Ir vairāki veidi iracionalitāte frakcijas saucējā. Tas ir saistīts ar tādas pašas vai dažādas pakāpes algebriskās saknes klātbūtni. Lai atbrīvotos no iracionalitāte, ir nepieciešams veikt noteiktas matemātiskas darbības atkarībā no situācijas.

Instrukcijas

1. Pirms atbrīvoties no iracionalitāte frakcijas saucējā jums vajadzētu noteikt tā veidu un atkarībā no tā turpināt risinājumu. Patiešām, jebkura iracionalitāte izriet no vienkāršas sakņu klātbūtnes, un to dažādās kombinācijas un pakāpes tiek pieņemtas ar dažādiem algoritmiem.

2. Kvadrātsakne no saucēja, formas izteiksme a/?bIevadiet papildu koeficientu, kas vienāds ar?b. Lai daļskaitlis nemainītos, jāreizina gan skaitītājs, gan saucējs: a/?b ? (a ?b)/b. 1. piemērs: 10/?3 ? (10?3)/3.

3. Klātbūtne zem līnijas frakcijas formas m/n un n>m daļskaitļa pakāpes sakne. Šī izteiksme izskatās šādi: a/?(b^m/n).

4. Atbrīvojieties no līdzīgiem iracionalitāte arī ievadot reizinātāju, šoreiz grūtāk: b^(n-m)/n, t.i. no pašas saknes eksponenta ir jāatņem izteiksmes pakāpe zem tās zīmes. Tad saucējā paliks tikai pirmā pakāpe: a/(b^m/n) ? a ?(b^(n-m)/n)/b 2. piemērs: 5/(4^3/5) ? 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4.

5. Kvadrātsakņu summa Reiziniet abas sastāvdaļas frakcijas ar līdzīgu atšķirību. Tad no iracionālas sakņu pievienošanas saucējs tiek pārveidots par izteiksmju/skaitļu starpību zem saknes zīmes: a/(?b + ?c) ? a (?b – ?c)/(b – c). 3. piemērs: 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13–?23)/(13–23) = 9 (?23–?13)/10.

6. Kuba sakņu summa/starpībaIzvēlieties kā papildu koeficientu starpības nepilno kvadrātu, ja saucējs satur summu, un attiecīgi sakņu starpības summas nepilno kvadrātu: a/(?b ± ?c) ? a (?b?? ?(b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b?? ?(b c) + ?c?) ?a (?b?? ?(b c) + ? c?)/(b ± c). 4. piemērs: 7/(?5 +?4) ? 7 (?25-?20 +?16)/9.

7. Ja uzdevumā ir gan kvadrātsakne, gan kubsakne, sadaliet risinājumu divos posmos: pakāpeniski atvasiniet kvadrātsakni no saucēja un pēc tam kubsakni. Tas tiek darīts pēc jums jau zināmām metodēm: pirmajā darbībā jāizvēlas sakņu starpības/summas reizinātājs, otrajā - summas/starpības nepilnīgais kvadrāts.

2. padoms: kā atbrīvoties no iracionalitātes saucējā

Daļēja skaitļa pareizais apzīmējums nesatur iracionalitāte V saucējs. Šāds apzīmējums ir vieglāk saprotams pēc izskata, tāpēc, kad iracionalitāte V saucējs Ir gudri no tā atbrīvoties. Šajā gadījumā iracionalitāte var kļūt par skaitītāju.

Instrukcijas

1. Sākumā apskatīsim primitīvu piemēru - 1/sqrt(2). Kvadrātsakne no 2 ir iracionāls skaitlis collas saucējs.Šajā gadījumā daļskaitļa skaitītājs un saucējs jāreizina ar saucēju. Tas nodrošinās saprātīgu skaitu saucējs. Patiešām, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Reizinot 2 identiskas kvadrātsaknes, tiks iegūts tas, kas atrodas zem visām saknēm: šajā gadījumā rezultāts: 1/sqrt (2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = kvadrāts(2)/2. Šis algoritms ir piemērots arī frakcijām, in saucējs kura sakne tiek reizināta ar saprātīgu skaitli. Skaitītājs un saucējs šajā gadījumā jāreizina ar sakni, kas atrodas iekšā saucējs.Piemērs: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = kvadrāts(3)/(2*3) = kvadrāts( 3)/6.

2. Protams, kaut kas tāds būtu jādara, ja saucējs Tiek atrasta nevis kvadrātsakne, bet, teiksim, kubiksakne vai kāda cita pakāpe. Iesakņoties saucējs jāreizina ar tieši to pašu sakni, un arī skaitītājs tiek reizināts ar to pašu sakni. Tad sakne nonāks skaitītājā.

3. Sarežģītākā gadījumā iekšā saucējs ir iracionāla un saprātīga skaitļa vai 2 iracionālu skaitļu summa vai starpība. Ja summa (starpība) ir 2 kvadrātsaknes vai kvadrātsakne un saprātīgs skaitlis, varat izmantot slaveno formulu (x+y). )(x-y) = (x^2)-(y^2). Tas palīdzēs jums atbrīvoties no iracionalitāte V saucējs. Ja iekšā saucējs starpība, tad jāreizina skaitītājs un saucējs ar to pašu skaitļu summu, ja summa - tad ar starpību. Šī reizinātā summa vai starpība tiks saukta par konjugētu izteiksmei in saucējs.Šīs shēmas rezultāts ir skaidri redzams piemērā: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = kvadrāts(2)-1.

4. Ja iekšā saucējs ir summa (starpība), kurā ir lielākas pakāpes sakne, tad situācija kļūst netriviāla un atbrīvošanās no iracionalitāte V saucējs nav vienmēr pieņemams

3. padoms: kā atbrīvot sevi no iracionalitātes daļskaitļa saucējā

Daļskaitlis sastāv no skaitītāja, kas atrodas rindas augšpusē, un saucēja, ko tā dala, atrodas apakšā. Iracionāls skaitlis ir skaitlis, kuru nevar attēlot formā frakcijas ar veselu skaitli skaitītājā un naturālu skaitli iekšā saucējs. Šādi skaitļi ir, teiksim, kvadrātsakne no 2 vai pi. Tradicionāli, runājot par iracionalitāti iekšā saucējs, sakne ir netieša.

Instrukcijas

1. Novērsiet iracionalitāti, reizinot ar saucēju. Tādā veidā iracionalitāte tiks pārnesta uz skaitītāju. Reizinot skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli, vērtība frakcijas nemainās. Izmantojiet šo opciju, ja katrs saucējs ir sakne.

2. Reiziniet skaitītāju un saucēju ar saucēju nepieciešamo reižu skaitu atkarībā no saknes. Ja sakne ir kvadrātveida, tad vienu reizi.

3. Apsveriet kvadrātsaknes piemēru. Ņemiet daļu (56 y)/√(x+2). Tam ir skaitītājs (56-y) un iracionāls saucējs √(x+2), kas ir kvadrātsakne.

4. Reiziniet skaitītāju un saucēju frakcijas uz saucēju, tas ir, uz √(x+2). Sākotnējais piemērs (56-y)/√(x+2) kļūs par ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Rezultāts būs ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Tagad sakne ir skaitītājā un iekšā saucējs nav nekādas iracionalitātes.

5. Ne vienmēr saucējs frakcijas katrs atrodas zem saknes. Atbrīvojieties no iracionalitātes, izmantojot formulu (x+y)*(x-y)=x²-y².

6. Apsveriet piemēru ar daļskaitli (56-y)/(√(x+2)-√y). Tās neracionālais saucējs satur 2 kvadrātsakņu starpību. Pabeidziet saucēju, lai izveidotu (x+y)*(x-y).

7. Reiziniet saucēju ar sakņu summu. Lai iegūtu vērtību, reiziniet skaitītāju ar to pašu frakcijas nav mainījies. Daļai būs šāda forma ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

8. Izmantojiet iepriekš minētās īpašības (x+y)*(x-y)=x²-y² un atbrīvojiet saucēju no iracionalitātes. Rezultāts būs ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Tagad sakne ir skaitītājā, un saucējs ir atbrīvojies no iracionalitātes.

9. Sarežģītos gadījumos atkārtojiet abas šīs iespējas, izmantojot pēc vajadzības. Ņemiet vērā, ka ne vienmēr ir iespējams atbrīvoties no iracionalitātes saucējs .

Algebriskā daļa ir A/B formas izteiksme, kur burti A un B apzīmē jebkuru skaitļu vai burtu izteiksmi. Bieži vien algebriskajās daļās skaitītājam un saucējam ir masīva forma, taču darbības ar šādām daļām jāveic saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem kā darbības ar parastajām, kur skaitītājs un saucējs ir pozitīvi veseli skaitļi.

Instrukcijas

1. Ja tiek dota sajaukta frakcijas, pārvērš tos neregulārās daļskaitļos (daļskaitlī, kurā skaitītājs ir lielāks par saucēju): reiziniet saucēju ar visu daļu un pievienojiet skaitītāju. Tātad skaitlis 2 1/3 pārvērtīsies par 7/3. Lai to izdarītu, reiziniet 3 ar 2 un pievienojiet vienu.

2. Ja decimāldaļa ir jāpārvērš par nepareizu daļskaitli, domājiet par to, ka skaitli bez komata dala ar vienu ar tik nullēm, cik skaitļu ir aiz komata. Teiksim, iedomājieties, ka skaitlis 2,5 ir 25/10 (ja to saīsina, iegūst 5/2), bet skaitli 3,61 - kā 361/100. Darbība ar nepareizām daļskaitļiem bieži vien ir vienkāršāka nekā ar jauktajām vai decimāldaļām.

3. Ja daļām ir identiski saucēji un tie ir jāpievieno, vienkārši pievienojiet skaitītājus; saucēji paliek nemainīgi.

4. Ja jums ir jāatņem daļskaitļi ar identiskiem saucējiem, atņemiet otrās daļas skaitītāju no pirmās daļdaļas skaitītāja. Arī saucēji nemainās.

5. Ja jums ir jāpievieno daļskaitļi vai jāatņem viena daļa no citas, un tām ir dažādi saucēji, samaziniet daļas līdz kopsaucējam. Lai to izdarītu, atrodiet skaitli, kas būs abu saucēju vismazākais universālais daudzkārtnis (LCM) vai vairāki, ja daļskaitļi ir lielāki par 2. LCM ir skaitlis, kas tiks sadalīts visu doto daļu saucējos. Piemēram, 2 un 5 šis skaitlis ir 10.

6. Pēc vienādības zīmes novelciet horizontālu līniju un saucējā ierakstiet šo skaitli (NOC). Visam terminam pievienojiet papildu faktorus — skaitli, ar kuru jums jāreizina gan skaitītājs, gan saucējs, lai iegūtu LCM. Reiziniet skaitītājus soli pa solim ar papildu koeficientiem, saglabājot saskaitīšanas vai atņemšanas zīmi.

7. Aprēķiniet kopējo summu, ja nepieciešams, samaziniet to vai atlasiet visu daļu. Piemēram, vai jums tas ir jāsaloka? Un?. LCM abām frakcijām ir 12. Tad papildu koeficients pirmajai frakcijai ir 4, 2. daļai - 3. Kopā: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Ja ir dots piemērs reizināšanai, reiziniet skaitītājus kopā (tas būs kopsummas skaitītājs) un saucējus (tas būs kopsummas saucējs). Šajā gadījumā nav vajadzības tos reducēt līdz kopsaucējam.

9. Lai dalītu daļu ar daļu, otrā daļa ir jāapgriež otrādi un jāreizina. Tas ir, a/b: c/d = a/b · d/c.

10. Ja nepieciešams, koeficientu skaitītāju un saucēju. Piemēram, pārvietojiet universālo koeficientu no iekavas vai izvērsiet to saskaņā ar saīsinātām reizināšanas formulām, lai pēc tam vajadzības gadījumā varētu samazināt skaitītāju un saucēju par GCD - minimālo universālo dalītāju.

Piezīme!
Pievienojiet ciparus ar cipariem, viena veida burtus ar tāda paša veida burtiem. Pieņemsim, ka nav iespējams saskaitīt 3a un 4b, kas nozīmē, ka to summa vai starpība paliks skaitītājā - 3a±4b.

Ikdienā biežāk sastopami viltus skaitļi: 1, 2, 3, 4 utt. (5 kg kartupeļu) un daļskaitļi, kas nav veseli skaitļi (5,4 kg sīpolu). Daudzi no tiem ir prezentēti formā decimāldaļskaitļi. Bet attēlojiet decimāldaļu in formā frakcijas diezgan viegli.

Instrukcijas

1. Pieņemsim, ka ir dots skaitlis “0,12”. Ja jūs nesamazinat šo decimāldaļu un neparādīsiet to tādu, kāds tas ir, tas izskatīsies šādi: 12/100 (“divpadsmit simtdaļas”). Lai atbrīvotos no simta saucējā, gan skaitītājs, gan saucējs ir jāsadala ar skaitli, kas tos sadala veselos skaitļos. Šis skaitlis ir 4. Tad, dalot skaitītāju un saucēju, iegūstam skaitli: 3/25.

2. Ja vairāk skatāmies uz ikdienu, tad bieži vien uz preču cenu birkas varam redzēt, ka tās svars ir, piemēram, 0,478 kg vai tā tālāk. Arī šis skaitlis ir viegli iedomājams formā frakcijas:478/1000 = 239/500. Šī daļdaļa ir diezgan neglīta, un, ja tāda varbūtība būtu, tad šo decimāldaļu ļautu vēl samazināt. Un viss vienādi: izvēloties skaitli, kas dala gan skaitītāju, gan saucēju. Šo skaitli sauc par lielāko universālo faktoru. Koeficients tiek nosaukts par “lielāko”, jo daudz ērtāk ir uzreiz dalīt gan skaitītāju, gan saucēju ar 4 (kā pirmajā piemērā), nekā divreiz dalīt ar 2.

Video par tēmu

Decimālzīme frakcija- dažādība frakcijas, kura saucējā ir “apaļš” skaitlis: 10, 100, 1000 utt., Sakiet, frakcija 5/10 decimāldaļas apzīmējums ir 0,5. Pamatojoties uz šo tēzi, frakcija var attēlot kā decimāldaļu frakcijas .

Instrukcijas

1. Iespējams, tas ir jāattēlo kā decimāldaļa frakcija 18/25 Pirmkārt, jums jāpārliecinās, ka saucējā ir redzams kāds no “apaļiem” cipariem: 100, 1000 utt. Lai to izdarītu, saucējs jāreizina ar 4. Bet gan skaitītājs, gan saucējs būs jāreizina ar 4.

2. Skaitītāja un saucēja reizināšana frakcijas 18/25 pa 4, izrādās 72/100. Tas tiek ierakstīts frakcija decimāldaļās: 0,72.

Dalot 2 decimāldaļas, kad pie rokas nav kalkulatora, daudziem rodas zināmas grūtības. Šeit tiešām nav nekā grūta. Decimālzīme frakcijas tiek saukti par tādiem, ja to saucējā ir skaitlis, kas ir 10 reizināts. Kā parasti, šādi skaitļi tiek rakstīti vienā rindā un ar komatu, kas atdala daļējo daļu no veselā. Acīmredzot daļdaļas klātbūtnes dēļ, kas atšķiras arī ar ciparu skaitu aiz komata, daudziem nav skaidrs, kā bez kalkulatora veikt matemātiskas darbības ar šādiem skaitļiem.

Jums būs nepieciešams

• papīra lapa, zīmulis

Instrukcijas

1. Izrādās, lai vienu decimāldaļu dalītu ar citu, ir jāaplūko abi skaitļi un jānosaka, kurā no tiem ir vairāk ciparu aiz komata. Mēs abus skaitļus reizinām ar skaitli, kas ir 10 reizinājums, t.i. 10, 1000 vai 100 000, kurā nulles ir vienāds ar lielāko ciparu skaitu pēc viena no mūsu 2 sākotnējiem skaitļiem aiz komata. Tagad abi ir decimālzīmes frakcijas pārvērtās parastos veselos skaitļos. Paņemiet papīra lapu ar zīmuli un atdaliet divus iegūtos skaitļus ar "stūri". Mēs iegūstam rezultātu.

2. Pieņemsim, ka mums ir jādala skaitlis 7,456 ar 0,43. Pirmajam skaitlim ir vairāk zīmju aiz komata (3 zīmes aiz komata), tāpēc abus skaitļus reizinām nevis ar 1000 un iegūstam divus primitīvus veselus skaitļus: 7456 un 430. Tagad 7456 dalām ar 430 ar “stūri” un iegūstam, ja dala 7.456. līdz 0.43 iznāks aptuveni 17.3.

3. Ir vēl viena sadalīšanas metode. Decimālzīmju pierakstīšana frakcijas primitīvu daļu veidā ar skaitītāju un saucēju, mūsu gadījumā tie ir 7456/1000 un 43/100. Vēlāk pierakstām izteiksmi 2 primitīvo daļskaitļu dalīšanai: 7456*100/1000*43, pēc tam samazinām desmitniekus, iegūstam: 7456/10*43 = 7456/430 Gala izvadā atkal iegūstam dalījumu 2 primitīvi skaitļi 7456 un 430, kurus var izgatavot ar “stūri”.

Video par tēmu

Noderīgs padoms
Tādējādi veids, kā dalīt decimāldaļskaitļus, ir samazināt tos līdz veseliem skaitļiem, reizinot katru no tiem ar vienu un to pašu skaitli. Darbību veikšana ar veseliem skaitļiem, kā parasti, nevienam nesagādā grūtības.

Video par tēmu

Šajā tēmā mēs aplūkosim visas trīs iepriekš uzskaitītās ierobežojumu grupas ar iracionalitāti. Sāksim ar ierobežojumiem, kas satur nenoteiktību formā $\frac(0)(0)$.

Nenoteiktības atklāšana $\frac(0)(0)$.

Šāda veida standarta piemēru risinājums parasti sastāv no diviem posmiem:

• Mēs atbrīvojamies no iracionalitātes, kas izraisīja nenoteiktību, reizinot ar tā saukto “konjugētā” izteiksmi;
• Ja nepieciešams, faktorējiet izteiksmi skaitītājā vai saucējā (vai abos);
• Mēs samazinām faktorus, kas rada nenoteiktību, un aprēķinām vēlamo limita vērtību.

Iepriekš izmantotais termins "konjugētā izteiksme" tiks detalizēti izskaidrots piemēros. Pagaidām nav iemesla pie tā sīkāk pakavēties. Kopumā jūs varat iet citu ceļu, neizmantojot konjugāta izteiksmi. Dažreiz labi izvēlēts aizstājējs var novērst neracionalitāti. Standarta testos šādi piemēri ir reti, tāpēc aizvietošanas izmantošanai mēs izskatīsim tikai vienu piemēru Nr. 6 (skat. šīs tēmas otro daļu).

Mums būs vajadzīgas vairākas formulas, kuras es pierakstīšu zemāk:

\begin(vienādojums) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(vienādojums) \begin(vienādojums) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2) +ab+b^2) \beigas(vienādojums) \begin(vienādojums) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \beigas(vienādojums) \begin (vienādojums) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\beigas(vienādojums)

Turklāt mēs pieņemam, ka lasītājs zina kvadrātvienādojumu risināšanas formulas. Ja $x_1$ un $x_2$ ir kvadrātiskā trinoma $ax^2+bx+c$ saknes, tad to var faktorizēt, izmantojot šādu formulu:

\begin(vienādojums) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(vienādojums)

Formulas (1)-(5) ir pilnīgi pietiekamas, lai atrisinātu standarta uzdevumus, pie kurām mēs tagad pāriesim.

Piemērs Nr.1

Atrodiet $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Kopš $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ un $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, tad dotajā limitā mums ir formas $\frac(0)(0)$ nenoteiktība. Atšķirība $\sqrt(7-x)-2$ neļauj mums atklāt šo nenoteiktību. Lai atbrīvotos no šādām iracionalitātēm, tiek izmantota reizināšana ar tā saukto “konjugēto izteiksmi”. Tagad mēs apskatīsim, kā darbojas šāda reizināšana. Reiziniet $\sqrt(7-x)-2$ ar $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Lai atvērtu iekavas, izmantojiet , aizstājot $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ minētās formulas labajā pusē:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Kā redzat, ja reizinat skaitītāju ar $\sqrt(7-x)+2$, tad sakne (t.i., iracionalitāte) skaitītājā pazudīs. Šī izteiksme $\sqrt(7-x)+2$ būs konjugāts uz izteiksmi $\sqrt(7-x)-2$. Tomēr mēs nevaram vienkārši reizināt skaitītāju ar $\sqrt(7-x)+2$, jo tas mainīs daļu $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ zem ierobežojuma. . Vienlaicīgi jāreizina gan skaitītājs, gan saucējs:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Tagad atcerieties, ka $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ un atveriet iekavas. Un pēc iekavu atvēršanas un nelielas transformācijas $3-x=-(x-3)$ mēs samazinām daļu par $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\līdz 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Nenoteiktība $\frac(0)(0)$ ir pazudusi. Tagad jūs varat viegli iegūt atbildi uz šo piemēru:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Es atzīmēju, ka konjugētā izteiksme var mainīt savu struktūru atkarībā no tā, kāda veida iracionalitāte tai jānoņem. Piemēros Nr. 4 un Nr. 5 (skatiet šīs tēmas otro daļu) tiks izmantots cita veida konjugāta izteiksme.

Atbilde: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Piemērs Nr.2

Atrodiet $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Kopš $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ un $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, tad mēs nodarbojas ar formas $\frac(0)(0)$ nenoteiktību. Atbrīvosimies no iracionalitātes šīs frakcijas saucējā. Lai to izdarītu, mēs pievienojam gan skaitļa $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ skaitītāju un saucēju. izteiksme $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugēta ar saucēju:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Atkal, tāpat kā piemērā Nr. 1, jums ir jāizmanto iekavas, lai izvērstu. Minētās formulas labajā pusē aizstājot $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$, iegūstam šādu saucēja izteiksmi:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ pa labi)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x) ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Atgriezīsimies pie mūsu robežas:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Piemērā Nr. 1 gandrīz uzreiz pēc reizināšanas ar konjugāta izteiksmi daļa tika samazināta. Šeit pirms samazināšanas jums būs jāfaktorizē izteiksmes $3x^2-5x-2$ un $x^2-4$ un tikai tad jāturpina samazināt. Lai faktorētu izteiksmi $3x^2-5x-2$, jāizmanto . Vispirms atrisināsim kvadrātvienādojumu $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(līdzināts) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(līdzināts) $$

Aizstājot $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ ar , mēs iegūsim:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Tagad ir pienācis laiks faktorizēt izteiksmi $x^2-4$. Izmantosim , aizstājot $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Izmantosim iegūtos rezultātus. Tā kā $x^2-4=(x-2)(x+2)$ un $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, tad:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Samazinot ar iekavu $x-2$, mēs iegūstam:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Visi! Neskaidrība ir pazudusi. Vēl viens solis, un mēs nonākam pie atbildes:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Atbilde: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

Nākamajā piemērā apsveriet gadījumu, kad iracionalitāte būs gan skaitītājā, gan daļskaitļa saucējā.

Piemērs Nr.3

Atrodiet $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Kopš $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ un $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, tad mums ir formas $ nenoteiktība \frac (0)(0)$. Tā kā šajā gadījumā saknes ir gan saucējā, gan skaitītājā, lai atbrīvotos no nenoteiktības, jums būs jāreizina ar divām iekavām uzreiz. Pirmkārt, izteiksmei $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ konjugējieties ar skaitītāju. Un, otrkārt, izteiksmei $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjugējiet ar saucēju.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(līdzināts) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(līdzināts) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Izteiksmei $x^2-8x+15$ mēs iegūstam:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(līdzināts) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(līdzināts)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Iegūto paplašinājumu $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ un $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ aizstāšana ierobežojumā tiks izskatīts:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ kvadrāts(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\līdz 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Atbilde: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Nākamajā (otrajā) daļā apskatīsim vēl pāris piemērus, kuros konjugētā izteiksme būs citādākā formā nekā iepriekšējās problēmās. Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka konjugētā izteiksmes izmantošanas mērķis ir atbrīvoties no iracionalitātes, kas rada nenoteiktību.

Pētot iracionālas izteiksmes transformācijas, ļoti būtisks jautājums ir, kā atbrīvoties no iracionalitātes daļskaitļa saucējā. Šī raksta mērķis ir izskaidrot šo darbību, izmantojot konkrētus problēmu piemērus. Pirmajā rindkopā aplūkosim šīs transformācijas pamatnoteikumus, bet otrajā - tipiskus piemērus ar detalizētiem paskaidrojumiem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Atbrīvošanās no iracionalitātes jēdziens saucējā

Sāksim ar skaidrojumu, kāda ir šādas transformācijas nozīme. Lai to izdarītu, atcerieties šādus noteikumus.

Par iracionalitāti daļskaitļa saucējā var runāt, ja tur ir radikālis, ko sauc arī par saknes zīmi. Skaitļi, kas rakstīti, izmantojot šo zīmi, bieži ir neracionāli. Piemēri varētu būt 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. Pie frakcijām ar iracionāliem saucējiem pieder arī tās, kurām ir dažādas pakāpes sakņu pazīmes (kvadrātveida, kubiskā u.c.), piemēram, 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y. Jums vajadzētu atbrīvoties no iracionalitātes, lai vienkāršotu izteiksmi un atvieglotu turpmākos aprēķinus. Formulēsim pamata definīciju:

1. definīcija

Atbrīvojieties no iracionalitātes daļskaitļa saucējā- nozīmē to pārveidot, aizstājot ar identiski vienādu daļskaitli, kuras saucējs nesatur saknes vai pakāpes.

Šādu darbību var saukt par atbrīvošanos vai atbrīvošanos no iracionalitātes, taču jēga paliek nemainīga. Tātad, pāreja no 1 2 uz 2 2, t.i. uz daļskaitli ar vienādu vērtību bez saknes zīmes saucējā un būs mums vajadzīgā darbība. Sniegsim vēl vienu piemēru: mums ir daļskaitlis x x - y. Veiksim nepieciešamās transformācijas un iegūsim identiski vienādu daļskaitli x · x + y x - y , atbrīvojoties no iracionalitātes saucējā.

Pēc definīcijas formulēšanas mēs varam pāriet tieši uz darbību secības izpēti, kas jāveic šādai transformācijai.

Pamatdarbības, lai atbrīvotos no iracionalitātes daļskaitļa saucējā

Lai atbrīvotos no saknēm, jums ir jāveic divas secīgas daļskaitļa transformācijas: reiziniet abas daļas ar skaitli, kas nav nulle, un pēc tam pārveidojiet saucējā iegūto izteiksmi. Apskatīsim galvenos gadījumus.

Vienkāršākajā gadījumā jūs varat iztikt, pārveidojot saucēju. Piemēram, mēs varam ņemt daļu, kuras saucējs ir vienāds ar 9 sakni. Izrēķinājuši 9, saucējā ierakstām 3 un tādējādi atbrīvojamies no iracionalitātes.

Tomēr daudz biežāk vispirms ir jāreizina skaitītājs un saucējs ar skaitli, kas pēc tam ļaus saucēju novest vēlamajā formā (bez saknēm). Tātad, ja mēs reizinām 1 x + 1 ar x + 1, mēs iegūstam daļu x + 1 x + 1 x + 1 un varam aizstāt izteiksmi tās saucējā ar x + 1. Tātad mēs pārveidojām 1 x + 1 par x + 1 x + 1, atbrīvojoties no iracionalitātes.

Dažreiz pārvērtības, kas jums jāveic, ir diezgan specifiskas. Apskatīsim dažus ilustratīvus piemērus.

Kā pārvērst izteiksmi par daļskaitļa saucēju

Kā jau teicām, vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir pārveidot saucēju.

1. piemērs

Stāvoklis: atbrīvo daļu 1 2 · 18 + 50 no saucējā iracionalitātes.

Risinājums

Vispirms atvērsim iekavas un iegūstam izteiksmi 1 2 18 + 2 50. Izmantojot sakņu pamatīpašības, mēs pārejam pie izteiksmes 1 2 18 + 2 50. Mēs aprēķinām abu izteiksmju vērtības zem saknēm un iegūstam 1 36 + 100. Šeit jau var izvilkt saknes. Rezultātā mēs saņēmām daļu 1 6 + 10, kas vienāda ar 1 16. Pārveidošanu var pabeigt šeit.

Pierakstīsim visa risinājuma gaitu bez komentāriem:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Atbilde: 1 2 18 + 50 = 1 16.

2. piemērs

Stāvoklis:ņemot vērā daļskaitli 7 - x (x + 1) 2. Atbrīvojieties no iracionalitātes saucējā.

Risinājums

Iepriekš rakstā, kas bija veltīts iracionālu izteiksmju transformācijām, izmantojot sakņu īpašības, mēs minējām, ka jebkuram A un pat n izteiksmi A n n varam aizstāt ar | A | visā mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazonā. Tāpēc mūsu gadījumā mēs to varam rakstīt šādi: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. Tādā veidā mēs atbrīvojāmies no iracionalitātes saucējā.

Atbilde: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .

Atbrīvošanās no iracionalitātes, reizinot ar sakni

Ja daļskaitļa saucējā ir A formas izteiksme un pašai izteiksmei A nav sakņu pazīmju, tad mēs varam atbrīvoties no iracionalitātes, vienkārši reizinot abas sākotnējās daļskaitļa puses ar A. Šīs darbības iespējamību nosaka fakts, ka A nepārvērsīsies uz 0 pieņemamo vērtību diapazonā. Pēc reizināšanas saucējā būs A · A formas izteiksme, kuru ir viegli atbrīvoties no saknēm: A · A = A 2 = A. Apskatīsim, kā pareizi pielietot šo metodi praksē.

3. piemērs

Stāvoklis: dotās daļas x 3 un - 1 x 2 + y - 4. Atbrīvojieties no iracionalitātes to saucējos.

Risinājums

Reizināsim pirmo daļu ar otro sakni no 3. Mēs iegūstam sekojošo:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

Otrajā gadījumā mums jāreizina ar x 2 + y - 4 un jāpārveido iegūtā izteiksme saucējā:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Atbilde: x 3 = x · 3 3 un - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Ja sākotnējās daļskaitļa saucējs satur izteiksmes formā A n m vai A m n (atbilstoši dabiskajam m un n), mums ir jāizvēlas tāds faktors, lai iegūto izteiksmi varētu pārvērst par A n n k vai A n k n (atbilstoši dabiskajam k) . Pēc tam būs viegli atbrīvoties no iracionalitātes. Apskatīsim šo piemēru.

4. piemērs

Stāvoklis: dotās daļas 7 6 3 5 un x x 2 + 1 4 15. Atbrīvojieties no iracionalitātes saucējos.

Risinājums

Mums ir jāņem naturāls skaitlis, ko var dalīt ar pieci, un tam jābūt lielākam par trīs. Lai eksponents 6 kļūtu vienāds ar 5, mums jāreizina ar 6 2 5. Tāpēc mums būs jāreizina abas sākotnējās daļas daļas ar 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

Otrajā gadījumā mums ir nepieciešams skaitlis, kas ir lielāks par 15, ko var dalīt ar 4 bez atlikuma. Mēs ņemam 16. Lai iegūtu šādu eksponentu saucējā, mums kā koeficients jāņem x 2 + 1 4. Precizēsim, ka šīs izteiksmes vērtība jebkurā gadījumā nebūs 0. Mēs aprēķinām:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Atbilde: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 un x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Atbrīvošanās no iracionalitātes, reizinot ar konjugāta izteiksmi

Sekojošā metode ir piemērota tiem gadījumiem, kad sākotnējās daļas saucējs satur izteiksmes a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. Šādos gadījumos mums kā faktors ir jāņem konjugāta izteiksme. Paskaidrosim šī jēdziena nozīmi.

Pirmajai izteiksmei a + b konjugāts būs a - b, otrajai a - b - a + b. A + b – a - b, a - b – a + b, a + b – a - b, un a - b – a + b. Citiem vārdiem sakot, konjugēta izteiksme ir izteiksme, kurā pirms otrā termina ir pretēja zīme.

Apskatīsim, kas tieši ir šī metode. Pieņemsim, ka mums ir reizinājums formā a - b · a + b. To var aizstāt ar kvadrātu starpību a - b · a + b = a 2 - b 2, pēc kura mēs pārejam uz izteiksmi a - b, kurā nav radikāļu. Tādējādi mēs atbrīvojāmies no iracionalitātes daļskaitļa saucējā, reizinot ar konjugēto izteiksmi. Ņemsim pāris ilustratīvus piemērus.

5. piemērs

Stāvoklis: atbrīvojieties no iracionalitātes izteicienos 3 7 - 3 un x - 5 - 2.

Risinājums

Pirmajā gadījumā mēs ņemam konjugāta izteiksmi, kas vienāda ar 7 + 3. Tagad mēs ar to reizinām abas sākotnējās daļas daļas:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

Otrajā gadījumā mums ir nepieciešama izteiksme - 5 + 2, kas ir izteiksmes - 5 - 2 konjugāts. Reiziniet ar to skaitītāju un saucēju un iegūstiet:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

Ir iespējams arī veikt pārveidošanu pirms reizināšanas: ja vispirms noņemsim mīnusu no saucēja, būs ērtāk aprēķināt:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2–5 3

Atbilde: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 un x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

Ir svarīgi pievērst uzmanību tam, ka izteiksme, kas iegūta reizināšanas rezultātā, nepārvēršas par 0 nevienam mainīgajam šīs izteiksmes pieņemamo vērtību diapazonā.

6. piemērs

Stāvoklis:ņemot vērā daļskaitli x x + 4 . Pārveidojiet to tā, lai saucējā nebūtu neracionālu izteiksmju.

Risinājums

Sāksim ar mainīgā x pieņemamo vērtību diapazona atrašanu. To nosaka nosacījumi x ≥ 0 un x + 4 ≠ 0. No tiem mēs varam secināt, ka vēlamais apgabals ir kopa x ≥ 0.

Saucēja konjugāts ir x - 4 . Kad mēs varam ar to reizināt? Tikai tad, ja x - 4 ≠ 0. Pieņemamo vērtību diapazonā tas būs līdzvērtīgs nosacījumam x≠16. Rezultātā mēs iegūstam sekojošo:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Ja x ir vienāds ar 16, tad mēs iegūstam:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Tāpēc x x + 4 = x · x - 4 x - 16 visām x vērtībām, kas ietilpst pieņemamo vērtību diapazonā, izņemot 16. Pie x = 16 mēs iegūstam x x + 4 = 2.

Atbilde: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16 ) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Daļskaitļu pārvēršana ar iracionalitāti saucējā, izmantojot kubu formulas summas un starpības

Iepriekšējā rindkopā mēs reizinājām ar konjugētajām izteiksmēm, lai pēc tam izmantotu kvadrātu atšķirības formulu. Dažreiz, lai atbrīvotos no iracionalitātes saucējā, ir lietderīgi izmantot citas saīsinātas reizināšanas formulas, piemēram, kubu atšķirība a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2). Šo formulu ir ērti lietot, ja sākotnējās daļas saucējā ir izteiksmes ar formas A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 trešās pakāpes saknēm. utt. Lai to izmantotu, mums jāreizina daļas saucējs ar summas A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 vai starpības A 3 - B 3 daļējo kvadrātu. Tādā pašā veidā var piemērot arī summas formulu a 3 + b 3 = (a) (a 2 - a b + b 2).

7. piemērs

Stāvoklis: pārveidojiet daļskaitļus 1 7 3 - 2 3 un 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3, lai atbrīvotos no iracionalitātes saucējā.

Risinājums

Pirmajai daļai mums ir jāizmanto metode, kā abas daļas reizināt ar summas 7 3 un 2 3 daļējo kvadrātu, jo pēc tam mēs varam konvertēt, izmantojot kubu starpības formulu:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

Otrajā daļā saucēju mēs attēlojam kā 2 2 - 2 x 3 + x 3 2. Šī izteiksme parāda nepilnīgo starpības 2 un x 3 kvadrātu, kas nozīmē, ka mēs varam reizināt abas daļskaitļa daļas ar summu 2 + x 3 un izmantot kubu summas formulu. Lai to izdarītu, ir jāizpilda nosacījums 2 + x 3 ≠ 0, kas ir ekvivalents x 3 ≠ - 2 un x ≠ - 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Aizstāsim daļskaitli ar 8 un atradīsim vērtību:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Apkoposim. Visiem x, kas iekļauti sākotnējās frakcijas vērtību diapazonā (kopa R), izņemot - 8, mēs iegūstam 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x. Ja x = 8, tad 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

Atbilde: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

Konsekventa dažādu konversijas metožu pielietošana

Bieži vien praksē ir sarežģītāki piemēri, kad mēs nevaram atbrīvot sevi no iracionalitātes saucējā, izmantojot tikai vienu metodi. Viņiem konsekventi jāveic vairākas transformācijas vai jāizvēlas nestandarta risinājumi. Ņemsim vienu šādu problēmu.

Piemērs N

Stāvoklis: konvertēt 5 7 4 - 2 4, lai atbrīvotos no sakņu pazīmēm saucējā.

Risinājums

Reizināsim abas sākotnējās daļas abas puses ar konjugāta izteiksmi 7 4 + 2 4 ar vērtību, kas nav nulle. Mēs iegūstam sekojošo:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Tagad atkal izmantosim to pašu metodi:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Atbilde: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Pārveidojot daļskaitļu algebrisko izteiksmi, kuras saucējs satur iracionālu izteiksmi, parasti mēģina attēlot daļskaitli tā, lai tās saucējs būtu racionāls. Ja A,B,C,D,... ir dažas algebriskas izteiksmes, tad var norādīt noteikumus, ar kuru palīdzību var atbrīvoties no radikālām zīmēm formas izteiksmju saucējā

Visos šajos gadījumos atbrīvošanās no iracionalitātes tiek panākta, reizinot daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar koeficientu, kas izvēlēts tā, lai tā reizinājums ar daļas saucēju būtu racionāls.

1) Atbrīvoties no iracionalitātes formas daļas saucējā. In reiziniet skaitītāju un saucēju ar

1. piemērs.

2) Formas daļskaitļu gadījumā . Reiziniet skaitītāju un saucēju ar neracionālu koeficientu

attiecīgi, t.i., konjugētajai iracionālajai izteiksmei.

Pēdējās darbības nozīme ir tāda, ka saucējā summas un starpības reizinājums tiek pārveidots par kvadrātu starpību, kas jau būs racionāla izteiksme.

2. piemērs. Atbrīvojieties no iracionalitātes izteiksmes saucējā:

Risinājums, a) Reiziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar izteiksmi . Mēs saņemam (ar nosacījumu)

3) Tādu izteicienu gadījumā kā

saucēju uzskata par summu (starpību) un reizina ar starpības (summas) daļējo kvadrātu, lai iegūtu kubu ((20.11), (20.12)) summu (starpību). Skaitītājs arī tiek reizināts ar to pašu koeficientu.

3. piemērs. Atbrīvojieties no iracionalitātes izteicienu saucējā:

Risinājums, a) Uzskatot šīs daļas saucēju par skaitļu un 1 summu, reiziniet skaitītāju un saucēju ar šo skaitļu starpības daļējo kvadrātu:

vai visbeidzot:

Dažos gadījumos ir nepieciešams veikt pretēja rakstura transformāciju: atbrīvot daļu no iracionalitātes skaitītājā. Tas tiek veikts tieši tādā pašā veidā.

4. piemērs. Atbrīvojieties no iracionalitātes daļskaitļa skaitītājā.