I vilket uttryck är den första åtgärden subtraktion? Handlingsordningen. Fyll i det saknade numret - exempel med parentes. Träningsapparat

Om vi ​​jämför funktionerna addition och subtraktion med multiplikation och division, så beräknas alltid multiplikation och division först.

I exemplet är två funktioner som addition och subtraktion, samt multiplikation och division, ekvivalenta med varandra. Ordningen för utförande bestäms i ordning från vänster till höger.

Man bör komma ihåg att åtgärderna inom parentes har särskild prioritet i exemplet. Så även om det finns multiplikation utanför parentesen och addition innanför parentesen, bör du addera först och sedan multiplicera.

För att förstå detta ämne kan du överväga alla fall en efter en.

Låt oss omedelbart ta hänsyn till att våra uttryck inte har parenteser.

Så om i exemplet den första åtgärden är multiplikation och den andra är division, så utför vi multiplikationen först.

Om i exemplet den första åtgärden är division och den andra är multiplikation, så gör vi division först.

I sådana exempel utförs åtgärder i ordning från vänster till höger, oavsett vilka nummer som används.

Om det i exemplen, förutom multiplikation och division, finns addition och subtraktion, så görs multiplikation och division först, och sedan addition och subtraktion.

När det gäller addition och subtraktion spelar det heller ingen roll vilken av dessa åtgärder som görs först. Ordningen observeras från vänster till höger.

Låt oss överväga olika alternativ:

I det här exemplet är den första åtgärden som måste utföras multiplikation och sedan addition.

I det här fallet multiplicerar du först värdena, dividerar sedan och adderar först sedan.

I det här fallet måste du först göra alla operationer inom parentes, och sedan bara göra multiplikation och division.

Och så du måste komma ihåg att i vilken formel som helst utförs operationer som multiplikation och division först, och sedan endast subtraktion och addition.

Dessutom, med siffror som är inom parentes, måste du räkna dem inom parentes, och först då göra olika manipulationer, kom ihåg sekvensen som beskrivs ovan.

De första operationerna kommer att vara: multiplikation och division.

Först då utförs addition och subtraktion.

Men om det finns en parentes, kommer åtgärderna som finns i dem att utföras först. Även om det är addition och subtraktion.

Till exempel:

I det här exemplet ska vi först multiplicera, sedan 4 med 5, och sedan lägga till 4 till 20. Vi får 24.

Men om det är så här: (4+5)*4, då gör vi först additionen, vi får 9. Sedan multiplicerar vi 9 med 4. Vi får 36.

Om exemplet innehåller alla fyra operationerna, så är det först multiplikation och division, och sedan addition och subtraktion.

Eller i exemplet med 3 olika åtgärder, då blir den första antingen multiplikation (eller division), och sedan antingen addition (eller subtraktion).

När det INGA KLÄNSTER finns.

Exempel: 4-2*5:10+8=11,

1 åtgärd 2*5 (10);

Akt 2 10:10 (1);

3 åtgärd 4-1 (3);

4 åtgärd 3+8 (11).

Alla 4 operationer kan delas in i två huvudgrupper, i en - addition och subtraktion, i den andra - multiplikation och division. Den första kommer att vara den åtgärd som är den första i exemplet, det vill säga den längst till vänster.

Exempel: 60-7+9=62, först behöver du 60-7, sedan vad som händer är (53) +9;

Exempel: 5*8:2=20, först behöver du 5*8, sedan är det som händer (40) :2.

När DET FINNS HAMMAR i ett exempel, utförs åtgärderna i parentes först (enligt reglerna ovan), och sedan utförs resten som vanligt.

Exempel: 2+(9-8)*10:2=7.

1 åtgärd 9-8 (1);

2:a åtgärden 1*10 (10);

Apg 3 10:2 (5);

4 åtgärd 2+5 (7).

Det beror på hur uttrycket är skrivet, låt oss titta på det enklaste numeriska uttrycket:

18 - 6:3 + 10x2 =

Först utför vi operationer med division och multiplikation, sedan i tur och ordning, från vänster till höger, med subtraktion och addition: 18-2+20 = 36

Om detta är ett uttryck med parentes, utför sedan operationerna inom parentes, sedan multiplikation eller division och slutligen addition/subtraktion, till exempel:

(18-6): 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Allt är korrekt: utför först multiplikation och division, sedan addition och subtraktion.

Om det inte finns några parenteser i exemplet, så utförs multiplikation och division i ordning först, och sedan utförs addition och subtraktion, i samma ordning.

Om exemplet endast innehåller multiplikation och division, kommer åtgärderna att utföras i ordning.

Om exemplet endast innehåller addition och subtraktion, kommer åtgärderna också att utföras i ordning.

Först och främst utförs operationerna inom parentes enligt samma regler, det vill säga först multiplikation och division, och först sedan addition och subtraktion.

22-(11+3X2)+14=19

Ordningen för att utföra aritmetiska operationer är strikt föreskriven så att det inte finns några avvikelser när man utför samma typ av beräkningar av olika personer. Först och främst utförs multiplikation och division, sedan addition och subtraktion om åtgärder av samma ordning kommer efter varandra, så utförs de i ordning från vänster till höger.

Om parenteser används när du skriver ett matematiskt uttryck, bör du först och främst utföra de åtgärder som anges inom parentes. Parenteser hjälper till att ändra ordningen när det är nödvändigt att utföra addition eller subtraktion först, och sedan multiplikation och division.

Alla parenteser kan utökas och då blir exekveringsordningen återigen korrekt:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Bättre omedelbart i exempel:

• 1+2*3/4-5=?

I det här fallet utför vi multiplikation först, eftersom det är till vänster om division. Sedan division. Sedan addition, på grund av den mer vänstra platsen, och i slutet subtraktion.

• 1*3/(2+4)?

Först gör vi beräkningen inom parentes, sedan multiplikation och division.

• 1+2*(3-1*5)=?

Först gör vi operationerna inom parentes: multiplikation, sedan subtraktion. Detta följs av multiplikation utanför parentes och addition i slutet.

Multiplikation och division kommer först. Om det finns parenteser i exemplet, beaktas åtgärden inom parentes i början. Oavsett tecknet!

Här måste du komma ihåg några grundläggande regler:

1. Om det inte finns några parenteser i exemplet och det finns operationer - endast addition och subtraktion, eller bara multiplikation och division - utförs i detta fall alla åtgärder i ordning från vänster till höger.

Till exempel, 5+8-5=8 (vi gör allt i ordning - lägg till 8 till 5 och subtrahera sedan 5)

1. Om exemplet innehåller blandade operationer - addition, subtraktion, multiplikation och division, utför vi först och främst operationerna multiplikation och division, och sedan bara addition eller subtraktion.

Till exempel, 5+8*3=29 (multiplicera först 8 med 3 och lägg sedan till 5)

1. Om exemplet innehåller parenteser utförs åtgärderna inom parenteserna först.

Till exempel, 3*(5+8)=39 (först 5+8, och multiplicera sedan med 3)

multiplicera i valfri ordning.

Metodologiskt syftar denna regel till att förbereda barnet att bli bekant med metoderna för att multiplicera tal som slutar på nollor, så de introduceras till det först i fjärde klass. I verkligheten tillåter denna multiplikationsegenskap dig att rationalisera mentala beräkningar i både 2:a och 3:e klass.

Till exempel:

Beräkna: (7 2) 5 = ...

I det här fallet är det mycket lättare att beräkna alternativet

7 (2 5) = 7 10 - 70.

Beräkna: 12 (5 7) = ...

8 i det här fallet är det mycket lättare att beräkna alternativet (12-5)-7 = 60-7 = 420.

Beräkningstekniker

1. Multiplikation och division av tal som slutar på noll: 20 3; 3 20; 60:3; 80:20

Beräkningstekniken i detta fall handlar om att multiplicera och dividera ensiffriga tal som uttrycker antalet tiotal i givna tal. Till exempel:

20 3 =... 3 20 =... 60:3 = ...

2 dec. 3 = 20 3 = 60 b dec.: 3 = 2 dec.

20 - 3 = 60 3 20 = 60 60: 3 = 20

För 80:20-fallet kan två beräkningsmetoder användas: den som användes i tidigare fall och metoden för att välja kvot.

Till exempel: 80: 20 =... 80: 20 =...

8 dec.: 2 dec. = 4 eller 20 4 = 80

80: 20 = 4 80: 20 = 4

I det första fallet användes tekniken att representera tvåsiffriga tiotal i form av sifferenheter, vilket reducerar det aktuella fallet till ett tabellformat (8:2). I det andra fallet hittas kvotsiffran genom urval och kontrolleras genom multiplikation. I det andra fallet kanske barnet inte omedelbart väljer rätt nummer på kvoten, vilket innebär att kontrollen kommer att utföras mer än en gång.

2. Metod för att multiplicera ett tvåsiffrigt tal med ett ensiffrigt tal: 23 4; 4-23

När du multiplicerar ett tvåsiffrigt tal med ett ensiffrigt tal uppdateras följande kunskaper och färdigheter:

Vid multiplikation av formen 4 23 tillämpas först permutationen av faktorer, och sedan tillämpas samma multiplikationsschema som ovan.

3. Metod för att dividera ett tvåsiffrigt tal med ett ensiffrigt tal: 48:3; 48:2

När ett tvåsiffrigt tal divideras med ett ensiffrigt tal uppdateras följande kunskaper och färdigheter:

4. Metod för att dividera ett tvåsiffrigt tal med ett tvåsiffrigt tal: 68:17

När man dividerar ett tvåsiffrigt tal med ett tvåsiffrigt tal krävs följande kunskaper och färdigheter:

Svårigheten med den sista tekniken är att barnet inte omedelbart kan välja önskad siffra i kvoten och utför flera kontroller av de valda siffrorna, vilket kräver ganska komplexa beräkningar. Många barn spenderar mycket tid på att utföra beräkningar av denna typ, eftersom de inte börjar så mycket att välja rätt kvotnummer, utan snarare att sortera igenom alla faktorer i rad, med början på två.

För att underlätta beräkningar kan två tekniker användas:

1) orientering till den sista siffran i utdelningen;

2) avrundningsmetod.

Första mötet antar att när man väljer en möjlig siffra i en kvot, styrs barnet av kunskap om multiplikationstabellen, och multiplicerar omedelbart den valda siffran (talet) och den sista siffran i divisorn.

Till exempel, 3-7 = 21. Den sista siffran i talet 68 är 8, vilket betyder att det inte är någon idé att multiplicera 17 med 3, den sista siffran i divisorn stämmer fortfarande inte överens. Låt oss prova talet 4 i kvoten - multiplicera 7 4 = 28. Den sista siffran matchar, så det är vettigt att hitta produkten 17 4.

Andra mötet innebär att man avrundar divisorn och väljer kvotsiffran baserat på den avrundade divisorn.

Till exempel avrundas 68:17 divisor 17 till 20. En ungefärlig kvot på 3 ger, när den är markerad, 20 3 = 60< 68, значит имеет смысл сразу проверять в качестве цифры частного 4:17 4 = 68.

Dessa tekniker gör att du kan minska kostnaden för ansträngning och tid när du utför beräkningar av denna typ, men kräver god kunskap om multiplikationstabellen och förmågan att avrunda tal.

Heltal som slutar på 0,1,2,3,4 avrundas till närmaste hela tio, utan att dessa siffror ignoreras.

Till exempel ska siffrorna 12, 13, 14 avrundas till 10. Siffrorna 62, 63, 64 ska avrundas till 60.

Heltal som slutar på 5, 6, 7,8,9 avrundas uppåt till närmaste hela tio.

Till exempel avrundas talen 15,16,17,18,19 till 20. Siffrorna 45,47, 49 avrundas till 50.

Operationsordning i uttryck som innehåller multiplikation och division

Regler för åtgärdsordningen anger huvudegenskaperna för uttryck som ska användas vid beräkning av deras värden.

De första reglerna som definierar ordningen för operationer i aritmetiska uttryck specificerade ordningen för åtgärder i uttryck som innehåller additions- och subtraktionsoperationer:

1. I uttryck utan parentes som endast innehåller additions- och subtraktionsoperationer utförs åtgärderna i den ordning de skrivs: från vänster till höger.

2. Åtgärder inom parentes utförs först.

3. Om ett uttryck endast innehåller additionsåtgärder kan två angränsande termer alltid ersättas med deras summa (kombinativ egenskap för addition).

I årskurs 3 studeras nya regler för ordningen för att utföra åtgärder i uttryck som innehåller multiplikation och division:

4. I uttryck utan parentes som endast innehåller multiplikation och division, utförs åtgärderna i den ordning de skrivs: från vänster till höger.

5. I uttryck utan parentes utförs multiplikation och division före addition och subtraktion.

I det här fallet behålls inställningen för att utföra åtgärden inom parentes först. Möjliga fall av överträdelse av denna inställning diskuterades tidigare.

Regler för åtgärdsordningen är allmänna regler för beräkning av värden på matematiska uttryck (exempel), som bibehålls under hela matematikstudietiden i skolan. I detta avseende är att utveckla en tydlig förståelse hos ett barn av algoritmen för att utföra åtgärder en viktig successiv uppgift för att undervisa i matematik i grundskolan. Problemet är att reglerna för handlingsordningen är ganska varierande och inte alltid klart definierade.

Till exempel, i uttrycket 48-3 + 7 + 8, bör regel 1 som en allmän regel tillämpas för ett uttryck utan parentes som innehåller additions- och subtraktionsoperationer. Samtidigt, som ett alternativ för rationella beräkningar, kan du använda tekniken att ersätta summan av delen 7 + 8, eftersom efter att ha subtraherat talet 3 från 48 får du 45, till vilket det är bekvämt att lägga till 15.

En sådan analys av ett sådant uttryck tillhandahålls dock inte i de elementära årskurserna, eftersom det finns farhågor för att med en otillräcklig förståelse för detta tillvägagångssätt kommer barnet att använda det i fall av formen 72 - 9 - 3 + 6. I denna fall, att ersätta uttrycket 3 + 6 med en summa är omöjligt, det kommer att leda till fel svar.

Stor variation i tillämpningen av hela gruppen av regler och varianter av regler för att bestämma handlingsordningen kräver betydande flexibilitet i tänkandet, en god förståelse för innebörden av matematiska handlingar, sekvensen av mentala handlingar, matematisk "känsla" och intuition ( matematiker kallar detta "talkänsla"). I verkligheten är det mycket lättare att lära ett barn att strikt följa en tydligt etablerad procedur för att analysera ett numeriskt uttryck utifrån de funktioner som varje regel är fokuserad på.

När du bestämmer handlingssättet, tänk så här:

1) Om det finns parenteser utför jag åtgärden som skrivits inom parentes först.

2) Jag utför multiplikation och division i ordning.

3) Jag utför addition och subtraktion i ordning.

Denna algoritm sätter ordningen på åtgärder ganska entydigt, men med mindre variationer.

I dessa uttryck bestäms handlingsordningen unikt av algoritmen och är den enda möjliga. Låt oss ge andra exempel

Efter att ha utfört multiplikation och division i det här exemplet kan du omedelbart lägga till 6 till 54 och subtrahera 9 från 18 och sedan lägga till resultaten. Tekniskt sett skulle det vara mycket enklare än den väg som bestäms av algoritmen en initialt annan ordning av åtgärder i exemplet är möjlig:

Således motsäger frågan om att utveckla förmågan att bestämma handlingsordningen i uttryck i grundskolan på ett visst sätt behovet av att lära barnet metoder för rationella beräkningar.

Till exempel, i det här fallet, bestäms handlingsordningen helt otvetydigt av algoritmen och kräver en serie komplexa mentala beräkningar med övergångar genom siffrorna: 42 - 7 och 35 + 8.

Om du efter att ha utfört divisionen 21:3 gör additionen 42 + 8 = 50, och sedan subtraherar 50 - 7 = 43, vilket är mycket enklare rent tekniskt, blir svaret detsamma. Denna beräkningsväg motsäger den inställning som anges i läroboken

Och när du beräknar värdena för uttryck utförs åtgärder i en viss ordning, med andra ord måste du observera ordning av åtgärder.

I den här artikeln kommer vi att ta reda på vilka åtgärder som ska utföras först och vilka efter dem. Låt oss börja med de enklaste fallen, när uttrycket bara innehåller siffror eller variabler kopplade med plus, minus, multiplicera och dividera tecken. Därefter kommer vi att förklara vilken ordning av åtgärder som ska följas inom uttryck med parenteser. Låt oss slutligen titta på i vilken ordning åtgärder utförs i uttryck som innehåller krafter, rötter och andra funktioner.

Sidnavigering.

Först multiplikation och division, sedan addition och subtraktion

Skolan ger följande en regel som bestämmer i vilken ordning åtgärder utförs i uttryck utan parentes:

• åtgärder utförs i ordning från vänster till höger,
• Dessutom utförs multiplikation och division först, och sedan addition och subtraktion.

Den angivna regeln uppfattas helt naturligt. Att utföra åtgärder i ordning från vänster till höger förklaras av det faktum att det är vanligt för oss att föra register från vänster till höger. Och det faktum att multiplikation och division utförs före addition och subtraktion förklaras av den innebörd som dessa åtgärder bär.

Låt oss titta på några exempel på hur denna regel gäller. Som exempel kommer vi att ta de enklaste numeriska uttrycken för att inte bli distraherade av beräkningar, utan för att fokusera specifikt på handlingsordningen.

Exempel.

Följ steg 7−3+6.

Lösning.

Det ursprungliga uttrycket innehåller inte parenteser och det innehåller inte multiplikation eller division. Därför bör vi utföra alla åtgärder i ordning från vänster till höger, det vill säga först subtraherar vi 3 från 7, vi får 4, varefter vi lägger till 6 till den resulterande skillnaden på 4, vi får 10.

Kortfattat kan lösningen skrivas så här: 7−3+6=4+6=10.

Svar:

7−3+6=10 .

Exempel.

Ange handlingsordningen i uttrycket 6:2·8:3.

Lösning.

För att svara på frågan om problemet, låt oss vända oss till regeln som indikerar ordningen för utförande av åtgärder i uttryck utan parentes. Det ursprungliga uttrycket innehåller endast operationerna multiplikation och division, och enligt regeln måste de utföras i ordning från vänster till höger.

Svar:

I början Vi dividerar 6 med 2, multiplicerar denna kvot med 8 och dividerar slutligen resultatet med 3.

Exempel.

Beräkna värdet på uttrycket 17−5·6:3−2+4:2.

Lösning.

Låt oss först bestämma i vilken ordning åtgärderna i det ursprungliga uttrycket ska utföras. Den innehåller både multiplikation och division och addition och subtraktion. Först, från vänster till höger, måste du utföra multiplikation och division. Så vi multiplicerar 5 med 6, vi får 30, vi dividerar detta tal med 3, vi får 10. Nu delar vi 4 med 2, vi får 2. Vi ersätter det funna värdet 10 i det ursprungliga uttrycket istället för 5·6:3, och istället för 4:2 - värdet 2, har vi 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Det resulterande uttrycket innehåller inte längre multiplikation och division, så det återstår att utföra de återstående åtgärderna i ordning från vänster till höger: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Svar:

17−5·6:3−2+4:2=7.

Till en början, för att inte blanda ihop ordningen i vilka åtgärder utförs vid beräkning av värdet på ett uttryck, är det bekvämt att placera siffror ovanför åtgärdstecken som motsvarar den ordning i vilka de utförs. För det föregående exemplet skulle det se ut så här: .

Samma operationsordning – först multiplikation och division, sedan addition och subtraktion – bör följas när man arbetar med bokstavsuttryck.

Åtgärder i det första och andra steget

I vissa läroböcker i matematik finns en uppdelning av aritmetiska operationer i operationer av det första och andra steget. Låt oss ta reda på det här.

Definition.

Åtgärder i det första steget addition och subtraktion kallas, och multiplikation och division kallas åtgärder i andra steget.

I dessa termer kommer regeln från föregående stycke, som bestämmer ordningen för utförande av åtgärder, att skrivas enligt följande: om uttrycket inte innehåller parentes, sedan i ordning från vänster till höger, först åtgärderna i det andra steget ( multiplikation och division) utförs, sedan åtgärderna i det första steget (addition och subtraktion).

Ordning för aritmetiska operationer i uttryck med parentes

Uttryck innehåller ofta parenteser för att indikera i vilken ordning åtgärder ska utföras. I detta fall en regel som anger ordningen för utförande av åtgärder inom uttryck med parentes, formuleras enligt följande: först utförs åtgärderna inom parentes, medan multiplikation och division också utförs i ordning från vänster till höger, sedan addition och subtraktion.

Så uttrycken inom parentes betraktas som komponenter i det ursprungliga uttrycket, och de behåller den ordning som vi redan känner till. Låt oss titta på lösningarna på exemplen för större tydlighet.

Exempel.

Följ dessa steg 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Lösning.

Uttrycket innehåller parenteser, så låt oss först utföra åtgärderna i uttrycken inom dessa parenteser. Låt oss börja med uttrycket 7−2·3. I den måste du först utföra multiplikation, och först sedan subtraktion, vi har 7−2·3=7−6=1. Låt oss gå vidare till det andra uttrycket inom parentes 6−4. Det finns bara en åtgärd här - subtraktion, vi utför den 6−4 = 2.

Vi ersätter de erhållna värdena med det ursprungliga uttrycket: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. I det resulterande uttrycket utför vi först multiplikation och division från vänster till höger, sedan subtraktion, vi får 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. Vid denna tidpunkt är alla åtgärder slutförda, vi höll oss till följande ordning för deras implementering: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Låt oss skriva ner en kort lösning: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Svar:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Det händer att ett uttryck innehåller parenteser inom parentes. Det finns ingen anledning att vara rädd för detta, du behöver bara konsekvent tillämpa den angivna regeln för att utföra åtgärder inom uttryck med parentes. Låt oss visa lösningen på exemplet.

Exempel.

Utför operationerna i uttrycket 4+(3+1+4·(2+3)) .

Lösning.

Detta är ett uttryck med parenteser, vilket betyder att exekveringen av åtgärder måste börja med uttrycket inom parentes, det vill säga med 3+1+4·(2+3) . Detta uttryck innehåller också parenteser, så du måste utföra åtgärderna i dem först. Låt oss göra så här: 2+3=5. Om vi ​​ersätter det hittade värdet får vi 3+1+4·5. I detta uttryck utför vi först multiplikation, sedan addition, vi har 3+1+4·5=3+1+20=24. Det initiala värdet, efter att ha ersatt detta värde, har formen 4+24, och allt som återstår är att slutföra åtgärderna: 4+24=28.

Svar:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

I allmänhet, när ett uttryck innehåller parenteser inom parentes, är det ofta bekvämt att utföra åtgärder som börjar med de inre parenteserna och flyttar till de yttre.

Låt oss till exempel säga att vi behöver utföra åtgärderna i uttrycket (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Först utför vi åtgärderna inom de inre parenteserna, eftersom 4−6:2=4−3=1, sedan kommer det ursprungliga uttrycket att ha formen (4+(4+1)−1)−1. Vi utför återigen åtgärden inom de inre parenteserna, eftersom 4+1=5 kommer vi fram till följande uttryck (4+5−1)−1. Återigen utför vi åtgärderna inom parentes: 4+5−1=8, och vi kommer fram till skillnaden 8−1, som är lika med 7.

Alfa står för reellt tal. Likhetstecknet i uttrycken ovan indikerar att om du lägger till ett tal eller oändlighet till oändlighet kommer ingenting att förändras, resultatet blir samma oändlighet. Om vi ​​tar den oändliga mängden naturliga tal som ett exempel, kan de övervägda exemplen representeras i denna form:

För att tydligt bevisa att de hade rätt kom matematiker på många olika metoder. Personligen ser jag på alla dessa metoder som shamaner som dansar med tamburiner. I grund och botten handlar de alla om att antingen är några av rummen obebodda och nya gäster flyttar in, eller att några av besökarna kastas ut i korridoren för att ge plats åt gäster (mycket mänskligt). Jag presenterade min syn på sådana beslut i form av en fantasiberättelse om blondinen. Vad bygger mitt resonemang på? Att flytta ett oändligt antal besökare tar oändligt lång tid. Efter att vi har lämnat det första rummet för en gäst, kommer en av besökarna alltid att gå längs korridoren från sitt rum till nästa till tidens slut. Naturligtvis kan tidsfaktorn ignoreras dumt, men detta kommer att vara i kategorin "ingen lag är skriven för dårar." Allt beror på vad vi gör: att anpassa verkligheten till matematiska teorier eller vice versa.

Vad är ett "ändlöst hotell"? Ett oändligt hotell är ett hotell som alltid har hur många tomma bäddar som helst, oavsett hur många rum som är upptagna. Om alla rum i den ändlösa "besökar"-korridoren är upptagna, finns det ytterligare en ändlös korridor med "gäst"-rum. Det kommer att finnas ett oändligt antal sådana korridorer. Dessutom har det "oändliga hotellet" ett oändligt antal våningar i ett oändligt antal byggnader på ett oändligt antal planeter i ett oändligt antal universum skapade av ett oändligt antal gudar. Matematiker kan inte ta avstånd från banala vardagsproblem: det finns alltid bara en Gud-Allah-Buddha, det finns bara ett hotell, det finns bara en korridor. Så matematiker försöker jonglera med serienumren på hotellrum och övertygar oss om att det är möjligt att "skjuta in det omöjliga."

Jag kommer att visa logiken i mitt resonemang för dig med exemplet med en oändlig uppsättning naturliga tal. Först måste du svara på en mycket enkel fråga: hur många uppsättningar av naturliga tal finns det - en eller många? Det finns inget korrekt svar på denna fråga, eftersom vi själva uppfann siffror finns inte i naturen. Ja, naturen är bra på att räkna, men för detta använder hon andra matematiska verktyg som inte är bekanta för oss. Jag ska berätta vad naturen tycker en annan gång. Eftersom vi uppfann siffror kommer vi själva att bestämma hur många uppsättningar naturliga tal det finns. Låt oss överväga båda alternativen, som det anstår verkliga vetenskapsmän.

Alternativ ett. "Låt oss ges" en enda uppsättning naturliga tal, som ligger lugnt på hyllan. Vi tar detta set från hyllan. Det är det, det finns inga andra naturliga tal kvar på hyllan och ingenstans att ta dem. Vi kan inte lägga till en till denna uppsättning, eftersom vi redan har den. Tänk om du verkligen vill? Inga problem. Vi kan ta en från uppsättningen vi redan har tagit och lämna tillbaka den till hyllan. Efter det kan vi ta en från hyllan och lägga till det vi har kvar. Som ett resultat kommer vi återigen att få en oändlig uppsättning naturliga tal. Du kan skriva ner alla våra manipulationer så här:

Jag skrev ner åtgärderna i algebraisk notation och i mängdteorinotation, med en detaljerad lista över elementen i mängden. Underskriften indikerar att vi har en och enda uppsättning naturliga tal. Det visar sig att mängden naturliga tal kommer att förbli oförändrad endast om ett subtraheras från det och samma enhet läggs till.

Alternativ två. Vi har många olika oändliga uppsättningar av naturliga tal på vår hylla. Jag betonar - OLIKA, trots att de är praktiskt taget omöjliga att skilja. Låt oss ta en av dessa uppsättningar. Sedan tar vi en från en annan uppsättning naturliga tal och lägger till den till den uppsättning vi redan har tagit. Vi kan till och med lägga till två uppsättningar naturliga tal. Detta är vad vi får:

Undertexterna "ett" och "två" indikerar att dessa element tillhörde olika uppsättningar. Ja, om du lägger till en till en oändlig uppsättning blir resultatet också en oändlig uppsättning, men det blir inte samma sak som originaluppsättningen. Om du lägger till ytterligare en oändlig uppsättning till en oändlig uppsättning, blir resultatet en ny oändlig uppsättning som består av element från de två första uppsättningarna.

Mängden naturliga tal används för att räkna på samma sätt som en linjal används för att mäta. Föreställ dig nu att du lagt till en centimeter till linjalen. Detta kommer att vara en annan linje, inte lika med den ursprungliga.

Du kan acceptera eller inte acceptera mitt resonemang – det är din egen sak. Men om du någonsin stöter på matematiska problem, fundera på om du följer den väg av falska resonemang som trampats av generationer av matematiker. När allt kommer omkring, att studera matematik, först och främst, bildar en stabil stereotyp av tänkande i oss, och först då ökar våra mentala förmågor (eller, omvänt, berövar oss fritt tänkande).

Söndagen den 4 augusti 2019

Jag höll på att avsluta ett efterskrift till en artikel om och såg denna underbara text på Wikipedia:

Vi läser: "... den rika teoretiska grunden för matematiken i Babylon hade inte en holistisk karaktär och reducerades till en uppsättning olika tekniker, utan ett gemensamt system och bevisbas."

Wow! Hur smarta vi är och hur väl vi kan se andras brister. Är det svårt för oss att se modern matematik i samma sammanhang? Lite omskrivning av texten ovan fick jag personligen följande:

Den rika teoretiska grunden för modern matematik är inte holistisk till sin natur och reduceras till en uppsättning disparata avsnitt, utan ett gemensamt system och bevisbas.

Jag ska inte gå långt för att bekräfta mina ord - det har ett språk och konventioner som skiljer sig från språket och konventionerna i många andra grenar av matematiken. Samma namn inom olika grenar av matematiken kan ha olika betydelser. Jag vill ägna en hel serie publikationer åt de mest uppenbara misstagen i modern matematik. Ses snart.

Lördagen den 3 augusti 2019

Hur delar man upp en uppsättning i delmängder? För att göra detta måste du ange en ny måttenhet som finns i några av elementen i den valda uppsättningen. Låt oss titta på ett exempel.

Må vi ha massor A bestående av fyra personer. Denna uppsättning är bildad på basis av "människor." A, kommer prenumerationen med ett nummer att indikera serienumret för varje person i denna uppsättning. Låt oss introducera en ny måttenhet "kön" och beteckna den med bokstaven b. Eftersom sexuella egenskaper är inneboende hos alla människor, multiplicerar vi varje element i setet A baserat på kön b. Lägg märke till att vår uppsättning "människor" nu har blivit en uppsättning "människor med könsegenskaper." Efter detta kan vi dela upp de sexuella egenskaperna i manliga bm och kvinnors bw sexuella egenskaper. Nu kan vi tillämpa ett matematiskt filter: vi väljer en av dessa sexuella egenskaper, oavsett vilken - man eller kvinna. Om en person har det, multiplicerar vi det med ett, om det inte finns något sådant tecken, multiplicerar vi det med noll. Och så använder vi vanlig skolmatematik. Titta vad som hände.

Efter multiplikation, reduktion och omarrangering slutade vi med två delmängder: delmängden män Bm och en undergrupp av kvinnor Bw. Matematiker resonerar ungefär på samma sätt när de tillämpar mängdlära i praktiken. Men de berättar inte detaljerna för oss, utan ger oss det färdiga resultatet - "många människor består av en undergrupp av män och en undergrupp av kvinnor." Naturligtvis kan du ha en fråga: hur korrekt har matematiken tillämpats i de transformationer som beskrivs ovan? Jag vågar försäkra dig om att i princip allt gjordes korrekt, det räcker med att känna till den matematiska grunden för aritmetik, boolesk algebra och andra grenar av matematiken. Vad det är? Någon annan gång ska jag berätta om detta.

När det gäller supermängder kan du kombinera två uppsättningar till en superset genom att välja måttenheten som finns i elementen i dessa två uppsättningar.

Som du kan se gör måttenheter och vanlig matematik mängdlära till en kvarleva från det förflutna. Ett tecken på att allt inte är bra med mängdlära är att matematiker har kommit på ett eget språk och notation för mängdlära. Matematiker agerade som shamaner en gång gjorde. Endast shamaner vet hur man "korrekt" tillämpar sin "kunskap". De lär oss denna "kunskap".

Avslutningsvis vill jag visa dig hur matematiker manipulerar .

Måndagen den 7 januari 2019

På det femte århundradet f.Kr. formulerade den antika grekiske filosofen Zeno av Elea sina berömda aporier, varav den mest kända är "Akilles och sköldpaddan". Så här låter det:

Låt oss säga att Akilles springer tio gånger snabbare än sköldpaddan och är tusen steg bakom den. Under den tid det tar Achilles att springa denna sträcka kommer sköldpaddan att krypa hundra steg åt samma håll. När Akilles springer hundra steg, kryper sköldpaddan ytterligare tio steg, och så vidare. Processen kommer att fortsätta i det oändliga, Achilles kommer aldrig ikapp sköldpaddan.

Detta resonemang blev en logisk chock för alla efterföljande generationer. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... De betraktade alla Zenons aporia på ett eller annat sätt. Chocken var så stark att " ... diskussionerna fortsätter än i dag har det vetenskapliga samfundet ännu inte kunnat komma fram till en gemensam åsikt om paradoxernas väsen ... matematisk analys, mängdteori, nya fysiska och filosofiska tillvägagångssätt var inblandade i studiet av frågan; ; ingen av dem blev en allmänt accepterad lösning på problemet..."[Wikipedia, "Zenos Aporia". Alla förstår att de blir lurade, men ingen förstår vad bedrägeriet består av.

Ur en matematisk synvinkel visade Zeno i sin aporia tydligt övergången från kvantitet till . Denna övergång innebär tillämpning istället för permanenta. Så vitt jag förstår har den matematiska apparaten för att använda variabla måttenheter antingen inte utvecklats ännu, eller så har den inte tillämpats på Zenos aporia. Att tillämpa vår vanliga logik leder oss in i en fälla. Vi, på grund av tänkandets tröghet, tillämpar konstanta tidsenheter på det ömsesidiga värdet. Ur fysisk synvinkel ser det ut som att tiden saktar ner tills den stannar helt i det ögonblick då Akilles kommer ikapp sköldpaddan. Om tiden stannar kan Achilles inte längre springa ur sköldpaddan.

Om vi ​​vänder på vår vanliga logik faller allt på plats. Akilles springer i konstant hastighet. Varje efterföljande segment av hans väg är tio gånger kortare än den föregående. Följaktligen är tiden för att övervinna det tio gånger mindre än den föregående. Om vi ​​tillämpar begreppet "oändlighet" i denna situation, skulle det vara korrekt att säga "Akilles kommer ikapp sköldpaddan oändligt snabbt."

Hur undviker man denna logiska fälla? Förbli i konstanta tidsenheter och byt inte till ömsesidiga enheter. På Zenos språk ser det ut så här:

Under den tid det tar Akilles att springa tusen steg kommer sköldpaddan att krypa hundra steg åt samma håll. Under nästa tidsintervall lika med det första kommer Akilles att springa ytterligare tusen steg, och sköldpaddan kommer att krypa hundra steg. Nu är Akilles åttahundra steg före sköldpaddan.

Detta tillvägagångssätt beskriver verkligheten adekvat utan några logiska paradoxer. Men detta är inte en fullständig lösning på problemet. Einsteins uttalande om ljushastighetens oemotståndlighet är mycket lik Zenons aporia "Akilles och sköldpaddan". Vi måste fortfarande studera, tänka om och lösa detta problem. Och lösningen måste sökas inte i oändligt stora antal, utan i måttenheter.

En annan intressant aporia av Zeno berättar om en flygande pil:

En flygande pil är orörlig, eftersom den vid varje tidpunkt är i vila, och eftersom den är i vila vid varje tidpunkt, är den alltid i vila.

I denna aporia övervinns den logiska paradoxen väldigt enkelt - det räcker för att klargöra att en flygande pil vid varje tidpunkt är i vila på olika punkter i rymden, vilket i själva verket är rörelse. En annan punkt måste noteras här. Från ett fotografi av en bil på vägen är det omöjligt att avgöra vare sig rörelsen eller avståndet till den. För att avgöra om en bil rör sig behöver du två fotografier tagna från samma punkt vid olika tidpunkter, men du kan inte bestämma avståndet från dem. För att bestämma avståndet till en bil behöver du två fotografier tagna från olika punkter i rymden vid en tidpunkt, men från dem kan du inte bestämma rörelsen (naturligtvis behöver du fortfarande ytterligare data för beräkningar, trigonometri hjälper dig ). Det jag särskilt vill uppmärksamma är att två punkter i tid och två punkter i rummet är olika saker som inte ska blandas ihop, eftersom de ger olika möjligheter till forskning.

Onsdagen den 4 juli 2018

Jag har redan berättat för dig att med hjälp av vilka shamaner försöker sortera "" verkligheten. Hur gör de detta? Hur sker egentligen bildandet av en uppsättning?

Låt oss ta en närmare titt på definitionen av en uppsättning: "en samling av olika element, tänkt som en enda helhet." Känn nu skillnaden mellan två fraser: "tänkbar som helhet" och "tänkbar som helhet." Den första frasen är slutresultatet, uppsättningen. Den andra frasen är en preliminär förberedelse för bildandet av en mängd. I detta skede är verkligheten uppdelad i individuella element (”helheten”), av vilka en mängd sedan kommer att bildas (den ”enda helheten”). Samtidigt övervakas faktorn som gör det möjligt att kombinera "helheten" till en "enkel helhet", annars kommer shamanerna inte att lyckas. Shamanerna vet ju i förväg vilken typ av uppsättning de vill demonstrera för oss.

Jag ska visa dig processen med ett exempel. Vi väljer den "röda fasta delen i en finne" - det här är vår "helhet". Samtidigt ser vi att dessa saker är med båge, och det finns utan båge. Efter det väljer vi en del av "helheten" och bildar en uppsättning "med en båge". Detta är hur shamaner får sin mat genom att binda sin uppsättningsteori till verkligheten.

Låt oss nu göra ett litet trick. Låt oss ta "fast med en finne med en rosett" och kombinera dessa "helheter" efter färg och välja de röda elementen. Vi fick mycket "rött". Nu är den sista frågan: är de resulterande seten "med båge" och "röda" samma set eller två olika set? Bara shamaner vet svaret. Mer exakt, de själva vet ingenting, men som de säger, så kommer det att bli.

Detta enkla exempel visar att mängdlära är helt värdelös när det kommer till verkligheten. Vad är hemligheten? Vi bildade en uppsättning av "röd fast med en finne och en rosett." Formningen skedde i fyra olika måttenheter: färg (röd), styrka (fast), grovhet (finnig), dekoration (med rosett). Endast en uppsättning måttenheter tillåter oss att adekvat beskriva verkliga objekt på matematikens språk. Så här ser det ut.

Bokstaven "a" med olika index betecknar olika måttenheter. De måttenheter med vilka "helheten" särskiljs i det preliminära skedet är markerade inom parentes. Måttenheten med vilken uppsättningen bildas tas ur parentes. Den sista raden visar det slutliga resultatet - en del av uppsättningen. Som du kan se, om vi använder måttenheter för att bilda en uppsättning, beror resultatet inte på ordningen på våra handlingar. Och det här är matematik, och inte shamanernas dans med tamburiner. Shamaner kan "intuitivt" komma till samma resultat, och hävda att det är "uppenbart", eftersom måttenheter inte är en del av deras "vetenskapliga" arsenal.

Med hjälp av måttenheter är det mycket enkelt att dela upp en uppsättning eller kombinera flera uppsättningar till en superset. Låt oss ta en närmare titt på algebra för denna process.

Lördagen den 30 juni 2018

Om matematiker inte kan reducera ett begrepp till andra begrepp, då förstår de ingenting om matematik. Jag svarar: hur skiljer sig elementen i en uppsättning från elementen i en annan uppsättning? Svaret är mycket enkelt: siffror och måttenheter.

Idag hör allt som vi inte tar till någon uppsättning (som matematiker försäkrar oss). Förresten, såg du i spegeln i pannan en lista på de där uppsättningarna du tillhör? Och jag har inte sett en sådan lista. Jag ska säga mer - inte en enda sak i verkligheten har en tagg med en lista över de uppsättningar som den här saken tillhör. Uppsättningar är alla uppfinningar av shamaner. Hur gör dom det? Låt oss titta lite djupare in i historien och se hur elementen i uppsättningen såg ut innan matematikerschamanerna tog dem in i sina uppsättningar.

För länge sedan, när ingen någonsin hade hört talas om matematik, och bara träd och Saturnus hade ringar, strövade enorma flockar av vilda element av uppsättningar runt de fysiska fälten (trots allt hade shamaner ännu inte uppfunnit matematiska fält). De såg ut ungefär så här.

Ja, bli inte förvånad, ur matematikens synvinkel är alla element i set mest lika sjöborrar - från en punkt, som nålar, sticker måttenheter ut i alla riktningar. För dem som påminner om att vilken måttenhet som helst kan representeras geometriskt som ett segment av godtycklig längd och ett tal som en punkt. Geometriskt kan vilken kvantitet som helst representeras som ett gäng segment som sticker ut i olika riktningar från en punkt. Denna punkt är noll. Jag kommer inte att rita det här geometriska konstverket (ingen inspiration), men du kan lätt föreställa dig det.

Vilka måttenheter utgör ett element i en mängd? Alla möjliga saker som beskriver ett givet element ur olika synvinklar. Det är uråldriga måttenheter som våra förfäder använde och som alla länge har glömt bort. Det här är de moderna måttenheter som vi använder nu. Det är också för oss okända måttenheter som våra ättlingar kommer på och som de kommer att använda för att beskriva verkligheten.

Vi har sorterat ut geometrin - den föreslagna modellen av elementen i uppsättningen har en tydlig geometrisk representation. Hur är det med fysiken? Måttenheter är den direkta kopplingen mellan matematik och fysik. Om shamaner inte känner igen måttenheter som ett fullfjädrat element i matematiska teorier, är detta deras problem. Jag personligen kan inte föreställa mig den verkliga vetenskapen om matematik utan måttenheter. Det är därför jag i början av berättelsen om mängdlära talade om att den befann sig på stenåldern.

Men låt oss gå vidare till det mest intressanta - algebra av element i mängder. Algebraiskt är alla element i en mängd en produkt (resultatet av multiplikation) av olika kvantiteter. Det ser ut så här.

Jag använde medvetet inte mängdteorins konventioner, eftersom vi överväger en del av en mängd i dess naturliga miljö innan mängdlärans uppkomst. Varje bokstäver inom parentes anger en separat kvantitet, bestående av en siffra indikerad med bokstaven " n" och måttenheten som anges med bokstaven " a". Indexen bredvid bokstäverna indikerar att siffrorna och måttenheterna är olika. Ett element i uppsättningen kan bestå av ett oändligt antal kvantiteter (hur mycket vi och våra ättlingar har tillräckligt med fantasi). Varje parentes är geometriskt avbildad som ett separat segment I exemplet med sjöborre är ett fäste en nål.

Hur bildar shamaner set från olika element? I själva verket med måttenheter eller siffror. Eftersom de inte förstår något om matematik, tar de olika sjöborrar och undersöker dem noggrant på jakt efter den enda nålen, längs vilken de bildar en uppsättning. Om det finns en sådan nål, så hör detta element till uppsättningen, om det inte finns någon sådan nål, är detta element inte från denna uppsättning. Shamaner berättar för oss fabler om tankeprocesser och helheten.

Som du kanske har gissat kan samma element tillhöra väldigt olika uppsättningar. Härnäst kommer jag att visa dig hur uppsättningar, delmängder och annat shamanskt nonsens bildas. Som du kan se, "det kan inte finnas två identiska element i en uppsättning", men om det finns identiska element i en uppsättning kallas en sådan uppsättning en "multiset". Förnuftiga varelser kommer aldrig att förstå en sådan absurd logik. Detta är nivån av pratande papegojor och tränade apor, som inte har någon intelligens från ordet "helt". Matematiker fungerar som vanliga tränare och predikar för oss sina absurda idéer.

En gång i tiden var ingenjörerna som byggde bron i en båt under bron medan de testade bron. Om bron kollapsade, dog den mediokra ingenjören under spillrorna av sin skapelse. Om bron kunde stå emot belastningen byggde den begåvade ingenjören andra broar.

Oavsett hur matematiker gömmer sig bakom frasen "tänk på att jag är i huset", eller snarare, "matematiken studerar abstrakta begrepp", så finns det en navelsträng som oupplösligt förbinder dem med verkligheten. Den här navelsträngen är pengar. Låt oss tillämpa matematisk mängdlära på matematikerna själva.

Vi pluggade matematik väldigt bra och nu sitter vi i kassan och delar ut löner. Så en matematiker kommer till oss för sina pengar. Vi räknar ut hela beloppet till honom och lägger ut det på vårt bord i olika högar, i vilka vi lägger sedlar av samma valör. Sedan tar vi en sedel från varje hög och ger matematikern hans "matematiska lön." Låt oss förklara för matematikern att han kommer att få de återstående sedlarna först när han bevisar att en mängd utan identiska element inte är lika med en mängd med identiska element. Det är här det roliga börjar.

Först och främst kommer deputeradenas logik att fungera: "Detta kan tillämpas på andra, men inte på mig!" Då kommer de att börja försäkra oss om att sedlar av samma valör har olika sedelnummer, vilket innebär att de inte kan betraktas som samma element. Okej, låt oss räkna löner i mynt – det finns inga siffror på mynten. Här kommer matematikern att frenetiskt börja minnas fysiken: olika mynt har olika mängd smuts, kristallstrukturen och arrangemanget av atomer är unikt för varje mynt...

Och nu har jag den mest intressanta frågan: var är linjen bortom vilken elementen i en multiset förvandlas till element i en uppsättning och vice versa? En sådan linje finns inte - allt bestäms av shamaner, vetenskapen är inte ens i närheten av att ljuga här.

Titta här. Vi väljer fotbollsarenor med samma planyta. Områdena i fälten är desamma - vilket betyder att vi har en multiset. Men om vi tittar på namnen på samma arenor får vi många, eftersom namnen är olika. Som du kan se är samma uppsättning element både en uppsättning och en multiuppsättning. Vilket är korrekt? Och här drar matematiker-shaman-skarpisten fram ett trumfess ur ärmen och börjar berätta antingen om en set eller en multiset. Han kommer i alla fall att övertyga oss om att han har rätt.

För att förstå hur moderna shamaner arbetar med mängdteori och knyter den till verkligheten räcker det med att svara på en fråga: hur skiljer sig elementen i en uppsättning från elementen i en annan uppsättning? Jag ska visa dig, utan någon "tänkbar som inte en enda helhet" eller "inte tänkbar som en enda helhet."

När vi arbetar med olika uttryck som innehåller siffror, bokstäver och variabler måste vi utföra ett stort antal aritmetiska operationer. När vi gör en konvertering eller beräknar ett värde är det mycket viktigt att följa rätt ordning för dessa åtgärder. Med andra ord har aritmetiska operationer sin egen speciella ordningsföljd.

Yandex.RTB R-A-339285-1

I den här artikeln kommer vi att berätta vilka åtgärder som ska göras först och vilka efter. Låt oss först titta på några enkla uttryck som bara innehåller variabler eller numeriska värden, såväl som division, multiplikation, subtraktion och additionstecken. Låt oss sedan ta exempel med parentes och fundera på i vilken ordning de ska beräknas. I den tredje delen kommer vi att ge den nödvändiga ordningen för transformationer och beräkningar i de exempel som inkluderar tecken på rötter, potenser och andra funktioner.

Definition 1

När det gäller uttryck utan parentes, bestäms handlingsordningen entydigt:

1. Alla åtgärder utförs från vänster till höger.
2. Vi utför division och multiplikation först, och subtraktion och addition sedan.

Innebörden av dessa regler är lätt att förstå. Den traditionella skrivordningen från vänster till höger definierar den grundläggande sekvensen av beräkningar, och behovet av att multiplicera eller dividera först förklaras av själva kärnan i dessa operationer.

Låt oss ta några uppgifter för tydlighetens skull. Vi använde bara de enklaste numeriska uttrycken så att alla beräkningar kunde göras mentalt. På så sätt kan du snabbt komma ihåg önskad ordning och snabbt kontrollera resultatet.

Exempel 1

Skick: räkna ut hur mycket det blir 7 − 3 + 6 .

Lösning

Det finns inga parenteser i vårt uttryck, det finns heller ingen multiplikation och division, så vi utför alla åtgärder i den angivna ordningen. Först subtraherar vi tre från sju, lägger sedan sex till resten och slutar med tio. Här är en utskrift av hela lösningen:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Svar: 7 − 3 + 6 = 10 .

Exempel 2

Skick: i vilken ordning ska beräkningarna utföras i uttrycket? 6:2 8:3?

Lösning

För att svara på denna fråga, låt oss läsa om regeln för uttryck utan parentes som vi formulerade tidigare. Vi har bara multiplikation och division här, vilket innebär att vi behåller den skrivna ordningen för beräkningar och räknar sekventiellt från vänster till höger.

Svar: Först dividerar vi sex med två, multiplicerar resultatet med åtta och dividerar det resulterande talet med tre.

Exempel 3

Skick: beräkna hur mycket det blir 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

Lösning

Låt oss först bestämma den korrekta ordningen för operationer, eftersom vi har alla de grundläggande typerna av aritmetiska operationer här - addition, subtraktion, multiplikation, division. Det första vi behöver göra är att dividera och multiplicera. Dessa åtgärder har inte prioritet framför varandra, så vi utför dem i skriftlig ordning från höger till vänster. Det vill säga, 5 måste multipliceras med 6 för att få 30, sedan 30 dividerat med 3 för att få 10. Efter det, dividera 4 med 2, detta är 2. Låt oss ersätta de hittade värdena med det ursprungliga uttrycket:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Det finns inte längre division eller multiplikation här, så vi gör de återstående beräkningarna i ordning och får svaret:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Svar:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Tills ordningen för att utföra åtgärder är ordentligt memorerad kan du sätta siffror ovanför tecknen för aritmetiska operationer som indikerar beräkningsordningen. Till exempel, för problemet ovan skulle vi kunna skriva det så här:

Om vi ​​har bokstavsuttryck, så gör vi samma sak med dem: först multiplicerar vi och dividerar, sedan adderar vi och subtraherar.

Vilka är de första och andra stegens åtgärder?

Ibland i uppslagsböcker är alla aritmetiska operationer uppdelade i åtgärder i det första och andra steget. Låt oss formulera den nödvändiga definitionen.

Operationerna i det första steget inkluderar subtraktion och addition, den andra - multiplikation och division.

Genom att känna till dessa namn kan vi skriva den tidigare givna regeln om åtgärdsordningen enligt följande:

Definition 2

I ett uttryck som inte innehåller parentes måste du först utföra åtgärderna för det andra steget i riktning från vänster till höger, sedan åtgärderna för det första steget (i samma riktning).

Beräkningsordning i uttryck med parentes

Parenteserna i sig är ett tecken som talar om för oss den önskade ordningen av åtgärder. I det här fallet kan den nödvändiga regeln skrivas enligt följande:

Definition 3

Om det finns parenteser i uttrycket, så är det första steget att utföra operationen i dem, varefter vi multiplicerar och dividerar och sedan adderar och subtraherar från vänster till höger.

När det gäller själva parentetiska uttrycket kan det betraktas som en integrerad del av huvuduttrycket. När vi beräknar värdet på uttrycket inom parentes, upprätthåller vi samma procedur som vi känner till. Låt oss illustrera vår idé med ett exempel.

Exempel 4

Skick: räkna ut hur mycket det blir 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2.

Lösning

Det finns parenteser i detta uttryck, så låt oss börja med dem. Först och främst, låt oss räkna ut hur mycket 7 − 2 · 3 kommer att vara. Här måste vi multiplicera 2 med 3 och subtrahera resultatet från 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Vi beräknar resultatet inom den andra parentesen. Där har vi bara en åtgärd: 6 − 4 = 2 .

Nu måste vi ersätta de resulterande värdena i det ursprungliga uttrycket:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Låt oss börja med multiplikation och division, utför sedan subtraktion och få:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Detta avslutar beräkningarna.

Svar: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

Bli inte orolig om vårt tillstånd innehåller ett uttryck där vissa parenteser omsluter andra. Vi behöver bara tillämpa regeln ovan konsekvent på alla uttryck inom parentes. Låt oss ta det här problemet.

Exempel 5

Skick: räkna ut hur mycket det blir 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Lösning

Vi har parenteser inom parentes. Vi börjar med 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), nämligen 2 + 3. Det blir 5. Värdet måste ersättas med uttrycket och beräknas som 3 + 1 + 4 · 5. Vi kommer ihåg att vi först måste multiplicera och sedan lägga till: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Genom att ersätta de hittade värdena i det ursprungliga uttrycket, beräknar vi svaret: 4 + 24 = 28 .

Svar: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

Med andra ord, när vi beräknar värdet av ett uttryck som inkluderar parenteser inom parentes, börjar vi med de inre parenteserna och arbetar oss till de yttre.

Låt oss säga att vi måste hitta hur mycket (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 kommer att vara. Vi börjar med uttrycket inom de inre parenteserna. Eftersom 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, kan det ursprungliga uttrycket skrivas som (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Titta igen på de inre parenteserna: 4 + 1 = 5. Vi har kommit till uttrycket (4 + 5 − 1) − 1 . Vi räknar 4 + 5 − 1 = 8 och som ett resultat får vi skillnaden 8 - 1, vars resultat blir 7.

Beräkningsordningen i uttryck med potenser, rötter, logaritmer och andra funktioner

Om vårt villkor innehåller ett uttryck med en potens, rot, logaritm eller trigonometrisk funktion (sinus, cosinus, tangent och cotangens) eller andra funktioner, så beräknar vi först och främst värdet på funktionen. Efter detta agerar vi enligt de regler som anges i föregående stycken. Funktioner är med andra ord lika viktiga som uttrycket inom parentes.

Låt oss titta på ett exempel på en sådan beräkning.

Exempel 6

Skick: hitta hur mycket är (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

Lösning

Vi har ett uttryck med en grad, vars värde måste hittas först. Vi räknar: 6 2 = 36. Låt oss nu ersätta resultatet i uttrycket, varefter det kommer att ha formen (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Svar: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

I en separat artikel som ägnas åt att beräkna värden på uttryck ger vi andra, mer komplexa exempel på beräkningar när det gäller uttryck med rötter, grader etc. Vi rekommenderar att du bekantar dig med det.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter