Vienkāršākā trigonometriskā atrisinājums. Noteikumi trigonometrisko funkciju atrašanai: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss. Kosinusa funkcijas grafiks, y = cos x

Jēdzieni sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir galvenās trigonometrijas kategorijas - matemātikas nozare, un tās ir nesaraujami saistītas ar leņķa definīciju. Šīs matemātiskās zinātnes pārvaldīšanai nepieciešama formulu un teorēmu iegaumēšana un izpratne, kā arī attīstīta telpiskā domāšana. Tāpēc trigonometriskie aprēķini nereti sagādā grūtības skolēniem un studentiem. Lai tos pārvarētu, jums vajadzētu vairāk iepazīties ar trigonometriskajām funkcijām un formulām.

Jēdzieni trigonometrijā

Lai saprastu trigonometrijas pamatjēdzienus, vispirms jāizlemj, kas ir taisnleņķa trijstūris un riņķa leņķis un kāpēc ar tiem ir saistīti visi pamata trigonometriskie aprēķini. Trijstūris, kurā viens no leņķiem ir 90 grādi, ir taisnleņķa trīsstūris. Vēsturiski šo figūru bieži izmantoja cilvēki arhitektūrā, navigācijā, mākslā, astronomijā. Attiecīgi, pētot un analizējot šī skaitļa īpašības, cilvēki nonāca pie atbilstošo tā parametru attiecību aprēķināšanas.

Galvenās kategorijas, kas saistītas ar taisnleņķa trijstūriem, ir hipotenūza un kājas. Hipotenūza ir trijstūra mala, kas atrodas pretī taisnajam leņķim. Kājas, attiecīgi, ir pārējās divas puses. Jebkura trīsstūra leņķu summa vienmēr ir 180 grādi.

Sfēriskā trigonometrija ir trigonometrijas sadaļa, ko skolā neapgūst, bet tādās lietišķajās zinātnēs kā astronomija un ģeodēzija zinātnieki to izmanto. Trīsstūra iezīme sfēriskajā trigonometrijā ir tāda, ka tā leņķu summa vienmēr ir lielāka par 180 grādiem.

Trijstūra leņķi

Taisnleņķa trijstūrī leņķa sinuss ir vēlamajam leņķim pretējās kājas attiecība pret trijstūra hipotenūzu. Attiecīgi kosinuss ir blakus esošās kājas un hipotenūzas attiecība. Abām šīm vērtībām vienmēr ir vērtība, kas ir mazāka par vienu, jo hipotenūza vienmēr ir garāka par kāju.

Leņķa tangenss ir vērtība, kas vienāda ar vajadzīgā leņķa pretējās kājas un blakus esošās kājas attiecību jeb sinusu pret kosinusu. Savukārt kotangenss ir vēlamā leņķa blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kaktetu. Leņķa kotangensu var iegūt arī dalot vienību ar pieskares vērtību.

vienības aplis

Vienības aplis ģeometrijā ir aplis, kura rādiuss ir vienāds ar vienu. Šāds aplis ir konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā, apļa centram sakrītot ar sākuma punktu, un rādiusa vektora sākuma pozīciju nosaka X ass pozitīvais virziens (abscisu ass). Katram apļa punktam ir divas koordinātas: XX un YY, tas ir, abscisu un ordinātu koordinātas. Izvēloties jebkuru apļa punktu XX plaknē un nometot no tā perpendikulu uz abscisu asi, iegūstam taisnleņķa trīsstūri, ko veido rādiuss līdz izvēlētajam punktam (apzīmēsim to ar burtu C), kas ir novilkts X ass (krustošanās punkts ir apzīmēts ar burtu G) un abscisu ass segments starp sākumpunktu (punktu apzīmē ar burtu A) un krustošanās punktu G. Iegūtais trīsstūris ACG ir taisnleņķa trijstūris, kas ierakstīts aplis, kur AG ir hipotenūza, un AC un GC ir kājas. Leņķi starp apļa rādiusu AC un abscisu ass segmentu ar apzīmējumu AG mēs definējam kā α (alfa). Tātad, cos α = AG/AC. Ņemot vērā, ka AC ir vienības apļa rādiuss un tas ir vienāds ar vienu, izrādās, ka cos α=AG. Tāpat sin α=CG.

Turklāt, zinot šos datus, var noteikt apļa punkta C koordinātas, jo cos α=AG un sin α=CG, kas nozīmē, ka punktam C ir dotās koordinātes (cos α; sin α). Zinot, ka tangenss ir vienāds ar sinusa attiecību pret kosinusu, mēs varam noteikt, ka tg α \u003d y / x un ctg α \u003d x / y. Ņemot vērā leņķus negatīvā koordinātu sistēmā, var aprēķināt, ka dažu leņķu sinusa un kosinusa vērtības var būt negatīvas.

Aprēķini un pamatformulas

Trigonometrisko funkciju vērtības

Apsverot trigonometrisko funkciju būtību caur vienības apli, mēs varam iegūt šo funkciju vērtības dažiem leņķiem. Vērtības ir norādītas zemāk esošajā tabulā.

Vienkāršākās trigonometriskās identitātes

Vienādojumus, kuros zem trigonometriskās funkcijas zīmes atrodas nezināma vērtība, sauc par trigonometriskiem. Identitātes ar vērtību sin x = α, k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitātes ar vērtību cos x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identitātes ar vērtību tg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identitātes ar vērtību ctg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Lietās formulas

Šī konstantu formulu kategorija apzīmē metodes, ar kurām jūs varat pāriet no formas trigonometriskām funkcijām uz argumenta funkcijām, tas ir, pārvērst jebkuras vērtības leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu uz attiecīgajiem leņķa rādītājiem. intervāls no 0 līdz 90 grādiem lielākai aprēķinu ērtībai.

Leņķa sinusa funkciju samazināšanas formulas izskatās šādi:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = grēks α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = grēks α.

Leņķa kosinusam:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Iepriekš minēto formulu izmantošana ir iespējama, ievērojot divus noteikumus. Pirmkārt, ja leņķi var attēlot kā vērtību (π/2 ± a) vai (3π/2 ± a), funkcijas vērtība mainās:

• no grēka uz cos;
• no cos uz grēku;
• no tg līdz ctg;
• no ctg uz tg.

Funkcijas vērtība paliek nemainīga, ja leņķi var attēlot kā (π ± a) vai (2π ± a).

Otrkārt, samazinātās funkcijas zīme nemainās: ja sākotnēji tā bija pozitīva, tā arī paliek. Tas pats attiecas uz negatīvajām funkcijām.

Papildināšanas formulas

Šīs formulas izsaka divu griešanās leņķu summas un starpības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības to trigonometrisko funkciju izteiksmē. Leņķus parasti apzīmē kā α un β.

Formulas izskatās šādi:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. iedegums(α ± β) = (tan α ± iedegums β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β.

Dubultā un trīskāršā leņķa formulas

Dubultā un trīskāršā leņķa trigonometriskās formulas ir formulas, kas saista leņķu 2α un 3α funkcijas attiecīgi ar leņķa α trigonometriskajām funkcijām. Atvasināts no pievienošanas formulām:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Pāreja no summas uz produktu

Ņemot vērā, ka 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), vienkāršojot šo formulu, iegūstam identitāti sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Līdzīgi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Pāreja no produkta uz summu

Šīs formulas izriet no summas pārejas uz reizinājumu identitātēm:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Samazināšanas formulas

Šajās identitātēs sinusa un kosinusa kvadrātveida un kubisko pakāpju var izteikt kā vairāku leņķu pirmā pakāpju sinusu un kosinusu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universāla aizstāšana

Universālās trigonometriskās aizstāšanas formulas izsaka trigonometriskās funkcijas pusleņķa pieskares izteiksmē.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), savukārt x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kur x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), savukārt x \u003d π + 2πn.

Īpaši gadījumi

Tālāk ir doti īpaši vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu gadījumi (k ir jebkurš vesels skaitlis).

Privāts priekš sinusa:

sin x vērtība	x vērtība
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk vai 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk vai -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk vai 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk vai -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk vai 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk vai -2π/3 + 2πk

Kosinusa koeficienti:

cos x vērtība	x vērtība
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privāts pieskarei:

tg x vērtība	x vērtība
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangentes koeficienti:

ctg x vērtība	x vērtība
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teorēmas

Sinus teorēma

Teorēmai ir divas versijas – vienkārša un paplašināta. Vienkāršā sinusa teorēma: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šajā gadījumā a, b, c ir trijstūra malas, un α, β, γ ir attiecīgi pretējie leņķi.

Paplašināta sinusa teorēma patvaļīgam trīsstūrim: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šajā identitātē R apzīmē apļa rādiusu, kurā ir ierakstīts dotais trīsstūris.

Kosinusa teorēma

Identitāte tiek parādīta šādi: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulā a, b, c ir trijstūra malas, un α ir leņķis, kas atrodas pretējai malai a.

Pieskares teorēma

Formula izsaka attiecību starp divu leņķu pieskarēm un tām pretējo malu garumu. Malas ir apzīmētas ar a, b, c, un attiecīgie pretējie leņķi ir α, β, γ. Pieskares teorēmas formula: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangentes teorēma

Saista trijstūrī ierakstīta riņķa rādiusu ar tā malu garumu. Ja a, b, c ir trijstūra malas un attiecīgi A, B, C ir to pretējie leņķi, r ir ierakstītā riņķa rādiuss un p ir trijstūra pusperimetrs, šādas identitātes turēt:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Lietojumprogrammas

Trigonometrija ir ne tikai teorētiska zinātne, kas saistīta ar matemātiskām formulām. Tās īpašības, teorēmas un noteikumus praksē izmanto dažādas cilvēka darbības nozares – astronomija, gaisa un jūras navigācija, mūzikas teorija, ģeodēzija, ķīmija, akustika, optika, elektronika, arhitektūra, ekonomika, mašīnbūve, mērīšanas darbi, datorgrafika, kartogrāfija, okeanogrāfija un daudzas citas.

Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas pamatjēdzieni, ar kuriem jūs varat matemātiski izteikt attiecības starp leņķiem un malu garumiem trijstūrī un atrast vajadzīgos lielumus, izmantojot identitātes, teorēmas un noteikumus.

Trigonometriskie vienādojumi nav vieglākais temats. Sāpīgi tie ir dažādi.) Piemēram, šie:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

utt...

Taču šiem (un visiem pārējiem) trigonometriskajiem monstriem ir divas kopīgas un obligātas iezīmes. Pirmkārt - jūs neticēsit - vienādojumos ir trigonometriskas funkcijas.) Otrkārt: visas izteiksmes ar x ir šo pašu funkciju ietvaros. Un tikai tur! Ja kaut kur parādās x ārā, Piemēram, sin2x + 3x = 3, tas būs jaukta tipa vienādojums. Šādiem vienādojumiem ir nepieciešama individuāla pieeja. Šeit mēs tos neuzskatīsim.

Šajā nodarbībā mēs arī neatrisināsim ļaunuma vienādojumus.) Šeit mēs aplūkosim vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi. Kāpēc? Jā, jo lēmums jebkura trigonometriskie vienādojumi sastāv no diviem posmiem. Pirmajā posmā ļaunais vienādojums ar dažādām transformācijām tiek reducēts uz vienkāršu. Otrajā - šis vienkāršākais vienādojums ir atrisināts. Citādi nav.

Tātad, ja jums ir problēmas otrajā posmā, pirmajam posmam nav lielas jēgas.)

Kā izskatās elementārie trigonometriskie vienādojumi?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Šeit a apzīmē jebkuru skaitli. Jebkurš.

Starp citu, funkcijas iekšpusē var būt nevis tīrs x, bet gan kāda veida izteiksme, piemēram:

cos(3x+π /3) = 1/2

utt. Tas sarežģī dzīvi, bet neietekmē trigonometriskā vienādojuma risināšanas metodi.

Kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?

Trigonometriskos vienādojumus var atrisināt divos veidos. Pirmais veids: izmantojot loģiku un trigonometrisko apli. Mēs izpētīsim šo ceļu šeit. Otrs veids - izmantojot atmiņu un formulas - tiks apskatīts nākamajā nodarbībā.

Pirmais veids ir skaidrs, uzticams un grūti aizmirstams.) Tas ir piemērots trigonometrisku vienādojumu, nevienādību un visu veidu viltīgu nestandarta piemēru risināšanai. Loģika ir stiprāka par atmiņu!

Mēs risinām vienādojumus, izmantojot trigonometrisko apli.

Mēs iekļaujam elementāru loģiku un spēju izmantot trigonometrisko apli. Vai nevari!? Tomēr... Trigonometrijā tev būs grūti...) Bet tas nav svarīgi. Apskatiet nodarbības "Trigonometriskais aplis ...... Kas tas ir?" un "Leņķu skaitīšana uz trigonometriskā apļa". Tur viss ir vienkārši. Atšķirībā no mācību grāmatām...)

Ak, zini!? Un pat apguvis "Praktisko darbu ar trigonometrisko apli"!? Pieņemiet apsveikumus. Šī tēma jums būs tuva un saprotama.) Īpaši patīkami ir tas, ka trigonometriskajam aplim ir vienalga, kuru vienādojumu jūs atrisināt. Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss - viņam viss ir vienāds. Risinājuma princips ir vienāds.

Tātad mēs ņemam jebkuru elementāru trigonometrisko vienādojumu. Vismaz šis:

cosx = 0,5

Man jāatrod X. Runājot cilvēku valodā, jums ir nepieciešams atrodiet leņķi (x), kura kosinuss ir 0,5.

Kā mēs izmantojām apli iepriekš? Mēs uzzīmējām tai stūri. Grādos vai radiānos. Un uzreiz redzēts šī leņķa trigonometriskās funkcijas. Tagad darīsim pretējo. Uz apļa uzzīmējiet kosinusu, kas vienāds ar 0,5 un nekavējoties redzēsim injekcija. Atliek tikai pierakstīt atbildi.) Jā, jā!

Mēs uzzīmējam apli un atzīmējam kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Uz kosinusa ass, protams. Kā šis:

Tagad uzzīmēsim leņķi, ko mums piešķir šis kosinuss. Novietojiet peles kursoru virs attēla (vai pieskarieties attēlam planšetdatorā) un skat tas pats stūris X.

Kura leņķa kosinuss ir 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Dažs noburkšķēs skeptiski, jā... Saka, vai bija vērts nožogot apli, kad tik un tā viss skaidrs... Var, protams, ņurdēt...) Bet fakts ir tāds, ka tas ir kļūdains atbildi. Pareizāk sakot, neadekvāti. Apļa cienītāji saprot, ka joprojām ir vesela virkne leņķu, kas arī dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5.

Ja pagriežat kustīgo pusi OA uz pilnu pagriezienu, punkts A atgriezīsies sākotnējā pozīcijā. Ar to pašu kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Tie. leņķis mainīsies 360° vai 2π radiāni un kosinuss nav. Jaunais leņķis 60° + 360° = 420° arī būs mūsu vienādojuma risinājums, jo

Šādu pilnu rotāciju ir bezgalīgi daudz... Un visi šie jaunie leņķi būs mūsu trigonometriskā vienādojuma risinājumi. Un tās visas kaut kā jāpieraksta. Visi. Pretējā gadījumā lēmums netiek izskatīts, jā ...)

Matemātika to var izdarīt vienkārši un eleganti. Vienā īsā atbildē pierakstiet bezgalīgs komplekts risinājumus. Lūk, kā tas izskatās mūsu vienādojumam:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Es atšifrēšu. Joprojām rakstiet jēgpilni jaukāk nekā muļķīgi zīmēt kādus noslēpumainus burtus, vai ne?)

π /3 ir tāds pats leņķis kā mēs ieraudzīja uz apļa un noteikts saskaņā ar kosinusu tabulu.

2π ir viens pilns pagrieziens radiānos.

n - tas ir pabeigto skaits, t.i. vesels revolūcijas. Ir skaidrs ka n var būt 0, ±1, ±2, ±3.... un tā tālāk. Kā norādīts īsajā ierakstā:

n∈Z

n pieder ( ∈ ) uz veselu skaitļu kopu ( Z ). Starp citu, vēstules vietā n var izmantot burtus k, m, t utt.

Šis apzīmējums nozīmē, ka varat ņemt jebkuru veselu skaitli n . Vismaz -3, vismaz 0, vismaz +55. Ko tu gribi. Ja pievienojat šo skaitli savā atbildē, jūs iegūstat noteiktu leņķi, kas noteikti ir mūsu skarbā vienādojuma risinājums.)

Vai, citiem vārdiem sakot, x \u003d π / 3 ir vienīgā bezgalīgas kopas sakne. Lai iegūtu visas pārējās saknes, pietiek ar π / 3 pievienot jebkuru pilnu apgriezienu skaitu ( n ) radiānos. Tie. 2πn radiāns.

Viss? Nē. Es īpaši stiepju prieku. Lai labāk atcerētos.) Mēs saņēmām tikai daļu no mūsu vienādojuma atbildēm. Es uzrakstīšu šo pirmo risinājuma daļu šādi:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne viena sakne, tā ir vesela virkne sakņu, kas uzrakstītas īsā formā.

Bet ir arī citi leņķi, kas arī dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5!

Atgriezīsimies pie mūsu attēla, saskaņā ar kuru mēs pierakstījām atbildi. Šeit viņa ir:

Pārvietojiet peles kursoru virs attēla un skat vēl viens stūris, ka dod arī kosinusu 0,5. Kas, jūsuprāt, ir vienāds? Trijstūri ir vienādi... Jā! Tas ir vienāds ar leņķi X , tikai attēlots negatīvā virzienā. Šis ir stūris -X. Bet mēs jau esam aprēķinājuši x. π /3 vai 60°. Tāpēc mēs varam droši rakstīt:

x 2 \u003d - π / 3

Un, protams, mēs pievienojam visus leņķus, kas iegūti pilnos pagriezienos:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Tagad tas ir viss.) Trigonometriskā aplī mēs ieraudzīja(kas saprot, protams)) visi leņķi, kas dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Un viņi pierakstīja šos leņķus īsā matemātiskā formā. Atbilde ir divas bezgalīgas sakņu sērijas:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Šī ir pareizā atbilde.

ceru, vispārējs trigonometrisko vienādojumu risināšanas princips ar apļa palīdzību ir saprotams. No dotā vienādojuma uz apļa atzīmējam kosinusu (sinusu, tangensu, kotangensu), uzzīmējam atbilstošos leņķus un pierakstām atbildi. Protams, jums ir jāizdomā, kādi stūri mēs esam ieraudzīja uz apļa. Dažreiz tas nav tik acīmredzami. Nu, kā jau teicu, šeit ir nepieciešama loģika.)

Piemēram, analizēsim citu trigonometrisko vienādojumu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitlis 0,5 nav vienīgais iespējamais skaitlis vienādojumos!) Man vienkārši ir ērtāk to rakstīt nekā saknes un daļskaitļus.

Mēs strādājam pēc vispārējā principa. Uzzīmējam apli, atzīmējam (uz sinusa ass, protams!) 0,5. Mēs uzreiz uzzīmējam visus leņķus, kas atbilst šim sinusam. Mēs iegūstam šo attēlu:

Vispirms tiksim galā ar leņķi. X pirmajā ceturksnī. Mēs atgādinām sinusu tabulu un nosakām šī leņķa vērtību. Lieta ir vienkārša:

x \u003d π / 6

Mēs atceramies pilnus pagriezienus un ar tīru sirdsapziņu pierakstām pirmo atbilžu sēriju:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Puse darba ir paveikta. Tagad mums ir jādefinē otrais stūris... Tas ir sarežģītāk nekā kosinusos, jā... Bet loģika mūs izglābs! Kā noteikt otro leņķi caur x? Jā Viegli! Attēlā redzamie trīsstūri ir vienādi, un sarkanais stūris X vienāds ar leņķi X . Tikai tas tiek skaitīts no leņķa π negatīvā virzienā. Tāpēc tas ir sarkans.) Un atbildei mums ir nepieciešams leņķis, kas pareizi izmērīts no pozitīvās pusass OX, t.i. no 0 grādu leņķa.

Novietojiet kursoru virs attēla un skatiet visu. Pirmo stūri noņēmu, lai nesarežģītu attēlu. Mūs interesējošais leņķis (zīmēts zaļā krāsā) būs vienāds ar:

π - x

x mēs to zinām π /6 . Tātad otrais leņķis būs:

π - π /6 = 5π /6

Atkal atceramies pilnu apgriezienu pievienošanu un pierakstām otro atbilžu sēriju:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tas ir viss. Pilnīga atbilde sastāv no divām sakņu sērijām:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Vienādojumus ar tangensu un kotangensu var viegli atrisināt, izmantojot to pašu vispārējo principu trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Ja vien jūs, protams, nezināt, kā trigonometriskā riņķī uzzīmēt pieskari un kotangensu.

Iepriekš minētajos piemēros es izmantoju sinusa un kosinusa tabulas vērtību: 0,5. Tie. viena no tām nozīmēm, ko students zina obligāti. Tagad paplašināsim savas iespējas līdz visas pārējās vērtības. Izlemiet, tātad izlemiet!)

Tātad, pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds trigonometriskais vienādojums:

Īsajās tabulās šādas kosinusa vērtības nav. Mēs vēsi ignorējam šo briesmīgo faktu. Uzzīmējam apli, atzīmējam 2/3 uz kosinusa ass un uzzīmējam atbilstošos leņķus. Mēs iegūstam šo attēlu.

Mēs saprotam, iesākumam, ar leņķi pirmajā ceturtdaļā. Lai zinātu, ar ko x ir vienāds, viņi uzreiz pieraksta atbildi! Mēs nezinām... Neveiksme!? Mierīgi! Matemātika neatstāj savējos bēdās! Viņa izgudroja loka kosinusus šim gadījumam. Nezinu? Velti. Uzziniet. Tas ir daudz vieglāk, nekā jūs domājat. Saskaņā ar šo saiti nav nevienas viltīgas burvestības par "apgrieztām trigonometriskām funkcijām" ... Tas ir lieki šajā tēmā.

Ja jūs zināt, vienkārši sakiet sev: "X ir leņķis, kura kosinuss ir 2/3." Un uzreiz, tikai pēc arkosīna definīcijas, mēs varam rakstīt:

Mēs atceramies par papildu apgriezieniem un mierīgi pierakstām mūsu trigonometriskā vienādojuma pirmo sakņu sēriju:

x 1 = loka 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Arī otrā sakņu sērija tiek ierakstīta gandrīz automātiski, otrajam leņķim. Viss ir pa vecam, tikai x (arccos 2/3) būs ar mīnusu:

x 2 = - loki 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Un visas lietas! Šī ir pareizā atbilde. Pat vieglāk nekā ar tabulas vērtībām. Jums nekas nav jāatceras.) Starp citu, vērīgākie pamanīs, ka šis attēls ar risinājumu caur loka kosinusu būtībā neatšķiras no attēla vienādojumam cosx = 0,5.

tieši tā! Vispārīgais princips par to un vispārējais! Es speciāli uzzīmēju divus gandrīz identiskus attēlus. Aplis mums parāda leņķi X pēc tā kosinusa. Tas ir tabulas kosinuss, vai ne - aplis nezina. Kāds ir šis leņķis, π / 3, vai kāds loka kosinuss ir mūsu ziņā.

Ar sinusu tā pati dziesma. Piemēram:

Atkal mēs zīmējam apli, atzīmējam sinusu, kas vienāds ar 1/3, zīmējam stūrus. Izrādās šis attēls:

Un atkal attēls ir gandrīz tāds pats kā vienādojumam sinx = 0,5. Atkal sākam no stūra pirmajā ceturtdaļā. Ar ko x ir vienāds, ja tā sinuss ir 1/3? Nekādu problēmu!

Tātad pirmais sakņu iepakojums ir gatavs:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Apskatīsim otro leņķi. Piemērā ar tabulas vērtību 0,5 tas bija vienāds ar:

π - x

Tātad šeit būs tieši tāpat! Tikai x ir atšķirīgs, arcsin 1/3. Nu ko!? Jūs varat droši uzrakstīt otro sakņu iepakojumu:

x 2 = π - loksns 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Šī ir pilnīgi pareiza atbilde. Lai gan tas neizskatās īpaši pazīstami. Bet tas ir saprotams, es ceru.)

Šādi tiek atrisināti trigonometriskie vienādojumi, izmantojot apli. Šis ceļš ir skaidrs un saprotams. Tieši viņš ietaupa trigonometriskajos vienādojumos ar sakņu atlasi noteiktā intervālā, trigonometriskajās nevienādībās - tās parasti gandrīz vienmēr tiek atrisinātas aplī. Īsāk sakot, visos uzdevumos, kas ir nedaudz sarežģītāki par standarta.

Pielietot zināšanas praksē?

Atrisiniet trigonometriskos vienādojumus:

Sākumā tas ir vienkāršāk, tieši šajā nodarbībā.

Tagad ir grūtāk.

Padoms: šeit ir jādomā par apli. Personīgi.)

Un tagad ārēji nepretenciozi ... Tos sauc arī par īpašiem gadījumiem.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Padoms: šeit jums ir jānoskaidro aplī, kur ir divas atbilžu sērijas un kur ir viena ... Un kā pierakstīt vienu, nevis divas atbilžu sērijas. Jā, lai nezaudētu nevienu sakni no bezgalīga skaitļa!)

Nu, pavisam vienkārši):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Padoms: šeit jums jāzina, kas ir arkosīns, arkosīns? Kas ir loka tangenss, loka tangenss? Vienkāršākās definīcijas. Bet jums nav jāatceras nekādas tabulas vērtības!)

Atbildes, protams, ir nesakārtotas):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Vai viss neizdodas? Tas notiek. Izlasiet nodarbību vēlreiz. Tikai pārdomāti(ir tāds novecojis vārds...) Un seko linkiem. Galvenās saites ir par apli. Bez tā trigonometrijā - kā šķērsot ceļu ar aizsietām acīm. Dažreiz tas darbojas.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Trigonometriskie vienādojumi .

Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi .

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.

Trigonometriskie vienādojumi. Vienādojums, kas satur nezināmu zem sauc trigonometriskās funkcijas zīmi trigonometrisks.

Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi.

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes. Trigonometriskā vienādojuma risinājums sastāv no diviem posmiem: vienādojuma transformācija lai tas būtu vienkārši veids (skatīt iepriekš) un lēmumuiegūts vienkāršākais trigonometriskais vienādojums. Ir septiņi trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.

1. Algebriskā metode. Šī metode mums ir labi zināma no algebras

(mainīgā aizstāšana un aizstāšanas metode).

2. Faktorizācija. Apskatīsim šo metodi ar piemēriem.

PIEMĒRS 1. Atrisiniet vienādojumu: grēks x+ cos x = 1 .

Risinājums. Pārvietojiet visus vienādojuma nosacījumus pa kreisi:

Grēks x+ cos x – 1 = 0 ,

Pārveidosim un faktorizēsim izteiksmi

Vienādojuma kreisā puse:

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu: cos 2 x+ grēks x cos x = 1.

RISINĀJUMS cos 2 x+ grēks x cos x– grēks 2 x- cos 2 x = 0 ,

Grēks x cos x– grēks 2 x = 0 ,

Grēks x(cos x– grēks x ) = 0 ,

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu: cos 2 x- cos 8 x+ cos 6 x = 1.

RISINĀJUMS cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2 un 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x- cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x 2 grēks 3 x grēks x = 0 ,

viens). cos 4 x= 0, 2). grēks 3 x= 0, 3). grēks x = 0 ,

3.

Apraide uz vienmērīgs vienādojums. Vienādojums sauca viendabīgs no relatīvi grēks un cos , ja visu to tādas pašas pakāpes termini attiecībā uz grēks un cos tas pats leņķis. Lai atrisinātu homogēnu vienādojumu, jums ir nepieciešams: a) pārvietot visus tā dalībniekus uz kreiso pusi; b) izlikt visus izplatītos faktorus iekavās; iekšā) visus faktorus un iekavas pielīdzināt nullei; G) iekavas, kas iestatītas uz nulli, dod mazākas pakāpes viendabīgs vienādojums, kas jādala ar cos(vai grēks) vecākajā pakāpē; d) atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu attiecībā pretiedegums . PIEMĒRS Atrisiniet vienādojumu: 3 grēks 2 x+ 4 grēks x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Risinājums: 3sin 2 x+ 4 grēks x cos x+ 5 cos 2 x= 2 grēks 2 x+ 2 uz 2 x , Grēks 2 x+ 4 grēks x cos x+ 3 uz 2 x = 0 , iedegums 2 x+ 4 iedegums x + 3 = 0 , no šejienes y 2 + 4y +3 = 0 , Šī vienādojuma saknes ir:y 1 = - 1, y 2 = - 3, tātad 1) iedegums x= –1, 2) iedegums x = –3,

4. Pāreja uz pusstūri. Apskatīsim šo metodi ar piemēru:

PIEMĒRS Atrisiniet vienādojumu: 3 grēks x– 5 cos x = 7.

Risinājums: 6 sin ( x/ 2) cos( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 grēks ( x/ 2) cos( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ 2) – 3 iedegums ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Palīgleņķa ieviešana. Apsveriet formas vienādojumu:

a grēks x + b cos x = c ,

Kur a, b, c– koeficienti;x- nezināms.

Tagad vienādojuma koeficientiem ir sinusa un kosinusa īpašības, proti: katra modulis (absolūtā vērtība).

Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi ir vienādojumi

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

Vienādojums cos(x) = a

Paskaidrojums un pamatojums

1. Vienādojuma saknes cosx = a. Kad | a | > 1 vienādojumam nav sakņu, jo | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 vai pie a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Ļaujiet | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Intervālā funkcija y = cos x samazinās no 1 līdz -1. Taču dilstošā funkcija katru no savām vērtībām ņem tikai vienā definīcijas apgabala punktā, tāpēc vienādojumam cos x \u003d a šajā intervālā ir tikai viena sakne, kas pēc loka kosinusa definīcijas ir: x 1 \u003d arccos a (un šai saknei cos x \u003d a).

Kosinuss ir pāra funkcija, tāpēc uz intervāla [-n; 0] vienādojums cos x = un tam ir tikai viena sakne - skaitlis, kas ir pretējs x 1, tas ir

x 2 = -arccos a.

Tādējādi uz intervāla [-n; n] (garums 2n) vienādojums cos x = a | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funkcija y = cos x ir periodiska ar periodu 2n, tāpēc visas pārējās saknes atšķiras no tām, kuras atrod ar 2np (n € Z). Iegūstam šādu formulu vienādojuma cos x = un kad saknēm

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. Īpaši vienādojuma cosx = a risināšanas gadījumi.

Ir lietderīgi atcerēties īpašo apzīmējumu vienādojuma cos x = a kad saknēm

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, ko var viegli iegūt, kā ceļvedi izmantojot vienības apli.

Tā kā kosinuss ir vienāds ar vienības apļa atbilstošā punkta abscisu, mēs iegūstam, ka cos x = 0 tad un tikai tad, ja atbilstošais punkts uz vienības apļa ir punkts A vai punkts B.

Līdzīgi, cos x = 1 tad un tikai tad, ja vienības apļa atbilstošais punkts ir punkts C, tāpēc

x = 2πp, k € Z.

Arī cos x \u003d -1 tad un tikai tad, ja vienības apļa atbilstošais punkts ir punkts D, tādējādi x \u003d n + 2n,

Vienādojums sin(x) = a

Paskaidrojums un pamatojums

1. Saknes vienādojumam sinx = a. Kad | a | > 1 vienādojumam nav sakņu, jo | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 vai pie a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Rokasgrāmatas un simulatori interneta veikalā "Integral" 10. klasei no 1C
Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvi uzdevumi veidošanai telpā
Programmatūras vide "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ko mēs pētīsim:
1. Kas ir trigonometriskie vienādojumi?

3. Divas galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
4. Homogēni trigonometriskie vienādojumi.
5. Piemēri.

Kas ir trigonometriskie vienādojumi?

Puiši, mēs jau esam pētījuši arcsīnu, arkosīnu, arktangensu un arkotangensu. Tagad aplūkosim trigonometriskos vienādojumus kopumā.

Trigonometriskie vienādojumi - vienādojumi, kuros mainīgais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.

Mēs atkārtojam vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanas formu:

1) Ja |а|≤ 1, tad vienādojumam cos(x) = a ir risinājums:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ja |а|≤ 1, tad vienādojumam sin(x) = a ir risinājums:

3) Ja |a| > 1, tad vienādojumam sin(x) = a un cos(x) = a nav atrisinājumu 4) Vienādojumam tg(x)=a ir risinājums: x=arctg(a)+ πk

5) Vienādojumam ctg(x)=a ir risinājums: x=arcctg(a)+ πk

Visām formulām k ir vesels skaitlis

Vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem ir šāda forma: Т(kx+m)=a, T- jebkura trigonometriska funkcija.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumus: a) sin(3x)= √3/2

Lēmums:

A) Apzīmēsim 3x=t, tad pārrakstīsim mūsu vienādojumu formā:

Šī vienādojuma risinājums būs: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

No vērtību tabulas mēs iegūstam: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Atgriezīsimies pie mainīgā: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tad x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atbilde: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n ir vesels skaitlis. (-1)^n — mīnus viens līdz pakāpei n.

Vairāk trigonometrisko vienādojumu piemēru.

Atrisiniet vienādojumus: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lēmums:

A) Šoreiz mēs tūlīt pāriesim tieši uz vienādojuma sakņu aprēķināšanu:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tad x/5= πk => x=5πk

Atbilde: x=5πk, kur k ir vesels skaitlis.

B) Rakstām formā: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Mēs zinām, ka: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atbilde: x=2π/9 + πk/3, kur k ir vesels skaitlis.

Atrisiniet vienādojumus: cos(4x)= √2/2. Un atrodiet visas saknes segmentā.

Lēmums:

Atrisināsim mūsu vienādojumu vispārīgā formā: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Tagad redzēsim, kādas saknes attiecas uz mūsu segmentu. Ja k Ja k=0, x= π/16, mēs atrodamies dotajā segmentā .
Ja k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, viņi trāpa vēlreiz.
Ja k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet šeit mēs netrāpījām, kas nozīmē, ka netrāpīsim arī lielajam k.

Atbilde: x= π/16, x= 9π/16

Divas galvenās risināšanas metodes.

Mēs esam apsvēruši vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus, taču ir arī sarežģītāki. To risināšanai tiek izmantota jauna mainīgā ieviešanas metode un faktorizēšanas metode. Apskatīsim piemērus.

Atrisināsim vienādojumu:

Lēmums:
Lai atrisinātu mūsu vienādojumu, mēs izmantojam jauna mainīgā ievadīšanas metodi, ko apzīmē: t=tg(x).

Aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam: t 2 + 2t -1 = 0

Atrodi kvadrātvienādojuma saknes: t=-1 un t=1/3

Tad tg(x)=-1 un tg(x)=1/3, mēs ieguvām vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu, atradīsim tā saknes.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atbilde: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vienādojuma risināšanas piemērs

Atrisiniet vienādojumus: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Lēmums:

Izmantosim identitāti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsu vienādojums kļūst: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Ieviesīsim aizstāšanu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsu kvadrātvienādojuma risinājums ir saknes: t=2 un t=-1/2

Tad cos(x)=2 un cos(x)=-1/2.

Jo kosinuss nevar pieņemt vērtības, kas lielākas par vienu, tad cos(x)=2 nav sakņu.

Ja cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atbilde: x= ±2π/3 + 2πk

Homogēni trigonometriskie vienādojumi.

Definīcija. Vienādojumu formā a sin(x)+b cos(x) sauc par homogēniem pirmās pakāpes trigonometriskajiem vienādojumiem.

Formu vienādojumi

otrās pakāpes homogēnie trigonometriskie vienādojumi.

Lai atrisinātu homogēnu pirmās pakāpes trigonometrisko vienādojumu, mēs to sadalām ar cos(x): Nav iespējams dalīt ar kosinusu, ja tas ir vienāds ar nulli, pārliecināsimies, ka tas tā nav:
Lai cos(x)=0, tad asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinuss un kosinuss nav vienādi ar nulli vienlaikus, sanāca pretruna, tāpēc varam droši dalīt par nulli.

Atrisiniet vienādojumu:
Piemērs: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Lēmums:

Izņemiet kopējo koeficientu: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tad mums jāatrisina divi vienādojumi:

cos(x)=0 un cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, ja x= π/2 + πk;

Apsveriet vienādojumu cos(x)+sin(x)=0 Sadaliet mūsu vienādojumu ar cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atbilde: x= π/2 + πk un x= -π/4+πk

Kā atrisināt homogēnus otrās pakāpes trigonometriskos vienādojumus?
Puiši, vienmēr ievērojiet šos noteikumus!

1. Skatiet, ar ko ir vienāds koeficients a, ja a \u003d 0, tad mūsu vienādojums būs šāds: cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), kura risinājuma piemērs ir iepriekšējā. slidkalniņš

2. Ja a≠0, tad abas vienādojuma daļas jādala ar kosinusu kvadrātā, iegūstam:

Veicam mainīgā t=tg(x) maiņu, iegūstam vienādojumu:

Atrisiniet piemēru #:3

Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums:

Sadaliet abas vienādojuma puses ar kosinusa kvadrātu:

Mēs veicam mainīgā t=tg(x) izmaiņas: t 2 + 2 t - 3 = 0

Atrodi kvadrātvienādojuma saknes: t=-3 un t=1

Tad: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atbilde: x=-arctg(3) + πk un x= π/4+ πk

Atrisiniet piemēru #:4

Atrisiniet vienādojumu:

Lēmums:
Pārveidosim savu izteiksmi:

Mēs varam atrisināt šādus vienādojumus: x= - π/4 + 2πk un x=5π/4 + 2πk

Atbilde: x= - π/4 + 2πk un x=5π/4 + 2πk

Atrisiniet piemēru #:5

Atrisiniet vienādojumu:

Lēmums:
Pārveidosim savu izteiksmi:

Mēs ieviešam aizvietotāju tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsu kvadrātvienādojuma risinājums būs saknes: t=-2 un t=1/2

Tad mēs iegūstam: tg(2x)=-2 un tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atbilde: x=-arctg(2)/2 + πk/2 un x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam.

1) Atrisiniet vienādojumu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Atrisiniet vienādojumus: sin(3x)= √3/2. Un atrodiet visas saknes segmentā [π/2; π].

3) Atrisiniet vienādojumu: ctg 2 (x) + 2 ctg (x) + 1 =0

4) Atrisiniet vienādojumu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Atrisiniet vienādojumu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Atrisiniet vienādojumu: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)