Här är rörelsemängden i förhållande till rotationsaxeln, det vill säga projektionen på rörelsemängdens axel, definierad i förhållande till någon punkt som hör till axeln (se föreläsning 2). - detta är ögonblicket för externa krafter i förhållande till rotationsaxeln, det vill säga projektionen på axeln av det resulterande momentet av yttre krafter, definierad i förhållande till någon punkt som hör till axeln, och valet av denna punkt på axeln , som i fallet med c, spelar ingen roll. Faktum är att (Fig. 3.4), där är komponenten av kraften som appliceras på den stela kroppen, vinkelrätt mot rotationsaxeln, är ansatsen av kraften i förhållande till axeln.

Ris. 3.4.

Eftersom ( är kroppens tröghetsmoment i förhållande till rotationsaxeln), kan vi istället för att skriva

(3.8)

Vektorn är alltid riktad längs rotationsaxeln och är komponenten av vektorn för kraftmomentet längs axeln.

I fallet får vi respektive och vinkelmomentet kring axeln bevaras. Samtidigt vektorn själv L, definierad i förhållande till någon punkt på rotationsaxeln, kan variera. Ett exempel på en sådan rörelse visas i fig. 3.5.

Ris. 3.5.

Stång AB, ledat i punkt A, roterar genom tröghet runt en vertikal axel på ett sådant sätt att vinkeln mellan axeln och stången förblir konstant. Momentum vektor L, relativt punkt A rör sig längs en konisk yta med en halvöppningsvinkel, men projektionen L på den vertikala axeln förblir konstant, eftersom tyngdmomentet kring denna axel är noll.

Kinetisk energi hos en roterande kropp och arbetet med yttre krafter (rotationsaxeln är stationär).

Hastigheten för den i:te partikeln i kroppen

(3.11)

var är partikelns avstånd till rotationsaxeln Kinetisk energi

(3.12)

som vinkelhastighet rotationen för alla punkter är densamma.

I enlighet med lagen om förändring av mekanisk energi systemet är det elementära arbetet för alla yttre krafter lika med ökningen av kroppens kinetiska energi:

låt oss utelämna att slipstensskivan roterar av tröghet med vinkelhastighet och vi stoppar den genom att trycka ett föremål mot skivans kant med konstant kraft. I detta fall kommer en kraft av konstant storlek riktad vinkelrätt mot dess axel att verka på skivan. Denna krafts arbete

var är skivans tröghetsmoment skärpt tillsammans med ankaret på elmotorn.

Kommentar. Om krafterna är sådana att de inte ger arbete.

fria axlar. Stabilitet av fri rotation.

När en kropp roterar runt en fast axel hålls denna axel i ett konstant läge av lager. När de obalanserade delarna av mekanismerna roterar uppstår en viss dynamisk belastning på axlarna (axlarna) Vibrationer, skakningar uppstår och mekanismerna kan kollapsa.

Om en stel kropp snurras runt en godtycklig axel, stelt förbunden med kroppen, och axeln frigörs från lagren, kommer dess riktning i rymden, generellt sett, att förändras. För att en godtycklig rotationsaxel för kroppen ska hålla sin riktning oförändrad måste vissa krafter appliceras på den. De resulterande situationerna visas i fig. 3.6.

Ris. 3.6.

En massiv homogen stång AB används här som en roterande kropp, fäst vid en tillräckligt elastisk axel (avbildad med dubbla streckade linjer). Axelns elasticitet gör det möjligt att visualisera de dynamiska belastningar den upplever. I alla fall är rotationsaxeln vertikal, styvt förbunden med stången och fixerad i lager; staven snurras runt denna axel och lämnas åt sig själv.

I det fall som visas i fig. 3.6a, rotationsaxeln är den huvudsakliga för punkten B på stången, men inte den centrala, axeln böjer sig, från sidan av axeln verkar kraften som säkerställer dess rotation på stången (i den NISO-associerade med staven balanserar denna kraft tröghetscentrifugalkraften). Från sidan av stången verkar en kraft på axeln balanserad av krafterna från sidan av lagren.

I fallet med fig. 3.6b passerar rotationsaxeln genom stavens masscentrum och är central för den, men inte den huvudsakliga. Vinkelmomentet kring masscentrum O är inte bevarat och beskriver en konisk yta. Axeln deformeras (bryts) på ett komplext sätt, krafter verkar på stången från sidan av axeln och vars moment ger ett inkrement (I NISO associerad med stången kompenserar momentet av elastiska krafter för momentet av centrifugala tröghetskrafter som verkar på den ena och andra halvan av stången). Från sidan av stången verkar krafter på axeln och riktas motsatt krafterna och Kraftmomentet och balanseras av kraftmomentet och som uppstår i lagren.

Och endast i fallet när rotationsaxeln sammanfaller med huvudtröghetsaxeln för kroppen (fig. 3.6c), har stången ovriden och lämnad för sig själv ingen effekt på lagren. Sådana axlar kallas fria axlar, för om lagren tas bort kommer de att hålla sin riktning i rymden oförändrad.

Det är en annan sak om denna rotation kommer att vara stabil med avseende på små störningar, som alltid sker under verkliga förhållanden. Experiment visar att rotation kring de centrala huvudaxlarna med största och minsta tröghetsmoment är stabil, och rotation runt en axel med ett mellanvärde av tröghetsmomentet är instabil. Detta kan verifieras genom att kasta upp en kropp i form av en parallellepiped, otvinnad kring en av de tre inbördes vinkelräta huvudaxlarna (fig. 3.7). Axel AA" motsvarar den största, axel BB" - medelvärdet och axel CC" - parallellepipedens minsta tröghetsmoment. ganska stabilt. Försök att få kroppen att rotera runt axeln BB "leder inte till framgång - kroppen rör sig på ett komplext sätt, tumlar under flykten.

- stel kropp - Euler-vinklar

Se även:

Arbete och kraft under rotation av en stel kropp.

Låt oss hitta ett uttryck för arbete under kroppens rotation. Låt kraften appliceras på en punkt som ligger på avstånd från axeln - vinkeln mellan kraftens riktning och radievektorn. Eftersom kroppen är absolut stel, är denna krafts arbete lika med det arbete som går åt för att vända hela kroppen. När kroppen roterar genom en oändligt liten vinkel passerar appliceringspunkten banan och arbetet är lika med produkten av projektionen av kraften på förskjutningsriktningen med storleken på förskjutningen:

Modulen för kraftmomentet är lika med:

då får vi följande formel för att beräkna arbetet:

Således är arbetet under rotation av en stel kropp lika med produkten av momentet för den verkande kraften och rotationsvinkeln.

Kinetisk energi hos en roterande kropp.

Tröghetsmoment matt.t. kallad fysisk värdet är numeriskt lika med produkten av massan av matt.t. med kvadraten på avståndet för denna punkt till rotationsaxeln W ki \u003d m i V 2 i / 2 V i -Wr i Wi \u003d miw 2 r 2 i / 2 \u003d w 2 / 2 * m i r i 2 I i \u003d m i r 2 i tröghetsmomentet för en stel kropp är lika med summan av all mat.t I=S i m i r 2 i tröghetsmomentet för en stel kropp kallas. fysiskt värde lika med summan av produkterna av mat.t. av kvadraterna på avstånden från dessa punkter till axeln. W i -I i W 2 /2 W k \u003d IW 2 /2

W k \u003d S i W ki tröghetsmoment under rotationsrörelse yavl. analog av massa i translationell rörelse. I=mR2/2

21. Icke-tröghetsreferenssystem. Tröghetskrafter. Likvärdighetsprincipen. Rörelseekvation i icke-tröghetsreferensramar.

Icke-tröghetsreferensram- ett godtyckligt referenssystem som inte är trögt. Exempel på icke-tröghetsreferensramar: en ram som rör sig i en rak linje med konstant acceleration, samt en roterande ram.

När man överväger rörelseekvationerna för en kropp i en icke-tröghetsreferensram, är det nödvändigt att ta hänsyn till ytterligare tröghetskrafter. Newtons lagar är endast giltiga i tröghetsreferensramar. För att hitta rörelseekvationen i en icke-tröghetsram är det nödvändigt att känna till lagarna för transformation av krafter och accelerationer i övergången från en tröghetsram till vilken som helst icke-tröghetsram.

Klassisk mekanik postulerar följande två principer:

tiden är absolut, det vill säga tidsintervallen mellan två valfria händelser är desamma i alla godtyckligt rörliga referensramar;

rymden är absolut, det vill säga avståndet mellan två materialpunkter är detsamma i alla godtyckligt rörliga referensramar.

Dessa två principer gör det möjligt att skriva ner rörelseekvationen för en materiell punkt med avseende på vilken icke-tröghetsreferensram som helst där Newtons första lag inte gäller.

Den grundläggande ekvationen för dynamiken i en materiell punkts relativa rörelse har formen:

var är kroppens massa, är kroppens acceleration i förhållande till den icke-tröghetsramen, är summan av alla yttre krafter som verkar på kroppen, är kroppens bärbara acceleration, är Coriolis-accelerationen av kroppen kropp.

Denna ekvation kan skrivas i den välbekanta formen av Newtons andra lag genom att introducera fiktiva tröghetskrafter:

Bärbar tröghetskraft

Coriolis kraft

tröghetskraft- en fiktiv kraft som kan introduceras i en icke-tröghetsreferensram så att mekanikens lagar i den sammanfaller med tröghetsramarnas lagar.

I matematiska beräkningar sker införandet av denna kraft genom att transformera ekvationen

F 1 + F 2 +...F n = ma till formen

F 1 + F 2 + ... F n –ma = 0 Där F i är den faktiska kraften och –ma är "tröghetskraften".

Bland tröghetskrafterna finns följande:

enkel tröghetskraft;

centrifugalkraft, vilket förklarar kropparnas tendens att flyga bort från centrum i roterande referensramar;

Corioliskraften, som förklarar kropparnas tendens att avvika från radien under radiell rörelse i roterande referensramar;

Ur allmän relativitetssynpunkt, gravitationskrafter när som helstär tröghetskrafterna vid en given punkt i Einsteins krökta rymd

Centrifugalkraft- tröghetskraften, som införs i en roterande (icke-tröghets) referensram (för att tillämpa Newtons lagar, beräknade endast för tröghetsFR) och som är riktad från rotationsaxeln (därav namnet).

Principen om ekvivalens av tyngdkrafter och tröghet- en heuristisk princip som används av Albert Einstein för att härleda den allmänna relativitetsteorin. Ett av alternativen för hans presentation: "Gravitationskrafternas växelverkan är proportionella mot kroppens gravitationsmassa, medan tröghetskrafterna är proportionella mot kroppens tröghetsmassa. Om tröghets- och gravitationsmassorna är lika, är det omöjligt att särskilja vilken kraft som verkar på en given kropp - gravitations- eller tröghetskraft.

Einsteins formulering

Historiskt sett formulerades relativitetsprincipen av Einstein enligt följande:

Alla fenomen i gravitationsfältet uppträder på exakt samma sätt som i motsvarande fält av tröghetskrafter, om dessa fälts styrkor sammanfaller och initialförhållandena för systemets kroppar är desamma.

22. Galileos relativitetsprincip. Galileiska förvandlingar. Klassisk hastighetsadditionsteorem. Invarians av Newtons lagar i tröghetsreferensramar.

Galileos relativitetsprincip- detta är principen om fysisk jämlikhet för tröghetsreferenssystem i klassisk mekanik, vilket visar sig i det faktum att mekanikens lagar är desamma i alla sådana system.

Matematiskt uttrycker Galileos relativitetsprincip invariansen (invariansen) av mekanikens ekvationer med avseende på transformationer av koordinaterna för rörliga punkter (och tid) när man flyttar från en tröghetsram till en annan - galileiska transformationer.
Låt det finnas två tröghetsreferensramar, av vilka en, S, kommer vi att enas om att betrakta som vilande; det andra systemet, S", rör sig med avseende på S med konstant hastighet u som visas i figuren. Då kommer de galileiska transformationerna för koordinaterna för en materialpunkt i systemen S och S" att ha formen:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(de primerade kvantiteterna hänvisar till S-ramen, de oprimade siffrorna hänvisar till S.) Sålunda anses tiden i klassisk mekanik, såväl som avståndet mellan eventuella fixpunkter, vara lika i alla referensramar.
Från Galileos transformationer kan man erhålla sambandet mellan hastigheterna för en punkt och dess accelerationer i båda systemen:
v" = v - u, (2)
a" = a.
I klassisk mekanik bestäms rörelsen av en materialpunkt av Newtons andra lag:
F = ma, (3)
där m är punktens massa och F är resultanten av alla krafter som appliceras på den.
I det här fallet är krafter (och massor) invarianter i klassisk mekanik, det vill säga kvantiteter som inte förändras när man flyttar från en referensram till en annan.
Därför, under galileiska transformationer, ändras inte ekvation (3).
Detta är det matematiska uttrycket för den galileiska relativitetsprincipen.

GALILEOS TRANSFORMATIONER.

Inom kinematik är alla referensramar lika med varandra och rörelse kan beskrivas i vilken som helst av dem. I studien av rörelser är det ibland nödvändigt att flytta från ett referenssystem (med koordinatsystemet OXYZ) till ett annat - (О`Х`У`Z`). Låt oss betrakta fallet när den andra referensramen rör sig i förhållande till den första likformigt och rätlinjigt med hastigheten V=konst.

För att underlätta den matematiska beskrivningen antar vi att de motsvarande koordinataxlarna är parallella med varandra, att hastigheten är riktad längs X-axeln och att vid den initiala tidpunkten (t=0) sammanfaller ursprungen för båda systemen med varandra. Genom att använda antagandet, som är rättvist i klassisk fysik, om samma tidsflöde i båda systemen, är det möjligt att skriva ner relationerna som förbinder koordinaterna för någon punkt A(x, y, z) och A (x`, y `, z`) i båda systemen. En sådan övergång från ett referenssystem till ett annat kallas den galileiska transformationen):

OXYZ O`X`U`Z`

x = x` + V x t x` = x - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Accelerationen i båda systemen är densamma (V=const). Den djupa innebörden av Galileos transformationer kommer att klargöras i dynamiken. Galileos omvandling av hastigheter speglar principen om oberoende av förskjutningar som äger rum i klassisk fysik.

Tillägg av hastigheter i SRT

Den klassiska lagen för addition av hastigheter kan inte vara giltig, eftersom det motsäger påståendet om konstanten av ljusets hastighet i vakuum. Om tåget rör sig i en hastighet v och en ljusvåg fortplantar sig i bilen i tågets riktning, då är dess hastighet relativt jorden fortfarande c, men inte v+c.

Låt oss överväga två referenssystem.

I systemet K 0 kroppen rör sig i en hastighet v ett . När det gäller systemet K den rör sig med en hastighet v 2. Enligt lagen om addition av hastigheter i SRT:

Om en v<<c och v 1 << c, då kan termen försummas, och då får vi den klassiska lagen för addition av hastigheter: v 2 = v 1 + v.

På v 1 = c hastighet v 2 lika c, som krävs av det andra postulatet i relativitetsteorin:

På v 1 = c och kl v = c hastighet v 2 är återigen lika med hastighet c.

En anmärkningsvärd egenskap hos additionslagen är att i vilken hastighet som helst v 1 och v(inte mer c), resulterande hastighet v 2 inte överstiger c. Rörelsehastigheten för verkliga kroppar är högre än ljusets hastighet, det är omöjligt.

Tillägg av hastigheter

När man betraktar en komplex rörelse (det vill säga när en punkt eller kropp rör sig i en referensram, och den rör sig i förhållande till en annan), uppstår frågan om förhållandet mellan hastigheter i 2 referensramar.

klassisk mekanik

I klassisk mekanik är den absoluta hastigheten för en punkt lika med vektorsumman av dess relativa och translationella hastigheter:

I klartext: Hastigheten för en kropp i förhållande till en fast referensram är lika med vektorsumman av hastigheten för denna kropp i förhållande till en rörlig referensram och hastigheten för den mest rörliga referensramen i förhållande till en fast ram.

Rörelseenergi- värdet är additivt. Därför är den kinetiska energin för en kropp som rör sig på ett godtyckligt sätt lika med summan av alla kinetiska energier P materialpunkter som denna kropp mentalt kan delas in i: Om kroppen roterar runt en fixerad axel z med en vinkelhastighet på 1 m I 1 ...
(FYSIK. MEKANIK)

Kinetisk energi hos en roterande stel kropp

Den kinetiska energin för en kropp som rör sig på ett godtyckligt sätt är lika med summan av alla kinetiska energier P materialpunkter (partiklar) i vilka denna kropp mentalt kan delas upp (Fig. 6.8) Om kroppen roterar runt den fixerade axeln Oz med en vinkelhastighet ω, då den linjära hastigheten för någon /-te partikel, ...
(KLASSISK OCH RELATIVISTISK MEKANIK)

Ris. 6.4 En sådan rörelse av kroppen, där någon två av dess punkter (MEN och PÅ i fig. 6.4) förbli stationär kallas rotation runt en fast axel. Det kan visas att i detta fall vilken punkt som helst på kroppen som ligger på den raka linjen som förbinder punkterna Åh W. Axel,...
(TEORETISK MEKANIK.)

Rotation av en kropp runt en fast axel

Låt den fasta kroppen i tid sk gjort en oändlig vridning genom vinkeln s/f relativt den fasta axeln i den givna referensramen. Denna rotationsvinkel c/cp är ett mått på förändringen i positionen hos en kropp som roterar kring en fast axel. I analogi med c/r kallar vi c/f vinkelförskjutning....
(FYSIK: MEKANIK, EL OCH MAGNETISM)

Analogi mellan translationell och roterande rörelse

Denna analogi diskuterades ovan och följer av likheten mellan de grundläggande ekvationerna för translationella och roterande rörelser. Precis som acceleration ges av tidsderivatan av hastighet och andraderivatan av förskjutning, så ges vinkelacceleration av tidsderivatan av vinkelhastighet och andraderivatan av vinkelförskjutning....
(FYSIK)

Translationell och roterande rörelse

Translationell rörelse Translationell rörelse är en sådan rörelse av en stel kropp där varje rak linje som ritas i denna kropp rör sig samtidigt som den förblir parallell med dess ursprungliga position. Egenskaperna för translationell rörelse bestäms av följande teorem: i en kropps translationella rörelse ...
(TILLÄMPAD MEKANIK)

Tänk på en stel kropp som kan rotera runt en rotationsaxel fixerad i rymden.

Låt oss anta det F iär en yttre kraft som appliceras på någon elementär massa ∆m jag stel kropp och orsakar rotation. På kort tid kommer den elementära massan att flytta till och därför kommer arbetet att utföras med våld

där a är vinkeln mellan kraftens riktning och förskjutningen. Men lika F t är projektionerna av kraften på tangenten till massrörelsens bana och värdet. Därav

Det är lätt att se att produkten är kraftmomentet kring en given rotationsaxel z och verkar på kroppselementet D m jag. Därför kommer det arbete som kraften gör

Genom att summera arbetet med kraftmomenten som appliceras på alla element i kroppen, får vi för en elementärt liten energi som förbrukas på en elementärt liten rotation av kroppen d j:

, (2.4.27)

var är det resulterande momentet för alla yttre krafter som verkar på en stel kropp i förhållande till en given rotationsaxel z.

Arbeta under en begränsad tid t

. (2.4.28)

Lagen om bevarande av rörelsemängd och isotropi av rymden

Lagen om bevarande av rörelsemängd är en konsekvens av den grundläggande lagen för rotationsrörelsens dynamik. I systemet från P interagerande partiklar (kroppar), vektorsumman av alla inre krafter, och därmed kraftmomenten, är lika med noll, och momentens differentialekvation har formen

var – hela systemets totala rörelsemängd är det resulterande momentet av yttre krafter.

Om systemet är stängt

varifrån det följer

vad är möjligt med

Lagen om bevarande av rörelsemängd: Vinkelmomentet för ett slutet system av partiklar (kroppar) förblir konstant.

Lagen om bevarande av rörelsemängd är en konsekvens av egenskapen hos rymdens isotropi, som visar sig i det faktum att de fysiska egenskaperna och rörelselagarna för ett slutet system inte beror på valet av riktningar för koordinataxlarna för tröghetsreferensramar.

Det finns tre fysiska storheter i ett slutet system: energi, fart och vinkelmoment(som är funktioner av koordinater och hastigheter) bevaras. Sådana funktioner kallas rörelseintegraler. I systemet från P det finns 6 partiklar n–1 rörelseintegraler, men bara tre av dem har additivitetsegenskapen - energi, rörelsemängd och rörelsemängd.

Gyroskopisk effekt

En massiv symmetrisk kropp som roterar med hög vinkelhastighet runt symmetriaxeln kallas gyroskop.

Gyroskopet, som sätts i rotation, tenderar att hålla riktningen för sin axel oförändrad i rymden, vilket är en manifestation av lagen om bevarande av rörelsemängd. Gyroskopet är desto stabilare, desto större rotationsvinkelhastighet och desto större tröghetsmoment hos gyroskopet i förhållande till rotationsaxeln.

Om emellertid ett par krafter appliceras på ett roterande gyroskop, som tenderar att rotera det kring en axel vinkelrät mot gyroskopets rotationsaxel, kommer det att börja rotera, men bara runt den tredje axeln, vinkelrätt mot den första två (fig. 21). Denna effekt kallas gyroskopisk effekt. Den resulterande rörelsen kallas precessionsrörelse eller precession.

Varje kropp som roterar runt någon axel precesserar om den påverkas av ett kraftmoment vinkelrätt mot rotationsaxeln.

Ett exempel på precessionell rörelse är beteendet hos en barnleksak som kallas snurra eller topp. Jorden precesserar också under påverkan av månens gravitationsfält. Momentet för krafter som verkar på jorden från månens sida bestäms av jordens geometriska form - frånvaron av sfärisk symmetri, dvs. med sin "tillplattadhet".

Gyroskop*

Låt oss överväga precessionsrörelsen mer i detalj. En sådan rörelse realiseras av en massiv skiva som spetsas på vertikal axeln den roterar kring. Skivan har ett vinkelmoment riktat längs skivans rotationsaxel (fig. 22).

Vid ett gyroskop, vars huvudelement är en skiva D, roterar med en hastighet runt horisontell yxor OO"det kommer att finnas ett vridmoment kring punkten C och vinkelmomentet är riktat längs skivans rotationsaxel D.

Gyroskopets axel är ledad vid punkten C. Apparaten är utrustad med en motvikt K. Om motvikten är installerad så att spetsen Cär systemets masscentrum ( mär massan av gyroskopet; m 0 - motviktsmassa Till; stavens massa är försumbar), utan friktion skriver vi:

dvs det resulterande momentet av krafter som verkar på systemet är noll.

Då är lagen om bevarande av rörelsemängd giltig:

Med andra ord, i detta fall const; var Jär gyroskopets tröghetsmoment, är gyroskopets inneboende vinkelhastighet.

Eftersom skivans tröghetsmoment kring dess symmetriaxel är ett konstant värde, förblir vinkelhastighetsvektorn också konstant både i storlek och riktning.

Vektorn är riktad längs rotationsaxeln i enlighet med regeln för den högra skruven. Således håller ett fritt gyroskops axel sin position i rymden oförändrad.

Om för att motverka Till lägg till en till med massa m 1 , då kommer systemets masscentrum att förskjutas och ett vridmoment kommer att uppträda i förhållande till punkten C. Enligt momentekvationen, . Under verkan av detta vridmoment kommer vinkelmomentvektorn att få ett inkrement som sammanfaller i riktning med vektorn:

Tyngdkraftsvektorerna och är riktade vertikalt nedåt. Därför ligger vektorerna , och , i horisontalplanet. Efter ett tag kommer gyroskopets rörelsemängd att ändras med ett värde och bli lika med

Således ändrar vektorn sin riktning i rymden, hela tiden kvar i horisontalplanet. Med hänsyn till att gyroskopets vinkelmomentvektor är riktad längs rotationsaxeln, rotationen av vektorn med någon vinkel da under dt betyder att rotera rotationsaxeln med samma vinkel. Som ett resultat kommer gyroskopets symmetriaxel att börja rotera runt en fast vertikal axel BB" med vinkelhastighet:

En sådan rörelse kallas regelbunden precession och värdet är precessionens vinkelhastighet. Om i det inledande ögonblicket axeln OO"Gyroskopet är inte installerat horisontellt, då kommer det under precession att beskriva en kon i rymden i förhållande till den vertikala axeln. Förekomsten av friktionskrafter leder till att gyroskopaxelns lutningsvinkel hela tiden kommer att förändras. Denna rörelse kallas nutation.

Låt oss ta reda på beroendet av gyroskopprecessionens vinkelhastighet på systemets huvudparametrar. Låt oss projicera likhet (123) på den horisontella axeln vinkelrät mot OO"

Från geometriska överväganden (se fig. 22) vid små rotationsvinklar uttrycks , och precessionens vinkelhastighet:

Detta betyder att om en konstant yttre kraft appliceras på gyroskopet, kommer det att börja rotera runt den tredje axeln, som inte sammanfaller i riktning med rotorns huvudaxel.

Precessionen, vars storlek är proportionell mot storleken på den verkande kraften, håller anordningen orienterad i vertikal riktning, och lutningsvinkeln i förhållande till stödytan kan mätas. När den väl har snurrats, tenderar en enhet att motstå förändringar i dess orientering på grund av vinkelmomentum. Denna effekt är också känd inom fysiken som gyroskopisk tröghet. Vid upphörande av yttre påverkan upphör precessionen omedelbart, men rotorn fortsätter att rotera.

Skivan påverkas av tyngdkraften, vilket orsakar ett kraftmoment runt stödjepunkten O. Detta ögonblick är riktat vinkelrätt mot skivans rotationsaxel och är lika med

var l 0- avstånd från skivans tyngdpunkt till stödpunkten O.

Baserat på grundlagen för rotationsrörelsens dynamik kommer kraftmomentet att orsaka i ett tidsintervall dt förändring i rörelsemängd

Vektorerna och är riktade längs en rät linje och är vinkelräta mot rotationsaxeln.

Från fig. 22 visar att vektorns slut i tiden dt flytta till hörnet

Genom att ersätta värdena i detta förhållande L, dL och M, vi får

. (2.4.43)

Således, vinkelhastighet för förskjutning av vektorns ände :

och den övre änden av skivans rotationsaxel kommer att beskriva en cirkel i horisontalplanet (fig. 21). Sådan kroppsrörelse kallas precessionell och själva effekten gyroskopisk effekt.

DEFORMATIONER AV EN SOLID KROPP

Verkliga kroppar är inte absolut elastiska, därför måste man, när man överväger verkliga problem, ta hänsyn till möjligheten att ändra sin form under rörelseprocessen, d.v.s. ta hänsyn till deformationer. Deformation- detta är en förändring av formen och storleken på fasta kroppar under påverkan av yttre krafter.

Plastdeformation- detta är deformationen som kvarstår i kroppen efter avslutad verkan av yttre krafter. Deformationen kallas elastisk, om kroppen efter avslutad verkan av yttre krafter återgår till sin ursprungliga storlek och form.

Alla typer av deformationer (spänning, kompression, böjning, vridning, skjuvning) kan reduceras till samtidigt uppträdande drag- (eller kompression) och skjuvdeformationer.

Spänningσ är en fysisk storhet som är numeriskt lika med den elastiska kraften per enhetssnittarea av kroppen (mätt i Pa):

Om kraften riktas längs normalen till ytan, då spänningen vanligt, om - tangentiellt, då spänningen tangentiell.

Relativ deformation- ett kvantitativt mått som kännetecknar graden av deformation och bestäms av förhållandet mellan absolut deformation Δ x till det ursprungliga värdet x kännetecknande av kroppens form eller storlek: .

- relativ längdförändringl stång(längsgående deformation) ε:

- relativ tvärspänning (kompression)ε', var d- stångdiameter.

Deformationer ε och ε' har alltid olika tecken: ε' = −με där μ är en positiv koefficient som beror på materialets egenskaper och kallas Poissons förhållande.

För små deformationer är den relativa deformationen ε proportionell mot spänningen σ:

var E- Proportionalitetskoefficient (elasticitetsmodul), numeriskt lika med spänningen som uppstår vid en relativ töjning lika med enhet.

För fallet med ensidig spänning (kompression) kallas elasticitetsmodulen Youngs modul. Youngs modul mäts i Pa.

Efter att ha skrivit ner , vi får - Hookes lag:

förlängning av en stav under elastisk deformation är proportionell mot kraften som verkar på staven(här k- Elasticitetskoefficient). Hookes lag gäller endast för små deformationer.

I motsats till hårdhetsfaktorn k, som är en egenskap hos endast kroppen, kännetecknar Youngs modul materiens egenskaper.

För varje kropp, från ett visst värde , upphör deformationen att vara elastisk och blir plastisk. Duktila material är material som inte kollapsar under påkänningar som väsentligt överskrider elasticitetsgränsen. På grund av egenskapen hos plasticitet kan metaller (aluminium, koppar, stål) utsättas för olika mekaniska bearbetningar: stämpling, smide, böjning, sträckning. Med en ytterligare ökning av deformationen förstörs materialet.

Draghållfasthet - den maximala spänningen som uppstår i kroppen innan dess förstörelse.

Skillnaden i gränserna för tryck- och draghållfasthet förklaras av skillnaden i processerna för interaktion mellan molekyler och atomer i fasta ämnen under dessa processer.

Youngs modul och Poissons förhållande karakteriserar helt de elastiska egenskaperna hos ett isotropiskt material. Alla andra elastiska konstanter kan uttryckas i termer av E och μ.

Många experiment visar att vid små töjningar är spänningen direkt proportionell mot den relativa förlängningen ε (sektion OA diagram) - Hookes lag är uppfylld.

Experimentet visar att små deformationer helt försvinner efter att belastningen avlägsnats (en elastisk deformation observeras). För små deformationer är Hookes lag uppfylld. Den maximala spänningen vid vilken Hookes lag fortfarande gäller kallas proportionalitetsgränsen σ p. Det motsvarar punkten MEN diagram.

Om du fortsätter att öka dragbelastningen och överskrider den proportionella gränsen, blir deformationen icke-linjär (linje ABCDEK). Men med små icke-linjära deformationer, efter att belastningen har avlägsnats, återställs formen och dimensionerna på kroppen praktiskt taget (avsnittet AB grafisk konst). Den maximala spänningen vid vilken det inte finns några märkbara kvarvarande deformationer kallas elastisk gräns σ pack. Det motsvarar poängen PÅ diagram. Elastisk gräns överskrider proportionell gräns med högst 0,33 %. I de flesta fall kan de anses lika.

Om den yttre belastningen är sådan att spänningar uppstår i kroppen som överstiger elasticitetsgränsen, ändras karaktären av deformationen (avsnittet BCDEK). Efter att belastningen har avlägsnats återgår provet inte till sina tidigare dimensioner, utan förblir deformerat, dock med en lägre töjning än under belastning (plastisk deformation).

Bortom elasticitetsgränsen vid ett visst spänningsvärde motsvarande punkten Med diagram, ökar töjningen nästan utan att öka belastningen (sektion CD diagram är nästan horisontella). Detta fenomen kallas materialflöde.

Med en ytterligare ökning av belastningen ökar spänningen (från punkten D), varefter en förträngning ("hals") uppträder i den minst hållbara delen av provet. På grund av minskningen av tvärsnittsarean (punkt E) för ytterligare förlängning behövs mindre spänning, men i slutändan sker förstörelsen av provet (punkt Till). Den maximala spänningen som ett prov kan motstå utan att gå sönder kallas brottgräns - σ pc (det motsvarar punkten E diagram). Dess värde är starkt beroende av materialets natur och dess bearbetning.

Överväga skjuvdeformation. För att göra detta tar vi en homogen kropp som har formen av en rektangulär parallellepiped och applicerar på dess motsatta ytor krafter riktade parallellt med dessa ytor. Om krafternas verkan är jämnt fördelad över hela ytan av motsvarande yta S, så kommer en tangentiell spänning att uppstå i varje sektion parallellt med dessa ytor

Vid små deformationer kommer kroppens volym praktiskt taget inte att förändras, och deformationen består i det faktum att parallellepipedens "skikt" förskjuts i förhållande till varandra. Därför kallas denna deformation skjuvdeformation.

Under skjuvdeformation kommer vilken rak linje som helst, initialt vinkelrät mot de horisontella skikten, att rotera genom någon vinkel . Detta kommer att tillfredsställa relationen

,

var - skjuvmodul, vilket endast beror på kroppens materialegenskaper.

Skjuvdeformation avser homogena deformationer, d.v.s. när alla infinitesimala volymelement i kroppen deformeras likadant.

Det finns dock inhomogena deformationer - böjning och vridning.

Låt oss ta en homogen tråd, fixera dess övre ände och applicera en vridkraft på den nedre änden, vilket skapar ett vridmoment M i förhållande till trådens längdaxel. Tråden kommer att snurra - varje radie av dess nedre bas kommer att rotera runt den längsgående axeln med en vinkel. Denna deformation kallas torsion. Hookes lag för torsionsdeformation skrivs som

där är ett konstant värde för en given tråd, kallad dess torsionsmodul. Till skillnad från tidigare moduler beror det inte bara på materialet utan också på trådens geometriska dimensioner.

Rotaryarbete. Maktens ögonblick

Betrakta det arbete som utförs under rotationen av en materialpunkt runt en cirkel under verkan av projektionen av den verkande kraften på förskjutningen (kraftens tangentiella komponent). I enlighet med (3.1) och fig. 4.4, som går från parametrarna för translationsrörelse till parametrarna för rotationsrörelse (dS = Rdcp)

Här introduceras begreppet kraftmoment kring rotationsaxeln OOi som produkten av kraften F s på axeln av kraft R:

Som framgår av relation (4.8), Kraftmoment i rotationsrörelse är analogt med kraft i translationsrörelse, eftersom båda parametrarna multipliceras med analoger dcp och dS ge arbete. Uppenbarligen måste kraftmomentet också specificeras vektoriellt, och med avseende på punkten O ges dess definition genom vektorprodukten och har formen

Till sist: arbete under rotationsrörelse är lika med skalärprodukten av kraftmomentet och vinkelförskjutningen:

Kinetisk energi under rotationsrörelse. Tröghetsmoment

Betrakta en absolut stel kropp som roterar runt en fast axel. Låt oss mentalt dela upp denna kropp i oändligt små bitar med oändligt små storlekar och massor mi, m2, Shz..., belägna på ett avstånd R b R 2 , R3 ... från axeln. Vi finner den kinetiska energin för en roterande kropp som summan av de kinetiska energierna för dess små delar

där Y är tröghetsmomentet för en stel kropp, relativt en given axel OOj.

Från en jämförelse av formlerna för den kinetiska energin för translationella och roterande rörelser, kan man se att Tröghetsmoment i rotationsrörelse är analogt med massa i translationsrörelse. Formel (4.12) är bekväm för att beräkna tröghetsmomentet för system som består av individuella materialpunkter. För att beräkna tröghetsmomentet för fasta kroppar, med hjälp av definitionen av integralen, kan vi transformera (4.12) till formen

Det är lätt att se att tröghetsmomentet beror på valet av axel och förändras med dess parallella translation och rotation. Vi presenterar värdena för tröghetsmomenten för vissa homogena kroppar.

Av (4.12) framgår att tröghetsmoment för en materialpunkt lika

var t- punktmassa;

R- avstånd till rotationsaxeln.

Det är lätt att beräkna tröghetsmomentet för ihålig tunnväggig cylinder(eller ett specialfall av en cylinder med liten höjd - tunn ring) radie R kring symmetriaxeln. Avståndet till rotationsaxeln för alla punkter för en sådan kropp är detsamma, lika med radien och kan tas ut under summans tecken (4.12):

solid cylinder(eller ett specialfall av en cylinder med liten höjd - disk) radie R för att beräkna tröghetsmomentet kring symmetriaxeln kräver beräkning av integralen (4.13). Massan i detta fall är i genomsnitt koncentrerad något närmare än i fallet med en ihålig cylinder, och formeln kommer att likna (4.15), men en koefficient mindre än en kommer att visas i den. Låt oss hitta denna koefficient.

Låt en solid cylinder ha en densitet R och höjd h. Låt oss dela upp det i

ihåliga cylindrar (tunna cylindriska ytor) tjocka dr(Fig. 4.5) visar en projektion vinkelrätt mot symmetriaxeln). Volymen av en sådan ihålig cylinder med radie Gär lika med ytan multiplicerad med tjockleken: vikt: och ögonblicket

tröghet enligt (4.15): Totalt moment

tröghetsmoment för en solid cylinder erhålls genom att integrera (summa) tröghetsmomenten för ihåliga cylindrar:

. Med tanke på att massan av en solid cylinder är relaterad till

densitetsformel t = 7iR 2 hk vi har äntligen tröghetsmomentet för en solid cylinder:

Sökte på samma sätt tröghetsmoment för en tunn stav längd L och massorna t, om rotationsaxeln är vinkelrät mot stången och går genom dess mitt. Låt oss dela en sådan stång i enlighet med fig. 4.6

i tjocka bitar dl. Massan av en sådan bit är dm=m dl/L, och tröghetsmomentet enligt Paulus

Det nya tröghetsmomentet för en tunn stav erhålls genom att integrera (summa) delarnas tröghetsmoment: