I. TEORÍA ECONÓMICA

10. Función de producción. Ley de los rendimientos decrecientes. efecto de escala

función de producción es la relación entre un conjunto de factores de producción y el máximo volumen posible de producto producido utilizando este conjunto de factores.

La función de producción es siempre concreta, es decir, destinados a esta tecnología. Nueva tecnología - nueva función productiva.

La función de producción determina la cantidad mínima de insumos necesarios para producir una determinada cantidad de producto.

Las funciones de producción, independientemente del tipo de producción que expresen, tienen las siguientes propiedades generales:

1) Un aumento en la producción debido a un aumento en los costos de un solo recurso tiene un límite (no puede contratar a muchos trabajadores en una habitación, no todos tendrán lugares).

2) Los factores de producción pueden ser complementarios (trabajadores y herramientas) e intercambiables (automatización de la producción).

En su forma más general, la función de producción se ve así:

donde está el volumen de salida;
K- capital (equipo);
M - materias primas, materiales;
T - tecnología;
N - habilidades empresariales.

El más simple es el modelo de dos factores de la función de producción Cobb-Douglas, que revela la relación entre trabajo (L) y capital (K). Estos factores son intercambiables y complementarios.

,

donde A es un coeficiente de producción que muestra la proporcionalidad de todas las funciones y cambia cuando cambia la tecnología básica (en 30-40 años);

K, L- capital y trabajo;

Coeficientes de elasticidad de la producción para los insumos de capital y mano de obra.

Si = 0,25, entonces un aumento del 1 % en los costos de capital aumenta la producción en un 0,25 %.

A partir del análisis de los coeficientes de elasticidad en la función de producción Cobb-Douglas, podemos distinguir:
1) una función de producción proporcionalmente creciente, cuando ( ).
2) desproporcionadamente - aumentando);
3) decreciente.

Consideremos un breve período de actividad de una empresa, en el que el trabajo es la variable de dos factores. En tal situación, la empresa puede aumentar la producción utilizando más recursos laborales. El gráfico de la función de producción de Cobb-Douglas con una variable se muestra en la figura. 10.1 (curva TP n).

A corto plazo, se aplica la ley de la productividad marginal decreciente.

La ley de productividad marginal decreciente opera en el corto plazo cuando un factor de producción permanece sin cambios. La operación de la ley supone un estado sin cambios de tecnología y tecnología de producción, si se aplican los últimos inventos y otras mejoras técnicas en el proceso de producción, entonces se puede lograr un aumento en la producción utilizando los mismos factores de producción. Es decir, el progreso tecnológico puede cambiar los límites de la ley.

Si el capital es un factor fijo y el trabajo es un factor variable, entonces la empresa puede aumentar la producción empleando más trabajo. pero en la ley de la productividad marginal decreciente, un aumento constante en un recurso variable, mientras que los demás permanecen sin cambios, conduce a rendimientos decrecientes de este factor, es decir, a una disminución en el producto marginal o productividad marginal del trabajo. Si continúa la contratación de trabajadores, al final se interferirán entre sí (la productividad marginal se volverá negativa) y la producción disminuirá.

La productividad marginal del trabajo (producto marginal del trabajo - MP L) es el aumento en la producción de cada unidad de trabajo subsiguiente

aquellas. ganancia de productividad al producto total (TP L)

El producto de capital marginal MP K se define de manera similar.

Con base en la ley de productividad decreciente, analicemos la relación entre los productos total (TP L), promedio (AP L) y marginal (MP L) (Fig. 10.1).

Hay tres etapas en el movimiento de la curva del producto total (PT). En la etapa 1 sube a un ritmo acelerado, ya que el producto marginal (MP) aumenta (cada nuevo trabajador aporta más producción que el anterior) y alcanza un máximo en el punto A, es decir, la tasa de crecimiento de la función es máxima . Después del punto A (etapa 2), debido a la ley de rendimientos decrecientes, la curva MP cae, es decir, cada trabajador contratado da un incremento menor en el producto total en comparación con el anterior, por lo que la tasa de crecimiento de TP después de TS se desacelera. abajo. Pero mientras MP sea positivo, TP seguirá aumentando y alcanzará su punto máximo en MP=0.

Arroz. 10.1. Dinámica y relación de los productos medios y marginales totales

En la etapa 3, cuando el número de trabajadores se vuelve redundante en relación con el capital fijo (máquinas), MR se vuelve negativo, por lo que TP comienza a declinar.

La configuración de la curva de producto promedio AR también está determinada por la dinámica de la curva MP. En la etapa 1, ambas curvas crecen hasta que el incremento en la producción de los trabajadores recién contratados es mayor que la productividad promedio (AP L) de los trabajadores previamente contratados. Pero después del punto A (MP máximo), cuando el cuarto trabajador agrega menos al producto total (TP) que el tercero, MP disminuye, por lo que la producción promedio de cuatro trabajadores también disminuye.

efecto de escala

1. Manifestado en un cambio en los costos de producción promedio a largo plazo (LATC).

2. La curva LATC es la envolvente del costo promedio mínimo a corto plazo por unidad de producción de la empresa (Figura 10.2).

3. El período a largo plazo en la actividad de la empresa se caracteriza por un cambio en el número de todos los factores de producción utilizados.

Arroz. 10.2. Curva de costos medios y de largo plazo de la empresa

La reacción de LATC a un cambio en los parámetros (escala) de una empresa puede ser diferente (Fig. 10.3).

Arroz. 10.3. Dinámica de los costes medios a largo plazo

Etapa I: efecto positivo de escala	Un aumento de la producción va acompañado de una disminución de LATC, lo que se explica por el efecto del ahorro (por ejemplo, por la profundización de la especialización del trabajo, el uso de nuevas tecnologías, el uso eficiente de los residuos).
Etapa II: rendimientos constantes a escala	Cuando el volumen cambia, los costos permanecen sin cambios, es decir, un aumento en la cantidad de recursos utilizados en un 10% provocó un aumento en los volúmenes de producción también en un 10%.
Etapa III: efecto de escala negativo	Un aumento en la producción (por ejemplo, en un 7%) provoca un aumento en LATC (en un 10%). La razón del daño de la escala puede ser factores técnicos (tamaño gigantesco injustificado de la empresa), razones organizativas (crecimiento e inflexibilidad del aparato administrativo y de gestión).

Cada empresa, al emprender la producción de un producto en particular, busca lograr el máximo beneficio. Los problemas asociados con la producción de productos se pueden dividir en tres niveles:

1. Un empresario puede enfrentarse a la cuestión de cómo producir una determinada cantidad de productos en una empresa en particular. Estos problemas se relacionan con las cuestiones de minimización a corto plazo de los costos de producción;
2. el empresario puede decidir sobre la producción del óptimo, es decir. traer más beneficios, el número de productos en una empresa en particular. Estas preguntas se refieren a la maximización de beneficios a largo plazo;
3. el empresario puede enfrentarse a la tarea de averiguar el tamaño más óptimo de la empresa. Preguntas similares se refieren a la maximización de beneficios a largo plazo.

Puede encontrar la solución óptima en base a un análisis de la relación entre los costos y el volumen de producción (output). Después de todo, la ganancia está determinada por la diferencia entre los ingresos por la venta de productos y todos los costos. Tanto los ingresos como los costos dependen del volumen de producción. La teoría económica utiliza la función de producción como herramienta para analizar esta dependencia.

La función de producción determina la cantidad máxima de producción para cada cantidad dada de recursos. Esta función describe la relación entre los costos de los recursos y la producción, lo que le permite determinar la producción máxima posible para cada cantidad dada de recursos, o la cantidad mínima posible de recursos para proporcionar una salida dada. La función de producción resume solo los métodos tecnológicamente eficientes de combinar recursos para asegurar el máximo rendimiento. Cualquier mejora en la tecnología de producción que contribuya a un aumento en la productividad del trabajo conduce a una nueva función de producción.

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN - una función que muestra la relación entre el volumen máximo del producto producido y el volumen físico de los factores de producción en un nivel dado de conocimiento técnico.

Dado que el volumen de producción depende de la cantidad de recursos utilizados, la relación entre ellos se puede expresar como la siguiente notación funcional:

Q = f(L,K,M),

donde Q es el volumen máximo de productos elaborados con una determinada tecnología y determinados factores de producción;
L - trabajo; K - capital; M - materiales; f es una función.

La función de producción de esta tecnología tiene propiedades que determinan la relación entre el volumen de producción y el número de factores utilizados. Sin embargo, para diferentes tipos de producción, ¿las funciones de producción son diferentes? todos ellos tienen propiedades comunes. Se pueden distinguir dos propiedades principales.

1. Hay un límite para el crecimiento de la producción que se puede lograr aumentando el costo de un recurso, en igualdad de condiciones. Entonces, en una empresa con un número fijo de máquinas e instalaciones de producción, existe un límite para el crecimiento de la producción al aumentar los trabajadores adicionales, ya que el trabajador no contará con máquinas para trabajar.
2. Hay una cierta complementariedad (integridad) de los factores de producción, sin embargo, sin una disminución en el volumen de producción, también es probable una cierta intercambiabilidad de estos factores de producción. Así, se pueden utilizar varias combinaciones de recursos para producir un bien; es posible producir este bien utilizando menos capital y más trabajo, y viceversa. En el primer caso, la producción se considera técnicamente eficiente en comparación con el segundo caso. Sin embargo, existe un límite a la cantidad de trabajo que se puede reemplazar con más capital sin reducir la producción. Por otro lado, hay un límite al uso de mano de obra sin el uso de máquinas.

En forma gráfica, cada tipo de producción puede representarse por un punto, cuyas coordenadas caracterizan los recursos mínimos necesarios para la producción de un volumen dado de producción, y la función de producción, por una línea isocuanta.

Habiendo considerado la función de producción de la empresa, pasemos a caracterizar los siguientes tres conceptos importantes: producto total (acumulativo), medio y marginal.

Arroz. a) Curva del producto total (TR); b) curva de producto medio (AP) y producto marginal (MP)

En la fig. se muestra la curva del producto total (PT), que varía en función del valor de la variable factor X. En la curva PT se marcan tres puntos: B es el punto de inflexión, C es el punto que pertenece a la tangente coincidente con la línea que conecta este punto con el origen, D – punto de valor máximo de TP. El punto A se mueve a lo largo de la curva TP. Conectando el punto A al origen, obtenemos la línea OA. Dejando caer la perpendicular del punto A al eje de abscisas, obtenemos el triángulo OAM, donde tg a es la relación entre el lado AM y OM, es decir, la expresión del producto medio (AP).

Dibujando una tangente por el punto A, obtenemos el ángulo P, cuya tangente expresará el producto marginal MP. Comparando los triángulos LAM y OAM, encontramos que hasta cierto punto la tangente P es mayor que tg a. Así, el producto marginal (MP) es mayor que el producto medio (AP). En el caso de que el punto A coincida con el punto B, la tangente P toma un valor máximo y, por tanto, el producto marginal (PM) alcanza el mayor volumen. Si el punto A coincide con el punto C, entonces el valor del producto medio y marginal son iguales. El producto marginal (MP), habiendo alcanzado su valor máximo en el punto B (Fig. 22, b), comienza a disminuir y en el punto C se cruza con el gráfico del producto promedio (AP), que en este punto alcanza su máximo valor. Entonces, tanto el producto marginal como el producto medio disminuyen, pero el producto marginal disminuye a un ritmo más rápido. En el punto de máximo producto total (PT), producto marginal MP = 0.

Vemos que el cambio más efectivo en la variable factor X se observa en el segmento del punto B al punto C. Aquí, el producto marginal (MP), habiendo alcanzado su valor máximo, comienza a disminuir, el producto promedio (AR) todavía aumenta, el producto total (TR) recibe el mayor crecimiento.

Por lo tanto, la función de producción es una función que le permite determinar el volumen máximo posible de producción para varias combinaciones y cantidades de recursos.

En la teoría de la producción, tradicionalmente se utiliza una función de producción de dos factores, en la que el volumen de producción es una función del uso de los recursos laborales y de capital:

Q = f(L, K).

Se puede presentar como un gráfico o una curva. En la teoría del comportamiento de los productores, bajo ciertos supuestos, existe una combinación única de recursos que minimiza el costo de los recursos para un volumen dado de producción.

El cálculo de la función de producción de la empresa es la búsqueda del óptimo, entre muchas opciones que involucran varias combinaciones de factores de producción, uno que proporcione el máximo rendimiento posible. Ante el aumento de los precios y los costos de efectivo, la empresa, es decir, el costo de adquirir factores de producción, el cálculo de la función de producción se enfoca en encontrar una opción que maximice las ganancias al menor costo.

El cálculo de la función de producción de la empresa, buscando lograr un equilibrio entre el costo marginal y el ingreso marginal, se centrará en encontrar una variante que proporcione la producción requerida a costos de producción mínimos. Los costos mínimos se determinan en la etapa de cálculo de la función de producción por el método de sustitución, el desplazamiento de factores de producción costosos o de mayor precio por otros alternativos y más baratos. La sustitución se realiza con la ayuda de un análisis económico comparativo de factores de producción intercambiables y complementarios a sus precios de mercado. Una opción satisfactoria sería aquella en la que la combinación de factores de producción y un volumen dado de producción cumplan con el criterio de los costos de producción más bajos.

Hay varios tipos de función de producción. Los principales son:

1. FP no lineal;
2. PF lineal;
3. FP multiplicativo;
4. PF "entrada-salida".

Función de producción y selección del tamaño óptimo de producción

Una función de producción es la relación entre un conjunto de factores de producción y la cantidad máxima posible de producto producido por este conjunto de factores.

La función de producción es siempre concreta, es decir, destinados a esta tecnología. Nueva tecnología - nueva función productiva.

La función de producción determina la cantidad mínima de insumos necesarios para producir una determinada cantidad de producto.

Las funciones de producción, independientemente del tipo de producción que expresen, tienen las siguientes propiedades generales:

1. Un aumento en la producción debido a un aumento en los costos de un solo recurso tiene un límite (no puede contratar a muchos trabajadores en una habitación, no todos tendrán lugares).
2. Los factores de producción pueden ser complementarios (trabajadores y herramientas) e intercambiables (automatización de la producción).

En su forma más general, la función de producción se ve así:

Q = f(K,L,M,T,N),

donde L es el volumen de salida;
K - capital (equipo);
M - materias primas, materiales;
T - tecnología;
N - habilidades empresariales.

El más simple es el modelo de dos factores de la función de producción Cobb-Douglas, que revela la relación entre trabajo (L) y capital (K). Estos factores son intercambiables y complementarios.

Q = AK α * L β ,

donde A es un coeficiente de producción que muestra la proporcionalidad de todas las funciones y cambia cuando cambia la tecnología básica (en 30-40 años);
K, L - capital y trabajo;
α, β son los coeficientes de elasticidad del volumen de producción en términos de costos de capital y mano de obra.

Si = 0,25, entonces un aumento del 1 % en los costos de capital aumenta la producción en un 0,25 %.

Con base en el análisis de los coeficientes de elasticidad en la función de producción Cobb-Douglas, podemos distinguir:

1. una función de producción proporcionalmente creciente cuando α + β = 1 (Q = K 0.5 * L 0.2).
2. desproporcionadamente - aumentando α + β > 1 (Q = K 0.9 * L 0.8);
3. decreciente α + β< 1 (Q = K 0,4 * L 0,2).

Los tamaños óptimos de las empresas no son de carácter absoluto, por lo que no pueden establecerse fuera del tiempo y fuera del lugar, ya que son diferentes para diferentes períodos y regiones económicas.

El tamaño óptimo de la empresa proyectada debe proporcionar un mínimo de costos o un máximo de ganancias, calculado por las fórmulas:

Ts + S + Tp + K * En_ - mínimo, P - máximo,

donde Tc - el costo de entrega de materias primas y materiales;
C - costos de producción, es decir costo de producción;
Tp: el costo de entregar productos terminados a los consumidores;
K - costos de capital;
En es el coeficiente normativo de eficiencia;
P es el beneficio de la empresa.

En otras palabras, se entiende por tamaños óptimos de empresas aquellos que proporcionan los objetivos del plan de producción y aumento de la capacidad productiva menos los costos reducidos (teniendo en cuenta las inversiones de capital en industrias relacionadas) y la máxima eficiencia económica posible.

El problema de optimizar la producción y, en consecuencia, responder a la pregunta de cuál debería ser el tamaño óptimo de la empresa, con toda su severidad, también enfrentó a los empresarios, presidentes de empresas y firmas occidentales.

Aquellos que no lograron alcanzar la escala necesaria se encontraron en la posición poco envidiable de productores de alto costo, condenados a existir al borde de la ruina y, en última instancia, a la bancarrota.

Hoy, sin embargo, aquellas empresas estadounidenses que todavía se esfuerzan por tener éxito en la competencia a través de economías de escala no están ganando tanto como perdiendo. En las condiciones modernas, este enfoque conduce inicialmente a una disminución no solo de la flexibilidad, sino también de la eficiencia de la producción.

Además, los emprendedores recuerdan que los pequeños negocios significan menos inversión y por lo tanto menos riesgo financiero. En cuanto al lado puramente gerencial del problema, los investigadores estadounidenses señalan que las empresas con más de 500 empleados se vuelven mal administradas, torpes y poco receptivas a los problemas emergentes.

Por lo tanto, varias empresas estadounidenses en la década de 1960 recurrieron a la reducción del tamaño de sus sucursales y empresas para reducir significativamente el tamaño de los eslabones de producción primaria.

Además de la simple desagregación mecánica de las empresas, los organizadores de la producción llevan a cabo una reorganización radical dentro de las empresas, formando organizaciones de mando y de brigada. estructuras en lugar de lineales-funcionales.

Al determinar el tamaño óptimo de la empresa, las empresas utilizan el concepto de tamaño efectivo mínimo. Es simplemente el nivel más bajo de producción en el que una empresa puede minimizar su costo promedio a largo plazo.

Función de producción y elección del tamaño óptimo de producción.

Se denomina producción a cualquier transformación humana de recursos limitados -materiales, laborales, naturales- en productos acabados. La función de producción caracteriza la relación entre la cantidad de recursos utilizados (factores de producción) y la máxima producción posible que se puede lograr, siempre que todos los recursos disponibles se utilicen de la manera más racional.

La función de producción tiene las siguientes propiedades:

1. Hay un límite para el aumento de la producción que se puede alcanzar aumentando un recurso y manteniendo constantes otros recursos. Si, por ejemplo, la cantidad de trabajo en la agricultura aumenta con cantidades constantes de capital y tierra, tarde o temprano llega un momento en que la producción deja de crecer.
2. Los recursos se complementan entre sí, pero dentro de ciertos límites, su intercambiabilidad también es posible sin reducir la producción. El trabajo manual, por ejemplo, puede ser reemplazado por el uso de más máquinas y viceversa.
3. Cuanto más largo sea el período de tiempo, más recursos se pueden revisar. En este sentido, existen períodos instantáneos, cortos y largos. Período instantáneo: el período en el que todos los recursos son fijos. Un período corto es un período en el que al menos un recurso es fijo. El período largo es el período en que todos los recursos son variables.

Por lo general, en microeconomía se analiza una función de producción de dos factores, que refleja la dependencia de la producción (q) de la cantidad de trabajo utilizada ( L) y capital ( k). Recuérdese que el capital se refiere a los medios de producción, es decir, el número de máquinas y equipos utilizados en la producción, medido en horas máquina. A su vez, la cantidad de mano de obra se mide en horas-hombre.

Como regla general, la función de producción considerada se ve así:

q = AK α L β

A, α, β - parámetros dados. El parámetro A es el coeficiente de productividad total de los factores de producción. Refleja el impacto del progreso tecnológico en la producción: si el fabricante introduce tecnologías avanzadas, el valor de A aumenta, es decir, la producción aumenta con la misma cantidad de trabajo y capital. Los parámetros α y β son los coeficientes de elasticidad del producto con respecto al capital y al trabajo, respectivamente. En otras palabras, muestran el cambio porcentual en la producción cuando el capital (trabajo) cambia en un uno por ciento. Estos coeficientes son positivos, pero menores que la unidad. Esto último significa que con el crecimiento del trabajo con capital constante (o capital con trabajo constante) en un uno por ciento, la producción aumenta en menor medida.

Construyendo una isocuanta

La función de producción anterior dice que el productor puede reemplazar el trabajo con capital y el capital con trabajo, dejando la producción sin cambios. Por ejemplo, en la agricultura de los países desarrollados, la mano de obra está muy mecanizada, es decir, hay muchas maquinas (capital) para un trabajador. Por el contrario, en los países en desarrollo se logra la misma producción mediante una gran cantidad de mano de obra con poco capital. Esto le permite construir una isocuanta (Fig. 8.1).

La isocuanta (línea de igual producto) refleja todas las combinaciones de dos factores de producción (trabajo y capital) en las que la producción permanece sin cambios. En la fig. 8.1 junto a la isocuanta se encuentra la emisión que le corresponde. si, liberación q 1, alcanzable usando L1 trabajo y K1 capital o usando L 2 trabajo y k 2 capital.

Arroz. 8.1. isocuanta

También son posibles otras combinaciones de las cantidades de trabajo y capital requeridas para lograr un producto dado.

Todas las combinaciones de recursos correspondientes a esta isocuanta reflejan métodos de producción técnicamente eficientes. El método de producción A es técnicamente eficiente en comparación con el método B si requiere el uso de al menos un recurso en una cantidad menor y todos los demás no en grandes cantidades en comparación con el método B. En consecuencia, el método B es técnicamente ineficiente en comparación con A. Técnicamente los modos de producción ineficientes no son utilizados por empresarios racionales y no pertenecen a la función de producción.

De lo anterior se deduce que una isocuanta no puede tener una pendiente positiva, como se muestra en la Fig. 8.2.

El segmento marcado con una línea de puntos refleja todos los métodos de producción técnicamente ineficientes. En particular, en comparación con el método A, el método B para garantizar el mismo resultado ( q 1) requiere la misma cantidad de capital pero más trabajo. Es obvio, por tanto, que la vía B no es racional y no puede ser tenida en cuenta.

Con base en la isocuanta, es posible determinar la tasa marginal de reemplazo técnico.

La tasa marginal de reemplazo técnico del factor Y por el factor X (TMTS XY) es el monto del factor Y(por ejemplo, capital), que puede abandonarse aumentando el factor X(por ejemplo, mano de obra) en 1 unidad para que la producción no cambie (permanecemos en la misma isocuanta).

Arroz. 8.2. Producción técnicamente eficiente e ineficiente

En consecuencia, la tasa marginal de reemplazo técnico de capital por mano de obra se calcula mediante la fórmula
Para cambios infinitamente pequeños en L y K, es
Así, la tasa marginal de reemplazo técnico es la derivada de la función isocuanta en un punto dado. Geométricamente, es la pendiente de la isocuanta (Fig. 8.3).

Arroz. 8.3. Tasa marginal de reemplazo técnico

Al moverse de arriba hacia abajo a lo largo de la isocuanta, la tasa marginal de reemplazo técnico disminuye todo el tiempo, como lo demuestra la pendiente decreciente de la isocuanta.

Si el productor aumenta tanto el trabajo como el capital, esto le permite lograr una mayor producción, es decir, pasar a una isocuanta más alta (q2). Una isocuanta situada a la derecha y encima de la anterior corresponde a una salida mayor. El conjunto de isocuantas forma un mapa de isocuantas (Fig. 8.4).

Arroz. 8.4. Mapa de isocuantas

Casos especiales de isocuantas

Recuerde que las isocuantas dadas corresponden a una función de producción de la forma q = AK α L β. Pero hay otras funciones de producción. Consideremos el caso cuando hay una sustitución perfecta de factores de producción. Supongamos, por ejemplo, que se pueden utilizar cargadores calificados y no calificados en el trabajo de almacén, y la productividad de un cargador calificado es N veces mayor que la de uno no calificado. Esto significa que podemos reemplazar cualquier número de motores hábiles con motores no calificados N a uno. Por el contrario, uno puede reemplazar N cargadores no calificados con uno calificado.

Entonces la función de producción queda así: q = hacha + por, donde X- el número de trabajadores calificados, y- el número de trabajadores no calificados, un y b- parámetros constantes que reflejan la productividad de un trabajador calificado y uno no calificado, respectivamente. La relación de los coeficientes ayb es la tasa marginal de reemplazo técnico de los trabajadores no calificados por los calificados. Es constante e igual a N: MRTSxy=a/b=N.

Supongamos, por ejemplo, que un cargador calificado pueda procesar 3 toneladas de carga por unidad de tiempo (este será el coeficiente a en la función de producción), y uno no calificado, solo 1 tonelada (coeficiente b). Esto significa que el empleador puede rechazar tres cargadores no calificados, además de contratar a un cargador calificado, para que la salida (peso total de la carga manipulada) siga siendo la misma.

La isocuanta en este caso es lineal (Fig. 8.5).

Arroz. 8.5. Isocuanta bajo sustitución perfecta de factores

La tangente de la pendiente de la isocuanta es igual a la tasa marginal de reemplazo técnico de trabajadores no calificados por trabajadores calificados.

Otra función de producción es la función de Leontief. Supone una complementariedad rígida de los factores de producción. Esto significa que los factores solo pueden usarse en una proporción estrictamente definida, cuya violación es tecnológicamente imposible. Por ejemplo, un vuelo aéreo normalmente se puede operar con al menos una aeronave y cinco miembros de la tripulación. Al mismo tiempo, es imposible aumentar las horas-avión (capital) y al mismo tiempo reducir las horas-hombre (mano de obra), y viceversa, y mantener la producción sin cambios. Las isocuantas en este caso tienen la forma de ángulos rectos, es decir las tasas marginales de reemplazo técnico son cero (Fig. 8.6). Al mismo tiempo, es posible aumentar la producción (el número de vuelos) aumentando tanto el trabajo como el capital en la misma proporción. Gráficamente, esto significa pasar a una isocuanta más alta.

Arroz. 8.6. Isocuantas en el caso de complementariedad rígida de los factores de producción

Analíticamente, tal función de producción tiene la forma: q = min (aK; bL), donde a y b son coeficientes constantes que reflejan la productividad del capital y el trabajo, respectivamente. La relación de estos coeficientes determina la proporción del uso de capital y mano de obra.

En nuestro ejemplo de vuelo, la función de producción se ve así: q = min(1K; 0.2L). El hecho es que la productividad del capital aquí es un vuelo para un avión, y la productividad del trabajo es un vuelo para cinco personas, o 0,2 vuelos para una persona. Si una aerolínea tiene una flota de 10 aviones y 40 tripulantes de vuelo, entonces su salida máxima será: q = min( 1 x 8; 0.2 x 40) = 8 vuelos. Al mismo tiempo, dos aviones estarán inactivos en tierra debido a la falta de personal.

Veamos finalmente la función de producción, que supone la existencia de un número limitado de tecnologías de producción para la producción de una determinada cantidad de producto. Cada uno de ellos corresponde a un determinado estado del trabajo y del capital. Como resultado, tenemos una serie de puntos de referencia en el espacio "trabajo-capital", conectando los cuales obtenemos una isocuanta rota (Fig. 8.7).

Arroz. 8.7. Isocuantas rotas en presencia de un número limitado de métodos de producción

La figura muestra que la producción de q1 puede obtenerse con cuatro combinaciones de trabajo y capital, correspondientes a los puntos A, B, C y D. También son posibles combinaciones intermedias, alcanzables en los casos en que se utilizan dos tecnologías juntas para obtener un cierto total salida Como siempre, al aumentar la cantidad de trabajo y capital, nos movemos a una isocuanta más alta.

funciones de producción Se denominan modelos económico-matemáticos que relacionan los costos variables con los valores de producción. Los conceptos de "costos" y "producto" están relacionados, por regla general, con el proceso de producción; esto explica el origen del nombre de este tipo de modelos. Si se considera la economía de una región o de un país en su conjunto, entonces se desarrollan funciones de producción agregadas, en las que el producto es un indicador del producto social total. Los casos particulares de funciones de producción son funciones de lanzamiento (dependencia del volumen de producción de la disponibilidad o consumo de recursos), funciones de costo (la relación entre el volumen de producción y los costos de producción), funciones de costo de capital (dependencia de las inversiones de capital en la capacidad de producción de las empresas que se crean), etc.

Las formas multiplicativas de representación de las funciones de producción son ampliamente utilizadas. En su forma más general, la función de producción multiplicativa se escribe de la siguiente manera:

Aquí el coeficiente PERO determina la dimensión de las cantidades y depende de las unidades de medida de costos y producción elegidas. factores X represento factores influyentes y puede tener un contenido económico diferente según los factores que afecten la producción r Los parámetros de potencia α, β, ..., γ muestran la participación en el crecimiento del producto final que aporta cada uno de los factores; ellos se llaman coeficientes de elasticidad de la producción con respecto a los costos del recurso correspondiente y muestre en qué porcentaje aumenta la producción con un aumento en el costo de este recurso en un uno por ciento.

La suma de los coeficientes de elasticidad es importante para caracterizar las propiedades de la función de producción. Suponga que los costos de todos los tipos de recursos aumentan en k una vez. Entonces el valor de la salida de acuerdo con (7.16) será

Por lo tanto, si , entonces con un aumento en los costos en para veces la salida también aumenta en k una vez; la función de producción en este caso es linealmente homogénea. En mi > 1 el mismo aumento en los costos conducirá a un aumento en la producción de más de para veces, y en mi < 1 – менее чем в para veces (el llamado efecto de escala).

Un ejemplo de funciones de producción multiplicativas es la conocida función de producción Cobb-Douglas:

norte - ingreso nacional;

PERO – coeficiente de dimensión;

L, K- el volumen de trabajo aplicado y capital fijo, respectivamente;

α y β son coeficientes de elasticidad de la renta nacional al trabajo L y capital PARA.

Esta función fue utilizada por investigadores estadounidenses en el análisis del desarrollo de la economía estadounidense en los años 30 del siglo pasado.

La eficiencia en el uso de los recursos se caracteriza por dos indicadores principales: promedio (absoluto ) eficiencia recurso

y eficiencia marginal recurso

El significado económico de μi es obvio; según el tipo de recurso, caracteriza indicadores como la productividad del trabajo, la productividad del capital, etc. El valor v i muestra el aumento marginal en la producción del producto con un aumento en el costo del i-ésimo recurso por una "pequeña unidad" (por 1 rublo, por 1 hora estándar, etc.).

muchos puntos norte -espacio dimensional de factores de producción (recursos) que satisfacen la condición de constancia de producción R (X ) = C, llamado isocuanta. Las propiedades más importantes de las isocuantas son las siguientes: las isocuantas no se cruzan entre sí; un valor de salida mayor corresponde a una isocuanta más alejada del origen de coordenadas; si todos los recursos son absolutamente necesarios para la producción, entonces las isocuantas no tienen puntos comunes con los hiperplanos de coordenadas y los ejes de coordenadas.

En la producción material, el concepto de intercambiabilidad de los recursos. En la teoría de la función de producción, las posibilidades de sustitución de recursos caracterizan una función de producción en términos de diferentes combinaciones de insumos de recursos que conducen al mismo nivel de producción. Expliquemos esto con un ejemplo hipotético. Supongamos que la producción de cierta cantidad de productos agrícolas requiere 10 trabajadores y 2 toneladas de fertilizante, y si solo se aplica 1 tonelada de fertilizante al suelo, se requerirán 12 trabajadores para obtener la misma cosecha. Aquí, 1 tonelada de fertilizante (el primer recurso) se reemplaza por el trabajo de dos trabajadores (el segundo recurso).

Las condiciones para la intercambiabilidad equivalente de recursos en algún punto se derivan de la igualdad dP = 0:

De aquí tasa marginal de sustitución (sustituibilidad equivalente) de dos recursos k y yo dado por la formula

(7.20)

La tasa marginal de sustitución como indicador de la función de producción caracteriza la eficiencia relativa de los factores de producción intercambiables cuando se mueven a lo largo de la isocuanta. Por ejemplo, para la función Cobb-Douglas, la tasa marginal de reemplazo de costos laborales por costos de capital, es decir activos de producción tiene la forma

(7.21)

El signo menos en la parte derecha de las fórmulas (7.20) y (7.21) significa que a un volumen fijo de producción, un aumento en uno de los recursos intercambiables corresponde a una disminución en el otro.

Ejemplo 7.1. Considere un ejemplo de la función de producción Cobb-Douglas, para la cual se conocen los coeficientes de elasticidad de producción para el trabajo y el capital: α = 0.3; β = 0,7, así como los costos laborales y de capital: L = 30 mil personas; Para = 490 millones de rublos. En estas condiciones, la tasa marginal de reemplazo de los activos de producción por los costos laborales es igual a

Así, en este ejemplo condicional, en esos puntos del espacio bidimensional ( L, K ), donde los recursos laborales y de capital son intercambiables, una disminución en los activos de producción de 7 mil rublos. puede ser compensado por un aumento en los costos laborales por persona, y viceversa.

Relacionado con el concepto de tasa marginal de sustitución está el concepto elasticidad de sustitución de recursos. El coeficiente de elasticidad de sustitución caracteriza la relación del cambio relativo en la relación de los costos de los recursos. k y yo a un cambio relativo en la tasa marginal de sustitución de estos recursos:

Este coeficiente muestra en qué porcentaje debe cambiar la relación entre los recursos intercambiables para que la tasa marginal de reemplazo de estos recursos cambie en un 1%. Cuanto mayor sea la elasticidad de sustitución de recursos, más ampliamente podrán reemplazarse entre sí. Con elasticidad infinita () no hay límites para la intercambiabilidad de los recursos. Con elasticidad de sustitución cero () no hay posibilidad de reemplazo; en este caso, los recursos se complementan y deben utilizarse en una determinada proporción.

Considere, además de la función Cobb-Douglas, algunas otras funciones de producción ampliamente utilizadas como modelos econométricos. Función de producción lineal tiene la forma

son los parámetros estimados del modelo;

, - factores de producción, mutuamente sustituibles en cualquier proporción (elasticidad de sustitución).

Las isocuantas de esta función de producción forman una familia de hiperplanos paralelos en una ortante no negativa norte -espacio dimensional de factores.

Muchos estudios utilizan funciones de producción con elasticidad de sustitución constante.

(7.23)

La función de producción (7.23) es una función homogénea del grado PAG. Todas las elasticidades de sustitución de recursos son iguales entre sí:

Por lo tanto, esta función se llama función con elasticidad de sustitución constante (Función CES ). Si , la elasticidad de sustitución es menor que uno; si , el valor es mayor que uno; cuando , la función CES se transforma en una función de producción de potencia multiplicativa (7.16).

Función de dos factores CES tiene la forma

En norte = 1 y p = 0, esta función se transforma en una función del tipo de la función Cobb-Douglas (7.17).

Además de las funciones de producción con coeficientes constantes de elasticidad de la producción de recursos y elasticidad constante de sustitución de recursos, también se utilizan funciones más generales en el análisis y la previsión económicos. Un ejemplo es la función

Esta función difiere de la función Cobb-Douglas por el factor , donde z = K/L- relación capital-trabajo (relación capital-trabajo) del trabajo, y en ella la elasticidad de sustitución toma diferentes valores según el nivel de la relación capital-trabajo. En este sentido, esta función pertenece al tipo funciones de producción con elasticidad de sustitución variable (funciones VES ).

Volvamos a la consideración de una serie de cuestiones del uso práctico de las funciones de producción en la economía.

análisis químico. Las funciones de producción macroeconómica se utilizan como herramienta para pronosticar el volumen de producción bruta, el producto final y el ingreso nacional, para analizar la eficiencia comparativa de los factores de producción. Por lo tanto, una condición importante para el crecimiento de la producción y la productividad laboral es un aumento en la relación capital-trabajo del trabajo. Si para la función Cobb-Douglas

establecer la condición de homogeneidad lineal , entonces a partir de la relación entre la productividad del trabajo ( P/L ) y la relación capital-trabajo ( K/L )

(7.24)

se sigue que la productividad del trabajo crece más lentamente que la relación capital-trabajo, ya que . Esta conclusión, como muchos otros resultados de análisis basados ​​en funciones de producción, es siempre válida para funciones de producción estáticas que no tienen en cuenta la mejora de los medios técnicos de trabajo y las características cualitativas de los recursos utilizados, es decir independientemente del progreso tecnológico. Para estimar los parámetros del modelo (7.24), se linealiza tomando un logaritmo:

Junto con un aumento cuantitativo en la cantidad de recursos utilizados (recursos laborales, activos de producción, etc.), el factor más importante en el crecimiento de la producción es el progreso científico y tecnológico, que consiste en mejorar los medios técnicos y la tecnología, mejorando las habilidades de los trabajadores, y mejorar la organización de la gestión de la producción. Los modelos econométricos estáticos, incluidas las funciones de producción estáticas, no tienen en cuenta el factor de progreso técnico, por lo que se utilizan funciones de producción macroeconómicas dinámicas, cuyos parámetros se determinan mediante el procesamiento de series temporales. El progreso tecnológico suele reflejarse en las funciones de producción en forma de una tendencia dependiente del tiempo en el desarrollo de la producción.

Por ejemplo, la función Cobb-Douglas, teniendo en cuenta el factor de progreso tecnológico, toma la siguiente forma:

En el modelo (7.25), el factor refleja la tendencia en el desarrollo de la producción asociada al progreso científico y tecnológico. En este multiplicador t - tiempo, y λ - la tasa de crecimiento de la producción debido al progreso técnico. En el uso práctico del modelo (7.25), para estimar sus parámetros, la linealización se realiza tomando logaritmos, de manera similar al modelo (7.24):

Cabe destacar especialmente que a la hora de construir funciones de producción, como en todos los modelos econométricos multifactoriales, un punto muy importante es la correcta selección de los factores que influyen. En particular, es necesario deshacerse de los fenómenos de multicolinealidad de los factores y de los fenómenos de autocorrelación dentro de cada uno de ellos. Este tema se describe en detalle en el párrafo 7.1 de este capítulo. Al estimar los parámetros de las funciones de producción con base en observaciones estadísticas, incluidas series de tiempo, el método principal es el método de mínimos cuadrados.

Considere la aplicación de funciones de producción para el análisis económico y la previsión en un ejemplo condicional del campo de la economía laboral.

Ejemplo 7.2. Sea la producción de la industria caracterizada por una función de producción del tipo Cobb-Douglas:

R - el volumen de producción (millones de rublos);

T- el número de empleados de la industria (miles de personas);

F - el costo promedio anual de los activos fijos de producción (millones de rublos).

Supongamos que los parámetros de esta función de producción son conocidos e iguales: a = 0,3; β = 0,7; factor de dimensión un = = 0,6 (mil rublos/persona) 0,3. También se conoce el valor del costo promedio anual de los activos fijos de producción F = 900 millones de rublos. Estas condiciones requieren:

• 1) determinar la cantidad de empleados de la industria necesarios para producir productos por un monto de 300 millones de rublos;
• 2) averiguar cómo cambiará la producción con un aumento en el número de empleados en un 1% y los mismos volúmenes de activos de producción;
• 3) evaluar la intercambiabilidad de los recursos materiales y laborales.

Para responder a la pregunta de la primera tarea, linealizamos esta función de producción tomando el logaritmo en base natural;

de donde se sigue que

Sustituyendo los datos iniciales, obtenemos

Por lo tanto (mil personas).

Consideremos la segunda tarea. Como , esta función de producción es linealmente homogénea; de acuerdo con esto, los coeficientes AIR son los coeficientes de elasticidad producto para mano de obra y fondos, respectivamente. En consecuencia, un aumento del número de empleados en la industria del 1% con un volumen constante de activos de producción conducirá a un aumento de la producción del 0,3%, es decir, la emisión ascenderá a 300,9 millones de rublos.

Volviendo a la tercera tarea, calculamos la tasa marginal de reemplazo de los activos de producción con recursos laborales. Según la fórmula (7.21)

Por lo tanto, sujeto a la intercambiabilidad de los recursos para garantizar la constancia de la producción (es decir, al moverse a lo largo de la isocuanta), una disminución de los activos de producción de la industria en 3,08 mil rublos. puede ser compensado por un aumento en los recursos laborales de 1 persona, y viceversa.

Caracteriza la relación entre la cantidad de recursos utilizados () y el máximo rendimiento posible que se puede lograr, siempre que todos los recursos disponibles se utilicen de la manera más racional.

La función de producción tiene las siguientes propiedades:

1. Hay un límite al aumento de la producción que se puede alcanzar aumentando un recurso y manteniendo constantes otros recursos. Si, por ejemplo, la cantidad de trabajo en la agricultura aumenta con cantidades constantes de capital y tierra, tarde o temprano llega un momento en que la producción deja de crecer.

2. Los recursos se complementan entre sí, pero dentro de ciertos límites, su intercambiabilidad también es posible sin reducir la producción. El trabajo manual, por ejemplo, puede ser reemplazado por el uso de más máquinas y viceversa.

3. Cuanto mayor sea el período de tiempo, más recursos se pueden revisar. En este sentido, existen períodos instantáneos, cortos y largos. Período instantáneo - el período en que todos los recursos son fijos. período corto— el período en el que al menos un recurso es fijo. Un largo período - Periodo en el que todos los recursos son variables.

Por lo general, en microeconomía, se analiza una función de producción de dos factores, que refleja la dependencia de la producción (q) de la cantidad de trabajo () y capital () utilizados. Recuérdese que el capital se refiere a los medios de producción, es decir, el número de máquinas y equipos utilizados en la producción y medido en horas máquina (tema 2, párrafo 2.2). A su vez, la cantidad de mano de obra se mide en horas-hombre.

Como regla general, la función de producción considerada se ve así:

A, α, β son parámetros dados. Parámetro PERO es el coeficiente de productividad total de los factores. Refleja el impacto del progreso tecnológico en la producción: si el fabricante introduce tecnologías avanzadas, el valor PERO aumenta, es decir la producción aumenta con la misma cantidad de trabajo y capital. Opciones α y β son los coeficientes de elasticidad de la producción con respecto al capital y al trabajo, respectivamente. En otras palabras, muestran el cambio porcentual en la producción cuando el capital (trabajo) cambia en un uno por ciento. Estos coeficientes son positivos, pero menores que la unidad. Esto último significa que con el crecimiento del trabajo con capital constante (o capital con trabajo constante) en un uno por ciento, la producción aumenta en menor medida.

Construyendo una isocuanta

La función de producción dada dice que el productor puede reemplazar mano de obra por capitán y capital por mano de obra, dejando la producción sin cambios. Por ejemplo, en la agricultura de los países desarrollados, la mano de obra está muy mecanizada, es decir, hay muchas maquinas (capital) para un trabajador. Por el contrario, en los países en desarrollo se logra la misma producción mediante una gran cantidad de mano de obra con poco capital. Esto le permite construir una isocuanta (Fig. 8.1).

isocuanta(línea de igual producto) refleja todas las combinaciones de dos factores de producción (trabajo y capital), en las que la producción permanece sin cambios. En la fig. 8.1 junto a la isocuanta se encuentra la emisión que le corresponde. Por lo tanto, la producción se puede lograr usando trabajo y capital, o usando trabajo y capitán.

Arroz. 8.1. isocuanta

También son posibles otras combinaciones de las cantidades de trabajo y capital requeridas para lograr un producto dado.

Todas las combinaciones de recursos correspondientes a una isocuanta determinada reflejan técnicamente eficiente métodos de producción. Modo de producción UN es técnicamente eficiente en comparación con el método EN, si requiere el uso de al menos un recurso en menor cantidad, y todos los demás no en grandes cantidades en comparación con el método EN. En consecuencia, el método EN es técnicamente ineficiente en comparación con PERO. Los modos de producción técnicamente ineficientes no son utilizados por empresarios racionales y no pertenecen a la función de producción.

De lo anterior se deduce que una isocuanta no puede tener una pendiente positiva, como se muestra en la Fig. 8.2.

El segmento marcado con una línea de puntos refleja todos los métodos de producción técnicamente ineficientes. En particular, en comparación con el método PERO camino EN para asegurar la misma producción () se requiere la misma cantidad de capital, pero más mano de obra. Es evidente, por tanto, que la manera B no es racional y no se puede tener en cuenta.

Con base en la isocuanta, es posible determinar la tasa marginal de reemplazo técnico.

Tasa Marginal de Reemplazo Técnico del Factor Y por el Factor X (MRTS XY)- esta es la cantidad de un factor (por ejemplo, capital), que se puede abandonar cuando el factor (por ejemplo, trabajo) aumenta en 1 unidad para que la producción no cambie (permanecemos en la misma isocuanta).

Arroz. 8.2. Producción técnicamente eficiente e ineficiente

En consecuencia, la tasa marginal de reemplazo técnico de capital por mano de obra se calcula mediante la fórmula

Con cambios infinitesimales L y k ella es

Así, la tasa marginal de reemplazo técnico es la derivada de la función isocuanta en un punto dado. Geométricamente, es la pendiente de la isocuanta (Fig. 8.3).

Arroz. 8.3. Tasa marginal de reemplazo técnico

Al moverse de arriba hacia abajo a lo largo de la isocuanta, la tasa marginal de reemplazo técnico disminuye todo el tiempo, como lo demuestra la pendiente decreciente de la isocuanta.

Si el productor aumenta tanto el trabajo como el capital, esto le permite lograr una mayor producción, es decir, pasar a una isocuanta más alta (q 2). Una isocuanta situada a la derecha y encima de la anterior corresponde a una salida mayor. El conjunto de formas isocuantas mapa de isocuantas(Figura 8.4).

Arroz. 8.4. Mapa de isocuantas

Casos especiales de isocuantas

Recuérdese que las dadas corresponden a una función de producción de la forma . Pero hay otras funciones de producción. Consideremos el caso cuando hay una sustitución perfecta de factores de producción. Supongamos, por ejemplo, que se pueden utilizar cargadores calificados y no calificados en el trabajo de almacén, y la productividad de un cargador calificado en norte veces mayor que la de los no calificados. Esto significa que podemos reemplazar cualquier número de transportistas calificados con no calificados en la proporción norte a uno. Por el contrario, uno puede reemplazar N cargadores no calificados con uno calificado.

En este caso, la función de producción tiene la forma: donde es el número de trabajadores calificados, es el número de trabajadores no calificados, un y b- parámetros constantes que reflejan la productividad de un trabajador calificado y uno no calificado, respectivamente. Relación de coeficiente a y b- la tasa marginal de sustitución técnica de cargadores no calificados por calificados. es constante e igual norte: MRTSxy= a/b = N.

Supongamos, por ejemplo, que un cargador calificado pueda procesar 3 toneladas de carga por unidad de tiempo (este será el coeficiente a en la función de producción), y uno no calificado, solo 1 tonelada (coeficiente b). Esto significa que el empleador puede rechazar tres cargadores no calificados, además de contratar a un cargador calificado, para que la salida (peso total de la carga manipulada) siga siendo la misma.

La isocuanta en este caso es lineal (Fig. 8.5).

Arroz. 8.5. Isocuanta bajo sustitución perfecta de factores

La tangente de la pendiente de la isocuanta es igual a la tasa marginal de reemplazo técnico de trabajadores no calificados por trabajadores calificados.

Otra función de producción es la función de Leontief. Supone una complementariedad rígida de los factores de producción. Esto significa que los factores solo pueden usarse en una proporción estrictamente definida, cuya violación es tecnológicamente imposible. Por ejemplo, un vuelo aéreo normalmente se puede operar con al menos una aeronave y cinco miembros de la tripulación. Al mismo tiempo, es imposible aumentar las horas-avión (capital) y al mismo tiempo reducir las horas-hombre (mano de obra), y viceversa, y mantener la producción sin cambios. Las isocuantas en este caso tienen la forma de ángulos rectos, es decir las tasas marginales de reemplazo técnico son cero (Fig. 8.6). Al mismo tiempo, es posible aumentar la producción (el número de vuelos) aumentando tanto el trabajo como el capital en la misma proporción. Gráficamente, esto significa pasar a una isocuanta más alta.

Arroz. 8.6. Isocuantas en el caso de complementariedad rígida de los factores de producción

Analíticamente, tal función de producción tiene la forma: q =min (aK; bL), donde un y b son coeficientes constantes que reflejan la productividad del capital y del trabajo, respectivamente. La relación de estos coeficientes determina la proporción del uso de capital y mano de obra.

En nuestro ejemplo de vuelo, la función de producción se ve así: q = min(1K; 0.2L). El hecho es que la productividad del capital aquí es un vuelo para un avión, y la productividad del trabajo es un vuelo para cinco personas, o 0,2 vuelos para una persona. Si una aerolínea tiene una flota de 10 aeronaves y 40 tripulantes de vuelo, su producción máxima será: q = min( 1 x 8; 0,2 x 40) = 8 vuelos. Al mismo tiempo, dos aviones estarán inactivos en tierra debido a la falta de personal.

Veamos finalmente la función de producción, que supone la existencia de un número limitado de tecnologías de producción para la producción de una determinada cantidad de producto. Cada uno de ellos corresponde a un determinado estado del trabajo y del capital. Como resultado, tenemos una serie de puntos de referencia en el espacio "trabajo-capital", conectando los cuales obtenemos una isocuanta rota (Fig. 8.7).

Arroz. 8.7. Isocuantas rotas en presencia de un número limitado de métodos de producción

La figura muestra que la salida en el volumen q 1 puede obtenerse con cuatro combinaciones de trabajo y capital correspondientes a los puntos A B C y D. También son posibles combinaciones intermedias, alcanzables cuando una empresa utiliza dos tecnologías juntas para obtener un determinado resultado agregado. Como siempre, al aumentar la cantidad de trabajo y capital, nos movemos a una isocuanta más alta.

La fabricación no puede crear productos de la nada. El proceso de producción está asociado al consumo de diversos recursos. La cantidad de recursos incluye todo lo que es necesario para las actividades de producción: materias primas, energía, mano de obra, equipo y espacio. Para describir el comportamiento de una empresa, es necesario saber cuánto de un producto puede producir utilizando recursos en varios volúmenes. Partiremos del supuesto de que la empresa produce un producto homogéneo, cuya cantidad se mide en unidades naturales: toneladas, piezas, metros, etc. La dependencia de la cantidad de producto que una empresa puede producir en el volumen de los costos de los recursos. se llama función de producción.

La consideración del concepto de "función de producción" comenzará con el caso más simple, cuando la producción se debe a un solo factor. En este caso, la función de producción - esta es una función, cuya variable independiente toma los valores del recurso utilizado (factor de producción) y la variable dependiente, los valores del volumen de producción y=f(x).

En esta fórmula, y es una función de una variable x. En este sentido, la función de producción (FP) se denomina de un solo recurso o de un factor. Su dominio de definición es el conjunto de los números reales no negativos. El símbolo f es una característica del sistema de producción que convierte un recurso en un producto.

Ejemplo 1. Tome la función de producción f en la forma f(x)=ax b , donde x es el valor del recurso gastado (por ejemplo, horas de trabajo), f(x) es el volumen de producción (por ejemplo, el número de refrigeradores listos para su envío). Los valores a y b son parámetros de la función de producción f. Aquí a y b son números positivos y el número b1, el vector de parámetros es un vector bidimensional (a,b). La función de producción y=ax b es un representante típico de una amplia clase de FP de un factor.

Arroz. uno.

El gráfico muestra que con el aumento en el valor del recurso gastado, y crece. Sin embargo, al mismo tiempo, cada unidad adicional del recurso genera un aumento cada vez menor en el volumen y de producción. La circunstancia señalada (un aumento en el volumen de y y una disminución en el aumento del volumen de y con un aumento en el valor de x) refleja la posición fundamental de la teoría económica (bien confirmada por la práctica), llamada la ley de la disminución eficiencia (productividad decreciente o rendimientos decrecientes).

Los PF pueden tener diferentes áreas de uso. El principio de insumo-producto se puede implementar tanto a nivel micro como macroeconómico. Centrémonos primero en el nivel microeconómico. FP y=ax b , discutido anteriormente, se puede utilizar para describir la relación entre el valor del recurso gastado o utilizado x durante el año en una empresa separada (empresa) y la producción anual de esta empresa (empresa). El papel del sistema de producción aquí lo desempeña una empresa (empresa) separada: tenemos un PF microeconómico (MIPF). A nivel microeconómico, una industria, un complejo productivo intersectorial, también puede actuar como sistema productivo. Los MIPF se construyen y utilizan principalmente para resolver problemas de análisis y planificación, así como problemas de pronóstico.

El FP se puede utilizar para describir la relación entre el insumo anual de mano de obra de una región o país en su conjunto y la producción (o ingreso) final anual de esa región o país en su conjunto. Aquí, una región o un país en su conjunto actúa como un sistema de producción, tenemos un nivel macroeconómico y un FP macroeconómico (MAPF). Los MAFF se crean y se utilizan activamente para resolver los tres tipos de problemas (análisis, planificación y previsión).

Pasamos ahora a la consideración de las funciones de producción de varias variables.

Función de producción de varias variables es una función cuyas variables independientes toman los valores de los volúmenes de recursos gastados o utilizados (el número de variables n es igual al número de recursos), y el valor de la función tiene el significado de los valores de salida volúmenes:

y=f(x)=f(x 1 ,…,х n).

En la fórmula, y (y0) es un escalar, y x es una cantidad vectorial, x 1 ,…,x n son las coordenadas del vector x, es decir, f(x 1 ,…,x n) es una función numérica de varias variables x 1 ,…,x n. En este sentido, el FP f(x 1 ,…,х n) se denomina multirrecurso o multifactorial. Más correcto es tal simbolismo f(x 1 ,…, x n ,a), donde a es el vector de parámetros FP.

Según el sentido económico, todas las variables de esta función son no negativas, por lo tanto, el dominio de definición del FP multifactorial es el conjunto de vectores n-dimensionales x, todas las coordenadas x 1 ,…, x n de las cuales son no negativas números.

Una gráfica de una función de dos variables no se puede dibujar en un plano. La función de producción de varias variables se puede representar en un espacio cartesiano tridimensional, dos de las cuales (x1 y x2) están graficadas en los ejes horizontales y corresponden a los costos de los recursos, y la tercera (q) está graficada en el eje vertical y corresponde a la salida del producto (Fig. 2). La gráfica de la función de producción es la superficie de la "colina", ascendiendo con el crecimiento de cada una de las coordenadas x1 y x2.

Para una empresa separada (firma) que produce un producto homogéneo, el FP f(x 1 ,…,х n) puede vincular el volumen de producción con el costo del tiempo de trabajo para varios tipos de actividad laboral, varios tipos de materias primas, componentes , energía, capital fijo. Los PF de este tipo caracterizan la tecnología actual de la empresa (firma).

Al construir el FP para una región o país en su conjunto, el producto agregado (ingreso) de la región o país, generalmente calculado a precios constantes en lugar de corrientes, a menudo se toma como el valor de la producción anual Y, el capital fijo se considera como recursos (x 1 (= K) - el volumen de capital fijo utilizado durante el año) y trabajo vivo (x 2 (= L) - el número de unidades de trabajo vivo gastadas durante el año), generalmente calculado en términos de valor. Por lo tanto, se construye un FP de dos factores Y=f(K,L). De dos factores PF se está pasando a tres factores. Además, si el FP se construye a partir de datos de series de tiempo, el progreso tecnológico puede incluirse como un factor especial en el crecimiento de la producción.

FP y=f(x 1 ,x 2) se llama estático, si sus parámetros y su característica f no dependen del tiempo t, aunque el volumen de recursos y el volumen de producción pueden depender del tiempo t, es decir, se pueden representar en forma de series temporales: x 1 (0) , x 1 (1),…, x 1 (T); x2 (0), x2 (1),..., x2 (T); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Aquí t es el número del año, t=0.1,…,Т; t= 0 - año base del intervalo de tiempo que cubre los años 1,2,…,T.

Ejemplo2. Para modelar una región o país en particular como un todo (es decir, para resolver problemas tanto a nivel macroeconómico como microeconómico), a menudo se usa el PF de la forma y=, donde a 0 , a 1 y 2 son los parámetros del PF. Estas son constantes positivas (a menudo un 1 y un 2 son tales que un 1 + un 2 = 1). El PF de la forma que se acaba de dar se llama Cobb-Douglas PF (CPKD) en honor a los dos economistas estadounidenses que propusieron su uso en 1929.

PPCD se usa activamente para resolver varios problemas teóricos y aplicados debido a su simplicidad estructural. PFKD pertenece a la clase de los llamados PF multiplicativos (MPF). En las aplicaciones, PFKD x 1 = K es igual al volumen de capital fijo utilizado (el volumen de activos fijos utilizados - en terminología doméstica), - el costo de vida del trabajo, entonces PFKD toma la forma que se usa a menudo en la literatura:

Ejemplo3. El factor de potencia lineal (LPF) tiene la forma: (dos factores) y (multifactor). PSF pertenece a la clase de los llamados PF aditivos (APF). La transición del FP multiplicativo al aditivo se realiza mediante la operación logarítmica. Para un PF multiplicativo de dos factores

esta transición se parece a: . Introduciendo la sustitución adecuada, obtenemos un PF aditivo.

Para la producción de un producto en particular, se requiere una combinación de varios factores. A pesar de esto, varias funciones de producción comparten una serie de propiedades comunes.

Para mayor precisión, nos limitamos a funciones de producción de dos variables. En primer lugar, cabe señalar que tal función de producción se define en una ortante no negativa del plano bidimensional, es decir, en. El PF satisface el siguiente conjunto de propiedades:

• 1) no hay salida sin recursos, es decir f(0,0,a)=0;
• 2) en ausencia de al menos uno de los recursos, no hay salida, es decir ;
• 3) con un aumento en el costo de al menos un recurso, aumenta el volumen de producción;

4) con un aumento en el costo de un recurso con una cantidad constante de otro recurso, aumenta el volumen de producción, es decir si x>0, entonces;

5) con un aumento en el costo de un recurso con una cantidad constante de otro recurso, el valor del aumento en la producción por cada unidad adicional del i-ésimo recurso no aumenta (la ley de eficiencia decreciente), es decir si entonces;

• 6) con el crecimiento de un recurso, aumenta la eficiencia marginal de otro recurso, es decir si x>0, entonces;
• 7) PF es una función homogénea, es decir ; en p>1 tenemos un aumento en la eficiencia de producción debido al aumento en la escala de producción; en p

Las funciones de producción nos permiten analizar cuantitativamente las dependencias económicas más importantes en el ámbito de la producción. Permiten estimar la eficiencia promedio y marginal de varios recursos de producción, la elasticidad de la producción para varios recursos, las tasas marginales de sustitución de recursos, el efecto de la escala de producción y mucho más.

Tarea 1. Sea dada una función de producción que relacione el volumen de producción de una empresa con el número de trabajadores, los activos de producción y el volumen de horas máquina utilizadas

Es necesario determinar la salida máxima bajo restricciones.

Decisión. Para resolver el problema, componemos la función de Lagrange

lo diferenciamos con respecto a las variables, e igualamos las expresiones resultantes a cero:

De la primera y tercera ecuaciones se sigue que, por lo tanto,

de donde obtenemos una solución para la cual y=2. Como, por ejemplo, el punto (0,2,0) pertenece a la región admisible y y=0 en ella, concluimos que el punto (1,1,1) es el punto máximo global. Las implicaciones económicas de la solución resultante son obvias.

También cabe señalar que la función de producción describe un conjunto de métodos de producción técnicamente eficientes (tecnologías). Cada tecnología se caracteriza por una determinada combinación de recursos necesarios para obtener una unidad de producción. Aunque las funciones de producción son diferentes para diferentes tipos de producción, todas tienen propiedades comunes:

• 1. Existe un límite para el aumento de la producción que se puede lograr aumentando el costo de un recurso, en igualdad de condiciones. Esto significa que en una empresa con un número determinado de máquinas e instalaciones de producción, existe un límite para aumentar la producción atrayendo a más trabajadores. El aumento de la producción con un aumento en el número de empleados se aproximará a cero.
• 2. Hay una cierta complementariedad (complementariedad) de los factores de producción, pero sin una reducción en los volúmenes de producción, también es posible una cierta interrelación de estos factores. Por ejemplo, el trabajo de los trabajadores es eficaz si se les proporciona todas las herramientas necesarias. En ausencia de tales herramientas, el volumen se puede reducir o aumentar con un aumento en el número de empleados. En este caso, un recurso es reemplazado por otro.
• 3. Método de producción PERO considerada técnicamente más eficiente que B, si implica el uso de al menos un recurso en menos, y todos los demás - no en más que el método B. Los productores racionales no utilizan métodos técnicamente ineficientes.
• 4. Si camino PERO implica el uso de algunos recursos en más, y otros - en una cantidad menor que el método B, estos métodos son incomparables en términos de eficiencia técnica. En este caso, ambos métodos se consideran técnicamente eficientes y se incluyen en la función de producción. Cuál elegir depende de la relación de precio de los recursos utilizados. Esta elección se basa en criterios de rentabilidad. Por lo tanto, la eficiencia técnica no es idéntica a la eficiencia económica.

La eficiencia técnica es el máximo volumen de producción posible logrado como resultado del uso de los recursos disponibles. La eficiencia económica es la producción de un volumen dado de producción a un costo mínimo. En la teoría de la producción, tradicionalmente se utiliza una función de producción de dos factores, en la que el volumen de producción es una función del uso de los recursos laborales y de capital:

Gráficamente, cada método de producción (tecnología) se puede representar mediante un punto que caracteriza el conjunto mínimo requerido de dos factores necesarios para producir un volumen dado de producción (Fig. 3).

La figura muestra varios métodos de producción (tecnología): T 1 , T 2 , T 3 , caracterizados por diferentes proporciones en el uso de trabajo y capital: T 1 = L 1 K 1 ; T 2 = L 2 K 2 ; T 3 = L 3 K 3 . la pendiente de la viga muestra el tamaño de la aplicación de varios recursos. Cuanto mayor sea el ángulo de inclinación de la viga, mayor será el costo de capital y menor el costo de mano de obra. La tecnología T 1 es más intensiva en capital que la tecnología T 2 .

Arroz. 3.

Si conecta diferentes tecnologías con una línea, obtiene una imagen de la función de producción (línea de igual producción), que se llama isocuantas. La figura muestra que el volumen de producción Q se puede lograr con diferentes combinaciones de factores de producción (T 1, T 2, T 3, etc.). La parte superior de la isocuanta refleja tecnologías intensivas en capital, mientras que la parte inferior refleja tecnologías intensivas en mano de obra.

Un mapa de isocuantas es un conjunto de isocuantas que reflejan el nivel máximo de producción alcanzable para cualquier conjunto dado de factores de producción. Cuanto más lejos esté la isocuanta del origen, mayor será la salida. Las isocuantas pueden pasar por cualquier punto del espacio donde haya dos factores de producción. El significado del mapa de isocuantas es similar al significado del mapa de curvas de indiferencia para los consumidores.

Figura 4.

Las isocuantas tienen las siguientes propiedades:

• 1. Las isocuantas no se cruzan.
• 2. La mayor distancia de la isocuanta al origen corresponde a un mayor nivel de producción.
• 3. Isocuantas: curvas descendentes, tienen una pendiente negativa.

Las isocuantas son similares a las curvas de indiferencia con la única diferencia de que reflejan la situación no en la esfera del consumo, sino en la esfera de la producción.

La pendiente negativa de las isocuantas se explica por el hecho de que un aumento en el uso de un factor en un cierto volumen de producción del producto siempre estará acompañado por una disminución en la cantidad de otro factor.

Considere posibles mapas de isocuantas

En la fig. La Figura 5 muestra algunos mapas de isocuantas que caracterizan varias situaciones que surgen cuando se consumen dos recursos en la producción. Arroz. 5a corresponde a la absoluta sustitución mutua de recursos. En el caso mostrado en la Fig. 5b, el primer recurso puede ser reemplazado completamente por el segundo: los puntos de isocuanta ubicados en el eje x2 muestran la cantidad del segundo recurso, lo que permite obtener una u otra salida del producto sin usar el primer recurso. El uso del primer recurso reduce el costo del segundo, pero es imposible reemplazar completamente el segundo recurso con el primero. Arroz. 5c representa una situación en la que se necesitan ambos recursos y ninguno puede ser reemplazado completamente por el otro. Finalmente, el caso mostrado en la Fig. 5d se caracteriza por la absoluta complementariedad de recursos.

Arroz. 5. Ejemplos de mapas de isocuantas

Para explicar la función de producción se introduce el concepto de costes.

En la forma más general, los costos se pueden definir como un conjunto de costos en los que incurre un fabricante cuando produce un cierto volumen de producción.

Existe su clasificación según periodos de tiempo durante los cuales la empresa toma una determinada decisión de producción. Para cambiar el volumen de producción, la empresa tiene que ajustar la cantidad y composición de sus costos. Algunos costos se pueden cambiar con bastante rapidez, mientras que otros requieren una cierta cantidad de tiempo.

El período de corto plazo es un intervalo de tiempo que es insuficiente para la modernización o puesta en marcha de nuevas capacidades de producción de la empresa. Sin embargo, durante este período, la empresa puede aumentar la producción aumentando la intensidad del uso de las capacidades de producción existentes (por ejemplo, contratar trabajadores adicionales, comprar más materias primas, aumentar la relación de turnos de mantenimiento del equipo, etc.). De ello se deduce que en el corto plazo los costos pueden ser fijos o variables.

Los costos fijos (CFT) son la suma de los costos que no dependen de cambios en el volumen de producción. Los costos fijos están asociados con la existencia misma de la empresa y deben pagarse incluso si la empresa no produce nada. Incluyen cargos por depreciación de edificios y equipos; impuesto a la propiedad; pagos de seguros; costos de reparación y mantenimiento; pagos de bonos; salarios del personal de alta dirección, etc.

El costo variable (TVC) es el costo de los recursos que se utilizan directamente para producir un producto determinado. Los elementos de los costos variables son los costos de materias primas, combustible, energía; pago por servicios de transporte; pago de la mayor parte de los recursos laborales (salarios). A diferencia de los costos fijos, los costos variables dependen del volumen de producción. Sin embargo, cabe señalar que el aumento en la cantidad de costos variables asociados con un aumento en la producción de 1 unidad no es constante.

Al comienzo del proceso de aumento de la producción, los costos variables aumentarán durante algún tiempo a un ritmo decreciente; y así continuará hasta un valor específico del volumen de producción. Luego, los costos variables comenzarán a aumentar a una tasa creciente por cada unidad de producción subsiguiente. Este comportamiento de los costos variables está determinado por la ley de rendimientos decrecientes. Un aumento en el producto marginal a lo largo del tiempo provocará incrementos cada vez más pequeños de recursos variables para producir cada unidad adicional de producción.

Y dado que todas las unidades de recursos variables se compran al mismo precio, esto significa que la suma de los costos variables aumentará a una tasa decreciente. Pero a medida que la productividad marginal comienza a caer de acuerdo con la ley de rendimientos decrecientes, se tendrán que utilizar más y más recursos variables adicionales para producir cada unidad sucesiva de producción. La suma de los costos variables aumentará así a un ritmo acelerado.

La suma de los costos fijos y variables asociados con la producción de una determinada cantidad de productos se denomina costo total (TC). Por lo tanto, obtenemos la siguiente igualdad:

TC - TFC + TVC.

En conclusión, observamos que las funciones de producción se pueden utilizar para extrapolar el efecto económico de la producción en un período determinado del futuro. Como en el caso de los modelos econométricos convencionales, un pronóstico económico comienza con una evaluación de los valores pronosticados de los factores de producción. En este caso, se puede utilizar el método de previsión económica que resulte más adecuado en cada caso concreto.