ให้เราพิจารณาผลลัพธ์ของการสังเกต PV . ที่กำหนดขึ้นเองหรือที่เรียกว่า คิวเป็นตัวแปรสุ่ม (CV) รับค่า X )ในการสังเกตต่างๆ

วิธีที่เป็นสากลที่สุดในการอธิบาย SW คือการหาฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลหรือดิฟเฟอเรนเชียล

ฟังก์ชันอินทิกรัลของการแจกแจงผลการสังเกตคือการพึ่งพาค่า x ของความน่าจะเป็น Rความจริงที่ว่าผลการสังเกต X. จะน้อยลง เจซี มันเขียนดังนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลของตัวแปรสุ่ม Xเรียกว่าความน่าจะเป็นที่จะเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกัน X

ฟังก์ชันอินทิกรัล F(x .)) มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

• 1. เอฟ(x) -ฟังก์ชั่นที่ไม่ลดลง
• 2. เอฟ(x)มีแนวโน้มที่จะสามัคคีเป็น jc -> +°°
• 3. เอฟ(x)มีแนวโน้มเป็นศูนย์เป็น x -> -°o
• 4. เอฟ(x) -ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง เนื่องจากผลของการสังเกตในช่วงเวลาหนึ่งสามารถรับค่าใดก็ได้

อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติที่สี่มักจะไม่ถูกนำไปใช้ในทางปฏิบัติ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่า SI ที่ใช้มีความละเอียดที่แน่นอน: สำหรับเครื่องมือตัวชี้ นี่คือค่าการแบ่งมาตราส่วน (PV ควอนตัม); สำหรับเครื่องมือดิจิทัล นี่คือราคาของตัวเลขโค้ดที่เล็กที่สุด ดังนั้น ในความเป็นจริง ฟังก์ชันการกระจายจึงมีรูปแบบเป็นขั้นตอน (รูปที่ 4.4)

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติทางมาตรวิทยา ฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลมักจะถือว่าต่อเนื่อง ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้นอย่างมาก

สำหรับข้อผิดพลาดแบบสุ่ม เช่นเดียวกับตัวแปรสุ่ม ยังมีฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลในตัวของมันเองด้วย:

ฟังก์ชันอินทิกรัล เอฟ(x),เช่นเดียวกับความน่าจะเป็น เป็นปริมาณที่ไม่มีมิติ

สะดวกและเป็นภาพมากขึ้นในการอธิบายคุณสมบัติของผลการสังเกตโดยใช้ฟังก์ชันการกระจายส่วนต่างซึ่งเรียกว่า ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นควรสังเกตว่าฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลของผลการสังเกต Xและข้อผิดพลาดแบบสุ่มA การแข่งขัน,เฉพาะที่มาของกราฟสำหรับ A เท่านั้นที่อยู่ที่จุดศูนย์:

กราฟของฟังก์ชันการกระจายส่วนต่างหรือ เส้นโค้งการกระจายส่วนใหญ่มักจะเป็นฟังก์ชันสมมาตรที่มีค่าสูงสุดที่จุด คิวสำหรับผลการสังเกต (รูปที่ 4.5) เส้นโค้งการกระจายสำหรับข้อผิดพลาดแบบสุ่มมักเป็นฟังก์ชันสมมาตรเช่นกัน แต่มีค่าสูงสุดที่จุด "O" (รูปที่ 4.6)

สำหรับผลการสังเกต

สำหรับข้อผิดพลาดแบบสุ่ม

ดังนั้น ฟังก์ชันการกระจายเชิงอนุพันธ์ของผลลัพธ์จากการสังเกตหรือข้อผิดพลาดแบบสุ่มได้มาจากการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัล

นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชันการกระจายแบบอสมมาตร เช่น ฟังก์ชัน Rayleigh (รูปที่ 4.7) หรือฟังก์ชันที่ไม่มีค่าสูงสุด (สม่ำเสมอหรือสี่เหลี่ยมคางหมู) (รูปที่ 4.8, 4.9)

ฟังก์ชันปริพันธ์เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลดังนี้:

เพราะ แล้ว , เช่น. สี่เหลี่ยม

ใต้เส้นโค้งของฟังก์ชันการกระจายเท่ากับหนึ่ง นี่คือสิ่งที่เรียกว่า สภาวะปกติ

มิติของความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นจะผกผันกับมิติของปริมาณทางกายภาพที่วัดได้ เนื่องจากฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลไม่มีมิติ การใช้แนวคิดของฟังก์ชันการแจกแจง สามารถรับนิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ผลการสังเกตอยู่ในช่วงครึ่งเปิด [x, x 2 ] หรือ [A„A 2]:

นิพจน์นี้บอกว่าความน่าจะเป็นที่จะชนผลลัพธ์ของการสังเกต Xหรือข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่ม A ในช่วงเวลาที่กำหนด เท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลที่ขอบเขตที่ระบุของช่วงเวลานี้

ถ้าเราแสดงความน่าจะเป็นนี้ในแง่ของฟังก์ชันการกระจายส่วนต่างหรือความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น เราจะได้:

เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นที่จะตีผลลัพธ์จากการสังเกต X หรือข้อผิดพลาดแบบสุ่มดี ภายในช่วงเวลาที่กำหนดเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่ล้อมรอบด้วยขอบเขตของช่วงเวลา(รูปที่ 4.10).

ทำงาน p x (x)dxเรียกว่า องค์ประกอบของความน่าจะเป็น ในกรณีที่กฎการกระจายความหนาแน่นของความน่าจะเป็นใกล้เคียงกับสิ่งที่เรียกว่ากฎปกติ ดังที่เห็นได้จากกราฟของฟังก์ชันการแจกแจงส่วนต่างมีโอกาสมากที่สุด เล็กค่าความผิดพลาด ความน่าจะเป็นที่จะเกิดข้อผิดพลาดขนาดใหญ่นั้นน้อยกว่ามาก ผลการสังเกต เน้นที่คุณค่าที่แท้จริงวัด PV และเมื่อคุณเข้าใกล้ องค์ประกอบของความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้น ซึ่งทำให้มีเหตุผลที่จะใช้ abscissa ของจุดศูนย์ถ่วงของรูปที่เกิดจากแกน abscissa และเส้นโค้งความหนาแน่นของการแจกแจงเป็นค่าประมาณของค่าที่แท้จริงของ PV ลักษณะของตัวแปรสุ่มนี้เรียกว่า ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (รูปที่ 4.11):

ตอนนี้ เราสามารถให้คำจำกัดความที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ของข้อผิดพลาดแบบสุ่มและเป็นระบบได้

ผิดพลาดอย่างเป็นระบบ 0 (รูปที่ 4.11) คือค่าเบี่ยงเบนของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลลัพธ์จากการสังเกตจากมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณทางกายภาพที่วัดได้:

ข้อผิดพลาดแบบสุ่ม A คือผลต่างระหว่างผลการสังเกตครั้งเดียวกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลการสังเกต:

ดังนั้น มูลค่าที่แท้จริงของปริมาณทางกายภาพที่วัดได้จึงเท่ากับ

คำถามทดสอบ

• 1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องหมายถึงอะไร
• 2. ฟังก์ชันการแจกแจงแบบอินทิกรัลและคุณสมบัติของมัน
• 3. ฟังก์ชันการกระจายเชิงอนุพันธ์ การเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล
• 4. เงื่อนไขสำหรับการทำให้ฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลเป็นมาตรฐาน
• 5. อะไรคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบกราฟิก?
• 6. จะเข้าใจองค์ประกอบที่เป็นระบบและสุ่มของข้อผิดพลาดทั้งหมดได้อย่างไรจากมุมมองทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์?
• 7. องค์ประกอบของความน่าจะเป็นหมายถึงอะไร?
• 8. จะกำหนดความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์จากการสังเกต X หรือข้อผิดพลาดแบบสุ่ม D จะตกอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนดเป็นตัวเลขได้อย่างไร โดยมีกราฟแสดงความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ล้อมรอบด้วยขอบเขตของช่วงนั้น

ภายใต้เงื่อนไขของสูตร Moivre-Laplace ในท้องถิ่น ความน่าจะเป็นที่จำนวนความสำเร็จ m จะอยู่ระหว่าง m 1 ถึง m 2 สามารถหาได้โดยสูตรอินทิกรัลของ Moivre-Laplace

โดยที่ x 1 =
, x 2 =
,
คือฟังก์ชันลาปลาซ

ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้อยู่ในภาคผนวกของตำราเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น

การกำหนดกราฟิกของกฎหมายการจัดจำหน่ายแสดงในรูป หนึ่ง

ข้าว. 1 รูปหลายเหลี่ยมการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

วิธีการอธิบายการแจกแจงของตัวแปรสุ่มในรูปแบบของตาราง ในรูปแบบของสูตรหรือแบบกราฟิก ใช้ได้กับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น

1.5. ฟังก์ชันการกระจายสะสม

ฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลช่วยให้คุณสามารถระบุทั้งตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่องได้

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (IDF) คือฟังก์ชัน F(x) ที่กำหนด x ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะใช้กับค่าที่น้อยกว่า x กล่าวคือ

ความหมายทางเรขาคณิตของฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลคือความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะใช้กับค่าที่อยู่ทางด้านซ้ายของจุด x บนแกนจริง

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง Xซึ่งสามารถรับค่าได้ X 1 , X 2 , …,X น, ฟังก์ชันการกระจายมีรูปแบบ โดยที่ความไม่เท่าเทียมกันภายใต้เครื่องหมายผลรวมหมายความว่าผลรวมเกี่ยวข้องกับค่าเหล่านั้นทั้งหมด X ผมซึ่งมีค่าน้อยกว่า X. ให้เราอธิบายสูตรนี้ตามคำจำกัดความของฟังก์ชัน F(x .)). สมมุติว่าอาร์กิวเมนต์ x ได้กำหนดที่แน่นอนแล้ว แต่เพื่อให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันขึ้น x ผม <x≤x ผม+1 . จากนั้นทางด้านซ้ายของตัวเลข x บนแกนตัวเลขจะเป็นเฉพาะค่าของตัวแปรสุ่มที่มีดัชนี 1, 2, 3, ..., ผม. ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกัน X<xจะถูกดำเนินการหากค่า Xจะรับเอาค่า X ถึง, ที่ไหน k = 1, 2, …, ผม. ดังนั้นเหตุการณ์ X<xจะมาถ้ามีไม่ว่าเหตุการณ์ใด X = X 1 , X=X 2 , X=X 3 , …, X=X ผม. เนื่องจากเหตุการณ์เหล่านี้เข้ากันไม่ได้ ดังนั้นโดยทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นที่เรามี

คุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจายสะสม:

1. ค่าของฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลเป็นของช่วงเวลา

:
.

2. ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่าที่มีอยู่ในช่วงเวลา (a, b) เท่ากับการเพิ่มของฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลในช่วงเวลานี้

3. หากค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด x ของตัวแปรสุ่มเป็นของช่วงเวลา (a, b) ดังนั้น

, ถ้า

, ถ้า

กราฟของ IGF ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องจะแสดงในรูปที่ 2

ข้าว. 2 กราฟของ IGF ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

กราฟของ IGF ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องแสดงในรูปที่ 3

ข้าว. 3 กราฟของ IGF ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

1.6. ฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง

ฟังก์ชันการแจกแจงส่วนต่างใช้เพื่ออธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

ฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง (DDF)(หรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) เป็นอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันปริพันธ์

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมคือแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันการกระจายดิฟเฟอเรนเชียล แล้ว

ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง X จะใช้ค่าที่เป็นของช่วงเวลา (a, b) เท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลที่นำมาจาก a ถึง b:

ความหมายทางเรขาคณิตของ DFR มีดังนี้: ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X รับค่าที่เป็นของช่วงเวลา (a, b) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยแกน x เส้นโค้งการกระจาย f(x) และเส้นตรง x = a และ x = b (รูปที่ 4)

ข้าว. 4 กราฟของฟังก์ชันการกระจายส่วนต่างมักเรียกว่าเส้นโค้งการกระจาย

คุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง:

1. ฟังก์ชันการแจกแจงส่วนต่างไม่เป็นค่าลบ กล่าวคือ

2. หากค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นของช่วงเวลา (a, b) ดังนั้น

ฟังก์ชันการกระจายผลต่างมักเรียกว่ากฎของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

เมื่อแก้ปัญหาประยุกต์ เราพบกฎต่างๆ ของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง พบบ่อย กฎแห่งความสม่ำเสมอและการแจกแจงแบบปกติ.

กฎการกระจายและความแตกต่างที่สำคัญ

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มสร้างการเชื่อมต่อระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณนี้กับความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นซึ่งสอดคล้องกับค่าเหล่านี้ มีสองรูปแบบในการอธิบายกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม - ดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัล . นอกจากนี้ในมาตรวิทยาส่วนใหญ่ใช้รูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล - กฎหมายการจัดจำหน่าย ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่ม.
กฎหมายการกระจายส่วนต่าง ลักษณะ ความหนาแน่นของการกระจาย ความหนาแน่นของการกระจายของตัวแปรสุ่ม ในกรณีนี้ความน่าจะเป็น พีกดปุ่มตัวแปรสุ่มในช่วงเวลาจาก x 1ก่อน x2 :

ตามกราฟ ความน่าจะเป็นนี้คืออัตราส่วนของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง เอฟ(x)ในช่วงตั้งแต่ x 1ก่อน x2ไปยังพื้นที่ทั้งหมดที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งการกระจายทั้งหมด

ในกรณีนี้การกระจาย ต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่ม. นอกจากนั้นยังมี ไม่ต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่มที่ใช้ค่าเฉพาะจำนวนหนึ่งที่สามารถนับได้

กฎการแจกแจงอินทิกรัลของตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชัน เอฟ(x),กำหนดโดยสูตร

ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะน้อยกว่า x1กำหนดโดยค่าฟังก์ชัน เอฟ(x)ที่ x = x 1:

เอฟ(เอ็กซ์)เป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลงและเป็น X → ∞ F(X)→1

เมื่อ X → - ∞ F(X)→0

เอฟ(x) -ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องเพราะ ผลของการสังเกตในช่วงเวลาหนึ่งสามารถรับค่าใด ๆ ก็ได้

อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติที่สี่มักจะไม่ถูกนำไปใช้ในทางปฏิบัติ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่า SI ที่ใช้มีความละเอียดที่แน่นอน: สำหรับอุปกรณ์ตัวชี้ นี่คือราคาของการแบ่งมาตราส่วน (ควอนตัม FV) สำหรับอุปกรณ์ดิจิทัล นี่คือราคาของตัวเลขหลักที่เล็กที่สุด ดังนั้น ในความเป็นจริง ฟังก์ชันการแจกแจงข้อผิดพลาดจึงมีรูปแบบเป็นขั้นตอน

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติทางมาตรวิทยา ฟังก์ชันอินทิกรัลถือว่าต่อเนื่อง ซึ่งทำให้การประมวลผลข้อผิดพลาดง่ายขึ้น

กฎสม่ำเสมอของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเป็นไปตามกฎการแจกแจงแบบสม่ำเสมอหากค่าที่เป็นไปได้อยู่ในช่วงระยะเวลาหนึ่ง ซึ่งค่าทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน นั่นคือมีค่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่งการแจกแจงความน่าจะเป็นเรียกว่าสม่ำเสมอหากในช่วงเวลาที่มีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มอยู่ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลมีค่าคงที่

ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นสม่ำเสมอ<<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

ให้เราหาฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล (density) ของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ สมมติว่าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม X ถูกขังอยู่ระหว่าง โดยที่ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลคงที่ กล่าวคือ

f(x) = C

ตามเงื่อนไข X ไม่รับค่านอกช่วง นั่นเป็นเหตุผลที่ f(x) = 0สำหรับทุกอย่าง x< a และ x< b.

มาหาค่าคงที่กัน จาก . เนื่องจากค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นของช่วงเวลา แล้วมันเป็นความจริง:

ดังนั้น กฎการแจกแจงสม่ำเสมอของตัวแปรสุ่มบนช่วงเวลา (ที่นี่ เอ< b ) สามารถเขียนวิเคราะห์ได้ดังนี้

ให้เราหาฟังก์ชันสำคัญของการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องกัน การทำเช่นนี้เราใช้สูตร

ถ้า x< a แล้ว f(x) = 0และด้วยเหตุนี้ F(x) = 0

ถ้า ≤ x ≤ bแล้ว และดังนั้นจึง

ถ้า x ˃bแล้ว

ดังนั้น ฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลที่ต้องการสามารถเขียนวิเคราะห์ได้ดังนี้:

F(x) = 0 สำหรับ x< a

สำหรับ ≤ x ≤ b

F(x) = 1 สำหรับ x ˃ b

คุณสมบัติของการกระจายแบบต่อเนื่องสม่ำเสมอ:

1. ช่วงเวลาแรก (ความคาดหวัง)

2. ค่ามัธยฐาน: ม = ม(X)

3. โหมด - ตัวเลขใด ๆ ในกลุ่ม (โหมด - ค่าที่น่าจะเป็นมากที่สุดของการแจกแจง);

แสดงถึงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม x รับค่าที่น้อยกว่าซึ่งเป็นฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชันการกระจายตัวของอินทิกรัลของ x เนื่องจากความน่าจะเป็นใดๆ ต้องอยู่ระหว่าง 1 ถึง 1 ดังนั้นสำหรับค่าทั้งหมดที่เรามี: ถ้าเป็นเช่นนั้น ความน่าจะเป็นที่มากกว่าหรือเท่ากับความน่าจะเป็นนั่นคือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันไม่สามารถลดลงได้เมื่อเพิ่มขึ้น

รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลแสดงในรูปที่ 1 โดยที่แกนนอนถูกพล็อตและฟังก์ชันแนวตั้ง

เมื่อทราบฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลแล้ว เราก็สามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายสำหรับความน่าจะเป็นที่ให้มาว่า จริงๆ แล้ว เนื่องจากเหตุการณ์เข้ากันไม่ได้ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ใด ๆ เหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์ เหตุการณ์เช่น

(ดูการสแกน)

เนื่องจากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ใด ๆ ของทั้งสองเหตุการณ์นี้หรือเกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ ดังนั้น ตามความสัมพันธ์ (1.1) เราจึงมี

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการของเหตุการณ์จะเท่ากับ

ในกรณีที่ตัวแปรสุ่ม x เป็นผลมาจากการวัดคุณลักษณะบางอย่างของวัตถุที่สุ่มเลือกจากกลุ่มของวัตถุ เป็นไปได้ที่จะให้การตีความอย่างง่ายของฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัล ดังที่ระบุไว้ในวรรค 1.1.1 ในข้อนี้ กรณีความน่าจะเป็นที่ค่าที่สังเกตได้ x ความเท่าเทียมกันหรือความไม่เท่าเทียมกันบางอย่าง (พูด หรือ เท่ากับสัดส่วนสัมพัทธ์ (ในกลุ่มของวัตถุที่กำหนด) ของวัตถุดังกล่าวซึ่งค่า x ตรงกับความเท่าเทียมกันหรือความไม่เท่าเทียมกันที่สอดคล้องกัน ดังนั้น เพียงแค่กำหนด สัดส่วนสัมพัทธ์ของวัตถุเหล่านั้นที่ด้วยการตีความความน่าจะเป็นนี้ความสัมพันธ์ (1.2 ) จะชัดเจน จริง ๆ แล้วระบุว่าจำนวนสัมพัทธ์ของวัตถุซึ่งเท่ากับจำนวนสัมพัทธ์ของวัตถุที่บวกจำนวนสัมพัทธ์ของวัตถุสำหรับ ซึ่งกลุ่มของวัตถุมักถูกเรียกว่า ประชากร จนถึงขณะนี้เราได้พิจารณาเฉพาะประชากรที่มีจำนวนจำกัดเท่านั้น จำนวนวัตถุใหม่ ประชากรดังกล่าวเรียกว่ามีขอบเขต

การตีความความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีความสัมพันธ์บางอย่างเกิดขึ้น (ความเท่าเทียมกันหรือความไม่เท่าเทียมกัน) เป็นสัดส่วนสัมพัทธ์ในประชากรทั่วไปที่กำหนดขององค์ประกอบดังกล่าวซึ่งค่าของ x เป็นไปตามความสัมพันธ์นี้มีประโยชน์มากในหลายกรณี และเรามักจะใช้มัน อย่างไรก็ตาม การตีความความน่าจะเป็นนั้นไม่สามารถทำได้เสมอไป หากเราไม่ได้จำกัดเฉพาะกลุ่มประชากรจำกัด อันที่จริง ฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับจำนวนประชากรทั่วไปที่มีจำกัดมีลักษณะเฉพาะของตัวเอง

สมมติว่าประชากรทั่วไปประกอบด้วยองค์ประกอบ จากนั้นตัวแปรสุ่ม x สามารถรับค่าได้ไม่เกินค่าที่ต่างกัน ให้ค่าต่างๆ ที่ค่า x สามารถรับได้ และค่าเหล่านี้จะถูกจัดเรียงตามลำดับที่เพิ่มขึ้น เป็นที่ชัดเจนว่า ถ้าค่าของ x เท่ากันสำหรับองค์ประกอบหลายๆ อย่าง แล้วฟังก์ชันการแจกแจงสะสมในนี้ กรณีจะมีรูปแบบของเส้นโค้งขั้นตอนที่แสดงในรูปที่ 2.

ฟังก์ชันการกระจายจะมีการกระโดดพอดี และขนาดของการกระโดดแต่ละครั้งจะเท่ากับอย่างใดอย่างหนึ่งหรือจำนวนเต็มที่คูณด้วยฟังก์ชันการกระจายสะสม ซึ่งแสดงโดยเส้นโค้งต่อเนื่องในรูปที่ 1 แน่นอนว่าไม่ใช่ประเภทนี้

ดังนั้น หากฟังก์ชันการกระจายเชิงปริพันธ์เป็นเส้นโค้งต่อเนื่อง การตีความความน่าจะเป็นเป็นสัดส่วนสัมพัทธ์ขององค์ประกอบบางอย่างของประชากรทั่วไปที่มีขอบเขตจำกัดก็เป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมแบบต่อเนื่องใดๆ สามารถประมาณด้วยความแม่นยำที่กำหนดโดยฟังก์ชันการแจกแจงสะสมแบบขั้นตอนที่เกี่ยวข้องกับจำนวนประชากรจำกัด โดยมีเงื่อนไขว่าจำนวนขององค์ประกอบในส่วนหลังมีมากเพียงพอ ดังนั้น ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมแบบต่อเนื่องใดๆ ถือได้ว่าเป็นรูปแบบจำกัดของฟังก์ชันการแจกแจงสะสมที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจำกัด ถึงขีด จำกัด ด้วยจำนวนองค์ประกอบที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุดโดยทั่วไป

มวลรวม ซึ่งหมายความว่าหากเรายอมให้มีประชากรเป็นอนันต์ (ประชากรที่มีองค์ประกอบเป็นอนันต์) ความน่าจะเป็นใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับประชากรนี้สามารถตีความได้เสมอว่าเป็นสัดส่วนสัมพัทธ์ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของประชากร แน่นอน แนวความคิดของประชากรอนันต์เป็นเพียงนามธรรมที่มีประโยชน์ นำมาใช้เพื่อทำให้ทฤษฎีง่ายขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่างของประชากรทั่วไปที่ไม่สิ้นสุด ให้พิจารณาการทดลองที่ประกอบด้วยการวัดความยาวของไม้วัด ผลลัพธ์ของการวัดแต่ละครั้งถือได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มโดยมีฟังก์ชันการแจกแจงแบบอินทิกรัล จากนั้นประชากรทั่วไปที่ไม่สิ้นสุดจะเป็นลำดับอนันต์ของการวัดซ้ำ ๆ ของความยาวของแท่งเพื่อให้การวัดแต่ละครั้งที่ทำขึ้นจริงถือเป็นองค์ประกอบ ของประชากรกลุ่มนี้ บางครั้งประชากรทั่วไปมีจำกัด แต่จำนวนขององค์ประกอบของประชากรนี้มีมากจนสะดวกกว่าที่จะพิจารณาปัญหาที่เกี่ยวข้องกับประชากรนี้ราวกับว่ามันเป็นอนันต์นั่นคือราวกับว่าประชากรทั่วไปไม่มีที่สิ้นสุด . ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีความสนใจในการกระจายส่วนสูงของผู้หญิงทุกคนที่มีอายุ 20 ปีขึ้นไปที่อาศัยอยู่ในสหรัฐอเมริกา เป็นที่แน่ชัดว่าจำนวนของบุคคลดังกล่าวมีจำนวนมากจนสามารถนับการทำให้เข้าใจง่ายทางคณิตศาสตร์ที่มีนัยสำคัญได้ หากเราพิจารณาว่าประชากรทั่วไปของบุคคลดังกล่าวไม่มีที่สิ้นสุด

ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นแบบอินทิกรัลของตัวแปรสุ่ม

TZR-3. ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นแบบอินทิกรัล CB

นี่เป็นวิธีสากลที่สุดในการกำหนดกฎหมายการจำหน่าย สามารถใช้ได้ทั้ง SW แบบแยกและต่อเนื่อง บ่อยครั้ง เมื่อพูดถึงวิธีนี้ คำว่า 'integral'' และ 'probabilities'' จะถูกละทิ้งและใช้คำว่า '' ฟังก์ชันการกระจาย SV'.

ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสมคือความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มบางตัว X รับค่าที่น้อยกว่าค่า x ปัจจุบัน:

F(x) = P(X .)< х) (20)

ตัวอย่างเช่น หาก SW เช่นกระแสในสายไฟ ฟังก์ชันการกระจาย F (90) = 0.3 นี่หมายความว่าความน่าจะเป็นที่กระแสในสายไฟใช้ค่าน้อยกว่า 90 A คือ 0.3

ถ้าสำหรับแรงดันไฟฟ้าในเครือข่าย ฟังก์ชันการกระจาย F (215) = 0.4 ดังนั้น 0.4 คือความน่าจะเป็นที่แรงดันไฟฟ้าในเครือข่ายน้อยกว่า 215 V

ต้องระบุฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นในเชิงวิเคราะห์ แบบตารางหรือแบบกราฟิก

ตัวอย่าง 27

ตามชุดการแจกแจงคะแนนนักเรียนในข้อสอบ (ตารางที่ 8 บรรทัดที่ 1 และ 2) ให้จดฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัล (ตารางที่ 8 บรรทัดที่ 3) และสร้างกราฟ

ตารางที่ 8. อนุกรมและฟังก์ชันสำคัญของการแจกแจงคะแนนในข้อสอบ

เป็นมูลค่าที่กล่าวว่าเพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันการกระจายเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะใช้คำจำกัดความ (20):

· สำหรับ X = 2 F(2)= ป(X< 2) = 0 เนื่องจากคะแนนสอบไม่ต่ำกว่า 2 คะแนน

· สำหรับ X= 3 F(3)= ป(X< 3) \u003d P (X \u003d 2) \u003d 0.1 เพราะ น้อยกว่า 3 เป็นเพียงคะแนน 2;

· สำหรับ X = 4 F(4)= ป(X< 4) = ป( X= 2) + R(X= 3) = 0.1 + 0.5 = 0.6 เพราะ น้อยกว่า 4 มีสองเกรด - 2 หรือ 3 (ได้เกรดน้อยกว่า 4 เท่ากับได้เกรด หรือเกรด2 หรือคะแนน 3 และสำหรับการค้นหา F(4) คุณสามารถใช้สูตรสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้);

· สำหรับ X = 5 F(5)= ป(X< 5) = R(X< 4) + R(X= 4) = 0.6 + 0.3 = 0.9 นั่นคือถึง F(4) เพิ่มความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนเป็น 4

การวิเคราะห์ลำดับการค้นหาค่าของ F(x) เราจะเห็นว่าความน่าจะเป็นของค่าที่น้อยที่สุดของ CV นั้นเพิ่มเข้าไปในความน่าจะเป็นของค่าที่สองก่อน จากนั้นจึงเพิ่มค่าที่สาม เป็นต้น นั่นคือความน่าจะเป็นดูเหมือนจะสะสม ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลจึงเรียกอีกอย่างว่า 'ฟังก์ชันของความน่าจะเป็นสะสม''

ในวรรณคดีเกี่ยวกับสถิติมักเรียกว่าฟังก์ชันของความน่าจะเป็นสะสม สะสม.

ขึ้นอยู่กับตารางข้อมูล 8 ควรพล็อตกราฟของฟังก์ชันอินทิกรัล ไม่ต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่ม (รูปที่ 29) คุณลักษณะนี้คือ ไม่ต่อเนื่อง กระโดดพอดีแยกไม่ต่อเนื่อง ค่า X, อะ ความสูง'ขั้นตอน' - เหมาะสม ความน่าจะเป็น. ในตำแหน่งที่หยุดพัก ฟังก์ชัน (รูปที่ 29) จะใช้ค่าที่ระบุโดยจุด, ᴛ.ᴇ ซ้ายต่อเนื่อง. โดยทั่วไป สำหรับ SW แบบแยกส่วน เราสามารถเขียนได้ว่า: F(x) = P(X .)< х) = . (21)

เพื่อให้เข้าใจว่ากราฟของฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลสำหรับ SW แบบต่อเนื่องจะเป็นอย่างไร คุณสามารถใช้เหตุผลต่อไปนี้ หากเราจินตนาการว่าจำนวนค่า SW ที่ไม่ต่อเนื่องเพิ่มขึ้น ก็จะมีช่องว่างมากขึ้นและความสูงของขั้นบันไดก็จะลดลง ในขีด จำกัด เมื่อจำนวนของค่าที่เป็นไปได้กลายเป็นอนันต์ (และนี่คือ CB ต่อเนื่อง) กราฟขั้นตอนจะกลายเป็นค่าต่อเนื่อง (รูปที่ 30)

เพราะว่า ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นอินทิกรัล CBมีความสำคัญยิ่ง ให้เราพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม คุณสมบัติ:

ทรัพย์สิน 1 วิธีการกำหนดกฎหมายการจำหน่ายนี้ สากลเนื่องจากเหมาะสำหรับการกำหนดกฎการกระจายของ SW แบบแยกส่วนและแบบต่อเนื่อง

คุณสมบัติ 2 . เนื่องจากฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลคือความน่าจะเป็น϶ ค่าของมันอยู่ในส่วนตั้งแต่ 0 ถึง 1

คุณสมบัติ 3 . ฟังก์ชันการกระจาย ไร้มิติตลอดจนความน่าจะเป็นใดๆ

คุณสมบัติ 4 . ฟังก์ชันการกระจายคือ ฟังก์ชั่นที่ไม่ลดลงกล่าวคือ ค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่เท่ากันหรือมากกว่าของฟังก์ชัน: เมื่อ x2 > x 1 F(x 2) ≥ F(x 1)

คุณสมบัตินี้ตามมาจากข้อเท็จจริง (รูปที่ 31) ว่าความน่าจะเป็นที่จะตีกลุ่มที่ใหญ่กว่า (จาก -∞ ถึง x 2) ไม่ควรน้อยกว่าความน่าจะเป็นที่จะตีกลุ่มที่เล็กกว่า (จาก -∞ ถึง x 1)

ในกรณีที่ในพื้นที่จาก x2ก่อน x 1(รูปที่ 32) ไม่มีค่า SW ที่เป็นไปได้ (นี่เป็นไปได้สำหรับ SW แบบไม่ต่อเนื่อง) ดังนั้น เอฟ(x 2) = ฉ(x 1).

สำหรับฟังก์ชันการกระจายของ SW ต่อเนื่อง (รูปที่ 33) เอฟ(x 2)มากขึ้นเสมอ ฉ(x 1).

คุณสมบัติ 4 มีผลสองประการ

ข้อพิสูจน์ 1

ที่ ความน่าจะเป็นที่ค่าของ X จะใช้ค่าในช่วง (x 1; x 2) เท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันอินทิกรัลที่ขอบเขตของช่วงเวลา:

P(x 1 ≤ X< х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

ผลลัพธ์นี้สามารถอธิบายได้ดังนี้ (รูปที่ 31):

F (x 2) \u003d P (X .)< х 2) –

ความน่าจะเป็นที่ SW นำค่าไปทางซ้ายของจุด x2 .

F (x 1) \u003d P (X< х 1) คือความน่าจะเป็นที่ SW นำค่าไปทางซ้ายของจุด x 1 .

ดังนั้นความแตกต่าง

P(X .)< х 2) - Р(Х < х 1) มีความเป็นไปได้ที่ค่า SW จะอยู่ในพื้นที่จาก x 1 ก่อน x2 (รูปที่ 34) .

ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นแบบอินทิกรัลของตัวแปรสุ่ม - แนวคิดและประเภท การจำแนกประเภทและคุณสมบัติของหมวดหมู่ "ฟังก์ชันอินทิกรัลของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม" 2017, 2018