Wie ist die Wurzel. Forschungsarbeit zum Thema: "Quadratwurzeln aus großen Zahlen ziehen ohne Taschenrechner"

Schüler fragen immer: „Warum darf ich bei einer Mathe-Klausur keinen Taschenrechner benutzen? Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl ohne Taschenrechner? Versuchen wir, diese Frage zu beantworten.

Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl ohne die Hilfe eines Taschenrechners?

Handlung Quadratwurzel ziehen das Gegenteil von quadrieren.

√81= 9 9 2 =81

Wenn wir aus einer positiven Zahl die Quadratwurzel ziehen und das Ergebnis quadrieren, erhalten wir dieselbe Zahl.

Von nicht große Zahlen, das sind exakte Quadrate natürlicher Zahlen, zum Beispiel 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 Quadratwurzeln können mündlich gezogen werden. Normalerweise lehren sie in der Schule eine Tabelle mit Quadraten natürlicher Zahlen bis zwanzig. Wenn Sie diese Tabelle kennen, ist es einfach, die Quadratwurzeln aus den Zahlen 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 zu ziehen. Aus Zahlen größer als 400 können Sie mithilfe der Auswahlmethode mithilfe einiger Tipps extrahieren. Versuchen wir ein Beispiel, um diese Methode zu betrachten.

Beispiel: Extrahiere die Wurzel der Zahl 676.

Wir bemerken, dass 20 2 \u003d 400 und 30 2 \u003d 900, was 20 bedeutet< √676 < 900.

Exakte Quadratzahlen natürlicher Zahlen enden auf 0; ein; 4; 5; 6; neun.
Die Zahl 6 ergibt sich aus 4 2 und 6 2 .
Wenn also die Wurzel aus 676 gezogen wird, dann ist es entweder 24 oder 26.

Es bleibt zu prüfen: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Antworten: √676 = 26 .

Noch Beispiel: √6889 .

Seit 80 2 \u003d 6400 und 90 2 \u003d 8100, dann 80< √6889 < 90.
Die Zahl 9 ergibt sich aus 3 2 und 7 2, dann ist √6889 entweder 83 oder 87.

Prüfen: 83 2 = 6889.

Antworten: √6889 = 83 .

Wenn Sie es schwierig finden, es mit der Auswahlmethode zu lösen, können Sie den Wurzelausdruck faktorisieren.

Zum Beispiel, finde √893025.

Lassen Sie uns die Zahl 893025 faktorisieren, denken Sie daran, Sie haben es in der sechsten Klasse gemacht.

Wir erhalten: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Noch Beispiel: √20736. Zerlegen wir die Zahl 20736:

Wir erhalten √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Factoring erfordert natürlich Kenntnisse über Teilbarkeitskriterien und Factoring-Fähigkeiten.

Und schließlich gibt es Quadratwurzel Regel. Sehen wir uns diese Regel anhand eines Beispiels an.

Berechnen Sie √279841.

Um die Wurzel einer mehrstelligen Ganzzahl zu ziehen, teilen wir sie von rechts nach links in Seiten mit jeweils 2 Ziffern auf (es kann eine Ziffer in der äußersten linken Seite geben). Schreiben Sie so 27'98'41

Um die erste Ziffer der Wurzel (5) zu erhalten, extrahieren wir die Quadratwurzel des größten exakten Quadrats, das in der ersten linken Seite (27) enthalten ist.
Dann wird das Quadrat der ersten Ziffer der Wurzel (25) von der ersten Fläche subtrahiert und die nächste Fläche (98) wird der Differenz zugeschrieben (abgerissen).
Links von der erhaltenen Zahl 298 schreiben sie die Doppelziffer der Wurzel (10), dividieren durch sie die Zahl aller Zehner der zuvor erhaltenen Zahl (29/2 ≈ 2), erleben den Quotienten (102 ∙ 2 = 204 sollte nicht mehr als 298 sein) und schreiben Sie (2) nach der ersten Ziffer der Wurzel.
Dann wird der resultierende Quotient 204 von 298 subtrahiert, und die nächste Facette (41) wird der Differenz (94) zugeschrieben (abgerissen).
Links von der resultierenden Zahl 9441 schreiben sie das doppelte Produkt der Ziffern der Wurzel (52 ∙ 2 = 104), dividieren durch dieses Produkt die Anzahl aller Zehner der Zahl 9441 (944/104 ≈ 9), Erfahrung der Quotient (1049 ∙ 9 = 9441) sollte 9441 sein und notieren Sie ihn (9) nach der zweiten Ziffer der Wurzel.

Wir haben die Antwort √279841 = 529 erhalten.

Ebenso extrahieren Wurzeln von Dezimalzahlen. Nur die Radikalzahl muss in Flächen unterteilt werden, sodass das Komma zwischen den Flächen steht.

Beispiel. Suchen Sie den Wert √0,00956484.

Denken Sie daran, dass, wenn der Dezimalbruch hat nicht gerade Zahl Nachkommastellen, die exakte Quadratwurzel wird daraus nicht gezogen.

So, jetzt haben Sie drei Möglichkeiten gesehen, die Wurzel zu extrahieren. Wählen Sie diejenige, die am besten zu Ihnen passt, und üben Sie. Um zu lernen, wie man Probleme löst, muss man sie lösen. Und wenn Sie Fragen haben, .

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Es ist Zeit zu zerlegen Wurzelextraktionsmethoden. Sie beruhen auf den Eigenschaften von Wurzeln, insbesondere auf der Gleichheit, die für jedes Non gilt negative Zahl b.

Im Folgenden werden wir der Reihe nach die wichtigsten Methoden zum Extrahieren von Wurzeln betrachten.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall - dem Ziehen von Wurzeln aus natürlichen Zahlen mit einer Quadrattabelle, einer Kubiktabelle usw.

Wenn die Tabellen mit Quadraten, Würfeln usw. nicht zur Hand ist, ist es logisch, die Methode des Wurzelziehens zu verwenden, bei der die Wurzelzahl in einfache Faktoren zerlegt wird.

Unabhängig davon lohnt es sich, darüber nachzudenken, was für Wurzeln mit ungeraden Exponenten möglich ist.

Betrachten Sie schließlich eine Methode, mit der Sie die Ziffern des Werts der Wurzel nacheinander finden können.

Lass uns anfangen.

Verwenden einer Tabelle mit Quadraten, einer Tabelle mit Würfeln usw.

Tabellen aus Quadraten, Würfeln usw. ermöglichen im einfachsten Fall das Ziehen von Wurzeln. Was sind das für Tische?

Die Tabelle der Quadrate ganzer Zahlen von 0 bis einschließlich 99 (siehe unten) besteht aus zwei Zonen. Die erste Zone der Tabelle befindet sich auf einem grauen Hintergrund; durch Auswahl einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte können Sie eine Zahl von 0 bis 99 erstellen. Wählen wir zum Beispiel eine Reihe mit 8 Zehnern und eine Spalte mit 3 Einer, damit haben wir die Zahl 83 festgelegt. Die zweite Zone belegt den Rest des Tisches. Jede ihrer Zellen befindet sich am Schnittpunkt einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte und enthält das Quadrat der entsprechenden Zahl von 0 bis 99 . Am Schnittpunkt unserer gewählten Reihe mit 8 Zehnern und Spalte 3 mit Einsen befindet sich eine Zelle mit der Zahl 6889, die das Quadrat der Zahl 83 ist.

Würfeltabellen, Tabellen der vierten Potenzen von Zahlen von 0 bis 99 usw. ähneln der Quadrattabelle, nur dass sie in der zweiten Zone Würfel, vierte Potenzen usw. enthalten. entsprechende Nummern.

Tabellen mit Quadraten, Würfeln, vierten Potenzen usw. ermöglichen Ihnen das Extrahieren von Quadratwurzeln, Kubikwurzeln, vierten Wurzeln usw. jeweils aus den Nummern in diesen Tabellen. Lassen Sie uns das Prinzip ihrer Anwendung bei der Wurzelgewinnung erklären.

Angenommen, wir müssen die Wurzel des n-ten Grades aus der Zahl a ziehen, während die Zahl a in der Tabelle des n-ten Grades enthalten ist. Gemäß dieser Tabelle finden wir die Zahl b so, dass a=b n . Dann , daher ist die Zahl b die gewünschte Wurzel des n-ten Grades.

Lassen Sie uns als Beispiel zeigen, wie die Kubikwurzel von 19683 mithilfe der Kubiktabelle gezogen wird. Wir finden die Zahl 19 683 in der Würfeltabelle, daraus finden wir, dass diese Zahl ein Würfel der Zahl 27 ist, also .

Es ist klar, dass Tabellen des n-ten Grades beim Ziehen von Wurzeln sehr praktisch sind. Sie sind jedoch oft nicht zur Hand und ihre Zusammenstellung erfordert eine gewisse Zeit. Außerdem ist es oft notwendig, Wurzeln aus Zahlen zu ziehen, die nicht in den entsprechenden Tabellen enthalten sind. In diesen Fällen muss man auf andere Methoden zur Extraktion der Wurzeln zurückgreifen.

Zerlegung der Wurzelzahl in Primfaktoren

Eine ziemlich bequeme Möglichkeit, die Wurzel aus einer natürlichen Zahl zu ziehen (wenn natürlich die Wurzel gezogen wird), besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Seine die Essenz ist wie folgt: Danach ist es ganz einfach, es als Grad mit dem gewünschten Indikator darzustellen, wodurch Sie den Wert der Wurzel erhalten können. Lassen Sie uns diesen Punkt erklären.

Lassen Sie die Wurzel des n-ten Grades aus einer natürlichen Zahl a ziehen, und ihr Wert ist gleich b. In diesem Fall ist die Gleichheit a = b n wahr. Die Zahl b als jede natürliche Zahl kann als Produkt aller ihrer Primfaktoren p 1 , p 2 , …, p m in der Form p 1 p 2 p m dargestellt werden, und die Wurzelzahl a wird in diesem Fall dargestellt als (p 1 p 2 ... p m) n . Da die Zerlegung der Zahl in Primfaktoren eindeutig ist, sieht die Zerlegung der Wurzelzahl a in Primfaktoren so aus (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , was es ermöglicht, den Wert der Wurzel zu berechnen als .

Beachten Sie, dass, wenn die Faktorisierung der Wurzelzahl a nicht in der Form (p 1 ·p 2 ·…·p m ) n dargestellt werden kann, die Wurzel n-ten Grades aus einer solchen Zahl a nicht vollständig gezogen wird.

Lassen Sie uns beim Lösen von Beispielen darauf eingehen.

Beispiel.

Nimm die Quadratwurzel von 144 .

Entscheidung.

Wenn wir uns der Tabelle der Quadrate im vorherigen Absatz zuwenden, ist deutlich zu sehen, dass 144 = 12 2 ist, woraus klar ist, dass die Quadratwurzel von 144 12 ist.

Aber im Lichte dieses Punktes interessiert uns, wie die Wurzel gezogen wird, indem die Wurzelzahl 144 in Primfaktoren zerlegt wird. Werfen wir einen Blick auf diese Lösung.

Lassen Sie uns zerlegen 144 zu Primfaktoren:

Das heißt, 144 = 2 2 2 2 3 3 . Basierend auf der resultierenden Zerlegung können die folgenden Transformationen durchgeführt werden: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2. Somit, .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades und der Eigenschaften der Wurzeln könnte die Lösung etwas anders formuliert werden: .

Antworten:

Um das Material zu festigen, betrachten Sie die Lösungen von zwei weiteren Beispielen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wurzelwert.

Entscheidung.

Die Primfaktorzerlegung der Wurzelzahl 243 ist 243=3 5 . Auf diese Weise, .

Antworten:

Beispiel.

Ist der Wert der Wurzel eine ganze Zahl?

Entscheidung.

Um diese Frage zu beantworten, zerlegen wir die Wurzelzahl in Primfaktoren und sehen, ob sie als Kubikzahl einer ganzen Zahl dargestellt werden kann.

Wir haben 285 768 = 2 3 3 6 7 2 . Die resultierende Zerlegung wird nicht als Würfel einer ganzen Zahl dargestellt, da der Grad Hauptfaktor 7 ist kein Vielfaches von drei. Daher wird die Kubikwurzel von 285.768 nicht vollständig gezogen.

Antworten:

Nein.

Wurzeln aus Bruchzahlen ziehen

Es ist Zeit herauszufinden, wie die Wurzel aus einer Bruchzahl gezogen wird. Lassen Sie die Bruchwurzelzahl als p/q schreiben. Gemäß der Eigenschaft der Wurzel des Quotienten gilt die folgende Gleichheit. Aus dieser Gleichheit folgt Bruchwurzel Regel: Die Wurzel eines Bruchs ist gleich dem Quotienten aus der Wurzel des Zählers durch die Wurzel des Nenners.

Schauen wir uns ein Beispiel für das Ziehen einer Wurzel aus einem Bruch an.

Beispiel.

Was ist die Quadratwurzel von gemeinsamer Bruchteil 25/169 .

Entscheidung.

Gemäß der Quadrattabelle finden wir, dass die Quadratwurzel des Zählers des ursprünglichen Bruchs 5 ist und die Quadratwurzel des Nenners 13 ist. Dann . Damit ist die Extraktion der Wurzel aus einer gewöhnlichen Fraktion 25/169 abgeschlossen.

Antworten:

Die Wurzel eines Dezimalbruchs oder einer gemischten Zahl wird gezogen, nachdem die Wurzelzahlen durch gewöhnliche Brüche ersetzt wurden.

Beispiel.

Ziehen Sie die Kubikwurzel der Dezimalzahl 474,552.

Entscheidung.

Stellen wir die ursprüngliche Dezimalzahl als gewöhnlichen Bruch dar: 474,552=474552/1000 . Dann . Es bleibt, die Kubikwurzeln zu extrahieren, die sich im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs befinden. Als 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 und 1 000=10 3 , dann und . Es bleibt nur noch, die Berechnungen abzuschließen .

Antworten:

.

Ziehen der Wurzel einer negativen Zahl

Unabhängig davon lohnt es sich, über das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen nachzudenken. Beim Studium von Wurzeln haben wir gesagt, dass, wenn der Exponent der Wurzel eine ungerade Zahl ist, eine negative Zahl unter dem Vorzeichen der Wurzel stehen kann. Wir gaben solchen Notationen die folgende Bedeutung: Für eine negative Zahl −a und einen ungeraden Exponenten der Wurzel 2 n−1 haben wir . Diese Gleichheit gibt Regel zum Ziehen ungerader Wurzeln aus negativen Zahlen: Um die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, müssen Sie die Wurzel aus der entgegengesetzten positiven Zahl ziehen und ein Minuszeichen vor das Ergebnis setzen.

Betrachten wir eine Beispiellösung.

Beispiel.

Finden Sie den Wurzelwert.

Entscheidung.

Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck so umwandeln, dass eine positive Zahl unter dem Wurzelzeichen erscheint: . Jetzt ersetzen wir die gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch: . Wir wenden die Regel des Wurzelziehens aus einem gewöhnlichen Bruch an: . Es bleibt, die Wurzeln im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs zu berechnen: .

Hier ist eine Zusammenfassung der Lösung: .

Antworten:

.

Bitweises Finden des Wurzelwerts

Im allgemeinen Fall steht unter der Wurzel eine Zahl, die mit den oben besprochenen Techniken nicht als n-te Potenz einer Zahl dargestellt werden kann. Aber gleichzeitig muss der Wert einer gegebenen Wurzel zumindest bis zu einem bestimmten Vorzeichen bekannt sein. In diesem Fall können Sie zum Ziehen der Wurzel einen Algorithmus verwenden, mit dem Sie konsistent eine ausreichende Anzahl von Werten der Ziffern der gewünschten Zahl erhalten.

Der erste Schritt dieses Algorithmus besteht darin, herauszufinden, welches das höchstwertige Bit des Wurzelwerts ist. Dazu werden die Zahlen 0, 10, 100, ... nacheinander mit n potenziert, bis man eine Zahl erhält, die größer ist als die Wurzelzahl. Dann zeigt die Zahl, die wir im vorherigen Schritt mit n potenziert haben, die entsprechende höhere Ordnung an.

Betrachten Sie diesen Schritt des Algorithmus beispielsweise beim Ziehen der Quadratwurzel aus fünf. Wir nehmen die Zahlen 0, 10, 100, ... und quadrieren sie, bis wir eine Zahl größer als 5 erhalten. Wir haben 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , was bedeutet, dass die höchstwertige Stelle die Einerstelle ist. Der Wert dieses Bits sowie niedrigere werden in den nächsten Schritten des Wurzelziehalgorithmus gefunden.

Alle folgenden Schritte des Algorithmus zielen darauf ab, den Wert der Wurzel sukzessive zu verfeinern, da die Werte der nächsten Ziffern des gewünschten Wurzelwerts gefunden werden, beginnend mit dem höchsten und sich zum niedrigsten bewegend . Zum Beispiel ist der Wert der Wurzel im ersten Schritt 2 , im zweiten - 2.2 , im dritten - 2.23 und so weiter 2.236067977 ... . Lassen Sie uns beschreiben, wie die Werte der Bits gefunden werden.

Das Auffinden der Ziffern erfolgt durch Aufzählen mögliche Werte 0, 1, 2, ..., 9 . Dabei werden die n-ten Potenzen der entsprechenden Zahlen parallel berechnet und mit der Wurzelzahl verglichen. Wenn der Wert des Grads irgendwann die Wurzelzahl überschreitet, wird der Wert der Ziffer, die dem vorherigen Wert entspricht, als gefunden betrachtet, und es wird zum nächsten Schritt des Wurzelziehalgorithmus übergegangen, wenn dies nicht der Fall ist. dann ist der Wert dieser Ziffer 9 .

Lassen Sie uns all diese Punkte anhand des gleichen Beispiels des Ziehens der Quadratwurzel aus fünf erklären.

Finden Sie zuerst den Wert der Einerstelle. Wir werden über die Werte 0, 1, 2, …, 9 iterieren und jeweils 0 2 , 1 2 , …, 9 2 berechnen, bis wir einen Wert erhalten, der größer als die Wurzelzahl 5 ist. Alle diese Berechnungen werden bequem in Form einer Tabelle dargestellt:

Der Wert der Einerstelle ist also 2 (weil 2 2<5 , а 2 3 >5). Lassen Sie uns weitergehen, um den Wert der zehnten Stelle zu finden. In diesem Fall quadrieren wir die Zahlen 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 und vergleichen die erhaltenen Werte mit der Wurzelzahl 5:

Seit 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , dann ist der Wert der zehnten Stelle 2 . Sie können fortfahren, den Wert der Hundertstelstelle zu ermitteln:

Der nächste Wert der Wurzel aus fünf wird also gefunden, er ist gleich 2,23. Und so können Sie weitere Werte finden: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Zur Verfestigung des Materials werden wir mit dem betrachteten Algorithmus das Ziehen der Wurzel auf Hundertstel genau analysieren.

Zuerst definieren wir die Senior-Ziffer. Dazu würfeln wir die Zahlen 0, 10, 100 usw. bis wir eine Zahl größer als 2.151.186 erhalten. Wir haben 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , also ist die signifikanteste Ziffer die Zehnerziffer.

Lassen Sie uns seinen Wert definieren.

Seit 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151,186 , dann ist der Wert der Zehnerstelle 1 . Kommen wir zu den Einheiten.

Der Wert der Einerstelle ist also 2 . Kommen wir zu zehn.

Da gerade 12,9 3 kleiner ist als die Wurzelzahl 2 151,186 , ist der Wert der zehnten Stelle 9 . Es bleibt, den letzten Schritt des Algorithmus auszuführen, er gibt uns den Wert der Wurzel mit der erforderlichen Genauigkeit.

In diesem Stadium wird der Wert der Wurzel bis zu Hundertstel ermittelt: .

Zum Abschluss dieses Artikels möchte ich sagen, dass es viele andere Möglichkeiten gibt, Wurzeln zu extrahieren. Aber für die meisten Aufgaben sind die, die wir oben untersucht haben, ausreichend.

Referenzliste.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

Die Mathematik wurde geboren, als der Mensch sich seiner selbst bewusst wurde und begann, sich als autonome Einheit der Welt zu positionieren. Der Wunsch zu messen, zu vergleichen, zu berechnen, was einen umgibt, liegt einer der grundlegenden Wissenschaften unserer Tage zugrunde. Anfangs waren dies Teile der elementaren Mathematik, die es ermöglichten, Zahlen mit ihren physikalischen Ausdrücken zu verknüpfen, später wurden die Schlussfolgerungen (aufgrund ihrer Abstraktheit) nur noch theoretisch präsentiert, aber nach einer Weile, wie ein Wissenschaftler es ausdrückte: " Die Mathematik erreichte die Grenze der Komplexität, als alle Zahlen auftauchten." Das Konzept der "Quadratwurzel" entstand zu einer Zeit, als es leicht durch empirische Daten gestützt werden konnte, die über die Ebene der Berechnungen hinausgingen.

Wie alles begann

Die Wurzel, die heute mit √ bezeichnet wird, wurde erstmals in den Schriften der babylonischen Mathematiker erwähnt, die den Grundstein für die moderne Arithmetik legten. Natürlich sahen sie ein wenig aus wie die heutige Form – die Wissenschaftler jener Jahre verwendeten zuerst sperrige Tabletten. Aber im zweiten Jahrtausend v. e. Sie entwickelten eine ungefähre Berechnungsformel, die zeigte, wie man die Quadratwurzel zieht. Das Foto unten zeigt einen Stein, in den babylonische Wissenschaftler den Ausgabeprozess √2 gemeißelt haben, und es stellte sich als so richtig heraus, dass die Diskrepanz in der Antwort nur in der zehnten Dezimalstelle gefunden wurde.

Außerdem wurde die Wurzel verwendet, wenn es notwendig war, die Seite eines Dreiecks zu finden, vorausgesetzt, die anderen beiden waren bekannt. Nun, beim Lösen quadratischer Gleichungen führt kein Weg daran vorbei, die Wurzel zu ziehen.

Neben den babylonischen Werken wurde der Gegenstand des Artikels auch in der chinesischen Arbeit "Mathematik in neun Büchern" untersucht, und die alten Griechen kamen zu dem Schluss, dass jede Zahl, aus der die Wurzel nicht ohne Rest gezogen wird, ein irrationales Ergebnis ergibt .

Der Ursprung dieses Begriffs hängt mit der arabischen Darstellung der Zahl zusammen: Alte Wissenschaftler glaubten, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl wie eine Pflanze aus der Wurzel wächst. Im Lateinischen klingt dieses Wort wie Radix (man kann ein Muster verfolgen - alles, was eine semantische "Wurzel"-Ladung hat, ist konsonant, sei es Rettich oder Ischias).

Wissenschaftler nachfolgender Generationen griffen diese Idee auf und bezeichneten sie als Rx. Um anzuzeigen, dass die Quadratwurzel aus einer beliebigen Zahl a gezogen wird, schrieben sie beispielsweise im 15. Jahrhundert R 2 a. Das dem modernen Look vertraute „Häkchen“ √ tauchte erst im 17. Jahrhundert dank René Descartes auf.

Unsere Tage

Mathematisch gesehen ist die Quadratwurzel von y die Zahl z, deren Quadrat y ist. Mit anderen Worten, z 2 =y ist äquivalent zu √y=z. Diese Definition ist jedoch nur für die arithmetische Wurzel relevant, da sie einen nicht negativen Wert des Ausdrucks impliziert. Mit anderen Worten, √y=z, wobei z größer oder gleich 0 ist.

Allgemein, was für die Bestimmung einer algebraischen Wurzel gilt, kann der Wert eines Ausdrucks entweder positiv oder negativ sein. Aufgrund der Tatsache, dass z 2 =y und (-z) 2 =y, haben wir also: √y=±z oder √y=|z|.

Da die Liebe zur Mathematik erst mit der Entwicklung der Naturwissenschaften zugenommen hat, gibt es verschiedene Manifestationen der Zuneigung dafür, die sich nicht in trockenen Berechnungen ausdrücken. Zum Beispiel werden neben so interessanten Ereignissen wie dem Tag von Pi auch die Feiertage der Quadratwurzel gefeiert. Sie werden neun Mal in hundert Jahren gefeiert und nach folgendem Prinzip bestimmt: Die Zahlen, die den Tag und den Monat in der Reihenfolge bezeichnen, müssen die Quadratwurzel des Jahres sein. Das nächste Mal wird dieser Feiertag also am 4. April 2016 gefeiert.

Eigenschaften der Quadratwurzel auf dem Körper R

Fast alle mathematischen Ausdrücke haben eine geometrische Grundlage, dieses Schicksal ist nicht passiert und √y, das als die Seite eines Quadrats mit der Fläche y definiert ist.

Wie finde ich die Wurzel einer Zahl?

Es gibt mehrere Berechnungsalgorithmen. Am einfachsten, aber gleichzeitig ziemlich umständlich, ist die übliche arithmetische Berechnung, die wie folgt lautet:

1) Von der Zahl, deren Wurzel wir brauchen, werden nacheinander ungerade Zahlen subtrahiert - bis der Rest der Ausgabe kleiner als die subtrahierte Eins oder gerade gleich Null ist. Die Anzahl der Züge wird schließlich zur gewünschten Anzahl. Zum Beispiel die Berechnung der Quadratwurzel von 25:

Die nächste ungerade Zahl ist 11, der Rest ist: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Für solche Fälle gibt es eine Taylorreihenentwicklung:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , wobei n Werte von 0 bis annimmt

+∞ und |y|≤1.

Grafische Darstellung der Funktion z=√y

Betrachten Sie eine elementare Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R, wobei y größer oder gleich Null ist. Ihr Diagramm sieht so aus:

Die Kurve wächst vom Ursprung aus und kreuzt notwendigerweise den Punkt (1; 1).

Eigenschaften der Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R

1. Der Definitionsbereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist eingeschlossen).

2. Der Wertebereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus unendlich (Null ist wieder enthalten).

3. Die Funktion nimmt den Minimalwert (0) nur an der Stelle (0; 0) an. Es gibt keinen Maximalwert.

4. Die Funktion z=√y ist weder gerade noch ungerade.

5. Die Funktion z=√y ist nicht periodisch.

6. Es gibt nur einen Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y mit den Koordinatenachsen: (0; 0).

7. Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y ist auch die Nullstelle dieser Funktion.

8. Die Funktion z=√y wächst ständig.

9. Die Funktion z=√y nimmt nur positive Werte an, daher nimmt ihr Graph den ersten Koordinatenwinkel ein.

Optionen zur Anzeige der Funktion z=√y

In der Mathematik wird zur Erleichterung der Berechnung komplexer Ausdrücke manchmal die Potenzform der Quadratwurzel verwendet: √y=y 1/2. Diese Option ist beispielsweise praktisch, um eine Funktion zu potenzieren: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Diese Methode ist auch eine gute Darstellung für die Differenzierung mit Integration, da dank ihr die Quadratwurzel durch eine gewöhnliche Potenzfunktion dargestellt wird.

Und in der Programmierung ist der Ersatz für das Symbol √ die Buchstabenkombination sqrt.

Es ist erwähnenswert, dass die Quadratwurzel in diesem Bereich sehr gefragt ist, da sie Teil der meisten geometrischen Formeln ist, die für Berechnungen erforderlich sind. Der Zählalgorithmus selbst ist ziemlich kompliziert und basiert auf Rekursion (einer Funktion, die sich selbst aufruft).

Die Quadratwurzel im komplexen Körper C

Im Großen und Ganzen war es das Thema dieses Artikels, das die Entdeckung des Gebiets der komplexen Zahlen C anregte, da Mathematiker von der Frage verfolgt wurden, wie man eine gerade Gradwurzel aus einer negativen Zahl erhält. So entstand die imaginäre Einheit i, die sich durch eine sehr interessante Eigenschaft auszeichnet: Ihr Quadrat ist -1. Dank dessen haben quadratische Gleichungen und mit negativer Diskriminante eine Lösung. In C sind für die Quadratwurzel die gleichen Eigenschaften relevant wie in R, nur dass die Beschränkungen für den Wurzelausdruck aufgehoben werden.

Wie man die Wurzel extrahiert aus der Nummer. In diesem Artikel lernen wir, wie man die Quadratwurzel von vier- und fünfstelligen Zahlen zieht.

Nehmen wir als Beispiel die Quadratwurzel von 1936.

Somit, .

Die letzte Ziffer in 1936 ist 6. Das Quadrat von 4 und 6 endet bei 6. Daher kann 1936 das Quadrat von 44 oder 46 sein. Es bleibt durch Multiplikation zu überprüfen.

Meint,

Lassen Sie uns die Quadratwurzel aus der Zahl 15129 ziehen.

Somit, .

Die letzte Ziffer in 15129 ist 9. Die 9 endet mit dem Quadrat von 3 und 7. Daher kann 15129 das Quadrat von 123 oder 127 sein. Überprüfen wir es mit der Multiplikation.

Meint,

Wie man rootet - Video

Und jetzt schlage ich vor, dass Sie sich das Video von Anna Denisova ansehen - "Wie man die Wurzel extrahiert ", Seitenautor " einfache Physik“, in dem sie erklärt, wie man Quadrat- und Kubikwurzeln ohne Taschenrechner zieht.

Das Video diskutiert verschiedene Möglichkeiten, Wurzeln zu extrahieren:

1. Der einfachste Weg, die Quadratwurzel zu ziehen.

2. Matching mit dem Quadrat der Summe.

3. Babylonischer Weg.

4. Eine Methode zum Ziehen einer Quadratwurzel in einer Spalte.

5. Ein schneller Weg, um die Kubikwurzel zu extrahieren.

6. Die Methode zum Ziehen der Kubikwurzel in einer Spalte.