IZMANTOT matemātikas profila līmenī

Darbs sastāv no 19 uzdevumiem.
1. daļa:
8 uzdevumi ar īsu pamata sarežģītības līmeņa atbildi.
2. daļa:
4 uzdevumi ar īsu atbildi
7 uzdevumi ar detalizētu augstas sarežģītības pakāpes atbildi.

Darbības laiks - 3 stundas 55 minūtes.

USE uzdevumu piemēri

USE uzdevumu risināšana matemātikā.

Atsevišķam risinājumam:

1 kilovatstunda elektrības maksā 1 rubli 80 kapeikas.
Elektrības skaitītājs 1.novembrī rādīja 12625 kilovatstundas, bet 1.decembrī 12802 kilovatstundas.
Cik novembrī jāmaksā par elektrību?
Atbildi sniedziet rubļos.

Problēma ar risinājumu:

Parastā trīsstūrveida piramīdā ABCS ar pamatni ABC ir zināmas malas: AB \u003d 5 saknes no 3, SC \u003d 13.
Atrodiet leņķi, ko veido pamatnes plakne un taisne, kas iet cauri malu AS un BC viduspunktam.

Lēmums:

1. Tā kā SABC ir regulāra piramīda, tad ABC ir vienādmalu trīsstūris, un pārējās skaldnes ir vienādi vienādsānu trijstūri.
Tas nozīmē, ka visas pamatnes malas ir 5 sqrt (3), un visas sānu malas ir 13.

2. Lai D ir BC viduspunkts, E ir AS viduspunkts, SH ir augstums no punkta S līdz piramīdas pamatnei, EP ir augstums no punkta E līdz piramīdas pamatnei.

3. Atrodiet AD no taisnleņķa trijstūra CAD, izmantojot Pitagora teorēmu. Jūs saņemat 15/2 = 7,5.

4. Tā kā piramīda ir regulāra, punkts H ir trijstūra ABC augstumu / mediānu / bisektoru krustpunkts, kas nozīmē, ka tas dala AD proporcijā 2: 1 (AH = 2 AD).

5. Atrodiet SH no taisnleņķa trijstūra ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, pēc Pitagora teorēmas SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Trijstūri AEP un ASH ir taisnleņķi, un tiem ir kopīgs leņķis A, tātad līdzīgi. Pieņemot, ka AE = AS/2, tātad gan AP = AH/2, gan EP = SH/2.

7. Atliek apsvērt taisnleņķa trīsstūri EDP (mūs interesē tikai leņķis EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Leņķa tangenss EDP = EP/DP = 6/5,
Leņķis EDP = arctg (6/5)

Atbilde:

IZMANTO 2019. gadu matemātikas 17. uzdevumā ar risinājumu

Vienotā valsts eksāmena 2019 demonstrācijas versija matemātikā

Vienotais valsts eksāmens matemātikā 2019 pdf formātā Pamatlīmenis | Profila līmenis

Uzdevumi gatavošanās eksāmenam matemātikā: pamata un profila līmenis ar atbildēm un risinājumiem.

17 Vienotā valsts eksāmena matemātikas profila līmeņa uzdevums ir ar finansēm saistīts uzdevums, proti, šis uzdevums var būt par procentiem, daļu parādu u.c. Grūtības slēpjas tajā, ka ir jāaprēķina procenti vai daļa ilgā laika posmā, tāpēc šis uzdevums nav tieša līdzība standarta problēmām ar procentiem. Lai nerunātu par vispārīgo, pāriesim tieši uz tipiska uzdevuma analīzi.

Tipisko variantu analīze uzdevumiem Nr. 17 USE matemātikā profila līmenī

Pirmā uzdevuma versija (2018. gada demonstrācijas versija)

Tās atgriešanas nosacījumi ir šādi:

• Katra mēneša 1. datumā parāds palielinās par r procentiem, salīdzinot ar iepriekšējā mēneša beigām, kur r ir vesels skaitlis;
• no katra mēneša 2. līdz 14. datumam jāmaksā daļa parāda;
• Katra mēneša 15. datumā parādam ir jābūt noteiktai summai saskaņā ar sekojošo tabulu.

Atrodiet lielāko r vērtību, par kuru kopējā maksājumu summa būs mazāka par 1,2 miljoniem rubļu.

Risinājuma algoritms:

1. Mēs ņemam vērā, kāda ir kredīta maksājumu summa mēnesī.
2. Parādu nosakām katram mēnesim.
3. Atrodi vajadzīgo procentuālo daļu.
4. Nosakām maksājumu apjomu visam periodam.
5. Mēs aprēķinām procentuālo daļu r no parāda maksājumu summas.
6. Mēs pierakstām atbildi.

Lēmums:

1. Saskaņā ar nosacījumu parāds bankai katru mēnesi jāsamazina šādā secībā:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. Pieņemsim, ka k = 1 + r / 100, tad parāds katru mēnesi ir:

k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1 tūkst.

3. Tātad maksājumi no 2. līdz 14. mēnesim ir:

k - 0,6; 0,6 k - 0,4; 0,4k - 0,3; 0,3k - 0,2; 0,2k - 0,1; 0,1 tūkst

4. Kopējā maksājumu summa ir vienāda ar:

Pēc nosacījuma visa maksājumu summa ir mazāka par 1,2 miljoniem rubļu, tāpēc

Iegūtās nevienādības lielākais veselais atrisinājums ir 7. Tad tas ir nepieciešamais - 7.

Otrais variants (no Jaščenko, Nr. 1)

2020. gada jūlijā plānots ņemt kredītu bankā 300 000 rubļu apmērā. Tās atgriešanas nosacījumi ir šādi:

• katru janvāri parāds palielinās par r% salīdzinājumā ar iepriekšējā gada beigām;
• No katra gada februāra līdz jūnijam daļa parāda jāsamaksā vienā maksājumā.

Atrodiet r, ja ir zināms, ka aizdevums tiks pilnībā atmaksāts divu gadu laikā, un pirmajā gadā tiks samaksāti 160 000 rubļu, bet otrajā gadā - 240 000 rubļu.

Algoritms problēmas risināšanai:

1. Nosakiet parāda summu.
2. Mēs aprēķinām parāda summu pēc pirmās iemaksas.
3. Parāda summas atrašana pēc otrās iemaksas
4. Atrodi vajadzīgo procentuālo daļu.
5. Mēs pierakstām atbildi.

Lēmums:

1. Aizņēmās 300 000 rubļu. Atbilstoši nosacījumam atmaksājamā parāda summa palielinās par r%, kas nozīmē reizes. Lai nomaksātu parādu, jums ir jāiesniedz bankai 300 000∙k.

2. Pēc maksājuma veikšanas, kas vienāds ar 160 000 rubļu. Parāda atlikums ir

Šodien mēs nedaudz atkāpsimies no standarta logaritmiem, integrāļiem, trigonometrijas u.c., un kopā izskatīsim svarīgāko uzdevumu no Vienotā valsts eksāmena matemātikā, kas ir tieši saistīts ar mūsu atpalikušo Krievijas resursos balstīto ekonomiku. Un, lai būtu precīzi, mēs apsvērsim noguldījumu, procentu un aizdevumu problēmu. Jo tieši uzdevumi ar procentiem nesen pievienoti matemātikas vienotā valsts eksāmena otrajai daļai. Uzreiz izdarīšu atrunu, ka saskaņā ar USE specifikācijām šīs problēmas risināšanai tiek piedāvāti uzreiz trīs primārie punkti, tas ir, eksaminētāji uzskata, ka šis uzdevums ir viens no grūtākajiem.

Tajā pašā laikā, lai atrisinātu kādu no šiem uzdevumiem no vienotā valsts eksāmena matemātikā, jums jāzina tikai divas formulas, no kurām katra ir diezgan pieejama jebkuram skolas absolventam, tomēr man nesaprotamu iemeslu dēļ šīs formulas ir pilnībā ignorēja gan skolas skolotāji, gan dažādu uzdevumu sastādītāji sagatavošanās eksāmenam. Tāpēc šodien es ne tikai pastāstīšu, kas ir šīs formulas un kā tās pielietot, bet burtiski jūsu acu priekšā izsecināšu katru no šīm formulām, par pamatu ņemot uzdevumus no atvērtās USE bankas matemātikā.

Tāpēc nodarbība izrādījās diezgan apjomīga, diezgan saturīga, tāpēc iekārtojieties ērti, un mēs sākam.

Naudas ielikšana bankā

Pirmkārt, es gribētu izdarīt nelielu lirisku atkāpi saistībā ar finansēm, bankām, kredītiem un noguldījumiem, uz kuras pamata mēs iegūsim formulas, ar kurām mēs risināsim šo problēmu. Tātad, nedaudz novirzīsimies no eksāmeniem, no gaidāmajām skolas problēmām un skatīsimies nākotnē.

Pieņemsim, ka esat pieaudzis un grasāties pirkt dzīvokli. Pieņemsim, ka jūs gatavojaties pirkt nevis sliktu dzīvokli nomalē, bet gan labas kvalitātes dzīvokli par 20 miljoniem rubļu. Tajā pašā laikā pieņemsim, ka esat ieguvis vairāk vai mazāk normālu darbu un nopelnījis 300 tūkstošus rubļu mēnesī. Šajā gadījumā par gadu jūs varat ietaupīt apmēram trīs miljonus rubļu. Protams, pelnot 300 tūkstošus rubļu mēnesī, par gadu saņemsiet nedaudz lielāku summu - 3 600 000 -, bet lai šie 600 000 tiek tērēti pārtikai, apģērbam un citiem ikdienas sadzīves priekiem. Kopējie ievaddati ir šādi: ir nepieciešams nopelnīt divdesmit miljonus rubļu, savukārt mūsu rīcībā ir tikai trīs miljoni rubļu gadā. Rodas dabisks jautājums: cik gadus mums jāatliek trīs miljoni, lai iegūtu šos pašus divdesmit miljonus. To uzskata par elementāru:

\[\frac(20)(3)=6,...\to 7\]

Taču, kā jau atzīmējām, jūs mēnesī nopelnāt 300 tūkstošus rubļu, kas nozīmē, ka esat gudri cilvēki un naudu netaupīsiet "zem spilvena", bet nesīsiet uz banku. Un tāpēc katru gadu par noguldījumiem, ko ievedat bankā, tiks iekasēti procenti. Pieņemsim, ka izvēlaties uzticamu, bet tajā pašā laikā vairāk vai mazāk ienesīgu banku, un tāpēc jūsu noguldījumi ik gadu pieaugs par 15% gadā. Citiem vārdiem sakot, mēs varam teikt, ka summa jūsu kontos katru gadu palielināsies 1,15 reizes. Ļaujiet man jums atgādināt formulu:

Aprēķināsim, cik daudz naudas būs jūsu kontos pēc katra gada:

Pirmajā gadā, kad jūs tikko sākat krāt naudu, procenti netiks uzkrāti, tas ir, gada beigās jūs ietaupīsiet trīs miljonus rubļu:

Otrā gada beigās jau tiks uzkrāti procenti par tiem trīs miljoniem rubļu, kas palikuši no pirmā gada, t.i. mums jāreizina ar 1,15. Taču otrā gada laikā jūs ziņojāt arī par vēl trim miljoniem rubļu. Protams, šiem trīs miljoniem vēl nebija uzkrājušies procenti, jo līdz otrā gada beigām šie trīs miljoni bija tikai parādījušies kontā:

Tātad, trešais gads. Trešā gada beigās par šo summu tiks uzkrāti procenti, tas ir, visa šī summa ir jāreizina ar 1,15. Un atkal visu gadu jūs smagi strādājāt un atlikāt trīs miljonus rubļu:

\[\kreisais(3m\cpunkts 1,15+3m \labais)\cpunkts 1,15+3 m\]

Aprēķināsim vēl ceturto gadu. Atkal visa summa, kas mums bija trešā gada beigās, tiek reizināta ar 1,15, t.i. Par visu summu tiks iekasēti procenti. Tas ietver procentus par procentiem. Un šai summai pieskaita vēl trīs miljonus, jo ceturtā gada laikā arī strādāji un arī krāji naudu:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Un tagad atvērsim iekavas un paskatīsimies, kāda summa mums būs līdz ceturtā naudas krāšanas gada beigām:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cpunkts ((1,15)^(2))+3m\cpunkts 1,15+3 m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1) ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(līdzināt)\]

Kā redzat, iekavās mums ir ģeometriskās progresijas elementi, t.i., mums ir ģeometriskās progresijas elementu summa.

Atgādināšu, ja ģeometrisko progresiju uzrāda elements $((b)_(1))$, kā arī saucējs $q$, tad elementu summa tiks aprēķināta pēc šādas formulas:

Šī formula ir jāzina un skaidri jāpiemēro.

Lūdzu, ņemiet vērā: formula n elements izklausās šādi:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Šīs pakāpes dēļ daudzi studenti ir neizpratnē. Kopumā mums ir tikai n par summu n- elementi un n-th elementam ir pakāpe $n-1$. Citiem vārdiem sakot, ja mēs tagad mēģinām aprēķināt ģeometriskās progresijas summu, tad mums jāņem vērā sekojošais:

\[\begin(līdzināt)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(līdzināt)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Aprēķināsim skaitītāju atsevišķi:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right) ))^(2))=1,74900625\aptuveni 1,75\]

Kopumā, atgriežoties pie ģeometriskās progresijas summas, mēs iegūstam:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15)=5\]

Rezultātā mēs iegūstam, ka četros uzkrājuma gados mūsu sākotnējā summa pieaugs nevis četras reizes, it kā mēs nebūtu noguldījuši naudu bankā, bet piecas reizes, tas ir, piecpadsmit miljoni. Rakstīsim atsevišķi:

4 gadi → 5 reizes

Raugoties uz priekšu, teikšu, ja mēs būtu uzkrājuši nevis četrus, bet piecus gadus, tad rezultātā mūsu uzkrājumu apjoms būtu pieaudzis 6,7 reizes:

5 gadi → 6,7 reizes

Citiem vārdiem sakot, līdz piektā gada beigām mūsu kontā būtu šāda summa:

Tas ir, līdz piektā uzkrājuma gada beigām, ņemot vērā depozīta procentus, mēs jau būtu saņēmuši vairāk nekā divdesmit miljonus rubļu. Tādējādi kopējais krājkonta apjoms no bankas procentiem samazinātos no gandrīz septiņiem gadiem līdz pieciem gadiem, t.i., par gandrīz diviem gadiem.

Tādējādi, pat neskatoties uz to, ka banka par mūsu noguldījumiem iekasē diezgan zemus procentus (15%), pēc pieciem gadiem šie paši 15% dod pieaugumu, kas ievērojami pārsniedz mūsu gada ienākumus. Tajā pašā laikā galvenais multiplikatora efekts rodas pēdējos gados un pat, drīzāk, pēdējā uzkrājumu gadā.

Kāpēc es to visu uzrakstīju? Protams, ne jau tāpēc, lai jūs aģitētu nest naudu uz banku. Jo, ja ļoti gribas palielināt savus uzkrājumus, tad tie jāiegulda nevis bankā, bet reālā biznesā, kur šie paši procenti, t.i., ienesīgums Krievijas ekonomikas apstākļos, reti kad nokrīt zem 30%, t.i., divas reizes. tikpat daudz banku noguldījumu.

Taču patiesi noderīga visā šajā spriešanā ir formula, kas ļauj mums atrast galīgo depozīta summu, izmantojot ikgadējo maksājumu summu, kā arī bankas iekasētos procentus. Tātad rakstīsim:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Pats par sevi % tiek aprēķināts, izmantojot šādu formulu:

Ir jāzina arī šī formula, kā arī iemaksas apmēra pamatformula. Un, savukārt, galvenā formula var ievērojami samazināt aprēķinus tajās problēmās ar procentiem, kur ir jāaprēķina iemaksa.

Kāpēc izmantot formulas, nevis tabulas?

Droši vien daudziem radīsies jautājums, kāpēc vispār visas šīs grūtības, vai katru gadu var vienkārši ierakstīt planšetdatorā, kā to dara daudzās mācību grāmatās, katru gadu aprēķināt atsevišķi un tad aprēķināt kopējo iemaksas summu? Protams, parasti var aizmirst par ģeometriskās progresijas summu un visu saskaitīt, izmantojot klasiskās planšetdatorus – tas tiek darīts lielākajā daļā kolekciju, lai sagatavotos eksāmenam. Taču, pirmkārt, strauji palielinās aprēķinu apjoms, otrkārt, rezultātā palielinās kļūdas iespējamība.

Un vispār šīs brīnišķīgās formulas vietā izmantot galdus ir tas pats, kas būvlaukumā ar savām rokām rakt tranšejas, nevis izmantot ekskavatoru, kas stāv tuvumā un pilnībā darbojas.

Nu, vai tas pats, kas reizināt pieci ar desmit, neizmantojot reizināšanas tabulu, bet desmit reizes pēc kārtas pieskaitot sev pieci. Tomēr es jau esmu novirzījies, tāpēc vēlreiz atkārtošu vissvarīgāko domu: ja ir kāds veids, kā vienkāršot un saīsināt aprēķinus, tad tas ir veids, kā izmantot.

Procenti par aizdevumiem

Mēs izdomājām noguldījumus, tāpēc pārejam pie nākamās tēmas, proti, pie kredītu procentiem.

Tātad, kamēr jūs krājat naudu, rūpīgi plānojat budžetu, domājot par savu nākotnes dzīvokli, jūsu klasesbiedrs un nu jau vienkāršs bezdarbnieks, nolēma dzīvot šodienai un tikko paņēma kredītu. Tajā pašā laikā viņš joprojām ķircinās un smiesies par jums, viņi saka, viņam ir kredīta tālrunis un lietota automašīna, kas ņemta uz kredīta, un jūs joprojām braucat ar metro un lietojat vecu spiedpogu telefonu. Protams, par visām šīm lētajām "izrādīšanām" jūsu bijušajam klasesbiedram nāksies dārgi samaksāt. Cik dārgi - to mēs aprēķināsim tūlīt.

Pirmkārt, īss ievads. Pieņemsim, ka jūsu bijušais klasesbiedrs paņēma kredītā divus miljonus rubļu. Tajā pašā laikā viņam saskaņā ar līgumu jāmaksā x rubļi mēnesī. Teiksim, viņš paņēma kredītu ar likmi 20% gadā, kas pašreizējos apstākļos izskatās diezgan pieklājīgi. Tāpat pieņemsim, ka aizdevuma termiņš ir tikai trīs mēneši. Mēģināsim visus šos lielumus savienot vienā formulā.

Tātad pašā sākumā, tiklīdz jūsu bijušais klasesbiedrs aizgāja no bankas, viņam kabatā ir divi miljoni, un tas ir viņa parāds. Tajā pašā laikā nav pagājis ne gads, ne mēnesis, bet tas ir tikai pats sākums:

Tad pēc viena mēneša par parādu tiks uzkrāti procenti. Kā mēs jau zinām, lai aprēķinātu procentus, pietiek reizināt sākotnējo parādu ar koeficientu, ko aprēķina, izmantojot šādu formulu:

Mūsu gadījumā mēs runājam par likmi 20% gadā, t.i., mēs varam rakstīt:

Šī ir summas attiecība, kas tiks iekasēta gadā. Taču mūsu klasesbiedrs nav diez ko gudrs un līgumu viņš nelasīja, un patiesībā viņam iedeva kredītu nevis 20% gadā, bet 20% mēnesī. Un līdz pirmā mēneša beigām par šo summu tiks uzkrāti procenti, un tie palielināsies 1,2 reizes. Tūlīt pēc tam personai būs jāsamaksā norunātā summa, t.i., x rubļi mēnesī:

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

Un atkal mūsu puika veic maksājumu $x$ rubļu apmērā.

Pēc tam līdz trešā mēneša beigām viņa parāda summa atkal palielinās par 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2-x\]

Un saskaņā ar nosacījumu par trim mēnešiem viņam ir jāmaksā pilnībā, tas ir, pēc pēdējās trešās maksājuma veikšanas viņa parāda summai jābūt vienādai ar nulli. Mēs varam uzrakstīt šo vienādojumu:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2 - x=0\]

Izlemsim:

\/ \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cpunkts ((1,2)^(2))+\cpunkts 1,2+ \\& 2m\cpunkts ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \pa labi) \\\beigas (līdzināt)\]

Mūsu priekšā atkal ir ģeometriskā progresija, pareizāk sakot, ģeometriskās progresijas trīs elementu summa. Pārrakstīsim to elementu augošā secībā:

Tagad mums jāatrod trīs ģeometriskās progresijas elementu summa. Rakstīsim:

\[\begin(līdzināt)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(līdzināt)\]

Tagad atradīsim ģeometriskās progresijas summu:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Jāatgādina, ka ģeometriskās progresijas summu ar šādiem parametriem $\left(((b)_(1));q \right)$ aprēķina pēc formulas:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Šī ir formula, ko tikko izmantojām. Aizstājiet šo formulu mūsu izteiksmē:

Lai veiktu turpmākus aprēķinus, mums ir jānoskaidro, ar ko $((1,2)^(3))$ ir vienāds. Diemžēl šajā gadījumā mēs vairs nevaram krāsot kā pagājušajā reizē dubultā kvadrāta formā, bet mēs varam aprēķināt šādi:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cpunkts 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cpunkts 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(līdzināt)\]

Mēs pārrakstām savu izteiksmi:

Šī ir klasiska lineāra izteiksme. Atgriezīsimies pie nākamās formulas:

Faktiski, ja mēs to vispārinām, mēs iegūsim formulu, kas saista procentus, aizdevumus, maksājumus un nosacījumus. Formula ir šāda:

Lūk, šodienas video stundas svarīgākā formula, ar kuras palīdzību tiek izskatīti vismaz 80% no visiem ekonomiskajiem uzdevumiem no Vienotā valsts eksāmena matemātikā otrajā daļā.

Visbiežāk reālos uzdevumos jums tiks prasīts maksājums vai nedaudz retāk kredīts, tas ir, kopējā parāda summa, kas mūsu klasesbiedram bija pašā maksājumu sākumā. Sarežģītākos uzdevumos jums tiks lūgts atrast procentus, bet ļoti sarežģītiem, kurus analizēsim atsevišķā video nodarbībā, jums tiks lūgts atrast laika posmu, kurā ar dotajiem aizdevuma un maksājuma parametriem mūsu nestrādājošais klasesbiedrs varēs pilnībā nomaksāt banku.

Varbūt kādam tagad liksies, ka esmu nikns kredītu, finanšu un banku sistēmas pretinieks kopumā. Tātad, nekas tāds! Gluži otrādi, uzskatu, ka kredītinstrumenti ir ļoti noderīgi un būtiski mūsu ekonomikai, bet tikai ar nosacījumu, ka kredīts tiek ņemts biznesa attīstībai. Ārkārtējos gadījumos jūs varat ņemt kredītu mājokļa iegādei, tas ir, hipotēkai vai neatliekamajai medicīniskajai palīdzībai - tā ir, citu iemeslu ņemt kredītu vienkārši nav. Un visādi bezdarbnieki, kas ņem kredītus, lai iegādātos "izrādīšanos" un tajā pašā laikā nemaz nedomā par sekām beigās un kļūst par mūsu ekonomikas krīžu un problēmu cēloni.

Atgriežoties pie šodienas nodarbības tēmas, vēlos atzīmēt, ka ir jāzina arī šī formula, kas saista kredītus, maksājumus un procentus, kā arī ģeometriskās progresijas apjomu. Tieši ar šo formulu palīdzību tiek risinātas reālās ekonomiskās problēmas no vienotā valsts eksāmena matemātikā. Nu, tagad, kad jūs to visu ļoti labi zināt, kad saprotat, kas ir kredīts un kāpēc to nevajadzētu ņemt, pārejam pie reālu ekonomisko problēmu risināšanas no Vienotā valsts eksāmena matemātikā.

Reālus uzdevumus risinām no matemātikas eksāmena

1. piemērs

Tātad pirmais uzdevums ir:

2014. gada 31. decembrī Aleksejs paņēma bankā kredītu 9 282 000 rubļu apmērā ar 10% gadā. Kredīta atmaksas shēma ir šāda: katra nākamā gada 31. decembrī banka uzkrāj procentus par atlikušo parāda summu (tas ir, palielina parādu par 10%), pēc tam Aleksejs pārskaita bankai X rubļus. Kādai jābūt summai X, lai Aleksejs dzēstu parādu četros vienādos maksājumos (t.i., uz četriem gadiem)?

Tātad, šī ir problēma saistībā ar aizdevumu, tāpēc mēs nekavējoties pierakstām savu formulu:

Mēs zinām aizdevumu - 9 282 000 rubļu.

Tagad mēs runāsim par procentiem. Mēs runājam par 10% no problēmas. Tāpēc mēs varam tos tulkot:

Mēs varam izveidot vienādojumu:

Mēs esam ieguvuši parastu lineāru vienādojumu attiecībā pret $x$, lai gan ar diezgan lieliem koeficientiem. Mēģināsim to atrisināt. Vispirms atrodam izteiksmi $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(līdzināt)$

Tagad pārrakstīsim vienādojumu:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(1 =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(līdzināt)\]\[\]

Lūk, mūsu problēma ar procentiem ir atrisināta.

Protams, tas bija tikai vienkāršākais uzdevums ar procentiem no vienotā valsts eksāmena matemātikā. Reālā eksāmenā šāda uzdevuma, visticamāk, nebūs. Un, ja tā notiek, uzskatiet sevi par ļoti laimīgu. Nu, tiem, kam patīk skaitīt un nepatīk riskēt, pāriesim pie nākamajiem grūtākajiem uzdevumiem.

2. piemērs

2014. gada 31. decembrī Stepans no bankas aizņēmās 4 004 000 rubļu ar 20% gadā. Kredīta atmaksas shēma ir šāda: katra nākamā gada 31.decembrī banka uzkrāj procentus par atlikušo parāda summu (t.i., palielina parādu par 20%), pēc tam Stepans veic maksājumu bankai. Stepans dzēsa visu parādu 3 vienādos maksājumos. Par cik rubļiem mazāk viņš dotu bankai, ja varētu nomaksāt parādu 2 vienādos maksājumos.

Mūsu priekšā ir problēma saistībā ar aizdevumiem, tāpēc mēs pierakstām savu formulu:

\[\]\

Ko mēs zinām? Pirmkārt, mēs zinām kopējo kredīta summu. Mēs zinām arī procentus. Atradīsim attiecību:

Kas attiecas uz $n$, jums rūpīgi jāizlasa problēmas stāvoklis. Tas ir, vispirms mums ir jāaprēķina, cik viņš samaksāja par trim gadiem, t.i., $n=3$, un pēc tam vēlreiz jāveic tās pašas darbības, bet jāaprēķina maksājumi par diviem gadiem. Uzrakstīsim vienādojumu gadījumam, ja maksājums tiek veikts trīs gadus:

Atrisināsim šo vienādojumu. Bet vispirms atradīsim izteiksmi $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cpunkts 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(līdzināt)\]

Mēs pārrakstām savu izteiksmi:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1) (0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\ end(align)\]

Kopā mūsu maksājums būs 1900800 rubļu. Tomēr pievērsiet uzmanību: uzdevumā mums bija jāatrod nevis ikmēneša maksājums, bet gan tas, cik Stepans kopā maksātu par trim vienādiem maksājumiem, tas ir, par visu aizdevuma lietošanas laiku. Tāpēc iegūtā vērtība atkal jāreizina ar trīs. Skaitīsim:

Kopumā par trim vienādiem maksājumiem Stepans samaksās 5 702 400 rubļu. Tik daudz viņam izmaksās kredīta izmantošana trīs gadus.

Tagad apsveriet otro situāciju, kad Stepans saņēmās, sagatavojās un nomaksāja visu kredītu nevis trijos, bet divos vienādos maksājumos. Mēs pierakstām to pašu formulu:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\ end(align)\]

Bet tas vēl nav viss, jo šobrīd esam aprēķinājuši tikai vienu no diviem maksājumiem, tātad kopā Stepans maksās tieši divas reizes vairāk:

Lieliski, tagad esam tuvu galīgajai atbildei. Bet pievērsiet uzmanību: galīgo atbildi mēs vēl neesam saņēmuši nekādā gadījumā, jo par trīs gadu maksājumiem Stepans maksās 5 702 400 rubļu, bet par divu gadu maksājumiem - 5 241 600 rubļu, tas ir, nedaudz mazāk. Cik mazāk? Lai to noskaidrotu, no pirmā maksājuma summas jāatņem otrā maksājuma summa:

Kopējā galīgā atbilde ir 460 800 rubļu. Cik tieši Stepans ietaupīs, ja maksās nevis trīs gadus, bet divus.

Kā redzat, procentu, termiņu un maksājumu sasaistes formula ievērojami vienkāršo aprēķinus salīdzinājumā ar klasiskajām tabulām, un diemžēl nezināmu iemeslu dēļ tabulas joprojām tiek izmantotas lielākajā daļā problēmu kolekciju.

Atsevišķi vēlos vērst Jūsu uzmanību uz termiņu, uz kādu ņemts kredīts, un ikmēneša maksājumu apmēriem. Fakts ir tāds, ka šī saikne nav tieši redzama no formulām, kuras mēs pierakstījām, bet tās izpratne ir nepieciešama, lai ātri un efektīvi atrisinātu reālas problēmas eksāmenā. Patiesībā šī sakarība ir ļoti vienkārša: jo ilgāk kredīts tiek ņemts, jo mazāka summa būs ikmēneša maksājumos, bet jo lielāka summa uzkrāsies visā kredīta lietošanas laikā. Un otrādi: jo īsāks termiņš, jo lielāks ikmēneša maksājums, bet mazāka beigu pārmaksa un mazākas kredīta kopējās izmaksas.

Protams, visi šie apgalvojumi būs vienādi tikai ar nosacījumu, ka aizdevuma summa un procentu likme abos gadījumos būs vienāda. Kopumā pagaidām tikai atcerieties šo faktu – tas tiks izmantots, lai atrisinātu vissarežģītākās problēmas par šo tēmu, bet pagaidām mēs analizēsim vienkāršāku problēmu, kur jums tikai jāatrod sākotnējā aizdevuma kopējā summa.

3. piemērs

Tātad, vēl viens uzdevums kredītam un kopā pēdējais uzdevums šodienas video pamācībā.

2014. gada 31. decembrī Vasilijs no bankas izņēma noteiktu summu kredītā ar 13% gadā. Kredīta atmaksas shēma ir šāda: katra nākamā gada 31. decembrī banka uzkrāj procentus par atlikušo parāda summu (tas ir, palielina parādu par 13%), pēc tam Vasīlijs pārskaita bankai 5 107 600 rubļu. Kādu summu Vasilijs aizņēmās bankā, ja atmaksāja parādu divās vienādās daļās (uz diviem gadiem)?

Tātad, pirmkārt, šī problēma atkal ir saistīta ar aizdevumiem, tāpēc mēs pierakstām savu brīnišķīgo formulu:

Apskatīsim, ko mēs zinām no problēmas stāvokļa. Pirmkārt, maksājums - tas ir vienāds ar 5 107 600 rubļiem gadā. Otrkārt, procenti, lai mēs varētu atrast attiecību:

Turklāt, atbilstoši problēmas stāvoklim, Vasilijs bankā ņēma kredītu uz diviem gadiem, t.i. maksā divās vienādās daļās, tātad $n=2$. Aizstāsim visu un arī ņemsim vērā, ka aizdevums mums nav zināms, t.i. summu, ko viņš paņēma, un apzīmēsim to kā $x$. Mēs iegūstam:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Pārrakstīsim mūsu vienādojumu, paturot prātā šo faktu:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000) (1276) \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(līdzināt)\]

Tas viss, šī ir galīgā atbilde. Tieši šo summu Vasilijs ņēma kredītā pašā sākumā.

Tagad ir skaidrs, kāpēc šajā problēmā mums tiek lūgts ņemt kredītu tikai uz diviem gadiem, jo ​​šeit parādās divciparu procentu likmes, proti, 13%, kas kvadrātā jau dod diezgan "brutālu" skaitli. Bet tas nav ierobežojums – nākamajā atsevišķā nodarbībā izskatīsim sarežģītākus uzdevumus, kur būs nepieciešams atrast aizdevuma termiņu, un likme būs viens, divi vai trīs procenti.

Kopumā iemācieties risināt noguldījumu un kredītu problēmas, sagatavoties eksāmeniem un nokārtot tos "teicami". Un, ja šodienas video nodarbības materiālos kaut kas nav skaidrs, tad nekavējieties - rakstiet, zvaniet, un es centīšos jums palīdzēt.

finanšu matemātika

Par pareizi izpildītu uzdevumu bez kļūdām jūs saņemsit 3 punkti.

Apmēram 35 minūtes.

Lai atrisinātu 17. uzdevumu profila līmeņa matemātikā, jāzina:

1. Uzdevumi ir sadalīti vairākos veidos:
   • ar bankām, noguldījumiem un kredītiem saistītie uzdevumi;
   • uzdevumi optimālai izvēlei.
2. Ikmēneša maksājuma aprēķināšanas formula: S kredīts = S/12t
3. Formula vienkāršu procentu aprēķināšanai: S=α (1 + tp/m)
4. Formula salikto procentu aprēķināšanai: C \u003d x (1 + a%)n

procenti - ir viena simtdaļa no vērtības.

• x*(1 + p/100) — vērtība x palielinājies par lpp%
• x*(1 — k/100) — vērtība x samazinājies par k%
• x*(1 + p/100) k — vērtība x palielinājies par lpp% k vienreiz
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – vērtība X vispirms palielinājās par lpp%, un pēc tam samazinājās par k%

Uzdevumi kredīta atmaksai vienādās daļās:

Kredīta summa tiek ņemta kā X. Bankas procenti - a. Kredīta atmaksa - S.

Gadu pēc procentu uzkrāšanas un summas samaksas S parāds - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Parāds pēc 2 gadiem: (xp-S)p-S
• Parāds pēc 3 gadiem: ((xp - S)p - S)p - S
• Parāda summa caur n gadi: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)