Terävä kolmio. Akuutti kolmio Kuinka määrittää terävä kolmio sivujen mukaan

Yleensä kutsutaan tiettyä kolmiota, jonka kaikki sivut eivät ole samanpituisia monipuolinen.

Kolmio, jossa on kaksi yhtä suurta sivua, on merkitty tasakylkinen. Identtisiä puolia kutsutaan yleensä lateraalinen, kolmas osapuoli - perusta. Seuraava määritelmä on yhtä totta kolmion pohjat on tasakylkisen kolmion sivu, joka ei ole sama kuin kaksi muuta sivua.

SISÄÄN tasakylkinen kolmio pohjan kulmat ovat yhtä suuret. Korkeus, mediaani, puolittaja tasakylkisen kolmion kantaan piirretyt ovat kohdakkain.

Kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtäläiset, merkitään tasasivuinen tai oikea. Tasasivuisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat 60° ja piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden keskipisteet ovat kohdakkain.

Kolmiotyypit kulmaparametreista riippuen.

Kutsutaan kolmiota, jossa vain kulmat ovat alle 90 0 (akuutti). teräväkulmainen.

Kutsutaan kolmiota, jonka kulma on 90 0 suorakulmainen. Kolmion sivut, jotka muodostavat suoran kulman, on yleensä merkitty jalat, ja oikeaa kulmaa vastakkainen puoli on hypotenuusa.

Matematiikkaa opiskellessaan opiskelija alkaa tutustua erilaisiin geometrisiin muotoihin. Tänään puhumme erityyppisistä kolmioista.

Määritelmä

Geometrisiä kuvioita, jotka koostuvat kolmesta pisteestä, jotka eivät ole samalla suoralla, kutsutaan kolmioiksi.

Pisteitä yhdistäviä segmenttejä kutsutaan sivuiksi ja pisteitä vertekseiksi. Vertices on merkitty isoilla kirjaimilla, esimerkiksi: A, B, C.

Sivut on merkitty niiden kahden pisteen nimillä, joista ne koostuvat - AB, BC, AC. Leikkaavat sivut muodostavat kulmia. Alasivua pidetään kuvan pohjana.

Riisi. 1. Kolmio ABC.

Kolmioiden tyypit

Kolmiot luokitellaan kulmien ja sivujen mukaan. Jokaisella kolmiotyypillä on omat ominaisuutensa.

Kulmissa on kolmen tyyppisiä kolmioita:

• teräväkulmainen;
• suorakulmainen;
• tylppäkulmainen.

Kaikki kulmat teräväkulmainen Kolmiot ovat teräviä, eli kunkin astemitta on enintään 90 0.

Suorakulmainen kolmio sisältää suoran kulman. Kaksi muuta kulmaa ovat aina teräviä, koska muuten kolmion kulmien summa ylittää 180 astetta, ja tämä on mahdotonta. Oikeaa kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi, ja kahta muuta kutsutaan jaloiksi. Hypotenuusa on aina suurempi kuin jalka.

Tylppä kolmio sisältää tylpän kulman. Eli kulma, joka on suurempi kuin 90 astetta. Tällaisen kolmion kaksi muuta kulmaa ovat teräviä.

Riisi. 2. Kolmioiden tyypit kulmissa.

Pythagoraan kolmio on suorakulmio, jonka sivut ovat 3, 4, 5.

Lisäksi suurempi puoli on hypotenuusa.

Tällaisia ​​kolmioita käytetään usein yksinkertaisten geometrian tehtävien rakentamiseen. Muista siis: jos kolmion kaksi sivua ovat yhtä suuret kuin 3, niin kolmas on ehdottomasti 5. Tämä yksinkertaistaa laskelmia.

Kolmioiden tyypit sivuilla:

• tasasivuinen;
• tasakylkinen;
• monipuolinen.

Tasasivuinen kolmio on kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret. Tällaisen kolmion kaikki kulmat ovat 60 0, eli se on aina terävä.

Tasakylkinen kolmio - kolmio, jossa on vain kaksi yhtä suurta sivua. Näitä sivuja kutsutaan lateraaliseksi ja kolmatta pohjaksi. Lisäksi tasakylkisen kolmion pohjan kulmat ovat yhtä suuret ja aina terävät.

Monipuolinen tai mielivaltainen kolmio on kolmio, jossa kaikki pituudet ja kaikki kulmat eivät ole keskenään yhtä suuria.

Jos ongelma ei sisällä selvennyksiä kuviosta, on yleisesti hyväksyttyä, että puhumme mielivaltaisesta kolmiosta.

Riisi. 3. Kolmioiden tyypit sivuilla.

Kolmion kaikkien kulmien summa sen tyypistä riippumatta on 1800.

Suurempaa kulmaa vastapäätä on suurempi sivu. Ja myös minkä tahansa sivun pituus on aina pienempi kuin sen kahden muun sivun summa. Nämä ominaisuudet vahvistetaan kolmioepäyhtälölauseella.

On olemassa käsite kultaisesta kolmiosta. Tämä on tasakylkinen kolmio, jonka kaksi sivua ovat verrannollisia kantaan ja yhtä suuria kuin tietty luku. Tällaisessa kuvassa kulmat ovat verrannollisia suhteeseen 2:2:1.

Tehtävä:

Onko olemassa kolmiota, jonka sivut ovat 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Ratkaisu:

Tämän tehtävän ratkaisemiseksi sinun on käytettävä epäyhtälöä a

Mitä olemme oppineet?

Tästä 5. luokan matematiikan kurssin materiaalista opimme, että kolmiot luokitellaan niiden sivujen ja kulmien koon mukaan. Kolmioilla on tiettyjä ominaisuuksia, joita voidaan käyttää ongelmien ratkaisemiseen.

Tänään olemme menossa Geometrian maahan, jossa tutustumme erityyppisiin kolmioihin.

Harkitse geometrisia muotoja ja etsi niistä "ylimääräinen" (kuva 1).

Riisi. 1. Esimerkki esimerkiksi

Näemme, että kuviot nro 1, 2, 3, 5 ovat nelikulmioita. Jokaisella niistä on oma nimi (kuva 2).

Riisi. 2. Nelisivut

Tämä tarkoittaa, että "ylimääräinen" kuva on kolmio (kuva 3).

Riisi. 3. Esimerkki esim

Kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta pisteestä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja kolmesta janasta, jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain.

Pisteitä kutsutaan kolmion kärjet, segmentit - hänen juhlia. Kolmion sivut muodostuvat Kolmion kärjessä on kolme kulmaa.

Kolmion tärkeimmät ominaisuudet ovat kolme sivua ja kolme kulmaa. Kulman koon mukaan kolmiot ovat terävä, suorakaiteen muotoinen ja tylppä.

Kolmiota kutsutaan teräväkulmaiseksi, jos sen kaikki kolme kulmaa ovat teräviä, eli alle 90° (kuva 4).

Riisi. 4. Terävä kolmio

Kolmiota kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi sen kulmista on 90° (kuva 5).

Riisi. 5. Suora kolmio

Kolmiota kutsutaan tylpäksi, jos yksi sen kulmista on tylppä eli yli 90° (kuva 6).

Riisi. 6. Tylsä kolmio

Tasasivuisten sivujen lukumäärän perusteella kolmiot ovat tasasivuisia, tasakylkisiä, skaalaa.

Tasakylkinen kolmio on sellainen, jonka kaksi sivua ovat yhtä suuret (kuva 7).

Riisi. 7. Tasakylkinen kolmio

Näitä puolia kutsutaan lateraalinen, Kolmas puoli - perusta. Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret.

On tasakylkisiä kolmioita akuutti ja tylsä(Kuva 8) .

Riisi. 8. Terävät ja tylpät tasakylkiset kolmiot

Tasasivuinen kolmio on sellainen, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret (kuva 9).

Riisi. 9. Tasasivuinen kolmio

Tasasivuisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Tasasivuiset kolmiot Aina teräväkulmainen.

Skaala on kolmio, jonka kaikki kolme sivua ovat eripituisia (kuva 10).

Riisi. 10. Asteikkokolmio

Suorita tehtävä loppuun. Jaa nämä kolmiot kolmeen ryhmään (kuva 11).

Riisi. 11. Tehtävän kuva

Ensin jaetaan kulmien koon mukaan.

Terävät kolmiot: nro 1, nro 3.

Suorat kolmiot: nro 2, nro 6.

Tylppät kolmiot: nro 4, nro 5.

Jaamme samat kolmiot ryhmiin yhtäläisten sivujen lukumäärän mukaan.

Skaalauskolmiot: nro 4, nro 6.

Tasakylkiset kolmiot: nro 2, nro 3, nro 5.

Tasasivuinen kolmio: nro 1.

Katso kuvat.

Mieti, mistä langanpalasta kukin kolmio on tehty (kuva 12).

Riisi. 12. Tehtävän kuva

Voit ajatella näin.

Ensimmäinen lanka on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joten voit tehdä siitä tasasivuisen kolmion. Hän näkyy kuvassa kolmantena.

Toinen lanka on jaettu kolmeen eri osaan, joten siitä voidaan tehdä skaalaa-kolmio. Se näkyy kuvassa ensimmäisenä.

Kolmas lanka on jaettu kolmeen osaan, joissa kahdella osalla on sama pituus, mikä tarkoittaa, että siitä voidaan tehdä tasakylkinen kolmio. Kuvassa hän näkyy toisena.

Tänään tunnilla opimme erityyppisistä kolmioista.

Bibliografia

1. MI. Moreau, M.A. Bantova ym. Matematiikka: Oppikirja. 3. luokka: kahdessa osassa, osa 1. - M.: "Valaistuminen", 2012.
2. MI. Moreau, M.A. Bantova ym. Matematiikka: Oppikirja. 3. luokka: kahdessa osassa, osa 2. - M.: "Valaistuminen", 2012.
3. MI. Moro. Matematiikan tunnit: Metodologiset suositukset opettajille. 3. luokka. - M.: Koulutus, 2012.
4. Sääntelyasiakirja. Oppimistulosten seuranta ja arviointi. - M.: "Valaistuminen", 2011.
5. "Venäjän koulu": Ohjelmat ala-asteelle. - M.: "Valaistuminen", 2011.
6. SI. Volkova. Matematiikka: Koetyö. 3. luokka. - M.: Koulutus, 2012.
7. V.N. Rudnitskaja. Testit. - M.: "Koe", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Kotitehtävät

1. Täydennä lauseet.

a) Kolmio on kuvio, joka koostuu ... jotka eivät ole samalla suoralla, ja ... jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain.

b) Pisteitä kutsutaan … , segmentit - hänen … . Kolmion sivut muodostuvat kolmion kärkipisteistä ….

c) Kulman koon mukaan kolmiot ovat ... , ... , ... .

d) Kolmiot ovat yhtäläisten sivujen lukumäärän perusteella ... , ... , ... .

2. Piirrä

a) suorakulmainen kolmio;

b) terävä kolmio;

c) tylppä kolmio;

d) tasasivuinen kolmio;

e) skaleenikolmio;

e) tasakylkinen kolmio.

3. Luo ystävillesi tehtävä oppitunnin aiheesta.

Kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta toisiinsa yhdistetystä pisteestä. Kulmista riippuen kolmio voi olla:

• Suorakulmainen, jos yksi kulmista on 90 astetta;
• Tylppä, jos yksi kulmista on tylppä, ts. yli 90 astetta;
• Teräväkulmainen, jos kaikki kolmion kulmat ovat teräviä.

Akuutin kolmion ongelmien ratkaisemiseksi sinun on usein käytettävä sini- tai kosinilausetta.

Jo muinaisessa Kreikassa matemaatikot tutkivat kolmioita. Kreikkalaiset kehittivät modernin geometrian perusteet, joka sisältää monia kolmioita koskevia lauseita. Esimerkiksi Pythagoraan lauseen kirjoittaja tulee antiikin Kreikasta.

Ominaisuudet

Terävässä kolmiossa jokainen kulma on alle 90 astetta. Mutta kolmion kulmien summa on aina 180. Missä tahansa kuviossa kärjet on merkitty isoilla kirjaimilla.

Yksi kolmion elementeistä sivujen ja kulmien ohella on ulkoinen kulma. Ulkokulma on kolmion sisäkulman vieressä oleva kulma.

Jokaisella kolmiolla on 6 ulkokulmaa, 2 kullekin sisäpuolelle. Mikä tahansa terävän kolmion ulkokulma on aina tylppä kulma.

Terävän kolmion viivat

Akuutilla kolmiolla on useita ominaisuuksia.

Mediaani on yhtä suuri kuin puolet sen geometrisen hahmon sivun pituudesta, jolle se on laskettu. Lisäksi tämä segmentti voidaan vetää mistä tahansa kärjestä.

Riisi. 1. Mediaanit terävässä kolmiossa

Tiedetään, että jos piirrät kolme korkeutta terävään kolmioon, ne leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan ortosentriksi. Nämä segmentit lasketaan suorassa kulmassa vastakkaisille puolille. Akuutin kolmion korkeudet jakavat tämän luvun samankaltaisiin kolmioihin.

Riisi. 2. Korkeudet terävässä kolmiossa

Terävän kolmion puolittajat eivät vain puolita kulmia. Nämä segmentit leikkaavat pisteessä, joka on piirretyn ympyrän keskipiste.

Lisäksi puolittaja jakaa terävän kolmion sivun kahteen osaan, jotka ovat verrannollisia vastaaviin sivuihin. Tämä lausunto on muistettava joidenkin ongelmien ratkaisemiseksi.

Riisi. 3. Puolittajat terävässä kolmiossa

Ominaisuudet

Jos summaamme terävän kolmion minkä tahansa kahden sivun numeeriset arvot, saamme varmasti luvun, joka on suurempi kuin tämän geometrisen hahmon kolmas segmentti.

Terävän kolmion keskiviiva on yhdensuuntainen tämän kuvan toisen sivun kanssa ja on yhtä suuri kuin puolet sen puoliskosta.

Mitä olemme oppineet?

Terävässä kolmiossa jokainen kulma on alle 90 astetta. Kulmien kokonaissumma tässäkin on 180 astetta. Emme saa unohtaa kolmion tunnusomaisia ​​viivoja. Koska heidän avullaan on helppo laskea tietyn kolmion sivut tai tietyn ympyrän keskipiste. Ja jos kulmat on ilmoitettu geometriaongelmien olosuhteissa, voit käyttää trigonometrisiä toimintoja.

Testi aiheesta

Artikkelin luokitus

Keskiarvoluokitus: 4.5. Saatujen arvioiden kokonaismäärä: 114.

Kolmio . Terävä, tylppä ja suorakulmainen kolmio.

Jalat ja hypotenuusa. Tasakylkinen ja tasakylkinen kolmio.

Kolmion kulmien summa.

Kolmion ulkokulma. Kolmioiden tasa-arvon merkit.

Merkittäviä viivoja ja pisteitä kolmiossa: korkeudet, mediaanit,

puolittajat, mediaani e kohtisuorat, ortosentti,

painopiste, rajatun ympyrän keskipiste, piirretyn ympyrän keskipiste.

Pythagoraan lause. Kuvasuhde mielivaltaisessa kolmiossa.

Kolmio on monikulmio, jossa on kolme sivua (tai kolme kulmaa). Kolmion sivut merkitään usein pienillä kirjaimilla, jotka vastaavat vastakkaisia ​​pisteitä edustavia isoja kirjaimia.

Jos kaikki kolme kulmaa ovat teräviä (kuva 20), niin tämä terävä kolmio . Jos yksi kulmista on oikea(C, kuva 21), tuo on suorakulmainen kolmio; sivuta, bsuoran kulman muodostavia kutsutaan jalat; puolellacpäinvastaista oikeaa kulmaa kutsutaan hypotenuusa. Jos yksi tylpät kulmat (B, kuva 22), tuo on tylppä kolmio.


Kolmio ABC (kuva 23) - tasakylkinen, Jos kaksi sen sivut ovat yhtä suuret (a= c); näitä yhtäläisiä puolia kutsutaan lateraalinen, kolmatta osapuolta kutsutaan perusta kolmio. Kolmio ABC (kuva 24) – tasasivuinen, Jos Kaikki sen sivut ovat yhtä suuret (a = b = c). Yleisesti ( a ≠ b ≠ c) meillä on scalene kolmio .

Kolmioiden perusominaisuudet. Missä tahansa kolmiossa:

1. Isompaa puolta vastapäätä on suurempi kulma ja päinvastoin.

2. Samat kulmat ovat vastakkain yhtäläisiä puolia ja päinvastoin.

Erityisesti kaikki kulmat sisään tasasivuinen kolmio ovat yhtä suuret.

3. Kolmion kulmien summa on 180 º .

Kahdesta viimeisestä ominaisuudesta seuraa, että jokainen kulma tasasivuisessa

kolmio on 60 º.

4. Jatkamalla yhtä kolmion sivuista (AC, kuva 25), saamme ulkoinen

kulma BCD . Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin sisäkulmien summa,

ei sen vieressä : BCD = A + B.

5. Minkä tahansa kolmion sivu on pienempi kuin kahden muun sivun summa ja suurempi

heidän erojaan (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Kolmioiden tasa-arvon merkit.

Kolmiot ovat yhteneväisiä, jos ne ovat vastaavasti yhtä suuret:

a ) kaksi sivua ja niiden välinen kulma;

b ) kaksi kulmaa ja niiden vieressä oleva sivu;

c) kolme puolta.

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit.

Kaksi suorakulmainen kolmiot ovat yhtä suuret, jos jokin seuraavista ehdoista toteutuu:

1) heidän jalkansa ovat yhtä suuret;

2) yhden kolmion jalka ja hypotenuusa ovat yhtä suuret kuin toisen jalka ja hypotenuusa;

3) yhden kolmion hypotenuusa ja terävä kulma ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma;

4) toisen kolmion jalka ja viereinen terävä kulma ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion jalka ja viereinen terävä kulma;

5) yhden kolmion jalka ja vastakkainen terävä kulma ovat yhtä suuria kuin jalka ja toisen vastakkainen terävä kulma.

Upeita viivoja ja pisteitä kolmiossa.

Korkeus kolmio onkohtisuorassa,lasketaan mistä tahansa kärjestä vastakkaiselle puolelle ( tai sen jatkoa). Tätä puolta kutsutaankolmion pohja . Kolmion kolme korkeutta leikkaavat ainajossain vaiheessa, nimeltään ortokeskus kolmio. Akuutin kolmion ortosentti (piste O , Kuva 26) sijaitsee kolmion sisällä, jatylpän kolmion ortokeskiö (piste O , kuva 27) – ulkopuolella; Suorakulmaisen kolmion ortosentti osuu yhteen oikean kulman kärjen kanssa.

Mediaani - Tämä Jana , joka yhdistää minkä tahansa kolmion kärjen vastakkaisen sivun keskelle. Kolmion kolme mediaania (AD, BE, CF, kuva 28) leikkaavat yhdessä pisteessä O , makaa aina kolmion sisällä ja olla hänen Painovoiman keskipiste. Tämä piste jakaa jokaisen mediaanin suhteessa 2:1, laskettuna kärjestä.

Bisector - Tämä puolittajan segmentti kulma kärjestä pisteeseen risteyksiä vastakkaisen puolen kanssa. Kolmion kolme puolittajaa (AD, BE, CF, kuva 29) leikkaavat yhdessä pisteessä Voi, makaa aina kolmion sisällä Ja oleminen piirretyn ympyrän keskipiste(katso kohta "Kaipattuja rajatut polygonit").

Puolittaja jakaa vastakkaisen puolen viereisiin sivuihin verrannollisiin osiin ; esimerkiksi kuvassa 29 AE: CE = AB: BC.

Mediaani kohtisuorassa on keskeltä vedetty kohtisuora segmenttipisteet (sivut). Kolmion ABC kolme kohtisuoraa puolittajaa(KO, MO, EI, kuva 30 ) leikkaa yhdessä pisteessä O, joka on keskusta rajattu ympyrä (pisteet K, M, N – kolmion sivujen keskipisteet ABC).

Terävässä kolmiossa tämä piste sijaitsee kolmion sisällä; tylppänä - ulkopuolella; suorakaiteen muotoisena - hypotenuusan keskellä. Ortosentti, painopiste, ympyräkeskipiste ja piirretty ympyrä kohtaavat vain tasasivuisessa kolmiossa.

Pythagoraan lause. Suorakulmaisessa kolmiossa pituuden neliöHypotenuusa on yhtä suuri kuin jalkojen pituuksien neliöiden summa.

Pythagoraan lauseen todistus seuraa selvästi kuvasta 31. Harkitse suorakulmaista kolmiota ABC jaloilla a, b ja hypotenuusa c.

Rakennetaan neliö AKMB käyttämällä hypotenuusaa AB sivuna. Sittenjatka oikean kolmion sivuja ABC jotta saadaan neliö CDEF , jonka puoli on yhtä suuria + b.Nyt on selvää, että neliön pinta-ala CDEF on yhtä suuri kuin ( a+b) 2 . Toisaalta tämä pinta-ala on yhtä suuri kuin summa alueilla neljä suorakulmaista kolmiota ja neliö AKMB, eli

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

täältä,

c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

ja lopuksi meillä on:

c 2 =a 2 +b 2 .

Kuvasuhde mielivaltaisessa kolmiossa.

Yleisessä tapauksessa (mielivaltaiselle kolmiolle) meillä on:

c 2 =a 2 +b 2 – 2ab· cos C,

missä C – sivujen välinen kulmaa Ja b .