ป้ายกำกับ: อนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติ ชุดตัวเลขของความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น ชุดที่มีตรีโกณมิติผกผัน
นิยามอนุกรมตรีโกณมิติ ฟังก์ชัน /(x) ที่กำหนดไว้ในชุด D ที่ไม่มีขอบเขต เรียกว่า เป็นระยะ ถ้ามีตัวเลข T ↦ 0 ซึ่งเงื่อนไขจะเป็นที่พอใจสำหรับ x.€ D แต่ละตัว จำนวนที่น้อยที่สุดของจำนวนเหล่านี้ T เรียกว่าคาบของฟังก์ชัน f(x) ตัวอย่างที่ 1 ฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลานั้นเป็นคาบ เนื่องจากมีตัวเลข T = 2* f O เพื่อให้เงื่อนไขเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับ x ทั้งหมด ดังนั้น ฟังก์ชัน sin x มีคาบ T = 2x เช่นเดียวกับฟังก์ชันตัวอย่างที่ 2 ฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในชุด D ของตัวเลขเป็นระยะ เนื่องจากมีตัวเลข T f 0 คือ T = ดังนั้นสำหรับ x 6 D เรามีคำจำกัดความ อนุกรมฟังก์ชันของรูปแบบ ao FOURIER SERIES ชุดตรีโกณมิติ มุมฉากของระบบตรีโกณมิติ อนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติ เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการขยายฟังก์ชันไปเป็นอนุกรมฟูริเยร์เรียกว่า อนุกรมตรีโกณมิติ และค่าคงที่ a0, an, bn (n = 1, 2 , ...) เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมตรีโกณมิติ (1 ) ผลรวมบางส่วน Sn(x) ของอนุกรมตรีโกณมิติ (1) คือผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันจากระบบฟังก์ชันที่เรียกว่าระบบตรีโกณมิติ เนื่องจากสมาชิกของอนุกรมนี้เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ 2n- ดังนั้นในกรณีของการบรรจบกันของอนุกรม (I) ผลรวมของ S(x) จะเป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T = 2m: นิยาม . การขยายฟังก์ชันคาบ f(x) ด้วยคาบ T = 2n เป็นอนุกรมตรีโกณมิติ (1) หมายถึงการหาอนุกรมตรีโกณมิติมาบรรจบกันซึ่งผลรวมเท่ากับฟังก์ชัน /(x) . ความเป็นมุมฉากของระบบตรีโกณมิติ ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ต่อเนื่องบนเซกเมนต์ [a, 6] จะเรียกว่ามุมฉากในส่วนนี้หากตรงตามเงื่อนไข ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันจะเป็นมุมฉากบนเซ็กเมนต์ [-1,1] ตั้งแต่นิยาม ระบบจำกัดหรืออนันต์ของฟังก์ชันที่รวมเข้ากับช่วง [a, b] เรียกว่าระบบมุมฉากบนช่วง [a, 6) ถ้าสำหรับตัวเลขใดๆ เช่นนั้น โดยทั่วไป p Ф О เรามี การใช้สูตรตรีโกณมิติที่รู้จักกันดี สำหรับ m และ n ธรรมชาติใด ๆ m Ф n เราพบว่า: ในที่สุดโดยอาศัยสูตรสำหรับประเภทจำนวนเต็มใด ๆ เราได้รับอนุกรมตรีโกณมิติฟูริเยร์ 2. ปล่อยให้ความเท่าเทียมกันคงอยู่สำหรับค่าทั้งหมดของ x และอนุกรม ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา [-zr, x] จากนั้น สูตรก็ใช้ได้ การบรรจบกันแบบสม่ำเสมอของอนุกรม (1) หมายถึงความต่อเนื่องและด้วยเหตุนี้การผสานรวมของฟังก์ชัน f(x) ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน (2) จึงสมเหตุสมผล นอกจากนี้ ซีรีส์ (1) สามารถรวมคำศัพท์ตามเทอมได้ เรามีที่มาและตามสูตรแรก (2) สำหรับ n = 0 ตอนนี้เราคูณทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน (1) ด้วยฟังก์ชัน cos mi โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติโดยพลการ: อนุกรม (3) เช่นเดียวกับอนุกรม (1 ) มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ ดังนั้นจึงสามารถรวมพจน์ได้ทีละเทอมอินทิกรัลทั้งหมดทางด้านขวา ยกเว้น 1 ซึ่งได้มาจาก n = m มีค่าเท่ากับศูนย์เนื่องจากความเป็นมุมฉากของระบบตรีโกณมิติ ดังนั้น ในทำนองเดียวกัน การคูณความเสมอภาคทั้งสองข้าง (1) ด้วย sinmx และการรวมจาก -r ถึง m เราจะได้ ไม่ว่ามันสามารถแสดงเป็นผลรวมของอนุกรมตรีโกณมิติที่บรรจบกันได้หรือไม่นั้นไม่ทราบล่วงหน้า อย่างไรก็ตาม สามารถใช้สูตร (2) เพื่อคำนวณค่าคงที่ a และ bn คำนิยาม. อนุกรมตรีโกณมิติซึ่งสัมประสิทธิ์ oq, an, bn ถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน f(x) โดยสูตร FOURIER SERIES อนุกรมตรีโกณมิติ มุมฉากของระบบตรีโกณมิติ อนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติ เงื่อนไขเพียงพอสำหรับการขยายตัวของฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์เรียกว่าฟูริเยร์ตรีโกณมิติ อนุกรมของฟังก์ชัน f(x) และสัมประสิทธิ์ bnt ที่กำหนดโดยสูตรเหล่านี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชัน f(x) แต่ละฟังก์ชัน f(x) ที่รวมเข้ากับช่วงเวลา [-m, -k] สามารถเชื่อมโยงกับอนุกรมฟูริเยร์ได้ นั่นคือ อนุกรมตรีโกณมิติซึ่งสัมประสิทธิ์ถูกกำหนดโดยสูตร (2) อย่างไรก็ตาม หากฟังก์ชัน f(x) ไม่ต้องการสิ่งใด ยกเว้นการบูรณาการบนช่วงเวลา [--n*, r] เครื่องหมายของการติดต่อในความสัมพันธ์สุดท้าย โดยทั่วไปแล้ว จะไม่สามารถแทนที่ด้วยเครื่องหมายเท่ากับได้ ความคิดเห็น จำเป็นต้องขยายฟังก์ชัน f(x) ให้เป็นอนุกรมตรีโกณมิติซึ่งกำหนดไว้เฉพาะในส่วน (-*, n\ และดังนั้นจึงไม่เป็นคาบ) ฟังก์ชันสามารถเขียนอนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ถ้า เรายังคงใช้ฟังก์ชัน f (x) เป็นระยะบนแกน Ox ทั้งหมด จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชัน F (x) เป็นระยะโดยมีคาบ 2n ประจวบกับ / (x) ในช่วงเวลา (-ir, k): ฟังก์ชันนี้ F(x) เรียกว่าการขยายตัวเป็นระยะของฟังก์ชัน f(x) นอกจากนี้ ฟังก์ชัน F(x) ไม่มีคำจำกัดความเฉพาะที่จุด x = ±n, ±3r, ±5r, .... อนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชัน F(x) เหมือนกับอนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชัน f(x) นอกจากนี้ หากอนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชัน f(x) มาบรรจบกัน ดังนั้นผลรวมของอนุกรมนั้นเป็นฟังก์ชันคาบ ให้ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องเป็นระยะจากส่วน |-jt, n\ ไปยังแกน Ox ทั้งหมด ในแง่นี้ การพูดถึงอนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในเซ็กเมนต์ (-i-, jt| นั้นเทียบเท่ากับการพูดถึงอนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชัน F(x) ซึ่งเป็นการต่อเนื่องกันแบบเป็นคาบของ ฟังก์ชัน f(x) กับทั้ง 4 เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ เรานำเสนอเกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับการบรรจบกันของอนุกรมฟูริเยร์ i. อนุกรมฟูริเยร์มาบรรจบกัน และเราจะพบว่า ผลรวมของอนุกรมนี้ทำงานในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือ ต้องเน้นว่าถึงแม้คลาสของฟังก์ชันโมโนโทนทีละชิ้นที่ระบุด้านล่างนี้จะค่อนข้างกว้าง แต่ฟังก์ชันที่อนุกรมฟูริเยร์มาบรรจบกันก็ไม่หมดไป คำจำกัดความ ฟังก์ชัน f( x) เรียกว่าเสียงเดียวแบบทีละส่วนบนเซกเมนต์ [a, 6] หากเซกเมนต์นี้สามารถหารด้วยจำนวนจุดที่แน่นอนเป็นช่วงๆ โดยที่ f(x) จะเป็นโมโนโทน กล่าวคือ ไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้น (ดูรูปที่ . . หนึ่ง). ตัวอย่างที่ 1 ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิกทีละชิ้นในช่วงเวลา (-oo, oo) เนื่องจากช่วงเวลานี้สามารถแบ่งออกเป็นสองช่วง (-syu, 0) และ (0, + oo) โดยช่วงแรกจะลดลง (และ ดังนั้นไม่เพิ่มขึ้น) แต่เพิ่มขึ้นในวินาที (และไม่ลดลง) ตัวอย่างที่ 2 ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิกทีละส่วนบนเซ็กเมนต์ [-zg, jt| เนื่องจากเซ็กเมนต์นี้สามารถแบ่งออกเป็นสองช่วงในครั้งแรก โดยที่ cos i เพิ่มขึ้นจาก -I เป็น +1 และในช่วงที่สองจะลดลงจาก ทฤษฎีบทที่ 3 ฟังก์ชัน f(x) แบบโมโนโทนิกแบบทีละชิ้นและมีขอบเขตบนเซกเมนต์ (a, b] สามารถมีได้เฉพาะจุดที่ไม่ต่อเนื่องของประเภทแรกเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ให้เป็นจุดที่ไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน /(x ) จากนั้น เนื่องจากฟังก์ชันขอบเขต f(x) และความซ้ำซากจำเจ จึงมีข้อ จำกัด ด้านเดียวที่จำกัดทั้งสองด้านของจุด c ซึ่งหมายความว่าจุด c เป็นจุดที่ไม่ต่อเนื่องกันของประเภทแรก (รูปที่ 2) ถูกจำกัดบนช่วง [-m, m) จากนั้นอนุกรมฟูริเยร์จะบรรจบกันที่แต่ละจุด x ของส่วนนี้ และสำหรับผลรวมของอนุกรมนี้ จะเกิดความเท่าเทียมกัน: ฟังก์ชัน /(z) ของคาบ 2jt ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-*,*) ด้วยความเท่าเทียมกัน (รูปที่ 3) เป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท จึงสามารถขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้ เราพบสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์สำหรับมัน: อนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันนี้มีรูปแบบตัวอย่างที่ 4 ขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ (รูปที่ 4) ในช่วงเวลา ฟังก์ชันนี้เป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท มาหาสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์กัน โดยใช้คุณสมบัติการบวกของอินทิกรัลที่แน่นอน เราจะมี อนุกรมฟูริเยร์ อนุกรมฟูริเยร์ อนุกรมฟูริเยร์ มุมฉากของระบบตรีโกณมิติ อนุกรมฟูริเยร์ ตรีโกณมิติ เงื่อนไขเพียงพอสำหรับการขยายตัวของฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ ดังนั้น อนุกรมฟูริเยร์จึงมีรูปแบบดังนี้ ที่ส่วนท้ายของ ส่วน (-i, ir], เช่น กล่าวคือ ณ จุด x = -x และ x = x ซึ่งเป็นจุดที่ไม่ต่อเนื่องกันประเภทแรก เราจะมีข้อสังเกต ถ้าเราใส่ x = 0 ในอนุกรมฟูริเยร์ที่พบ เราก็จะได้ when
ให้เราแสดงให้เห็นว่าเกือบทุกฟังก์ชันของคาบสามารถแสดงเป็นอนุกรมที่มีสมาชิกเป็นฮาร์โมนิกอย่างง่าย โดยใช้อนุกรมตรีโกณมิติที่เรียกว่า
คำนิยาม. อนุกรมตรีโกณมิติคืออนุกรมเชิงฟังก์ชันของรูปแบบ
ตัวเลขจริงอยู่ที่ไหน เอ 0 , หนึ่ง , ข นเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม
ระยะฟรีของชุดข้อมูลเขียนในรูปแบบเพื่อความสม่ำเสมอของสูตรที่ได้รับในภายหลัง
ต้องตอบคำถามสองข้อ:
1) ฟังก์ชั่นทำงานภายใต้เงื่อนไขอะไร เอฟ(x)ด้วยคาบ 2π สามารถขยายเป็นอนุกรม (5.2.1)?
2) วิธีคำนวณอัตราต่อรอง เอ 0 ,… หนึ่ง , ข น ?
มาเริ่มกันที่คำถามที่สอง ให้ฟังก์ชั่น เอฟ(x)ต่อเนื่องกันบนช่วงและมีคาบ T=2π. เรานำเสนอสูตรที่เราจะต้องใช้ในสิ่งต่อไปนี้
สำหรับจำนวนเต็มใดๆ เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่
สำหรับทั้งหมดใดๆ.
(มและ นจำนวนทั้งหมด)
ที่ ( มและ นจำนวนเต็ม) ปริพันธ์แต่ละอัน (III, IV, V) จะถูกแปลงเป็นผลรวมของอินทิกรัล (I) หรือ (II) ถ้า ในสูตร (IV) เราได้รับ:
ความเท่าเทียมกัน (V) ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน
ให้เราสมมติว่าฟังก์ชันกลายเป็นแบบที่มีการขยายไปสู่อนุกรมฟูริเยร์บรรจบกันนั่นคือ
(โปรดทราบว่าผลรวมอยู่เหนือดัชนี น).
ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน แสดงว่าผลรวมของมัน ส(x).
การรวมระยะ (ถูกต้องตามกฎหมายเนื่องจากสมมติฐานของการบรรจบกันของซีรีส์) ในช่วงตั้งแต่จนถึงให้
เนื่องจากเงื่อนไขทั้งหมดยกเว้นอันแรกมีค่าเท่ากับศูนย์ (ความสัมพันธ์ I, II) จากนี้ไปเราจะพบว่า
คูณ (5.2.2) โดย ( ม=1,2,…) และการรวมเทอมโดยเทอมภายในช่วงจาก ถึง เราพบสัมประสิทธิ์ หนึ่ง.
ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เทอมทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ยกเว้นหนึ่ง ม=น(ความสัมพันธ์ IV, V) ดังนั้นเราจึงได้รับ
คูณ (5.2.2) โดย ( ม\u003d 1,2, ...) และการรวมเทอมโดยเทอมภายในช่วง from ถึง เราพบค่าสัมประสิทธิ์ในทำนองเดียวกัน ข น
ค่า - กำหนดโดยสูตร (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) เรียกว่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์และอนุกรมตรีโกณมิติ (5.2.2) คืออนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x).
ดังนั้นเราจึงได้การสลายตัวของฟังก์ชัน เอฟ(x)ในชุดฟูริเยร์
กลับไปที่คำถามแรกและค้นหาว่าฟังก์ชันควรมีคุณสมบัติอะไรบ้าง เอฟ(x)เพื่อให้อนุกรมฟูริเยที่สร้างขึ้นมาบรรจบกัน และผลรวมของอนุกรมนั้นจะเท่ากับ เอฟ(x).
คำนิยาม. ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าต่อเนื่องทีละชิ้นถ้ามันต่อเนื่องหรือมีจุดไม่ต่อเนื่องในประเภทแรกจำนวนจำกัด
คำนิยาม. ฟังก์ชัน f(x), ให้ในช่วงเวลาเรียกว่า monotonic ทีละชิ้นหากส่วนนั้นสามารถแบ่งตามจุดเป็นช่วงๆ ได้จำนวนจำกัด ซึ่งแต่ละส่วนจะทำหน้าที่เปลี่ยนอย่างซ้ำซากจำเจ (เพิ่มขึ้นหรือลดลง)
เราจะพิจารณาหน้าที่ เอฟ(x)มีประจำเดือน T=2π. ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า 2π- เป็นระยะ
ให้เรากำหนดทฤษฎีบทที่แสดงถึงเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์
ทฤษฎีบทของ Dirichlet(ยอมรับโดยไม่มีหลักฐาน) . ถ้า 2π- ฟังก์ชั่นเป็นระยะ เอฟ(x)บนเซกเมนต์เป็นแบบต่อเนื่องทีละชิ้นและแบบโมโนโทนิกทีละชิ้น จากนั้นอนุกรมฟูริเยร์ที่สอดคล้องกับฟังก์ชันจะบรรจบกันในส่วนนี้และในกรณีนี้:
1. ที่จุดที่มีความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ผลรวมของอนุกรมจะตรงกับฟังก์ชันนั้นเอง ส(x)=ฉ(x);
2. ทุกจุด x 0ฟังก์ชั่นหยุด เอฟ(x)ผลรวมของซีรีส์คือ
เหล่านั้น. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของลิมิตของฟังก์ชันไปทางซ้ายและขวาของจุด x 0 ;
3. ที่จุด (ที่ส่วนท้ายของส่วน) ผลรวมของอนุกรมฟูริเยร์คือ ,
เหล่านั้น. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์เมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จุดเหล่านี้จากด้านในของช่วงเวลา
หมายเหตุ: หากฟังก์ชัน เอฟ(x)ด้วยคาบ 2π จะต่อเนื่องกันและหาค่าได้ตลอดช่วง และค่าที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาจะเท่ากัน กล่าวคือ เนื่องจากเป็นคาบ ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องบนแกนจริงทั้งหมดและสำหรับใดๆ Xผลรวมของอนุกรมฟูริเยร์เท่ากับ เอฟ(x).
ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันอินทิเกรตบนช่วงเวลา เอฟ(x)เป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท Dirichlet จากนั้นความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นในช่วงเวลา (การขยายตัวในอนุกรมฟูริเยร์):
ค่าสัมประสิทธิ์คำนวณโดยสูตร (5.2.3) - (5.2.5)
เงื่อนไข Dirichlet พึงพอใจกับฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่เกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์และการใช้งาน
อนุกรมฟูริเยร์ เช่นเดียวกับอนุกรมกำลัง ใช้สำหรับการคำนวณค่าฟังก์ชันโดยประมาณ ถ้าการขยายฟังก์ชัน เอฟ(x)ในอนุกรมตรีโกณมิติเกิดขึ้น จากนั้นคุณสามารถใช้ค่าความเสมอภาคโดยประมาณ แทนที่ฟังก์ชันนี้ด้วยผลรวมของฮาร์โมนิกหลายค่า เช่น ผลรวมบางส่วน (2 น+1) ระยะของอนุกรมฟูริเยร์
อนุกรมตรีโกณมิติใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิศวกรรมไฟฟ้า โดยช่วยแก้ปัญหาต่างๆ ของฟิสิกส์คณิตศาสตร์
ขยายฟังก์ชันในอนุกรมฟูริเยร์ด้วยคาบ 2π ที่กำหนดในช่วงเวลา (-π; π)
การตัดสินใจ. ค้นหาสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์:
เราได้ขยายฟังก์ชันในอนุกรมฟูริเยร์
ที่จุดต่อเนื่อง ผลรวมของอนุกรมฟูริเยร์จะเท่ากับค่าของฟังก์ชัน ฉ(x)=ส(x)ณ จุดนั้น x=0 S(x)=1/2, ณ จุด x=π,2π,… S(x)=1/2.
ในหลายกรณี โดยการตรวจสอบสัมประสิทธิ์ของอนุกรมของแบบฟอร์ม (C) หรือสามารถกำหนดได้ว่าอนุกรมเหล่านี้มาบรรจบกัน (อาจยกเว้นแต่ละจุด) และเป็นอนุกรมฟูริเยสำหรับผลรวมของอนุกรมฟูริเยร์ (ดู ตัวอย่างเช่น n° ก่อนหน้า ) แต่ในกรณีเหล่านี้ คำถามก็เกิดขึ้นโดยธรรมชาติ
วิธีหาผลรวมของอนุกรมเหล่านี้ หรือวิธีแสดงผลลัพธ์ในรูปแบบสุดท้ายในแง่ของฟังก์ชันพื้นฐานให้แม่นยำยิ่งขึ้น หากแสดงออกมาในรูปแบบดังกล่าวเลย แม้แต่ออยเลอร์ (และลากรองจ์ด้วย) ก็ประสบความสำเร็จในการใช้ฟังก์ชันวิเคราะห์ของตัวแปรที่ซับซ้อนเพื่อสรุปอนุกรมตรีโกณมิติในรูปแบบสุดท้าย แนวคิดเบื้องหลังวิธีออยเลอร์มีดังนี้
สมมุติว่าสำหรับชุดสัมประสิทธิ์บางชุด อนุกรม (C) และบรรจบกันในทุกที่ในช่วงเวลา ยกเว้นเฉพาะจุดแต่ละจุด พิจารณาอนุกรมกำลังที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน จัดเรียงเป็นกำลังของตัวแปรเชิงซ้อน
บนเส้นรอบวงของวงกลมหน่วย นั่นคือ ที่ อนุกรมนี้มาบรรจบกันโดยการสันนิษฐาน ไม่รวมจุดแต่ละจุด:
ในกรณีนี้ ตามคุณสมบัติที่รู้จักกันดีของอนุกรมกำลัง อนุกรม (5) มาบรรจบกันที่ภายในวงกลมหน่วย กำหนดฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรเชิงซ้อน ใช้รู้จักเรา [ดู § 5 ของบทที่ XII] ของการขยายตัวของฟังก์ชันเบื้องต้นของตัวแปรเชิงซ้อนก็มักจะเป็นไปได้ที่จะลดฟังก์ชันลงไป สำหรับเรามี:
และโดยทฤษฎีบทอาเบล ทันทีที่อนุกรม (6) มาบรรจบกัน จะได้ผลรวมเป็นลิมิต
โดยปกติขีดจำกัดนี้จะเท่ากับซึ่งทำให้เราสามารถคำนวณฟังก์ชันในรูปแบบสุดท้ายได้
ให้ตัวอย่างเช่น ซีรีส์
ข้อความที่พิสูจน์ในย่อหน้าก่อนหน้านี้นำไปสู่ข้อสรุปว่าทั้งสองชุดมาบรรจบกัน (อันแรกไม่รวมคะแนน 0 และ
ทำหน้าที่เป็นอนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันที่พวกเขากำหนด แต่ ฟังก์ชันเหล่านี้คืออะไร? เพื่อตอบคำถามนี้ เราจึงสร้างซีรีส์
โดยความคล้ายคลึงกันกับอนุกรมลอการิทึม หาผลรวมได้ง่าย:
เพราะฉะนั้น,
ตอนนี้การคำนวณอย่างง่ายจะช่วยให้:
ดังนั้นโมดูลัสของนิพจน์นี้คือ และอาร์กิวเมนต์คือ
และในที่สุด
ผลลัพธ์เหล่านี้คุ้นเคยกับเราและเคยได้รับด้วยความช่วยเหลือจากการพิจารณาที่ "ซับซ้อน" แต่ในกรณีแรก เราเริ่มต้นจากฟังก์ชัน และ และ และในวินาที - จากฟังก์ชันวิเคราะห์ ที่นี่ ซีรีส์เองทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นเป็นครั้งแรก ผู้อ่านจะพบตัวอย่างเพิ่มเติมประเภทนี้ในหัวข้อถัดไป
เราขอเน้นย้ำอีกครั้งว่าต้องแน่ใจก่อนถึงการบรรจบกันและอนุกรม (C) และเพื่อที่จะมีสิทธิในการพิจารณาผลรวมโดยใช้ความเท่าเทียมกันที่จำกัด (7) การมีอยู่เพียงขีด จำกัด ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันยังไม่สามารถสรุปได้ว่าอนุกรมที่กล่าวถึงมาบรรจบกัน เพื่อแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง ให้พิจารณาซีรีส์
โดยโคไซน์และไซน์ของส่วนโค้งหลายส่วน นั่นคือ ชุดของรูปแบบ
หรือในรูปแบบที่ซับซ้อน
ที่ไหน ก,b kหรือตามลำดับ c kเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของ T. r.
เป็นครั้งแรก T. r. พบกันที่ L. Euler (L. Euler, 1744) เขาได้รับการขยาย
อาร์ทั้งหมด ศตวรรษที่ 18 ในการศึกษาปัญหาการสั่นสะเทือนอิสระของสายอักขระ คำถามเกิดขึ้นจากความเป็นไปได้ของการแสดงลักษณะฟังก์ชันตำแหน่งเริ่มต้นของสตริงเป็นผลรวมของ T. r. คำถามนี้ทำให้เกิดการถกเถียงกันอย่างดุเดือดซึ่งกินเวลานานหลายทศวรรษ นักวิเคราะห์ที่เก่งที่สุดในยุคนั้น - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler) ข้อพิพาทที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาของแนวคิดของฟังก์ชัน ในขณะนั้น ฟังก์ชันมักจะเชื่อมโยงกับการวิเคราะห์ การมอบหมายซึ่งนำไปสู่การพิจารณาเฉพาะหน้าที่วิเคราะห์หรือวิเคราะห์ทีละส่วนเท่านั้น และที่นี่ก็มีความจำเป็นสำหรับฟังก์ชันที่กราฟมีความเหมาะสมเพียงพอที่จะสร้าง T. r. แทนฟังก์ชันนี้ แต่ความสำคัญของข้อพิพาทเหล่านี้ยิ่งใหญ่กว่า อันที่จริง พวกเขาพูดคุยหรือเกิดขึ้นเกี่ยวกับคำถามที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดและแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญหลายประการ การวิเคราะห์โดยทั่วไป - การแทนฟังก์ชันโดยอนุกรมเทย์เลอร์และการวิเคราะห์ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน การใช้อนุกรมวิธาน ลิมิต ระบบสมการอนันต์ ฟังก์ชันด้วยพหุนาม เป็นต้น
และในอนาคต เช่นเดียวกับในตอนแรกนี้ ทฤษฎีของ T. r. ทำหน้าที่เป็นแหล่งความคิดใหม่ทางคณิตศาสตร์ ปริพันธ์ฟูริเยร์ ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบ อนุกรมมุมฉากทั่วไป นามธรรม งานวิจัยเกี่ยวกับแม่น้ำต. ทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการสร้างทฤษฎีเซต ทีอาร์ เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับการนำเสนอและสำรวจคุณลักษณะต่างๆ
คำถามที่นำไปสู่ความขัดแย้งในหมู่นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 18 ได้รับการแก้ไขในปี 1807 โดย J. Fourier ผู้ระบุสูตรสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของ T. r. (1) ซึ่งต้อง แสดงในฟังก์ชัน f(x):
และนำไปใช้ในการแก้ปัญหาการนำความร้อน สูตร (2) เรียกว่าสูตรฟูริเยร์ แม้ว่า A. Clairaut (1754) จะเคยพบก่อนหน้านี้ และ L. Euler (1777) ได้มาหาพวกเขาโดยใช้การรวมแบบทีละเทอม ทีอาร์ (1) ค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนดโดยสูตร (2) เรียกว่า ใกล้ฟังก์ชันฟูริเยร์ f และตัวเลข a k , ข k- สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์
ลักษณะของผลลัพธ์ที่ได้ขึ้นอยู่กับว่าการแทนค่าของฟังก์ชันนั้นเป็นชุดข้อมูลอย่างไร การเข้าใจอินทิกรัลในสูตร (2) นั้นเป็นอย่างไร ทฤษฎีสมัยใหม่ของแม่น้ำต. ได้มาหลังจากการปรากฏตัวของอินทิกรัล Lebesgue
ทฤษฎีของ T. r. สามารถแบ่งตามเงื่อนไขได้เป็นสองส่วนใหญ่ - ทฤษฎี ชุดฟูริเยร์,โดยสันนิษฐานว่าอนุกรม (1) เป็นอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันบางอย่าง และทฤษฎีของ T. R. ทั่วไป ซึ่งไม่มีการตั้งสมมติฐานดังกล่าว ด้านล่างนี้คือผลลัพธ์หลักที่ได้จากทฤษฎีทั่วไปของ T. r. (ในกรณีนี้ เซตและความสามารถในการวัดได้ของฟังก์ชันจะเข้าใจตาม Lebesgue)
ระบบแรก งานวิจัย T. r. ซึ่งไม่ถือว่าชุดเหล่านี้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ เป็นวิทยานิพนธ์ของ V. Riemann (V. Riemann, 1853) ดังนั้นทฤษฎีทั่วไปของ T. r. เรียกว่า บางครั้งทฤษฎีทางอุณหพลศาสตร์ของรีมันเนียน
เพื่อศึกษาคุณสมบัติของพลต. (1) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์พุ่งเป็นศูนย์ B. Riemann พิจารณาถึงฟังก์ชันต่อเนื่อง F(x) ,
ซึ่งเป็นผลรวมของอนุกรมลู่เข้าที่เท่ากัน
ได้รับหลังจากการรวมชุดข้อมูลเป็นระยะสองครั้ง (1) หากอนุกรม (1) มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง x เป็นตัวเลข s ดังนั้น ณ จุดนี้สมมาตรที่สองจะมีค่าและเท่ากับ s ฟังก์ชัน F:
จากนั้นสิ่งนี้จะนำไปสู่การรวมของอนุกรม (1) ที่สร้างโดยตัวประกอบ 
เรียกว่า โดยวิธีบวกมันน์ การใช้ฟังก์ชัน F ทำให้เกิดการกำหนดหลักการโลคัลไลเซชันของรีมันน์ ซึ่งพฤติกรรมของอนุกรม (1) ที่จุด x ขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของฟังก์ชัน F ในย่านเล็กๆ ของจุดนี้เท่านั้น
ถ้าทีอาร์ มาบรรจบกันในชุดของการวัดเชิงบวก จากนั้นสัมประสิทธิ์ของมันมีแนวโน้มเป็นศูนย์ (Cantor-Lebesgue) แนวโน้มที่จะเป็นศูนย์สัมประสิทธิ์ T. r. ยังตามมาจากการบรรจบกันในชุดหมวดหมู่ที่สอง (W. Young, W. Young, 1909)
ปัญหาสำคัญประการหนึ่งของทฤษฎีอุณหพลศาสตร์ทั่วไป เป็นปัญหาของการแทนฟังก์ชันพล T. r. การเสริมสร้างผลลัพธ์ของ N. N. Luzin (1915) เกี่ยวกับการแสดงฟังก์ชัน T. R. โดยวิธีสรุปผล Abel-Poisson และ Riemann, D. E. Men'shov ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ (1940) ซึ่งอ้างถึงกรณีที่สำคัญที่สุดเมื่อเป็นตัวแทนของฟังก์ชัน f เป็นที่เข้าใจกันว่า T. r. ถึง ฉ(x) แทบทุกที่ สำหรับทุกๆ ฟังก์ชันที่วัดได้และจำกัดเกือบทุกที่ f มี T. R. ที่บรรจบกับมันเกือบทุกที่ (ทฤษฎีบทของ Men'shov) ควรสังเกตว่าแม้ว่า f จะอินทิเกรตได้ก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว เราไม่สามารถใช้อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชัน f เป็นอนุกรมดังกล่าวได้ เนื่องจากมีอนุกรมฟูริเยร์ที่แตกต่างกันไปทุกหนทุกแห่ง
ทฤษฎีบท Men'shov ด้านบนยอมรับการปรับแต่งต่อไปนี้: ถ้าฟังก์ชัน f สามารถวัดได้และจำกัดเกือบทุกที่ ฟังก์ชัน f ก็มีอยู่เช่นนั้น 
เกือบทุกที่ และอนุกรมฟูริเยร์ที่มีความแตกต่างแบบเทอมต่อเทอมของฟังก์ชัน j มาบรรจบกันเป็น f(x) เกือบทุกที่ (N. K. Bari, 1952)
ไม่มีใครทราบ (พ.ศ. 2527) ว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะละเว้นเงื่อนไขความจำกัดของฟังก์ชัน f เกือบทุกที่ในทฤษฎีบทของเมนชอฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด (พ.ศ. 2527) ว่า T. r. มาบรรจบกันแทบทุกที่
ดังนั้นปัญหาของการแสดงฟังก์ชันที่สามารถรับค่าอนันต์ในชุดการวัดเชิงบวกจึงถูกพิจารณาสำหรับกรณีที่มันถูกแทนที่ด้วยข้อกำหนดที่อ่อนแอกว่า - . การบรรจบกันในการวัดไปยังฟังก์ชันที่สามารถรับค่าอนันต์ได้ถูกกำหนดดังนี้: ผลรวมบางส่วนของ T. p. s n(x) มาบรรจบกับฟังก์ชัน f(x) .
ถ้าที่ไหน ฉ น(x) บรรจบกับ / (x) เกือบทุกที่ และลำดับมาบรรจบกันเป็นศูนย์ในการวัด ในการตั้งค่านี้ ปัญหาของการแสดงฟังก์ชันได้รับการแก้ไขจนถึงที่สุด: สำหรับทุกฟังก์ชันที่วัดได้ จะมี T. R. ที่บรรจบกันในการวัด (D. E. Men'shov, 1948)
การวิจัยจำนวนมากได้ทุ่มเทให้กับปัญหาของความเป็นเอกลักษณ์ของ T. r.: T. r. ที่แตกต่างกันสามารถแยกความแตกต่างไปยังฟังก์ชันเดียวกันได้หรือไม่? ในสูตรที่แตกต่าง: ถ้า T. r. มาบรรจบกันเป็นศูนย์ เป็นไปตามที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของอนุกรมนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่ ในที่นี้ อาจหมายถึงการบรรจบกันในทุกจุดหรือทุกจุดนอกชุดที่กำหนด คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้โดยพื้นฐานแล้วขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของเซตที่อยู่ภายนอกซึ่งไม่มีการบรรจบกัน
มีการกำหนดคำศัพท์ต่อไปนี้ หลายชื่อ. ชุดเอกลักษณ์หรือ ยู-กำหนดถ้าจากการบรรจบกันของ T. r. เป็นศูนย์ทุกที่ ยกเว้น บางที สำหรับแต้มของเซต อี,มันตามมาว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของอนุกรมนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ มิฉะนั้นเอนัส M-ชุด.
ดังที่ G. Cantor (1872) แสดงให้เห็น เช่นเดียวกับขอบเขตใด ๆ คือ U-sets โดยพลการก็เป็น U-set (W. Jung, 1909) ในทางกลับกัน ทุกชุดของการวัดเชิงบวกคือชุด M
การมีอยู่ของชุดวัด M ถูกสร้างขึ้นโดย D. E. Men'shov (1916) ผู้สร้างตัวอย่างแรกของชุดที่สมบูรณ์แบบด้วยคุณสมบัติเหล่านี้ ผลลัพธ์นี้มีความสำคัญพื้นฐานในปัญหาความเป็นเอกลักษณ์ สืบเนื่องมาจากการมีอยู่ของชุด M ของหน่วยการวัดศูนย์ ซึ่งในการแทนค่าฟังก์ชันของ T. R. ที่บรรจบกันเกือบทุกที่ อนุกรมเหล่านี้ถูกกำหนดให้คลุมเครืออย่างสม่ำเสมอ
ชุดที่สมบูรณ์แบบยังสามารถเป็นชุด U (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921) ลักษณะเฉพาะที่ละเอียดอ่อนมากของชุดการวัดค่าศูนย์มีบทบาทสำคัญในปัญหาความเป็นเอกลักษณ์ คำถามทั่วไปเกี่ยวกับการจำแนกชุดของหน่วยวัดเป็นศูนย์บน ม-และชุดยูยังคงเปิดอยู่ (1984) มันไม่ได้รับการแก้ไขแม้แต่กับชุดที่สมบูรณ์แบบ
ปัญหาต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับปัญหาความเป็นเอกลักษณ์ ถ้าทีอาร์ มาบรรจบกับฟังก์ชั่น 
แล้วอนุกรมนี้ต้องเป็นอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชัน /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) ให้คำตอบในเชิงบวกสำหรับคำถามนี้หาก f ถูกรวมเข้าด้วยกันในความหมายของ Riemann และอนุกรมมาบรรจบกันที่ f(x) ทุกจุด จากผลลัพธ์ III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) บอกเป็นนัยว่าคำตอบนั้นเป็นบวกแม้ว่าอนุกรมนั้นจะบรรจบกันทุกหนทุกแห่ง ยกเว้นชุดคะแนนที่นับได้และผลรวมของมันมีขอบเขต
ถ้า T. p มาบรรจบกันที่จุดใดจุดหนึ่ง x 0 จุดบรรจบกันของอนุกรมนี้ เช่นเดียวกับจุดของการบรรจบกันแบบสัมบูรณ์ จะถูกจัดวางอย่างสมมาตรเทียบกับจุด x 0
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
ตาม Denjoy - ทฤษฎีบทลูซินจากการบรรจบกันแบบสัมบูรณ์ของ T. r. (1) บนชุดของการวัดเชิงบวก อนุกรมมาบรรจบกัน 
และด้วยเหตุนี้ การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์ของอนุกรม (1) สำหรับทุกคน เอ็กซ์คุณสมบัตินี้ยังถูกครอบครองโดยชุดของหมวดหมู่ที่สอง เช่นเดียวกับชุดค่าศูนย์บางชุด
แบบสำรวจนี้ครอบคลุมเฉพาะ T r. หนึ่งมิติเท่านั้น (หนึ่ง). มีผลลัพธ์แยกต่างหากที่เกี่ยวข้องกับทั่วไป T. p. จากหลายตัวแปร ในหลายกรณียังคงจำเป็นต้องค้นหาข้อความแจ้งปัญหาตามธรรมชาติ
ไฟ: Bari N. K. , อนุกรมตรีโกณมิติ, M. , 1961; Sigmund A., อนุกรมตรีโกณมิติ, ทรานส์. จากภาษาอังกฤษ vol. 1-2, M., 1965; Luzin N. N. , อนุกรมปริพันธ์และตรีโกณมิติ, M.-L. , 1951; Riemann B. , งาน, ทรานส์ จากภาษาเยอรมัน M.-L. , 1948, p. 225-61.
S.A. Telyakovsky.
สารานุกรมคณิตศาสตร์. - ม.: สารานุกรมโซเวียต. ไอ.เอ็ม.วิโนกราดอฟ 2520-2528.
จำได้ว่าในการวิเคราะห์จริง อนุกรมตรีโกณมิติคืออนุกรมในโคไซน์และไซน์ของส่วนโค้งหลายส่วน กล่าวคือ แถวของแบบฟอร์ม
ประวัติศาสตร์เล็กน้อย ช่วงเริ่มต้นของทฤษฎีอนุกรมดังกล่าวมีสาเหตุมาจากช่วงกลางศตวรรษที่ 18 ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาการสั่นสะเทือนของสายอักขระ เมื่อหาฟังก์ชันที่ต้องการเป็นผลรวมของอนุกรม (14.1) คำถามเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของการเป็นตัวแทนดังกล่าวทำให้เกิดการถกเถียงกันอย่างดุเดือดในหมู่นักคณิตศาสตร์ซึ่งกินเวลานานหลายทศวรรษ ข้อพิพาทที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาของแนวคิดของฟังก์ชัน ในขณะนั้น ฟังก์ชันมักจะเกี่ยวข้องกับการกำหนดการวิเคราะห์ แต่ในที่นี้ จำเป็นต้องแสดงฟังก์ชันที่อยู่ถัดจาก (14.1) ซึ่งกราฟเป็นเส้นโค้งที่ค่อนข้างไม่แน่นอน แต่ความสำคัญของข้อพิพาทเหล่านี้ยิ่งใหญ่กว่า อันที่จริง พวกเขาตั้งคำถามเกี่ยวกับแนวคิดที่สำคัญหลายประการเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
และในอนาคตเช่นเดียวกับในช่วงเริ่มต้นนี้ ทฤษฎีอนุกรมตรีโกณมิติเป็นแหล่งที่มาของแนวคิดใหม่ เกี่ยวข้องกับพวกเขา ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีเซตและทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริงเกิดขึ้น
ในบทสุดท้ายนี้ เราจะพิจารณาเนื้อหาที่เชื่อมโยงการวิเคราะห์ที่แท้จริงและซับซ้อนอีกครั้ง แต่สะท้อนให้เห็นเพียงเล็กน้อยในหนังสือเรียนเกี่ยวกับ TFCT ในระหว่างการวิเคราะห์ พวกเขาได้ดำเนินการจากฟังก์ชันที่กำหนดไว้ล่วงหน้าและขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติ ที่นี่เราพิจารณาปัญหาผกผัน: สำหรับอนุกรมตรีโกณมิติที่กำหนด ให้สร้างการบรรจบกันและผลรวมของมัน ด้วยเหตุนี้ออยเลอร์และลากรองจ์จึงใช้ฟังก์ชันวิเคราะห์ได้สำเร็จ เห็นได้ชัดว่าออยเลอร์ (ค.ศ. 1744) ได้รับความเท่าเทียมกัน
ด้านล่างเราเดินตามรอยออยเลอร์ จำกัด เฉพาะกรณีพิเศษของอนุกรม (14.1) คืออนุกรมตรีโกณมิติ
ความคิดเห็นโดยพื้นฐานแล้วจะใช้ข้อเท็จจริงต่อไปนี้: ถ้าลำดับของสัมประสิทธิ์บวก พีแนวโน้มแบบโมโนโทนเป็นศูนย์ จากนั้นอนุกรมเหล่านี้จะมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลาปิดใดๆ ที่ไม่มีจุดของรูปแบบ 2lx (เป็น gZ)โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในช่วงเวลา (0.2n -) จะมีการบรรจบกันแบบจุด ดูสิ่งนี้ในที่ทำงาน หน้า 429-430
ความคิดของออยเลอร์ในการรวมอนุกรม (14.4), (14.5) คือการใช้การแทนที่ z = อีเอไปซีรีย์พลัง
ถ้าภายในวงกลมหน่วยสามารถหาผลรวมได้อย่างชัดเจน ปัญหามักจะได้รับการแก้ไขโดยแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพออกจากกัน เราเน้นว่าโดยใช้วิธีออยเลอร์ เราควรตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม (14.4), (14.5)
มาดูตัวอย่างกัน ในหลายกรณี อนุกรมเรขาคณิตจะมีประโยชน์
เช่นเดียวกับชุดข้อมูลที่ได้จากการสร้างความแตกต่างหรือการรวมแบบเทอมต่อเทอม ตัวอย่างเช่น,
ตัวอย่าง 14.1หาผลรวมของอนุกรม
การตัดสินใจ.เราแนะนำชุดที่คล้ายกันกับโคไซน์
ทั้งสองชุดมาบรรจบกันทุกที่ตั้งแต่ เน้นโดยอนุกรมเรขาคณิต 1 + r + r 2+....สมมติ z = อดีต, เราได้รับ
ในที่นี้เศษส่วนถูกลดรูปเป็นรูป
ที่เราจะได้คำตอบสำหรับคำถามของปัญหา:
ระหว่างทาง เราได้สร้างความเท่าเทียมกัน (14.2): ตัวอย่างที่ 14.2รวมแถว
การตัดสินใจ.จากข้อสังเกตข้างต้น อนุกรมทั้งสองมาบรรจบกันในช่วงเวลาที่กำหนดและทำหน้าที่เป็นอนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x) 9 ก.(x).ฟังก์ชั่นเหล่านี้คืออะไร? เพื่อตอบคำถามตามวิธีออยเลอร์เราเขียนอนุกรม (14.6) พร้อมค่าสัมประสิทธิ์ พี= -. ตกลง-
แต่ความเท่าเทียมกัน (14.7) เราได้
ละเว้นรายละเอียด (ผู้อ่านควรทำซ้ำ) เราชี้ให้เห็นว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมสามารถแสดงเป็น
โมดูลัสของนิพจน์นี้เท่ากับ - และอาร์กิวเมนต์ (ให้แม่นยำยิ่งขึ้น ค่าหลักของมันคือ
- 2sin-
ค่า) เท่ากัน ดังนั้น In ^ = -ln(2sin .)
ตัวอย่างที่ 14.3ที่ -l รวมแถว
การตัดสินใจ.ทั้งสองชุดมาบรรจบกันทุกที่เนื่องจากถูกครอบงำโดยคอนเวอร์เจนซ์
ถัดจากสมาชิกทั่วไป -! . แถว (14.6)
น(n +1)
โดยตรง
เจ_ _\_ __1_
/?(/? +1) พี /1 + 1
ns จะให้จำนวนที่ทราบ โดยพื้นฐานแล้วเราเป็นตัวแทนในรูปแบบ
ความเท่าเทียมกัน
นิพจน์ในวงเล็บคือ ln(l + z) และนิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมคือ ^ ^ + ** ^--. เพราะฉะนั้น,
= (1 + -)ln(1 + z). ตอนนี้ ควรใส่ที่นี่ z = eLXและทำตามขั้นตอนเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้า ละเว้นรายละเอียด เราชี้ให้เห็นว่า ยังคงเปิดวงเล็บและเขียนคำตอบ เราฝากสิ่งนี้ไว้กับผู้อ่าน งานสำหรับบทที่ 14 คำนวณผลรวมของแถวต่อไปนี้ 3.1.ก) ถ้า w=u + iv,แล้ว และ= -r- -v = -^-^ ดังนั้น ล.: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2 ที่มาของพิกัดควรแยกออกจากวงกลมนี้ เนื่องจาก (m, v) 9* (0; 0) V* e อาร์โทน และ= ลิม v = 0 x-yx>.v->oo เอ = 1, เอ = 2 z "=-! + -> z,=-l - พวกเขา w = 2x; ไม่มีที่ไหนเลย holomorphic; เซนต์ St ขึ้นอยู่กับตัวแปร "t. เงื่อนไข Cauchy-Riemann บอกเป็นนัยว่าฟังก์ชันเหล่านี้ไม่ขึ้นกับ y ด้วย 4.5. พิจารณาตัวอย่างเช่นกรณีRe ฉ(z) = ผม(x, y) = คอนสต. กับ ใช้เงื่อนไข Cauchy-Riemann อนุมานจากสิ่งนี้ว่า Im/(z) = วี(x 9 ปี) = คอนสต. อาร์กิวเมนต์ของอนุพันธ์เท่ากับศูนย์ จากนั้นส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ และส่วนจริงเป็นบวก จากที่นี่จะได้คำตอบ: ตรง ที่ = -X-1 (X * 0). b) วงกลม z + ผม=j2. นิพจน์ในวงเล็บใช้ความหมายเดียวกัน จึงจะได้ ซึ่งขัดกับความไร้เหตุผล เอ . ที่= 0, -1 x 1 ที่เรามี และ =--e [-1,1]" v = 0. พิจารณาส่วนที่สองของขอบเขต - ครึ่งวงกลม z=สหภาพยุโรป,tg. ในส่วนนี้นิพจน์ ถูกแปลงเป็นรูปแบบ w=u=-- ,/* -. ในระหว่าง. ตาม (8.6) อินทิกรัลที่ต้องการจะเท่ากับ
ข) สมการครึ่งวงกลมล่างมีรูปแบบ z(t) = e“,t อี[l, 2n).ตามสูตร (8.8) อินทิกรัลจะเท่ากับ z = t + ผม,เท. คำตอบ: - + - ฉัน. .1 .t+2/r อี 2 ,อี 2. ตามเงื่อนไขของปัญหาที่เรากำลังพูดถึงค่าหลักของรูท: Vz, i.e. เกี่ยวกับสิ่งแรกเหล่านี้ จากนั้นอินทิกรัลคือ 8.3. ในการแก้ปัญหาไม่ได้ให้ภาพวาดโดยเจตนา แต่ผู้อ่านควรกรอกให้เสร็จ ใช้สมการของส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดที่กำหนดสองจุด i, /> e C (ก -เริ่ม, ข -สิ้นสุด): z = (l - /)fl+ /?,/€ . ลองแบ่งอินทิกรัลที่ต้องการออกเป็นสี่: ฉัน = ฉัน AB + ฉัน BC + ฉัน CD +1
ดี.เอ. ในส่วนของ ABเรามี z- (1 -1)
? 1 +1
/ ดังนั้นอินทิกรัลบนส่วนนี้ตาม (8.8) เท่ากับ ดำเนินไปในลักษณะเดียวกัน เราพบว่า พื้นที่ D ที่มี Г และ ns ที่มี เอ. โดยทฤษฎีบทปริพันธ์ที่ใช้กับ /),/] อินทิกรัลที่ต้องการจะเท่ากับศูนย์ ชุดเรขาคณิต 1 + q + q2 (|| แสดงในรูปแบบ /(z) = /(-^z) โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่า รัศมีการบรรจบกันของอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด 0 มีค่ามากกว่าหนึ่ง เรามี: ค่าของฟังก์ชันจะเหมือนกันในชุดที่ไม่ต่อเนื่องโดยมีจุดจำกัดที่เป็นของวงกลมของการบรรจบกัน ตามทฤษฎีบทเฉพาะ /(z) = คอนสต. 11.3. สมมุติว่าฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ต้องการ /(z) มีอยู่แล้ว มาเปรียบเทียบค่าของมันกับฟังก์ชันกัน (z) = z2ในชุด อี, ประกอบด้วยจุด z n = - (น = 2,3,...) ความหมายเหมือนกันและตั้งแต่ อี มีจุดจำกัดที่เป็นของวงกลมที่กำหนด จากนั้นโดยทฤษฎีบทเฉพาะ /(z) = z 2 สำหรับอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดของวงกลมที่กำหนด แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไข /(1) = 0 คำตอบ: ns ไม่มีอยู่ 12.2. ก) แสดงฟังก์ชันในรูปแบบและขยายวงเล็บ เสาธรรมดา 1,-1,/. ผลรวมของเศษที่เหลือเท่ากับ -- และอินทิกรัลเท่ากับ ใน). ท่ามกลางเสา2 Trki(kGZ)ของจำนวนเต็ม มีเพียงสองตัวที่อยู่ในวงกลมที่กำหนด มันคือ 0 และ 2 ฉันทั้งสองอย่างเรียบง่ายสารตกค้างในนั้นมีค่าเท่ากันใน 1 คำตอบ: 4z7 คูณมันด้วย 2/r/ ละเว้นรายละเอียดเราระบุคำตอบ: / = -i . 13.2. ก) ให้เราใส่ e"=z แล้ว e"idt =dz
, dt= - .
โฮ อี" - อี~" z-z~ x บาป / =-=-, intefal จะลดลงเป็นรูปแบบ ที่นี่ตัวหารเป็นตัวประกอบ (z-z,)(z-z 2) โดยที่ z = 3 - 2 V2 / อยู่ในวงกลม ที่
, a z,=3 + 2V2 / อยู่ด้านบน ยังคงหาสารตกค้างเทียบกับขั้ว z อย่างง่าย โดยใช้สูตร (13.2) และ ข) . สมมติดังที่กล่าวข้างต้น อี" = z
, เราลด intefal ให้อยู่ในรูปแบบ ฟังก์ชัน subintelhal มีสามขั้วง่าย ๆ (อันไหน?) ปล่อยให้ผู้อ่านคำนวณสารตกค้างในนั้นเราระบุคำตอบ: ฉัน=
. เท่ากับ 2(^-1- h-dt)
แสดงว่าอินทิกรัลในวงเล็บโดย / ใช้ความเท่าเทียมกัน cos "/ = - (1 + cos2f) เราได้ / = [- ซิท
. โดยเปรียบเทียบกับกรณี a) b) ทำการแทนที่ อี 2,t
= z ลดอินทิกรัลให้กับรูปแบบ โดยที่เส้นโค้งการรวมเป็นวงกลมหน่วยเดียวกัน อาร์กิวเมนต์เพิ่มเติมจะเหมือนกับในกรณีก) คำตอบ: ปริพันธ์ที่ต้องการหาค่าเดิมเท่ากับ /r(2-n/2) 13.3. ก) พิจารณาอินทิกรัลเชิงซ้อนเสริม /(/?)=f ฉ(ซ)ดซ,ที่ไหน ฉ(z) = - p-, G (I) - รูปร่างประกอบด้วย ครึ่งวงกลม y(ร): | z |= R> 1, Imz > 0 และเส้นผ่านศูนย์กลางทั้งหมด (วาดรูป) ลองแยกอินทิกรัลนี้ออกเป็นสองส่วน - ตามช่วงเวลา [-/?,/?] และตาม y(ร). ถึง. เฉพาะเสาธรรมดาเท่านั้นที่อยู่ในวงจร z 0 \u003d อี 4, z, = อี 4 (รูปที่ 186). เราพบในส่วนที่เกี่ยวกับสิ่งตกค้าง: มันยังคงยืนยันว่าอินทิกรัลมากกว่า ญ(ร)มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เช่น R. จากความไม่เท่าเทียมกัน |g + A|>||i|-|/>|| และจากการประมาณของอินทิกรัลของ z อี y(R)เป็นไปตามนั้น
