Gerçek dünyanın nicel ilişkilerinin bilimi. Gerçek dünyanın nicel ilişkilerin ve mekansal biçimlerin bilimi olarak matematik. Değişkenlerin matematiği dönemi

İncelenen nesnelerin idealleştirilmiş özellikleri ya aksiyomlar olarak formüle edilir ya da karşılık gelen matematiksel nesnelerin tanımında listelenir. Daha sonra, katı mantıksal çıkarım kurallarına göre, bu özelliklerden diğer gerçek özellikler (teoremler) çıkarılır. Bu teori birlikte incelenen nesnenin matematiksel bir modelini oluşturur. Böylece, başlangıçta uzamsal ve niceliksel ilişkilerden yola çıkan matematik, çalışması aynı zamanda modern matematiğin konusu olan daha soyut ilişkiler elde eder.

Geleneksel olarak matematik, matematik içi yapıların derinlemesine bir analizini yapan ve modellerini diğer bilimlere ve mühendislik disiplinlerine sağlayan uygulamalı teorik olarak bölünmüştür ve bazıları matematikle sınırda bir konuma sahiptir. Özellikle biçimsel mantık, hem felsefi bilimlerin hem de matematik bilimlerinin bir parçası olarak düşünülebilir; mekanik - hem fizik hem de matematik; bilgisayar bilimi, bilgisayar teknolojisi ve algoritmik hem mühendislik hem de matematik bilimleridir vb. Literatürde matematiğin birçok farklı tanımı önerilmiştir.

etimoloji

"Matematik" kelimesi diğer Yunancadan gelmektedir. μάθημα, yani çalışması, bilgi, Bilim, vb. - Yunanca. μαθηματικός, aslen anlamı alıcı, üretken, sonra çalışılabilir, daha sonra matematikle ilgili. Özellikle, μαθηματικὴ τέχνη , Latince matematik, anlamına geliyor matematik sanatı. Diğer Yunanca terimi. "Matematik" kelimesinin modern anlamıyla μᾰθημᾰτικά, Aristoteles'in (MÖ 4. yy) yazılarında zaten bulunur. Fasmer'e göre, kelime Rus diline Lehçe aracılığıyla geldi. matematyka veya lat aracılığıyla. matematik.

Tanımlar

Matematik konusunun ilk tanımlarından biri Descartes tarafından yapılmıştır:

Matematik alanı, yalnızca düzen veya ölçünün dikkate alındığı bilimleri içerir ve bunların sayılar, şekiller, yıldızlar, sesler veya bu ölçünün arandığı herhangi bir şey olup olmadığı hiç önemli değildir. Bu nedenle, herhangi bir özel konunun çalışmasına girmeden, düzen ve ölçü ile ilgili her şeyi açıklayan bir genel bilim olmalı ve bu bilim yabancı tarafından değil, eski, zaten yaygın olan Genel Matematik adıyla adlandırılmalıdır.

Matematiğin özü şimdi, onları tanımlayan bazı özellikler dışında, hakkında hiçbir şey bilinmeyen nesneler arasındaki ilişkilerin bir doktrini olarak sunulmaktadır - tam olarak teorinin temeline aksiyomlar olarak konanlar ... Matematik, bir dizi soyut form - matematiksel yapılar.

matematik dalları

1. Matematik olarak akademik disiplin

gösterim

Matematik son derece çeşitli ve oldukça karmaşık yapılarla ilgilendiğinden, gösterimi de çok karmaşıktır. Modern formül yazma sistemi, Avrupa cebirsel geleneğinin yanı sıra matematiğin sonraki bölümlerinin - matematiksel analiz, matematiksel mantık, küme teorisi vb. ihtiyaçları temelinde oluşturulmuştur. Geometri, zamandan beri görsel (geometrik) bir temsil kullanmıştır. çok eski. Modern matematikte, karmaşık grafik notasyon sistemleri (örneğin değişmeli diyagramlar) da yaygındır ve grafiklere dayalı notasyon da sıklıkla kullanılır.

Kısa hikaye

matematik felsefesi

Hedefler ve Yöntemler

Uzay R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), n > 3 (\displaystyle n>3) matematiksel bir icattır. Bununla birlikte, karmaşık fenomenleri matematiksel olarak anlamaya yardımcı olan çok ustaca bir buluş».

Vakıflar

sezgicilik

yapıcı matematik

açıklamak

Ana konular

Miktar

Niceliğin soyutlanmasıyla ilgilenen ana bölüm cebirdir. "Sayı" kavramı, aslen aritmetik temsillerden kaynaklandı ve doğal sayılara atıfta bulundu. Daha sonra cebir yardımıyla kademeli olarak tamsayı, rasyonel, gerçek, karmaşık ve diğer sayılara genişletildi.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) Rasyonel sayılar 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) Gerçek sayılar − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 ben + 2 , e ben π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\noktalar ) Karışık sayılar kuaterniyonlar

Dönüşümler

Dönüşümler ve değişiklikler fenomenleri, analiz yoluyla en genel biçimde ele alınır.

yapılar

Mekansal ilişkiler

Geometri, mekansal ilişkilerin temellerini ele alır. Trigonometri, trigonometrik fonksiyonların özelliklerini dikkate alır. Geometrik nesnelerin matematiksel analiz yoluyla incelenmesi, diferansiyel geometri ile ilgilenir. Sürekli deformasyonlar altında değişmeden kalan uzayların özellikleri ve süreklilik olgusu topoloji tarafından incelenir.

Ayrık Matematik

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

Matematik çok uzun zamandır var. Adam meyve topladı, meyve çıkardı, balık tuttu ve hepsini kış için sakladı. Ne kadar yiyecek depolandığını anlamak için bir kişi hesabı icat etti. Matematik böyle başladı.

Sonra adam tarımla uğraşmaya başladı. Arazileri ölçmek, konutlar inşa etmek, zamanı ölçmek gerekiyordu.

Yani, bir kişinin gerçek dünyanın nicel oranını kullanması gerekli hale geldi. Ne kadar mahsulün hasat edildiğini, arsanın boyutunu veya belirli sayıda parlak yıldızla gökyüzünün alanının ne kadar büyük olduğunu belirleyin.

Ayrıca bir kişi formları belirlemeye başladı: güneş yuvarlak, kutu kare, göl oval ve bu nesnelerin uzayda nasıl yer aldığı. Yani, bir kişi gerçek dünyanın mekansal biçimleriyle ilgilenmeye başladı.

Böylece kavram matematik gerçek dünyanın nicel ilişkilerinin ve uzamsal biçimlerinin bilimi olarak tanımlanabilir.

Şu anda, matematik olmadan yapılabilecek tek bir meslek yok. "Matematiğin Kralı" olarak anılan ünlü Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss bir keresinde şöyle demişti:

"Matematik bilimlerin kraliçesidir, aritmetik matematiğin kraliçesidir."

"Aritmetik" kelimesi Yunanca "arithmos" - "sayı" kelimesinden gelir.

Böylece, aritmetik sayıları ve üzerlerindeki işlemleri inceleyen bir matematik dalıdır.

İlkokulda her şeyden önce aritmetik çalışırlar.

Bu bilim nasıl gelişti, gelin bu konuyu inceleyelim.

Matematiğin doğduğu dönem

Matematiksel bilgi birikiminin ana dönemi, MÖ 5. yy'dan önceki zaman olarak kabul edilir.

Matematiksel konumları kanıtlamaya başlayan ilk kişi, MÖ 7. yüzyılda, muhtemelen 625-545'te yaşayan eski bir Yunan düşünürdü. Bu filozof Doğu ülkelerini dolaştı. Gelenek, Mısırlı rahipler ve Babil Keldanileri ile çalıştığını söylüyor.

Milet'li Thales, Mısır'dan Yunanistan'a temel geometrinin ilk kavramlarını getirdi: çap nedir, üçgeni ne belirler, vb. Bir güneş tutulması öngördü, mühendislik yapıları tasarladı.

Bu dönemde aritmetik yavaş yavaş gelişir, astronomi ve geometri gelişir. Cebir ve trigonometri doğar.

İlköğretim matematik dönemi

Bu dönem MÖ VI ile başlar. Şimdi matematik, teorileri ve kanıtları olan bir bilim olarak ortaya çıkıyor. Sayılar teorisi, niceliklerin, bunların ölçülmesinin doktrini ortaya çıkar.

Bu zamanın en ünlü matematikçisi Öklid'dir. MÖ III. Yüzyılda yaşadı. Bu adam, bize ulaşan matematik üzerine ilk teorik incelemenin yazarıdır.

Öklid'in eserlerinde Öklid geometrisinin temelleri verilir - bunlar gibi temel kavramlara dayanan aksiyomlardır.

İlköğretim matematik döneminde, sayılar teorisinin yanı sıra nicelikler ve bunların ölçümü doktrini doğdu. İlk kez, negatif ve irrasyonel sayılar ortaya çıkıyor.

Bu sürenin sonunda, gerçek bir hesap olarak cebirin oluşumu gözlemlenir. "Cebir" bilimi Araplar arasında denklemleri çözme bilimi olarak görünür. Arapça'da "cebir" kelimesi "kurtarma", yani negatif değerlerin denklemin başka bir bölümüne aktarılması anlamına gelir.

Değişkenlerin matematiği dönemi

Bu dönemin kurucusu MS 17. yüzyılda yaşamış olan Rene Descartes'tir. Descartes, yazılarında ilk kez değişken kavramını tanıtıyor.

Bu sayede bilim adamları, sabit miktarların çalışmasından değişkenler arasındaki ilişkilerin çalışmasına ve hareketin matematiksel tanımına geçerler.

Friedrich Engels, yazılarında bu dönemi en açık şekilde karakterize eder:

“Matematiğin dönüm noktası Kartezyen değişkendi. Bu sayede hareket ve dolayısıyla diyalektik matematiğe girdi ve bu sayede hemen ortaya çıkan ve büyük ölçüde tamamlanmış olan ve Newton ve Leibniz tarafından icat edilmeyen diferansiyel ve integral hesabı hemen gerekli hale geldi.

Modern matematik dönemi

19. yüzyılın 20'li yıllarında Nikolai İvanoviç Lobachevsky, Öklid dışı geometrinin kurucusu oldu.

Bu andan itibaren modern matematiğin en önemli bölümlerinin gelişimi başlar. Olasılık teorisi, küme teorisi, matematiksel istatistikler vb.

Bütün bu keşifler ve çalışmalar bilimin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır.

Ve şu anda, matematik bilimi hızla gelişiyor, yeni formlar ve ilişkiler dahil olmak üzere matematik konusu genişliyor, yeni teoremler kanıtlanıyor ve temel kavramlar derinleşiyor.

İncelenen nesnelerin idealleştirilmiş özellikleri ya aksiyomlar olarak formüle edilir ya da karşılık gelen matematiksel nesnelerin tanımında listelenir. Daha sonra, katı mantıksal çıkarım kurallarına göre, bu özelliklerden diğer gerçek özellikler (teoremler) çıkarılır. Bu teori birlikte incelenen nesnenin matematiksel bir modelini oluşturur. Böylece, başlangıçta uzamsal ve nicel ilişkilerden yola çıkarak matematik, çalışması aynı zamanda modern matematiğin konusu olan daha soyut ilişkiler elde eder.

Geleneksel olarak matematik, matematik içi yapıların derinlemesine bir analizini yapan ve modellerini diğer bilimlere ve mühendislik disiplinlerine sağlayan uygulamalı teorik olarak bölünmüştür ve bazıları matematikle sınırda bir konuma sahiptir. Özellikle biçimsel mantık, hem felsefi bilimlerin hem de matematik bilimlerinin bir parçası olarak düşünülebilir; mekanik - hem fizik hem de matematik; bilgisayar bilimi, bilgisayar teknolojisi ve algoritmik, hem mühendislik hem de matematik bilimlerine vb. atıfta bulunur. Literatürde matematiğin birçok farklı tanımı önerilmiştir (bkz.).

etimoloji

"Matematik" kelimesi diğer Yunancadan gelir. μάθημα ( matematik), yani çalışması, bilgi, Bilim, vb. - Yunanca. μαθηματικός ( matematikçi), orijinal anlamı alıcı, üretken, sonra çalışılabilir, daha sonra matematikle ilgili. Özellikle, μαθηματικὴ τέχνη (matematikḗ tékhnē), Latince matematik, anlamına geliyor matematik sanatı.

Tanımlar

Matematik alanı, yalnızca düzen veya ölçünün dikkate alındığı bilimleri içerir ve bunların sayılar, şekiller, yıldızlar, sesler veya bu ölçünün arandığı herhangi bir şey olup olmadığı hiç önemli değildir. Bu nedenle, herhangi bir özel konunun çalışmasına girmeden, düzen ve ölçü ile ilgili her şeyi açıklayan bir genel bilim olmalı ve bu bilim yabancı tarafından değil, eski, zaten yaygın olan Genel Matematik adıyla adlandırılmalıdır.

Sovyet döneminde, A. N. Kolmogorov tarafından verilen TSB tanımı klasik olarak kabul edildi:

Matematik ... gerçek dünyanın nicel ilişkiler ve uzamsal biçimlerinin bilimi.

Matematiğin özü şimdi, onları tanımlayan bazı özellikler dışında, hakkında hiçbir şey bilinmeyen nesneler arasındaki ilişkilerin bir doktrini olarak sunulmaktadır - tam olarak teorinin temeline aksiyomlar olarak konanlar ... Matematik, bir dizi soyut form - matematiksel yapılar.

İşte bazı daha modern tanımlar.

Modern teorik ("saf") matematik, çeşitli sistem ve süreçlerin matematiksel değişmezleri olan matematiksel yapıların bilimidir.

Matematik, standart (kanonik) bir forma indirgenebilen modelleri hesaplama yeteneği sağlayan bir bilimdir. Resmi dönüşümler yoluyla analitik modellere (analiz) çözümler bulma bilimi.

matematik dalları

1. Matematik olarak akademik disiplin Rusya Federasyonu'nda ortaokulda okutulan ve aşağıdaki disiplinlerden oluşan ilköğretim matematiğine bölünmüştür:

• temel geometri: planimetri ve stereometri
• temel fonksiyonlar teorisi ve analiz unsurları

4. Amerikan Matematik Derneği (AMS), matematiğin dallarını sınıflandırmak için kendi standardını geliştirmiştir. Buna Matematik Konu Sınıflandırması denir. Bu standart periyodik olarak güncellenmektedir. Geçerli sürüm MSC 2010'dur. Önceki sürüm MSC 2000'dir.

gösterim

Matematiğin son derece çeşitli ve oldukça karmaşık yapılarla uğraşması nedeniyle, gösterim de çok karmaşıktır. Modern formül yazma sistemi, Avrupa cebirsel geleneğinin yanı sıra matematiksel analiz (fonksiyon kavramı, türev vb.) Çok eski zamanlardan beri, geometri görsel (geometrik) bir temsil kullanmıştır. Modern matematikte, karmaşık grafik notasyon sistemleri (örneğin değişmeli diyagramlar) da yaygındır ve grafiklere dayalı notasyon da sıklıkla kullanılır.

Kısa hikaye

Matematiğin gelişimi yazmaya ve sayıları yazma yeteneğine dayanır. Muhtemelen, eski insanlar miktarı ilk önce yere çizgiler çizerek veya tahtaya çizerek ifade ettiler. Başka bir yazı sistemine sahip olmayan antik İnkalar, quipu adı verilen karmaşık bir ip düğüm sistemi kullanarak sayısal verileri temsil etti ve sakladı. Birçok farklı sayı sistemi vardı. Bilinen ilk sayı kayıtları, Orta Krallık Mısırlıları tarafından oluşturulan Ahmes Papirüsünde bulundu. Hint uygarlığı, sıfır kavramını içeren modern ondalık sayı sistemini geliştirdi.

Tarihsel olarak, büyük matematik disiplinleri, ticari alanda, arazinin ölçülmesinde ve astronomik olayları tahmin etmede ve daha sonra yeni fiziksel problemlerin çözülmesinde hesaplamalar yapma ihtiyacının etkisi altında ortaya çıkmıştır. Bu alanların her biri, yapıların, boşlukların ve değişikliklerin incelenmesinden oluşan matematiğin geniş gelişiminde büyük rol oynar.

matematik felsefesi

Hedefler ve Yöntemler

Matematik, resmi bir dil kullanarak hayali, ideal nesneleri ve aralarındaki ilişkileri inceler. Genel olarak, matematiksel kavramlar ve teoremler, fiziksel dünyadaki herhangi bir şeye mutlaka karşılık gelmez. Uygulamalı matematik dalının ana görevi, incelenen gerçek nesne için yeterince yeterli olan bir matematiksel model oluşturmaktır. Teorik matematikçinin görevi, bu amaca ulaşmak için yeterli bir dizi uygun araç sağlamaktır.

Matematiğin içeriği, yaratılmaları için bir matematiksel modeller ve araçlar sistemi olarak tanımlanabilir. Nesne modeli, tüm özelliklerini dikkate almaz, yalnızca çalışma amaçları için en gerekli olanı (idealleştirilmiş) dikkate alır. Örneğin, bir portakalın fiziksel özelliklerini incelerken, renginden ve tadından soyutlayabilir ve (tam doğru olmasa da) bir top olarak gösterebiliriz. Eğer iki ve üçü toplarsak kaç tane portakal elde ettiğimizi anlamamız gerekirse, o zaman formdan soyutlayarak modeli tek bir karakteristikle - miktarla bırakarak, soyutlayabiliriz. Soyutlama ve nesneler arasındaki ilişkilerin en genel haliyle kurulması matematiksel yaratıcılığın ana alanlarından biridir.

Soyutlama ile birlikte başka bir yön de genellemedir. Örneğin, "uzay" kavramını n-boyutlu uzaya genellemek. " Buradaki boşluk matematiksel bir icattır. Bununla birlikte, karmaşık fenomenleri matematiksel olarak anlamaya yardımcı olan çok ustaca bir buluş».

Matematiksel nesnelerin incelenmesi, kural olarak, aksiyomatik yöntem kullanılarak gerçekleştirilir: önce, incelenen nesneler için temel kavramların ve aksiyomların bir listesi formüle edilir ve daha sonra, birlikte oluşturan çıkarım kurallarını kullanarak aksiyomlardan anlamlı teoremler elde edilir. matematiksel bir model.

Vakıflar

Matematiğin özü ve temelleri sorunu Platon'dan beri tartışılmaktadır. 20. yüzyıldan beri, kesin bir matematiksel kanıt olarak kabul edilmesi gereken şey üzerinde karşılaştırmalı bir anlaşma olmuştur, ancak matematikte neyin doğru olduğu konusunda bir anlaşma olmamıştır. Bu, hem aksiyomatik sorularda hem de matematiğin dallarının birbirine bağlanmasında ve ispatlarda kullanılması gereken mantıksal sistemlerin seçiminde anlaşmazlıklara yol açar.

Şüphecilere ek olarak, bu konuya aşağıdaki yaklaşımlar bilinmektedir.

Küme-teorik yaklaşım

Tüm matematiksel nesnelerin küme teorisi çerçevesinde, çoğunlukla Zermelo-Fraenkel aksiyomatikleriyle (buna eşdeğer başka birçokları olmasına rağmen) düşünülmesi önerilir. Bu yaklaşımın 20. yüzyılın ortalarından beri baskın olduğu düşünülmüştür, ancak gerçekte, çoğu matematiksel çalışma, kendi ifadelerini kesin olarak küme teorisinin diline çevirme görevini üstlenmez, ancak bazı alanlarda yerleşik kavramlar ve gerçeklerle çalışır. matematiğin. Bu nedenle, küme teorisinde bir çelişki bulunursa, bu, sonuçların çoğunun geçersiz kılınmasını gerektirmez.

mantıkçılık

Bu yaklaşım, matematiksel nesnelerin katı bir şekilde yazıldığını varsayar. Küme teorisinde yalnızca özel numaralarla kaçınılan birçok paradoks, prensipte imkansız hale gelir.

formalizm

Bu yaklaşım, klasik mantığa dayalı biçimsel sistemlerin incelenmesini içerir.

sezgicilik

Sezgicilik, matematiğin temelinde, kanıtlama araçları bakımından daha sınırlı olan (ama aynı zamanda daha güvenilir olduğuna inanılan) sezgici bir mantığı varsayar. Sezgicilik, çelişki yoluyla ispatı reddeder, birçok yapıcı olmayan ispat imkansız hale gelir ve küme teorisinin birçok problemi anlamsız hale gelir (formalize edilemez).

yapıcı matematik

Yapıcı matematik, yapıcı yapıları inceleyen sezgiciliğe yakın bir matematik eğilimidir. açıklamak] . İnşa edilebilirlik kriterine göre - " var olmak inşa etmek demektir". Yapıcılık kriteri, tutarlılık kriterinden daha güçlü bir gerekliliktir.

Ana konular

sayılar

"Sayı" kavramı başlangıçta doğal sayılara atıfta bulundu. Daha sonra kademeli olarak tamsayı, rasyonel, gerçek, karmaşık ve diğer sayılara genişletildi.

Tüm sayılar Rasyonel sayılar Gerçek sayılar Karışık sayılar kuaterniyonlar

sayısal sistemler
sayma setler	Doğal sayılar () Tamsayılar () Rasyoneller () Cebirsel () Periyotlar Hesaplanabilir Aritmetik
Gerçek sayılar ve uzantıları	Reel () Kompleks () Kuaterniyonlar () Cayley sayıları (oktavlar, oktonyonlar) () Sedenyonlar () Alternions Cayley-Dixon prosedürü İkili Hiperkompleks Süper Gerçek Hiperreal Gerçeküstü sayı ( ingilizce)
Diğer sayı sistemleri	Ana sayılar Sıra sayıları (sonlu, sıralı) p-adic Doğaüstü sayılar
Ayrıca bakınız	Çift sayılar İrrasyonel sayılar Aşkın Sayı ışını Biquaternion

Dönüşümler

Ayrık Matematik

Bilgi sınıflandırma sistemlerindeki kodlar

Çevrimiçi hizmetler

Matematiksel hesaplamalar için hizmet veren çok sayıda site vardır. Çoğu İngilizcedir. Rusça konuşanlardan, Nigma arama motorunun matematiksel sorgularının hizmeti not edilebilir.

Ayrıca bakınız

Bilimin Popülerleştiricileri

notlar

1. britanika Ansiklopedisi
2. Webster'ın Çevrimiçi Sözlüğü
3. Bölüm 2. Bilimin dili olarak matematik. Sibirya Açık Üniversitesi. 2 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Ekim 2010.
4. Büyük Antik Yunanca Sözlük (αω)
5. XI-XVII yüzyılların Rus dili sözlüğü. Sayı 9 / Böl. ed. F.P. Filin. - E.: Nauka, 1982. - S. 41.
6. Descartes R. Zihne rehberlik edecek kurallar. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
7. Bakınız: TSB Matematik
8. Marx K., Engels F.İşler. 2. baskı. T. 20. S. 37.
9. Burbaki N. Matematik mimarisi. Matematik tarihi üzerine denemeler / Çeviren: I. G. Bashmakova, ed. K.A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
10. Kaziev V.M. Matematiğe Giriş
11. Muhin O.İ. Modelleme Sistemleri Eğitimi. İzin: RCI PSTU.
12. Herman Weil // Kline M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
13. Yüksek mesleki eğitimin devlet eğitim standardı. Özel 01.01.00. "Matematik". Yeterlilik - Matematikçi. Moskova, 2000 (O. B. Lupanov'un rehberliğinde derlenmiştir)
14. 25 Şubat 2009 tarih ve 59 sayılı Rusya Eğitim ve Bilim Bakanlığı'nın emriyle onaylanan bilimsel çalışanların uzmanlıklarının isimlendirilmesi
15. UDC 51 Matematik
16. Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolsky. Lineer cebir ve analitik geometrinin öğeleri. M.: Nauka, 1988. S. 44.
17. N.I. Kondakov. Mantıksal sözlük-başvuru kitabı. M.: Nauka, 1975. S. 259.
18. G.I. Ruzavin. Matematiksel bilginin doğası üzerine. M.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Örneğin: http://mathworld.wolfram.com

Edebiyat

ansiklopediler

• // Brockhaus ve Efron Ansiklopedik Sözlüğü: 86 ciltte (82 cilt ve 4 ek). - St.Petersburg. , 1890-1907.
• Matematik Ansiklopedisi (5 cilt halinde), 1980'ler. // EqWorld'de genel ve özel matematik referansları
• Kondakov N.I. Mantıksal sözlük-başvuru kitabı. Moskova: Nauka, 1975.
• Matematik Bilimleri Ansiklopedisi ve Uygulamaları (Almanca) 1899-1934 (19. yüzyıl edebiyatının en büyük incelemesi)

Referans kitapları

• G. Korn, T. Korn. Bilim adamları ve mühendisler için matematik el kitabı M., 1973

Kitabın

• Kline M. Matematik. Kesinlik kaybı. - M.: Mir, 1984.
• Kline M. Matematik. Hakikat arayışı. M.: Mir, 1988.
• Klein F. Daha yüksek bir bakış açısıyla temel matematik.

• Cilt I. Aritmetik. Cebir. Analiz M.: Nauka, 1987. 432 s.
• Cilt II. Geometri M.: Nauka, 1987. 416 s.

• R. Courant, G. Robbins. matematik nedir? 3. baskı, rev. ve ek - E.: 2001. 568 s.
• Pisarevsky B.M., Kharin V.T. Matematik hakkında, matematikçiler ve sadece. - M.: Binom. Bilgi Laboratuvarı, 2012. - 302 s.
• Poincare A. Bilim ve yöntem (rus.) (fr.)

Matematik en eski bilimlerden biridir. Matematiğin kısa bir tanımını yapmak hiç de kolay değil, içeriği kişinin matematik eğitim düzeyine göre büyük ölçüde değişecektir. Aritmetik öğrenmeye yeni başlayan bir ilkokul öğrencisi, matematiğin nesneleri sayma kurallarını çalışmak olduğunu söyleyecektir. Ve haklı olacak, çünkü ilk başta bununla tanışıyor. Daha büyük öğrenciler, matematik kavramının cebiri ve geometrik nesnelerin incelenmesini içerdiği söylenenlere ekleyeceklerdir: çizgiler, bunların kesişimleri, düzlem şekilleri, geometrik cisimler, çeşitli dönüşümler. Lise mezunları ayrıca matematiğin tanımına fonksiyonların incelenmesini ve limite geçme eylemini ve ayrıca ilgili türev ve integral kavramlarını dahil edeceklerdir. Yüksek teknik eğitim kurumlarının veya üniversitelerin ve pedagojik enstitülerin doğa bilimleri bölümlerinin mezunları, diğer disiplinlerin de matematiğin bir parçası olduğunu bildikleri için artık okul tanımlarından memnun olmayacaklar: olasılık teorisi, matematiksel istatistik, diferansiyel hesap, programlama, hesaplama yöntemleri, ve ayrıca bu disiplinlerin üretim süreçlerinin modellenmesi, deneysel verilerin işlenmesi, bilginin iletilmesi ve işlenmesi için uygulamaları. Ancak, listelenenler matematiğin içeriğini tüketmez. Küme teorisi, matematiksel mantık, optimal kontrol, rastgele süreçler teorisi ve çok daha fazlası bileşimine dahil edilmiştir.

Matematiği oluşturan dalları listeleyerek tanımlama girişimleri bizi yanıltıyor çünkü matematiğin tam olarak ne çalıştığı ve çevremizdeki dünyayla ilişkisi hakkında bir fikir vermiyorlar. Bir fizikçiye, biyologa veya astronoma böyle bir soru sorulsa, her biri çok kısa bir cevap verir, çalıştıkları bilimi oluşturan bölümlerin bir listesini içermez. Böyle bir cevap, araştırdığı doğa fenomenlerinin bir göstergesini içerecektir. Örneğin, bir biyolog, biyolojinin yaşamın çeşitli tezahürlerinin incelenmesi olduğunu söyleyebilir. Bu cevap tamamen tam olmasa da, yaşam ve yaşam fenomenlerinin ne olduğunu söylemediğinden, yine de böyle bir tanım, biyoloji biliminin içeriği ve bu bilimin farklı seviyeleri hakkında oldukça eksiksiz bir fikir verecektir. . Ve bu tanım biyoloji bilgimizin genişlemesiyle değişmeyecekti.

Matematiğin konusu olacak, ancak fiziksel, biyolojik, kimyasal, mühendislik veya sosyal fenomenlerle ilgili olmayacak böyle bir doğa olayı, teknik veya sosyal süreç yoktur. Her doğa bilimi disiplini: biyoloji ve fizik, kimya ve psikoloji - konusunun maddi özellikleri, çalıştığı gerçek dünyanın alanının belirli özellikleri tarafından belirlenir. Nesne veya fenomenin kendisi, matematiksel olanlar da dahil olmak üzere farklı yöntemlerle incelenebilir, ancak yöntemleri değiştirerek, bu bilimin içeriği araştırma yöntemi değil gerçek konu olduğu için hala bu disiplinin sınırları içinde kalırız. Matematik için, araştırmanın maddi konusu belirleyici bir öneme sahip değildir; uygulanan yöntem önemlidir. Örneğin, trigonometrik fonksiyonlar hem salınım hareketini incelemek hem de erişilemeyen bir nesnenin yüksekliğini belirlemek için kullanılabilir. Ve matematiksel yöntem kullanılarak gerçek dünyanın hangi fenomenleri araştırılabilir? Bu fenomenler maddi doğaları tarafından değil, yalnızca biçimsel yapısal özellikler tarafından ve hepsinden öte, içinde bulundukları nicel ilişkiler ve uzamsal biçimler tarafından belirlenir.

Bu nedenle, matematik maddi nesneleri incelemez, ancak belirli işlemlerin (toplama, türev alma vb.) Ancak matematiksel problemlerin, kavramların ve teorilerin önemli bir kısmı, birincil kaynağı gerçek olgu ve süreçlere sahiptir. Örneğin, aritmetik ve sayı teorisi, nesneleri saymanın birincil pratik görevinden ortaya çıktı. Temel geometri, mesafeleri karşılaştırma, düzlem şekillerin alanlarını veya uzamsal cisimlerin hacimlerini hesaplama ile ilgili kaynak problemlerine sahipti. Tüm bunların bulunması gerekiyordu, çünkü araziyi kullanıcılar arasında yeniden dağıtmak, savunma yapılarının inşası sırasında tahıl ambarlarının boyutunu veya toprak işlerinin hacmini hesaplamak gerekiyordu.

Matematiksel bir sonuç, yalnızca belirli bir fenomenin veya sürecin incelenmesinde kullanılabilme özelliğine sahiptir, aynı zamanda fiziksel doğası daha önce düşünülenlerden temelde farklı olan diğer fenomenleri incelemek için de kullanılabilir. Dolayısıyla aritmetik kuralları, ekonomik problemlerde, teknik konularda, tarım problemlerinin çözümünde ve bilimsel araştırmalarda geçerlidir. Aritmetik kuralları binlerce yıl önce geliştirildi, ancak pratik değerlerini sonsuza kadar korudular. Aritmetik, matematiğin ayrılmaz bir parçasıdır, geleneksel kısmı artık matematik çerçevesinde yaratıcı gelişime tabi değildir, ancak çok sayıda yeni uygulama bulur ve bulmaya devam edecektir. Bu uygulamalar insanlık için büyük önem taşıyabilir, ancak artık matematiğe tam anlamıyla katkı sağlamayacaklardır.

Yaratıcı bir güç olarak matematiğin amacı, çok sayıda özel durumda kullanılması gereken genel kuralların geliştirilmesidir. Bu kuralları yaratan, yeni bir şey yaratan, yaratır. Hazır kuralları uygulayan herkes artık matematiğin kendisinde yaratmaz, büyük olasılıkla matematiksel kuralların yardımıyla diğer bilgi alanlarında yeni değerler yaratır. Örneğin, günümüzde uydu görüntülerinin yorumlanmasından elde edilen veriler, ayrıca kayaların bileşimi ve yaşı, jeokimyasal ve jeofiziksel anomaliler hakkında bilgiler bilgisayarlar kullanılarak işlenmektedir. Jeolojik araştırmalarda bir bilgisayarın kullanılması kuşkusuz bu araştırmayı jeolojik bırakır. Bilgisayarların ve yazılımlarının çalışma prensipleri, jeolojik bilimlerin çıkarları doğrultusunda kullanılma olasılıkları dikkate alınmadan geliştirilmiştir. Bu olasılığın kendisi, jeolojik verilerin yapısal özelliklerinin belirli bilgisayar programlarının mantığına uygun olmasıyla belirlenir.

Matematiğin iki tanımı yaygınlaşmıştır. Bunlardan ilki F. Engels tarafından Anti-Dühring'de, diğeri ise Nicolas Bourbaki olarak bilinen bir grup Fransız matematikçi tarafından The Architecture of Mathematics (1948) makalesinde verilmiştir.

"Saf matematik, nesnesi olarak gerçek dünyanın uzamsal biçimlerine ve nicel ilişkilerine sahiptir." Bu tanım sadece matematiğin çalışma nesnesini tanımlamakla kalmaz, aynı zamanda kökenini de gösterir - gerçek dünya. Ancak F. Engels'in bu tanımı, matematiğin 19. yüzyılın ikinci yarısındaki durumunu büyük ölçüde yansıtmaktadır. ve nicel ilişkilerle veya geometrik biçimlerle doğrudan ilişkili olmayan yeni alanlarını hesaba katmaz. Bu, her şeyden önce, matematiksel mantık ve programlama ile ilgili disiplinlerdir. Bu nedenle, bu tanımın biraz açıklığa kavuşturulması gerekmektedir. Belki de matematiğin çalışma konusunun uzamsal biçimler, nicel ilişkiler ve mantıksal yapılar olduğu söylenmelidir.

Bourbaki, "yalnızca matematiksel nesnelerin, tam anlamıyla, matematiksel yapılar olduğunu" savunuyorlar. Başka bir deyişle matematik, matematiksel yapıların bilimi olarak tanımlanmalıdır. Bu tanım aslında bir totolojidir, çünkü tek bir şey söyler: matematik, incelediği nesnelerle ilgilenir. Bu tanımın bir diğer kusuru, matematiğin çevremizdeki dünyayla ilişkisini netleştirmemesidir. Ayrıca Bourbaki, matematiksel yapıların gerçek dünyadan ve fenomenlerinden bağımsız olarak yaratıldığını vurgular. Bu nedenle Bourbaki, “asıl problem deneysel dünya ile matematik dünyası arasındaki ilişkidir” demeye zorlanmıştır. Deneysel fenomenler ile matematiksel yapılar arasında yakın bir ilişki olduğu, modern fiziğin keşifleriyle tamamen beklenmedik bir şekilde doğrulanmış gibi görünüyor, ancak bunun derin nedenlerinden tamamen habersiziz ... ve belki de onları asla bilemeyeceğiz. .

F. Engels'in tanımından böyle bir hayal kırıklığı yaratan bir sonuç çıkarılamaz, çünkü daha şimdiden matematiksel kavramların gerçek dünyanın belirli ilişkilerinden ve biçimlerinden soyutlamalar olduğu iddiasını içerir. Bu kavramlar gerçek dünyadan alınır ve onunla ilişkilendirilir. Özünde bu, matematiğin sonuçlarının çevremizdeki dünyanın fenomenlerine şaşırtıcı uygulanabilirliğini ve aynı zamanda bilginin matematikleştirilmesi sürecinin başarısını açıklar.

Matematik, tüm bilgi alanlarından bir istisna değildir - aynı zamanda pratik durumlardan ve sonraki soyutlamalardan kaynaklanan kavramları da oluşturur; kişinin gerçekliği yaklaşık olarak da incelemesine izin verir. Ancak aynı zamanda, matematiğin gerçek dünyadaki şeyleri değil, soyut kavramları incelediği ve mantıksal sonuçlarının kesinlikle katı ve kesin olduğu akılda tutulmalıdır. Yakınlığı doğada içsel değildir, ancak olgunun matematiksel bir modelinin derlenmesiyle ilişkilidir. Ayrıca matematik kurallarının mutlak uygulanabilirliği olmadığını, aynı zamanda sınırlı bir uygulama alanına sahip olduklarını, hakim oldukları yerde not ediyoruz. İfade edilen fikri bir örnekle açıklayalım: İki ve ikinin her zaman dörde eşit olmadığı ortaya çıktı. 2 litre alkol ve 2 litre su karıştırıldığında 4 litreden az karışım elde edildiği bilinmektedir. Bu karışımda moleküller daha kompakt bir şekilde düzenlenir ve karışımın hacmi, bileşen bileşenlerinin hacimlerinin toplamından daha azdır. Aritmetiğin toplama kuralı ihlal edildi. Diğer aritmetik gerçeklerinin ihlal edildiği örnekler de verebilirsiniz, örneğin, bazı nesneler eklerken, toplamın toplama sırasına bağlı olduğu ortaya çıkıyor.

Birçok matematikçi, matematiksel kavramları saf aklın bir yaratımı olarak değil, gerçekten var olan şeylerden, fenomenlerden, süreçlerden veya önceden kurulmuş soyutlamalardan (daha yüksek derecelerin soyutlamalarından) soyutlamalar olarak görür. Doğanın Diyalektiği'nde, F. Engels şöyle yazmıştır: "... tüm sözde saf matematik, soyutlamalarla uğraşır... tüm nicelikleri, kesinlikle, hayali niceliklerdir..." Bu sözler, soyutlamaların matematikteki rolü hakkında Marksist felsefenin kurucularından biri. Tüm bu "hayali nicelikler"in gerçeklikten alındığını ve özgür bir düşünce uçuşuyla keyfi olarak oluşturulmadığını eklememiz gerekir. Sayı kavramı bu şekilde genel kullanıma girmiştir. İlk başta bunlar birimler içindeki sayılardı ve dahası yalnızca pozitif tam sayılardı. Sonra deneyim beni sayıların cephaneliğini onlarca ve yüzlerceye genişletmeye zorladı. Bir tamsayı dizisinin sınırsızlığı kavramı, tarihsel olarak bize yakın bir çağda doğdu: Arşimet “Psammit” (“Kum tanelerinin hesaplanması”) kitabında verilenlerden bile daha büyük sayıların nasıl oluşturulabileceğini gösterdi. . Aynı zamanda, kesirli sayılar kavramı pratik ihtiyaçlardan doğdu. En basit geometrik şekillerle ilgili hesaplamalar, insanlığı yeni sayılara - irrasyonel olanlara - yönlendirdi. Böylece, tüm gerçek sayılar kümesi fikri yavaş yavaş oluştu.

Diğer matematik kavramları için de aynı yol izlenebilir. Hepsi pratik ihtiyaçlardan doğdu ve yavaş yavaş soyut kavramlara dönüştü. F. Engels'in şu sözleri tekrar hatırlanabilir: “... saf matematiğin her bireyin özel deneyiminden bağımsız bir anlamı vardır ... Ancak saf matematikte zihnin yalnızca kendi ürünleriyle uğraşması tamamen yanlıştır. yaratıcılık ve hayal gücü. Sayı ve şekil kavramları herhangi bir yerden değil, sadece gerçek dünyadan alınmıştır. İnsanların saymayı, yani ilk aritmetik işlemi yapmayı öğrendiği on parmak, zihnin özgür yaratıcılığının ürünü olmaktan başka bir şey değildir. Saymak için sadece sayılacak nesnelere sahip olmak değil, aynı zamanda bu nesneleri sayı dışında diğer tüm özelliklerden değerlendirirken dikkati dağıtma yeteneğine sahip olmak gerekir ve bu yetenek, temele dayanan uzun bir tarihsel gelişimin sonucudur. tecrübe etmek. Hem sayı kavramı hem de figür kavramı yalnızca dış dünyadan ödünç alınmıştır ve kafada saf düşünceden doğmamıştır. Belirli bir biçimi olan şeyler olmalıydı ve kişi bir figür kavramına varmadan önce bu biçimlerin karşılaştırılması gerekiyordu.

Bilimde, bilimin geçmişteki ilerleyişi ve pratiğin şu anki ilerleyişi ile bağlantısız yaratılmış kavramlar olup olmadığını düşünelim. Bilimsel matematiksel yaratıcılıktan önce okulda, üniversitede, kitap okumak, makale okumak, hem kendi alanında hem de diğer bilgi alanlarında uzmanlarla sohbet etmek gibi birçok konunun çalışılmasının geldiğini çok iyi biliyoruz. Bir matematikçi bir toplumda yaşar ve kitaplardan, radyodan, diğer kaynaklardan bilimde, mühendislikte ve sosyal hayatta ortaya çıkan sorunları öğrenir. Ayrıca, araştırmacının düşüncesi, bilimsel düşüncenin önceki tüm evriminden etkilenir. Dolayısıyla bilimin ilerlemesi için gerekli olan bazı problemlerin çözümüne hazırlıklı olduğu ortaya çıkıyor. Bu nedenle bir bilim insanı, istediği gibi, bir hevesle problem ortaya koyamaz, bilim için, diğer araştırmacılar için, insanlık için değerli olacak matematiksel kavramlar ve teoriler yaratmalıdır. Ancak matematiksel teoriler, çeşitli toplumsal oluşumların ve tarihsel dönemlerin koşullarında önemlerini korurlar. Ek olarak, çoğu zaman aynı fikirler, hiçbir şekilde bağlantılı olmayan bilim adamlarından ortaya çıkar. Bu, matematiksel kavramların özgürce yaratılması kavramına bağlı kalanlara karşı ek bir argümandır.

Böylece "matematik" kavramına nelerin dahil olduğunu anlattık. Ama uygulamalı matematik diye bir şey de var. Matematik dışında uygulama bulan tüm matematiksel yöntem ve disiplinlerin toplamı olarak anlaşılmaktadır. Eski zamanlarda, geometri ve aritmetik tüm matematiği temsil ediyordu ve her ikisi de ticaret borsalarında, alanların ve hacimlerin ölçülmesinde ve navigasyon konularında sayısız uygulama bulduğundan, tüm matematik sadece teorik değil, aynı zamanda uygulandı. Daha sonra, antik Yunanistan'da matematik ve uygulamalı matematik olarak bir bölünme oldu. Bununla birlikte, tüm seçkin matematikçiler, yalnızca teorik araştırmalarla değil, uygulamalarla da meşguldü.

Matematiğin daha da gelişmesi, sürekli olarak doğa bilimleri ve teknolojinin ilerlemesiyle, yeni sosyal ihtiyaçların ortaya çıkmasıyla bağlantılıydı. XVIII yüzyılın sonunda. matematiksel bir hareket teorisi yaratmak için (öncelikle navigasyon ve topçu problemleriyle bağlantılı olarak) bir ihtiyaç vardı. Bu, çalışmalarında G. V. Leibniz ve I. Newton tarafından yapıldı. Uygulamalı matematik, çok güçlü yeni bir araştırma yöntemi olan matematiksel analiz ile yenilenmiştir. Neredeyse aynı anda, demografi ve sigorta ihtiyaçları, olasılık teorisinin başlangıçlarının oluşmasına yol açtı (bkz. Olasılık Teorisi). 18. ve 19. yüzyıllar adi ve kısmi diferansiyel denklemler teorisini, matematiksel fizik denklemlerini, matematiksel istatistiklerin unsurlarını, diferansiyel geometriyi ekleyerek uygulamalı matematiğin içeriğini genişletti. 20. yüzyıl pratik problemlerin yeni matematiksel araştırma yöntemlerini getirdi: rastgele süreçler teorisi, çizge teorisi, fonksiyonel analiz, optimal kontrol, doğrusal ve doğrusal olmayan programlama. Dahası, sayı teorisi ve soyut cebirin fizik problemlerine beklenmedik uygulamalar bulduğu ortaya çıktı. Sonuç olarak, uygulamalı matematiğin ayrı bir disiplin olmadığı ve tüm matematiğin uygulamalı olarak kabul edilebileceği kanısı şekillenmeye başladı. Belki de matematiğin uygulamalı ve teorik olduğunu değil, matematikçilerin uygulamalı ve teorisyen olarak ikiye ayrıldığını söylemek gerekir. Bazıları için matematik, çevreleyen dünyanın ve içinde meydana gelen fenomenlerin bir biliş yöntemidir, bu amaçla bilim adamının matematiksel bilgiyi geliştirmesi ve genişletmesidir. Diğerleri için, matematiğin kendisi, çalışmaya ve gelişmeye değer bütün bir dünyayı temsil eder. Bilimin ilerlemesi için her iki tür bilim insanına da ihtiyaç vardır.

Matematik, herhangi bir fenomeni kendi yöntemleriyle incelemeden önce matematiksel modelini oluşturur, yani fenomenin dikkate alınacak tüm özelliklerini listeler. Model, araştırmacıyı, incelenen olgunun özelliklerini ve evrimini yeterince aktarmaya izin verecek matematiksel araçları seçmeye zorlar. Örnek olarak, bir gezegen sistemi modelini ele alalım: Güneş ve gezegenler, karşılık gelen kütlelere sahip maddi noktalar olarak kabul edilir. Her iki noktanın etkileşimi, aralarındaki çekim kuvveti tarafından belirlenir.

burada m 1 ve m 2 etkileşen noktaların kütleleridir, r aralarındaki mesafedir ve f yerçekimi sabitidir. Bu modelin sadeliğine rağmen, son üç yüz yıldır güneş sisteminin gezegenlerinin hareketinin özelliklerini büyük bir doğrulukla iletmektedir.

Tabii ki, her model gerçekliği kabalaştırıyor ve araştırmacının görevi, her şeyden önce, bir yandan konunun olgusal yönünü (dedikleri gibi, fiziksel özelliklerini) en iyi şekilde aktaran bir model önermektir. ve diğer yandan, gerçeğe önemli bir yaklaşım sağlar. Tabii ki, aynı fenomen için birkaç matematiksel model önerilebilir. Model ve gerçeklik arasında önemli bir farklılık oluşmaya başlayana kadar hepsinin var olma hakkı vardır.

Matematik 1. Matematik kelimesi nereden geldi 2. Matematiği kim icat etti? 3. Ana temalar. 4. Tanım 5. Etimoloji Son slaytta.

Kelime nereden geldi (önceki slayda gidin) Yunanca matematik - çalışma, bilim) - tarihsel olarak nesnelerin şeklini sayma, ölçme ve tanımlama işlemlerine dayanan yapılar, düzen ve ilişkiler bilimi. Matematiksel nesneler, gerçek veya diğer matematiksel nesnelerin özelliklerinin idealleştirilmesi ve bu özelliklerin biçimsel bir dilde yazılmasıyla oluşturulur.

Matematiği kim icat etti (menüye gidin) İlk matematikçiye genellikle VI. Yüzyılda yaşayan Miletli Thales denir. M.Ö e. Yunanistan'ın sözde Yedi Bilge Adamından biri. Olursa olsun, uzun zamandır bildiği dünyada oluşan bu konudaki tüm bilgi tabanını ilk yapılandıran oydu. Bununla birlikte, bize ulaşan matematik üzerine ilk incelemenin yazarı Öklid'dir (MÖ III yy). O da haklı olarak bu bilimin babası olarak kabul edilir.

Ana konular (menüye gidin) Matematik alanı, yalnızca sıralamanın veya ölçümün dikkate alındığı bilimleri içerir ve bunların sayı, şekil, yıldız, ses veya bu ölçümün yapıldığı başka herhangi bir şey olup olmadığı hiç önemli değildir. bulunur. Bu nedenle, herhangi bir özel konunun çalışmasına girmeden, düzen ve ölçü ile ilgili her şeyi açıklayan bir genel bilim olmalı ve bu bilim yabancı tarafından değil, eski, zaten yaygın olan Genel Matematik adıyla adlandırılmalıdır.

Tanım (menüye gidin) Modern analiz, matematiğin üç ana alanından biri olarak kabul edilen (cebir ve geometri ile birlikte) klasik matematiksel analize dayanmaktadır. Aynı zamanda klasik anlamdaki "matematiksel analiz" terimi ağırlıklı olarak müfredat ve materyallerde kullanılmaktadır. Anglo-Amerikan geleneğinde klasik matematiksel analiz, "hesap" adı verilen ders programlarına karşılık gelmektedir.

Etimoloji (menüye gidin) "Matematik" kelimesi diğer Yunancadan gelir. , çalışma, bilgi, bilim vb. anlamına gelir. -Yunanca, orijinal anlamı alıcı, başarılı, daha sonra çalışma ile ilgili, daha sonra matematikle ilgili. Spesifik olarak, Latince'de matematik sanatı anlamına gelir. Terim diğer -Yunanca. Modern anlamda “matematik” kelimesi Aristoteles'in (MÖ 4. yy) eserlerinde zaten bulunur.

Matematik, gerçek dünyanın nicel ilişkilerinin ve mekansal biçimlerinin bilimidir. Bilim ve teknolojinin talepleriyle yakından bağlantılı olarak, matematik tarafından incelenen nicel ilişkiler ve uzamsal formlar stoku sürekli genişlemektedir, bu nedenle yukarıdaki tanımın en genel anlamda anlaşılması gerekir.

Matematik çalışmanın amacı, genel bakış açısını, düşünce kültürünü, bilimsel bir dünya görüşünün oluşumunu arttırmaktır.

Matematiğin özel bir bilim olarak bağımsız konumunu anlamak, yeterince büyük miktarda gerçek materyalin birikmesinden sonra mümkün oldu ve ilk kez MÖ 6.-5. yüzyıllarda Antik Yunanistan'da ortaya çıktı. Bu, temel matematik döneminin başlangıcıydı.

Bu dönemde matematiksel araştırma, ekonomik hayatın en basit talepleriyle ortaya çıkan oldukça sınırlı bir temel kavramlar stoğuyla ilgilendi. Aynı zamanda, bir bilim olarak matematiğin niteliksel bir gelişimi halihazırda gerçekleşmektedir.

Modern matematik genellikle büyük bir şehirle karşılaştırılır. Bu mükemmel bir karşılaştırma, çünkü matematikte, büyük bir şehirde olduğu gibi, sürekli bir büyüme ve gelişme süreci var. Matematikte yeni alanlar ortaya çıkıyor, yeni mahallelerin ve binaların inşası gibi zarif ve derin yeni teoriler inşa ediliyor. Ancak matematiğin ilerlemesi, yenisinin inşası nedeniyle şehrin çehresini değiştirmekle sınırlı değildir. Eskiyi değiştirmeliyiz. Eski teoriler yeni, daha genel teorilere dahildir; eski binaların temellerinin güçlendirilmesine ihtiyaç vardır. Matematik kentinin uzak mahalleleri arasında bağlantılar kurmak için yeni sokakların döşenmesi gerekiyor. Ancak bu yeterli değildir - mimari tasarım önemli çaba gerektirir, çünkü matematiğin farklı alanlarının çeşitliliği yalnızca bilimin genel izlenimini bozmakla kalmaz, aynı zamanda çeşitli bölümleri arasında bağlantılar kurarak bir bütün olarak bilimin anlaşılmasına müdahale eder.

Başka bir karşılaştırma sıklıkla kullanılır: matematik, sistematik olarak yeni sürgünler veren büyük dallı bir ağaca benzetilir. Ağacın her dalı, bir veya başka bir matematik alanıdır. Yeni dallar büyüdükçe, ilk önce birlikte büyüdükçe, dalların bazıları kurudukça, besleyici meyve sularından yoksun kaldıkça, dal sayısı değişmez. Her iki karşılaştırma da başarılı ve gerçek durumu çok iyi aktarıyor.

Güzellik talebinin matematiksel teorilerin inşasında önemli bir rolü olduğu şüphesizdir. Güzellik algısının çok öznel olduğunu ve bu konuda genellikle oldukça çirkin fikirlerin olduğunu söylemeye gerek yok. Yine de, matematikçilerin "güzellik" kavramına koydukları fikir birliğine şaşırmak gerekir: eğer az sayıda koşuldan çok çeşitli nesnelerle ilgili genel bir sonuç elde etmek mümkünse, sonuç güzel olarak kabul edilir. Basit ve kısa akıl yürütme ile önemli bir matematiksel gerçeği kanıtlamak mümkünse, matematiksel bir türetme güzel olarak kabul edilir. Bir matematikçinin olgunluğu, yeteneği, güzellik anlayışının ne kadar gelişmiş olduğu ile tahmin edilir. Estetik olarak eksiksiz ve matematiksel olarak mükemmel sonuçların anlaşılması, hatırlanması ve kullanılması daha kolaydır; diğer bilgi alanlarıyla ilişkilerini belirlemek daha kolaydır.

Çağımızda matematik, birçok araştırma alanı, çok sayıda sonuç ve yöntem ile bilimsel bir disiplin haline gelmiştir. Matematik artık o kadar büyük ki, bir kişinin onu tüm bölümleriyle kaplaması mümkün değil, evrensel bir uzman olma ihtimali yok. Ayrı yönleri arasındaki bağlantıların kaybı, kesinlikle bu bilimin hızlı gelişiminin olumsuz bir sonucudur. Ancak, matematiğin tüm dallarının gelişiminin temelinde ortak bir şey vardır - gelişimin kökenleri, matematik ağacının kökleri.

İlk doğa bilimi teorisi olarak Öklid'in geometrisi

• MÖ 3. yüzyılda, İskenderiye'de "Başlangıçlar" ın Rusça çevirisinde aynı adı taşıyan bir Öklid kitabı ortaya çıktı. Latince "Başlangıçlar" adından "temel geometri" terimi geldi. Öklid'in öncüllerinin yazıları bize ulaşmamış olsa da, Öklid'in Elementlerinden bu yazılar hakkında fikir edinebiliriz. "Başlangıçlar"da, mantıksal olarak diğer bölümlerle çok az bağlantılı olan bölümler vardır. Görünüşleri yalnızca geleneğe göre tanıtıldıkları ve Öklid'in öncüllerinin "Başlangıçlarını" kopyaladıkları gerçeğiyle açıklanır.

  Öklid'in Elementleri 13 kitaptan oluşmaktadır. 1 - 6 arası kitaplar planimetriye ayrılmıştır, 7 - 10 arası kitaplar bir pusula ve cetvel kullanılarak oluşturulabilen aritmetik ve ölçülemeyen miktarlarla ilgilidir. 11'den 13'e kadar olan kitaplar stereometriye ayrılmıştı.

  "Başlangıçlar" 23 tanım ve 10 aksiyomun sunumuyla başlar. İlk beş aksiyom "genel kavramlar", geri kalanı "varsayımlar" olarak adlandırılır. İlk iki önerme, ideal bir cetvel yardımıyla eylemleri belirler, üçüncüsü - ideal bir pusula yardımıyla. Dördüncüsü, "bütün dik açılar birbirine eşittir", gereksizdir, çünkü aksiyomların geri kalanından çıkarsanabilir. Son, beşinci postüla şöyleydi: "Eğer bir doğru iki doğrunun üzerine düşerse ve ikiden daha az doğrunun toplamında tek taraflı iç açılar oluşturuyorsa, o zaman, bu iki doğrunun sınırsız bir devamı ile, bunlar kesişeceklerdir. açıların iki düz çizgiden küçük olduğu taraf."

  Öklid'in beş "genel kavramı", uzunlukları, açıları, alanları, hacimleri ölçmenin ilkeleridir: "eşit olan birbirine eşittir", "eşitlere eşitler eklenirse toplamlar birbirine eşittir", "eşitlerden eşitler çıkarılırsa kalanlar kendi aralarında eşittir", "birbirleriyle birleştiğinde birbirine eşittir", "bütün parçadan büyüktür".

  Sonra Öklid'in geometrisinin eleştirisi geldi. Öklid üç nedenden dolayı eleştirildi: yalnızca bir pergel ve cetvel kullanılarak oluşturulabilecek geometrik nicelikleri dikkate alması; geometri ve aritmetiği parçalamak ve geometrik nicelikler için zaten kanıtladığını tamsayılar için kanıtlamak için ve son olarak, Öklid'in aksiyomları için. Beşinci önerme, Öklid'in en zor önermesi, en şiddetli şekilde eleştirildi. Birçoğu gereksiz olduğunu ve diğer aksiyomlardan çıkarılabileceğini ve çıkarılması gerektiğini düşündü. Diğerleri bunun yerine daha basit ve daha açıklayıcı, buna eşdeğer bir tane olması gerektiğine inanıyorlardı: "Düz bir çizginin dışındaki bir noktadan, düzlemlerinde bu düz çizgiyi kesmeyen birden fazla düz çizgi çizilemez."

  Geometri ve aritmetik arasındaki boşluğun eleştirisi, sayı kavramının gerçek bir sayıya genişletilmesine yol açtı. Beşinci postüla hakkındaki anlaşmazlıklar, 19. yüzyılın başında N.I. Lobachevsky, J. Bolyai ve K.F. Gauss'un beşinci postüla dışında Öklid geometrisinin tüm aksiyomlarının yerine getirildiği yeni bir geometri inşa etmesine yol açtı. Bunun tersi ifadeyle değiştirildi: "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen bir düzlemde, verilenle kesişmeyen birden fazla çizgi çizilebilir." Bu geometri Öklid'in geometrisi kadar tutarlıydı.

  Öklid düzlemindeki Lobachevsky planimetri modeli, 1882'de Fransız matematikçi Henri Poincaré tarafından inşa edildi.

  Öklid düzleminde yatay bir çizgi çizin. Bu doğruya mutlak (x) denir. Mutlak üzerinde uzanan Öklid düzleminin noktaları Lobachevsky düzleminin noktalarıdır. Lobachevsky düzlemi, mutlağın üzerinde uzanan açık bir yarı düzlemdir. Poincaré modelindeki Öklidyen olmayan parçalar, mutlak veya mutlağa dik doğru parçaları (AB, CD) merkezli daire yaylarıdır. Lobachevsky düzlemindeki şekil, mutlak (F) üzerinde uzanan açık bir yarı düzlemin şeklidir. Öklidyen olmayan hareket, eksenleri mutlağa dik olan mutlak ve eksenel simetriler üzerinde merkezlenmiş sonlu sayıda ters çevirmenin bir bileşimidir. Öklidyen olmayan iki parçadan biri Öklidyen olmayan bir hareketle diğerine çevrilebiliyorsa eşittir. Bunlar Lobachevsky'nin planimetrisinin aksiyomatiklerinin temel kavramlarıdır.

  Lobachevsky'nin planimetrisinin tüm aksiyomları tutarlıdır. "Öklidyen olmayan bir doğru, uçları mutlak üzerinde olan bir yarım daire veya mutlak üzerinde orijinli ve mutlağa dik olan bir ışındır." Böylece, Lobachevsky'nin paralellik aksiyomunun iddiası, yalnızca bazı a doğrusu ve bu doğru üzerinde olmayan bir A noktası için değil, aynı zamanda herhangi bir a doğrusu ve bu doğru üzerinde olmayan herhangi bir A noktası için de geçerlidir.

  Lobachevsky'nin geometrisinin arkasında, diğer tutarlı geometriler ortaya çıktı: Öklid'den ayrılan projektif geometri, çok boyutlu Öklid geometrisi geliştirildi, Riemann geometrisi ortaya çıktı (uzunlukların keyfi bir yasasına sahip genel bir uzay teorisi), vb. Üç boyutlu figürlerin biliminden Öklid uzayı, geometri 40 - 50 yıl boyunca çeşitli teorilere dönüştü, ancak atalarına biraz benzer - Öklid geometrisi.

  Modern matematiğin oluşumunun ana aşamaları. Modern matematiğin yapısı

• Akademisyen A.N. Kolmogorov, matematiğin gelişiminde dört dönem tanımlar Kolmogorov A.N. - Matematik, Matematiksel Ansiklopedik Sözlük, Moskova, Sovyet Ansiklopedisi, 1988: matematiğin doğuşu, temel matematik, değişkenlerin matematiği, modern matematik.

  İlköğretim matematiğin gelişimi sırasında, sayılar teorisi yavaş yavaş aritmetikten çıkar. Cebir, gerçek bir hesap olarak oluşturulur. Ve eski Yunanlılar tarafından yaratılan temel geometrinin sunum sistemi - Öklid'in geometrisi - iki bin yıl öncesinden matematiksel teorinin tümdengelimli yapısının bir modeli haline geldi.

  17. yüzyılda, doğa bilimi ve teknolojisinin talepleri, hareketi, değişen nicelik süreçlerini ve geometrik şekillerin dönüşümünü matematiksel olarak incelemeyi mümkün kılan yöntemlerin yaratılmasına yol açtı. Değişkenlerin analitik geometride kullanılması ve diferansiyel ve integral hesabının oluşturulmasıyla birlikte değişkenlerin matematiği dönemi başlar. 17. yüzyılın büyük keşifleri, Newton ve Leibniz tarafından ortaya atılan sonsuz küçük miktar kavramı, sonsuz küçük miktarların analizi için temellerin oluşturulmasıdır (matematiksel analiz).

  Fonksiyon kavramı ön plana çıkıyor. İşlev, çalışmanın ana konusu haline gelir. Bir fonksiyonun incelenmesi, matematiksel analizin temel kavramlarına yol açar: limit, türev, diferansiyel, integral.

  R. Descartes'ın parlak fikrinin koordinat yöntemi üzerindeki görünümü de bu zamana aittir. Geometrik nesnelerin cebir ve analiz yöntemleriyle çalışılmasına izin veren analitik geometri oluşturulur. Öte yandan, koordinat yöntemi cebirsel ve analitik gerçeklerin geometrik bir yorumunun olasılığını açtı.

  Matematiğin daha da gelişmesi, 19. yüzyılın başında, olası nicel ilişki türlerini ve mekansal formları oldukça genel bir bakış açısıyla inceleme probleminin formüle edilmesine yol açtı.

  Matematik ve doğa bilimleri arasındaki bağlantı giderek daha karmaşık hale geliyor. Yeni teoriler doğar ve sadece doğa bilimleri ve teknolojisinin taleplerinin bir sonucu olarak değil, aynı zamanda matematiğin içsel ihtiyacının bir sonucu olarak ortaya çıkarlar. Böyle bir teorinin dikkate değer bir örneği, N.I. Lobachevsky'nin hayali geometrisidir. Matematiğin 19. ve 20. yüzyıllardaki gelişimi, onu modern matematik dönemine atfetmemizi sağlar. Matematiğin kendisinin gelişimi, çeşitli bilim alanlarının matematikleştirilmesi, matematiksel yöntemlerin birçok pratik faaliyet alanına nüfuz etmesi, bilgisayar teknolojisinin ilerlemesi, örneğin yöneylem araştırması, oyun teorisi gibi yeni matematik disiplinlerinin ortaya çıkmasına yol açmıştır. matematiksel ekonomi ve diğerleri.

  Matematiksel araştırmalardaki ana yöntemler matematiksel kanıtlardır - titiz mantıksal akıl yürütme. Matematiksel düşünme, mantıksal akıl yürütme ile sınırlı değildir. Matematiksel sezgi, problemin doğru bir şekilde formüle edilmesi, çözümün yönteminin seçiminin değerlendirilmesi için gereklidir.

  Matematikte nesnelerin matematiksel modelleri incelenir. Aynı matematiksel model, birbirinden uzak gerçek fenomenlerin özelliklerini tanımlayabilir. Bu nedenle, aynı diferansiyel denklem, nüfus artışı süreçlerini ve radyoaktif maddenin bozunmasını tanımlayabilir. Bir matematikçi için önemli olan, incelenen nesnelerin doğası değil, aralarında var olan ilişkilerdir.

  Matematikte iki tür akıl yürütme vardır: tümdengelim ve tümevarım.

  Tümevarım, belirli öncüller temelinde genel bir sonucun oluşturulduğu bir araştırma yöntemidir.

  Tümdengelim, genel öncüllerden belirli bir nitelikte bir sonucun çıkarıldığı bir akıl yürütme yöntemidir.

  Matematik, doğa bilimleri, mühendislik ve beşeri bilimler araştırmalarında önemli bir rol oynar. Matematiğin çeşitli bilgi dallarına nüfuz etmesinin nedeni, diğer bilimler tarafından sunulan daha az genel ve daha belirsiz modellerin aksine, çevreleyen gerçekliği incelemek için çok net modeller sunmasıdır. Modern matematik, gelişmiş mantıksal ve hesaplama aparatı olmadan, insan faaliyetinin çeşitli alanlarında ilerleme imkansız olurdu.

  Matematik sadece uygulamalı problemlerin çözümü için güçlü bir araç ve evrensel bir bilim dili değil, aynı zamanda ortak bir kültürün bir unsurudur.

  Matematiksel düşünmenin temel özellikleri

• Bu konuda, özellikle ilgi çekici olan, A.Ya. Khinchin tarafından verilen matematiksel düşüncenin özelliği veya daha doğrusu belirli tarihsel biçimi - matematiksel düşünme tarzı. Matematiksel düşünme stilinin özünü ortaya çıkararak, bu stili diğer bilimlerdeki düşünme stillerinden belirgin şekilde ayıran tüm çağlarda ortak olan dört özelliği seçer.

  İlk olarak, matematikçi, sınıra getirilen mantıksal akıl yürütme şemasının egemenliği ile karakterize edilir. Bu şemayı en azından geçici olarak gözden kaybeden bir matematikçi, bilimsel olarak düşünme yeteneğini tamamen kaybeder. Matematiksel düşünme tarzının bu kendine özgü özelliği kendi içinde çok değerlidir. Açıkçası, düşünce akışının doğruluğunu izlemenize izin verdiği ve hatalara karşı garanti verdiği azami ölçüde; Öte yandan, düşünürü analiz sırasında mevcut olasılıkların bütününe sahip olmaya zorlar ve tek bir tanesini kaçırmadan her birini hesaba katmaya zorlar (bu tür ihmaller oldukça mümkündür ve aslında sıklıkla gözlemlenir). diğer düşünme tarzlarında).

  İkincisi, özlülük, yani. her zaman belirli bir hedefe giden en kısa mantıksal yolu bulma bilinçli arzusu, argümanın kusursuz geçerliliği için kesinlikle gerekli olan her şeyin acımasız reddi. İyi bir üsluptaki matematiksel bir deneme, herhangi bir "suya" tahammül etmez, süslemeye gerek duymaz, saçmalamanın mantıksal gerilimini zayıflatır, dikkati başka yöne çeker; aşırı cimrilik, ciddi düşünce katılığı ve sunumu matematiksel düşüncenin ayrılmaz bir özelliğidir. Bu özellik, yalnızca matematik için değil, aynı zamanda diğer herhangi bir ciddi akıl yürütme için de büyük değer taşımaktadır. Laconism, yani gereksiz hiçbir şeye izin vermeme arzusu, hem düşünürün hem de okuyucusunun veya dinleyicisinin, ikincil fikirler tarafından dikkati dağılmadan ve ana akıl yürütme çizgisiyle doğrudan teması kaybetmeden belirli bir düşünce dizisine tam olarak konsantre olmasına yardımcı olur.

  Bilimin aydınlatıcıları, bir kural olarak, düşünceleri temelde yeni fikirler yaratıp ortaya koyduğunda bile, bilginin tüm alanlarında özlü bir şekilde düşünür ve kendilerini ifade eder. Örneğin, fiziğin en büyük yaratıcılarının: Newton, Einstein, Niels Bohr'un düşünce ve konuşmalarının asil cimriliği ne kadar görkemli bir izlenim! Belki de yaratıcılarının düşünce tarzının bilimin gelişimi üzerinde ne kadar derin bir etkiye sahip olabileceğine dair daha çarpıcı bir örnek bulmak zordur.

  Matematik için, düşüncenin kısalığı, yüzyıllardır kanonlanan tartışılmaz bir yasadır. Sunumu zorunlu olmayan (dinleyiciler için hoş ve büyüleyici olsa bile) resimler, dikkat dağıtıcı şeyler, hitabet ile yüklemeye yönelik herhangi bir girişim, önceden meşru şüphe altına alınır ve otomatik olarak eleştirel uyanıklığa neden olur.

  Üçüncüsü, akıl yürütme sürecinin net bir incelemesi. Örneğin, bir önermeyi ispatlarken, her biri bir veya daha fazla sayıda alt duruma bölünebilen dört olası durumu göz önünde bulundurmamız gerekiyorsa, o zaman her akıl yürütme anında, matematikçi hangi durumda olduğunu açıkça hatırlamalı ve kendi ifadesini alt harfe ayırmalıdır. düşünce şimdi kazanılıyor ve hala hangi vakaları ve alt vakaları dikkate alması gerekiyor. Her türden dallı numaralandırmayla, matematikçi, onun için bileşen tür kavramlarını sıraladığı türsel kavramın her an farkında olmalıdır. Sıradan, bilimsel olmayan düşüncede, bu gibi durumlarda kafa karışıklığı ve sıçramalar gözlemleriz, bu da kafa karışıklığına ve akıl yürütmede hatalara yol açar. Çoğu zaman, bir kişi bir cinsin türlerini saymaya başlar ve daha sonra, dinleyicilere (ve çoğu zaman kendisine) anlaşılmaz bir şekilde, akıl yürütmenin yetersiz mantıksal farklılığını kullanarak, başka bir cinse atlar ve her iki cinsin de ifadesiyle biter. şimdi sınıflandırılmış; ve dinleyiciler veya okuyucular, birinci ve ikinci türden türler arasındaki sınırın nerede olduğunu bilmiyorlar.

  Bu tür kafa karışıklıklarını ve sıçramaları imkansız kılmak için, matematikçiler uzun zamandır, diğer bilimlerde bazen (ama çok daha az sıklıkla) kullanılan, kavram ve yargıları numaralandırmanın basit harici yöntemlerini kapsamlı bir şekilde kullandılar. Bu akıl yürütmede dikkate alınması gereken olası durumlar veya genel kavramlar önceden yeniden numaralandırılmıştır; bu tür her durumda, içerdiği düşünülecek olan alt durumlar da yeniden numaralandırılır (bazen ayrım için başka bir numaralandırma sistemi kullanılarak). Yeni bir alt vakanın değerlendirilmesinin başladığı her paragraftan önce, bu alt vaka için kabul edilen atama (örneğin: II 3 - bu, ikinci vakanın üçüncü alt vakasının değerlendirilmesinin burada başladığı veya üçüncü vakanın açıklamasının başladığı anlamına gelir) sınıflandırma hakkında konuşuyorsak, ikinci tür). Ve okuyucu, yeni bir sayısal değerlendirme listesi bulana kadar sunulan her şeyin yalnızca bu durum ve alt durum için geçerli olduğunu bilir. Böyle bir numaralandırmanın yalnızca harici bir araç olduğunu, çok yararlı olduğunu, ancak hiçbir şekilde zorunlu olmadığını ve konunun özünün onda değil, hem teşvik ettiği hem de işaret ettiği argümantasyon veya sınıflandırmanın farklı bölümünde yattığını söylemeye gerek yok. kendi kendine.

  Dördüncüsü, sembollerin, formüllerin, denklemlerin titiz doğruluğu. Yani, "her matematiksel sembolün kesin olarak tanımlanmış bir anlamı vardır: onu başka bir sembolle değiştirmek veya başka bir yere yeniden düzenlemek, kural olarak, bir çarpıtma ve bazen bu ifadenin anlamının tamamen yok edilmesini gerektirir."

  Matematiksel düşünme tarzının temel özelliklerini belirleyen A.Ya. Khinchin, matematiğin (özellikle değişkenlerin matematiğinin) doğası gereği diyalektik bir karaktere sahip olduğunu ve bu nedenle diyalektik düşüncenin gelişimine katkıda bulunduğunu belirtiyor. Nitekim matematiksel düşünme sürecinde görsel (somut) ve kavramsal (soyut) arasında bir etkileşim vardır. Kant, “Çizgileri zihinsel olarak çizmeden düşünemeyiz, bir noktadan birbirine dik üç çizgi çizmeden kendimiz için üç boyut düşünemeyiz” diye yazmıştı.

  Somut ve soyut etkileşim, matematiksel düşünceyi yeni ve yeni kavramların ve felsefi kategorilerin geliştirilmesine “yol açtı”. Eski matematikte (sabitlerin matematiği), bunlar başlangıçta aritmetik ve Öklid geometrisinde ve daha sonra cebirde ve çeşitli geometrik sistemlerde yansıtılan “sayı” ve “uzay” idi. Değişkenlerin matematiği, maddenin hareketini yansıtan kavramlara “dayanıyordu” - “sonlu”, “sonsuz”, “süreklilik”, “ayrık”, “sonsuz derecede küçük”, “türev” vb.

  Matematiksel bilginin gelişimindeki mevcut tarihsel aşamadan bahsedersek, bu felsefi kategorilerin daha da gelişmesiyle aynı doğrultudadır: olasılık teorisi, olası ve rastgele kategorilerinde “ustalık eder”; topoloji - ilişki ve süreklilik kategorileri; felaket teorisi - atlama kategorisi; grup teorisi - simetri ve uyum kategorileri, vb.

  Matematiksel düşünmede, biçimsel olarak benzer mantıksal bağlantılar kurmanın ana kalıpları ifade edilir. Onun yardımıyla, tekilden (örneğin, belirli matematiksel yöntemlerden - aksiyomatik, algoritmik, yapıcı, küme-teorik ve diğerleri) özel ve genele, genelleştirilmiş tümdengelim yapılarına geçiş gerçekleştirilir. Yöntemlerin birliği ve matematiğin konusu, matematiksel düşüncenin özelliklerini belirler, yalnızca gerçekliği yansıtmakla kalmayıp aynı zamanda bilimsel bilgiyi sentezleyen, genelleştiren ve öngören özel bir matematiksel dilden bahsetmemizi sağlar. Matematiksel düşüncenin gücü ve güzelliği, mantığının son derece netliğinde, kurguların zarafetinde ve soyutlamaların ustaca kurgulanmasında yatar.

  Bilgisayarın icadıyla, makine matematiğinin yaratılmasıyla temelde yeni zihinsel aktivite olanakları açıldı. Matematik dilinde önemli değişiklikler meydana geldi. Klasik hesaplamalı matematiğin dili, öncelikle mekanik, astronomi, fizikte çalışılan, doğanın sürekli süreçlerinin tanımlanmasına odaklanan cebir, geometri ve analiz formüllerinden oluşuyorsa, modern dili de dahil olmak üzere algoritmaların ve programların dilidir. özel bir durum olarak eski formül dili.

  Modern hesaplamalı matematiğin dili, karmaşık (çok parametreli) sistemleri tanımlayabilen daha evrensel hale geliyor. Aynı zamanda, elektronik hesaplama teknolojisi ile geliştirilmiş matematik dili ne kadar mükemmel olursa olsun, farklı “canlı”, doğal dil ile bağlarını koparmadığını vurgulamak isterim. Ayrıca konuşma dili yapay bir dilin temelidir. Bu bağlamda, bilim adamlarının son keşfi ilgi çekicidir. Mesele şu ki, Bolivya ve Peru'da yaklaşık 2,5 milyon kişi tarafından konuşulan Aymara Kızılderililerinin kadim dili, bilgisayar teknolojisi için son derece uygun hale geldi. Daha 1610 gibi erken bir tarihte, ilk Aymara sözlüğünü derleyen İtalyan Cizvit misyoner Ludovico Bertoni, yaratıcılarının yüksek mantıksal saflığa ulaşan dehasına dikkat çekti. Örneğin Aymara'da düzensiz fiiller ve birkaç net gramer kuralının istisnası yoktur. Aymara dilinin bu özellikleri, Bolivyalı matematikçi Ivan Guzman de Rojas'ın programda yer alan beş Avrupa dilinden herhangi birinden, aralarındaki “köprü” Aymara dili olan bir eşzamanlı bilgisayar çevirisi sistemi oluşturmasına izin verdi. Bolivyalı bir bilim adamı tarafından oluşturulan bilgisayar "Aymara", uzmanlar tarafından büyük beğeni topladı. Matematiksel düşünme tarzının özüyle ilgili sorunun bu bölümünü özetleyerek, ana içeriğinin doğayı anlamak olduğuna dikkat edilmelidir.

  aksiyomatik Yöntem

• Aksiyomatik, antik çağlardan günümüze, evrenselliğini ve tüm uygulanabilirliğini teyit eden bir teori oluşturmanın ana yoludur.

  Matematiksel bir teorinin inşası, aksiyomatik yönteme dayanmaktadır. Bilimsel teori, aksiyom adı verilen bazı başlangıç ​​hükümlerine dayanır ve teorinin diğer tüm hükümleri, aksiyomların mantıksal sonuçları olarak elde edilir.

  Aksiyomatik yöntem antik Yunanistan'da ortaya çıktı ve şu anda neredeyse tüm teorik bilimlerde ve her şeyden önce matematikte kullanılmaktadır.

  Üç tamamlayıcı geometriyi belirli bir açıdan karşılaştırırken: Öklid (parabolik), Lobachevsky (hiperbolik) ve Riemann (eliptik), bazı benzerliklerin yanı sıra küresel geometri arasında büyük bir fark olduğuna dikkat edilmelidir. el ve Öklid ve Lobachevsky'nin geometrileri - diğer tarafta.

  Modern geometri arasındaki temel fark, artık sonsuz sayıda farklı hayali uzayın "geometrilerini" kucaklamasıdır. Ancak, tüm bu geometrilerin Öklid geometrisinin yorumları olduğu ve ilk olarak Öklid tarafından kullanılan aksiyomatik yönteme dayandığı belirtilmelidir.

  Araştırma temelinde, aksiyomatik yöntem geliştirilmiş ve yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yöntemin uygulanmasının özel bir durumu olarak, çokyüzlülerdeki bölümlerin inşası ile ilgili problemlerin ve diğer bazı konumsal problemlerin çözülmesine izin veren stereometride iz yöntemidir.

  İlk olarak geometride geliştirilen aksiyomatik yöntem, şimdi matematik, fizik ve mekaniğin diğer dallarında önemli bir çalışma aracı haline geldi. Şu anda, bir teori inşa etmenin aksiyomatik yöntemini daha derinlemesine geliştirmek ve incelemek için çalışmalar devam etmektedir.

  Bilimsel bir teori oluşturmanın aksiyomatik yöntemi, temel kavramların vurgulanmasından, teorilerin aksiyomlarının formüle edilmesinden oluşur ve diğer tüm ifadeler onlara dayanarak mantıklı bir şekilde türetilir. Bir kavramın diğerlerinin yardımıyla açıklanması gerektiği ve bu kavramların da bazı iyi bilinen kavramlar yardımıyla tanımlandığı bilinmektedir. Böylece, başkalarıyla tanımlanamayan temel kavramlara ulaşıyoruz. Bu kavramlara temel denir.

  Bir ifadeyi, bir teoremi ispatladığımızda, zaten kanıtlanmış olduğu kabul edilen öncüllere güveniriz. Ancak bu öncüller de kanıtlandı, kanıtlanmaları gerekiyordu. Neticede ispatı mümkün olmayan beyanlara varıyoruz ve bunları ispatsız kabul ediyoruz. Bu ifadelere aksiyom denir. Aksiyomlar kümesi öyle olmalıdır ki, ona dayanarak başka ifadeler ispatlanabilir.

  Ana kavramları seçtikten ve aksiyomları formüle ettikten sonra, teoremleri ve diğer kavramları mantıklı bir şekilde türetiyoruz. Geometrinin mantıksal yapısı budur. Aksiyomlar ve temel kavramlar, planimetrinin temellerini oluşturur.

  Tüm geometriler için temel kavramların tek bir tanımını vermek mümkün olmadığından, geometrinin temel kavramları, bu geometrinin aksiyomlarını karşılayan herhangi bir nitelikteki nesneler olarak tanımlanmalıdır. Böylece, bir geometrik sistemin aksiyomatik yapısında, belirli bir aksiyom sisteminden veya aksiyomatikten yola çıkarız. Bu aksiyomlar, bir geometrik sistemin temel kavramlarının özelliklerini tanımlar ve temel kavramları, aksiyomlarda belirtilen özelliklere sahip herhangi bir doğadaki nesneler şeklinde temsil edebiliriz.

  İlk geometrik ifadeleri formüle edip ispatladıktan sonra, bazı ifadeleri (teoremleri) diğerlerinin yardımıyla ispatlamak mümkün hale gelir. Birçok teoremin ispatı Pisagor ve Demokritos'a atfedilir.

  Sakızlı Hipokrat, tanımlara ve aksiyomlara dayalı ilk sistematik geometri dersini derlemekle tanınır. Bu kurs ve sonraki işlemleri "Elementler" olarak adlandırıldı.

  Bilimsel bir teori oluşturmanın aksiyomatik yöntemi

• Bilimi inşa etmek için tümdengelimli veya aksiyomatik bir yöntemin yaratılması, matematiksel düşüncenin en büyük başarılarından biridir. Birçok nesil bilim insanının çalışmasını gerektiriyordu.

  Tümdengelimli sunum sisteminin dikkat çekici bir özelliği, bu yapının basitliğidir ve bu, onu birkaç kelimeyle tanımlamayı mümkün kılar.

  Tümdengelimli sunum sistemi şuna indirgenmiştir:

  1) temel kavramlar listesine,

  2) tanımların sunumuna,

  3) aksiyomların sunumuna,

  4) teoremlerin sunumuna,

  5) bu teoremlerin ispatına.

  Bir aksiyom, kanıt olmadan kabul edilen bir ifadedir.

  Bir teorem, aksiyomlardan çıkan bir ifadedir.

  İspat, tümdengelim sisteminin ayrılmaz bir parçasıdır, bir ifadenin doğruluğunun mantıksal olarak önceki teoremlerin veya aksiyomların doğruluğundan çıktığını gösteren akıl yürütmedir.

  Tümdengelimli bir sistem içinde iki soru çözülemez: 1) temel kavramların anlamı hakkında, 2) aksiyomların doğruluğu hakkında. Ancak bu, bu soruların genellikle çözülemez olduğu anlamına gelmez.

  Doğa biliminin tarihi, belirli bir bilimin aksiyomatik bir inşasının olasılığının, bu bilimin yalnızca oldukça yüksek bir gelişme düzeyinde, büyük miktarda gerçek materyal temelinde ortaya çıktığını ve bu da ana bilimin açıkça tanımlanmasını mümkün kıldığını göstermektedir. Bu bilim tarafından incelenen nesneler arasında var olan bağlantılar ve ilişkiler.

  Matematik biliminin aksiyomatik yapısına bir örnek, temel geometridir. Geometri aksiyomları sistemi, Öklid (yaklaşık M.Ö. Bu sistem büyük ölçüde bu güne kadar hayatta kaldı.

  Temel kavramlar: nokta, doğru, düzlem temel görüntüler; arasında uzanmak, ait olmak, hareket etmek.

  Temel geometri, beş gruba ayrılan 13 aksiyom içerir. Beşinci grupta, paraleller hakkında bir aksiyom vardır (Öklid'in V postülası): Düzlemdeki bir noktadan, bu düz çizgiyi kesmeyen sadece bir düz çizgi çizilebilir. Bu, kanıt ihtiyacına neden olan tek aksiyomdur. Beşinci önermeyi kanıtlama girişimleri, 19. yüzyılın ilk yarısına kadar, 2 bin yıldan fazla bir süredir matematikçileri meşgul etti, yani. Nikolai İvanoviç Lobachevsky'nin yazılarında bu girişimlerin tamamen umutsuzluğunu kanıtladığı ana kadar. Şu anda, beşinci önermenin kanıtlanamazlığı, kesin olarak kanıtlanmış bir matematiksel gerçektir.

  Paralel N.I hakkında aksiyom Lobachevsky aksiyomu değiştirdi: Verilen bir düzlemde bir düz çizgi ve düz çizginin dışında kalan bir nokta verilsin. Bu nokta üzerinden verilen doğruya en az iki paralel doğru çizilebilir.

  Yeni aksiyom sisteminden N.I. Lobachevsky, kusursuz bir mantıksal titizlikle, Öklid dışı geometrinin içeriğini oluşturan tutarlı bir teoremler sistemi çıkardı. Euclid ve Lobachevsky'nin her iki geometrisi de mantıksal sistemler olarak eşittir.

  19. yüzyılda üç büyük matematikçi neredeyse aynı anda, birbirinden bağımsız olarak, beşinci postülatın kanıtlanamazlığı ve Öklidyen olmayan geometrinin yaratılması konusunda aynı sonuçlara ulaştılar.

  Nikolai İvanoviç Lobaçevski (1792-1856)

  Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Bolyai (1802-1860)

  matematiksel kanıt

• Matematiksel araştırmada ana yöntem matematiksel kanıttır - titiz mantıksal akıl yürütme. Nesnel zorunluluk nedeniyle, Rusya Bilimler Akademisi Sorumlu Üyesi L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Modern matematik ve öğretimi, Moskova, Nauka, 1985, mantıksal akıl yürütme (ki doğası gereği doğruysa, aynı zamanda titizdir) bir matematik yöntemidir, matematik onlarsız düşünülemez. Unutulmamalıdır ki matematiksel düşünme, mantıksal akıl yürütme ile sınırlı değildir. Problemin doğru formülasyonu için, verilerinin değerlendirilmesi için, bunlardan önemli olanların seçimi ve onu çözmek için bir yöntem seçimi için, istenen sonucu önceden öngörmeyi mümkün kılan matematiksel sezgi de gereklidir. Makul akıl yürütme yardımıyla araştırma yolunu ana hatlarıyla belirtmek için elde edilir. Ancak, incelenen olgunun geçerliliği, birkaç örnek üzerinde kontrol edilerek veya bir dizi deney yapılarak (ki bu matematiksel araştırmalarda büyük bir rol oynar) değil, tamamen mantıksal bir şekilde kanıtlanır. biçimsel mantık yasaları.

  Matematiksel kanıtın nihai gerçek olduğuna inanılmaktadır. Saf mantığa dayalı bir karar yanlış olamaz. Ancak bilimin gelişmesi ve matematikçilerin önündeki görevler giderek daha karmaşık hale geldi.

  ABD, California, Stanford Üniversitesi'nden Keith Devlin, "Matematiksel aygıtın o kadar karmaşık ve hantal hale geldiği ve ilk bakışta karşılaşılan sorunun doğru olup olmadığını söylemenin artık mümkün olmadığı bir çağa girdik" diyor. Örnek olarak, 1980'de formüle edilen, ancak henüz tam bir kesin kanıt verilmemiş olan “basit sonlu grupların sınıflandırılmasını” veriyor. Büyük olasılıkla, teorem doğrudur, ancak bundan kesin olarak bahsetmek imkansızdır.

  Bir bilgisayar çözümü de kesin olarak adlandırılamaz, çünkü bu tür hesaplamalarda her zaman bir hata vardır. 1998'de Hales, Kepler teoremi için 1611'de formüle edilen bilgisayar destekli bir çözüm önerdi. Bu teorem, uzaydaki en yoğun top yığınını tanımlar. Kanıt 300 sayfada sunuldu ve 40.000 satır makine kodu içeriyordu. 12 gözden geçiren, çözümü bir yıl boyunca kontrol etti, ancak kanıtın doğruluğuna hiçbir zaman %100 güvenemedi ve çalışma gözden geçirilmek üzere gönderildi. Sonuç olarak, ancak dört yıl sonra ve hakemlerin tam onayı olmadan yayınlandı.

  Uygulamalı problemler için en son hesaplamaların tümü bir bilgisayarda yapılır, ancak bilim adamları daha fazla güvenilirlik için matematiksel hesaplamaların hatasız sunulması gerektiğine inanmaktadır.

  İspat teorisi mantıkta geliştirilmiştir ve üç yapısal bileşen içerir: tez (kanıtlanması gereken şey), argümanlar (ilgili bilimin bir dizi gerçekleri, genel kabul görmüş kavramları, yasaları vb.) ve ispat (prosedür) kanıtın kendisini yerleştirme; n'inci çıkarım, n+1'inci çıkarımın öncüllerinden biri olduğunda tutarlı bir çıkarımlar zinciri). İspat kuralları ayırt edilir, olası mantıksal hatalar belirtilir.

  Matematiksel kanıtın, biçimsel mantığın oluşturduğu ilkelerle pek çok ortak yanı vardır. Ayrıca, mantıkta ispat prosedürünün geliştirilmesinde temellerden biri olarak açıkça muhakeme ve işlemlerin matematiksel kuralları hizmet etti. Özellikle, biçimsel mantığın oluşum tarihinin araştırmacıları, bir zamanlar Aristoteles'in yasaları ve mantık kurallarını oluşturmak için ilk adımları attığında, matematiğe ve yasal faaliyet pratiğine yöneldiğine inanıyor. Bu kaynaklarda, tasarlanan teorinin mantıksal yapıları için malzeme buldu.

  20. yüzyılda ispat kavramı, küme teorisinde gizlenen mantıksal paradoksların keşfi ile bağlantılı olarak ve özellikle K. Gödel'in formalizasyonun eksikliğine ilişkin teoremlerinin getirdiği sonuçlarla bağlantılı olarak gerçek anlamını yitirmiştir.

  Her şeyden önce, bu, "kanıt" teriminin kesin bir tanımı olmadığına inanılan matematiğin kendisini etkiledi. Ama (bugün de geçerli olan) böyle bir görüş matematiğin kendisini etkiliyorsa, o zaman kanıtın mantıksal-matematiksel olarak değil, psikolojik anlamda kabul edilmesi gerektiği sonucuna varırlar. Dahası, benzer bir görüş, kanıtlamanın bizi o kadar ikna edecek bir muhakeme yürütmek anlamına geldiğine inanan Aristoteles'in kendisinde de bulunur, onu kullanarak başkalarını bir şeyin doğruluğuna ikna ederiz. A.E. Yesenin-Volpin'de psikolojik yaklaşımın belli bir tonunu buluyoruz. Gerçeğin ispatsız kabulüne şiddetle karşı çıkıyor, onu bir iman fiiliyle ilişkilendiriyor ve şöyle yazıyor: "Bir hükmün ispatını, bu hükmü inkar edilemez kılan dürüst bir yöntem olarak adlandırıyorum." Yesenin-Volpin, tanımının hala açıklığa kavuşturulması gerektiğini bildiriyor. Aynı zamanda, kanıtın "dürüst bir yöntem" olarak nitelendirilmesi, ahlaki-psikolojik bir değerlendirmeye başvurulmasına ihanet etmiyor mu?

  Aynı zamanda, küme-teorik paradoksların keşfi ve Gödel'in teoremlerinin ortaya çıkışı, sezgiciler, özellikle yapılandırmacı yön ve D. Hilbert tarafından üstlenilen matematiksel kanıt teorisinin gelişimine katkıda bulundu.

  Bazen matematiksel kanıtın evrensel olduğuna ve bilimsel kanıtın ideal bir versiyonunu temsil ettiğine inanılır. Ancak tek yöntem bu değildir; kanıta dayalı prosedür ve işlemlerin başka yöntemleri de vardır. Yalnızca matematiksel kanıtın, doğa bilimlerinde uygulanan biçimsel mantıksal kanıtla pek çok ortak noktası olduğu ve matematiksel kanıtın teknik-işlemler dizisinin yanı sıra belirli özellikleri olduğu doğrudur. Burada duracağız, onu diğer kanıt biçimleriyle ilişkilendiren genel şeyi atlayarak, yani algoritmayı, kuralları, hataları vb. tüm adımlarda (ana olanlar bile) genişletmeden. ispat süreci.

  Matematiksel kanıt, bir ifadenin doğruluğunu (elbette matematiksel olarak, yani tümdengelim, anlam olarak) doğrulama görevine sahip bir akıl yürütmedir.

  İspatta kullanılan kurallar dizisi, matematiksel teorinin aksiyomatik yapılarının ortaya çıkmasıyla birlikte oluşturulmuştur. Bu, en açık ve eksiksiz olarak Öklid geometrisinde gerçekleşti. "İlkeleri", matematiksel bilginin aksiyomatik organizasyonu için bir tür model standardı haline geldi ve uzun süre matematikçiler için böyle kaldı.

  Belirli bir sıra şeklinde sunulan ifadeler, mantıksal işlem kurallarına tabi olarak kanıtlanmış kabul edilen bir sonucu garanti etmelidir. Belirli bir akıl yürütmenin yalnızca bazı aksiyomatik sistemlere ilişkin bir kanıt olduğu vurgulanmalıdır.

  Matematiksel bir kanıtı karakterize ederken, iki ana özellik ayırt edilir. Her şeyden önce, matematiksel kanıtın ampirik kanıta yapılan herhangi bir referansı dışladığı gerçeği. Sonucun doğruluğunu doğrulamak için tüm prosedür, kabul edilen aksiyomatikler çerçevesinde gerçekleştirilir. Akademisyen A.D. Aleksandrov bu konuda vurgu yapıyor. Bir üçgenin açılarını binlerce kez ölçebilir ve bunların 2d'ye eşit olduğundan emin olabilirsiniz. Ama matematik hiçbir şeyi kanıtlamaz. Yukarıdaki ifadeyi aksiyomlardan çıkarırsanız, ona kanıtlayacaksınız. Tekrar edelim. Burada matematik, deneysel olarak verilen gerçeklerle tartışmayı da temelde reddeden skolastisizm yöntemlerine yakındır.

  Örneğin, segmentlerin ölçülemezliği keşfedildiğinde, bu teoremi kanıtlarken, fiziksel bir deneye başvurma dışlandı, çünkü ilk olarak, "ölçülemezlik" kavramının kendisi fiziksel anlamdan yoksundur ve ikinci olarak, matematikçiler yapamazdı: soyutlama ile uğraşırken, duyusal-görsel bir cihazla ölçülebilen maddi-somut uzantıları yardıma getirmek. Özellikle bir karenin kenarının ve köşegeninin ölçülemezliği, hipotenüsün karesinin (sırasıyla köşegen) karelerinin toplamına eşitliğine ilişkin Pisagor teoremi kullanılarak tam sayıların özelliğine dayanarak kanıtlanmıştır. bacaklar (bir dik üçgenin iki tarafı). Veya Lobachevsky astronomik gözlemlerin sonuçlarına atıfta bulunarak geometrisi için onay aradığında, bu doğrulama onun tarafından tamamen spekülatif bir nitelikle gerçekleştirildi. Cayley-Klein ve Beltrami'nin Öklid dışı geometriye ilişkin yorumları da fiziksel nesnelerden ziyade tipik olarak matematiksel özelliklere sahipti.

  Matematiksel ispatın ikinci özelliği, diğer bilimlerdeki ispat prosedürlerinden farklı olarak en yüksek soyutluğudur. Ve yine, matematiksel bir nesne kavramında olduğu gibi, bu sadece soyutlamanın derecesi ile ilgili değil, doğası ile de ilgilidir. Gerçek şu ki, kanıt, bir dizi başka bilimde, örneğin fizikte, kozmolojide ve tabii ki felsefede yüksek bir soyutlama düzeyine ulaşır, çünkü varlık ve düşünmenin nihai sorunları ikincisinin konusu haline gelir. Öte yandan matematik, anlamı herhangi bir spesifik özellikten soyutlanmış olan değişkenlerin burada işlev görmesiyle ayırt edilir. Tanımı gereği, değişkenlerin kendi içlerinde hiçbir anlamı olmayan işaretler olduğunu ve ikincisini yalnızca belirli nesnelerin adları onların yerine geçtiğinde (bireysel değişkenler) veya belirli özellikler ve ilişkiler belirtildiğinde (yüklem değişkenleri) veya nihayet edindiklerini hatırlayın. , bir değişkenin anlamlı bir ifadeyle değiştirilmesi durumunda (önerme değişkeni).

  Belirtilen özellik, matematiksel ispatta kullanılan işaretlerin aşırı soyutluğunun yanı sıra, yapılarına değişkenlerin dahil edilmesi nedeniyle ifadelere dönüşen ifadelerin doğasını belirler.

  Mantıkta bir ispat olarak tanımlanan ispat prosedürü, kanıtlanmış bir ifadeden diğerine geçişin gerçekleştirildiği, tutarlı bir çıkarımlar zinciri oluşturan çıkarım kuralları temelinde ilerler. En yaygın olanı iki kural (sonuçların ikamesi ve türetilmesi) ve tümdengelim teoremidir.

  ikame kuralı. Matematikte ikame, belirli bir kümenin a öğelerinin her birinin aynı kümeden başka bir F(a) öğesiyle değiştirilmesi olarak tanımlanır. Matematiksel mantıkta, ikame kuralı aşağıdaki gibi formüle edilir. Önermeler hesabındaki gerçek bir formül M bir harf içeriyorsa, diyelim ki A, o zaman olduğu yerde keyfi bir D harfi ile değiştirerek, orijinali kadar doğru olan bir formül elde ederiz. Bu mümkündür ve kesinlikle kabul edilebilir, çünkü önermeler hesabında kişi önermelerin (formüller) anlamından soyutlanır... Yalnızca "doğru" veya "yanlış" değerleri dikkate alınır. Örneğin, M: A--> (BUA) formülünde A yerine (AUB) ifadesini değiştiririz, sonuç olarak yeni bir formül (AUB) -->[(BU(AUB) ] elde ederiz.

  Sonuç çıkarma kuralı, biçimsel mantıkta koşullu kategorik kıyas modus ponens'in (olumlu kip) yapısına karşılık gelir. Şuna benziyor:

  a .

  Bir önerme (a-> b) verilmiş ve ayrıca a verilmiş. b'yi takip eder.

  Örneğin: Yağmur yağıyorsa, kaldırım ıslak, yağmur yağıyor (a), dolayısıyla kaldırım ıslak (b). Matematiksel mantıkta bu kıyas (a->b) a->b şeklinde yazılır.

  Çıkarım, kural olarak, çıkarım için ayrılarak belirlenir. Eğer bir çıkarım (a-> b) ve onun öncülü (a) verilirse, o zaman akıl yürütmeye (ispat) bu çıkarımın (b) sonucunu da ekleme hakkımız vardır. Syllogism zorlayıcıdır, tümdengelimli kanıt araçlarının bir cephaneliğini oluşturur, yani matematiksel akıl yürütmenin gereksinimlerini kesinlikle karşılar.

  Matematiksel kanıtta önemli bir rol, tümdengelim teoremi tarafından oynanır - prosedürü, uygulamanın kanıtlanabilirliğini belirlemeyi mümkün kılan bir dizi teoremin genel adı: A-> B, mantıksal bir türev olduğunda Formül A'dan formül B. Önerme hesabının en yaygın versiyonunda (klasik, sezgisel ve diğer matematik türlerinde), tümdengelim teoremi aşağıdakileri belirtir. Kurallara göre, B G, AB (- türetilebilirlik işareti) çıkarılabilen bir G öncülleri sistemi ve bir öncül A verilirse, bundan sadece G'nin öncüllerinden A cümlesinin elde edilebileceği sonucu çıkar. --> B.

  Doğrudan bir kanıt olan türü ele aldık. Aynı zamanda, mantıkta dolaylı kanıtlar da kullanılır; aşağıdaki şemaya göre dağıtılan doğrudan olmayan kanıtlar vardır. Bir takım nedenlerden dolayı (çalışma nesnesinin erişilemezliği, varlığının gerçekliğinin kaybı vb.) herhangi bir ifadenin doğruluğunun doğrudan kanıtını yapma olanağına sahip olmadıkları için, bir antitez oluştururlar. Antitezin çelişkilere yol açtığına ve bu nedenle yanlış olduğuna inanıyorlar. Sonra, antitezin yanlışlığı gerçeğinden - dışlanan orta (a v) yasasına dayanarak - tezin doğruluğu hakkında bir sonuç çıkar.

  Matematikte, dolaylı ispat biçimlerinden biri yaygın olarak kullanılmaktadır - çelişkili ispat. Özellikle değerlidir ve aslında matematiğin temel kavramlarının ve hükümlerinin, örneğin başka hiçbir şekilde tanıtılamayan gerçek sonsuzluk kavramının kabulünde vazgeçilmezdir.

  Çelişki ile ispatın işlemi matematiksel mantıkta aşağıdaki gibi temsil edilir. G formüllerinin bir dizisi ve A'nın (G , A) olumsuzlanması verildi. Bu, B'yi ve onun olumsuzluğunu (G , AB, B olmayan) ima ediyorsa, o zaman A'nın doğruluğunun G formüllerinin dizisinden çıktığı sonucuna varabiliriz. Başka bir deyişle, tezin doğruluğu, antitezin yanlışlığından kaynaklanmaktadır. .

  Referanslar:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Ekonomistler için Yüksek Matematik, ders kitabı, Moskova, 2002;

  2. L.D. Kudryavtsev, Modern matematik ve öğretimi, Moskova, Nauka, 1985;

  3. O. I. Larichev, Objektif modeller ve subjektif kararlar, Moskova, Nauka, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, “Matematik mi? - Komik! ”, Yazarın baskısı, 1989;

  5. P.K. Rashevsky, Riemann geometrisi ve tensör analizi, Moskova, 3. baskı, 1967;

  6. V.E. Gmurman, Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik, Moskova, Yüksek Okul, 1977;

  7. Dünya çapında ağ Enternet.

Nicel ilişkiler bilimi ve gerçekliğin mekansal biçimleri olarak matematik, çevremizdeki dünyayı, doğal ve sosyal fenomenleri inceler. Ancak diğer bilimlerden farklı olarak matematik, diğerlerinden soyutlayarak onların özel özelliklerini inceler. Bu nedenle geometri, nesnelerin şeklini ve boyutunu, diğer özelliklerini dikkate almadan inceler: renk, kütle, sertlik vb. Genel olarak matematiksel nesneler (geometrik şekil, sayı, değer) insan zihni tarafından oluşturulur ve yalnızca insan düşüncesinde, matematik dilini oluşturan işaret ve sembollerde bulunur.

Matematiğin soyutluğu, çeşitli alanlarda uygulanmasına izin verir, doğayı anlamak için güçlü bir araçtır.

Bilgi biçimleri iki gruba ayrılır.

İlk grupçeşitli duyu organlarının yardımıyla yürütülen duyusal biliş biçimlerini oluşturur: görme, işitme, koku, dokunma, tat.

şirket ikinci grupöncelikle kavramlar, ifadeler ve çıkarımlar olmak üzere soyut düşünme biçimlerini içerir.

Duyusal biliş biçimleri şunlardır: Hissetmek, algı ve temsil.

Her nesnenin bir değil, birçok özelliği vardır ve bunları duyumların yardımıyla biliriz.

His- bu, doğrudan (yani şu anda) duyularımızı etkileyen, maddi dünyanın nesnelerinin veya fenomenlerinin bireysel özelliklerinin bir yansımasıdır. Bunlar, nesnelerin kırmızı, sıcak, yuvarlak, yeşil, tatlı, pürüzsüz ve diğer bireysel özelliklerinin duyumlarıdır [Getmanova, s. 7].

Bireysel duyumlardan, tüm nesnenin algısı oluşur. Örneğin, bir elmanın algısı şu tür duyumlardan oluşur: küresel, kırmızı, tatlı ve ekşi, kokulu vb.

Algı duyularımızı doğrudan etkileyen dışsal bir maddi nesnenin bütünsel bir yansımasıdır [Getmanova, s. sekiz]. Örneğin, bir tabak, bardak, kaşık, diğer mutfak eşyaları görüntüsü; şimdi nehir boyunca ilerliyorsak veya kıyısındaysak nehrin görüntüsü; ormanın görüntüsü, şimdi ormana geldiysek vs.

Algılar, zihnimizdeki gerçekliğin duyusal bir yansıması olmasına rağmen, büyük ölçüde insan deneyimine bağlıdır. Örneğin, bir biyolog bir çayırı bir şekilde algılayacaktır (farklı bitki türleri görecektir), ancak bir turist veya bir sanatçı onu tamamen farklı bir şekilde algılayacaktır.

Verim- bu, şu anda bizim tarafımızdan algılanmayan, ancak daha önce bizim tarafımızdan bir biçimde algılanan bir nesnenin şehvetli bir görüntüsüdür [Getmanova, s. on]. Örneğin tanıdıklarımızın yüzlerini, evdeki odamızı, huş ağacını veya mantarı görsel olarak hayal edebiliriz. Bunlar örnekler üreme temsiller, bu nesneleri gördüğümüz gibi.

sunum olabilir yaratıcı, dahil olmak üzere fantastik. Güzel Prenses Kuğu'yu veya Çar Saltan'ı veya Altın Horoz'u ve A.S.'nin masallarından diğer birçok karakteri sunuyoruz. Hiç görmediğimiz ve asla görmeyeceğimiz Puşkin. Bunlar sözlü açıklama yerine yaratıcı sunum örnekleridir. Ayrıca Snow Maiden, Noel Baba, deniz kızı vb.

Dolayısıyla duyusal bilginin biçimleri duyumlar, algılar ve temsillerdir. Onların yardımıyla, nesnenin dış yönlerini öğreniriz (özellikleri dahil olmak üzere özellikleri).

Soyut düşünme biçimleri kavramlar, ifadeler ve sonuçlardır.

Kavramlar. Kavramların kapsamı ve içeriği

"Kavram" terimi genellikle, belirli bir karakteristik (ayırt edici, temel) özelliğe veya bu tür bir dizi özelliğe sahip, keyfi nitelikteki nesnelerin bütün bir sınıfını ifade etmek için kullanılır, yani. o sınıfın üyelerine özgü özellikler.

Mantık açısından, kavram, aşağıdakilerle karakterize edilen özel bir düşünme biçimidir: 1) kavram, oldukça organize bir maddenin bir ürünüdür; 2) kavram maddi dünyayı yansıtır; 3) kavram bilinçte bir genelleme aracı olarak ortaya çıkar; 4) kavram, özellikle insan faaliyeti anlamına gelir; 5) Bir kavramın kişinin zihninde oluşması, onun konuşma, yazı veya sembol yoluyla ifade edilmesinden ayrılamaz.

Herhangi bir gerçeklik nesnesi kavramı zihnimizde nasıl ortaya çıkar?

Belirli bir kavramı oluşturma süreci, birbirini izleyen birkaç aşamanın görülebildiği kademeli bir süreçtir. En basit örneği kullanarak bu süreci düşünün - çocuklarda 3 sayısı kavramının oluşumu.

1. Bilişin ilk aşamasında, çocuklar konu resimlerini kullanarak ve üç elementten oluşan çeşitli setleri (üç elma, üç kitap, üç kurşun kalem vb.) göstererek çeşitli özel setlerle tanışırlar. Çocuklar sadece bu setlerin her birini görmekle kalmaz, aynı zamanda bu setleri oluşturan nesnelere de dokunabilirler (dokunabilirler). Bu "görme" süreci, çocuğun zihninde gerçekliğin özel bir yansıma biçimi yaratır. algı (his).

2. Her kümeyi oluşturan nesneleri (nesneleri) çıkaralım ve çocukları, her bir kümeyi karakterize eden ortak bir nokta olup olmadığını belirlemeye davet edelim. Her setteki nesnelerin sayısı, her yerde “üç” olduğu çocukların zihinlerine kazınacaktı. Eğer böyleyse çocukların kafasında yeni bir biçim oluşmuştur - üç numara fikri.

3. Bir sonraki aşamada, bir düşünce deneyine dayanarak, çocuklar "üç" kelimesiyle ifade edilen özelliğin, formun (a; b; c) herhangi bir farklı öğesini karakterize ettiğini görmelidir. Böylece, bu tür kümelerin temel bir ortak özelliği seçilecektir: "üç elemente sahip olmak". Artık çocukların zihinlerinde şekillendiğini söyleyebiliriz. 3 numara kavramı.

kavram- bu, nesnelerin veya çalışma nesnelerinin temel (ayırt edici) özelliklerini yansıtan özel bir düşünme biçimidir.

Bir kavramın dilsel biçimi bir sözcük veya bir sözcük grubudur. Örneğin, “üçgen”, “üç numara”, “nokta”, “düz çizgi”, “ikizkenar üçgen”, “bitki”, “kozalaklı ağaç”, “Yenisey Nehri”, “masa” vb.

Matematiksel kavramların bir takım özellikleri vardır. Asıl olan, hakkında bir kavram oluşturmanın gerekli olduğu matematiksel nesnelerin gerçekte var olmamasıdır. Matematiksel nesneler insan zihni tarafından yaratılır. Bunlar, gerçek nesneleri veya fenomenleri yansıtan ideal nesnelerdir. Örneğin, geometride nesnelerin şekli ve boyutu, diğer özellikleri dikkate alınmadan incelenir: renk, kütle, sertlik vb. Bütün bunlardan dikkatleri dağılır, soyutlanırlar. Bu nedenle geometride "nesne" yerine "geometrik şekil" derler. Soyutlamanın sonucu da "sayı" ve "değer" gibi matematiksel kavramlardır.

Ana Özellikler hiç kavramlar aşağıdakiler: 1) Ses; 2) içerik; 3) kavramlar arasındaki ilişkiler.

Matematiksel bir kavram hakkında konuştuklarında, genellikle bir terimle (kelime veya kelime grubu) belirtilen tüm nesneler kümesini (kümesini) kastederler. Yani, bir kareden bahsetmişken, kare olan tüm geometrik şekilleri kastediyorlar. Tüm kareler kümesinin "kare" kavramının kapsamı olduğuna inanılmaktadır.

kavramın kapsamı Bu kavramın uygulanabilir olduğu nesneler veya nesneler kümesine denir.

Örneğin, 1) "paralelkenar" kavramının kapsamı, uygun paralelkenarlar, eşkenar dörtgenler, dikdörtgenler ve kareler gibi dörtgenler kümesidir; 2) "Tek basamaklı doğal sayı" kavramının kapsamı - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) kümesi olacaktır.

Herhangi bir matematiksel nesnenin belirli özellikleri vardır. Örneğin, bir karenin dört kenarı vardır, köşegenlere eşit dört dik açı vardır, köşegenler kesişme noktası tarafından ikiye bölünür. Diğer özelliklerini belirtebilirsiniz, ancak bir nesnenin özellikleri arasında şunlar vardır: önemli (ayırt edici) ve gerekli olmayan.

mülk denir önemli (ayırt edici) bir nesne için bu nesnenin doğasında varsa ve onsuz var olamaz; mülk denir önemsiz bir nesne için onsuz var olabilirse.

Örneğin bir kare için yukarıda sayılan tüm özellikler esastır. “AD kenarı yataydır” özelliği ABCD karesi için önemsiz olacaktır (Şekil 1). Bu kare döndürülürse, AD tarafı dikey olacaktır.

Görsel materyal kullanan okul öncesi çocuklar için bir örnek düşünün (Şekil 2):

Figürü tanımlayın.

Küçük siyah üçgen. Pirinç. 2

Büyük beyaz üçgen.

Rakamlar nasıl benzer?

Rakamlar nasıl farklı?

Renk, boyut.

Üçgende ne var?

3 taraf, 3 köşe.

Böylece çocuklar "üçgen" kavramının temel ve temel olmayan özelliklerini öğrenirler. Temel özellikler - "üç kenarı ve üç açısı vardır", temel olmayan özellikler - renk ve boyut.

Bir nesnenin veya nesnenin bu kavramda yansıtılan tüm temel (ayırt edici) özelliklerinin toplamına ne ad verilir? kavramın içeriği .

Örneğin, "paralelkenar" kavramı için içerik bir dizi özelliktir: dört kenarı vardır, dört köşesi vardır, karşıt taraflar çift paraleldir, karşıt taraflar eşittir, karşıt açılar eşittir, kesişimdeki köşegenler puanlar ikiye bölünür.

Bir kavramın hacmi ile içeriği arasında bir bağlantı vardır: Bir kavramın hacmi artarsa ​​içeriği azalır ve bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle, örneğin, "ikizkenar üçgen" kavramının kapsamı "üçgen" kavramının kapsamının bir parçasıdır ve "ikizken üçgen" kavramının içeriği "üçgen" kavramının içeriğinden daha fazla özellik içerir, çünkü bir ikizkenar üçgen, yalnızca bir üçgenin tüm özelliklerine değil, aynı zamanda yalnızca ikizkenar üçgenlerde bulunan diğer özelliklere de sahiptir (“iki kenar eşittir”, “iki açı eşittir”, “iki medyan eşittir”, vb.).

Kavramlar ikiye ayrılır tek, ortak ve kategoriler.

Hacmi 1 olan kavramlara denir. tek kavram .

Örneğin, kavramlar: "Yenisey Nehri", "Tuva Cumhuriyeti", "Moskova şehri".

Hacmi 1'den büyük olan kavramlara denir. genel .

Örneğin, kavramlar: "şehir", "nehir", "dörtgen", "sayı", "çokgen", "denklem".

Herhangi bir bilimin temellerini inceleme sürecinde, çocuklar genellikle genel kavramlar oluşturur. Örneğin ilköğretim sınıflarında öğrenciler “sayı”, “sayı”, “tek basamaklı sayılar”, “iki basamaklı sayılar”, “çok basamaklı sayılar”, “kesir”, “pay” gibi kavramlarla tanışırlar. ”, “toplama”, “terim” , “toplam”, “çıkarma”, “çıkarma”, “indirgenme”, “fark”, “çarpma”, “çarpan”, “çarpım”, “bölme”, “bölünebilir”, "bölen", "bölüm", "top, silindir, koni, küp, paralelyüz, piramit, açı, üçgen, dörtgen, kare, dikdörtgen, çokgen, daire, "daire", "eğri", "çok çizgi", "segment" , "parçanın uzunluğu", "ışın", "düz çizgi", "nokta", "uzunluk", "genişlik", "yükseklik", "çevre", "şekil alanı", "hacim", "zaman", " hız", "kütle", "fiyat", "maliyet" ve diğerleri. Bütün bu kavramlar genel kavramlardır.