Eukleideen algoritmi - suurimman yhteisen jakajan löytäminen. Matematiikka Pidän Eukleideen algoritmista suurimman yhteisen jakajan laskemiseen

Ensimmäisen painoksensa In the Realm of Genuity (1908) esipuheessa E. I. Ignatiev kirjoittaa: Tulokset ovat luotettavia vain, kun johdatus matemaattisen tiedon kenttään tehdään helposti ja miellyttävästi, esineille ja esimerkeille arjen ja arjen tilanteista, jotka on valittu asianmukaisella nokkeluudella ja huvituksella.

Vuoden 1911 "The Role of Memory in Mathematics" -julkaisun esipuheessa E.I. Ignatiev kirjoittaa "... matematiikassa ei pitäisi muistaa kaavoja, vaan ajatteluprosessi."

Neliöjuuren poimimiseksi on kaksinumeroisten lukujen neliötaulukot, voit jakaa luvun alkutekijöiksi ja poimia neliöjuuren tuotteesta. Neliötaulukko ei riitä, juuren erottaminen factoring-menetelmällä on aikaa vievä tehtävä, joka ei myöskään aina johda haluttuun tulokseen. Yritä erottaa luvun 209764 neliöjuuri? Hajottaminen alkutekijöihin antaa tulon 2 * 2 * 52441. Yrityksellä ja erehdyksellä, valinta - tämä voidaan tietysti tehdä, jos olet varma, että tämä on kokonaisluku. Haluan ehdottaa, että voit ottaa neliöjuuren joka tapauksessa.

Kerran instituutissa (Perm State Pedagogical Institute) tutustuimme tähän menetelmään, josta haluan nyt puhua. En koskaan ajatellut, onko tällä menetelmällä todisteita, joten nyt minun piti päätellä joitain todisteita itse.

Tämän menetelmän perustana on luvun = koostumus.

=&, eli &2=596334.

1. Jaa numero (5963364) pareiksi oikealta vasemmalle (5`96`33`64)

2. Poimimme vasemmalla olevan ensimmäisen ryhmän neliöjuuren ( - numero 2). Joten saamme luvun & ensimmäisen numeron.

3. Etsi ensimmäisen numeron neliö (2 2 \u003d 4).

4. Etsi ero ensimmäisen ryhmän ja ensimmäisen numeron neliön välillä (5-4=1).

5. Puretaan seuraavat kaksi numeroa (saimme numeron 196).

6. Kaksinkertaistamme ensimmäisen löytämämme luvun, kirjoitamme sen vasemmalle rivin taakse (2*2=4).

7. Nyt sinun on löydettävä luvun & toinen numero: löytämämme kaksinkertaistettu ensimmäinen numero tulee luvun kymmenien numeroksi, kun kerrottuna yksiköiden määrällä, sinun on saatava luku, joka on pienempi kuin 196 ( tämä on numero 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 on &:n toinen numero.

8. Etsi ero (196-176=20).

9. Puramme seuraavan ryhmän (saamme numeron 2033).

10. Tuplaa luku 24, saamme 48.

11,48 kymmeniä luvussa, kun kerrotaan yksiköiden määrällä, meidän pitäisi saada luku, joka on pienempi kuin 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Löytämiemme yksiköiden numero (4) on luvun & kolmas numero.

Todistuksen olen antanut tapauksille:

1. Kolminumeroisen luvun neliöjuuren erottaminen;

2. Nelinumeroisen luvun neliöjuuren erottaminen.

Likimääräiset menetelmät neliöjuuren erottamiseksi (ilman laskinta).

1. Muinaiset babylonialaiset käyttivät seuraavaa menetelmää löytääkseen x-luvun neliöjuuren likimääräisen arvon. He esittivät luvun x summana a 2 + b, jossa a 2 on lähinnä x:tä luonnollisen luvun a tarkka neliö (a 2 ? x), ja käyttivät kaavaa . (1)

Kaavan (1) avulla poimimme neliöjuuren esimerkiksi luvusta 28:

Tulos 28:n juuren purkamisesta käyttämällä MK 5.2915026:ta.

Kuten näette, babylonialainen menetelmä antaa hyvän likiarvon juuren tarkasta arvosta.

2. Isaac Newton kehitti neliöjuuren menetelmän, joka juontaa juurensa Aleksandrian Heronista (n. 100 jKr). Tämä menetelmä (tunnetaan nimellä Newtonin menetelmä) on seuraava.

Päästää a 1- luvun ensimmäinen approksimaatio (1:nä voit ottaa luonnollisen luvun neliöjuuren arvot - tarkka neliö, joka ei ylitä X) .

Seuraava, tarkempi likiarvo a 2 numeroita löytyy kaavan mukaan .

Koko: px

Aloita impressio sivulta:

transkriptio

1 LUETTO 2 SUUREEN YHTEISEN JAKUN LASKENTA Eukleideen algoritmi Suurilla yhdistelmäluvuilla työskenneltäessä niiden hajoamista alkutekijöiksi ei pääsääntöisesti tunneta. Mutta monille sovelletuille lukuteorian ongelmille lukujen tekijöiden etsiminen on tärkeä, usein kohdattava käytännön ongelma. Lukuteoriassa on olemassa suhteellisen nopea tapa laskea kahden luvun gcd, jota kutsutaan Euklidisen algoritmiksi. Algoritmi 1. Eukleideen algoritmi. Sisäänkäynti. Kokonaisluvut a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0, Euclid-algoritmi pysähtyy ja sen tuottama luku d on lukujen a ja b suurin yhteinen jakaja. Todiste . Jakolauseen jakojäännöksen mukaan millä tahansa i 1:llä on r i 1 = q i r i + r i+1, missä 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0 alhaalta rajattu. Tällainen sekvenssi ei voi olla ääretön, joten Eukleideen algoritmi pysähtyy. Euklidesin binaarinen algoritmi Euklidesin binaarinen GCD-algoritmi osoittautuu nopeammaksi, kun tämä toteutetaan

2 algoritmia tietokoneessa, koska se käyttää lukujen a ja b binääriesitystä. Binääri Euklidin algoritmi perustuu seuraaviin suurimman yhteisjakajan ominaisuuksiin (oletetaan, että 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, sitten gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) jos a = b, niin gcd(a, b) = a. Algoritmi 2. Binäärinen Eukleideen algoritmi. Sisäänkäynti. Kokonaisluvut a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >b. Sitten on kokonaisluvut x ja y siten, että d = ax + by. Toisin sanoen kahden luvun gcd voidaan esittää muodossa

3 näiden lukujen lineaarisena yhdistelmänä kokonaislukukertoimien kanssa. Algoritmi 3. Laajennetun Euklidisen algoritmin kaavio. 1. Määritä = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b. 2. Olkoon luku q luvun a osamäärä jaettuna luvulla b ja luku r näiden lukujen jaon jäännösosa (eli a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = x i-1; = tq; // = x i oikealle puolelle = x i+1 oikealle puolelle; //t = y i-1; = tq; 5. Palaa vaiheeseen. Määritä x = x 0, y = y 0, d = αx + βy. Laajennetun Euclid-algoritmin lokin muunnos. Kokonaisluvut a, b; 0< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 algoritmilla laskettu, seuraava lause osoittaa. Lause 4. Algoritmin 3 jokaisessa iteraatiossa yhtäläisyys ax i + i = r i:llä täyttyy, kun i 0. Todistus. Käytetään matemaattisen induktion menetelmää. Kun i = 0 ja i = 1, vaadittu yhtäläisyys pätee algoritmin 3 vaiheen 1 johdosta. Oletetaan, että se on totta i 1:lle ja i:lle. Sitten vaiheessa 3 saadaan x i+1 = x i 1 x i ja y i+1 = y i 1 y i. Siksi ax i+1 + by i+1 = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + by i 1 (ax i + by i) = r i 1 r i = r i+1 . Esimerkki. Kun a = 1769, b = 551. Etsi laajennetun euklidisen algoritmin avulla kokonaisluvut x ja y siten, että d = ax + by, missä lukujen a ja b d gcd. Laskusarjan I vaihe. 1. Määritä = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = osamäärä q = a / b = 1769/551 = 3, ja jaon loppuosa r = 116. a = 551; b = 116; t = = 0: = t q = 1 0 = 1 = 0; = tq = 3; seuraavat väliarvot

5 parametria: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Koska jaon loppuosa on r 0, palataan vaiheeseen 2. Laskentasekvenssin vaihe II. 1. Parametrin arvo: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = osamäärä q = a/b = 551/116 = 4 ja jäännös r = 87. a = 116; b = 87; t = = 0; =1: = t q = = 4 = 3; = t q = 1 (3) 4 = 13; seuraavat parametrien väliarvot: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Koska jaon loppuosa on r 0, palataan vaiheeseen 2. Laskentasarjan vaihe III . 1. Parametrien arvo: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = osamäärä q = a/b = 116/87 = 1 ja jäännös r = 29.

6 a = 87; b = 29; t = = 4: = t q = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = t q = 3 (13) 1 = 16; seuraavat parametrien väliarvot: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Koska jaon loppuosa on r 0, palataan vaiheeseen 2. Laskentasarjan vaihe IV . 1. Parametrin arvo: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = osamäärä q = a/b = 87/29 = 3 ja jäännös r = 0. a = 87; b = 29; t = = 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = t q = 13 (16) 3 = 61; seuraavat parametrien väliarvot: a= 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Koska jaon loppuosa on r = 0, suoritamme vaiheen 6.

7 6. Laske GCD kaavalla d = αx + βy, jossa x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α = 1769, β = 551. Parametrien arvon korvaaminen saadaan d = αx + βy = = = 29 Laajennettu Euklides-algoritmi voidaan toteuttaa myös binäärimuodossa. Algoritmi 4. Laajennettu binaarinen euklidinen algoritmi. Sisäänkäynti. Kokonaisluvut a, b; 0< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Kokonaislukujen yhtälöiden ratkaisu Lineaariset yhtälöt. Suora laskentatapa Esimerkki. Kanit ja fasaanit istuvat häkissä. Heillä on yhteensä 8 jalkaa. Ota selvää, kuinka monta heistä ja muita on solussa. Listaa kaikki ratkaisut. Ratkaisu.

Oppitunti 7 Lukua d kutsutaan lukujen a ja b suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi (GCD), jos (1) d a ja d b, ja myös (2) kaikille x:lle x a:sta ja x b:stä seuraa x d. Tässä tapauksessa kirjoitetaan d = (a, b). Lemma 1. Kaikille numeroille

Aihe. Alkeislukuteorian perusteet ja sovellukset - Teoreettinen materiaali. Joukko modulojäännöksiä, kongruenssien ominaisuudet. Antaa olla luonnollinen luku suurempi kuin . Merkitsemme Z:lla kaikkien luokkien joukkoa

Ugran fysiikan ja matematiikan lyseo VP Chuvakov LUKUTEORIAN PERUSTEET Luentomuistiinpanot (0)(mod) (0)(mod) Luonnolliset luvut N, - laskennassa tai laskennassa käytettyjen luonnollisten lukujen joukko

Luku 2 Kokonaisluvut, rationaaliset ja reaaliluvut 2.. Kokonaisluvut Lukuja, 2, 3,... kutsutaan luonnollisiksi. Kaikkien luonnollisten lukujen joukko on merkitty N:llä, ts. N = (,2,3,...). Numerot..., 3, 2,0,2,3,...

Jatketut murtoluvut Äärelliset jatkuvat murtoluvut Määritelmä Lauseke muotoa a 0 + a + a + + a m, jossa a 0 Z a a m N a m N/() kutsutaan jatkuvaksi murtoluvuksi ja m on jatkuvan murto-osan pituus a 0 a a m. kutsutaan jatkuvan murto-osan kertoimiksi

LUETTO 1 JOITAKIN LUKUTEORIAN OSIA

Gorbatšov EI Polynomit yhdessä muuttujassa Asteyhtälöiden ratkaiseminen Polynomin käsite Aritmeettiset operaatiot polynomeille Dep Muuttujan suhteen :nnen asteen polynomi (polynomi)

Kokonaislukujen jaollisuus Luku a on jaollinen luvulla b (tai b jakaa a), jos on sellainen luku c, että a = bc Tässä tapauksessa lukua c kutsutaan osamääräksi, jossa a jaetaan b:llä Merkintä: a - a on jaollinen b:llä tai ba b:llä

LUETTO 12 TOINEN TUTKINNON VERTAILU YKSINKERTAISESTA MODULAARI- JA NELIÖJÄÄNNÖSTÄ Toisen asteen modulo p:n yleinen vertailumuoto on muotoa (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p. Vertailuratkaisun löytäminen (1)

Ohjeet, ratkaisut, vastaukset YHTÄLÖT KOKONAISLUKUNA. Yhtälö, jossa yksi tuntematon Ratkaisu. Laitetaan se yhtälöön. Saadaan yhtälö (4a b 4) (a b 8) 0. Yhtälö A B 0, jossa A ja B ovat kokonaislukuja, täyttyy,

Algebralliset polynomit. 1 Algebralliset polynomit, joiden aste on n kentän K yli Määritelmä 1.1 Polynomi, jonka aste on n, n N (0), muuttujassa z lukukentän K yli on lauseke muodossa: fz = a n z n

Luento Kvadraattiset jäännökset ja ei-jäämät Luennoitsija: Nyu Zolotykh Äänittäjä: E Zamaraeva?? Syyskuu 00 Sisältö Neliölliset jäännökset ja ei-jäämät Legendre-symboli Legendre-symbolin ominaisuudet Kvadraattinen vastavuoroisuuden laki

Valtion oppilaitoksen sisäoppilaitos "Älylliset" luonnolliset luvut lineaarisena yhdistelmänä kokonaislukukertoimien kanssa"

Matemaattinen analyysi Osasto: Epämääräinen integraali Aihe: Rationaalisten murtolukujen integrointi Lehtori Pakhomova E.G. 0 5. Rationaalisten murtolukujen integrointi MÄÄRITELMÄ. Rationaalista murtolukua kutsutaan

4 Lukuteoria 4 Kokonaisluvut 7 Määritelmä Olkoon, b Z Sitten jakaa b, jos on sellainen kokonaisluku, että b (merkitty b) 73 Lause (jako jäännösjäännöksellä) Jos, b Z ja b, niin on sellaisia ​​kokonaislukuja

Matemaattinen analyysi Osasto: Epämääräinen integraali Aihe: Rationaalisten murtolukujen integrointi Lehtori Rozhkova S.V. 0 5. Rationaalisten murtolukujen integrointi MÄÄRITELMÄ. Rationaalista murtolukua kutsutaan

009-00 tilille vuosi. 6, 9 solua. Matematiikka. Lukuteorian elementit. 4. Suurimman yhteisen jakajan ja pienimmän yhteiskerran laskeminen Säilytetään merkintä kappaleesta. Luonnolliselle luvulle n merkintä n

SOVELLETTU ALGEBRA. Osa I: Äärilliset kentät (Galois-kentät). I 1 / 67 Osa I Äärilliset kentät (Galois-kentät). SOVELTAIN ALGEBRAA. Osa I: Äärilliset kentät (Galois-kentät). I 2 / 67 Jäännöskentät modulo prime

5 Yhtälöiden ratkaiseminen kokonaislukuina Ratkaistaessa jopa sellaisia ​​yksinkertaisia ​​yhtälöitä, kuten lineaarinen yhtälö, jossa on yksi tuntematon, on joitain erityispiirteitä, jos yhtälön kertoimet ovat kokonaislukuja, ja sitä vaaditaan

Laboratoriotyö 8 Kahden luvun suurimman yhteisen jakajan laskeminen euklidisen algoritmin avulla

Luku 1. Salauksen matemaattiset perusteet 1 Kentän määritelmä Äärillinen kenttä GF q (tai Galois-kenttä) on äärellinen mielivaltainen elementtijoukko, jonka väliin on määritetty yhteen- ja kertolaskuoperaatiot

XIX alueiden välinen matematiikan ja kryptografian koululaisten olympialaiset 11. luokan tehtävien tehtävän 1 ratkaisu Ensinnäkin huomioimme, että jos N = pq, missä p ja q ovat alkulukuja, niin luonnollisten lukujen määrä on pienempi kuin

Polynomit ja niiden juuret 2018 Gushchina Elena Nikolaevna Määritelmä: N-asteen polynomi on mikä tahansa muodon lauseke: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., jossa a & , a &+, a, a. R, a&

Luento 4. STANDARD AES. RIJNDAELIN ALGORITMI. AES (Advnced Encrypton Stndrd) on uusi yhden avaimen salausstandardi, joka on korvannut DES-standardin. Rjndel-algoritmi (rein-dal)

Polynomit ja niiden juuret Määritelmä: N-asteen polynomi (n N) on mikä tahansa lauseke muodossa: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, missä a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n johtava kerroin, a

1 Eukleideen algoritmi ja sen kompleksisuus Määritelmä 1. Lukujen a ja b yhteinen jakaja on luku c siten, että c a ja c b. Määritelmä 2. Lukujen a ja b suurin yhteinen jakaja on niiden yhteinen jakaja,

LUETTO 14 Neliöjuurien laskenta modulokomposiitista Yllä olevasta teoriasta seuraa, että jos =, missä ja ovat alkulukuja, ryhmä Z on isomorfinen avaruuden Z Z kanssa. Koska isomorfismi säilyttää ominaisuudet

LUETTO 3 NELIOJUURIEN LASKENTA MODULAARI Yksinkertaisen moduulin tapaus Tarkastellaan vertailua x a mod p, () jossa luku p on alkuluku ja kokonaisluku a ei ole jaollinen p:llä. Tämän yhtälön ratkaisun x laskeminen on

Diskreetti matematiikan kollokvio-ohjelma (päävirta) Kollokvion alussa saat lipun, jossa on kolme kysymystä: määritelmäkysymys, tehtävä ja todistekysymys.

Shorin algoritmi Yu. Lifshits. 1. joulukuuta 005 Luennon sisältö 1. Valmistelu (a) Factoring-luvut (b) Kvanttilaskenta (c) Klassisen laskennan emulointi. Simonin algoritmi (a) Kvanttirintakkaisuus

Matematiikan historiasta Ensimmäinen melko laaja kirja, jossa aritmetiikka esiteltiin geometriasta riippumatta, oli Nicomachuksen Johdanto aritmetiikkaan (okne).

Lyhyt johdatus alkeislukuteorian alkuun Denis Kirienko Computer Summer School, 1. tammikuuta 2009 Kokonaislukujako Olkoon kaksi kokonaislukua a ja b, b 0.

Aihe 1-9: Polynomit. Polynomirenkaan rakentaminen. Jakavuusteoria. Johdannainen A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Matematiikan ja tietojenkäsittelytieteen laitos Algebran ja diskreetin laitos

Algebralliset yhtälöt missä Määritelmä. Algebrallinen on yhtälö muotoa 0, P () 0, joitain reaalilukuja. 0 0 Tässä tapauksessa muuttujaa kutsutaan tuntemattomaksi ja numeroiksi 0

Luento 6 Lukuteorian alkiot 1 Tehtävä. Jatka numerosarjaa 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 Kokonaislukuaritmetiikka Käyttää kokonaislukuja: Z = (, -2 , -1, 0,

Polynomit Polynomi, jolla on yksi muuttuja x, jonka aste on n, on muodon lauseke, jossa on mikä tahansa luku, jota kutsutaan polynomin kertoimeksi, ja polynomin johtavaa kerrointa kutsutaan Ifiksi muuttujan sijaan.

1 2 Sisältö. 1. Esittely. 4-6 1.1. Tiivistelmä...4 1.2. Tehtävä 4 1.3. Työn tarkoitus 5 1.4. Hypoteesi..5 1.5. Tutkimuskohde... 5 1.6. Tutkimuksen kohde. 5 1.7. Uutuus... 5-6 1.8. Tutkimusmenetelmät...6

8.3, 8.4.2 luokka, Matematiikka (oppikirja Makarychev) 2018-2019 lukuvuosi Moduulin teema ”Kokonaisluvut. Lukujen jaollisuus. Tutkinto kokonaislukumittarilla ”Kokeessa tarkastetaan teoreettiset ja käytännön osat. AIHE Tiedä

Luento rationaalisten murtolukujen INTEGROINTI Rationaaliset murtoluvut Yksinkertaisten rationaalisten murtolukujen integrointi Rationaalisen murtoluvun hajottaminen yksinkertaisiksi murtoluvuiksi Rationaalisten murtolukujen integrointi Rational

Www.cryptolymp.ru XIX alueidenvälinen matematiikan ja kryptografian koululaisten olympialainen (luokka 11) Tehtävän 1 ratkaisu Ensinnäkin huomioimme, että jos N pq, jossa p ja q ovat alkulukuja, niin luonnollisten lukujen lukumäärä,

Luku Kokonaisluvut Jakoteoria Kokonaislukuja kutsutaan luvuiksi -3, -, -, 0, 3, luonnolliset luvut 3, 4 sekä nolla- ja negatiiviset luvut -, -, -3, -4, Kaikkien kokonaislukujen joukko on merkitty

Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriö Ural State University of Economics Yu. 4th, rev. ja ylimääräistä sähköposti: [sähköposti suojattu],

(trigonometrisen sarjan trigonometrisen järjestelmän esimerkkejä - laajennus välille [ -l; l ] mielivaltaisen jakson funktioille - epätäydellinen sarjalaajennus sinissä ja kosineissa parillisissa ja parittomissa jatkossa)

Tietojenkäsittelyteoria II Luento 5. Kokonaislukualgoritmit: laajennettu Euklidesin algoritmi, käänteismoduuli, eksponentiomodulo. Julkisen avaimen salaus, RSA-protokolla. Todennäköisyys

5. Bose-Chaudhury-Hokvingham-koodit Syklisten koodien korjaavat ominaisuudet voidaan määrittää kahden lauseen perusteella. Lause 1. Jokaiselle m:lle ja t:lle on olemassa syklinen koodi, jonka pituus on n = 2 m 1 ja jonka monikertaisuus

MODULAARINEN ARITMETIIKKA Joissakin sovelluksissa on kätevää suorittaa aritmeettisia operaatioita ns. modulaarisessa esityksessä annetuille kokonaisluvuille.Tässä esitysmuodossa oletetaan, että kokonaisluku

MATEMATIIKAN KÄYTTÖ 00 Koryanov A.G. Tehtävät Brjanskista Lähetä kommentit ja ehdotukset osoitteeseen: [sähköposti suojattu] YHTÄLÄT JA ERÄTASUALUEET KOKONAISLUKUISSA (kasvatustehtävistä olympiatehtäviin) Lineaarinen

2.22. Poistetaan yhteinen tekijä (n on luonnollinen luku) suluista: 1) x n + 3 + x n ; 3) z3n - zn; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Jokainen numero on annettu

LUETTO 15 ALKULUKUJA Luonnollista lukua p, joka on suurempi kuin yksi, kutsutaan alkuluvuksi, jos se on jaollinen vain 1:llä ja itsellään. Lause (Euklid). Alkulukujen joukko on ääretön. Merkitse π(x)

Aihe 3. Algebrallisen ja analyyttisen lukuteorian elementit Teoreettinen materiaali 1. Jatkuvia murtolukuja. Viimeinen jatkuva murto-osa on lauseke a +, (1), jossa a on kokonaisluku, a, i > 0, luonnolliset luvut,

Http://vk.ucoz.et/ Polynomien k a k operaatiot K-asteen polynomi (polynomi) on muotoa a oleva funktio, jossa muuttuja, a ovat numeerisia kertoimia (=,.k) ja. Mikä tahansa nollasta poikkeava luku voidaan ottaa huomioon

Penzan osavaltion pedagoginen yliopisto nimetty V. G. Belinsky M. V. Glebov V. F. Timerbulatova mukaan

Kokonaislukujen jaollisuus jäännöksellä Olkoon m kokonaisluku ja n luonnollinen luku

Avdoshin S.M., Savelieva A.A. Algoritmi jäännösrenkaiden lineaariyhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi Tehokas algoritmi jäännösrenkaiden lineaariyhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi kehitetään, joka vastaa monimutkaisuudeltaan

SOVELLETTU ALGEBRA. Osa I: Äärilliset kentät (Galois-kentät) I 1 / 88 Osa I Äärilliset kentät (Galois-kentät) SOVELTAIN ALGEBRAA. Osa I: Äärilliset kentät (Galois-kentät) I 2 / 88 Jäännöskentät modulo a alkuluku

5 Algebralliset rakenteet 6 Määritelmä Binäärioperaatio joukolla S on joukon S:n yhdistäminen S:ksi

/E Lukuteorian elementit ja. Rochev 28. elokuuta 2018 ..... 1 1.2 Suurin yhteinen jakaja ...................................

Luku Kokonaisluvut, rationaaliset ja reaaliluvut. Jako loppuosalla. Jaa jokainen luku ±23, ±4 ja loput kullakin luvulla ±5. 2. Etsi kaikki luvun 42 positiiviset jakajat. 3. Kello on nyt kolme.

Differentiaaliyhtälöt -luento 4 Yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa. Integrointitekijä Lehtori Anna Igorevna Sherstneva 9. Yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa Yhtälöä d + d = 14 kutsutaan yhtälöksi

Aihe. Alkeislukuteorian perusteet ja sovellukset. Primitiiviset juuret, indeksit. Teoreettinen materiaali Olkoon a, m luonnollisia koalkilukuja ja m, niin Eulerin lauseen mukaan a m)

Matematiikan ja informatiikan laitos Korkeamman matematiikan elementit Opetus- ja metodologinen kokonaisuus etätekniikalla opiskeleville toisen asteen ammatillisen koulutuksen opiskelijoille Moduuli Rajateoria Kokoanut: Apulaisprofessori

Luku 2. Numeeriset menetelmät kryptografiassa Itsenäisen työn harjoitus Tutkia kryptografiassa laajalti käytettyjä algoritmeja. Lukuteorian elementit: laajennettu Eukleideen algoritmi;

Teemasuunnitelma perustuu lukuvuoden 206-207 ohjelmamateriaaliin "Algebra 8" -oppikirjan, toim. A.G. Mordkovich, ottaen huomioon suositeltu pakollinen koulutuksen vähimmäissisältö Aihe

Luento 2. Binomikertoimien ominaisuudet. Summaus ja funktioiden generointimenetelmä (lopullinen tapaus). Polynomikertoimet. Arviot binomi- ja polynomikertoimille. Arviot määrästä

Tarkastellaan tätä algoritmia esimerkin avulla. Etsitään

1. vaihe. Jaamme juuren alla olevan luvun kahdeksi numeroksi (oikealta vasemmalle):

2. vaihe. Poimimme neliöjuuren ensimmäisestä kasvosta, eli luvusta 65, saamme luvun 8. Ensimmäisen pinnan alle kirjoitetaan luvun 8 neliö ja vähennetään. Määritämme toisen pinnan (59) jäännökselle:

(numero 159 on ensimmäinen jäännös).

3. vaihe. Tuplaamme löydetyn juuren ja kirjoitamme tuloksen vasemmalle:

4. vaihe. Erottelemme loppuosassa (159) yhden numeron oikealla, vasemmalla saamme kymmenien lukumäärän (se on yhtä kuin 15). Sitten jaetaan 15 juuren kaksinkertaistetulla ensimmäisellä numerolla, eli 16:lla, koska 15 ei ole jaollinen 16:lla, niin osamäärään saadaan nolla, jonka kirjoitamme juuren toiseksi numeroksi. Joten osamäärässä saimme luvun 80, jonka tuplaamme uudelleen ja puramme seuraavan pinnan

(numero 15901 on toinen jäännös).

5. vaihe. Erottelemme toisessa jäännöksessä yhden numeron oikealta ja jaamme tuloksena olevan luvun 1590 luvulla 160. Tulos (luku 9) kirjoitetaan juuren kolmantena numerona ja annetaan numerolle 160. Saatu luku 1609 kerrotaan 9:llä. ja löydämme seuraavan jäännöksen (1420):

Lisätoiminnot suoritetaan algoritmissa ilmoitetussa järjestyksessä (juuri voidaan poimia vaaditulla tarkkuudella).

Kommentti. Jos juurilauseke on desimaaliluku, niin sen kokonaislukuosa jaetaan kahdeksi numeroksi oikealta vasemmalle, murto-osa jaetaan kahdeksi numeroksi vasemmalta oikealle ja juuri erotetaan määritetyn algoritmin mukaan.

DIDAKTINEN MATERIAALI

1. Ota luvun neliöjuuri: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Tervehdys lukijat ja sivuillamme vierailijat!. Tässä osiossa analysoimme erilaisia ​​algoritmeja sekä niiden toteutusta Pascalissa.

Tämän päivän oppitunnin materiaalin hallitsemiseksi tarvitset tietoa ja.

Tänään tarkastelemme kolmea algoritmia (viidestä) kahden kokonaisluvun suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi, joista kaksi liittyy suoraan Eukleideen nimeen. Tarkastelemme kahta muuta seuraavassa osiossa.
Kahden luvun a ja b suurin yhteinen jakaja (gcd) on suurin kokonaisluku, joka jakaa ne molemmat.
Esimerkki: gcd(25, 5) = 5; gcd(12, 18) = 6.

Hakualgoritmi

Aloitetaan siitä d- pienin kahdesta numerosta. Tämä on ensimmäinen, ilmeinen ehdokas heidän suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi. Ja sitten, kunnes d jakaa molemmat luvut, vähennämme sitä yhdellä. Heti kun tällainen jako on varmistettu, pysäytämme d:n pienenemisen.

Muutt a, b, d: kokonaisluku; begin write("Syötä kaksi numeroa: "); readln(a, b); jos< b then d:= a + 1 else d:= b + 1; {так как мы используем цикл с постусловием, необходимо минимальное значение увеличить на один, иначе цикл repeat, в силу своих конструктивных особенностей, не учтет это минимальное число и не сделает его кандидатом в НОД. Например, 5 и 25.} repeat d:= d - 1 until (a mod d = 0) and (b mod d = 0); write("NOD = ", d) end.

Käännytään tähän ohjelmaan esimerkiksi numeroilla 30 ja 18. Sitten matkalla vastaukseen (numero 6) sen täytyy käydä läpi numerot: 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12 , 11, 10, 9, 8, 7 .6.

Eukleideen algoritmi "vähennyksellä"

Olkoot a ja b kokonaislukuja, niin seuraavat lauseet ovat tosia:

1. Kaikki parin a ja b yhteiset jakajat ovat myös parin a - b, b yhteisiä jakajia;
2. Sitä vastoin kaikki parin a - b ja b yhteiset jakajat ovat myös parin a ja b yhteisiä jakajia;
3. gcd(A, B) = gcd(A - B, B), jos A > B;
4. gcd(A, 0) = A.

Todiste:

1. Jos t on mielivaltainen a:n ja b:n yhteinen jakaja, se jakaa myös erotuksen a - b. Itse asiassa a = t * u ja b = t * v seuraa, että a - b = t * u - t * v = t * (u - v). Eli t on myös a - b:n ja b:n yhteinen jakaja.
2. Kääntäen, jos t on mielivaltainen jakaja, a - b:n ja b:n yhteinen jakaja, niin se jakaa myös niiden summan a - b + b = a. Tämä voidaan todistaa analogisesti edellisen kanssa. Siksi t on myös a:n ja b:n yhteinen jakaja.
3. Päättelemme, että yhteisten jakajien a ja b joukko on sama kuin jakajien a - b ja b joukko. Erityisesti näiden parien suurimmat yhteiset jakajat ovat myös samat.
4. Suurin kokonaisluku, joka jakaa luvun a, on itse luku a. Luku 0 on jaollinen millä tahansa luvulla. Siksi a:n ja 0:n suurin yhteinen jakaja on a.

Todistettu kaava (3) antaa meille mahdollisuuden pelkistää yhden parin suurimman jakajan laskeminen toisen parin suurimman yhteisen jakajan laskemiseen, jossa luvut ovat jo pienempiä. Ilmeinen kaava (4) kertoo meille, milloin lopettaa.

Lyhyesti sanottuna Eukleideen "vähennyksellä" -algoritmi olisi seuraava. Vähennämme pienemmän luvun suuremmasta luvusta ja korvaamme suuremman erotuksella, kunnes yhdestä luvuista tulee nolla. Sitten jäljellä oleva nollasta poikkeava luku on suurin yhteinen jakaja.

Esimerkki. Olkoon a = 82 ja b = 60. GCD(82, 60) = GCD(22, 60) = GCD(22, 38) = GCD(22, 16) = GCD(6, 16) = GCD(6, 10) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(2, 2) = gcd(2, 0) = 2.

Algoritmin toiseksi viimeisessä vaiheessa, ennen 0:n ilmaantumista, molemmat luvut ovat yhtä suuret, muuten 0 ei olisi voinut syntyä. Siksi poimimme GCD:n juuri tällä hetkellä.

Euklidisen "vähennyksellä" -algoritmin lohkokaavio

Ohjelmoida

var a, b: kokonaisluku; alkaa kirjoittaa("a = "); readln(a); kirjoittaa("b = "); readln(b); kun taas a<>b tee jos a > b niin a:= a - b else b:= b - a; writeln("NOD = ", a); loppu.

Eukleideen algoritmi "jaolla"

Olkoot a ja b kokonaislukuja ja r jäännös a:n jakamisesta b:llä. Sitten gcd(a, b) = gcd(b, r).

Tämän kaavan avulla voit myös pelkistää yhden lukuparin suurimman yhteisen jakajan laskennan toisen lukuparin suurimman yhteisen jakajan laskemiseen.

Esimerkki. gcd(82, 60) = gcd(22, 60) = gcd(22, 16) = gcd(6, 16) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(0, 2) = 2 .

Var a, b: kokonaisluku; alkaa kirjoittaa("a = "); readln(a); kirjoittaa("b = "); readln(b); kun (a<>0) ja (b<>0) tee jos a >= b sitten a:= a mod b else b:= b mod a; kirjoitus(a + b) loppu.

Siinä kaikki tältä päivältä! Opit muutaman muun muunnelman Euclid-algoritmista ja tapoja löytää GCD seuraavilla oppitunneilla.