Kā no daļskaitļa izveidot skaitli ar komatu. Decimālskaitļu pārvēršana daļskaitļos

Gadās, ka aprēķinu ērtībai parastā daļa jāpārvērš decimāldaļā un otrādi. Par to, kā to izdarīt, mēs runāsim šajā rakstā. Apskatīsim noteikumus parasto daļskaitļu pārvēršanai decimāldaļās un otrādi, kā arī sniegsim piemērus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mēs apsvērsim parasto daļskaitļu pārvēršanu decimāldaļās, ievērojot noteiktu secību. Vispirms apskatīsim, kā parastās daļskaitļi, kuru saucējs ir 10 reizināts, tiek pārvērsti decimāldaļās: 10, 100, 1000 utt. Daļskaitļi ar šādiem saucējiem patiesībā ir apgrūtinošāks decimāldaļskaitļu apzīmējums.

Tālāk mēs apskatīsim, kā parastās daļskaitļus ar jebkuru saucēju, nevis tikai 10 reizinātāju, pārvērst decimāldaļdaļās. Ņemiet vērā, ka, pārvēršot parastās daļskaitļus decimāldaļās, tiek iegūtas ne tikai galīgas decimāldaļas, bet arī bezgalīgas periodiskas decimāldaļas.

Sāksim!

Parasto daļskaitļu tulkošana ar saucējiem 10, 100, 1000 utt. līdz zīmēm aiz komata

Pirmkārt, pieņemsim, ka dažas daļdaļas ir jāsagatavo pirms pārveidošanas decimāldaļā. Kas tas ir? Pirms skaitļa skaitītājā ir jāpievieno tik daudz nulles, lai ciparu skaits skaitītājā būtu vienāds ar nulles skaitu saucējā. Piemēram, daļskaitlim 3100 skaitītājā pa kreisi no 3 vienreiz jāpievieno skaitlis 0. Frakcija 610 saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu nav jāmaina.

Apskatīsim vēl vienu piemēru, pēc kura mēs formulēsim noteikumu, kas sākotnēji ir īpaši ērti lietojams, kamēr nav lielas pieredzes daļskaitļu konvertēšanā. Tātad daļa 1610000 pēc nulles pievienošanas skaitītājā izskatīsies kā 001510000.

Kā pārvērst parasto daļskaitli ar saucēju 10, 100, 1000 utt. līdz decimāldaļai?

Noteikums parasto daļskaitļu pārvēršanai decimāldaļās

1. Ierakstiet 0 un aiz tā lieciet komatu.
2. Mēs pierakstām skaitli no skaitītāja, kas tika iegūts pēc nulles pievienošanas.

Tagad pāriesim pie piemēriem.

1. piemērs. Daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Pārvērsim daļu 39 100 par decimāldaļu.

Pirmkārt, mēs skatāmies uz daļskaitli un redzam, ka nav jāveic nekādas sagatavošanas darbības - ciparu skaits skaitītājā sakrīt ar nulles skaitu saucējā.

Ievērojot noteikumu, mēs rakstām 0, aiz tā ieliekam komatu un ierakstām skaitli no skaitītāja. Mēs iegūstam decimāldaļu 0,39.

Apskatīsim risinājumu citam piemēram par šo tēmu.

2. piemērs. Daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Daļu 105 10000000 ierakstīsim kā decimāldaļu.

Nuļļu skaits saucējā ir 7, un skaitītājā ir tikai trīs cipari. Pirms skaitļa skaitītājā pievienosim vēl 4 nulles:

0000105 10000000

Tagad pierakstām 0, aiz tā ieliekam komatu un pierakstām skaitli no skaitītāja. Mēs iegūstam decimāldaļu 0,0000105.

Visos piemēros aplūkotās daļskaitļi ir parastas īstās frakcijas. Bet kā pārvērst nepareizo daļskaitli aiz komata? Uzreiz teiksim, ka nav nepieciešama sagatavošanās, šādām frakcijām pievienojot nulles. Formulēsim noteikumu.

Noteikums parasto nepareizo daļskaitļu pārvēršanai decimāldaļās

1. Pierakstiet skaitli, kas ir skaitītājā.
2. Mēs izmantojam decimālzīmi, lai labajā pusē atdalītu tik daudz ciparu, cik sākotnējās daļdaļas saucējā ir nulles.

Tālāk ir sniegts piemērs, kā izmantot šo noteikumu.

3. piemērs. Daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Pārveidosim daļskaitli 56888038009 100000 no parastas neregulāras daļskaitļa uz decimāldaļu.

Vispirms pierakstīsim skaitli no skaitītāja:

Tagad labajā pusē mēs atdalām piecus ciparus ar komatu (nuļļu skaits saucējā ir pieci). Mēs iegūstam:

Nākamais dabiski rodas jautājums: kā jauktu skaitli pārvērst par decimāldaļskaitli, ja tā daļdaļas saucējs ir skaitlis 10, 100, 1000 utt. Lai pārvērstu šādu skaitli par decimāldaļskaitli, varat izmantot šādu noteikumu.

Noteikums jauktu skaitļu pārvēršanai decimāldaļās

1. Ja nepieciešams, sagatavojam skaitļa daļējo daļu.
2. Mēs pierakstām visu sākotnējā skaitļa daļu un aiz tā ievietojam komatu.
3. Mēs pierakstām skaitli no daļdaļas skaitītāja kopā ar pievienotajām nullēm.

Apskatīsim piemēru.

4. piemērs: jauktu skaitļu pārvēršana decimāldaļās

Pārveidosim jaukto skaitli 23 17 10000 par decimāldaļskaitli.

Daļējā daļā mums ir izteiksme 17 10000. Sagatavosim to un pievienosim vēl divas nulles pa kreisi no skaitītāja. Mēs saņemam: 0017 10000.

Tagad pierakstām visu skaitļa daļu un aiz tā liekam komatu: 23, . .

Pēc komata pierakstiet skaitli no skaitītāja kopā ar nullēm. Mēs iegūstam rezultātu:

23 17 10000 = 23 , 0017

Parasto daļu pārvēršana galīgās un bezgalīgās periodiskās daļās

Protams, jūs varat konvertēt uz decimāldaļām un parastajām daļskaitļiem, kuru saucējs nav vienāds ar 10, 100, 1000 utt.

Bieži vien daļu var viegli reducēt līdz jaunam saucējam un pēc tam izmantot noteikumu, kas izklāstīts šī raksta pirmajā daļā. Piemēram, pietiek ar daļskaitļa 25 skaitītāju un saucēju reizināt ar 2, un mēs iegūstam daļskaitli 410, ko viegli pārvērš decimāldaļā 0,4.

Tomēr šo metodi daļskaitļa pārvēršanai decimāldaļā ne vienmēr var izmantot. Tālāk mēs apsvērsim, kā rīkoties, ja nav iespējams piemērot aplūkoto metodi.

Principiāli jauns veids, kā pārvērst daļu decimāldaļā, ir dalītāja skaitītājs ar saucēju ar kolonnu. Šī darbība ir ļoti līdzīga naturālu skaitļu dalīšanai ar kolonnu, taču tai ir savas īpašības.

Dalot, skaitītājs tiek attēlots kā decimāldaļdaļa - pa labi no skaitītāja pēdējā cipara tiek likts komats un pievienotas nulles. Iegūtajā koeficientā decimālzīmi ievieto, kad beidzas skaitītāja veselās skaitļa daļas dalīšana. Kā tieši šī metode darbojas, kļūs skaidrs, apskatot piemērus.

Piemērs 5. Daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Pārveidosim parasto datni 621 4 decimāldaļā.

Attēlosim skaitli 621 no skaitītāja kā decimāldaļskaitli, aiz komata pievienojot dažas nulles. 621 = 621,00

Tagad sadalīsim 621,00 ar 4, izmantojot kolonnu. Pirmie trīs dalīšanas soļi būs tādi paši kā naturālus skaitļus dalot, un mēs iegūsim.

Kad dividendē sasniedzam komatu un atlikums atšķiras no nulles, koeficientā ievietojam komatu un turpinām dalīt, vairs nepievēršot uzmanību komatam dividendēs.

Rezultātā mēs iegūstam decimāldaļdaļu 155, 25, kas ir parastās daļdaļas 621 4 apvēršanas rezultāts.

621 4 = 155 , 25

Apskatīsim vēl vienu piemēru materiāla nostiprināšanai.

6. piemērs. Daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Apvērsīsim parasto daļskaitli 21 800.

Lai to izdarītu, sadaliet daļu 21 000 kolonnā ar 800. Visas daļas dalīšana beigsies pirmajā solī, tāpēc uzreiz pēc tā koeficientā ieliekam komatu un turpinām dalīšanu, nepievēršot uzmanību komatam dividendē, līdz iegūstam atlikumu, kas vienāds ar nulli.

Rezultātā mēs saņēmām: 21 800 = 0,02625.

Bet ja, dalot, mēs joprojām nesaņemam atlikumu 0. Šādos gadījumos dalīšanu var turpināt bezgalīgi. Tomēr, sākot no noteikta posma, atliekas periodiski atkārtosies. Attiecīgi tiks atkārtoti skaitļi koeficientā. Tas nozīmē, ka parastā daļa tiek pārveidota par bezgalīgu decimālo periodisko daļu. Ilustrēsim to ar piemēru.

7. piemērs Daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Pārvēršam parasto daļskaitli 19 44 par decimāldaļu. Lai to izdarītu, mēs veicam sadalīšanu pa kolonnām.

Mēs redzam, ka dalīšanas laikā atkārtojas atlikumi 8 un 36. Šajā gadījumā skaitļi 1 un 8 tiek atkārtoti koeficientā. Šis ir periods decimāldaļdaļā. Ierakstīšanas laikā šie skaitļi tiek ievietoti iekavās.

Tādējādi sākotnējā parastā daļa tiek pārveidota par bezgalīgu periodisku decimālo daļu.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Ļaujiet mums iegūt nesamazināmu parasto daļu. Kādā formā tas būs? Kuras parastās daļskaitļus pārvērš par ierobežotām decimāldaļām, bet kuras par bezgalīgām periodiskām daļskaitļiem?

Pirmkārt, pieņemsim, ka, ja daļu var reducēt līdz vienam no saucējiem 10, 100, 1000..., tad tai būs pēdējās decimāldaļskaitļa forma. Lai daļskaitlis tiktu samazināts līdz vienam no šiem saucējiem, tā saucējam ir jābūt vismaz viena no skaitļiem 10, 100, 1000 utt., Dalītājam. No noteikumiem par skaitļu iekļaušanu pirmfaktoros izriet, ka skaitļu dalītājs ir 10, 100, 1000 utt. Iekļaujot pirmajos faktoros, tiem ir jāsatur tikai skaitļi 2 un 5.

Apkoposim teikto:

1. Parasto daļu var samazināt līdz pēdējai decimāldaļai, ja tās saucēju var ieskaitīt galvenajos faktoros 2 un 5.
2. Ja bez skaitļiem 2 un 5 saucēja izvērsumā ir arī citi pirmskaitļi, daļskaitli samazina līdz bezgalīgas periodiskas decimāldaļskaitļa formai.

Sniegsim piemēru.

8. piemērs. Daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Kura no šīm daļdaļām 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 tiek pārvērsta par pēdējo decimāldaļu, bet kura - tikai par periodisku. Atbildēsim uz šo jautājumu, tieši nepārvēršot daļu decimāldaļā.

Daļa 47 20, kā tas ir viegli redzams, reizinot skaitītāju un saucēju ar 5, tiek samazināts līdz jaunam saucējam 100.

47 20 = 235 100. No tā mēs secinām, ka šī daļa tiek pārveidota par pēdējo decimāldaļskaitli.

Daļas 7 12 saucēja faktorēšana iegūst 12 = 2 · 2 · 3. Tā kā galvenais koeficients 3 atšķiras no 2 un 5, šo daļu nevar attēlot kā ierobežotu decimāldaļskaitli, bet tai būs bezgalīgas periodiskas daļas forma.

Pirmkārt, ir jāsamazina daļa 21 56. Pēc samazināšanas par 7 mēs iegūstam nereducējamo daļu 3 8, kuras saucējs tiek faktorizēts, lai iegūtu 8 = 2 · 2 · 2. Tāpēc tā ir pēdējā decimāldaļdaļa.

Daļas 31 17 gadījumā saucējs ir pats galvenais skaitlis 17. Attiecīgi šo daļu var pārvērst bezgalīgā periodiskā decimāldaļskaitlī.

Parasto daļu nevar pārvērst bezgalīgā un neperiodiskā decimāldaļskaitlī

Iepriekš mēs runājām tikai par ierobežotām un bezgalīgām periodiskām daļām. Bet vai jebkuru parasto daļu var pārvērst par bezgalīgu neperiodisku daļu?

Mēs atbildam: nē!

Svarīgs!

Pārvēršot bezgalīgu daļu decimāldaļā, rezultāts ir vai nu ierobežots decimālskaitlis, vai bezgalīgs periodisks decimālskaitlis.

Dalījuma atlikusī daļa vienmēr ir mazāka par dalītāju. Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar dalāmības teorēmu, ja mēs dalām kādu naturālu skaitli ar skaitli q, tad dalījuma atlikums jebkurā gadījumā nevar būt lielāks par q-1. Pēc sadalīšanas ir iespējama viena no šādām situācijām:

1. Mēs iegūstam atlikumu 0, un šeit dalījums beidzas.
2. Mēs iegūstam atlikumu, kas tiek atkārtots pēc turpmākās dalīšanas, kā rezultātā tiek iegūta bezgalīga periodiska daļa.

Pārvēršot daļu decimāldaļās, nevar būt citas iespējas. Pieņemsim arī, ka perioda garums (ciparu skaits) bezgalīgā periodiskā daļā vienmēr ir mazāks par ciparu skaitu attiecīgās parastās daļas saucējā.

Decimāldaļu pārvēršana daļskaitļos

Tagad ir pienācis laiks aplūkot apgriezto procesu decimāldaļskaitļa pārvēršanai parastā daļskaitlī. Formulēsim tulkošanas noteikumu, kas ietver trīs posmus. Kā pārvērst decimāldaļu par parasto daļskaitli?

Noteikums decimāldaļu pārvēršanai parastajās daļās

1. Skaitītājā ierakstām skaitli no sākotnējās decimāldaļas, atmetot komatu un visas nulles kreisajā pusē, ja tādas ir.
2. Saucējā mēs ierakstām vienu, kam seko tik nulles, cik ciparu ir aiz komata sākotnējā decimāldaļskaitlī.
3. Ja nepieciešams, samaziniet iegūto parasto frakciju.

Apskatīsim šī noteikuma piemērošanu, izmantojot piemērus.

8. piemērs. Decimāldaļu pārvēršana parastajās daļās

Iedomāsimies skaitli 3,025 kā parastu daļskaitli.

1. Skaitītājā ierakstām pašu decimālo daļu, atmetot komatu: 3025.
2. Saucējā mēs ierakstām vienu un pēc tā trīs nulles - tieši tik daudz ciparu ir sākotnējā daļā aiz komata: 3025 1000.
3. Iegūto daļu 3025 1000 var samazināt par 25, iegūstot: 3025 1000 = 121 40.

9. piemērs. Decimāldaļu pārvēršana parastajās daļās

Pārvērsim daļu 0,0017 no decimāldaļas uz parasto.

1. Skaitītājā ierakstām daļu 0, 0017, atmetot komatu un nulles kreisajā pusē. Izrādīsies, ka būs 17.
2. Sauktājā ierakstām vienu un pēc tā četras nulles: 17 10000. Šī daļa ir nesamazināma.

Ja decimāldaļai ir vesela skaitļa daļa, tad šādu daļu var nekavējoties pārvērst par jauktu skaitli. Kā to izdarīt?

Formulēsim vēl vienu noteikumu.

Noteikums decimāldaļu pārvēršanai jauktos skaitļos.

1. Skaitlis pirms komata daļdaļā tiek rakstīts kā jauktā skaitļa vesela skaitļa daļa.
2. Skaitītājā mēs ierakstām skaitli aiz komata daļdaļā, atmetot nulles kreisajā pusē, ja tādas ir.
3. Daļējās daļas saucējā saskaitām vienu un tik nulles, cik daļdaļā ir ciparu aiz komata.

Ņemsim piemēru

10. piemērs: decimāldaļas pārvēršana par jauktu skaitli

Iedomāsimies daļskaitli 155, 06005 kā jauktu skaitli.

1. Skaitli 155 rakstām kā veselu daļu.
2. Skaitītājā ierakstām skaitļus aiz komata, atmetot nulli.
3. Sasaucējā ierakstām vienu un piecas nulles

Apgūsim jauktu skaitli: 155 6005 100 000

Daļējo daļu var samazināt par 5. Mēs to saīsinām un iegūstam gala rezultātu:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Bezgalīgu periodisku decimāldaļu pārvēršana daļdaļās

Apskatīsim piemērus, kā periodiskas decimāldaļdaļas pārvērst parastajās daļdaļās. Pirms sākam, precizēsim: jebkuru periodisku decimāldaļskaitli var pārvērst parastā daļskaitlī.

Vienkāršākais gadījums ir tad, kad daļas periods ir nulle. Periodiskā daļa ar nulles punktu tiek aizstāta ar pēdējo decimāldaļu, un šādas daļskaitļa apgriešanas process tiek samazināts līdz pēdējās decimāldaļdaļas apvēršanai.

11. piemērs. Periodiskas decimāldaļas pārvēršana parastā daļskaitlī

Apvērsīsim periodisko daļu 3, 75 (0).

Izslēdzot nulles labajā pusē, mēs iegūstam pēdējo decimāldaļu 3,75.

Pārvēršot šo daļu parastā daļskaitlī, izmantojot iepriekšējos punktos aprakstīto algoritmu, mēs iegūstam:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Ko darīt, ja daļas periods atšķiras no nulles? Periodiskā daļa jāuzskata par ģeometriskās progresijas vārdu summu, kas samazinās. Paskaidrosim to ar piemēru:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Pastāv formula bezgalīgas dilstošās ģeometriskās progresijas vārdu summai. Ja pirmais progresijas loceklis ir b un saucējs q ir tāds, ka 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Apskatīsim dažus piemērus, izmantojot šo formulu.

12. piemērs. Periodiskas decimāldaļas pārvēršana parastā daļskaitlī

Pieņemsim periodisku daļskaitli 0, (8), un mums tā jāpārvērš par parastu.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Šeit mums ir bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija ar pirmo vārdu 0, 8 un saucēju 0, 1.

Pielietosim formulu:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Šī ir vajadzīgā parastā daļa.

Lai konsolidētu materiālu, apsveriet citu piemēru.

13. piemērs. Periodiskas decimāldaļas pārvēršana parastā daļskaitlī

Apgriezīsim daļskaitli 0, 43 (18).

Vispirms mēs ierakstām daļskaitli kā bezgalīgu summu:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Apskatīsim terminus iekavās. Šo ģeometrisko progresiju var attēlot šādi:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Mēs pievienojam rezultātu galīgajai daļai 0, 43 = 43 100 un iegūstam rezultātu:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Pēc šo daļu pievienošanas un samazināšanas mēs iegūstam galīgo atbildi:

0 , 43 (18) = 19 44

Noslēdzot šo rakstu, mēs teiksim, ka neperiodiskas bezgalīgas decimāldaļas nevar pārvērst parastajās daļās.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Materiāli par frakcijām un secīgi izpēti. Zemāk jūs atradīsiet detalizētu informāciju ar piemēriem un paskaidrojumiem.

1. Jaukts skaitlis kopējā daļskaitlī.Rakstīsim numuru vispārīgā formā:

Mēs atceramies vienkāršu noteikumu - mēs reizinām visu daļu ar saucēju un pievienojam skaitītāju, tas ir:

Piemēri:

2. Gluži pretēji, parastā daļdaļa par jauktu skaitli. *Protams, to var izdarīt tikai ar nepareizu daļskaitli (kad skaitītājs ir lielāks par saucēju).

Ar “maziem” skaitļiem parasti nav jāveic nekādas darbības, rezultāts ir “redzams” uzreiz, piemēram, daļskaitļi:

*Skatīt vairāk:

15:13 = 1 atlikums 2

4:3 = 1 atlikums 1

9:5 = 1 atlikums 4

Bet, ja skaitļu ir vairāk, tad bez aprēķiniem neiztikt. Šeit viss ir vienkārši - daliet skaitītāju ar saucēju ar stūri, līdz atlikums ir mazāks par dalītāju. Sadalījuma shēma:

Piemēram:

*Mūsu skaitītājs ir dividende, saucējs ir dalītājs.

Mēs iegūstam visu daļu (nepilnīgo koeficientu) un atlikušo daļu. Mēs pierakstām veselu skaitli, pēc tam daļskaitli (skaitītājs satur atlikumu, bet saucējs paliek nemainīgs):

3. Pārvērtiet decimāldaļu uz parasto.

Daļēji pirmajā rindkopā, kur mēs runājām par decimāldaļskaitļiem, mēs to jau pieskārāmies. Mēs to pierakstām, kā to dzirdam. Piemēram - 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10.00015

Mums ir pirmās trīs daļas bez vesela skaitļa daļas. Un ceturtajam un piektajam tas ir, pārveidosim tos par parastajiem, mēs jau zinām, kā to izdarīt:

*Mēs redzam, ka var samazināt arī daļskaitļus, piemēram, 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 un citus, bet šeit mēs to nedarīsim. Attiecībā uz samazināšanu zemāk atradīsit atsevišķu rindkopu, kurā mēs visu detalizēti analizēsim.

4. Pārvērtiet parasto decimāldaļu.

Tas nav tik vienkārši. Ar dažām daļskaitļiem ir uzreiz skaidrs un skaidrs, ko ar to darīt, lai tas kļūtu par decimāldaļu, piemēram:

Mēs izmantojam mūsu brīnišķīgo daļskaitļa pamatīpašību - attiecīgi reizinām skaitītāju un saucēju ar 5, 25, 2, 5, 4, 2 un iegūstam:

Ja ir visa daļa, tad arī nekas sarežģīts:

Mēs reizinām daļējo daļu ar attiecīgi 2, 25, 2 un 5 un iegūstam:

Un ir tādi, kuriem bez pieredzes nav iespējams noteikt, vai tos var pārvērst decimāldaļās, piemēram:

Ar kādiem skaitļiem jāreizina skaitītājs un saucējs?

Šeit atkal nāk palīgā pārbaudīta metode - dalīšana ar stūri, universāla metode, jūs vienmēr varat to izmantot, lai pārvērstu parasto daļskaitli decimāldaļā:

Tādā veidā jūs vienmēr varat noteikt, vai daļa tiek pārveidota par decimāldaļu. Fakts ir tāds, ka ne katru parasto daļskaitli var pārvērst decimāldaļā, piemēram, 1/9, 3/7, 7/26 netiek konvertēti. Kāda tad ir daļa, kas iegūta, dalot 1 ar 9, 3 ar 7, 5 ar 11? Mana atbilde ir bezgalīgs decimālskaitlis (mēs par tiem runājām 1. punktā). Sadalīsim:

Tas ir viss! Veiksmi tev!

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs.

Šajā rakstā mēs apskatīsim, kā daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās, kā arī apsveriet apgriezto procesu - decimāldaļskaitļu pārvēršanu parastajās daļās. Šeit mēs izklāstīsim daļskaitļu konvertēšanas noteikumus un sniegsim detalizētus risinājumus tipiskajiem piemēriem.

Lapas navigācija.

Daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Apzīmēsim secību, kādā mēs to izskatīsim daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās.

Vispirms apskatīsim, kā daļskaitļus ar saucējiem 10, 100, 1000, ... attēlot kā decimālskaitļus. Tas izskaidrojams ar to, ka decimāldaļskaitļi būtībā ir kompakta parasto daļskaitļu rakstīšanas forma ar saucējiem 10, 100, ....

Pēc tam mēs dosimies tālāk un parādīsim, kā uzrakstīt jebkuru parasto daļskaitli (ne tikai tos, kuru saucēji ir 10, 100, ...) kā decimāldaļskaitli. Šādi apstrādājot parastās daļskaitļus, tiek iegūtas gan galīgas decimāldaļas, gan bezgalīgas periodiskas decimāldaļas.

Tagad parunāsim par visu kārtībā.

Kopējo daļskaitļu ar saucēju 10, 100, ... pārvēršana decimāldaļās

Dažām pareizām daļskaitļiem ir nepieciešama "iepriekšēja sagatavošana", pirms tās pārvērš decimāldaļās. Tas attiecas uz parastajām daļām, kuru ciparu skaits skaitītājā ir mazāks par nulles skaitu saucējā. Piemēram, parastā daļdaļa 2/100 vispirms jāsagatavo pārvēršanai decimāldaļskaitlī, bet daļdaļai 9/10 nekāda sagatavošana nav nepieciešama.

Pareizo parasto daļskaitļu “iepriekšēja sagatavošana” pārvēršanai decimāldaļdaļās sastāv no tik daudz nulles pievienošanas skaitītājā pa kreisi, lai kopējais ciparu skaits tur kļūst vienāds ar nulles skaitu saucējā. Piemēram, daļa pēc nulles pievienošanas izskatīsies kā .

Kad esat sagatavojis pareizu daļskaitli, varat sākt to konvertēt uz decimāldaļu.

Dosim noteikums pareizas parastās daļskaitļa ar saucēju 10, 100 vai 1000 ... konvertēšanai decimāldaļdaļā. Tas sastāv no trim soļiem:

• rakstīt 0;
• aiz tā liekam komatu;
• Mēs pierakstām skaitli no skaitītāja (kopā ar pievienotajām nullēm, ja tās pievienojām).

Apsvērsim šī noteikuma piemērošanu, risinot piemērus.

Piemērs.

Pārvērtiet pareizo daļu 37/100 uz decimāldaļu.

Risinājums.

Saucējs satur skaitli 100, kurā ir divas nulles. Skaitītājā ir skaitlis 37, tā apzīmējumā ir divi cipari, tāpēc šī daļdaļa nav jāsagatavo pārvēršanai decimāldaļskaitlī.

Tagad mēs rakstām 0, ieliekam komatu un no skaitītāja ierakstām skaitli 37, un mēs iegūstam decimāldaļu 0,37.

Atbilde:

0,37 .

Lai nostiprinātu prasmes pārvērst parastās daļskaitļus ar skaitītājiem 10, 100, ... decimāldaļdaļās, mēs analizēsim risinājumu citā piemērā.

Piemērs.

Ierakstiet pareizo daļu 107/10 000 000 kā decimāldaļu.

Risinājums.

Skaitītāja ciparu skaits ir 3, un nulles saucējā ir 7, tāpēc šī parastā daļdaļa ir jāsagatavo konvertēšanai uz decimāldaļu. Skaitītājā pa kreisi jāpievieno 7-3=4 nulles, lai kopējais ciparu skaits tur būtu vienāds ar nulles skaitu saucējā. Mēs saņemam.

Atliek tikai izveidot nepieciešamo decimāldaļu. Lai to izdarītu, pirmkārt, mēs rakstām 0, otrkārt, mēs ievietojam komatu, treškārt, mēs rakstām skaitli no skaitītāja kopā ar nullēm 0000107, kā rezultātā mums ir decimāldaļdaļa 0,0000107.

Atbilde:

0,0000107 .

Nepareizām daļskaitļiem nav nepieciešama sagatavošana, pārvēršot decimāldaļās. Jāievēro sekojošais noteikumi nepareizu daļskaitļu ar saucējiem 10, 100, ... konvertēšanai decimāldaļās:

• pierakstiet skaitli no skaitītāja;
• Mēs izmantojam decimālzīmi, lai labajā pusē atdalītu tik daudz ciparu, cik sākotnējās daļdaļas saucējā ir nulles.

Apskatīsim šī noteikuma piemērošanu, risinot piemēru.

Piemērs.

Pārvērtiet nepareizo daļskaitli 56 888 038 009/100 000 uz decimāldaļu.

Risinājums.

Pirmkārt, mēs pierakstām skaitli no skaitītāja 56888038009, un, otrkārt, mēs atdalām 5 ciparus labajā pusē ar decimālzīmi, jo sākotnējās daļas saucējā ir 5 nulles. Rezultātā mums ir decimāldaļdaļa 568880.38009.

Atbilde:

568 880,38009 .

Lai jauktu skaitli pārvērstu decimāldaļskaitlī, kuras daļdaļas saucējs ir skaitlis 10, 100 vai 1000, ..., varat pārvērst jaukto skaitli par nepareizu parastu daļskaitli un pēc tam pārvērst iegūto daļskaitli. daļu decimāldaļskaitlī. Bet jūs varat arī izmantot tālāk norādīto noteikums jauktu skaitļu ar daļskaitļu saucēju 10, 100 vai 1000 ... pārvēršanai decimāldaļdaļās:

• ja nepieciešams, veicam sākotnējā jauktā skaitļa daļdaļas “iepriekš sagatavošanu”, skaitītājā pa kreisi pievienojot vajadzīgo nulles skaitu;
• pierakstiet sākotnējā jauktā skaitļa veselo daļu;
• ielieciet decimālzīmi;
• Mēs pierakstām skaitli no skaitītāja kopā ar pievienotajām nullēm.

Apskatīsim piemēru, kurā mēs veicam visas nepieciešamās darbības, lai jauktu skaitli attēlotu kā decimāldaļskaitli.

Piemērs.

Pārvērtiet jaukto skaitli par decimāldaļu.

Risinājums.

Daļējās daļas saucējam ir 4 nulles, un skaitītājs satur skaitli 17, kas sastāv no 2 cipariem, tāpēc skaitītājā pa kreisi jāpievieno divas nulles, lai ciparu skaits tajā būtu vienāds ar nulles saucējā. Kad tas ir izdarīts, skaitītājs būs 0017.

Tagad mēs pierakstām sākotnējā skaitļa veselo skaitļa daļu, tas ir, skaitli 23, ieliekam decimālzīmi, pēc kura mēs ierakstām skaitli no skaitītāja kopā ar pievienotajām nullēm, tas ir, 0017, un iegūstam vēlamo decimāldaļu. daļa 23.0017.

Īsi pierakstīsim visu risinājumu: .

Protams, vispirms bija iespējams jaukto skaitli attēlot kā nepareizu daļskaitli un pēc tam pārvērst to decimāldaļskaitlī. Izmantojot šo pieeju, risinājums izskatās šādi: .

Atbilde:

23,0017 .

Daļskaitļu pārvēršana par ierobežotām un bezgalīgām periodiskām decimāldaļām

Jūs varat pārvērst ne tikai parastās daļskaitļus ar saucējiem 10, 100, ... decimāldaļdaļās, bet arī parastās daļskaitļus ar citiem saucējiem. Tagad mēs sapratīsim, kā tas tiek darīts.

Dažos gadījumos sākotnējo parasto daļskaitli var viegli reducēt līdz vienam no saucējiem 10 vai 100, vai 1000, ... (skatiet parastās daļskaitļa pārnešanu uz jaunu saucēju), pēc kura nav grūti attēlot iegūto daļu. kā decimāldaļdaļa. Piemēram, ir acīmredzams, ka daļu 2/5 var samazināt līdz daļdaļai ar saucēju 10, lai to izdarītu, skaitītājs un saucējs jāreizina ar 2, kas iegūs daļskaitli 4/10, kas saskaņā ar Iepriekšējā rindkopā aprakstītie noteikumi ir viegli konvertējami decimāldaļdaļā 0, 4 .

Citos gadījumos jums ir jāizmanto cita metode parastās daļskaitļa pārvēršanai decimāldaļā, kuru mēs tagad apskatīsim.

Lai parastu daļskaitli pārvērstu decimāldaļskaitlī, daļskaitļa skaitītājs tiek dalīts ar saucēju, skaitītājs vispirms tiek aizstāts ar vienādu decimāldaļskaitli ar jebkuru nulles skaitu aiz komata (par to mēs runājām sadaļā vienāds un nevienādas decimāldaļdaļas). Šajā gadījumā dalīšanu veic tāpat kā dalīšanu ar naturālu skaitļu kolonnu, un koeficientā tiek likts decimālpunkts, kad beidzas visas dividendes daļas dalīšana. Tas viss kļūs skaidrs no tālāk sniegto piemēru risinājumiem.

Piemērs.

Pārvērtiet daļskaitli 621/4 uz decimāldaļu.

Risinājums.

Skaitītājā 621 esošo skaitli attēlosim kā decimāldaļskaitli, aiz komata pievienojot komatu un vairākas nulles. Vispirms pievienosim 2 ciparus 0, vēlāk, ja nepieciešams, vienmēr varam pievienot vēl nulles. Tātad mums ir 621,00.

Tagad dalīsim skaitli 621 000 ar 4 ar kolonnu. Pirmie trīs soļi neatšķiras no naturālu skaitļu dalīšanas ar kolonnu, pēc kura mēs nonākam pie šāda attēla:

Tādā veidā mēs nonākam līdz komatam dividendēs, un atlikums atšķiras no nulles. Šajā gadījumā koeficientā ievietojam komatu un turpinām dalīšanu kolonnā, nepievēršot uzmanību komatiem:

Tas pabeidz dalīšanu, un rezultātā mēs iegūstam decimāldaļu 155,25, kas atbilst sākotnējai parastajai daļai.

Atbilde:

155,25 .

Lai konsolidētu materiālu, apsveriet cita piemēra risinājumu.

Piemērs.

Pārvērtiet daļu 21/800 līdz decimāldaļai.

Risinājums.

Lai pārvērstu šo parasto daļskaitli par decimāldaļu, mēs dalām ar decimāldaļas kolonnu 21 000... ar 800. Pēc pirmā soļa mums koeficientā būs jāievieto decimālzīme un pēc tam jāturpina dalīšana:

Visbeidzot, mēs saņēmām atlikušo 0, tas pabeidz parastās daļdaļas 21/400 pārvēršanu par decimāldaļskaitli, un mēs nonācām pie decimāldaļskaitļa 0,02625.

Atbilde:

0,02625 .

Var gadīties, ka, dalot skaitītāju ar parastās daļskaitļa saucēju, mēs joprojām nesaņemam atlikumu 0. Šajos gadījumos sadalīšanu var turpināt bezgalīgi. Tomēr, sākot no noteikta soļa, atlikumi sāk periodiski atkārtot, un atkārtojas arī koeficienta skaitļi. Tas nozīmē, ka sākotnējā daļa tiek pārveidota par bezgalīgu periodisku decimālo daļu. Parādīsim to ar piemēru.

Piemērs.

Ierakstiet daļskaitli 19/44 kā decimāldaļu.

Risinājums.

Lai parasto daļskaitli pārvērstu par decimāldaļu, veiciet dalīšanu ar kolonnu:

Jau tagad ir skaidrs, ka dalīšanas laikā 8. un 36. atlikumi sāka atkārtoties, savukārt koeficientā atkārtojas skaitļi 1 un 8. Tādējādi sākotnējā kopējā daļa 19/44 tiek pārvērsta par periodisku decimāldaļskaitli 0,43181818...=0,43(18).

Atbilde:

0,43(18) .

Noslēdzot šo punktu, mēs noskaidrosim, kuras parastās daļskaitļus var pārvērst galīgās decimāldaļdaļās un kuras var pārvērst tikai periodiskajās.

Lai mums priekšā ir nereducējama parastā daļdaļa (ja daļa ir reducējama, tad vispirms mēs to samazinām), un mums ir jānoskaidro, kurā decimāldaļskaitlī to var pārvērst - galīgā vai periodiskā.

Ir skaidrs, ka, ja parasto daļskaitli var reducēt līdz vienam no saucējiem 10, 100, 1000, ..., tad iegūto daļu var viegli pārvērst par pēdējo decimāldaļskaitli saskaņā ar noteikumiem, kas tika apspriesti iepriekšējā punktā. Bet uz saucējiem 10, 100, 1000 utt. Ne visas parastās daļas ir norādītas. Tikai tos daļskaitļus, kuru saucēji ir vismaz viens no skaitļiem 10, 100, ..., var reducēt līdz tādiem saucējiem. Un kādi skaitļi var būt dalītāji 10, 100, ...? Uz šo jautājumu varēs atbildēt skaitļi 10, 100, ..., un tie ir šādi: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... No tā izriet, ka dalītāji ir 10, 100, 1000 utt. Var būt tikai skaitļi, kuru sadalīšanās pirmfaktoros satur tikai skaitļus 2 un (vai) 5.

Tagad mēs varam izdarīt vispārīgu secinājumu par parasto daļskaitļu pārvēršanu decimāldaļās:

• ja saucēja sadalīšanā pirmfaktoros ir tikai skaitļi 2 un (vai) 5, tad šo daļskaitli var pārvērst par pēdējo decimāldaļskaitli;
• ja saucēja izvērsumā bez divniekiem un pieciniekiem ir arī citi pirmskaitļi, tad šo daļskaitli pārvērš par bezgalīgu decimāldaļu periodisko daļu.

Piemērs.

Nepārvēršot parastās daļskaitļus decimāldaļās, pasakiet man, kuras no daļdaļām 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 var pārvērst par pēdējo decimāldaļu, bet kuras var pārvērst tikai par periodisko daļu.

Risinājums.

Daļas 47/20 saucējs tiek faktorizēts pirmajos faktoros kā 20=2·2·5. Šajā izvērsumā ir tikai divi un piecinieki, tāpēc šo daļskaitli var reducēt līdz vienam no saucējiem 10, 100, 1000, ... (šajā piemērā līdz saucējam 100), tāpēc to var pārvērst par pēdējo decimāldaļu. frakcija.

Daļas 7/12 saucējs tiek faktorizēts primārajos koeficientos kā 12=2·2·3. Tā kā tajā ir primārais koeficients 3, kas atšķiras no 2 un 5, šo daļskaitli nevar attēlot kā galīgu decimāldaļu, bet to var pārvērst periodiskā decimāldaļā.

Frakcija 21/56 – saraušanās, pēc kontrakcijas iegūst formu 3/8. Sadevēja faktorēšana primārajos faktoros satur trīs faktorus, kas vienādi ar 2, tāpēc parasto daļskaitli 3/8 un līdz ar to arī vienādo daļu 21/56 var pārvērst par pēdējo decimāldaļskaitli.

Visbeidzot, daļskaitļa 31/17 saucēja izvērsums pats par sevi ir 17, tāpēc šo daļskaitli nevar pārvērst galīgā decimāldaļskaitlī, bet gan var pārvērst par bezgalīgu periodisku daļu.

Atbilde:

47/20 un 21/56 var pārvērst par galīgu decimālo daļu, bet 7/12 un 31/17 var pārvērst tikai par periodisku daļu.

Parastās daļskaitļus nepārvērš par bezgalīgiem neperiodiskiem decimālskaitļiem

Iepriekšējā rindkopā sniegtā informācija liek uzdot jautājumu: "Vai, dalot daļskaitļa skaitītāju ar saucēju, var iegūt bezgalīgu neperiodisku daļu?"

Atbilde: nē. Pārvēršot parasto daļskaitli, rezultāts var būt vai nu galīga decimāldaļdaļa, vai bezgalīga periodiska decimāldaļdaļa. Paskaidrosim, kāpēc tas tā ir.

No teorēmas par dalāmību ar atlikumu ir skaidrs, ka atlikums vienmēr ir mazāks par dalītāju, tas ir, ja mēs dalām kādu veselu skaitli ar veselu skaitli q, tad atlikums var būt tikai viens no skaitļiem 0, 1, 2 , ..., q−1. No tā izriet, ka pēc tam, kad kolonna ir pabeigusi kopējās daļdaļas skaitītāja veselas skaitļa daļas dalīšanu ar saucēju q, ne vairāk kā q soļos radīsies viena no šādām divām situācijām:

• vai mēs iegūsim atlikumu 0, ar to beigsies dalīšana un mēs iegūsim pēdējo decimāldaļdaļu;
• vai arī iegūsim atlikumu, kas jau ir parādījies iepriekš, pēc kura atlikumi sāks atkārtot kā iepriekšējā piemērā (jo, dalot vienādus skaitļus ar q, tiek iegūti vienādi atlikumi, kas izriet no jau minētās dalāmības teorēmas), šis rezultātā tiks iegūta bezgalīga periodiska decimāldaļdaļa.

Citas iespējas nevar būt, tāpēc, pārvēršot parasto daļu decimāldaļskaitlī, nevar iegūt bezgalīgu neperiodisku decimālo daļu.

No šajā punktā sniegtā argumentācijas arī izriet, ka decimāldaļskaitļa perioda garums vienmēr ir mazāks par atbilstošās parastās daļskaitļa saucēja vērtību.

Decimāldaļu pārvēršana daļskaitļos

Tagad izdomāsim, kā decimāldaļu pārvērst parastā daļskaitlī. Sāksim, pārvēršot pēdējās decimāldaļdaļas parastajās daļās. Pēc tam mēs apsvērsim metodi bezgalīgu periodisku decimāldaļu invertēšanai. Noslēgumā teiksim par neiespējamību bezgalīgas neperiodiskas decimāldaļskaitļus pārvērst parastajās daļās.

Beigu decimāldaļu pārveidošana par daļdaļām

Daļskaitļa iegūšana, kas tiek rakstīta kā pēdējais decimālskaitlis, ir diezgan vienkārša. Noteikums galīgās decimāldaļskaitļa pārvēršanai parastā daļskaitlī sastāv no trim soļiem:

• vispirms skaitītājā ierakstiet doto decimāldaļu, iepriekš atmetot decimāldaļu un visas nulles kreisajā pusē, ja tādas ir;
• otrkārt, saucējā ierakstiet vienu un pievienojiet tam tik nulles, cik ciparu ir aiz komata sākotnējā decimāldalībā;
• treškārt, ja nepieciešams, samaziniet iegūto frakciju.

Apskatīsim piemēru risinājumus.

Piemērs.

Pārvērtiet decimāldaļu 3,025 par daļu.

Risinājums.

Ja no sākotnējās decimāldaļskaitļa noņemam komatu, iegūstam skaitli 3025. Kreisajā pusē nav nulles, kuras mēs atmestu. Tātad vajadzīgās daļdaļas skaitītājā ierakstām 3025.

Mēs ierakstām saucējā skaitli 1 un pa labi no tā pievienojam 3 nulles, jo sākotnējā decimāldaļdaļā aiz komata ir 3 cipari.

Tātad mēs saņēmām parasto daļskaitli 3025/1000. Šo daļu var samazināt par 25, mēs iegūstam .

Atbilde:

.

Piemērs.

Pārvērtiet decimāldaļu 0,0017 par daļu.

Risinājums.

Bez komata sākotnējā decimāldaļdaļa izskatās kā 00017, atmetot nulles kreisajā pusē, iegūstam skaitli 17, kas ir vēlamās parastās daļas skaitītājs.

Mēs rakstām vienu ar četrām nullēm saucējā, jo sākotnējā decimāldaļskaitlī ir 4 cipari aiz komata.

Rezultātā mums ir parasta daļa 17/10 000. Šī daļa ir nesamazināma, un decimāldaļskaitļa pārvēršana parastā daļskaitlī ir pabeigta.

Atbilde:

.

Ja sākotnējās pēdējās decimāldaļskaitļa veselā daļa nav nulle, to var nekavējoties pārvērst par jauktu skaitli, apejot parasto daļu. Dosim noteikums pēdējās decimāldaļdaļas pārvēršanai par jauktu skaitli:

• skaitlis pirms komata jāraksta kā vēlamā jauktā skaitļa vesela daļa;
• daļdaļas skaitītājā jums jāieraksta skaitlis, kas iegūts no sākotnējās decimāldaļas daļdaļas, pēc tam, kad ir izmestas visas nulles kreisajā pusē;
• daļdaļas saucējā jums jāpieraksta skaitlis 1, kuram pa labi jāpievieno tik nulles, cik sākotnējā decimāldaļdaļā ir ciparu aiz komata;
• ja nepieciešams, samaziniet iegūtā jauktā skaitļa daļējo daļu.

Apskatīsim piemēru decimāldaļskaitļa pārvēršanai par jauktu skaitli.

Piemērs.

Decimāldaļu 152.06005 izsaka kā jauktu skaitli

Pašā sākumā vēl jānoskaidro, kas ir daļa un kādi veidi tā nāk. Un ir trīs veidi. Un pirmais no tiem ir parasta daļa, piemēram, ½, 3/7, 3/432 utt. Šos skaitļus var rakstīt arī, izmantojot horizontālu domuzīmi. Gan pirmais, gan otrais būs vienlīdz patiess. Skaitlis augšpusē tiek saukts par ciparu, un skaitlis apakšā tiek saukts par saucēju. Ir pat teiciens tiem cilvēkiem, kuri pastāvīgi jauc šos divus vārdus. Tas skan šādi: “Zzzzz atceries! Zzzz saucējs - downzzzz! " Tas palīdzēs jums izvairīties no apjukuma. Kopējā daļa ir tikai divi skaitļi, kas dalās viens ar otru. Svītra tajos norāda uz dalījuma zīmi. To var aizstāt ar kolu. Ja jautājums ir "kā pārvērst daļskaitli par skaitli", tad tas ir ļoti vienkārši. Jums vienkārši jādala skaitītājs ar saucēju. Tas ir viss. Daļa ir iztulkota.

Otro daļskaitļu veidu sauc par decimāldaļu. Šī ir skaitļu sērija, kam seko komats. Piemēram, 0,5, 3,5 utt. Tos sauca par decimālskaitļiem tikai tāpēc, ka aiz dziedātā skaitļa pirmais cipars nozīmē "desmiti", otrais ir desmit reizes vairāk nekā "simts" utt. Un pirmos ciparus pirms komata sauc par veseliem skaitļiem. Piemēram, skaitlis 2,4 izklausās šādi, divpadsmit komata divi un divi simti trīsdesmit četras tūkstošdaļas. Šādas daļdaļas parādās galvenokārt tāpēc, ka divu skaitļu dalīšana bez atlikuma nedarbojas. Un lielākā daļa daļskaitļu, pārvēršot skaitļos, nonāk kā decimālskaitļi. Piemēram, viena sekunde ir vienāda ar nulles punktu pieci.

Un pēdējais trešais skats. Tie ir jaukti skaitļi. Tā piemēru var dot kā 2½. Tas izklausās kā divi veseli un viena sekunde. Vidusskolā šāda veida daļskaitļus vairs neizmanto. Iespējams, tie būs jāpārvērš parastā daļskaitļa formā vai decimāldaļā. To izdarīt ir tikpat vienkārši. Jums vienkārši jāreizina vesels skaitlis ar saucēju un jāpievieno skaitlim iegūtais apzīmējums. Ņemsim mūsu piemēru 2½. Divi reizināti ar divi ir četri. Četri plus viens ir pieci. Un daļa no formas 2½ tiek veidota 5/2. Un piecus, dalītus ar divi, var iegūt kā decimāldaļu. 2½=5/2=2,5. Jau tagad ir kļuvis skaidrs, kā daļskaitļus pārvērst skaitļos. Jums vienkārši jādala skaitītājs ar saucēju. Ja skaitļi ir lieli, varat izmantot kalkulatoru.

Ja tas nerada veselus skaitļus un aiz komata ir daudz ciparu, tad šo vērtību var noapaļot. Viss ir noapaļots ļoti vienkārši. Vispirms jums jāizlemj, līdz kuram skaitlim jānoapaļo. Jāapsver piemērs. Personai jānoapaļo skaitlis nulle ar punktu nulle, deviņi tūkstoši septiņi simti piecdesmit sešas desmit tūkstošdaļas vai līdz ciparu vērtībai 0,6. Noapaļošana jāveic līdz tuvākajai simtdaļai. Tas nozīmē, ka šobrīd tas ir līdz septiņām simtdaļām. Aiz skaitļa septiņi daļskaitlī ir pieci. Tagad mums ir jāizmanto noapaļošanas noteikumi. Skaitļi, kas ir lielāki par pieci, tiek noapaļoti uz augšu, un skaitļi, kas ir mazāki par pieciem, tiek noapaļoti uz leju. Piemērā personai ir pieci, viņa atrodas uz robežas, bet tiek uzskatīts, ka noapaļošana notiek uz augšu. Tas nozīmē, ka mēs noņemam visus skaitļus pēc septiņiem un pievienojam tam vienu. Izrādās 0,8.

Tāpat rodas situācijas, kad cilvēkam ātri jāpārvērš kopējā daļskaitlī, bet tuvumā nav kalkulatora. Lai to izdarītu, izmantojiet kolonnu dalīšanu. Pirmais solis ir uz papīra uzrakstīt blakus viens otram skaitītāju un saucēju. Starp tiem ir novietots sadalošais stūris, kas izskatās kā burts “T”, tikai guļ uz sāniem. Piemēram, jūs varat ņemt daļu desmit sestdaļas. Un tā, desmit jādala ar sešiem. Cik sešinieku var ietilpt desmitniekā, tikai viens. Vienība ir rakstīta zem stūra. Desmit atņem seši ir vienāds ar četriem. Cik sešinieku būs četriniekā, vairāki. Tas nozīmē, ka atbildē aiz vieninieka tiek likts komats, bet četrinieks tiek reizināts ar desmit. Četrdesmit sešos sešos. Atbildei tiek pievienoti seši, un no četrdesmit tiek atņemti trīsdesmit seši. Tas atkal izrādās četri.

Šajā piemērā radās cilpa, turpinot darīt visu tieši tāpat, saņemsiet atbildi 1.6 (6) Skaitlis seši turpina līdz bezgalībai, bet, piemērojot noapaļošanas noteikumu, skaitli var novest līdz 1.7. Kas ir daudz ērtāk. No tā mēs varam secināt, ka ne visas parastās daļskaitļus var pārvērst decimāldaļās. Dažos ir cikls. Bet jebkuru decimāldaļu var pārvērst par vienkāršu daļskaitli. Šeit palīdzēs elementārs noteikums: kā dzirdēts, tā rakstīts. Piemēram, skaitlis 1,5 tiek dzirdams kā viens punkts divdesmit piecas simtdaļas. Tātad jums tas jāpieraksta, viens vesels, divdesmit pieci dalīti ar simtu. Viens vesels skaitlis ir simts, kas nozīmē, ka vienkāršā daļa būs simts divdesmit pieci reiz simts (125/100). Arī viss ir vienkāršs un skaidrs.

Tātad ir apspriesti visvienkāršākie noteikumi un transformācijas, kas ir saistītas ar daļskaitļiem. Tie visi ir vienkārši, bet jums tie jāzina. Daļskaitļi, īpaši decimāldaļas, jau sen ir ikdienas sastāvdaļa. Tas ir skaidri redzams uz cenu zīmēm veikalos. Sen neviens neraksta apaļas cenas, bet ar daļdaļām cena šķiet vizuāli krietni lētāka. Tāpat viena no teorijām saka, ka cilvēce novērsās no romiešu cipariem un pārņēma arābu cipariem tikai tāpēc, ka romiešu cipariem nebija daļskaitļu. Un daudzi zinātnieki piekrīt šim pieņēmumam. Galu galā ar daļām jūs varat veikt aprēķinus precīzāk. Un mūsu kosmosa tehnoloģiju laikmetā aprēķinu precizitāte ir nepieciešama vairāk nekā jebkad agrāk. Tāpēc daļskaitļu apguve matemātikas skolā ir ļoti svarīga, lai izprastu daudzas zinātnes un tehnoloģiju sasniegumus.

Šķiet, ka decimāldaļas pārvēršana parastā daļskaitlī ir elementāra tēma, taču daudzi skolēni to nesaprot! Tāpēc šodien mēs detalizēti aplūkosim vairākus algoritmus vienlaikus, ar kuru palīdzību jūs sapratīsit jebkuras daļskaitļus tikai sekundē.

Atgādināšu, ka ir vismaz divi vienas un tās pašas daļskaitļa rakstīšanas veidi: kopējā un decimāldaļskaitļa. Decimāldaļas ir visu veidu konstrukcijas, kuru forma ir 0,75; 1,33; un pat −7,41. Šeit ir piemēri parastajām daļskaitļiem, kas izsaka vienādus skaitļus:

Tagad izdomāsim: kā pāriet no decimāldaļas uz parasto apzīmējumu? Un pats galvenais: kā to izdarīt pēc iespējas ātrāk?

Pamatalgoritms

Faktiski ir vismaz divi algoritmi. Un mēs tagad apskatīsim abus. Sāksim ar pirmo – visvienkāršāko un saprotamāko.

Lai decimāldaļu pārvērstu par daļskaitli, jums jāveic trīs darbības:

Svarīga piezīme par negatīviem skaitļiem. Ja sākotnējā piemērā decimāldaļskaitļa priekšā ir mīnusa zīme, tad izvadā parastās daļdaļas priekšā jābūt arī mīnus zīmei. Šeit ir vēl daži piemēri:

Piemēri pārejai no decimāldaļskaitļu pierakstīšanas uz parastajiem

Es vēlētos pievērst īpašu uzmanību pēdējam piemēram. Kā redzat, daļa 0,0025 satur daudzas nulles aiz komata. Šī iemesla dēļ skaitītājs un saucējs ir jāreizina ar 10 pat četras reizes. Vai šajā gadījumā ir iespējams kaut kā vienkāršot algoritmu?

Protams tu vari. Un tagad mēs apskatīsim alternatīvu algoritmu - tas ir nedaudz grūtāk saprotams, bet pēc nelielas prakses tas darbojas daudz ātrāk nekā standarta.

Ātrāks veids

Šim algoritmam ir arī 3 soļi. Lai iegūtu daļu no decimāldaļas, rīkojieties šādi:

1. Saskaitiet, cik ciparu ir aiz komata. Piemēram, daļai 1,75 ir divi šādi cipari, bet 0,0025 ir četri. Apzīmēsim šo daudzumu ar burtu $n$.
2. Pārrakstiet sākotnējo skaitli kā daļu no formas $\frac(a)(((10)^(n)))$, kur $a$ ir visi sākotnējās daļas cipari (bez “sākuma” nullēm uz pa kreisi, ja tāds ir), un $n$ ir tāds pats ciparu skaits aiz komata, ko mēs aprēķinājām pirmajā darbībā. Citiem vārdiem sakot, sākotnējās daļas cipari ir jāsadala ar vienu, kam seko $n$ nulles.
3. Ja iespējams, samaziniet iegūto frakciju.

Tas ir viss! No pirmā acu uzmetiena šī shēma ir sarežģītāka nekā iepriekšējā. Bet patiesībā tas ir gan vienkāršāk, gan ātrāk. Spriediet paši:

Kā redzat, daļā 0,64 aiz komata ir divi cipari - 6 un 4. Tātad $n=2$. Ja noņemam komatu un nulles kreisajā pusē (šajā gadījumā tikai viena nulle), mēs iegūstam skaitli 64. Pārejam uz otro soli: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Tāpēc saucējs ir tieši simts. Nu tad atliek tikai samazināt skaitītāju un saucēju :)

Vēl viens piemērs:

Šeit viss ir nedaudz sarežģītāk. Pirmkārt, aiz komata jau ir 3 cipari, t.i. $n=3$, tāpēc jādala ar $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Otrkārt, ja mēs noņemam komatu no decimāldaļas, mēs iegūstam šādu: 0,004 → 0004. Atcerieties, ka nulles kreisajā pusē ir jānoņem, tāpēc faktiski mums ir skaitlis 4. Tad viss ir vienkārši: sadaliet, samaziniet un iegūstiet atbilde.

Visbeidzot, pēdējais piemērs:

Šīs frakcijas īpatnība ir veselas daļas klātbūtne. Tāpēc iegūtā produkcija ir nepareiza daļa no 47/25. Jūs, protams, varat mēģināt dalīt 47 ar 25 ar atlikumu un tādējādi atkal izolēt visu daļu. Bet kāpēc sarežģīt savu dzīvi, ja to var izdarīt transformācijas stadijā? Nu, izdomāsim.

Ko darīt ar visu daļu

Patiesībā viss ir ļoti vienkārši: ja vēlamies iegūt pareizu daļskaitli, tad pārveidošanas laikā no tās ir jānoņem visa daļa un pēc tam, kad iegūstam rezultātu, atkal jāpievieno pa labi pirms daļskaitļa līnijas. .

Piemēram, apsveriet to pašu skaitli: 1,88. Vērtēsim ar vienu (visu daļu) un paskatīsimies uz daļskaitli 0,88. To var viegli pārveidot:

Tad mēs atceramies par “pazaudēto” vienību un pievienojam to priekšpusē:

\[\frac(22)(25)\uz 1\frac(22)(25)\]

Tas ir viss! Atbilde izrādījās tāda pati kā pēc visas daļas atlasīšanas pagājušajā reizē. Vēl pāris piemēri:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\līdz 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\līdz 13\frac(4)(5). \\\beigt(līdzināt)\]

Tas ir matemātikas skaistums: neatkarīgi no tā, uz kuru pusi jūs iet, ja visi aprēķini tiek veikti pareizi, atbilde vienmēr būs viena.

Noslēgumā es vēlētos apsvērt vēl vienu paņēmienu, kas palīdz daudziem.

Pārvērtības pēc auss

Padomāsim par to, kas ir pat decimāldaļa. Precīzāk, kā mēs to lasām. Piemēram, skaitlis 0,64 - mēs to lasām kā "nulles punkta 64 simtdaļas", vai ne? Nu, vai tikai "64 simtdaļas". Atslēgas vārds šeit ir “simtdaļas”, t.i. numurs 100.

Kā ar 0,004? Tas ir "nulles punkts 4 tūkstošdaļas" vai vienkārši "četras tūkstošdaļas". Tā vai citādi atslēgas vārds ir “tūkstošiem”, t.i. 1000.

Tātad, kas ir liels darījums? Un fakts ir tāds, ka tieši šie skaitļi galu galā “uznirst” saucējos algoritma otrajā posmā. Tie. 0,004 ir “četras tūkstošdaļas” vai “4 dalīts ar 1000”:

Mēģiniet praktizēt pats - tas ir ļoti vienkārši. Galvenais ir pareizi nolasīt sākotnējo daļu. Piemēram, 2,5 ir “2 veselas, 5 desmitdaļas”, tātad

Un daži 1,125 ir “1 vesels, 125 tūkstošdaļas”, tātad

Pēdējā piemērā, protams, kāds iebildīs, ka ne katram skolēnam ir skaidrs, ka 1000 dalās ar 125. Bet šeit jāatceras, ka 1000 = 10 3 un 10 = 2 ∙ 5, tāpēc

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Tādējādi jebkuru desmitnieka pakāpi var sadalīt tikai 2. un 5. faktoros - tieši šie faktori ir jāmeklē skaitītājā, lai beigās viss samazinātos.

Ar to nodarbība beigusies. Pāriesim uz sarežģītāku apgriezto darbību - skatiet "