Pētnieciskais darbs matemātikā "loģisku uzdevumu risināšana". Abstrakts pētnieciskais darbs matemātikā: Tēma: "Matemātiskās indukcijas metode" - manu skolēnu darbs Pašvaldības budžeta izglītības iestāde

Šī mūsu vietnes sadaļa piedāvā pētniecisko darbu tēmas par loģiku loģisko problēmu, sofismu un paradoksu veidā matemātikā, interesantas spēles par loģiku un loģisko domāšanu. Darba vadītājam ir tieši jāvada un jāpalīdz studentam viņa pētniecībā.

Tālāk sniegtās tēmas loģikas izpētei un projektēšanas darbam ir piemērotas bērniem, kuriem patīk loģiski domāt, risināt nestandarta problēmas un piemērus, izpētīt paradoksus un matemātikas problēmas, kā arī spēlēt nestandarta loģikas spēles.

Tālāk esošajā sarakstā varat izvēlēties loģikas projekta tēmu jebkurai vidusskolas klasei, sākot no pamatskolas līdz vidusskolai. Lai palīdzētu pareizi izstrādāt matemātikas projektu par loģiku un loģisko domāšanu, varat izmantot izstrādātās prasības darba noformēšanai.

Šīs loģikas pētījumu projektu tēmas nav galīgas un var tikt mainītas pirms projekta izvirzīto prasību dēļ.

Loģikas pētniecisko darbu tēmas:

Tēmu paraugi pētnieciskiem darbiem par loģiku studentiem:

Interesanta loģika matemātikā.
Algebras loģika
Loģika un mēs
Loģika. Loģikas likumi
Loģikas kaste. Izklaidējošu loģikas problēmu kolekcija.
Loģiski uzdevumi ar skaitļiem.
Loģikas problēmas
Loģiskas problēmas "Smieklīgā aritmētika"
Loģiskās problēmas matemātikā.
Loģiskās problēmas ģeometrisko formu skaita noteikšanai.
Loģiski uzdevumi domāšanas attīstībai
Loģiskās problēmas matemātikas stundās.
Loģiskās spēles
Loģiski paradoksi
Matemātiskā loģika.
Loģisko uzdevumu risināšanas metodes un to sastādīšanas metodes.
Loģisko uzdevumu simulācija
Izglītojoša prezentācija "Loģikas pamati".
Loģisko problēmu pamatveidi un to risināšanas metodes.
Pa Šerloka Holmsa pēdām jeb Loģisko uzdevumu risināšanas metodes.
Grafu teorijas pielietojums loģisko uzdevumu risināšanā.
Četru krāsu problēmas.
Loģisko uzdevumu risināšana
Loģisko uzdevumu risināšana, izmantojot grafu metodi.
Loģisko uzdevumu risināšana dažādos veidos.
Loģiskas uzdevumu risināšana, izmantojot grafikus
Loģisko uzdevumu risināšana, izmantojot diagrammas un tabulas.
Loģisko uzdevumu risināšana.
Siloģismi. Loģiski paradoksi.

Loģikas projektu tēmas

Tēmu paraugi loģikas projektiem studentiem:
Sofistika
Sofistika mums apkārt
Sofismi un paradoksi
Sastādīšanas metodes un loģisko uzdevumu risināšanas metodes.
Mācīšanās risināt loģiskās problēmas
Loģikas algebra un datora loģiskie pamati.
Loģiskās domāšanas uzdevumu veidi.
Divi veidi, kā atrisināt loģiskās problēmas.
Loģika un matemātika.
Loģika kā zinātne
Loģiskās mīklas.

Uzmanību studentiem! Kursa darbs tiek veikts patstāvīgi, stingri ievērojot izvēlēto tēmu. Tēmu dublikāti nav atļauti! Lūgums informēt pasniedzēju par izvēlēto tēmu jebkurā ērtā veidā vai nu individuāli, vai sarakstā, norādot pilnu vārdu, uzvārdu, grupas numuru un kursa darba nosaukumu.

Tēmu paraugi disciplīnas kursa darbiem
"Matemātiskā loģika"

1. Izšķiršanas metode un tās pielietojums propozicionālo algebrā un predikātu algebrā.

2. Aksiomātiskās sistēmas.

3. Minimālie un īsākie CNF un DNF.

4. Matemātiskās loģikas metožu pielietošana formālo valodu teorijā.

5. Formālās gramatikas kā loģiskie aprēķini.

6. Teksta loģikas uzdevumu risināšanas metodes.

7. Loģiskās programmēšanas sistēmas.

8. Loģiskā spēle.

9. Pirmās kārtas loģikas neizšķiramība.

10. Aritmētikas nestandarta modeļi.

11. Diagonalizācijas metode matemātiskajā loģikā.

12. Tjūringa mašīnas un Čērčas darbs.

13. Aprēķināmība uz abacus un rekursīvās funkcijas.

14. Matemātiskās loģikas rekursīvo funkciju un negatīvo rezultātu attēlojamība.

15. Saskaitīšanas aritmētikas atrisināmība.

16. Otrās kārtas loģika un definējamība aritmētikā.

17. Ultraproduktu metode modeļu teorijā.

18. Gēdeļa teorēma par formālās aritmētikas nepabeigtību.

19. Atrisināmas un neizšķiramas aksiomātiskās teorijas.

20. Kreiga interpolācijas lemma un tās pielietojumi.

21. Vienkāršākie informācijas pārveidotāji.

22. Komutācijas ķēdes.

24. Kontaktu struktūras.

25. Būla funkciju pielietošana releju kontaktu shēmām.

26. Būla funkciju pielietojums modeļu atpazīšanas teorijā.

27. Matemātiskā loģika un mākslīgā intelekta sistēmas.

Kursa darbam jāsastāv no 2 daļām: tēmas teorētiskā satura un uzdevumu kopas par tēmu (vismaz 10) ar risinājumiem. Atļauts arī rakstīt pētnieciska tipa kursa darbu, otro daļu (problēmu risināšana) aizstājot ar patstāvīgu izstrādi (piemēram, darba algoritmu, programmu, paraugu u.c.), kas izveidots, pamatojoties uz apskatīto teorētisko materiālu. darba pirmajā daļā.

1) Barwise J. (red.) Matemātiskās loģikas uzziņu grāmata. - M.: Nauka, 1982. gads.

2) Programmēšanas valodu brāļi. - M.: Nauka, 1975. gads.

3) Boulos J., saskaitāmība un loģika. - M.: Mir, 1994.

4) Hindikin loģika problēmās. - M., 1972. gads.

5), Paļutina loģika. - M.: Nauka, 1979. gads.

6) Eršova atrisināmība un konstruktīvie modeļi. - M.: Nauka, 1980. gads.

7), Taitslin teorija // Uspekhi Mat. Nauk, 1965, 20, Nr. 4, lpp. 37-108.

8) Igošins - matemātiskās loģikas darbnīca. - M.: Izglītība, 1986.g.

9) Igošina loģika un algoritmu teorija. - Saratova: izdevniecība Sarat. Universitāte, 1991.

10) Ts., izmantojot Turbo Prolog. - M.: Mir, 1993.

11) ievads metamatemātikā. - M., 1957. gads.

12) atematiskā loģika. - M.: Mir, 1973.

13) ogika problēmu risināšanā. - M.: Nauka, 1990. gads.

14) Kolmogorova loģika: matemātikas mācību grāmata universitātēm. specialitātes /, - M.: Izdevniecība URSS, 2004. - 238 lpp.

15) stāsts ar mezgliem / Tulk. no angļu valodas - M., 1973. gads.

16) ogic spēle / Trans. no angļu valodas - M., 1991. gads.

17), Maksimovs par kopu teoriju, matemātisko loģiku un algoritmu teoriju. - 4. izd. - M., 2001. gads.

18), Sukačova loģika. Lekciju kurss. Praktiskā problēmu grāmata un risinājumi: Mācību rokasgrāmata. 3. izdevums, rev. - Sanktpēterburga.

19) Izdevniecība "Lan", 2008. - 288 lpp.

20) Liskova datorzinātnēs / , . - M.: Pamatzināšanu laboratorija, 2001. - 160 lpp.

21) Matemātiskā loģika / Vispārējā redakcijā un citi - Minska: Augstākā skola, 1991.

22) ievads matemātiskajā loģikā. - M.: Nauka, 1984. gads.

23) Moščenskis par matemātisko loģiku. - Minska, 1973. gads.

24) Nikolskaya ar matemātisko loģiku. - M.: Maskavas Psiholoģiskais un sociālais institūts: Flints, 1998. - 128 lpp.

25) Nikolskas loģika. - M., 1981. gads.

26) Novikova matemātiskā loģika. - M.: Nauka, 1973. gads.

27) Rabīna teorija. Grāmatā: Matemātiskās loģikas uzziņu grāmata, 3. daļa. Rekursijas teorija. - M.: Nauka, 1982. - lpp. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. et al. Loģiskā pieeja mākslīgajam intelektam. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. et al. Loģiskā pieeja mākslīgajam intelektam. T. 2. - M.: Mir, 1998. gads.

30) Chen Ch., Li R. Matemātiskā loģika un teorēmu automātiskā pierādīšana. - M.: Nauka, 1983. gads.

31) ievads matemātiskajā loģikā. - M.: Mir, 1960. gads.

32) Šabuņina loģika. Propozīcijas loģika un predikātu loģika: mācību grāmata /, rep. ed. ; Čuvašas valsts Universitāte nosaukta vārdā . - Čeboksari: Chuvash izdevniecība. Universitāte, 2003. - 56 lpp.

Pašvaldības izglītības budžeta iestāde -

51. vidusskola

Orenburga.

Projekts par:

matemātikas skolotājs

Egorčeva Viktorija Andreevna

2017

Hipotēze : Ja grafu teoriju tuvina praksei, tad var iegūt vislabvēlīgākos rezultātus.

Mērķis: Iepazīsties ar grafiku jēdzienu un iemācies tos pielietot dažādu uzdevumu risināšanā.

Uzdevumi:

1) Paplašināt zināšanas par grafu konstruēšanas metodēm.

2) Identificēt problēmu veidus, kuru risināšanai nepieciešams izmantot grafu teoriju.

3) Izpētīt grafiku izmantošanu matemātikā.

"Eulers bez redzamām pūlēm aprēķināja, kā cilvēks elpo vai kā ērglis paceļas virs zemes."

Dominiks Arago.

es Ievads. lpp.

II . Galvenā daļa.

1. Grafa jēdziens. Problēma par Kēnigsbergas tiltiem. lpp.

2. Grafu īpašības. lpp.

3. Problēmas, izmantojot grafu teoriju. lpp.

Sh Secinājums.

Grafiku nozīme. lpp.

IV. Bibliogrāfija. lpp.

es . IEVADS

Grafiku teorija ir salīdzinoši jauna zinātne. Vārdam "grafiki" ir sakne no grieķu vārda "grapho", kas nozīmē "es rakstu". Tāda pati sakne ir vārdos “grafiks”, “biogrāfija”.

Savā darbā es aplūkoju, kā grafu teorija tiek izmantota dažādās cilvēku dzīves jomās. Katrs matemātikas skolotājs un gandrīz katrs skolēns zina, cik grūti ir atrisināt ģeometriskos uzdevumus, kā arī algebras teksta uzdevumus. Izpētot grafu teorijas izmantošanas iespējas skolas matemātikas kursā, nonācu pie secinājuma, ka šī teorija ievērojami vienkāršo problēmu izpratni un risināšanu.

II . GALVENĀ DAĻA.

1. Grafa jēdziens.

Pirmais darbs pie grafu teorijas pieder Leonhardam Eileram. Tas parādījās 1736. gadā Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijas publikācijās un sākās ar Kēnigsbergas tiltu problēmas izskatīšanu.

Jūs droši vien zināt, ka ir tāda pilsēta kā Kaļiņingrada; agrāk to sauca Kēnigsberga. Cauri pilsētai plūst Pregoljas upe. Tas ir sadalīts divās daļās un iet apkārt salai. 17. gadsimtā pilsētā bija septiņi tilti, kas sakārtoti tā, kā parādīts attēlā.

Viņi stāsta, ka kādu dienu kāds pilsētas iedzīvotājs savam draugam vaicājis, vai viņš var staigāt pāri visiem tiltiem, lai apmeklētu katru no tiem tikai vienu reizi un atgrieztos vietā, kur pastaiga sākās. Daudzi pilsētnieki sāka interesēties par šo problēmu, taču neviens nevarēja piedāvāt risinājumu. Šis jautājums ir piesaistījis daudzu valstu zinātnieku uzmanību. Slavenajam matemātiķim Leonhardam Eileram izdevās problēmu atrisināt. Leonhards Eilers, dzimis Bāzelē, dzimis 1707. gada 15. aprīlī. Eilera zinātniskie sasniegumi ir milzīgi. Viņš ietekmēja gandrīz visu matemātikas un mehānikas nozaru attīstību gan fundamentālo pētījumu jomā, gan to pielietojumos. Leonhards Eilers ne tikai atrisināja šo konkrēto problēmu, bet arī nāca klajā ar vispārīgu metodi šo problēmu risināšanai. Eilers rīkojās šādi: viņš “saspieda” zemi punktos un “izstiepja” tiltus līnijās. Rezultāts ir attēlā redzamais skaitlis.

Tādu figūru, kas sastāv no punktiem un līnijām, kas savieno šos punktus, saucskaitīt. Punkti A, B, C, D sauc par grafa virsotnēm, bet līnijas, kas savieno virsotnes, sauc par grafa malām. Virsotņu zīmējumā B, C, D Iznāk 3 ribas, un no augšas A - 5 ribas. Tiek sauktas virsotnes, no kurām rodas nepāra skaits malunepāra virsotnes, un virsotnes, no kurām rodas pāra skaits malu, irpat.

2. Grafa īpašības.

Risinot problēmu par Kēnigsbergas tiltiem, Eilers jo īpaši noteica grafika īpašības:

1. Ja visas grafikas virsotnes ir pāra, tad grafiku var uzzīmēt ar vienu vēzienu (tas ir, nepaceļot zīmuli no papīra un nezīmējot divas reizes pa vienu un to pašu līniju). Šajā gadījumā kustība var sākties no jebkuras virsotnes un beigties tajā pašā virsotnē.

2. Grafu ar divām nepāra virsotnēm var uzzīmēt arī ar vienu vēzienu. Kustībai jāsākas no jebkuras nepāra virsotnes un jābeidzas citā nepāra virsotnē.

3. Grafu ar vairāk nekā divām nepāra virsotnēm nevar uzzīmēt ar vienu vēzienu.

4. Nepāra virsotņu skaits grafā vienmēr ir pāra.

5. Ja grafam ir nepāra virsotnes, tad mazākais sitienu skaits, ko var izmantot grafa uzzīmēšanai, būs vienāds ar pusi no šī grafa nepāra virsotņu skaita.

Piemēram, ja figūrai ir četri nepāra skaitļi, tad to var uzzīmēt ar vismaz diviem sitieniem.

Septiņu Kēnigsbergas tiltu uzdevumā visas četras atbilstošā grafa virsotnes ir nepāra, t.i. Jūs nevarat vienreiz šķērsot visus tiltus un beigt ceļojumu tur, kur tas sākās.

3. Problēmu risināšana, izmantojot grafikus.

1. Uzdevumi par figūru zīmēšanu ar vienu vēzienu.

Mēģinot uzzīmēt katru no tālāk norādītajām formām ar vienu pildspalvas vēzienu, tiks iegūti atšķirīgi rezultāti.

Ja attēlā nav nepāra punktu, tad to vienmēr var uzzīmēt ar vienu pildspalvas vēzienu, neatkarīgi no tā, kur sākat zīmēt. Tie ir 1. un 5. attēls.

Ja figūrai ir tikai viens nepāra punktu pāris, tad šādu figūru var uzzīmēt ar vienu sitienu, sākot zīmēt vienā no nepāra punktiem (nav svarīgi, kurā). Ir viegli saprast, ka zīmējumam jābeidzas otrajā nepāra punktā. Tie ir 2., 3., 6. attēli. Piemēram, 6. attēlā zīmēšana jāsāk vai nu no punkta A, vai no punkta B.

Ja figūrai ir vairāk nekā viens nepāra punktu pāris, tad to vispār nevar uzzīmēt ar vienu sitienu. Tie ir 4. un 7. attēls, kas satur divus nepāra punktu pārus. Pietiek ar teikto, lai precīzi atpazītu, kuras figūras nevar uzzīmēt ar vienu vēzienu un kuras var uzzīmēt, kā arī no kura punkta zīmēšana jāsāk.

Es ierosinu vienā vilcienā uzzīmēt šādus skaitļus.

2. Loģisko uzdevumu risināšana.

UZDEVUMS Nr.1.

Galda tenisa klases čempionātā piedalās 6 dalībnieki: Andrejs, Boriss, Viktors, Gaļina, Dmitrijs un Jeļena. Čempionāts notiek apļa sistēmā – katrs dalībnieks ar katru apspēlē vienu reizi. Līdz šim dažas spēles jau ir aizvadītas: Andrejs spēlēja ar Borisu, Gaļinu, Jeļenu; Boriss - ar Andreju, Gaļinu; Viktors - ar Gaļinu, Dmitriju, Jeļenu; Gaļina - ar Andreju, Viktoru un Borisu. Cik spēles ir aizvadītas līdz šim un cik vēl ir atlikušas?

RISINĀJUMS:

Izveidosim grafiku, kā parādīts attēlā.

Aizvadītas 7 spēles.

Šajā attēlā grafikam ir 8 malas, tāpēc ir atlikušas 8 spēles.

UZDEVUMS #2

Pagalmā, kuru ieskauj augsts žogs, atrodas trīs mājas: sarkana, dzeltena un zila. Žogam ir trīs vārti: sarkani, dzelteni un zili. No sarkanās mājas uzzīmējiet taciņu uz sarkanajiem vārtiem, no dzeltenās mājas uz dzeltenajiem vārtiem, no zilās mājas uz zilajiem, lai šie ceļi nekrustotos.

RISINĀJUMS:

Problēmas risinājums ir parādīts attēlā.

3. Teksta uzdevumu risināšana.

Lai atrisinātu problēmas, izmantojot grafikas metodi, jums jāzina šāds algoritms:

1.Par kādu procesu mēs runājam problēmā?2.Kādi lielumi raksturo šo procesu?3.Kāda ir saistība starp šiem daudzumiem?4.Cik dažādi procesi ir aprakstīti problēmā?5.Vai pastāv saikne starp elementiem?

Atbildot uz šiem jautājumiem, mēs analizējam problēmas stāvokli un shematiski pierakstām.

Piemēram . Autobuss brauca 2 stundas ar ātrumu 45 km/h un 3 stundas ar ātrumu 60 km/h. Cik tālu autobuss nobrauca šo 5 stundu laikā?

S
¹=90 km V ¹=45 km/h t ¹=2h

S=VT

S²=180 km V²=60 km/h t²=3 h

S ¹ + S ² = 90 + 180

Risinājums:

1) 45 x 2 = 90 (km) - autobuss nobrauca 2 stundās.

2) 60 x 3 = 180 (km) - autobuss nobrauca 3 stundās.

3)90 + 180 = 270 (km) - autobuss nobrauca 5 stundās.

Atbilde: 270 km.

III . SECINĀJUMS.

Strādājot pie projekta, uzzināju, ka Leonhards Eilers bija grafu teorijas pamatlicējs un risināja problēmas, izmantojot grafu teoriju. Es pats secināju, ka grafu teorija tiek izmantota dažādās mūsdienu matemātikas jomās un tās daudzos pielietojumos. Nav šaubu par to, cik lietderīgi mūs, studentus, iepazīstināt ar grafu teorijas pamatjēdzieniem. Daudzu matemātisko problēmu risināšana kļūst vienkāršāka, ja varat izmantot grafikus. Datu prezentācija V grafa forma sniedz tiem skaidrību. Daudzi pierādījumi ir arī vienkāršoti un kļūst pārliecinošāki, ja izmantojat grafikus. Tas jo īpaši attiecas uz tādām matemātikas jomām kā matemātiskā loģika un kombinatorika.

Tādējādi šīs tēmas izpētei ir liela vispārizglītojoša, vispārizglītojoša un vispārēji matemātiska nozīme. Ikdienā arvien vairāk tiek izmantotas grafiskās ilustrācijas, ģeometriskie attēlojumi un citi vizuālie paņēmieni un metodes. Šim nolūkam ir lietderīgi sākumskolā un vidusskolā ieviest grafu teorijas elementu apguvi, vismaz ārpusstundu nodarbībās, jo šī tēma nav iekļauta matemātikas programmā.

V . BIBLIOGRĀFIJA:

2008. gads

Pārskats.

Projektu par tēmu “Grafi ap mums” pabeidza Ņikita Zaicevs, 3. pašvaldības izglītības iestādes Krasnijkuts 7. “A” klases skolnieks.

Ņikitas Zaiceva darba īpatnība ir tā atbilstība, praktiskā orientācija, tēmas aptveršanas dziļums un iespēja to izmantot nākotnē.

Darbs ir radošs, informatīva projekta formā. Šo tēmu students izvēlējās, lai parādītu grafu teorijas saistību ar praksi, izmantojot skolas autobusa maršruta piemēru, lai parādītu, ka grafu teorija tiek izmantota dažādās mūsdienu matemātikas jomās un tās daudzos pielietojumos, īpaši ekonomikā, matemātiskajā loģikā un kombinatorikā. . Viņš parādīja, ka problēmu risināšana ir ievērojami vienkāršota, ja ir iespējams izmantot grafikus, datu attēlošana grafika veidā sniedz skaidrību, daudzi pierādījumi arī tiek vienkāršoti un kļūst pārliecinoši.

Darbā tiek risināti tādi jautājumi kā:

1. Grafa jēdziens. Problēma par Kēnigsbergas tiltiem.

2. Grafu īpašības.

3. Problēmas, izmantojot grafu teoriju.

4. Grafu nozīme.

5. Skolēnu autobusa maršruta iespēja.

Veicot savu darbu, N. Zaicevs izmantoja:

1. Alkhova Z.N., Makeeva A.V. "Ārpusstundu darbs matemātikā."

2. Žurnāls “Matemātika skolā”. Pielikums “Pirmais septembris” Nr.13

2008. gads

3. Ya.I.Perelman “Izklaidējoši uzdevumi un eksperimenti.” - Maskava: Izglītība, 2000.

Darbs tika veikts kompetenti, materiāls atbilst šīs tēmas prasībām, ir pievienoti atbilstošie rasējumi.

Ievads. 3

1. Matemātiskā loģika (bezjēdzīga loģika) un “veselā saprāta” loģika 4

2. Matemātiskie spriedumi un secinājumi. 6

3. Matemātiskā loģika un “veselais saprāts” 21. gadsimtā. vienpadsmit

4. Nedabiska loģika matemātikas pamatos. 12

Secinājums. 17

Atsauces… 18

Loģisko interešu jomas paplašināšanās ir saistīta ar vispārējām zinātnes atziņu attīstības tendencēm. Tādējādi matemātiskās loģikas rašanās 19. gadsimta vidū bija gadsimtiem ilgo matemātiķu un loģiķu centienu rezultāts izveidot universālu simbolisku valodu, kas būtu brīva no dabiskās valodas “trūkumiem” (galvenokārt tās polisēmijas, t.i., polisēmijas). .

Loģikas tālākā attīstība ir saistīta ar klasiskās un matemātiskās loģikas kombinētu izmantošanu lietišķajās jomās. Neklasiskā loģika (deontiskā, atbilstošā, juridiskā loģika, lēmumu pieņemšanas loģika utt.) bieži vien nodarbojas ar pētāmo objektu nenoteiktību un izplūdumu, to attīstības nelineāro raksturu. Tādējādi, analizējot diezgan sarežģītas problēmas mākslīgā intelekta sistēmās, rodas sinerģijas problēma starp dažādiem argumentācijas veidiem, risinot vienu un to pašu problēmu. Loģikas attīstības perspektīvas, kas atbilst konverģencei ar datorzinātnēm, ir saistītas ar noteiktas iespējamo spriešanas modeļu hierarhijas izveidi, ieskaitot argumentāciju dabiskajā valodā, ticamu argumentāciju un formalizētus deduktīvus secinājumus. To var atrisināt, izmantojot klasisko, matemātisko un neklasisko loģiku. Tādējādi runa nav par dažādām “loģijām”, bet gan par dažādām domāšanas formalizācijas pakāpēm un loģisko nozīmju “dimensiju” (divvērtība, daudzvērtība u.c. loģika).

Mūsdienu loģikas galveno virzienu identificēšana:

1. vispārīgā vai klasiskā loģika;

2. simboliskā vai matemātiskā loģika;

3. neklasiskā loģika.

Matemātiskā loģika ir diezgan neskaidrs jēdziens, jo ir arī bezgalīgi daudz matemātisko loģiku. Šeit mēs apspriedīsim dažus no tiem, vairāk cienot tradīcijas, nevis veselo saprātu. Jo, ļoti iespējams, tas ir veselais saprāts... Loģiski?

Matemātiskā loģika māca loģiski spriest ne vairāk kā jebkura cita matemātikas nozare. Tas ir saistīts ar faktu, ka spriešanas “loģiskumu” loģikā nosaka pati loģika un to var pareizi izmantot tikai pašā loģikā. Dzīvē, loģiski domājot, mēs parasti izmantojam dažādas loģikas un dažādas loģiskās spriešanas metodes, nekaunīgi jaucot dedukciju ar indukciju... Turklāt dzīvē mēs savu argumentāciju veidojam, balstoties uz pretrunīgām premisām, piemēram, “Dons Neatlieciet uz rītdienu, ko var izdarīt šodien" un "Tu liksi cilvēkiem smieties steigā." Bieži gadās, ka loģisks secinājums, kas mums nepatīk, noved pie sākotnējo premisu (aksiomu) pārskatīšanas.

Varbūt ir pienācis laiks pateikt par loģiku, iespējams, vissvarīgāko: klasiskajai loģikai nav nozīmes. Ne vesels, ne kāds cits! Lai pētītu veselo saprātu, starp citu, ir psihiatrija. Bet psihiatrijā loģika ir diezgan kaitīga.

Protams, kad mēs atšķiram loģiku no jēgas, vispirms mēs domājam klasisko loģiku un ikdienas izpratni par veselo saprātu. Matemātikā nav aizliegtu virzienu, tāpēc nozīmes izpēte pēc loģikas un otrādi dažādās formās ir sastopama vairākās mūsdienu loģikas zinātnes nozarēs.

(Pēdējais teikums izdevās labi, lai gan es nemēģināšu definēt terminu "loģiskā zinātne" pat aptuveni). Nozīmi vai, ja vēlaties, semantiku risina, piemēram, modeļu teorija. Un vispār termins semantika bieži tiek aizstāts ar terminu interpretācija. Un, ja piekrītam filozofiem, ka objekta interpretācija (parādīšana!) ir tā apjēgšana kādā noteiktā aspektā, tad matemātikas robežsfēras, ar kurām var uzbrukt nozīmei loģikā, kļūst nesaprotamas!

Praktiskā ziņā teorētiskā programmēšana ir spiesta interesēties par semantiku. Un tajā papildus tikai semantikai ir arī operatīvā, denotācijas un procesuālā utt. un tā tālāk. semantika...

Pieminēsim tikai apoteozi - KATEGORIJU TEORiju, kas semantiku noveda līdz formālai, neskaidrai sintaksei, kur nozīme jau ir tik vienkārša - izklāta pa plauktiņiem, ka vienkāršam mirstīgajam ir pilnīgi neiespējami tikt līdz apakšai. ... Tas ir paredzēts elitei.

Tātad, ko dara loģika? Vismaz klasiskākajā daļā? Loģika dara tikai to, ko tā dara. (Un viņa to definē ārkārtīgi stingri). Galvenais loģikā ir to stingri definēt! Iestatiet aksiomatiku. Un tad loģiskiem secinājumiem vajadzētu būt (!) lielā mērā automātiskiem...

Šo secinājumu argumentēšana ir cita lieta! Bet šie argumenti jau ir ārpus loģikas robežām! Tāpēc viņiem ir nepieciešama stingra matemātiskā izjūta!

Var šķist, ka tas ir vienkāršs verbāls līdzsvarošanas akts. NĒ! Kā noteiktas loģiskās (aksiomātiskās) sistēmas piemēru ņemsim labi zināmo spēli 15. Uzstādām (sajauksim) kvadrātveida žetonu sākotnējo izvietojumu. Tad spēle (loģisks secinājums!), un konkrēti žetonu pārvietošana uz tukšu vietu, var tikt galā ar kādu mehānisku ierīci, un var pacietīgi skatīties un priecāties, kad iespējamo kustību rezultātā secība no 1 līdz 15 tiek veidots kastē.Bet neviens neaizliedz vadīt mehānisko ierīci un, UZ VESELĀ SAPRĀTA, pamudināt to ar pareizām skaidu kustībām, lai procesu paātrinātu. Vai varbūt pat pierādīt, loģiskai spriešanai izmantojot, piemēram, tādu matemātikas nozari kā KOMBINATORIKA, ka ar dotu sākotnējo mikroshēmu izvietojumu vispār nav iespējams iegūt vajadzīgo galīgo kombināciju!

Veselā saprāta vairs nav tajā loģikas daļā, ko sauc par LOĢISKO ALGEBRU. Šeit tiek ieviestas LOĢISKĀS DARBĪBAS un definētas to īpašības. Kā liecina prakse, dažos gadījumos šīs algebras likumi var atbilst dzīves loģikai, bet citos – nē. Šādas nekonsekvences dēļ loģikas likumus nevar uzskatīt par likumiem no dzīves prakses viedokļa. Viņu zināšanas un mehāniskā izmantošana var ne tikai palīdzēt, bet arī kaitēt. Īpaši psihologi un juristi. Situāciju sarežģī fakts, ka līdzās loģikas algebras likumiem, kas dažkārt atbilst vai neatbilst dzīves spriešanai, pastāv loģiski likumi, kurus daži loģiķi kategoriski neatzīst. Tas galvenokārt attiecas uz tā sauktajiem EKSKLUZĪVĀS TREŠĀS un PRETRUŠU likumiem.

2. Matemātiskie spriedumi un secinājumi

Domāšanā jēdzieni neparādās atsevišķi, tie ir savā starpā saistīti. Jēdzienu savstarpējās saiknes forma ir spriedums. Katrā spriedumā tiek konstatēta kāda saikne vai attiecības starp jēdzieniem, un tādējādi tas apstiprina saiknes vai attiecību esamību starp objektiem, uz kuriem attiecas attiecīgie jēdzieni. Ja spriedumi pareizi atspoguļo šīs objektīvi pastāvošās atkarības starp lietām, tad mēs šādus spriedumus saucam par patiesiem, pretējā gadījumā spriedumi būs nepatiesi. Tā, piemēram, priekšlikums “katrs rombs ir paralelograms” ir patiess priekšlikums; priekšlikums “katrs paralelograms ir rombs” ir nepatiess priekšlikums.

Tādējādi spriedums ir domāšanas forma, kas atspoguļo paša objekta esamību vai neesamību (jebkuru tā pazīmju un savienojumu esamību vai neesamību).

Domāt nozīmē pieņemt spriedumus. Ar spriedumu palīdzību doma un koncepcija saņem savu tālāko attīstību.

Tā kā katrs jēdziens atspoguļo noteiktu objektu, parādību vai attiecību klasi starp tiem, jebkuru spriedumu var uzskatīt par viena jēdziena iekļaušanu vai neiekļaušanu (daļēju vai pilnīgu) cita jēdziena klasē. Piemēram, priekšlikums “katrs kvadrāts ir rombs” norāda, ka jēdziens “kvadrāts” ir iekļauts jēdzienā “rombs”; priekšlikums “krustojošās līnijas nav paralēlas” norāda, ka krustojošās līnijas nepieder to līniju kopai, ko sauc par paralēlām.

Spriedumam ir savs lingvistiskais apvalks – teikums, bet ne katrs teikums ir spriedums.

Spriedumam raksturīga iezīme ir obligāta patiesības vai nepatiesības klātbūtne to izteikušajā teikumā.

Piemēram, teikums “trijstūris ABC ir vienādsānu” pauž kādu spriedumu; teikums "Vai ABC būs vienādsānu?" neizsaka spriedumu.

Katra zinātne būtībā pārstāv noteiktu spriedumu sistēmu par objektiem, kas ir tās izpētes priekšmets. Katrs no spriedumiem ir formalizēts noteikta priekšlikuma veidā, kas izteikts ar šai zinātnei raksturīgiem terminiem un simboliem. Matemātika pārstāv arī noteiktu spriedumu sistēmu, kas izteikta matemātiskajos teikumos, izmantojot matemātiskos vai loģiskos terminus vai tiem atbilstošus simbolus. Matemātiskie termini (jeb simboli) apzīmē tos jēdzienus, kas veido matemātiskās teorijas saturu, loģiskie termini (vai simboli) apzīmē loģiskas darbības, ar kuru palīdzību no dažiem matemātikas priekšlikumiem tiek konstruēti citi matemātiski priekšlikumi, no dažiem spriedumiem tiek veidoti citi spriedumi. , kuras kopums veido matemātiku kā zinātni.

Vispārīgi runājot, spriedumi domāšanā veidojas divos galvenajos veidos: tieši un netieši. Pirmajā gadījumā uztveres rezultāts tiek izteikts ar sprieduma palīdzību, piemēram, “šis skaitlis ir aplis”. Otrajā gadījumā spriedums rodas īpašas garīgās darbības rezultātā, ko sauc par secinājumu. Piemēram, “plaknes doto punktu kopa ir tāda, ka to attālums no viena punkta ir vienāds; Tas nozīmē, ka šis skaitlis ir aplis.

Šīs garīgās darbības procesā parasti notiek pāreja no viena vai vairākiem savstarpēji saistītiem spriedumiem uz jaunu spriedumu, kas satur jaunas zināšanas par pētāmo objektu. Šī pāreja ir secinājums, kas atspoguļo augstāko domāšanas veidu.

Tātad secinājums ir process, kurā tiek iegūts jauns secinājums no viena vai vairākiem sniegtajiem spriedumiem. Piemēram, paralelograma diagonāle sadala to divos kongruentos trīsstūros (pirmais priekšlikums).

Trijstūra iekšējo leņķu summa ir 2d (otrais piedāvājums).

Paralelograma iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 4d (jauns secinājums).

Matemātisko secinājumu kognitīvā vērtība ir ārkārtīgi liela. Tie paplašina mūsu zināšanu robežas par reālās pasaules objektiem un parādībām, jo ​​lielākā daļa matemātisko priekšlikumu ir secinājumi no salīdzinoši neliela skaita pamata spriedumiem, kas parasti tiek iegūti tiešā pieredzē un atspoguļo mūsu pieredzi. vienkāršākās un vispārīgākās zināšanas par tās objektiem.

Secinājumi (kā domāšanas forma) atšķiras no jēdzieniem un spriedumiem ar to, ka tā ir loģiska darbība ar atsevišķām domām.

Ne katra spriedumu kombinācija savā starpā veido secinājumu: starp spriedumiem ir jābūt noteiktai loģiskai saiknei, kas atspoguļo realitātē pastāvošo objektīvo saikni.

Piemēram, no priekšlikumiem “trijstūra iekšējo leņķu summa ir 2d” un “2*2=4” nevar izdarīt secinājumu.

Ir skaidrs, kāda nozīme mūsu matemātikas zināšanu sistēmā ir spējai pareizi konstruēt dažādus matemātiskos teikumus vai izdarīt secinājumus spriešanas procesā. Runas valoda ir vāji piemērota noteiktu spriedumu izteikšanai, vēl jo mazāk argumentācijas loģiskās struktūras noteikšanai. Tāpēc ir likumsakarīgi, ka bija nepieciešams pilnveidot argumentācijas procesā lietoto valodu. Tam vispiemērotākā izrādījās matemātiskā (pareizāk sakot, simboliskā) valoda. Īpašā zinātnes nozare, kas radās 19. gadsimtā, matemātiskā loģika, ne tikai pilnībā atrisināja matemātisko pierādījumu teorijas radīšanas problēmu, bet arī ļoti ietekmēja matemātikas attīstību kopumā.

Formālā loģika (kas radās senatnē Aristoteļa darbos) netiek identificēta ar matemātisko loģiku (kas radās 19. gadsimtā angļu matemātiķa Dž. Būla darbos). Formālās loģikas priekšmets ir spriedumu un jēdzienu attiecību likumu izpēte secinājumos un pierādījumu noteikumos. Matemātiskā loģika atšķiras no formālās loģikas ar to, ka, balstoties uz formālās loģikas pamatlikumiem, tā pēta loģisko procesu modeļus, pamatojoties uz matemātisko metožu izmantošanu: “Loģiskās saiknes, kas pastāv starp spriedumiem, jēdzieniem utt., tiek izteiktas formulas, kuru interpretācija ir brīva no neskaidrībām, kas viegli varētu rasties no verbālās izteiksmes. Tātad matemātisko loģiku raksturo loģisko darbību formalizēšana, pilnīgāka abstrakcija no teikumu konkrētā satura (izsakot jebkuru spriedumu).

Ilustrēsim to ar vienu piemēru. Apsveriet šādu secinājumu: "Ja visi augi ir sarkani un visi suņi ir augi, tad visi suņi ir sarkani."

Katrs no šeit izmantotajiem spriedumiem un spriedums, ko saņēmām atturīgu secinājumu rezultātā, šķiet, ir acīmredzama muļķība. Tomēr no matemātiskās loģikas viedokļa šeit ir runa par patiesu teikumu, jo matemātiskajā loģikā secinājuma patiesums vai nepatiesums ir atkarīgs tikai no tā veidojošo premisu patiesuma vai nepatiesuma, nevis no to konkrētā satura. Tāpēc, ja viens no formālās loģikas pamatjēdzieniem ir spriedums, tad analogais matemātiskās loģikas jēdziens ir apgalvojuma-paziņojuma jēdziens, par kuru ir tikai jēga pateikt, vai tas ir patiess vai nepatiess. Nevajag domāt, ka katram apgalvojumam ir raksturīgs “veselā saprāta” trūkums tā saturā. Vienkārši teikuma jēgpilnā daļa, kas veido šo vai citu apgalvojumu, matemātiskajā loģikā pazūd fonā un nav svarīga šī vai cita secinājuma loģiskajai konstrukcijai vai analīzei. (Lai gan, protams, tas ir būtiski, lai, izskatot šo jautājumu, izprastu apspriežamā saturu.)

Skaidrs, ka pašā matemātikā tiek aplūkoti jēgpilni apgalvojumi. Nosakot dažādas sakarības un attiecības starp jēdzieniem, matemātiskie spriedumi apstiprina vai noliedz jebkādas attiecības starp objektiem un realitātes parādībām.

3. Matemātiskā loģika un “veselais saprāts” 21. gadsimtā.

Loģika ir ne tikai tīri matemātiska, bet arī filozofiska zinātne. 20. gadsimtā šīs divas savstarpēji saistītās loģikas hipostāzes izrādījās atdalītas dažādos virzienos. No vienas puses, loģika tiek saprasta kā zinātne par pareizas domāšanas likumiem, no otras puses, tā tiek pasniegta kā brīvi saistītu mākslīgo valodu kopums, ko sauc par formālām loģiskajām sistēmām.

Daudziem ir acīmredzams, ka domāšana ir sarežģīts process, ar kura palīdzību tiek risinātas ikdienas, zinātniskas vai filozofiskas problēmas un dzimst spožas idejas vai liktenīgi maldi. Valodu daudzi saprot vienkārši kā līdzekli, ar kuru domāšanas rezultātus var nodot laikabiedriem vai atstāt pēcnācējiem. Bet, savā apziņā domāšanu savienojot ar jēdzienu “process”, bet valodu – ar jēdzienu “līdzeklis”, mēs būtībā pārstājam pamanīt nemainīgo faktu, ka šajā gadījumā “līdzeklis” nav pilnībā pakārtots “procesam”. , taču atkarībā no mūsu mērķtiecīgas vai neapzinātas noteiktu vai verbālu klišeju izvēles ir spēcīga ietekme uz paša “procesa” gaitu un rezultātu. Turklāt ir daudz gadījumu, kad šāda “apgrieztā ietekme” izrādās ne tikai šķērslis pareizai domāšanai, bet dažkārt pat tās iznīcinātājs.

No filozofiskā viedokļa loģiskā pozitīvisma ietvaros izvirzītais uzdevums tā arī netika izpildīts. Jo īpaši savos vēlākajos pētījumos viens no šī virziena pamatlicējiem Ludvigs Vitgenšteins nonāca pie secinājuma, ka dabisko valodu nevar reformēt saskaņā ar pozitīvistu izstrādāto programmu. Pat matemātikas valoda kopumā pretojās spēcīgajam “loģisma” spiedienam, lai gan daudzi pozitīvistu piedāvātie valodas termini un struktūras iekļuva atsevišķās diskrētās matemātikas sadaļās un būtiski tās papildināja. Loģiskā pozitīvisma kā filozofiska virziena popularitāte 20. gadsimta otrajā pusē manāmi kritās - daudzi filozofi nonāca pie secinājuma, ka daudzu dabiskās valodas “neloģiskumu” noraidīšana, mēģinājums to iespiest pamatprincipu ietvaros. Loģiskā pozitīvisma jēdziens ietver izziņas procesa dehumanizāciju un tajā pašā laikā visas cilvēces kultūras dehumanizāciju.

Daudzas spriešanas metodes, ko izmanto dabiskajā valodā, bieži vien ir ļoti grūti viennozīmīgi kartēt matemātiskās loģikas valodā. Dažos gadījumos šāda kartēšana izraisa būtisku dabiskās spriešanas būtības izkropļojumu. Un ir pamats uzskatīt, ka šīs problēmas ir sekas analītiskās filozofijas un pozitīvisma sākotnējās metodoloģiskās nostājai par dabiskās valodas neloģiskumu un tās radikālās reformas nepieciešamību. Arī ļoti oriģinālais pozitīvisma metodiskais uzstādījums neiztur kritiku. Apsūdzēt runāto valodu neloģiskā ir vienkārši absurdi. Patiesībā neloģiskums raksturo nevis pašu valodu, bet gan daudzi šīs valodas lietotāji, kuri vienkārši neprot vai nevēlas lietot loģiku un kompensē šo trūkumu ar psiholoģiskiem vai retoriskiem sabiedrības ietekmēšanas paņēmieniem, vai arī savā argumentācijā izmanto. kā loģika sistēma, ko par loģiku sauc tikai pārpratuma dēļ. Tajā pašā laikā ir daudz cilvēku, kuru runa izceļas ar skaidrību un loģiku, un šīs īpašības nenosaka matemātiskās loģikas pamatu zināšanas vai nezināšana.

To cilvēku argumentācijā, kurus var klasificēt kā matemātiskās loģikas formālās valodas likumdevējus vai piekritējus, nereti atklājas sava veida “aklums” attiecībā uz elementārām loģiskām kļūdām. Viens no izcilākajiem matemātiķiem Anrī Puankarē pievērsa uzmanību šim aklumam G. Kantora, D. Hilberta, B. Rasela, Dž. Pīno un citu fundamentālajos darbos mūsu gadsimta sākumā.

Viens šādas neloģiskas argumentācijas pieejas piemērs ir slavenā Rasela paradoksa formulējums, kurā ir nepamatoti sajaukti divi tīri neviendabīgi jēdzieni “elements” un “kopa”. Daudzos mūsdienu loģikas un matemātikas darbos, kuros ir manāma Hilberta programmas ietekme, daudzi apgalvojumi, kas no dabiskās loģikas viedokļa ir nepārprotami absurdi, nav izskaidroti. Attiecības starp “elementu” un “komplektu” ir vienkāršākais šāda veida piemērs. Daudzi darbi šajā virzienā apgalvo, ka noteikta kopa (sauksim to par A) var būt citas kopas (sauksim to par B) elements.

Piemēram, labi zināmā matemātiskās loģikas rokasgrāmatā mēs atradīsim šādu frāzi: "Pašas kopas var būt kopu elementi, tāpēc, piemēram, visu veselo skaitļu kopas elementi ir kopas." Ņemiet vērā, ka šis paziņojums nav tikai atruna. Tā ir ietverta kā “slēpta” aksioma formālajā kopu teorijā, ko daudzi eksperti uzskata par mūsdienu matemātikas pamatu, kā arī formālajā sistēmā, ko matemātiķis K. Gēdels izveidoja, pierādot savu slaveno teorēmu par formālo sistēmu nepilnīgumu. Šī teorēma attiecas uz diezgan šauru formālo sistēmu klasi (tās ietver formālo kopu teoriju un formālo aritmētiku), kuras loģiskā struktūra nepārprotami neatbilst dabiskā spriešanas un pamatojuma loģiskajai struktūrai.

Tomēr vairāk nekā pusgadsimtu tas ir bijis karstu diskusiju objekts starp loģiķiem un filozofiem vispārējās zināšanu teorijas kontekstā. Ar tik plašu šīs teorēmas vispārinājumu izrādās, ka daudzi elementāri jēdzieni būtībā nav zināmi. Taču ar prātīgāku pieeju izrādās, ka Gēdela teorēma tikai parādīja D. Hilberta piedāvātās un daudzu matemātiķu, loģiķu un filozofu izmantotās matemātikas formālās pamatojuma programmas nekonsekvenci. Gēdela teorēmas plašāko metodoloģisko aspektu diez vai var uzskatīt par pieņemamu, kamēr nav atbildēts uz šādu jautājumu: vai Hilberta programma matemātikas pamatošanai ir vienīgā iespējamā? Lai saprastu apgalvojuma “kopa A ir kopas B elements” neskaidrību, pietiek uzdot vienkāršu jautājumu: “No kādiem elementiem šajā gadījumā veidojas kopa B?” No dabiskās loģikas viedokļa ir iespējami tikai divi viens otru izslēdzoši skaidrojumi. Paskaidrojums viens. Kopas B elementi ir dažu kopu nosaukumi un jo īpaši kopas A nosaukums vai apzīmējums. Piemēram, visu pāra skaitļu kopa ir ietverta kā elements visu nosaukumu (vai apzīmējumu) kopā. kopu kopas, kas atšķiras no visu veselu skaitļu kopas ar dažiem raksturlielumiem. Lai sniegtu skaidrāku piemēru: visu žirafu kopa ir ietverta kā elements visu zināmo dzīvnieku sugu komplektā. Plašākā kontekstā kopu B var veidot arī no konceptuālām kopu definīcijām vai atsaucēm uz kopām. Otrais skaidrojums. Kopas B elementi ir dažu citu kopu elementi un jo īpaši visi kopas A elementi. Piemēram, katrs pāra skaitlis ir visu veselo skaitļu kopas elements vai katra žirafe ir kopas elements. visu dzīvnieku komplekts. Bet tad izrādās, ka abos gadījumos izteicienam “kopa A ir kopas B elements” nav jēgas. Pirmajā gadījumā izrādās, ka kopas B elements nav pati kopa A, bet gan tās nosaukums (vai apzīmējums, vai atsauce uz to). Šajā gadījumā starp kopu un tās apzīmējumu netieši tiek noteikta ekvivalences sakarība, kas nav pieņemama ne no parastā veselā saprāta, ne no matemātiskās intuīcijas viedokļa, kas nav savienojama ar pārmērīgu formālismu. Otrajā gadījumā izrādās, ka kopa A ir iekļauta komplektā B, t.i. ir tā apakškopa, bet ne elements. Arī šeit ir acīmredzama jēdzienu aizstāšana, jo kopu iekļaušanas attiecībām un piederības (būšanas kopas elementam) attiecībām matemātikā ir principiāli atšķirīgas nozīmes. Slavenais Rasela paradokss, kas mazināja loģiķu pārliecību par kopas jēdzienu, ir balstīts uz šo absurdu – paradokss ir balstīts uz neviennozīmīgu pieņēmumu, ka kopa var būt citas kopas elements.

Ir iespējams arī cits iespējamais izskaidrojums. Ļaujiet kopu A definēt ar vienkāršu tās elementu uzskaiti, piemēram, A = (a, b). Kopu B savukārt precizē, uzskaitot dažas kopas, piemēram, B = ((a, b), (a, c)). Šajā gadījumā šķiet acīmredzami, ka B elements nav kopas A nosaukums, bet gan pati kopa A. Taču arī šajā gadījumā kopas A elementi nav kopas B elementi, un kopa A šeit tiek uzskatīta par neatņemamu kolekciju, ko var aizstāt ar tās nosaukumu . Bet, ja visus tajā ietverto kopu elementus uzskatītu par B elementiem, tad šajā gadījumā kopa B būtu vienāda ar kopu (a, b, c), un kopa A šajā gadījumā nebūtu kopa. B elements, bet gan tā apakškopa. Tādējādi izrādās, ka šī skaidrojuma versija atkarībā no mūsu izvēles ir saistīta ar iepriekš uzskaitītajām opcijām. Un, ja netiek piedāvāta izvēle, rodas elementāra neskaidrība, kas bieži noved pie “neizskaidrojamiem” paradoksiem.

Varētu šīm terminoloģiskajām niansēm nepievērst īpašu uzmanību, ja ne viens apstāklis. Izrādās, ka daudzi mūsdienu loģikas un diskrētās matemātikas paradoksi un neatbilstības ir šīs neskaidrības tiešas sekas vai imitācija.

Piemēram, mūsdienu matemātiskajā spriešanā bieži tiek izmantots jēdziens “pašpielietojamība”, kas ir Rasela paradoksa pamatā. Formulējot šo paradoksu, pašpiemērojamība nozīmē kopu esamību, kas ir paši par sevi elementi. Šis apgalvojums uzreiz noved pie paradoksa. Ja ņemam vērā visu “pašpielietojamo” kopu kopu, izrādās, ka tā ir gan “pašpielietojama”, gan “pašpielietojama”.

Matemātiskā loģika deva lielu ieguldījumu informācijas tehnoloģiju straujajā attīstībā 20. gadsimtā, bet jēdziens “spriedums”, kas loģikā parādījās jau Aristoteļa laikos un uz kura kā pamats balstās dabiskās valodas loģiskais pamats. , izkrita no redzes lauka. Šāds izlaidums nemaz neveicināja loģiskās kultūras attīstību sabiedrībā un pat radīja daudzu ilūziju, ka datori spēj domāt ne sliktāk kā paši cilvēki. Daudzus nemaz nemulsina fakts, ka uz vispārējās datorizācijas fona trešās tūkstošgades priekšvakarā loģiski absurdi pašā zinātnē (nemaz nerunājot par politiku, likumdošanu un pseidozinātni) ir vēl biežāk sastopami nekā 19. gadsimta beigās. . Un, lai saprastu šo absurdu būtību, nav jāvēršas pie sarežģītām matemātiskām struktūrām ar vairāku vietu attiecībām un rekursīvām funkcijām, kas tiek izmantotas matemātiskajā loģikā. Izrādās, ka, lai saprastu un analizētu šos absurdus, pilnīgi pietiek ar daudz vienkāršāku matemātisko sprieduma struktūru, kas ne tikai nav pretrunā ar mūsdienu loģikas matemātiskajiem pamatiem, bet kaut kādā veidā tos papildina un paplašina.

Bibliogrāfija

1. Vasiļjevs N. A. Iedomātā loģika. Izvēlētie darbi. - M.: Zinātne. 1989. gads; - 94.-123.lpp.

2. Kulik B.A. Veselā saprāta filozofijas pamatprincipi (kognitīvais aspekts) // Mākslīgā intelekta ziņas, 1996, Nr. 3, lpp. 7-92.

3. Kulik B.A. Veselā saprāta loģiskie pamati / Rediģēja D.A. Pospelovs. - Sanktpēterburga, Politehnikums, 1997. 131 lpp.

4. Kulik B.A. Veselā saprāta loģika. - Veselais saprāts, 1997, Nr. 1(5), lpp. 44-48.

5. Styazhkin N.I. Matemātiskās loģikas veidošanās. M.: Nauka, 1967. gads.

6. Solovjevs A. Diskrētā matemātika bez formulām. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html