Tablica całek jest kompletna i zasady całkowania. Całki funkcji transcendentalnych

Definicja 1

Funkcja pierwotna $F(x)$ dla funkcji $y=f(x)$ na segmencie $$ jest funkcją, która jest różniczkowalna w każdym punkcie tego segmentu i dla jej pochodnej obowiązuje następująca równość:

Definicja 2

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji $y=f(x)$ zdefiniowany na pewnym segmencie nazywamy całką nieoznaczoną danej funkcji $y=f(x)$. Całka nieoznaczona jest oznaczona symbolem $\int f(x)dx $.

Z tablicy pochodnych i Definicji 2 otrzymujemy tablicę całek podstawowych.

Przykład 1

Sprawdź poprawność wzoru 7 z tabeli całek:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Rozróżnijmy prawą stronę: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Przykład 2

Sprawdź poprawność wzoru 8 z tabeli całek:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Rozróżnij prawą stronę: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Okazało się, że pochodna jest równa całce. Dlatego formuła jest poprawna.

Przykład 3

Sprawdź poprawność wzoru 11" z tabeli całek:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Rozróżnij prawą stronę: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Okazało się, że pochodna jest równa całce. Dlatego formuła jest poprawna.

Przykład 4

Sprawdź poprawność wzoru 12 z tabeli całek:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=stała\]

Rozróżnij prawą stronę: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Pochodna jest równa podcałkowi. Dlatego formuła jest poprawna.

Przykład 5

Sprawdź poprawność wzoru 13” z tabeli całek:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Rozróżnij prawą stronę: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Okazało się, że pochodna jest równa całce. Dlatego formuła jest poprawna.

Przykład 6

Sprawdź poprawność wzoru 14 z tabeli całek:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=stała\]

Rozróżnij prawą stronę: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Okazało się, że pochodna jest równa całce. Dlatego formuła jest poprawna.

Przykład 7

Znajdź całkę:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Użyjmy twierdzenia o całce sumy:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Wykorzystajmy twierdzenie o wyciąganiu stałego czynnika ze znaku całkowego:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Zgodnie z tabelą całek:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Przy obliczaniu całki pierwszej posługujemy się zasadą 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

W konsekwencji,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Wykorzystanie faktu, że integracja jest odwrotnością różnicowania. możliwe jest otrzymanie tablicy całek podstawowych poprzez odwrócenie odpowiednich wzorów rachunku różniczkowego (tablicy różniczkowej) i wykorzystanie własności całki nieoznaczonej. Na przykład, dlatego

d(grzech ty) = cos u*du, to przy rozważaniu głównych metod całkowania podane zostanie wyprowadzenie szeregu formuł tabelarycznych.
Całki w poniższej tabeli nazywają się tabelaryczny. Powinni być znani na pamięć. W rachunku całkowym nie ma prostych i uniwersalnych reguł znajdowania funkcji pierwotnych z funkcji elementarnych, jak w rachunku różniczkowym. Metody znajdowania funkcji pierwotnych (tj. całkowania funkcji) sprowadzają się do wskazania metod, które sprowadzają daną (pożądaną) całkę do całki tabelarycznej. Dlatego konieczna jest znajomość całek tabelarycznych i umiejętność ich rozpoznawania.
Należy zauważyć, że w tabeli całek podstawowych zmienna całkowa i może oznaczać zarówno zmienną niezależną, jak i funkcję zmiennej niezależnej (zgodnie z niezmienniczością wzoru całkowania).
Ważność poniższych formuł można zweryfikować, biorąc po prawej stronie różniczkę, która będzie równa całce po lewej stronie formuły.
Udowodnijmy na przykład słuszność formuły 2. Funkcja 1/ ty zdefiniowana i ciągła dla wszystkich wartości ty, inny niż zero.
Jeśli ty> 0. to ln | ty| =ln ty, następnie d W | ty| = d ja ty = du/u. Dlatego

Tabela podstawowych całek

Wymieniamy całki funkcji elementarnych, które czasami nazywane są tabelarycznymi:

Każdy z powyższych wzorów można udowodnić, biorąc pochodną prawej strony (w rezultacie uzyskana zostanie całka).

Metody integracji

Rozważmy kilka podstawowych metod integracji. Obejmują one:

1. Metoda dekompozycji(integracja bezpośrednia).

Ta metoda opiera się na bezpośrednim zastosowaniu całek tabelarycznych, a także na zastosowaniu właściwości 4 i 5 całki nieoznaczonej (tj. Wyjęcie stałego współczynnika z nawiasu i / lub przedstawienie całki jako sumy funkcji - rozszerzenie całki w terminach).

Przykład 1 Na przykład, aby znaleźć (dx/x 4), możesz bezpośrednio użyć całki tablicowej dla x n dx. Rzeczywiście, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Przyjrzyjmy się jeszcze kilku przykładom.

Przykład 2 Aby znaleźć, używamy tej samej całki:

Przykład 3 Aby znaleźć, musisz wziąć

Przykład 4 Aby znaleźć, reprezentujemy całkę w postaci i użyj całki tabeli dla funkcji wykładniczej:

Rozważ użycie w nawiasach stałego współczynnika.

Przykład 5Znajdźmy na przykład . Biorąc to pod uwagę, otrzymujemy

Przykład 6 Znajdźmy. Ponieważ , używamy całki tabeli Dostać

Możesz także użyć nawiasów i całek tabelowych w następujących dwóch przykładach:

Przykład 7

(używamy i );

Przykład 8

(Używamy oraz ).

Przyjrzyjmy się bardziej złożonym przykładom używającym całki sumy.

Przykład 9 Na przykład znajdźmy
. Aby zastosować metodę rozwinięcia w liczniku, używamy wzoru sześciennego sumy , a następnie dzielimy otrzymany wyraz wielomianowy przez wyraz przez mianownik.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Należy zauważyć, że na końcu rozwiązania zapisana jest jedna wspólna stała C (a nie oddzielne przy całkowaniu każdego wyrazu). W przyszłości proponuje się również pomijanie stałych z całkowania poszczególnych wyrazów w procesie rozwiązywania, o ile wyrażenie zawiera co najmniej jedną całkę nieoznaczoną (na końcu rozwiązania napiszemy jedną stałą).

Przykład 10 Znajdźmy . Aby rozwiązać ten problem, rozkładamy licznik na czynniki (po tym możemy zmniejszyć mianownik).

Przykład 11. Znajdźmy. Tutaj można użyć tożsamości trygonometrycznych.

Czasami, aby rozłożyć wyrażenie na terminy, trzeba użyć bardziej złożonych technik.

Przykład 12. Znajdźmy . W całce wybieramy część całkowitą ułamka . Następnie

Przykład 13 Znajdźmy

2. Metoda zastępowania zmiennych (metoda substytucyjna)

Metoda opiera się na następującym wzorze: f(x)dx=f((t))`(t)dt, gdzie x =(t) jest funkcją różniczkowalną na rozpatrywanym przedziale.

Dowód. Znajdźmy pochodne względem zmiennej t z lewej i prawej części wzoru.

Zauważ, że po lewej stronie znajduje się funkcja złożona, której argumentem pośrednim jest x = (t). Dlatego, aby zróżnicować ją po t, najpierw różniczkujemy całkę po x, a następnie bierzemy pochodną argumentu pośredniego po t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Pochodna prawej strony:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Ponieważ te pochodne są równe, na podstawie twierdzenia Lagrange'a, lewa i prawa część udowodnionego wzoru różnią się pewną stałą. Ponieważ same całki nieoznaczone są zdefiniowane do stałego nieokreślonego terminu, stałą tę można pominąć w końcowej notacji. Udowodniony.

Udana zmiana zmiennej pozwala uprościć pierwotną całkę, aw najprostszych przypadkach sprowadzić ją do całki tabelarycznej. W zastosowaniu tej metody rozróżnia się metody podstawienia liniowego i nieliniowego.

a) Liniowa metoda substytucji spójrzmy na przykład.

Przykład 1
. Lett= 1 – 2x, to

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Należy zauważyć, że nowa zmienna nie musi być wypisana wprost. W takich przypadkach mówi się o przekształceniu funkcji pod znak różniczki lub o wprowadzeniu stałych i zmiennych pod znak różniczki, tj. o substytucja zmiennej niejawnej.

Przykład 2 Na przykład znajdźmy cos(3x + 2)dx. Z własności różniczki dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), wtedy cos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

W obu rozważanych przykładach do znalezienia całek zastosowano podstawienie liniowe t=kx+b(k0).

W ogólnym przypadku obowiązuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie o podstawieniu liniowym. Niech F(x) będzie jakąś funkcją pierwotną dla funkcji f(x). Wtedyf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, gdzie k i b są pewnymi stałymi,k0.

Dowód.

Z definicji całki f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Wyjmujemy stały współczynnik k dla znaku całki: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Teraz możemy podzielić lewą i prawą część równości przez k i uzyskać twierdzenie do udowodnienia z zapisem stałego członu.

Twierdzenie to mówi, że jeśli wyrażenie (kx+b) zostanie podstawione w definicji całki f(x)dx= F(x) + C, to doprowadzi to do pojawienia się dodatkowego czynnika 1/k przed funkcji pierwotnej.

Korzystając z udowodnionego twierdzenia, rozwiązujemy następujące przykłady.

Przykład 3

Znajdźmy . Tutaj kx+b= 3 –x, czyli k= -1,b= 3. Wtedy

Przykład 4

Znajdźmy. Tutaj kx+b= 4x+ 3, czyli k= 4,b= 3. Wtedy

Przykład 5

Znajdźmy . Tutaj kx+b= -2x+ 7, czyli k= -2,b= 7. Wtedy

.

Przykład 6 Znajdźmy
. Tutaj kx+b= 2x+ 0, czyli k= 2,b= 0.

.

Porównajmy otrzymany wynik z przykładem 8, który został rozwiązany metodą dekompozycji. Rozwiązując ten sam problem inną metodą, otrzymaliśmy odpowiedź
. Porównajmy wyniki: Zatem wyrażenia te różnią się od siebie wyrazem stałym , tj. otrzymane odpowiedzi nie są ze sobą sprzeczne.

Przykład 7 Znajdźmy
. W mianowniku wybieramy pełny kwadrat.

W niektórych przypadkach zmiana zmiennej nie sprowadza całki bezpośrednio do całki tabelarycznej, ale może uprościć rozwiązanie, umożliwiając zastosowanie metody dekompozycji w kolejnym kroku.

Przykład 8 Na przykład znajdźmy . Zamień t=x+2, a następnie dt=d(x+ 2) =dx. Następnie

,

gdzie C \u003d C 1 - 6 (podstawiając zamiast t wyrażenie (x + 2), zamiast pierwszych dwóch terminów otrzymujemy ½x 2 -2x - 6).

Przykład 9 Znajdźmy
. Niech t= 2x+ 1, potem dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Podstawiamy wyrażenie (2x + 1) zamiast t, otwieramy nawiasy i podajemy podobne.

Zauważ, że w procesie transformacji przeszliśmy do innego stałego terminu, ponieważ można by pominąć grupę członów stałych w procesie przekształceń.

b) Metoda nieliniowego podstawienia spójrzmy na przykład.

Przykład 1
. Niech t= -x 2 . Co więcej, można wyrazić x jako t, a następnie znaleźć wyrażenie na dx i zaimplementować zmianę zmiennej w wymaganej całce. Ale w tym przypadku łatwiej postąpić inaczej. Znajdź dt=d(-x 2) = -2xdx. Zauważ, że wyrażenie xdx jest współczynnikiem całki pożądanej całki. Wyrażamy to z otrzymanej równości xdx= - ½dt. Następnie

Integracja jest jedną z podstawowych operacji w analizie matematycznej. Tabele znanych pochodnych mogą być przydatne, ale teraz, po pojawieniu się systemów algebry komputerowej, tracą na znaczeniu. Poniżej znajduje się lista najczęstszych pochodnych.

Tabela podstawowych całek

Kolejna kompaktowa wersja

Tabela całek z funkcji trygonometrycznych

Z funkcji wymiernych

Od irracjonalnych funkcji

Całki funkcji transcendentalnych

„C” jest dowolną stałą całkowania, która jest określana, jeśli wartość całki w pewnym momencie jest znana. Każda funkcja ma nieskończoną liczbę funkcji pierwotnych.

Większość uczniów i studentów ma problemy z obliczaniem całek. Ta strona zawiera tablice całek z funkcji trygonometrycznych, wymiernych, irracjonalnych i transcendentalnych, które pomogą w rozwiązywaniu. Pomoże Ci również tabela instrumentów pochodnych.

Wideo - jak znaleźć całki