller en kvinna?
7. Bonus
Så vad gör alla människor på jorden samtidigt?

Svar:

1. De 4:e och 3:e fångarna är tysta eftersom de inte ser någonting alls. Den 1:e fången är tyst eftersom han ser hattar i olika färger framför sig: de på 2:an och 3:an. Följaktligen har han antingen en vit eller en svart hatt. Den 2:e fången, som inser att 1:an är tyst, drar slutsatsen att hans hatt inte är i samma färg som den 3:e, nämligen vit. Slutsats: Fånge nr 2 var den första att namnge färgen på sin hatt.
2. Skruva loss 1 mutter från de återstående 3 hjulen och fäst det fjärde med dem.
3. Vid första anblicken verkar det som om lösenordet är resultatet av att dividera det namngivna numret med 2. Detta är faktiskt antalet bokstäver i de föreslagna siffrorna. Rätt svar är inte 21 utan 8.
4. Ivan Tsarevich besökte Baba Yaga i september. Vi räknar ner 100 dagar och får reda på att vintern redan är i full gång. Floden är frusen, och du kan säkert korsa den utan kaftan.
5. Cellen var gul. Problemet tyder på att det fanns dubbelt så många kaniner i den gröna buren - därför finns det ett jämnt antal av dem där. Efter att fem togs från den vänstra cellen fanns ett jämnt nummer kvar i den (eftersom den lätt delades på mitten). Det betyder att antalet kaniner var udda före fångsten. Den vänstra cellen är alltså inte grön. Men det är inte heller rött, vilket kan ses av förhållandena för problemet.
6. Det var en Pobeda-bil, blå, med registreringsskylt. Hon gick i hög hastighet och med strålkastarna avstängda. Det var en kvinna som körde. Vi fokuserar på vaktens avläsningar - hög fordonshastighet. Eftersom vi vet att bevisen på låg hastighet uppenbarligen är felaktiga, bestämmer vi de återstående alternativen.
7. De blir äldre.

Baserat på material från Smekalka