มุมที่เท่ากันเสมอเรียกว่า ขยาย ป้าน แนวตั้ง และไม่ขยาย: ประเภทของมุมของเรขาคณิต

มุมเป็นรูปเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยรังสีสองเส้นที่เปล่งออกมาจากจุดหนึ่ง ในกรณีนี้ รังสีเหล่านี้เรียกว่าด้านของมุม จุดที่เป็นจุดเริ่มต้นของรังสีเรียกว่าจุดยอดของมุม ในรูปจะเห็นมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด อู๋และฝ่ายต่างๆ kและ ม.

จุด A และ C ถูกทำเครื่องหมายที่ด้านข้างของมุม มุมนี้สามารถกำหนดเป็นมุม AOC ได้ ตรงกลางต้องเป็นชื่อของจุดที่จุดยอดมุมตั้งอยู่ นอกจากนี้ยังมีการกำหนดอื่น ๆ มุม O หรือมุมกม. ในเรขาคณิต แทนที่จะเป็นมุมของคำ มักจะเขียนไอคอนพิเศษ

มุมหมุนและไม่หมุน

ถ้าด้านของมุมทั้งสองอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุมนั้นเรียกว่า ปรับใช้มุม. นั่นคือด้านหนึ่งของมุมที่ต่อเนื่องกันของอีกด้านหนึ่งของมุม รูปด้านล่างแสดงมุม O

ควรสังเกตว่ามุมใดก็ตามที่แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน หากไม่ขยายมุม ส่วนใดส่วนหนึ่งจะเรียกว่าส่วนในของมุม และอีกส่วนหนึ่งเรียกว่าส่วนนอกของมุมนี้ รูปด้านล่างแสดงมุมที่ไม่แบนและทำเครื่องหมายพื้นที่ด้านนอกและด้านในของมุมนี้

ในกรณีของมุมที่พัฒนาแล้ว ส่วนใดส่วนหนึ่งในสองส่วนที่แบ่งระนาบนั้นถือเป็นส่วนนอกของมุม เราสามารถพูดถึงตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับมุมได้ จุดอาจอยู่นอกมุม (ในบริเวณด้านนอก) อาจอยู่ด้านใดด้านหนึ่ง หรืออาจอยู่ภายในมุม (ในพื้นที่ด้านใน)

ในรูปด้านล่าง จุด A อยู่ด้านนอกมุม O จุด B อยู่ที่ด้านหนึ่งของมุม และจุด C อยู่ที่มุม

การวัดมุม

ในการวัดมุมมีอุปกรณ์ที่เรียกว่าไม้โปรแทรกเตอร์ หน่วยของมุมคือ ระดับ. ควรสังเกตว่าแต่ละมุมมีหน่วยวัดองศาที่แน่นอน ซึ่งมากกว่าศูนย์

ขึ้นอยู่กับ องศาวัดมุมแบ่งออกเป็นหลายกลุ่ม

นักเรียนคุ้นเคยกับแนวคิดของมุมใน โรงเรียนประถม. แต่เมื่อเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติบางอย่าง พวกเขาเริ่มศึกษามันตั้งแต่เกรด 7 ในวิชาเรขาคณิต ดูเหมือนว่า รูปร่างค่อนข้างเรียบง่ายสิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับเธอ แต่เมื่อได้มาซึ่งความรู้ใหม่ เด็กนักเรียนจึงเข้าใจมากขึ้นเรื่อยๆ ว่าคุณสามารถเรียนรู้ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับเธอได้

ติดต่อกับ

เรียนเมื่อไหร่

หลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนแบ่งออกเป็นสองส่วน: การวัดแนวระนาบและเรขาคณิตทึบ แต่ละคนก็มีความสนใจเป็นอย่างมาก มอบให้กับมุม:

• ใน planimetry จะได้รับแนวคิดพื้นฐานและทำความคุ้นเคยกับประเภทของขนาด ศึกษาคุณสมบัติของสามเหลี่ยมแต่ละประเภทโดยละเอียด คำจำกัดความใหม่สำหรับนักเรียนปรากฏขึ้น - เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นสองเส้นที่ตัดกันและจุดตัดของเส้นตัดขวางหลายเส้น
• ใน stereometry จะทำการศึกษามุมเชิงพื้นที่ - dihedral และ trihedral

ความสนใจ!บทความนี้กล่าวถึงทุกประเภทและคุณสมบัติของมุมในการวัดระนาบ

ความหมายและการวัด

เริ่มศึกษาก่อนกำหนด, มุมคืออะไรในการวัดระนาบ

หากเราใช้จุดใดจุดหนึ่งบนระนาบแล้ววาดรังสีสองเส้นจากจุดนั้น เราก็ได้รูปเรขาคณิต - มุมที่ประกอบด้วยองค์ประกอบต่อไปนี้:

• จุดยอด - จุดที่รังสีถูกวาดแสดงว่า ตัวพิมพ์ใหญ่อักษรละติน;
• ด้านข้างลากครึ่งเส้นจากด้านบน

องค์ประกอบทั้งหมดที่เป็นรูปที่เรากำลังพิจารณาแบ่งระนาบออกเป็น สองส่วน:

• ภายใน - ใน planimetry ไม่เกิน 180 องศา;
• ภายนอก.

หลักการวัดมุมในการวัดระนาบอธิบายอย่างสังหรณ์ใจ ในการเริ่มต้น นักเรียนจะได้รับการแนะนำให้รู้จักกับแนวคิดของมุมที่พัฒนาแล้ว

สิ่งสำคัญ!กล่าวกันว่ามุมจะพัฒนาขึ้นหากเส้นแบ่งครึ่งที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดเป็นเส้นตรง มุมที่กางออกเป็นกรณีอื่นๆ ทั้งหมด

หากแบ่งออกเป็น 180 ส่วนเท่าๆ กัน ก็ถือเป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาการวัดของส่วนหนึ่งเท่ากับ 10 ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่าหน่วยวัดเป็นหน่วยองศา และหน่วยวัดองศาของตัวเลขดังกล่าวคือ 180 องศา

ประเภทหลัก

ประเภทของมุมแบ่งตามเกณฑ์ เช่น การวัดองศา ธรรมชาติของการก่อตัว และประเภทด้านล่าง

ตามขนาด

เมื่อพิจารณาจากขนาดแล้ว มุมจะแบ่งออกเป็น:

• นำไปใช้;
• ตรง;
• ทื่อ;
• เผ็ด.

มุมใดที่เรียกว่าปรับใช้ถูกนำเสนอข้างต้น มากำหนดแนวคิดของเส้นตรงกัน

หาได้จากการแบ่งงานออกเป็น 2 ส่วนเท่าๆ กัน ในกรณีนี้ เป็นการง่ายที่จะตอบคำถาม: มุมฉาก มีกี่องศา?

หาร 180 องศาด้วย 2 เพื่อให้ได้ มุมฉาก 90 องศา. นี่เป็นตัวเลขที่วิเศษมาก เนื่องจากมีข้อเท็จจริงหลายอย่างในเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกัน

นอกจากนี้ยังมีลักษณะเฉพาะในการกำหนด ในการแสดงมุมฉากในภาพ ไม่ได้ระบุด้วยส่วนโค้ง แต่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

มุมที่ได้จากการหารรังสีเอกซ์โดยพลการของเส้นตรงเรียกว่ามุมแหลมตามตรรกะของสิ่งต่าง ๆ มุมแหลมนั้นน้อยกว่ามุมฉาก แต่การวัดนั้นแตกต่างจาก 0 องศา นั่นคือมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

มุมป้านมีค่ามากกว่ามุมฉาก แต่น้อยกว่ามุมตรง การวัดระดับของมันแตกต่างกันไปตั้งแต่ 90 ถึง 180 องศา

องค์ประกอบนี้สามารถแบ่งออกเป็น ประเภทต่างๆพิจารณาเป็นตัวเลข ไม่รวมตัวเลขที่ขยาย

ไม่ว่ามุมที่ไม่หมุนจะแตกสลายอย่างไร สัจพจน์พื้นฐานของการวัดระนาบจะถูกนำมาใช้เสมอ - "คุณสมบัติหลักของการวัด"

ที่ แบ่งมุมด้วยลำแสงเดียวหรือหลายอย่าง การวัดองศาของตัวเลขที่กำหนดจะเท่ากับผลรวมของการวัดมุมที่มันถูกแบ่งออก

ที่ระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ประเภทของมุมที่มีขนาดเท่ากันจะสิ้นสุดที่นั่น แต่เพื่อเพิ่มพูนความรู้ก็เสริมได้ว่ามีพันธุ์อื่นๆ ที่มีองศามากกว่า 180 องศา เรียกว่านูน

ตัวเลขที่จุดตัดของเส้น

มุมประเภทต่อไปที่นักเรียนจะได้รับการแนะนำให้รู้จักคือองค์ประกอบที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นสองเส้นตัดกัน ตัวเลขที่วางตรงข้ามกันเรียกว่าแนวตั้ง พวกเขา ลักษณะเด่น- พวกเขาเท่าเทียมกัน

องค์ประกอบที่อยู่ติดกับบรรทัดเดียวกันเรียกว่าอยู่ติดกัน ทฤษฎีบทการทำแผนที่คุณสมบัติบอกว่า มุมที่อยู่ติดกันรวมกันได้ 180 องศา.

องค์ประกอบในรูปสามเหลี่ยม

หากเราถือว่ารูปนั้นเป็นองค์ประกอบในรูปสามเหลี่ยม มุมต่างๆ จะถูกแบ่งออกเป็นภายในและภายนอก สามเหลี่ยมล้อมรอบด้วยสามส่วนและประกอบด้วย สามยอด. มุมที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมในแต่ละจุดยอด เรียกว่าภายใน.

หากเรานำองค์ประกอบภายในที่จุดยอดและขยายด้านใดด้านหนึ่ง มุมที่เกิดขึ้นและอยู่ติดกับจุดภายในจะเรียกว่าภายนอก องค์ประกอบคู่นี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ผลรวมของมันคือ 180 องศา

จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น

แยกเส้น

เมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมก็จะเกิดขึ้นเช่นกันซึ่งปกติจะแจกเป็นคู่ องค์ประกอบแต่ละคู่มีชื่อของตัวเอง ดูเหมือนว่านี้:

• การข้ามภายใน: ∟4 และ ∟6, ∟3 และ ∟5;
• ภายในด้านเดียว: ∟4 และ ∟5, ∟3 และ ∟6;
• สอดคล้องกัน: ∟1 และ ∟5, ∟2 และ ∟6, ∟4 และ ∟8, ∟3 และ ∟7

เมื่อซีแคนต์ตัดกับสอง

ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์หนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตหลัก ๆ อย่างครอบคลุม นั่นคือ มุม เริ่มจากแนวคิดเสริมและคำจำกัดความที่จะนำเราไปสู่คำจำกัดความของมุม หลังจากนั้นเราให้วิธีการที่ยอมรับในการกำหนดมุม ต่อไปเราจะพูดถึงกระบวนการวัดมุมอย่างละเอียด โดยสรุปเราจะแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถทำเครื่องหมายมุมในรูปวาดได้อย่างไร เราจัดเตรียมภาพวาดและภาพประกอบกราฟิกที่จำเป็นให้กับทฤษฎีทั้งหมดเพื่อการท่องจำเนื้อหาที่ดีขึ้น

การนำทางหน้า

คำจำกัดความของมุม

มุมเป็นหนึ่งในตัวเลขที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิต คำจำกัดความของมุมถูกกำหนดผ่านคำจำกัดความของรังสี ในทางกลับกัน ความคิดของรังสีไม่สามารถทำได้โดยปราศจากความรู้เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิต เช่น จุด เส้นตรง และระนาบ ดังนั้น ก่อนทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของมุม เราแนะนำให้รีเฟรชทฤษฎีจากส่วนต่างๆ และ

ดังนั้น เราจะเริ่มจากแนวคิดของจุด เส้นตรงบนระนาบและระนาบ

ให้เราให้คำจำกัดความของรังสีก่อน

ให้เราเป็นเส้นตรงบนเครื่องบิน ลองแทนด้วยตัวอักษร a ให้ O เป็นจุดบางจุดของเส้น a จุด O แบ่งเส้น a ออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนเหล่านี้ร่วมกับจุด O เรียกว่า บีมและจุด O เรียกว่า จุดเริ่มต้นของลำแสง. คุณยังสามารถได้ยินว่าลำแสงนั้นเรียกว่า กึ่งทางตรง.

เพื่อความกระชับและสะดวก ได้แนะนำสัญลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับรังสี: รังสีแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก (เช่น ray p หรือ ray k) หรืออักษรตัวใหญ่สองตัว ด้วยอักษรละติน, อันแรกสอดคล้องกับจุดเริ่มต้นของรังสี และอันที่สองแสดงถึงบางจุดของรังสีนี้ (เช่น เรย์ OA หรือ เรย์ซีดี ) มาแสดงภาพและการกำหนดรังสีในภาพวาดกัน

ตอนนี้เราสามารถให้คำจำกัดความแรกของมุมได้แล้ว

คำนิยาม.

ฉีด- นี่คือรูปทรงเรขาคณิตแบน (นั่นคือนอนอยู่ในระนาบหนึ่งทั้งหมด) ซึ่งประกอบด้วยรังสีสองดวงที่ไม่ตรงกันซึ่งมีต้นกำเนิดร่วมกัน. รังสีแต่ละชนิดเรียกว่า มุมข้างจุดเริ่มต้นทั่วไปของด้านของมุมเรียกว่า มุมบน.

เป็นไปได้ว่าด้านข้างของมุมก่อรูปเป็นเส้นตรง มุมนี้มีชื่อเป็นของตัวเอง

คำนิยาม.

ถ้าทั้งสองด้านของมุมอยู่บนเส้นเดียวกัน จะเรียกว่ามุม ปรับใช้.

เราขอนำเสนอภาพประกอบกราฟิกของมุมที่พัฒนาแล้ว

สัญลักษณ์มุมใช้เพื่อแสดงถึงมุม หากด้านข้างของมุมระบุด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก (เช่น ด้านหนึ่งของมุมคือ k และอีกด้านหนึ่งคือ h) ดังนั้นเพื่อกำหนดมุมนี้ หลังจากไอคอนมุม ตัวอักษรที่สอดคล้องกับด้านข้างจะถูกเขียนด้วย แถวและลำดับของการบันทึกไม่สำคัญ (นั่นคือหรือ) หากด้านข้างของมุมระบุด้วยตัวอักษรละตินขนาดใหญ่สองตัว (เช่น ด้านหนึ่งของมุม OA และด้านที่สองของมุม OB) มุมจะแสดงดังนี้: หลังเครื่องหมายมุม จะมีตัวอักษรสามตัว เขียนที่มีส่วนร่วมในการกำหนดด้านข้างของมุมและตัวอักษรที่สอดคล้องกับจุดยอดของมุมที่อยู่ตรงกลาง (ในกรณีของเรามุมจะถูกระบุเป็น หรือ ) หากจุดยอดของมุมไม่ใช่จุดยอดของมุมอื่น มุมดังกล่าวสามารถแสดงด้วยตัวอักษรที่สอดคล้องกับจุดยอดของมุม (เช่น ) บางครั้งคุณจะเห็นว่ามุมในภาพวาดมีตัวเลข (1, 2, ฯลฯ ) กำกับอยู่ ซึ่งมุมเหล่านี้จะเขียนแทนไปเรื่อยๆ เพื่อความชัดเจน เรานำเสนอตัวเลขที่แสดงและระบุมุม

มุมใดๆ แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน ยิ่งกว่านั้น ถ้ามุมไม่พัฒนา ส่วนหนึ่งของระนาบจะเรียกว่า บริเวณมุมด้านใน, และอื่น ๆ บริเวณมุมด้านนอก. รูปภาพต่อไปนี้อธิบายว่าส่วนใดของระนาบตรงกับด้านในของมุมและส่วนใดที่อยู่ด้านนอก

ส่วนใดส่วนหนึ่งในสองส่วนที่มุมแบนแบ่งระนาบถือเป็นพื้นที่ภายในของมุมราบ

คำจำกัดความของมุมภายในทำให้เราไปถึงคำจำกัดความที่สองของมุม

คำนิยาม.

ฉีด- นี่คือรูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยรังสีสองเส้นที่ไม่ตรงกันซึ่งมีจุดกำเนิดร่วมกันและพื้นที่ภายในที่สอดคล้องกันของมุม

ควรสังเกตว่าคำจำกัดความที่สองของมุมนั้นเข้มงวดกว่าคำจำกัดความแรก เนื่องจากมีเงื่อนไขมากกว่า อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรละเลยคำจำกัดความแรกของมุม และไม่ควรพิจารณาคำจำกัดความที่หนึ่งและที่สองของมุมแยกจากกัน มาอธิบายประเด็นนี้กัน เมื่อไหร่ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับมุมในรูปเรขาคณิต จากนั้นเข้าใจมุมหนึ่งว่าเป็นรูปร่างที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้นที่มีจุดกำเนิดร่วม หากจำเป็นต้องดำเนินการใดๆ กับมุมนี้ (เช่น การวัดมุม) มุมหนึ่งควรเข้าใจอยู่แล้วว่าเป็นรังสีสองเส้นที่มีจุดกำเนิดร่วมและพื้นที่ภายใน (ไม่เช่นนั้น จะเกิดสถานการณ์สองเท่าเนื่องจาก การมีอยู่ของทั้งบริเวณภายในและภายนอกของมุม )

ให้เราให้คำจำกัดความเพิ่มเติมของมุมประชิดและมุมแนวตั้ง

คำนิยาม.

มุมที่อยู่ติดกัน- เป็นมุมสองมุมที่ด้านหนึ่งเป็นมุมฉาก และอีกสองมุมเป็นมุมตรง

จากคำจำกัดความที่ว่ามุมที่อยู่ติดกันประกอบกันเป็นมุมตรง

คำนิยาม.

มุมแนวตั้งคือ มุมสองมุม โดยที่ด้านหนึ่งของมุมหนึ่งเป็นส่วนต่อขยายของอีกด้านหนึ่ง

รูปแสดงมุมแนวตั้ง

เห็นได้ชัดว่าเส้นตัดกันสองเส้นประกอบกันเป็นมุมที่อยู่ติดกันสี่คู่และมุมแนวตั้งสองคู่

การเปรียบเทียบมุม

ในย่อหน้าของบทความนี้ เราจะพูดถึงคำจำกัดความของมุมที่เท่ากันและไม่เท่ากัน และในกรณีของมุมที่ไม่เท่ากัน เราจะอธิบายว่ามุมใดถือว่าใหญ่และมุมไหนเล็กกว่า

จำได้ว่ารูปเรขาคณิตสองรูปเรียกว่าเท่ากันถ้าสามารถซ้อนทับได้

ให้เราได้รับสองมุม ให้เราให้เหตุผลที่จะช่วยให้เราได้คำตอบสำหรับคำถาม: "สองมุมนี้เท่ากันหรือไม่"?

แน่นอน เราสามารถจับคู่จุดยอดของสองมุมได้เสมอ เช่นเดียวกับด้านหนึ่งของมุมแรกกับด้านใดๆ ของมุมที่สอง มารวมด้านของมุมแรกกับด้านนั้นของมุมที่สองเข้าด้วยกัน เพื่อให้ด้านที่เหลือของมุมอยู่ด้านเดียวกับเส้นตรงที่ด้านที่รวมกันของมุมอยู่ แล้วถ้าอีกสองด้านของมุมชิดกันก็จะเรียกว่ามุม เท่ากับ.

ถ้าอีกสองด้านของมุมไม่ตรงกัน จะเรียกว่ามุม ไม่เท่ากัน, และ เล็กกว่ามุมถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของอีกมุมหนึ่ง ( ใหญ่คือมุมที่มีอีกมุมหนึ่งสมบูรณ์)

แน่นอนว่ามุมตรงทั้งสองมุมเท่ากัน เป็นที่ชัดเจนว่ามุมที่พัฒนาแล้วนั้นมากกว่ามุมที่ไม่พัฒนาใดๆ

การวัดมุม

การวัดมุมขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบมุมที่วัดได้กับมุมที่ใช้เป็นหน่วยวัด ขั้นตอนการวัดมุมมีลักษณะดังนี้: โดยเริ่มจากด้านหนึ่งของมุมที่วัดได้ พื้นที่ด้านในของมุมจะถูกเติมด้วยมุมเดียวตามลำดับ โดยวางซ้อนกันอย่างแน่นหนา ในเวลาเดียวกัน จะจำจำนวนของมุมที่ซ้อนกัน ซึ่งให้การวัดมุมที่วัดได้

อันที่จริง มุมใดๆ สามารถใช้เป็นหน่วยวัดสำหรับมุมได้ อย่างไรก็ตาม มีหน่วยวัดมุมที่เกี่ยวข้องกับสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ ที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปจำนวนมาก ซึ่งได้รับชื่อพิเศษ

หนึ่งในหน่วยวัดมุมคือ ระดับ.

คำนิยาม.

หนึ่งองศาเป็นมุมเท่ากับหนึ่งร้อยแปดสิบของมุมที่ยืดให้ตรง

ดีกรีแสดงด้วยสัญลักษณ์ "" ดังนั้น หนึ่งดีกรีจึงแสดงเป็น

ดังนั้น ในมุมที่พัฒนาแล้ว เราสามารถใส่ 180 มุมเข้าไปในหนึ่งองศาได้ จะมีลักษณะเป็นวงกลมครึ่งวงกลมที่หั่นเป็นชิ้นๆละ 180 ชิ้นเท่าๆ กัน สำคัญมาก: "ชิ้นส่วนของพาย" ชิดกันแน่น (นั่นคือด้านข้างของมุมอยู่ในแนวเดียวกัน) โดยให้ด้านของมุมแรกอยู่ในแนวเดียวกับด้านหนึ่งของมุมที่แบนราบและด้านข้างของมุมยูนิตสุดท้าย ประจวบกับอีกด้านของมุมที่แบนราบ

เมื่อทำการวัดมุม จะพบว่าองศา (หรือหน่วยวัดมุมอื่นๆ) พอดีกับมุมที่วัดได้กี่ครั้งจนกว่าพื้นที่ด้านในของมุมที่วัดได้จะถูกปกคลุมจนหมด ดังที่เราได้เห็นแล้ว ในมุมที่พัฒนาแล้ว องศานั้นพอดี 180 เท่าพอดี ด้านล่างนี้คือตัวอย่างมุมที่มุมหนึ่งองศาพอดีกัน 30 เท่า (มุมดังกล่าวเป็นมุมที่หกของมุมตรง) และ 90 เท่าพอดีเป๊ะ (ครึ่งมุมตรง)

ในการวัดมุมน้อยกว่าหนึ่งองศา (หรือหน่วยวัดมุมอื่น) และในกรณีที่ไม่สามารถวัดมุมได้ด้วยจำนวนเต็มขององศา (หน่วยวัดที่ถ่าย) คุณต้องใช้ส่วนขององศา (ส่วนของที่ถ่าย) หน่วยวัด). บางส่วนของปริญญาได้รับชื่อพิเศษ ที่พบมากที่สุดคือสิ่งที่เรียกว่านาทีและวินาที

คำนิยาม.

นาทีเป็นหนึ่งในหกสิบของปริญญา

คำนิยาม.

ที่สองคือหนึ่งในหกสิบของนาที

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีหกสิบวินาทีในหนึ่งนาที และหกสิบนาที (3600 วินาที) ในระดับหนึ่ง สัญลักษณ์ "" ใช้เพื่อแสดงถึงนาที และสัญลักษณ์ "" ใช้เพื่อแสดงถึงวินาที (อย่าสับสนกับเครื่องหมายของอนุพันธ์และอนุพันธ์อันดับสอง) จากนั้น ด้วยคำจำกัดความและสัญกรณ์ที่แนะนำ เรามี และมุมที่ 17 องศา 3 นาที 59 วินาทีพอดี สามารถแสดงเป็น

คำนิยาม.

องศาวัดมุมจำนวนบวกเรียกว่าซึ่งแสดงจำนวนครั้งที่องศาและชิ้นส่วนพอดีกับมุมที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น การวัดองศาของมุมที่ยืดให้ตรงคือหนึ่งร้อยแปดสิบ และการวัดองศาของมุมคือ .

ในการวัดมุมมีเครื่องมือวัดพิเศษซึ่งมีชื่อเสียงมากที่สุดคือไม้โปรแทรกเตอร์

หากทราบทั้งการกำหนดมุม (เช่น) และการวัดองศา (ให้ 110) ให้ใช้สัญกรณ์สั้น ๆ ของแบบฟอร์ม แล้วพูดว่า: "มุม AOB คือหนึ่งร้อยสิบองศา"

จากคำจำกัดความของมุมและการวัดองศาของมุม ตามเรขาคณิต การวัดมุมเป็นองศาจะแสดงด้วยจำนวนจริงจากช่วง (0, 180] (ในตรีโกณมิติ มุมที่มีการวัดองศาตามอำเภอใจ พิจารณาแล้วเรียกว่า) มุมเก้าสิบองศามีชื่อพิเศษเรียกว่า มุมฉาก. มุมที่น้อยกว่า 90 องศาเรียกว่า มุมแหลม. มุมที่มากกว่าเก้าสิบองศาเรียกว่า มุมป้าน. ดังนั้น การวัดมุมแหลมในหน่วยองศาจึงแสดงด้วยตัวเลขจากช่วง (0, 90) การวัดมุมป้าน - ด้วยตัวเลขจากช่วง (90, 180) มุมฉากเท่ากับเก้าสิบ องศา เราให้ภาพประกอบของมุมแหลม มุมป้าน และ มุมฉาก.

จากหลักการวัดมุม ตามมาด้วยการวัดดีกรีของมุมเท่ากัน การวัดดีกรีของมุมที่ใหญ่กว่าจะมากกว่าการวัดองศาของมุมที่เล็กกว่า และการวัดองศาของมุมที่ประกอบด้วยหลายมุม เท่ากับผลรวมของการวัดองศาของมุมส่วนประกอบ รูปด้านล่างแสดงมุม AOB ซึ่งประกอบขึ้นจากมุม AOC, COD และ DOB ในขณะที่

ดังนั้น, ผลรวมของมุมประชิดคือหนึ่งร้อยแปดสิบองศาเพราะมันเกิดเป็นมุมตรง

สืบเนื่องมาจากคำกล่าวที่ว่า อันที่จริง ถ้ามุม AOB และ COD เป็นแนวตั้ง มุม AOB และ BOC จะชิดกัน และมุม COD และ BOC ก็อยู่ติดกันด้วย ดังนั้น ความเท่าเทียมกันและถูกต้อง ซึ่งความเท่าเทียมกันจะตามมา

นอกจากดีกรีแล้ว เรียกว่าหน่วยที่สะดวกสำหรับการวัดมุม เรเดียน. การวัดเรเดียนใช้กันอย่างแพร่หลายในตรีโกณมิติ มากำหนดเรเดียนกัน

คำนิยาม.

มุมเรเดียนหนึ่งมุม- นี้ มุมกลางซึ่งสอดคล้องกับความยาวของส่วนโค้ง เท่ากับความยาวของรัศมีของวงกลมที่สอดคล้องกัน

ให้ภาพประกอบกราฟิกของมุมหนึ่งเรเดียน ในรูปวาด ความยาวของรัศมี OA (เช่นเดียวกับรัศมี OB ) เท่ากับความยาวของส่วนโค้ง AB ดังนั้น ตามคำนิยาม มุม AOB จะเท่ากับหนึ่งเรเดียน

ตัวย่อ "rad" ใช้เพื่อแสดงถึงเรเดียน ตัวอย่างเช่น การเขียน 5 rad หมายถึง 5 เรเดียน อย่างไรก็ตาม ในการเขียน มักละเว้นการกำหนด "rad" ตัวอย่างเช่น เมื่อเขียนว่ามุมเท่ากับ pi ก็หมายความว่า pi rad

ควรสังเกตแยกต่างหากว่าค่าของมุมที่แสดงเป็นเรเดียนไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของรัศมีของวงกลม นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าร่างที่ล้อมรอบด้วยมุมที่กำหนดและส่วนโค้งของวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดยอดของมุมที่กำหนดนั้นมีความคล้ายคลึงกัน

การวัดมุมในหน่วยเรเดียนสามารถทำได้ในลักษณะเดียวกับการวัดมุมในหน่วยองศา: หาว่ามุมของเรเดียนหนึ่งอัน (และชิ้นส่วน) พอดีกับมุมที่กำหนดกี่ครั้ง และคุณสามารถคำนวณความยาวของส่วนโค้งที่สอดคล้องกัน มุมกลางแล้วหารด้วยความยาวของรัศมี

สำหรับความต้องการในการปฏิบัติ การรู้ว่าการวัดระดับและเรเดียนเกี่ยวข้องกันอย่างไร เนื่องจากต้องมีการดำเนินการบางส่วน ในบทความนี้ ความสัมพันธ์ถูกสร้างขึ้นระหว่างการวัดองศาและเรเดียนของมุม และให้ตัวอย่างของการแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน

การกำหนดมุมในภาพวาด

ในภาพวาด เพื่อความสะดวกและชัดเจน มุมสามารถทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้ง ซึ่งมักจะวาดในพื้นที่ด้านในของมุมจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง มุมเท่ากันทำเครื่องหมายด้วยจำนวนโค้งเท่ากันมุมไม่เท่ากัน - ปริมาณที่แตกต่างกันโค้ง มุมฉากในภาพวาดแสดงด้วยสัญลักษณ์ของแบบฟอร์ม "" ซึ่งแสดงในพื้นที่ด้านในของมุมฉากจากด้านหนึ่งของมุมหนึ่งไปอีกมุมหนึ่ง

หากคุณต้องทำเครื่องหมายมุมต่าง ๆ มากมายในภาพวาด (โดยปกติมากกว่าสาม) จากนั้นเมื่อกำหนดมุมนอกเหนือจากส่วนโค้งธรรมดาจะอนุญาตให้ใช้ส่วนโค้งประเภทพิเศษบางประเภท ตัวอย่างเช่น คุณสามารถพรรณนาส่วนโค้งที่ขรุขระหรือสิ่งที่คล้ายกันได้

ควรสังเกตว่าคุณไม่ควรสับสนกับการกำหนดมุมในภาพวาดและอย่าทำให้ภาพวาดยุ่งเหยิง เราแนะนำให้ทำเครื่องหมายเฉพาะมุมที่จำเป็นในกระบวนการแก้ไขหรือพิสูจน์

บรรณานุกรม.

• Atanasyan L.S. , Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. , Poznyak E.G. , Yudina I.I. เรขาคณิต. ป.7-9 : หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา
• Atanasyan L.S. , Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. , Kiseleva L.S. , Poznyak E.G. เรขาคณิต. หนังสือเรียนสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10-11
• Pogorelov A.V. เรขาคณิต หนังสือเรียน ป.7-11 ของสถานศึกษา

เริ่มต้นด้วยการกำหนดว่ามุมคืออะไร ประการแรก มันคือ ประการที่สอง มันเกิดจากรังสีสองเส้น ซึ่งเรียกว่าด้านของมุม ประการที่สาม อันหลังออกมาจากจุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าปลายสุดของมุม จากสัญญาณเหล่านี้ เราสามารถให้คำจำกัดความได้: มุมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้น (ด้าน) ที่โผล่ออกมาจากจุดหนึ่ง (จุดยอด)

จำแนกตามองศา ตามตำแหน่งที่สัมพันธ์กัน และสัมพันธ์กับวงกลม เริ่มจากประเภทของมุมตามขนาดกันก่อน

มีหลายพันธุ์ มาดูแต่ละประเภทกันดีกว่า

มุมมีสี่ประเภทหลักเท่านั้น - มุมขวา มุมป้าน มุมแหลม และมุมที่พัฒนาแล้ว

ตรง

ดูเหมือนว่านี้:

องศาของมันคือ 90 o เสมอหรืออีกนัยหนึ่งมุมฉากคือมุม 90 องศา เฉพาะสี่เหลี่ยมเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมเท่านั้นที่มี

ทื่อ

ดูเหมือนว่านี้:

การวัดองศาจะมากกว่า 90 องศาเสมอ แต่น้อยกว่า 180 องศา มันสามารถเกิดขึ้นได้ในรูปสี่เหลี่ยมเช่นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพลการในรูปหลายเหลี่ยม

เผ็ด

ดูเหมือนว่านี้:

การวัดองศาของมุมแหลมจะน้อยกว่า 90° เสมอ มันเกิดขึ้นในรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด ยกเว้นสี่เหลี่ยมจตุรัสและสี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจ

ปรับใช้

มุมขยายมีลักษณะดังนี้:

มันไม่ได้เกิดขึ้นในรูปหลายเหลี่ยม แต่ก็มีความสำคัญไม่น้อยไปกว่ารูปอื่นๆ ทั้งหมด มุมตรงคือรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งวัดองศาได้ 180º เสมอ คุณสามารถสร้างมันขึ้นมาได้โดยการวาดรังสีหนึ่งตัวหรือมากกว่าจากจุดยอดของมันไปในทิศทางใดก็ได้

มีมุมทุติยภูมิอีกหลายประเภท พวกเขาไม่ได้รับการศึกษาในโรงเรียน แต่อย่างน้อยก็จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพวกเขา มุมรองมีเพียงห้าประเภทเท่านั้น:

1. ศูนย์

ดูเหมือนว่านี้:

ชื่อของมุมนั้นพูดถึงขนาดของมันแล้ว พื้นที่ภายในเท่ากับ 0 o และด้านข้างนอนทับกันดังแสดงในภาพ

2. เฉียง

เฉียงสามารถตรงและป้านและแหลมและมุมที่พัฒนา เงื่อนไขหลักคือไม่ควรเท่ากับ 0 o, 90 o, 180 o, 270 o

3. นูน

นูนเป็นศูนย์, ขวา, ป้าน, แหลมและมุมที่พัฒนาแล้ว ตามที่คุณเข้าใจแล้ว การวัดองศาของมุมนูนคือตั้งแต่ 0 o ถึง 180 o

4. ไม่นูน

ไม่นูนคือมุมที่มีการวัดองศาตั้งแต่ 181 ถึง 359 o

5. อิ่ม

มุมสมบูรณ์คือ 360 องศา

นี่คือมุมทุกประเภทตามขนาด ตอนนี้ให้พิจารณาประเภทของพวกเขาตามตำแหน่งบนเครื่องบินที่สัมพันธ์กัน

1. เพิ่มเติม

นี่คือมุมแหลมสองมุมที่สร้างเส้นตรงเส้นเดียว นั่นคือ ผลรวมของพวกเขาคือ 90 o

2. ที่เกี่ยวข้อง

มุมที่อยู่ติดกันจะเกิดขึ้นหากรังสีถูกลากไปในทิศทางใดๆ ผ่านการเคลื่อนผ่านด้านบนให้แม่นยำยิ่งขึ้น ผลรวมของพวกเขาคือ 180 o

3. แนวตั้ง

มุมแนวตั้งเกิดขึ้นเมื่อเส้นสองเส้นตัดกัน การวัดระดับของพวกเขาเท่ากัน

ทีนี้มาดูประเภทของมุมที่สัมพันธ์กับวงกลมกัน มีเพียงสองคนเท่านั้น: กลางและจารึก

1. เซ็นทรัล

มุมศูนย์กลางคือมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลม การวัดดีกรีเท่ากับการวัดดีกรีของส่วนโค้งที่มีขนาดเล็กลงโดยด้านข้าง

2. จารึก

มุมที่จารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับมัน การวัดดีกรีเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่วางอยู่

มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับมุม ตอนนี้คุณรู้แล้วว่านอกเหนือจากที่มีชื่อเสียงที่สุด - คม, ป้าน, ตรงและปรับใช้ - ในเรขาคณิตแล้วยังมีประเภทอื่นอีกมากมาย

มุมเป็นรูปทรงเรขาคณิตหลัก ซึ่งเราจะวิเคราะห์ตลอดทั้งหัวข้อ คำจำกัดความ วิธีการกำหนด สัญกรณ์ และการวัดมุม มาวิเคราะห์หลักการเลือกมุมในภาพวาดกัน ทฤษฎีทั้งหมดมีภาพประกอบและมี จำนวนมากของภาพวาดภาพ

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

ฉีด- ตัวเลขสำคัญอย่างง่ายในเรขาคณิต มุมขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของรังสีโดยตรง ซึ่งประกอบด้วยแนวคิดพื้นฐานของจุด เส้น และระนาบ เพื่อการศึกษาอย่างละเอียดคุณต้องเจาะลึกในหัวข้อ เส้นตรงบนเครื่องบิน - ข้อมูลที่จำเป็นและ เครื่องบิน - ข้อมูลที่จำเป็น.

แนวคิดของมุมเริ่มต้นด้วยแนวคิดของจุด ระนาบ และเส้นตรงที่แสดงบนระนาบนี้

คำจำกัดความ 2

ให้สาย a บนเครื่องบิน ระบุจุด O บนมัน เส้นแบ่งตามจุดเป็นสองส่วน แต่ละส่วนมีชื่อ เรย์และจุด O คือ ลำแสงเริ่มต้น.

กล่าวอีกนัยหนึ่งคานหรือ ครึ่งบรรทัด -มันเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่ประกอบด้วยจุดของเส้นที่กำหนดซึ่งอยู่ด้านเดียวกันที่สัมพันธ์กับจุดเริ่มต้นนั่นคือจุด O

การกำหนดลำแสงได้รับอนุญาตในสองรูปแบบ: ตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัวหรือตัวพิมพ์ใหญ่สองตัวของตัวอักษรละติน เมื่อเขียนแทนด้วยตัวอักษรสองตัว ลำแสงจะมีชื่อที่ประกอบด้วยตัวอักษรสองตัว มาดูภาพวาดกันดีกว่า

มาดูแนวคิดของการกำหนดมุมกัน

คำจำกัดความ 3

ฉีด- นี่คือร่างที่อยู่ในระนาบที่กำหนดซึ่งเกิดจากรังสีสองดวงที่ไม่ตรงกันซึ่งมีต้นกำเนิดร่วมกัน. มุมด้านข้างเป็นคาน จุดยอด- การเริ่มต้นร่วมกันของฝ่ายต่างๆ

มีกรณีที่ด้านข้างของมุมสามารถทำหน้าที่เป็นเส้นตรงได้

คำจำกัดความ 4

เมื่อทั้งสองด้านของมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หรือด้านของมุมนั้นทำหน้าที่เป็นเส้นตรงเพิ่มเติมอีกครึ่งของเส้นตรงเส้นเดียว มุมนั้นจึงเรียกว่า ปรับใช้.

รูปด้านล่างแสดงมุมแบน

จุดบนเส้นตรงคือจุดยอดของมุม ส่วนใหญ่มักเขียนแทนด้วยจุด O

มุมในวิชาคณิตศาสตร์แสดงด้วยเครื่องหมาย "∠" เมื่อด้านข้างของมุมแสดงด้วยภาษาละตินตัวเล็ก ๆ สำหรับคำจำกัดความที่ถูกต้องของมุม ตัวอักษรจะถูกเขียนเรียงกันเป็นแถวตามลำดับ หากมีสองด้านแทน k และ h มุมจะแสดงเป็น ∠ k h หรือ ∠ h k

เมื่อมีการกำหนดด้วยอักษรตัวใหญ่ ตามลำดับ ด้านข้างของมุมจะมีชื่อ O A และ O B ในกรณีนี้ มุมมีชื่อตัวอักษรละตินสามตัวเขียนเป็นแถวตรงกลางด้วยจุดยอด - ∠ A O B และ ∠ B O A . มีการกำหนดเป็นตัวเลขเมื่อมุมไม่มีชื่อหรือตัวอักษร ด้านล่างเป็นภาพที่ วิธีทางที่แตกต่างมุมถูกทำเครื่องหมาย

มุมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน ถ้ามุมไม่พัฒนา ส่วนหนึ่งของระนาบจะมีชื่อ บริเวณมุมด้านใน, อื่น ๆ - บริเวณมุมด้านนอก. ด้านล่างเป็นภาพที่อธิบายว่าส่วนใดของระนาบเป็นภายนอกและภายใน

เมื่อหารด้วยมุมตรงบนระนาบ ชิ้นส่วนใดๆ ของชิ้นส่วนนั้นถือเป็นส่วนในของมุมตรง

พื้นที่ด้านในของมุมเป็นองค์ประกอบที่ใช้สำหรับคำจำกัดความที่สองของมุม

คำจำกัดความ 5

มุมรูปทรงเรขาคณิตเรียกว่าประกอบด้วยรังสีที่ไม่ตรงกันสองเส้นซึ่งมีจุดกำเนิดร่วมกันและพื้นที่ภายในที่สอดคล้องกันของมุม

คำจำกัดความนี้เข้มงวดกว่าคำจำกัดความก่อนหน้านี้ เนื่องจากมีเงื่อนไขมากกว่า ไม่แนะนำให้พิจารณาคำจำกัดความทั้งสองแบบแยกกัน เนื่องจากมุมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เปลี่ยนรูปโดยใช้รังสีสองเส้นที่ออกมาจากจุดเดียว เมื่อมีความจำเป็นต้องทำการกระทำด้วยมุม คำจำกัดความหมายถึงการมีอยู่ของรังสีสองเส้นที่มีจุดกำเนิดร่วมและบริเวณภายใน

คำจำกัดความ 6

ทั้งสองมุมเรียกว่า ที่เกี่ยวข้องหากมีด้านร่วม และอีก 2 ด้านเป็นครึ่งเสน่หาประกอบกันหรือสร้างมุมตรง

รูปแสดงให้เห็นว่ามุมที่อยู่ติดกันเสริมซึ่งกันและกันเนื่องจากเป็นความต่อเนื่องกัน

คำจำกัดความ 7

ทั้งสองมุมเรียกว่า แนวตั้ง, ถ้าด้านหนึ่งเป็นครึ่งบรรทัดเสริมของอีกด้านหนึ่ง หรือเป็นส่วนต่อขยายของด้านอื่นๆ รูปด้านล่างแสดงภาพของมุมแนวตั้ง

เมื่อข้ามเส้นจะได้มุมประชิด 4 คู่และมุมแนวตั้ง 2 คู่ ด้านล่างแสดงในภาพ

บทความแสดงคำจำกัดความของมุมเท่ากันและไม่เท่ากัน เราจะวิเคราะห์ว่ามุมใดถือว่าใหญ่ อันไหนเล็ก และคุณสมบัติอื่นๆ ของมุม ตัวเลขสองร่างจะถือว่าเท่ากันหากเมื่อซ้อนทับกันโดยสมบูรณ์ คุณสมบัติเดียวกันนี้ใช้กับมุมเปรียบเทียบ

ให้สองมุม จำเป็นต้องได้ข้อสรุปว่ามุมเหล่านี้เท่ากันหรือไม่

เป็นที่ทราบกันว่าจุดยอดของมุมทั้งสองและด้านของมุมแรกทับซ้อนกับอีกด้านหนึ่งของมุมที่สอง กล่าวคือ ในกรณีความบังเอิญโดยสมบูรณ์ เมื่อวางมุมทับกัน ด้านของมุมที่กำหนดจะชิดกันสนิท คือ มุม เท่ากับ.

อาจเป็นไปได้ว่าเมื่อซ้อนทับด้านอาจไม่รวมกันแล้วมุม ไม่เท่ากัน เล็กลงซึ่งประกอบด้วยอีกอันหนึ่ง และ มากกว่ารวมมุมอื่น ๆ ไว้อย่างสมบูรณ์ ด้านล่างคือมุมที่ไม่เท่ากันซึ่งไม่เรียงชิดกันเมื่อซ้อนทับ

มุมที่พัฒนาแล้วมีค่าเท่ากัน

การวัดมุมเริ่มต้นด้วยการวัดด้านข้างของมุมที่วัดได้และพื้นที่ด้านใน ซึ่งเติมมุมหน่วยด้วยมุมที่วัดได้ จำเป็นต้องนับจำนวนมุมที่ซ้อนกันซึ่งจะกำหนดการวัดมุมที่วัดไว้ล่วงหน้า

หน่วยมุมสามารถแสดงเป็นมุมที่วัดได้ มีหน่วยวัดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปที่ใช้ในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี พวกเขาเชี่ยวชาญในชื่ออื่นๆ

แนวคิดที่ใช้บ่อยที่สุด ระดับ.

คำจำกัดความ 8

หนึ่งองศาเรียกว่ามุมที่มีมุมตรงหนึ่งร้อยแปดสิบ

สัญกรณ์มาตรฐานสำหรับองศาคือ "°" จากนั้น 1 องศาคือ 1° ดังนั้นมุมตรงจึงประกอบด้วยมุมดังกล่าว 180 มุมซึ่งประกอบด้วยหนึ่งองศา มุมที่มีอยู่ทั้งหมดจะวางซ้อนกันอย่างแน่นหนาและด้านข้างของมุมก่อนหน้าจะจัดชิดกับมุมถัดไป

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าจำนวนองศาในหนึ่งมุมเท่ากับการวัดมุมเท่ากัน มุมที่พัฒนาแล้วมีมุมซ้อนกัน 180 มุมในองค์ประกอบ รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างที่วางมุม 30 ครั้ง นั่นคือ หนึ่งในหกของการขยาย และ 90 เท่า นั่นคือครึ่งหนึ่ง

นาทีและวินาทีใช้เพื่อกำหนดการวัดมุมอย่างแม่นยำ ใช้เมื่อค่ามุมไม่ใช่การกำหนดองศาจำนวนเต็ม ส่วนต่าง ๆ ของปริญญาดังกล่าวทำให้คุณสามารถคำนวณได้แม่นยำยิ่งขึ้น

คำจำกัดความ 9

นาทีเรียกว่าหนึ่งในหกสิบองศา

คำจำกัดความ 10

ที่สองเรียกหนึ่งในหกสิบนาที

องศาประกอบด้วย 3600 วินาที นาทีหมายถึง """ และวินาที """" การกำหนดเกิดขึ้น:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

และเครื่องหมายสำหรับมุม 17 องศา 3 นาที 59 วินาที คือ 17° 3 "59""

คำจำกัดความ 11

ยกตัวอย่างสัญกรณ์การวัดองศาของมุมเท่ากับ 17 ° 3 "59" " รายการมีรูปแบบอื่น 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600

ในการวัดมุมได้อย่างแม่นยำ ให้ใช้สิ่งนี้ เครื่องมือวัดเหมือนไม้โปรแทรกเตอร์ เมื่อกำหนดมุม ∠ A O B และการวัดองศาที่ 110 องศา จะใช้สัญลักษณ์ที่สะดวกกว่า ∠ A O B \u003d 110 ° ซึ่งอ่านว่า "มุม A O B เท่ากับ 110 องศา"

ในเรขาคณิต ใช้การวัดมุมจากช่วงเวลา (0 , 180 ] และในตรีโกณมิติ จะเรียกการวัดองศาตามอำเภอใจ มุมเลี้ยวค่าของมุมจะแสดงเป็นจำนวนจริงเสมอ มุมฉากเป็นมุมที่มี 90 องศา มุมแหลม เป็นมุมที่น้อยกว่า 90 องศา และ ทื่อ- มากกว่า.

วัดมุมแหลมในช่วงเวลา (0, 90) และมุมป้าน - (90, 180) มุมสามประเภทแสดงไว้อย่างชัดเจนด้านล่าง

การวัดองศาใดๆ ของมุมใดๆ มีค่าเท่ากัน มุมที่ใหญ่กว่าตามลำดับมีการวัดระดับที่ใหญ่กว่ามุมที่เล็กกว่า การวัดองศาของมุมเดียวคือผลรวมของการวัดองศาที่มีอยู่ทั้งหมดของมุมภายใน รูปด้านล่างแสดงมุม AOB ซึ่งประกอบด้วยมุม AOC, COD และ DOB โดยรายละเอียดจะมีลักษณะดังนี้: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °

จากนี้สรุปได้ว่า ผลรวมทั้งหมด มุมประชิด 180 องศาเพราะพวกมันทั้งหมดประกอบเป็นมุมที่ขยายออก

จากนี้ไปว่า มุมแนวตั้งเท่ากัน. หากเราพิจารณาสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง เราจะพบว่ามุม A O B และ C O D เป็นแนวตั้ง (ในรูปวาด) จากนั้นให้ถือว่าคู่ของมุม A O B และ B O C, C O D และ B O C อยู่ติดกัน ในกรณีเช่นนี้ ความเท่าเทียมกัน ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° ร่วมกับ ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° ถือเป็นความจริงที่ไม่ซ้ำแบบใคร ดังนั้นเราจึงมีว่า ∠ A O B = ∠ C O D ด้านล่างนี้คือตัวอย่างรูปภาพและการกำหนดจุดจับแนวตั้ง

นอกจากองศา นาที และวินาทีแล้ว ยังใช้หน่วยวัดอื่นอีกด้วย มันถูกเรียกว่า เรเดียน. ส่วนใหญ่มักจะพบในตรีโกณมิติเมื่อกำหนดมุมของรูปหลายเหลี่ยม สิ่งที่เรียกว่าเรเดียน

คำจำกัดความ 12

มุมเรเดียนหนึ่งมุมเรียกว่า มุมศูนย์กลาง ซึ่งมีรัศมีของวงกลมเท่ากับความยาวของส่วนโค้ง

ในรูป เรเดียนจะแสดงเป็นวงกลม โดยมีจุดศูนย์กลางระบุด้วยจุด โดยจุดสองจุดบนวงกลมเชื่อมต่อกันและแปลงเป็นรัศมี O A และ O B ตามคำจำกัดความ สามเหลี่ยม A O B นี้จะมีด้านเท่ากันหมด ซึ่งหมายความว่า ว่าความยาวของส่วนโค้ง AB เท่ากับความยาวของรัศมี O B และ Oh A

การกำหนดมุมจะใช้เป็น "rad" นั่นคือ รายการใน 5 เรเดียน ย่อมาจาก 5 rad บางครั้งคุณสามารถหาชื่อที่มีชื่อพายได้ เรเดียนไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของวงกลมที่กำหนด เนื่องจากตัวเลขดังกล่าวมีข้อ จำกัด บางประการด้วยความช่วยเหลือของมุมและส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุมที่กำหนด ถือว่าคล้ายกัน

เรเดียนมีความหมายเดียวกับองศา แต่ความแตกต่างคือขนาดของมัน ในการพิจารณาสิ่งนี้ จำเป็นต้องแบ่งความยาวที่คำนวณได้ของส่วนโค้งของมุมศูนย์กลางด้วยความยาวของรัศมี

ในทางปฏิบัติพวกเขาใช้ แปลงองศาเป็นเรเดียนและเรเดียนเป็นองศาเพื่อการแก้ปัญหาที่ง่ายขึ้น บทความที่ระบุมีข้อมูลเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างหน่วยวัดดีกรีกับเรเดียน ซึ่งคุณสามารถศึกษารายละเอียดการแปลจากดีกรีเป็นเรเดียน และในทางกลับกันได้

เพื่อการถ่ายทอดภาพส่วนโค้งมุมและภาพวาดที่สะดวกและสะดวก เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะพรรณนาและทำเครื่องหมายมุม โค้ง หรือชื่อใดมุมหนึ่งอย่างถูกต้อง มุมที่เท่ากันมีการกำหนดในรูปแบบของส่วนโค้งจำนวนเท่ากันและไม่เท่ากันในรูปแบบของมุมที่ต่างกัน ภาพวาดแสดงการกำหนดมุมที่ถูกต้องคมชัดเท่ากันและไม่เท่ากัน

เมื่อต้องการทำเครื่องหมายมากกว่า 3 มุม จะใช้การกำหนดส่วนโค้งพิเศษ เช่น หยักหรือหยัก มันไม่สำคัญขนาดนั้น รูปด้านล่างแสดงการกำหนด

การกำหนดมุมควรเรียบง่ายเพื่อไม่ให้รบกวนค่าอื่นๆ เมื่อแก้ปัญหา ขอแนะนำให้เลือกเฉพาะมุมที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา เพื่อไม่ให้เกะกะทั้งภาพวาด สิ่งนี้จะไม่รบกวนวิธีแก้ปัญหาและการพิสูจน์ และยังทำให้ภาพวาดดูสวยงามอีกด้วย

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter