Grafu teorijas pamati, rašanās un attīstības vēsture.  Kas ir grafs? Grafs: definīcija - History.NES Grafu teorijas vēsture

virsotnes(mezgli) savienoti ribas. Stingrā definīcijā grafiks ir šāds kopu pāris G = (V , E) (\displaystyle G=(V,E)), Kur V (\displaystyle V) ir jebkuras saskaitāmas kopas apakškopa, un E (\displaystyle E)- apakškopa V × V (\displaystyle V\times V).

Grafu teorija atrod pielietojumu, piemēram, ģeogrāfiskās informācijas sistēmās (GIS). Par virsotnēm tiek uzskatītas esošās vai jaunprojektētās mājas, būves, kvartāli u.c., par malām tos savienojošie ceļi, inženiertīkli, elektrolīnijas u.c. Uz šāda grafika veikto dažādu aprēķinu izmantošana ļauj, piemēram, atrast īsāko apbraucamo ceļu vai tuvāko pārtikas veikalu, vai arī izplānot optimālo maršrutu.

Grafu teorija satur lielu skaitu neatrisinātu problēmu un vēl nepierādītu hipotēžu.

Grafu teorijas vēsture

Leonards Eilers tiek uzskatīts par grafu teorijas pamatlicēju. 1736. gadā vienā no savām vēstulēm viņš formulēja un piedāvāja risinājumu septiņu Kēnigsbergas tiltu problēmai, kas vēlāk kļuva par vienu no klasiskajām grafu teorijas problēmām. Terminu "grafiks" pirmo reizi ieviesa Silvestrs Džeimss Džozefs 1878. gadā savā rakstā Nature [ ] .

Grafu teorijas terminoloģija

Grafu teorijas pielietojums

Skatīt arī

Piezīmes

Literatūra

• Distels R. Grafu teorija Trans. no angļu valodas - Novosibirska: Matemātikas institūta izdevniecība, 2002. - 336 lpp. ISBN 5-86134-101-X.
• Diestels R. Grafiku teorija, elektroniskais izdevums. - NY: Springer-Verlag, 2005. - 422. lpp.
• Basakers R., Saati T. Galīgi grafiki un tīkli. M.: Nauka, 1974. 368c.
• Belovs V.V., Vorobjevs E.M., Šatalovs V.E. Grafu teorija. - M.: Augstāk. skola, 1976. - 392. lpp.
• Berģe K. Grafu teorija un tās pielietojumi. M.: IL, 1962. 320c.
• Emeličevs V.A., Meļņikovs O.I., Sarvanovs V.I., Tiškevičs R.I. Lekcijas par grafu teoriju. M.: Nauka, 1990. 384 lpp. (2. izd., pārstrādāts M.: URSS, 2009. 392 lpp.)

Leonards Eilers tiek uzskatīts par grafu teorijas pamatlicēju. 1736. gadā vienā no savām vēstulēm viņš formulēja un piedāvāja risinājumu septiņu Kēnigsbergas tiltu problēmai, kas vēlāk kļuva par vienu no klasiskajām grafu teorijas problēmām.

Pirmās problēmas grafu teorijā bija saistītas ar matemātisko atpūtas uzdevumu un mīklu risināšanu. Šeit ir pārstāstīts fragments no Eilera 1736. gada 13. marta vēstules: “Man tika uzdota problēma par salu, kas atrodas Kēnigsbergas pilsētā un kuru ieskauj upe ar 7 tiltiem. Jautājums ir par to, vai kāds tos var apbraukt nepārtraukti, pārejot pāri katram tiltam tikai vienu reizi. Un tad man paziņoja, ka neviens to vēl nav spējis izdarīt, bet neviens nav pierādījis, ka tas nav iespējams. Šis jautājums, lai arī triviāls, man šķita uzmanības vērts, jo tā atrisināšanai nepietiek ne ar ģeometriju, ne algebru, ne kombinatorisko mākslu. Pēc ilgām pārdomām es atradu vienkāršu noteikumu, kas balstīts uz pilnīgi pārliecinošu pierādījumu, ar kura palīdzību visās šāda veida problēmās ir iespējams nekavējoties noteikt, vai šādu apvedceļu var veikt caur jebkuru numuru un jebkuru skaitu tilti, kas atrodas jebkurā veidā vai nē. Kēnigsbergas tiltus shematiski var attēlot šādi:

Eilera noteikums:

1. Grafā, kuram nav nepāra pakāpju virsotnes, ir visu šķautņu šķērsošana (un katra mala tiek šķērsota tieši vienu reizi), sākot no jebkuras grafa virsotnes.

2. Grafā, kuram ir divas un tikai divas virsotnes ar nepāra pakāpēm, ir šķērsošana, kas sākas vienā virsotnē ar nepāra pakāpi un beidzas ar otru.

3. Grafā, kuram ir vairāk nekā divas virsotnes ar nepāra pakāpēm, šāda šķērsošana nepastāv.

Ir cita veida problēma, kas saistīta ar ceļošanu pa grafikiem. Mēs runājam par problēmām, kurās ir jāatrod ceļš, kas iet cauri visām virsotnēm un ne vairāk kā vienu reizi katrā. Ciklu, kas iet cauri katrai virsotnei vienu reizi un tikai vienu reizi, sauc par Hamiltona līniju (pēc Viljama Rovana Hamiltona, slavenā pagājušā gadsimta īru matemātiķa, kurš pirmais pētīja šādas līnijas). Diemžēl vēl nav atrasts vispārējs kritērijs, ar kura palīdzību varētu izlemt, vai dotais grafs ir Hamiltona grafiks, un ja ir, tad atrast tajā visas Hamiltona līnijas.

Formulēts 19. gadsimta vidū. Četru krāsu problēma arī izskatās kā izklaidējoša problēma, taču mēģinājumi to atrisināt ir noveduši pie dažiem grafiku pētījumiem, kuriem ir teorētiska un lietišķa nozīme. Četru krāsu problēma ir formulēta šādi: "Vai jebkuras plakanas kartes apgabalu var krāsot ar četrām krāsām tā, lai jebkuras divas blakus esošās zonas būtu iekrāsotas ar dažādām krāsām?" Hipotēze, ka atbilde ir apstiprinoša, tika formulēta 19. gadsimta vidū. 1890. gadā tika pierādīts vājāks apgalvojums, proti, ka jebkuru plakanu karti var iekrāsot piecās krāsās. Sasaistot jebkuru plakanu karti ar tās duālo plakņu grafiku, mēs iegūstam līdzvērtīgu problēmas formulējumu grafu izteiksmē: Vai tā ir taisnība, ka jebkura plakanā grafika hromatiskais skaitlis ir mazāks vai vienāds ar četriem? Daudzi mēģinājumi atrisināt problēmu ietekmēja vairāku grafu teorijas jomu attīstību. 1976. gadā tika paziņots par pozitīvu problēmas risinājumu, izmantojot datoru.

Vēl viena veca topoloģiska problēma, kas jau ilgu laiku ir bijusi īpaši izturīga pret risinājumu un ir vajājusi mīklu cienītāju prātus, ir pazīstama kā "elektrības, gāzes un ūdens apgādes problēma". 1917. gadā Henrijs E. Dudenijs tai deva šādu formulējumu. Gāze, elektrība un ūdens jāievada katrā no trim attēlā redzamajām mājām.

Grafu teorija. 1

Grafu teorijas rašanās vēsture. 1

Eilera likums. 1

Literatūra

1. Belova grafika teorija, Maskava, "Zinātne", 1968.

2. Jaunās pedagoģiskās un informācijas tehnoloģijas E.S.Polats , Maskava, "Akadēmija" 1999. gads

3. Kuzņecovs O.P., Adeļsons-Veļskis G.M. Diskrētā matemātika inženierim. – M.: Energoatomizdāts, 1988.

4. Kuks D., Baze G. Datormatemātika. – M.: Zinātne, 1990.

5. Ņefedovs V.N., Osipova V.A. Diskrētās matemātikas kurss. – M.: Izdevniecība MAI, 1992.

6. Ore O. Graph teorija. – M.: Zinātne, 1980.

7. Ismagilovs R.S., Kaļinkins A.V. Materiāli praktiskajām nodarbībām kursā: Diskrētā matemātika

Par grafu teorijas pamatlicēju tiek uzskatīts matemātiķis Leonhards Eilers (1707-1783). Šīs teorijas vēsturei var izsekot, izmantojot lielā zinātnieka saraksti. Šeit ir latīņu teksta tulkojums, kas ņemts no Eilera vēstules itāļu matemātiķim un inženierim Marinoni, kas nosūtīta no Sanktpēterburgas 1736. gada 13. martā [sk. 41.–42. lpp.]:

"Reiz man uzdeva problēmu par salu, kas atrodas Kēnigsbergas pilsētā un kuru ieskauj upe, kurai pāri tiek mesti septiņi tilti. Jautājums ir par to, vai kāds var apbraukt tos nepārtraukti, katru tiltu izejot tikai vienu reizi. Un tad es biju informēja, ka neviens joprojām to nav spējis izdarīt, bet neviens nav pierādījis, ka tas nav iespējams.Šis jautājums, lai arī triviāls, tomēr man šķita uzmanības vērts, jo ne ģeometrija, ne algebra, ne kombinatoriskā māksla nav pietiek, lai to atrisinātu... Pēc ilgām pārdomām atradu vieglu likumu, kas balstīts uz pilnīgi pārliecinošu pierādījumu, ar kura palīdzību visās šāda veida problēmās var uzreiz noteikt, vai šādu apkārtceļu var izdarīt caur kādu tiltu skaits, kas atrodas jebkādā veidā vai nē.lai tos varētu attēlot nākamajā attēlā[1. att.] , kurā A apzīmē salu, bet B, C un D - kontinenta daļas, kas viena no otras atdalītas ar upju atzariem. Septiņi tilti ir apzīmēti ar a, b, c, d, e, f, g.

(1.1. ATTĒLS)

Par metodi, ko viņš atklāja, lai atrisinātu šāda veida problēmas, Eilers rakstīja [sk. 102.–104. lpp.]:

"Šim risinājumam pēc savas būtības acīmredzot ir maz sakara ar matemātiku, un es nesaprotu, kāpēc šis risinājums būtu jāgaida no matemātiķa, nevis no jebkura cita cilvēka, jo šo lēmumu pamato tikai argumentācija, un nav Lai atrastu šo risinājumu, ir jāiesaista jebkuri matemātikai raksturīgie likumi. Tāpēc es nezinu, kā iznāk, ka jautājumus, kuriem ir ļoti maz sakara ar matemātiku, visticamāk, matemātiķi atrisinās nekā citi."

Tātad, vai ir iespējams apiet Kēnigsbergas tiltus, pārbraucot tikai vienu reizi pāri katram no šiem tiltiem? Lai rastu atbildi, turpināsim Eilera vēstuli Marinoni:

0 "Jautājums ir noteikt, vai ir iespējams apbraukt visus šos septiņus tiltus, katram izejot tikai vienu reizi, vai nē. Mans noteikums noved pie šāda šī jautājuma risinājuma. Vispirms ir jāpaskatās, cik sadaļas ir atdalītas ar ūdeni - tās, kurām nav citas pārejas no viena uz otru, izņemot pa tiltu.Šajā piemērā ir četras šādas sadaļas - A, B, C, D. Tālāk jums jānošķir, vai tilti, kas ved uz šiem atsevišķajiem posmiem, ir pāra vai nepāra Tātad mūsu gadījumā pieci tilti ved uz posmu A un trīs tilti katrs uz pārējiem, t.i., tiltu skaits, kas ved uz atsevišķiem posmiem, ir nepāra, un ar to vien pietiek, lai atrisinātu Kad tas ir noteikts, mēs piemērojam šādu noteikumu: ja tiltu skaits, kas ved uz katru atsevišķu posmu, būtu vienāds, tad attiecīgais apvedceļš būtu iespējams, un tajā pašā laikā šo apvedceļu varētu sākt no plkst. jebkuru posmu.ja tie būtu nepāra, jo tikai viens nevar būt nepāra, tad arī tad pāreju varētu pabeigt, kā noteikts, bet noteikti jāņem tikai apkārtceļa sākums no viena no tiem diviem posmiem, uz kuriem nepāra skaits tilti ved. Ja, visbeidzot, būtu vairāk par diviem posmiem, uz kuriem ved nepāra skaits tiltu, tad šāda kustība kopumā nav iespējama... ja šeit varētu ienest citas, nopietnākas problēmas, šī metode varētu sniegt vēl lielāku labumu un tai vajadzētu nedrīkst atstāt novārtā."

Iepriekš minētā noteikuma pamatojumu var atrast tā paša gada 3. aprīlī L. Eilera vēstulē savam draugam Ēleram. Tālāk mēs pārstāstīsim šīs vēstules fragmentu.

Matemātiķis rakstīja, ka pāreja iespējama, ja upes sazarojumā nav vairāk par diviem apgabaliem, uz kuriem ved nepāra tiltu skaits. Lai to būtu vieglāk iedomāties, attēlā izdzēsīsim jau pārbrauktos tiltus. Ir viegli pārbaudīt, ka, ja mēs sākam pārvietoties saskaņā ar Eilera likumiem, šķērsosim vienu tiltu un to izdzēšam, tad attēlā būs redzams posms, kurā atkal ir ne vairāk kā divi apgabali, uz kuriem ved nepāra skaits tiltu, un ja ir ir apgabali ar nepāra skaitļa tiltiem, mēs atradīsimies vienā no tiem. Tā turpinot braukt tālāk, vienu reizi šķērsosim visus tiltus.

Stāstam par Kēnigsbergas pilsētas tiltiem ir mūsdienīgs turpinājums. Atvērsim, piemēram, N.Ya rediģēto skolas matemātikas mācību grāmatu. Viļenkina sestajai klasei. Tajā, 98. lappusē, zem virsraksta vērīguma un inteliģences attīstīšana, mēs atradīsim problēmu, kas ir tieši saistīta ar to, kuru reiz atrisināja Eilers.

Uzdevums Nr.569. Ezerā atrodas septiņas salas, kuras ir savienotas viena ar otru, kā parādīts 1.2. attēlā. Uz kuru salu ar laivu jāved ceļotāji, lai viņi varētu šķērsot katru tiltu un tikai vienu reizi? Kāpēc ceļotājus nevar nogādāt uz salu? A?

Risinājums. Tā kā šī problēma ir līdzīga Kēnigsbergas tiltu problēmai, tad tās risināšanā izmantosim arī Eilera likumu. Rezultātā mēs saņemam šādu atbildi: laivai ir jānogādā ceļotāji uz salu E vai F lai viņi vienu reizi varētu šķērsot katru tiltu. No tā paša Eilera likuma izriet, ka nepieciešamais apvedceļš nav iespējams, ja tas sākas no salas A.

Noslēgumā mēs atzīmējam, ka Kēnigsbergas tiltu problēma un līdzīgas problēmas kopā ar metožu kopumu to izpētei veido ļoti svarīgu matemātikas nozari praktiski, ko sauc par grafu teoriju. Pirmais darbs pie grafikiem piederēja L. Eileram un parādījās 1736. gadā. Pēc tam Kēnigs (1774-1833), Hamiltons (1805-1865) un mūsdienu matemātiķi K. Beržē, O. Ore, A. Zikovs strādāja pie grafikiem.

Grafu teorija- viena no plašākajām diskrētās matemātikas nozarēm, ko plaši izmanto ekonomikas un vadības problēmu risināšanā, programmēšanā, ķīmijā, elektrisko ķēžu projektēšanā un izpētē, komunikācijā, psiholoģijā, psiholoģijā, socioloģijā, valodniecībā un citās zināšanu jomās. Grafu teorija sistemātiski un konsekventi pēta grafu īpašības, par kurām var teikt, ka tās sastāv no punktu kopām un līniju kopām, kas attēlo savienojumus starp šiem punktiem. Par grafu teorijas pamatlicēju tiek uzskatīts Leonhards Eilers (1707-1882), kurš 1736. gadā atrisināja tolaik labi zināmo Kēnigsbergas tiltu problēmu.

Tiek veidoti grafiki lai attēlotu attiecības kopās. Ļaujiet, piemēram, būt komplektam A = {a1 , a 2 , ... a n)- daudz cilvēku, un katrs elements tiks parādīts kā punkts. ķekars B = {b1 , b 2 , ... b m)- daudzi savienojumi (taisnas līnijas, loki, segmenti - tas vēl nav svarīgi). Uzņemšanas laikā A ir dotas iepazans attiecbas starp cilvkiem no s kopas. Grafika veidošana no punktiem un savienojumiem. Saites savienos cilvēku pārus, kuri pazīst viens otru. Protams, dažu cilvēku paziņu skaits var atšķirties no citu cilvēku paziņu skaita, un daži var arī nezināt nevienu (šādi elementi būs punkti, kas nav saistīti ar citiem). Tātad mums ir grafiks!

Tas, ko mēs vispirms saucām par “punktiem”, būtu jāsauc par grafa virsotnēm, un tas, ko mēs saucām par “savienojumiem”, būtu jāsauc par grafa malām.

Grafu teorija neņem vērā kopu specifiku A Un B. Ir liels skaits ļoti dažādu specifisku problēmu, kuras risinot var uz laiku aizmirst par kopu un to elementu specifisko saturu. Šī specifika nekādā veidā neietekmē problēmas risināšanas gaitu, neatkarīgi no tās sarežģītības! Piemēram, izlemjot, vai tas ir iespējams no punkta a nokļūt pie lietas e, pārvietojoties tikai pa līnijām, kas savieno punktus, nav svarīgi, vai mums ir darīšana ar cilvēkiem, pilsētām, cipariem utt. Bet, kad problēma ir atrisināta, mēs iegūstam risinājumu, kas ir patiess jebkuram saturam, kas tika modelēts kā grafiks. Tāpēc nav pārsteidzoši, ka grafu teorija ir viens no populārākajiem instrumentiem mākslīgā intelekta radīšanā: galu galā mākslīgais intelekts var pārrunāt ar sarunu biedru gan mīlestības, gan mūzikas vai sporta jautājumus, gan dažādu problēmu risināšanas jautājumus. , un dara to bez pārejas (pārslēgšanas) , bez kā cilvēks šādos gadījumos nevar iztikt.

Un tagad grafika stingrās matemātiskās definīcijas.

1. definīcija.To sauc par grafiku patvaļīga rakstura objektu (virsotņu) un saišu (malu) sistēma, kas savieno dažus šo objektu pārus.

2. definīcija.Ļaujiet V– (netukša) virsotņu, elementu kopa v∈V- virsotnes. Grafiks G = G(V) ar daudzām virsotnēm V ir noteikta formu pāru saime: e = (a, b) , Kur a,b∈V , norādot, kuras virsotnes paliek savienotas. Katrs pāris e = (a, b) - grafika mala. ķekars U- daudzas malas e grafikā. Virsotnes a Un b– malas gala punkti e .

Grafiki kā datu struktūra. Plašā grafu teorijas izmantošana datorzinātnēs un informācijas tehnoloģijās ir saistīta ar grafa kā datu struktūras jēdziena pievienošanu iepriekš minētajām definīcijām. Datorzinātnēs un informācijas tehnoloģijās grafiks tiek definēts kā nelineāra datu struktūra. Kas tad ir lineārā datu struktūra un kā grafiki no tiem atšķiras? Lineārās datu struktūras raksturo tas, ka tās savieno elementus, izmantojot “vienkāršās kaimiņattiecības” tipa attiecības. Lineārās datu struktūras ir, piemēram, masīvi, tabulas, saraksti, rindas, steki, virknes. Turpretim nelineārās datu struktūras ir tās, kurās elementi atrodas dažādos hierarhijas līmeņos un tiek iedalīti trīs veidos: oriģinālie, ģenerētie un līdzīgi. Tātad grafiks ir nelineāra datu struktūra.

Vārds grafs ir grieķu izcelsmes no vārdiem “es rakstu”, “es aprakstu”. Kopš šī raksta sākuma mēs zinām, ko tieši apraksta grafiks: tas apraksta attiecības. Tas ir, jebkurš grafiks apraksta attiecības. Un otrādi: jebkuras attiecības var raksturot kā grafiku.

Grafu teorijas pamatjēdzieni

Biežuma jēdziens ir nepieciešams arī, izstrādājot algoritmus daudzu praktisku problēmu risināšanai ar grafiem. Piemēram, varat iepazīties ar programmatūras ieviešanu biežuma matricas attēlotā diagrammas dziļuma pirmā šķērsošana. Ideja ir vienkārša: jūs varat pārvietoties tikai pa virsotnēm, kuras savieno malas. Un, ja malām tiek piešķirtas dažas vērtības ("skalas", visbiežāk skaitļu veidā, šādus grafikus sauc par svērtiem vai marķētiem), tad var atrisināt sarežģītas lietišķas problēmas, no kurām dažas ir minētas pēdējā rindkopā. no šīs nodarbības.

Grafu teorijas klasiskās problēmas un to risinājumi

Viens no pirmajiem publicētajiem piemēriem darbam par grafu teoriju un grafu pielietojumu ir darbs pie “Kēnigsbergas tiltu problēmas” (1736), kura autors ir izcilais 18. gadsimta matemātiķis Leonhards Eilers. Problēma ietver upi, salas, kuras apskalo šī upe, un vairākus tiltus. Problēmas jautājums: vai ir iespējams, izejot no noteikta punkta, katru tiltu šķērsot tikai vienu reizi un atgriezties sākuma punktā? (attēls zemāk)

Problēmu var modelēt šādi: katram zemes laukumam ir pievienots viens punkts, un divi punkti ir savienoti ar līniju tad un tikai tad, ja atbilstošās zemes platības ir savienotas ar tiltu (attēls zemāk, savienojošās līnijas ir novilktas punktētās līnijās) . Tādējādi tiek izveidots grafiks.

Eilera atbilde uz problēmas jautājumu ir šāda. Ja šai problēmai būtu pozitīvs risinājums, tad iegūtajā grafikā būtu slēgts ceļš, kas iet gar malām un satur katru malu tikai vienu reizi. Ja šāds ceļš pastāv, tad katrai virsotnei jābūt tikai pāra skaitam malu. Bet iegūtajā grafā ir virsotnes, kurām ir nepāra skaits malu. Tāpēc problēmai nav pozitīva risinājuma.

Saskaņā ar iedibināto tradīciju Eilera grafs ir grafs, kurā ir iespējams šķērsot visas virsotnes un tajā pašā laikā šķērsot vienu malu tikai vienu reizi. Tajā katrai virsotnei jābūt tikai pāra skaitam malu. Vidējas grūtības problēma Eilera grafikos ir materiālā “Grafu pamatveidi”.

1847. gadā Kirhofs izstrādāja koku teoriju, lai atrisinātu vienlaicīgu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu, ļaujot atrast strāvas vērtību katrā vadītājā (lokā) un katrā elektriskās ķēdes ķēdē. Abstrahējoties no elektriskām ķēdēm un ķēdēm, kas satur pretestības, kondensatorus, induktivitātes utt., Viņš uzskatīja atbilstošās kombinatoriskās struktūras, kas satur tikai virsotnes un savienojumus (malas vai lokus), un savienojumiem nav jāņem vērā, kāda veida elektriskie elementi ir tie atbilst . Tādējādi Kirhhofs aizvietoja katru elektrisko ķēdi ar atbilstošu grafiku un parādīja, ka vienādojumu sistēmas risināšanai nav nepieciešams atsevišķi aplūkot katru elektriskās ķēdes grafika ciklu.

Keilijs 1858. gadā, strādājot pie tīri praktiskām organiskās ķīmijas problēmām, atklāja svarīgu grafiku klasi, ko sauc par kokiem. Viņš centās uzskaitīt piesātināto ogļūdeņražu izomērus ar noteiktu oglekļa atomu skaitu. Keilijs vispirms formulēja problēmu abstrakti: atrodiet visu koku skaitu ar lpp virsotnes, no kurām katrai ir virsotnes ar 1. un 4. pakāpi. Viņš nevarēja uzreiz atrisināt šo uzdevumu, un viņš sāka mainīt tā formulējumu tā, lai varētu atrisināt jaunu uzskaitīšanas uzdevumu:

• sakņoti koki (kurā ir izvēlēta viena no virsotnēm);
• visi koki;
• koki, kuru virsotnes grādi nepārsniedz 4;
• koki, kuru virsotnes grādi ir 1 un 4 (ķīmijas uzdevuma formulējums).

Grafika problēmas, lai nostiprinātu pamatjēdzienus

1. piemērs.Ļaujiet A- skaitļu 1, 2, 3 kopa: A= (1, 2, 3) . Izveidojiet grafiku, lai parādītu attiecības "

Risinājums. Acīmredzot skaitļi 1, 2, 3 ir jāattēlo kā grafa virsotnes. Tad katrs virsotņu pāris ir jāsavieno ar vienu malu. Atrisinot šo problēmu, mēs nonācām pie tādiem grafu teorijas pamatjēdzieniem kā virzīti un nevirzīti grafiki. Nevirzītie grafi ir tie, kuru malām nav virziena. Vai arī, kā saka vēl biežāk, malas divu galu secība nav nozīmīga. Faktiski grafam, kas tika izveidots pašā šīs nodarbības sākumā un atspoguļo cilvēku pazīšanās attiecības, nav nepieciešami malu virzieni, jo var apgalvot, ka "persona numur 1" ir tikpat labi pazīstama ar "personu numur 2" kā "persona numurs 2" ar "persona numurs 1". Mūsu pašreizējā piemērā viens skaitlis ir mazāks par otru, bet ne otrādi. Tāpēc atbilstošajai grafikas malai ir jābūt virzienam, kas norāda, kurš skaitlis ir mazāks par otru. Tas ir, malu galu secība ir nozīmīga. Šādu grafiku (kuru malām ir virziens) sauc par virzītu grafiku vai divdabīgumu.

Tātad mūsu daudzumā A skaitlis 1 ir mazāks par skaitli 2 un skaitli 3, un skaitlis 2 ir mazāks par skaitli 3. Mēs parādām šo faktu ar malām, kurām ir virziens, kas tiek parādīts ar bultiņām. Mēs iegūstam šādu grafiku:

2. piemērs.Ļaujiet A- skaitļu 2, 4, 6, 14 kopa: A= (2, 4, 6, 14) . Izveidojiet grafiku, lai šajā kopā parādītu attiecību “dalāms ar”.

Risinājums. Šajā piemērā dažām malām būs virziens, bet dažām nebūs, tas ir, mēs veidojam jaukts grafiks. Uzskaitīsim kopas relācijas: 4 dalās ar 2, 6 dalās ar 2, 14 dalās ar 2, un katrs skaitlis no šīs kopas dalās ar sevi. Šī attiecība, tas ir, ja skaitlis dalās ar sevi, tiks parādīta malu veidā, kas savieno virsotni ar sevi. Šādas malas sauc cilpas. Šajā gadījumā nav nepieciešams norādīt virzienu cilpai. Tātad mūsu piemērā ir trīs regulāras virzītas malas un četras cilpas. Mēs iegūstam šādu grafiku:

3. piemērs.Ļaujiet dotajiem komplektiem A= (α, β, γ) un B= (a, b, c) . Izveidojiet grafiku, lai parādītu sakarību “kopu Dekarta reizinājums”.

Risinājums. Kā zināms no definīcijas Kopu Dekarta reizinājums, nav vienas kopas sakārtotu elementu kopu. Tas ir, mūsu piemērā jūs nevarat apvienot grieķu burtus ar grieķu un latīņu ar latīņu valodu. Šis fakts tiek parādīts kā divpusējs grafiks, tas ir, tāda, kurā virsotnes ir sadalītas divās daļās, lai vienai daļai piederošās virsotnes nebūtu savienotas viena ar otru. Mēs iegūstam šādu grafiku:

4. piemērs. Nekustamo īpašumu aģentūrā strādā vadītāji Igors, Sergejs un Pēteris. Tiek apkalpoti objekti O1, O2, O3, O4, O5, O6, O7, O8. Izveidojiet grafiku, lai attēlotu attiecības “Igors strādā ar objektiem O4, O7”, “Sergejs strādā ar objektiem O1, O2, O3, O5, O6”, “Pēteris strādā ar objektu O8”.

Risinājums. Diagramma, kurā attēlotas šīs attiecības, arī būs divpusējs, jo pārvaldnieks nedarbojas ar pārvaldnieku un objekts nedarbojas ar objektu. Tomēr atšķirībā no iepriekšējā piemēra grafiks tiks virzīts. Faktiski, piemēram, Igors strādā ar objektu O4, bet objekts O4 nedarbojas ar Igoru. Bieži vien, kad šāda attiecību īpašība ir acīmredzama, nepieciešamība dot virzienu malām var šķist "matemātisks stulbums". Bet tomēr, un tas izriet no matemātikas stingrā rakstura, ja attiecības ir vienpusējas, tad ir jādod norādes uz malām. Relāciju lietojumprogrammās šī stingrība atmaksājas, piemēram, plānošanai paredzētajās programmās, kur tiek izmantoti arī grafi un maršrutam gar virsotnēm un malām ir jāiet stingri noteiktā virzienā. Tātad, mēs iegūstam šādu virzītu divpusēju grafiku:

Un atkal pie piemēriem ar cipariem.

5. piemērs. Lai tiek dots komplekts C = {2, 3, 5, 6, 15, 18} . Izveidojiet grafiku, kas realizē relāciju, kas nosaka visus skaitļu pārus a Un b no daudziem C, kurā, dalot otro elementu ar pirmo, iegūstam koeficientu, kas ir vesels skaitlis, kas lielāks par 1.

Risinājums. Diagramma, kurā attēlotas šīs attiecības, tiks orientēta, jo nosacījumā ir minēts otrais un pirmais elements, tas ir, mala tiks novirzīta no pirmā elementa uz otro. No tā ir skaidri redzams, kurš elements ir pirmais un kurš otrais. Pievienosim arī kādu terminoloģiju: orientētas malas parasti sauc par lokiem. Mūsu diagrammā būs 7 loki: e1 = (3, 15) , e2 = (3, 18) , e3 = (5, 15) , e4 = (3, 6) , e5 = (2, 18) , e6 = (6, 18) , e7 = (2, 6) . Šajā piemērā grafika malas (lokas) ir vienkārši numurētas, bet sērijas numuri nav vienīgais, ko var piešķirt lokam. Lokam var piešķirt arī skalas, kas nozīmē, piemēram, kravas nosūtīšanas izmaksas no viena punkta uz otru. Bet ar loka svariem mēs iepazīsimies vēlāk un sīkāk. Tātad, mēs iegūstam šādu virzītu grafiku:

Kā jau zinām no teorētiskās ievaddaļas, grafu teorija neņem vērā kopu specifiku un ar viena un tā paša grafa palīdzību ir iespējams definēt attiecības uz kopām ar ļoti atšķirīgu saturu. Tas ir, tieši šo saturu var abstrahēt, modelējot uzdevumu. Pāriesim pie piemēriem, kas ilustrē šo ievērojamo grafu teorijas īpašību.

6. piemērs. Uz šaha galda gabala, kura izmērs ir 3 x 3, ir novietoti divi baltie bruņinieki un divi melnie bruņinieki, kā parādīts attēlā zemāk.

Vai ir iespējams pārvietot bruņiniekus uz stāvokli, kas parādīts nākamajā attēlā, neaizmirstot, ka divas figūras nevar atrasties vienā laukumā?

Risinājums. Konstruētajā grafā virsotņu pāri tiks savienoti ar “bruņinieka pārvietošanās” attiecību. Tas ir, viena virsotne ir tā, no kuras bruņinieks aizgāja, bet otra ir tā, uz kuru tas ieradās, un burta “r” starpšūna būs ārpus šīm attiecībām. Mēs iegūstam šādu grafiku:

Un tomēr dizains izrādījās apgrūtinošs. Tajā ir redzamas šaha galdiņa šūnas, un daudzas grafa malas krustojas. Vai ir iespējams abstrahēties no šaha galdiņa fiziskā izskata un iztēloties attiecības vienkāršāk? Izrādās, ka tas ir iespējams. Jaunajā grafikā blakus esošās virsotnes būs tās, kuras savieno “bruņinieka gājiena” attiecības, nevis tās, kas atrodas blakus šaha galdiņam (attēls zemāk).

Tagad ir viegli saprast, ka atbilde uz šo problēmu ir negatīva. Sākotnējā stāvoklī starp diviem baltajiem bruņiniekiem nav melnā bruņinieka, bet beigu stāvoklī ir jābūt šim melnajam bruņiniekam. Grafa malas ir novietotas tā, lai divi blakus esošie bruņinieki nevarētu pārlēkt viens otram pāri.

7. piemērs. Problēma par vilku, kazu un kāpostiem. Vienā upes krastā vīrs (H), laiva, vilks (V), kaza (Kz) un kāposts (Kp). Laivā vienlaikus var atrasties cilvēks un ne vairāk kā viens no pārvadātajiem priekšmetiem. Cilvēkam visi priekšmeti jāpārnes uz otru pusi, ievērojot nosacījumu: vilku nedrīkst atstāt bez uzraudzības ar kazu un kazu ar kāpostiem.

Risinājums. Izveidotajā grafikā virsotnes ir konfigurācijas, bet malas ir “savienojums ar vienu laivu braucienu” starp konfigurācijām. Konfigurācija attiecas uz objektu izvietojumu sākotnējā krastā un pretējā krastā. Katra konfigurācija tiek parādīta kā ( A|B), Kur A- objekti, kas atrodas sākotnējā krastā, un B- objekti, kas atrodas pretējā krastā. Tāpēc sākotnējā konfigurācija ir - (PMCpKz| ) . Piemēram, pēc kazas transportēšanas uz otru pusi konfigurācija būs (VKp|ChKz) . Galīgā konfigurācija vienmēr ir ( |PMCpKz) . Tagad mēs varam izveidot grafiku, jau zinot, ko nozīmē virsotnes un malas:

Novietosim grafa virsotnes tā, lai malas nekrustotos, un blakus virsotnes ir tās, kuras grafā savieno attiecības. Tad būs daudz vieglāk redzēt attiecības (lai palielinātu attēlu, noklikšķiniet uz tā ar peles kreiso taustiņu):

Kā redzam, ir divi dažādi nepārtraukti maršruti no sākotnējās konfigurācijas līdz pēdējai. Tāpēc problēmai ir divi dažādi risinājumi (un abi ir pareizi).

Grafu teorija un svarīgākās mūsdienu lietišķās problēmas

Balstoties uz grafu teoriju, ir izstrādātas metodes lietišķo problēmu risināšanai, kurās ļoti sarežģītas sistēmas tiek modelētas grafu veidā. Šajos modeļos mezgli satur atsevišķus komponentus, un malas attēlo savienojumus starp komponentiem. Parasti svērtos grafikus izmanto, lai modelētu transporta tīklus, rindu sistēmas un tīkla plānošanu. Mēs par tiem jau runājām; tie ir grafiki, kuros lokiem tiek piešķirti svari.

Koku grafiki tiek izmantoti, piemēram, konstruēšanai lēmumu koki(kalpo riska analīzei, iespējamo ieguvumu un zaudējumu analīzei nenoteiktības apstākļos). Izmantojot grafu teoriju, izstrādāta un citi daudzi matemātiskie modeļi risināt problēmas konkrētās mācību jomās.

Grafiki un plūsmas problēma

Problēmas formulēšana. Ir ūdensvadu sistēma, kas attēlota diagrammā zemāk esošajā attēlā.

Katrs diagrammas loks attēlo cauruli. Skaitļi virs lokiem (svariem) ir caurules tilpums. Mezgli ir vietas, kur ir savienotas caurules. Ūdens plūst pa caurulēm tikai vienā virzienā. Mezgls S- ūdens avots, mezgls T- krājums. Ir nepieciešams maksimāli palielināt ūdens daudzumu, kas plūst no avota uz kanalizāciju.

Lai atrisinātu plūsmas problēmu, varat izmantot Ford-Fulkerson metodi. Metodes ideja: maksimālās plūsmas meklēšana tiek veikta pa soļiem. Algoritma sākumā plūsma ir iestatīta uz nulli. Katrā nākamajā solī plūsmas vērtība palielinās, un tiek meklēts papildu ceļš, pa kuru pienāk papildu plūsma. Šīs darbības tiek atkārtotas, kamēr pastāv papildu ceļi. Problēma ir veiksmīgi pielietota dažādās sadalītās sistēmās: elektroapgādes sistēmā, sakaru tīklā, dzelzceļa sistēmā un citās.

Grafiki un tīkla plānošana

Plānojot sarežģītu procesu problēmas, kas sastāv no daudziem darbiem, no kuriem daži tiek veikti paralēli un daži secīgi, plaši tiek izmantoti svērtie grafiki, kas pazīstami kā PERT tīkli.

PERT - Programmu (projektu) novērtēšanas un pārskatīšanas tehnika - programmu (projektu) novērtēšanas un analīzes tehnika, ko izmanto projektu vadībā.

PERT tīkls ir svērts aciklisks virzīts grafiks, kurā katrs loks attēlo darbu (darbību, darbību), un loka svars ir laiks, kas nepieciešams tā pabeigšanai.

Ja tīklā ir loki ( a, b) Un ( b, c), tad darbs, ko attēlo loka ( a, b) jāpabeidz pirms darba, ko attēlo loka ( b, c) . Katra virsotne ( vi) ir laika punkts, kurā viss darbs tiek noteikts ar lokiem, kas beidzas virsotnē ( vi).

Šādā kolonnā:

• viena virsotne, kurai nav priekšgājēju, nosaka darba sākuma laiku;
• viena virsotne, kurai nav sekotāju, atbilst brīdim, kad darbu kopums ir pabeigts.

Maksimālā garuma ceļu starp šīm grafa virsotnēm (no darba procesa sākuma līdz beigām) sauc par kritisko ceļu. Lai samazinātu visa darbu kompleksa veikšanai nepieciešamo laiku, ir jāatrod darbs, kas atrodas uz kritiskā ceļa, un jāsamazina tā ilgums, piemēram, piesaistot papildu veicējus, mehānismus, jaunas tehnoloģijas.

Viss bloks "Grafu teorija"

Materiāls no Wikipedia - brīvās enciklopēdijas

Grafu teorija- diskrētās matemātikas nozare, kas pēta grafu īpašības. Vispārīgā nozīmē grafiks tiek attēlots kā kopa virsotnes(mezgli) savienoti ribas. Stingrā definīcijā šādu kopu pāri sauc par grafiku. $G\; =\; (V,\; E)$, Kur $V$ ir jebkuras saskaitāmas kopas apakškopa, un $E$- apakškopa $V\backslash reizes\; V$.

Grafu teorija atrod pielietojumu, piemēram, ģeogrāfiskās informācijas sistēmās (GIS). Par virsotnēm tiek uzskatītas esošās vai jaunprojektētās mājas, būves, kvartāli u.c., par malām tos savienojošie ceļi, inženiertīkli, elektrolīnijas u.c. Uz šāda grafika veikto dažādu aprēķinu izmantošana ļauj, piemēram, atrast īsāko apbraucamo ceļu vai tuvāko pārtikas veikalu, vai arī izplānot optimālo maršrutu.

Grafu teorija satur lielu skaitu neatrisinātu problēmu un vēl nepierādītu hipotēžu.

Grafu teorijas vēsture

Leonards Eilers tiek uzskatīts par grafu teorijas pamatlicēju. 1736. gadā vienā no savām vēstulēm viņš formulēja un piedāvāja risinājumu septiņu Kēnigsbergas tiltu problēmai, kas vēlāk kļuva par vienu no klasiskajām grafu teorijas problēmām.

Grafu teorijas terminoloģija

Grafiku attēlojums plaknē

Attēlojot grafikus zīmējumos, visbiežāk izmanto šādu apzīmējumu sistēmu: grafa virsotnes attēlo kā punktus vai, precizējot virsotnes nozīmi, taisnstūrus, ovālus u.c., kur virsotnes nozīme atklājas iekšpusē. attēls (algoritmu blokshēmu grafiki). Ja starp virsotnēm ir mala, tad atbilstošos punktus (formas) savieno ar līniju vai loku. Virzīta grafika gadījumā loki tiek aizstāti ar bultiņām vai arī ir skaidri norādīts malas virziens. Dažkārt blakus malai tiek likti paskaidrojoši uzraksti, kas atklāj malas nozīmi, piemēram, galīgo stāvokļu mašīnu pārejas grafos. Ir plakani un neplakni grafi. Plakanais grafs ir grafs, kuru var attēlot attēlā (plaknē) bez krustojošām malām (vienkāršākais ir trīsstūris vai savienotu virsotņu pāris), pretējā gadījumā grafs nav plakans. Gadījumā, ja grafikā nav ciklu (kas satur vismaz vienu ceļu vienreizējs malu un virsotņu šķērsošana ar atgriešanos sākotnējā virsotnē), to parasti sauc par “koku”. Svarīgi koku veidi grafu teorijā ir binārie koki, kur katrai virsotnei ir viena ienākošā mala un tieši divas izejošās, vai arī tā ir ierobežota – tai nav izejošo malu un tajā ir viena saknes virsotne bez ienākošās malas.

Grafika attēlu nevajadzētu jaukt ar pašu grafiku (abstrakta struktūra), jo ar vienu grafiku var saistīt vairāk nekā vienu grafisko attēlojumu. Attēls ir paredzēts tikai, lai parādītu, kuri virsotņu pāri ir savienoti ar malām un kuri nav. Praksē bieži vien ir grūti atbildēt uz jautājumu, vai divi attēli ir viena un tā paša grafa modeļi vai nav (citiem vārdiem sakot, vai attēliem atbilstošie grafiki ir izomorfi). Atkarībā no uzdevuma daži attēli var nodrošināt lielāku skaidrību nekā citi.

Dažas grafu teorijas problēmas

• Septiņi Kēnigsbergas tilti ir viens no pirmajiem rezultātiem grafu teorijā, ko Euler publicēja .
• Četru krāsu problēma tika formulēta 1852. gadā, bet neklasisks pierādījums tika iegūts tikai 1976. gadā (kartei uz sfēras (plaknes) pietiek ar 4 krāsām).
• Ceļojošā pārdevēja problēma ir viena no slavenākajām NP pilnīgām problēmām.
• Kliķes problēma ir vēl viena NP pilnīga problēma.
• Minimālā stiepuma koka atrašana.
• Grafa izomorfisms - vai ir iespējams iegūt citu, pārnumurējot viena grafa virsotnes?
• Grafa planaritāte - vai ir iespējams attēlot grafiku uz plaknes bez malu krustpunktiem (vai ar minimālu slāņu skaitu, ko izmanto, izsekojot iespiedshēmu plates vai mikroshēmu elementu savstarpējos savienojumus).

Grafu teorijas pielietojums

Skatīt arī

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Grafu teorija"

Piezīmes

Literatūra

• Distels R. Grafu teorija Trans. no angļu valodas - Novosibirska: Matemātikas institūta izdevniecība, 2002. - 336 lpp. ISBN 5-86134-101-X.
• Diestels R.. - NY: Springer-Verlag, 2005. - 422. lpp.
• Basakers R., Saati T.
• Belovs V.V., Vorobjevs E.M., Šatalovs V.E. Grafu teorija. - M.: Augstāk. skola, 1976. - 392. lpp.
• Berģe K.
• Emeličevs V.A., Meļņikovs O.I., Sarvanovs V.I., Tiškevičs R.I. Lekcijas par grafu teoriju. M.: Nauka, 1990. 384 lpp. (2. izd., pārstrādāts M.: URSS, 2009. 392 lpp.)
• Zikovs A.A.. - M.: “Universitātes grāmata”, 2004. - P. 664. - ISBN 5-9502-0057-8.(M.: Nauka, 1987. 383c.)
• Topoloģijas un grafu teorijas ķīmiskie pielietojumi. Ed. R. Kings. Per. no angļu valodas M.: Mir, 1987.
• Kirsanovs M.N. Grafiki kļavā. M.: Fizmatlit, 2007. 168 lpp. vuz.expponenta.ru/PDF/book/GrMaple.pdf eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kirsanov2007ru.pdf
• Kristofīds N.
• Kormens T.H. et al. VI daļa. Algoritmi darbam ar grafikiem // Algoritmi: konstruēšana un analīze = Introduction to Algorithms. - 2. izd. - M.: Williams, 2006. - P. 1296. - ISBN 0-07-013151-1.
• Rūda O.. - 2. izd. - M.: Zinātne, 1980. - 336. lpp.
• Salii V. N. Bogomolovs A. M.. - M.: Fizikas un matemātikas literatūra, 1997. - ISBN 5-02-015033-9.
• Svami M., Tulasiramans K.
• Tuts V.
• Vilsons R.
• Harari F.. - M.: Mir, 1973.(Red. 3, M.: KomKniga, 2006. - 296 lpp.)
• Harari F., Palmers E.. - Pasaule, 1977. gads.
• Sergejs Meļņikovs// Zinātne un dzīve . - 1996. - Izdevums. 3. - 144.-145.lpp. Raksts ir par grafu spēli Sim, ko izgudroja Gustavs Simmons.

Saites

• : programma, kas nodrošina lietotājam plašu rīku un metožu klāstu informācijas vizualizēšanai un meklēšanai grafikos

Klasiskā analīze Funkciju teorija Diferenciālā un integrālvienādojumi

Grafu teoriju raksturojošs fragments

Bet, pirms viņš pabeidza šos vārdus, princis Andrejs, juzdams kauna un dusmu asaras lecam kaklā, jau leca no zirga un skrēja uz karogu.
- Puiši, uz priekšu! – viņš bērnišķīgi iesaucās.
"Te tas ir!" nodomāja princis Andrejs, satverdams karoga mastu un ar prieku dzirdot ložu svilpi, kas acīmredzami bija vērsta tieši pret viņu. Vairāki karavīri krita.
- Urrā! - kliedza princis Andrejs, tik tikko turēdams rokās smago karogu, un skrēja uz priekšu ar neapšaubāmu pārliecību, ka viss bataljons skries viņam pakaļ.
Patiešām, viņš viens pats noskrēja tikai dažus soļus. Viens karavīrs devās ceļā, tad otrs, un viss bataljons kliedza: "Urā!" skrēja uz priekšu un apdzina viņu. Pieskrēja bataljona apakšvirsnieks un paņēma karogu, kas drebēja no svara kņaza Andreja rokās, taču uzreiz tika nogalināts. Princis Andrejs atkal satvēra karogu un, velkot to aiz staba, aizbēga kopā ar bataljonu. Viņam priekšā viņš ieraudzīja mūsu artilēristus, no kuriem daži karoja, citi pameta savus lielgabalus un skrēja viņam pretī; viņš redzēja arī franču kājnieku karavīrus, kuri satvēra artilērijas zirgus un pagrieza ieročus. Princis Andrejs un viņa bataljons bija jau 20 soļu attālumā no ieročiem. Viņš dzirdēja virs sevis nemitīgos ložu svilpienus, un karavīri pastāvīgi vaidēja un krita pa labi un pa kreisi no viņa. Bet viņš uz tiem neskatījās; viņš skatījās tikai uz to, kas notiek viņa priekšā - uz akumulatoru. Viņš skaidri redzēja vienu sarkanmataina artilērijas figūru ar šako vienā pusē, kas vienā pusē velk reklāmkarogu, bet franču karavīrs no otras puses vilka karogu pret sevi. Princis Andrejs jau skaidri redzēja apmulsušo un vienlaikus rūgto izteiksmi šo divu cilvēku sejās, kuri acīmredzot nesaprata, ko dara.
"Ko viņi dara? - domāja princis Andrejs, skatīdamies uz viņiem: - kāpēc sarkanmatainais artilērists neskrien, ja viņam nav ieroču? Kāpēc francūzis viņu nedur? Pirms viņš spēs viņu sasniegt, francūzis atcerēsies par ieroci un nodurs viņu līdz nāvei.
Patiešām, pie kaujiniekiem pieskrēja vēl viens francūzis ar ieroci, un bija jāizšķiras rudmatainā artilērista liktenis, kurš joprojām nesaprata, kas viņu sagaida, un triumfējoši izvilka karogu. Bet princis Andrejs neredzēja, kā tas beidzās. Viņam šķita, ka viens no tuvumā esošajiem karavīriem, it kā šūpodams spēcīgu nūju, iesitis viņam pa galvu. Sāpēja nedaudz, un pats galvenais, tas bija nepatīkami, jo šīs sāpes viņu izklaidēja un neļāva redzēt to, uz ko viņš skatās.
"Kas tas ir? ES krītu? Manas kājas padodas,” viņš nodomāja un nokrita uz muguras. Viņš atvēra acis, cerēdams redzēt, kā beidzās cīņa starp frančiem un artilēristiem, un vēlēdamies zināt, vai rudmatainais artilērists ir nogalināts vai nē, vai ieroči paņemti vai izglābti. Bet viņš neko neredzēja. Virs viņa vairs nebija nekā, izņemot debesis – augstas debesis, neskaidras, bet tomēr neizmērojami augstas, ar pelēkiem mākoņiem klusi ložņājot pāri. "Cik kluss, mierīgs un svinīgs, nepavisam ne tā, kā es skrēju," domāja princis Andrejs, "ne tā, kā mēs skrējām, kliedzām un cīnījāmies; Tas nepavisam nav līdzīgs tam, kā francūzis un artilērists sarūgtinātām un izbiedētām sejām raustīja viens otra banerus - nepavisam nav tā, kā mākoņi rāpo pa šīm augstajām bezgalīgajām debesīm. Kā gan es vēl neesmu redzējis šīs augstās debesis? Un cik es esmu laimīgs, ka beidzot viņu atpazinu. Jā! viss ir tukšs, viss ir maldināšana, izņemot šīs bezgalīgās debesis. Nav nekā, nekas, izņemot viņu. Bet pat tā nav, nav nekā, izņemot klusumu, mieru. Un paldies Dievam! ”…

Bagrationa labajā flangā pulksten 9 bizness vēl nebija sācies. Nevēlēdamies piekrist Dolgorukova prasībai uzsākt biznesu un vēloties novērst atbildību no sevis, kņazs Bagrations ieteica nosūtīt Dolgorukovu, lai par to jautātu virspavēlniekam. Bagrations zināja, ka gandrīz 10 verstu attāluma dēļ, kas atdala vienu flangu no otra, ja nosūtītais netiks nogalināts (kas bija ļoti iespējams), un pat tad, ja viņš atradīs virspavēlnieku, kas bija ļoti grūti, nosūtītajam nebūtu laika atgriezties agrākos vakaros.
Bagrations paskatījās apkārt uz savu svītu ar savām lielajām, neizteiksmīgajām, bezmiega acīm, un Rostovas bērnišķīgā seja, kas neviļus bija sastingusi no sajūsmas un cerībām, bija pirmā, kas pievērsa viņa uzmanību. Viņš to nosūtīja.
- Ja es satikšu Viņa Majestāti virspavēlnieka priekšā, jūsu ekselence? - teica Rostovs, turēdams roku pie viziera.
— Varat to nodot jūsu Majestātei, — Dolgorukovs sacīja, steigā pārtraucot Bagrationu.
Atbrīvots no ķēdes, Rostovs paguva nogulēt vairākas stundas pirms rīta un jutās dzīvespriecīgs, drosmīgs, izlēmīgs, ar tādu kustību elastību, pārliecību par savu laimi un noskaņojumu, kurā viss šķiet viegli, jautri un iespējams.
Visas viņa vēlmes tajā rītā tika izpildītas; tika izcīnīta vispārēja kauja, viņš tajā piedalījās; Turklāt viņš bija drosmīgākā ģenerāļa kārtībnieks; Turklāt viņš devās komandējumā uz Kutuzovu un, iespējams, pat pie paša suverēna. Rīts bija skaidrs, zirgs zem viņa bija labs. Viņa dvēsele bija priecīga un laimīga. Saņēmis pavēli, viņš nolaida zirgu un devās gar rindu. Sākumā viņš jāja pa Bagrationa karaspēka līniju, kas vēl nebija sākusi darboties un stāvēja nekustīgi; tad viņš iegāja Uvarova kavalērijas aizņemtajā telpā un šeit jau pamanīja kustības un gatavošanās pazīmes lietai; Pabraucis garām Uvarova kavalērijai, viņš jau skaidri sadzirdēja priekšā esošās lielgabalu skaņas un šāvienu skaņas. Apšaude pastiprinājās.
Svaigajā rīta gaisā vairs, kā agrāk, neregulāros intervālos neatskanēja divi, trīs šāvieni un pēc tam viens vai divi šāvieni, un kalnu nogāzēs, pretī Pratzenam, atskanēja apšaude, kas tika pārtraukta. ar tik biežiem šāvieniem no lielgabaliem, ka dažkārt vairāki lielgabalu šāvieni vairs neatdalījās viens no otra, bet saplūda vienā kopīgā rūkoņā.
Bija redzams, kā šautenes dūmi, šķiet, skraida pa nogāzēm, panākot viens otru, un kā ieroču dūmi virpuļoja, izplūda un saplūda viens ar otru. No durku mirdzuma starp dūmiem bija redzamas kustīgās kājnieku masas un šauras artilērijas joslas ar zaļām kastēm.
Rostovs uz minūti apturēja zirgu kalnā, lai pārbaudītu, kas notiek; bet, lai kā viņš sasprindzinātu uzmanību, viņš nevarēja ne saprast, ne kaut ko saprast no notiekošā: daži cilvēki tur kustējās dūmos, daži karaspēka audekli kustējās gan priekšā, gan aizmugurē; bet kāpēc? PVO? Kur? nebija iespējams saprast. Šis skats un šīs skaņas ne tikai neizraisīja viņā nekādu trulu vai bailīgu sajūtu, bet, gluži otrādi, deva enerģiju un apņēmību.
"Nu, vairāk, dodiet vairāk!" - Viņš garīgi pievērsās šīm skaņām un atkal sāka auļot pa līniju, arvien vairāk iekļūstot karaspēka zonā, kas jau bija uzsākusi darbību.
"Es nezinu, kā tur būs, bet viss būs labi!" domāja Rostova.
Pabraucis garām dažiem Austrijas karaspēkiem, Rostovs pamanīja, ka nākamā līnijas daļa (tā bija apsardze) jau ir sākusi darboties.
"Jo labāk! Es paskatīšos tuvāk,” viņš domāja.
Viņš brauca gandrīz pa frontes līniju. Viņam pretī devās vairāki jātnieki. Tie bija mūsu dzīvības lēcēji, kuri nesakārtotās rindās atgriezās no uzbrukuma. Rostovs pagāja viņiem garām, neviļus pamanīja vienu no tiem, kas bija asinīs, un devās tālāk.
"Man tas ir vienalga!" viņš domāja. Pirms viņš bija nobraucis dažus simtus soļu pēc tam, pa kreisi visā lauka garumā parādījās milzīga kavalēristu masa melnos zirgos spīdīgi baltos formas tērpos, rikšot taisni viņam pretī. Rostovs ielika zirgu pilnā galopā, lai izkļūtu no šiem jātniekiem, un viņš būtu no tiem atrāvies, ja viņi būtu saglabājuši tādu pašu gaitu, bet viņi turpināja paātrināties, tā ka daži zirgi jau sāka auļot. Rostova arvien skaidrāk dzirdēja viņu stutēšanu un ieroču zvanīšanu, un kļuva redzamāki viņu zirgi, figūras un pat sejas. Tie bija mūsu kavalērijas sargi, kas devās uzbrukumā franču kavalērijai, kas virzījās uz viņiem.
Kavalērijas sargi auļoja, bet joprojām turēja zirgus. Rostova jau redzēja viņu sejas un dzirdēja komandu: "marš, marš!" izteica virsnieks, kurš pilnā ātrumā palaida vaļā savu asinszirgu. Rostovs, baidīdamies tikt saspiests vai ievilināts uzbrukumā frančiem, steidzās pa priekšu, cik ātri vien spēja viņa zirgs, un tomēr nepaguva tikt tiem garām.
Pēdējais kavalērijas apsargs, milzīgs, iekaisis vīrs, dusmīgi sarauca pieri, ieraugot sev priekšā Rostovu, ar kuru viņš neizbēgami sadursies. Šis jātnieku sargs noteikti būtu nogāzis Rostovu un viņa beduīnus (pats Rostovs šķita tik mazs un vājš, salīdzinot ar šiem milzīgajiem ļaudīm un zirgiem), ja vien viņš nebūtu izdomājis pātagu iesist acīs jātnieku gvardes zirgam. Melnais, smagais, piecu collu zirgs izvairījās, nolika ausis; bet izraibinātais kavalērijas sargs iegrūda viņas sānos milzīgas spuras, un zirgs, vicinādams asti un izstiepdams kaklu, metās vēl ātrāk. Tiklīdz kavalērijas sargi pabrauca garām Rostovam, viņš dzirdēja viņus kliedzienus: "Urā!" un, atskatoties atpakaļ, viņš redzēja, ka viņu priekšējās rindas sajaucas ar svešiniekiem, iespējams, francūžiem, kavalēristiem sarkanos epauletos. Tālāk neko nevarēja redzēt, jo uzreiz pēc tam no kaut kurienes sāka šaut lielgabali, un viss bija dūmos.
Tajā brīdī, kad kavalērijas sargi, pagājuši viņam garām, pazuda dūmos, Rostovs vilcinājās, vai lēkt pēc viņiem vai doties tur, kur viņam jāiet. Tas bija tas izcilais kavalērijas gvardes uzbrukums, kas pārsteidza pašus frančus. Rostovam bija bail vēlāk dzirdēt, ka no visas šīs milzīgo, izskatīgo cilvēku masas, no visiem šiem izcilajiem, bagātajiem jaunekļiem, virsniekiem un kadetiem, kas jāja uz tūkstošiem zirgu un steidzās viņam garām, pēc uzbrukuma bija palikuši tikai astoņpadsmit cilvēki.