Resumen de la lección sobre el tema de la resolución de desigualdades trigonométricas. Plan de lección sobre el tema “Resolver desigualdades trigonométricas utilizando el método de intervalos. Discurso de apertura del profesor

Durante la lección práctica repetiremos principales tipos de tareas del tema "Trigonometría", analizaremos más a fondo tareas de mayor complejidad y considerar ejemplos de resolución de varias desigualdades trigonométricas y sus sistemas.

Esta lección le ayudará a prepararse para uno de los tipos de tareas. B5, B7, C1 Y C3.

Preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.

Experimento

Lección 11. Consolidación del material tratado. Desigualdades trigonométricas. Resolver diversos problemas de mayor complejidad.

Práctica

Resumen de la lección

Revisión de trigonometría

Comencemos revisando los principales tipos de tareas que cubrimos en el tema "Trigonometría" y resolvamos varios problemas no estándar.

Tarea número 1. Convertir ángulos a radianes y grados: a) ; b) .

a) Usemos la fórmula para convertir grados a radianes.

Sustituyamos el valor especificado en él.

b) Aplicar la fórmula para convertir radianes a grados.

Realicemos la sustitución. .

Respuesta. A) ; b) .

Tarea número 2. Calcular: a) ; b) .

a) Como el ángulo va mucho más allá de la tabla, lo reduciremos restando el período del seno. Como el ángulo está indicado en radianes, consideraremos el período como .

b) En este caso la situación es similar. Como el ángulo se indica en grados, consideraremos el período de la tangente como .

El ángulo resultante, aunque menor que el punto, es mayor, lo que significa que ya no se refiere a la parte principal, sino a la extendida de la tabla. Para no volver a entrenar tu memoria memorizando la tabla extendida de valores de trigofunciones, restemos nuevamente el período tangente:

Aprovechamos la rareza de la función tangente.

Respuesta. a) 1; b) .

Tarea número 3. Calcular , Si .

Reduzcamos toda la expresión a tangentes dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por . Al mismo tiempo, no podemos tener miedo de eso, ya que en este caso el valor de la tangente no existiría.

Tarea número 4. Simplifica la expresión.

Las expresiones especificadas se convierten mediante fórmulas de reducción. Simplemente están escritos inusualmente usando títulos. La primera expresión generalmente representa un número. Simplifiquemos todas las trigofunciones una por una:

Porque , la función cambia a cofunción, es decir, a cotangente, y el ángulo cae en el segundo cuarto, en el que la tangente original tiene signo negativo.

Por las mismas razones que en la expresión anterior, la función cambia a cofunción, es decir, a cotangente, y el ángulo cae en el primer cuarto, en el que la tangente original tiene signo positivo.

Sustituyamos todo en una expresión simplificada:

Problema #5. Simplifica la expresión.

Escribamos la tangente del ángulo doble usando la fórmula adecuada y simplifiquemos la expresión:

La última identidad es una de las fórmulas universales de sustitución del coseno.

Problema #6. Calcular.

Lo principal es no cometer el error estándar y no dar la respuesta a la que la expresión es igual. No puedes usar la propiedad básica del arcotangente mientras haya un factor en forma de dos al lado. Para deshacernos de él, escribiremos la expresión según la fórmula para la tangente de un ángulo doble, mientras tratamos a , como un argumento ordinario.

Ahora podemos aplicar la propiedad básica del arcotangente; recuerda que no existen restricciones sobre su resultado numérico.

Problema número 7. Resuelve la ecuación.

Al resolver una ecuación fraccionaria que es igual a cero, siempre se indica que el numerador es igual a cero, pero el denominador no, ya que no se puede dividir por cero.

La primera ecuación es un caso especial de la ecuación más simple que se puede resolver usando un círculo trigonométrico. Recuerde esta solución usted mismo. La segunda desigualdad se resuelve como la ecuación más simple usando la fórmula general para las raíces de la tangente, pero solo con el signo no igual.

Como vemos, una familia de raíces excluye a otra familia de raíces exactamente del mismo tipo que no satisfacen la ecuación. Es decir, no hay raíces.

Respuesta. No hay raíces.

Problema número 8. Resuelve la ecuación.

Notemos inmediatamente que podemos sacar el factor común y hagámoslo:

La ecuación se ha reducido a una de las formas estándar, donde el producto de varios factores es igual a cero. Ya sabemos que en este caso uno de ellos es igual a cero, o el otro, o el tercero. Escribamos esto en forma de un conjunto de ecuaciones:

Las dos primeras ecuaciones son casos especiales de las más simples; ya nos hemos encontrado con ecuaciones similares muchas veces, por lo que indicaremos inmediatamente sus soluciones. Reducimos la tercera ecuación a una función usando la fórmula del seno de doble ángulo.

Resolvamos la última ecuación por separado:

Esta ecuación no tiene raíces, porque el valor del seno no puede ir más allá .

Por lo tanto, la solución son solo las dos primeras familias de raíces; se pueden combinar en una, lo cual es fácil de mostrar en el círculo trigonométrico:

Esta es una familia de todas las mitades, es decir.

Desigualdades trigonométricas

Pasemos a resolver desigualdades trigonométricas. Primero, analizaremos el enfoque para resolver el ejemplo sin usar fórmulas de solución generales, sino usando el círculo trigonométrico.

Problema número 9. Resuelve la desigualdad.

Dibujemos una línea auxiliar en el círculo trigonométrico correspondiente a un valor de seno igual a y mostremos el rango de ángulos que satisfacen la desigualdad.

Es muy importante entender exactamente cómo indicar el intervalo de ángulos resultante, es decir, cuál es su comienzo y cuál es su final. El inicio del intervalo será el ángulo correspondiente al punto en el que entraremos al principio del intervalo si nos movemos en sentido antihorario. En nuestro caso, este es el punto que está a la izquierda, porque moviéndose en sentido antihorario y pasando por el punto derecho, por el contrario, salimos del rango de ángulos requerido. Por tanto, el punto correcto corresponderá al final del hueco.

Ahora necesitamos entender los ángulos del principio y del final de nuestro intervalo de soluciones a la desigualdad. Un error típico es indicar inmediatamente que al ángulo le corresponde el punto derecho, el izquierdo y dar la respuesta. ¡Esto no es verdad! Tenga en cuenta que acabamos de indicar el intervalo correspondiente a la parte superior del círculo, aunque nos interesa la parte inferior, es decir, hemos confundido el inicio y el final del intervalo de solución que necesitamos.

Para que el intervalo comience desde la esquina del punto derecho y termine en la esquina del punto izquierdo, es necesario que el primer ángulo especificado sea menor que el segundo. Para ello tendremos que medir el ángulo del punto derecho en el sentido negativo de referencia, es decir en el sentido de las agujas del reloj y será igual a . Luego, comenzando a movernos desde allí en el sentido positivo de las agujas del reloj, llegaremos al punto derecho después del punto izquierdo y obtendremos el valor del ángulo. Ahora el inicio del intervalo de ángulos es menor que el final, y podemos escribir el intervalo de soluciones sin tener en cuenta el periodo:

Considerando que dichos intervalos se repetirán un número infinito de veces después de cualquier número entero de rotaciones, obtenemos una solución general teniendo en cuenta el período sinusoidal:

Ponemos paréntesis porque la desigualdad es estricta y seleccionamos los puntos del círculo que corresponden a los extremos del intervalo.

Compara la respuesta que recibes con la fórmula para la solución general que dimos en la conferencia.

Respuesta. .

Este método es bueno para comprender de dónde provienen las fórmulas para las soluciones generales de las desigualdades trígonas más simples. Además, es útil para aquellos que tienen pereza para aprender todas estas fórmulas engorrosas. Sin embargo, el método en sí tampoco es fácil; elija el enfoque de solución que le resulte más conveniente.

Para resolver desigualdades trigonométricas, también puedes usar gráficas de funciones en las que se construye una recta auxiliar, similar al método que se muestra usando un círculo unitario. Si está interesado, intente descubrir este enfoque de solución usted mismo. En lo que sigue usaremos fórmulas generales para resolver desigualdades trigonométricas simples.

Problema número 10. Resuelve la desigualdad.

Usemos la fórmula para la solución general, teniendo en cuenta que la desigualdad no es estricta:

En nuestro caso obtenemos:

Respuesta.

Problema número 11. Resuelve la desigualdad.

Usemos la fórmula de solución general para la desigualdad estrictamente correspondiente:

Respuesta. .

Problema número 12. Resolver desigualdades: a) ; b) .

En estas desigualdades, no hay necesidad de apresurarse a utilizar fórmulas para soluciones generales o el círculo trigonométrico; basta con recordar el rango de valores del seno y el coseno;

a) Desde , entonces la desigualdad no tiene sentido. Por tanto, no hay soluciones.

b) Dado que de manera similar, el seno de cualquier argumento siempre satisface la desigualdad especificada en la condición. Por tanto, todos los valores reales del argumento satisfacen la desigualdad.

Respuesta. a) no hay soluciones; b) .

Problema 13. Resolver desigualdad .

Esta desigualdad más simple con un argumento complejo se resuelve de manera similar a una ecuación similar. Primero, encontramos una solución para todo el argumento indicado entre paréntesis, y luego lo transformamos a la forma “”, trabajando con ambos extremos del intervalo, como con el lado derecho de la ecuación.

Tema de la lección: Resolver desigualdades trigonométricas

La lección se llevó a cabo en el grado 11 de la escuela número 4 que lleva su nombre. Gorki, Bryansk (2007).

La clase trabaja según el libro de texto.

https://pandia.ru/text/80/202/images/image002_105.jpg" width="142 height=189" height="189">

Maestro: profesora de la más alta categoría, profesora de honor de la Federación de Rusia Nina Vladimirovna Kusacheva.

Objetivos lección:

1) Identificar técnicas para reducir las desigualdades trigonométricas a lo más simple: considerar un argumento complejo como simple; uso de transformaciones equivalentes; Aplicación de fórmulas trigonométricas.

2) Identificar formas de resolver desigualdades trigonométricas: reducción a lo más simple; introducción de una nueva variable.

3) Aprender a reconocer formas de resolver desigualdades trigonométricas.

4) Aprenda a escribir la respuesta si no se utilizan valores tabulares de funciones trigonométricas.

5) Mejorar la capacidad de resolver desigualdades trigonométricas.

6) Pon a prueba tu capacidad para resolver desigualdades trigonométricas simples.

tipo de lección: una lección sobre cómo mejorar las habilidades.

Plan de estudios:

1. Identificación de técnicas y métodos para la resolución de desigualdades trigonométricas, dificultades para realizar los deberes mediante el análisis de soluciones a las desigualdades más complejas.

2. Mejorar la capacidad de resolver desigualdades trigonométricas:

a) reconocimiento de métodos de solución y repetición del algoritmo para resolver desigualdades trigonométricas simples;

b) trabajar con la desigualdad más simple, donde no se utilizan valores tabulares para registrar la respuesta;

c) mejorar la capacidad de resolver desigualdades que pueden reducirse a las trigonométricas más simples mediante transformaciones equivalentes mediante comparación de desigualdades;

d) mejorar la capacidad de resolver desigualdades que pueden reducirse a simples trigonométricas mediante fórmulas de reducción;

e) mejorar la capacidad para resolver desigualdades trigonométricas mediante el uso de varios métodos de solución.

3. Trabajo independiente para la resolución de desigualdades trigonométricas.

4. Establecer tareas.

durante las clases:

1. Identificación de técnicas y métodos para la resolución de desigualdades trigonométricas, dificultades para realizar los deberes mediante el análisis de soluciones a las desigualdades más complejas.

Maestro:(Las soluciones a las desigualdades nº 7, 8, 10 de la tarjeta de inicio están escritas en la pizarra).

Mira la solución a la desigualdad n.° 7. ¿Qué preguntas tienes sobre cualquiera de los pasos de la solución?

№7 pecado x ≤ - porque x;

pecado x + porque x ≤0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image004_95.gif" width="24" height="41 src="> pecado x + porque x) ≤ 0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image005_84.gif" width="17" height="41">) ≤ 0;

pecado(X + ) ≤ 0;

X+ О [ - π +2π norte, 2π norte], norteО Z

XО [ -5π/4 + 2π norte,-π/4+ 2π norte], norteО Z

Respuesta: XО [ -5π/4 +2π norte,-π/4+ 2π norte], norteО Z

Maestro: Entonces tengo algunas preguntas. ¿Cómo se obtuvo la tercera línea?

Estudiantes: Multiplicamos y dividimos cada término por .

Maestro:¿Es posible realizar tal transformación de desigualdad?

Estudiantes: Sí, esta conversión es equivalente.

Maestro:¿Con qué propósito hicimos esto?

Estudiantes: Para que puedas aplicar la fórmula de suma trigonométrica: el seno de la suma de dos ángulos.

Maestro:¿Cuál es otro nombre para esta técnica?

Estudiantes: Técnica de introducción de un ángulo auxiliar.

Maestro:¿Cómo adivinaste que necesitas multiplicar y dividir cada término exactamente por?

Estudiantes: es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de la desigualdad transformada.

Maestro: Nombra la desigualdad que puede considerarse más simple y razona tu respuesta.

Estudiantes: Desigualdad pecado(X+ ) ≤ 0 puede considerarse el más simple si consideramos el argumento complejo ( X+ ) tan simple, por ejemplo, t.

Maestro: Entonces, la idea principal para resolver la desigualdad número 7 es reducirla a la desigualdad trigonométrica más simple. Repitamos ¿qué técnicas se utilizaron?

Estudiantes: 1) transformaciones equivalentes (transferencia de términos; multiplicación y división de cada término por el mismo número; introducción de un ángulo auxiliar);

(El profesor ayuda a los estudiantes señalando una u otra línea de la solución).

Maestro: Mira la solución a la desigualdad #8.

№ 8 pecado 2X+ https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22">/2 porque 2X) ≥ 1;

2 pecado (2X+ π/3) ≥ 1;

pecado (2X+ π/3) ≥ 1/2;

2X+ π/3 О [π/6 + 2π norte, 5π/6 + 2π norte], norteО Z;

XО [-π/12 + π norte, π/4 + π norte], n О Z;

Respuesta: XО [-π/12 + π norte, π/4 + π norte], norteО Z.

¿Qué preguntas tienes sobre cualquiera de los pasos de la solución? (pausa) ¿Qué técnicas se utilizaron para resolver esta desigualdad?

Estudiantes: 1) transformaciones equivalentes (transferencia de términos; multiplicación y división de cada término por el mismo número; introducción de un ángulo auxiliar, división de ambos lados de la desigualdad por un número positivo);

2) aplicación de la fórmula trigonométrica,

3) trató un argumento complejo como simple.

Maestro: Considere la solución a la desigualdad n.° 10:

№10 porque 2 X – 2porqueX >0;

Dejar porque x= t;

t 2 – 2t >0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image003_118.gif" width="22" height="21">;

2. porque(3π/2 + X) < -/2;

3. porque(π + 2 X) – 1 ≥ 0;

4. pecado x > 2/3;

5. 5porque(X– π/6) – 1 ≥ 0;

6. 4pecado 2 3X < 3.

Maestro:¿Resaltar las desigualdades que requieren el uso de transformaciones equivalentes al reducir una desigualdad trigonométrica a su forma más simple?

Estudiantes: 1, 3, 5.

Maestro:¿Cuáles son las desigualdades en las que es necesario considerar un argumento complejo como uno simple?

Estudiantes: 1, 2, 3, 5, 6.

Maestro:¿Cuáles son las desigualdades donde se pueden aplicar fórmulas trigonométricas?

Estudiantes: 2, 3, 6.

Maestro:¿Nombra las desigualdades donde se puede aplicar el método de introducir una nueva variable?

Estudiantes: 6.

Maestro: Ahora comenzaremos a resolver desigualdades desde las más simples y aprenderemos a escribir la respuesta si no se utilizan valores tabulares. Pero primero, responde si es cierto que las desigualdades trigonométricas más simples se pueden resolver usando el algoritmo escrito en la pizarra:

Algoritmo para resolver desigualdades trigonométricas simples.

1. Reemplace oralmente la desigualdad con una ecuación. Dibuja un círculo unitario y marca los puntos que corresponden a la ecuación.

2. Marque los puntos del círculo correspondientes a la desigualdad, es decir, seleccione el arco correspondiente.

3. Indique la dirección de conteo.

4. Encuentra el comienzo del arco y el ángulo correspondiente.

5. Encuentra el ángulo correspondiente al final del arco.

6. Escribimos la respuesta en forma de intervalo, teniendo en cuenta la periodicidad de la función.

Maestro:¿Es este el orden en que resolviste las desigualdades más simples?

Estudiantes: Sí.

Un comentario. La tarea de analizar una lista de desigualdades desde el punto de vista de los métodos para resolverlas permite practicar su reconocimiento. Al desarrollar habilidades, es importante identificar las etapas de su implementación y formularlas en una forma general, que se presenta en el algoritmo para resolver las desigualdades trigonométricas más simples.

b) Trabajar con la desigualdad más simple, donde no se utilizan valores tabulares para registrar la respuesta.

Maestro: Comencemos a resolver con la desigualdad número 4.

Organización de trabajos posteriores:

https://pandia.ru/text/80/202/images/image010_58.gif" width="204" height="130">Un estudiante resuelve la desigualdad en la pizarra, diciendo en voz alta cada paso del algoritmo

5porque(X– π/6) – 1 ≥ 0;

porque(X– π/6) ≥ 1/5;

X– π/6 О [- arccos 1/5 + 2π norte, arccos 1/5 + 2π norte], norteО Z;

XО [π/6 – arccos 1/5 + 2π norte, π/6 + arccos 1/5 + 2π norte], norteО Z.

Al finalizar la solución, el maestro le hace al estudiante que resolvió la desigualdad en la pizarra las siguientes preguntas:

Maestro:¿Cómo cambiaría la respuesta si se diera una desigualdad estricta?

Alumno: Entonces los corchetes se sustituirían por corchetes.

Maestro:¿Cómo escribirías la respuesta si se diera una desigualdad? porque (X– π/6) ≤ 1/5?

Alumno: XО [π/6 + arccos 1/5 + 2π norte, 13π/6 – arccos 1/5 + 2π norte], norteО Z.

Maestro:¿Qué métodos de reducción a la desigualdad trigonométrica más simple se utilizaron?

Alumno: Se utilizaron transformaciones equivalentes (transfiriendo términos de una parte de la ecuación a otra, dividiendo ambos lados de la desigualdad por un número positivo); trató un argumento complejo como simple.

Maestro:(dirigiéndose a la clase); ¿Tiene alguna pregunta o comentario para el encuestado? (el estudiante responde las preguntas de los estudiantes y está de acuerdo o en desacuerdo con los comentarios, luego se sienta).

Maestro:¿A qué desigualdad se parece la desigualdad número 1 y en qué aspectos?

Estudiantes: A la desigualdad nº 5 reduciéndola a lo más simple; a la desigualdad No. 4 por la ubicación del arco.

Maestro: Resolver oralmente la desigualdad No. 1: 2 pecado (X– π/4) ≥ .

Estudiantes: Respuesta: XО [ π/2 + 2π norte, π + 2π norte], norteО Z.

Un comentario. Mejorar la capacidad de resolver desigualdades trigonométricas se ve facilitado por las siguientes preguntas: "¿Cómo resolveremos un grupo de desigualdades?"; “¿En qué se diferencia una desigualdad de otra?”; “¿En qué se parece una desigualdad a otra?”; ¿Cómo cambiaría la respuesta si se diera una desigualdad estricta?"; ¿Cómo cambiaría la respuesta si en lugar del signo ">" apareciera un "<»?»; «Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»; «Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы, когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».

d) Mejorar la capacidad de resolver desigualdades que pueden reducirse a las trigonométricas más simples mediante fórmulas de reducción.

Maestro: Consideremos la desigualdad número 2. porque(3π/2 + X)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image011_55.gif" width="217" height="126 src=">Un estudiante dispuesto resuelve la desigualdad en la pizarra sin decir la solución:

porque(3π/2 + X)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22 src=">/2;

Respuesta: XО (- 2π/3 + 2π norte,-π/3 + 2π norte), norteО Z.

Al finalizar la solución, los estudiantes verifican el formato y hacen comentarios si es necesario. Luego de lo cual el docente formula al encuestado las siguientes preguntas:

Maestro:¿En qué se diferencia esta desigualdad de las resueltas anteriormente?

Alumno: Esta desigualdad se ha reducido a su forma más simple mediante la fórmula de reducción.

Maestro:¿Existen otras desigualdades que puedan resolverse de esta manera?

Alumno: № 3.

Maestro: Resolveremos la desigualdad de forma oral, comentando el avance de la solución.

Estudiantes:(comentan el avance de la solución en orden, el docente hace cambios en la desigualdad)

№ 3 porque(π + 2 X) – 1 ≥ 0;

porque(π + 2 X) ≥ 1;

- porque 2X ≥ 1;

porque 2X ≤ -1

2X= -π + 2π norte , norteО Z;

X= -π/2 + π norte , norteО Z.

Maestro: Entonces, ¿cuál es la peculiaridad de resolver esta desigualdad?

Estudiantes: Su solución se redujo a resolver una ecuación.

Maestro: Entonces, ¿qué haces a continuación cuando ves que el argumento de una función trigonométrica es complejo?

Estudiantes: Veremos si podemos usar fórmulas de reducción para simplificar el argumento.