Tabellen över integraler är komplett och reglerna för integration. Integraler av transcendentala funktioner
Definition 1
Antiderivatan $F(x)$ för funktionen $y=f(x)$ på segmentet $$ är en funktion som är differentierbar vid varje punkt i detta segment och följande likhet gäller för dess derivata:
Definition 2
Mängden av alla antiderivator av en given funktion $y=f(x)$ definierade på något segment kallas den obestämda integralen av den givna funktionen $y=f(x)$. Den obestämda integralen betecknas med symbolen $\int f(x)dx $.
Från tabellen över derivator och Definition 2 får vi en tabell med grundläggande integraler.
Exempel 1
Kontrollera giltigheten av formel 7 från tabellen över integraler:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=konst.\]
Låt oss skilja på den högra sidan: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Exempel 2
Kontrollera giltigheten av formel 8 från tabellen över integraler:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=konst.\]
Särskilj den högra sidan: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Derivatan visade sig vara lika med integranden. Därför är formeln korrekt.
Exempel 3
Kontrollera giltigheten av formel 11" från tabellen över integraler:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Differentiera den högra sidan: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Derivatan visade sig vara lika med integranden. Därför är formeln korrekt.
Exempel 4
Kontrollera giltigheten av formel 12 från tabellen över integraler:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]
Differentiera den högra sidan: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Derivatan är lika med integranden. Därför är formeln korrekt.
Exempel 5
Kontrollera giltigheten av formel 13 "från tabellen över integraler:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=konst.\]
Differentiera den högra sidan: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]
Derivatan visade sig vara lika med integranden. Därför är formeln korrekt.
Exempel 6
Kontrollera giltigheten av formel 14 från tabellen över integraler:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=konst.\]
Differentiera den högra sidan: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Derivatan visade sig vara lika med integranden. Därför är formeln korrekt.
Exempel 7
Hitta integralen:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Låt oss använda summaintegralsatsen:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Låt oss använda satsen om att ta konstantfaktorn ur integraltecknet:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Enligt tabellen över integraler:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
När vi beräknar den första integralen använder vi regel 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Följaktligen,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1) ) +C_(2) \]
Att dra nytta av det faktum att integration är motsatsen till differentiering. det är möjligt att få en tabell över grundläggande integraler genom att invertera motsvarande formler för differentialkalkyl (tabell över differentialer) och använda egenskaperna för den obestämda integralen. Till exempel, därför att
d(synd u) = cos u*du, då kommer härledningen av ett antal tabellformler att ges när man överväger de viktigaste metoderna för integration.
Integralerna i tabellen nedan kallas tabell. De bör vara kända utantill. I integralkalkyl finns inga enkla och universella regler för att hitta antiderivator från elementära funktioner, som i differentialkalkyl. Metoder för att hitta antiderivat (d.v.s. integrera en funktion) reduceras till att indikera metoder som för en given (önskad) integral till en tabellform. Därför är det nödvändigt att känna till tabellintegraler och kunna känna igen dem.
Observera att i tabellen över grundläggande integraler kan integrationsvariabeln och beteckna både en oberoende variabel och en funktion av en oberoende variabel (enligt integrationsformelns invariansegenskap).
Giltigheten av formlerna nedan kan verifieras genom att ta differentialen på höger sida, som kommer att vara lika med integranden på formelns vänstra sida.
Låt oss till exempel bevisa giltigheten av formel 2. Funktionen 1/ u definierade och kontinuerliga för alla värden u, annat än noll.
Om en u> 0. sedan ln | u| =ln u, då d ln | u| = d ln u = du/u. Det är därför 
Tabell över grundläggande integraler 
Vi listar integralerna av elementära funktioner, som ibland kallas tabellform:
Vilken som helst av formlerna ovan kan bevisas genom att ta derivatan från höger sida (som ett resultat kommer integranden att erhållas).
Integrationsmetoder
Låt oss överväga några grundläggande metoder för integration. Dessa inkluderar:
1. Nedbrytningsmetod(direkt integration).
Denna metod är baserad på direkt tillämpning av tabellintegraler, såväl som på tillämpningen av egenskaperna 4 och 5 för den obestämda integralen (dvs att ta den konstanta faktorn ur parentesen och/eller representera integranden som en summa av funktioner - utöka integranden till termer).
Exempel 1 Till exempel, för att hitta (dx/x 4) kan du direkt använda tabellintegralen för x n dx. Faktum är att (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Låt oss titta på några fler exempel.
Exempel 2 För att hitta använder vi samma integral:
Exempel 3 För att hitta måste du ta
Exempel 4 För att hitta representerar vi integranden i formuläret 
och använd tabellintegralen för exponentialfunktionen:
Överväg användningen av parentes den konstanta faktorn.
Exempel 5
Låt oss hitta till exempel 
. Med tanke på det får vi
Exempel 6 Låt oss hitta. Eftersom det 
, använder vi tabellintegralen 
Skaffa sig
Du kan också använda parenteser och tabellintegraler i följande två exempel:
Exempel 7
(vi använder och 
);
Exempel 8
(vi använder 
och 
).
Låt oss titta på mer komplexa exempel som använder summaintegralen.
Exempel 9 Till exempel, låt oss hitta 
. För att tillämpa expansionsmetoden i täljaren använder vi summakubformeln och dividerar sedan den resulterande polynomtermen med termen med nämnaren.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Det bör noteras att i slutet av lösningen skrivs en gemensam konstant C (och inte separata sådana när man integrerar varje term). I framtiden föreslås det också att konstanterna utelämnas från integrationen av enskilda termer i processen att lösa så länge uttrycket innehåller minst en obestämd integral (vi kommer att skriva en konstant i slutet av lösningen).
Exempel 10 Låt oss hitta 
. För att lösa detta problem faktoriserar vi täljaren (efter det kan vi minska nämnaren).
Exempel 11. Låt oss hitta. Trigonometriska identiteter kan användas här.
Ibland, för att bryta ner ett uttryck i termer, måste man använda mer komplexa tekniker.
Exempel 12. Låt oss hitta 
. I integranden väljer vi heltalsdelen av bråket 
. Sedan
Exempel 13 Låt oss hitta
2. Variabel ersättningsmetod (ersättningsmetod)
Metoden är baserad på följande formel: f(x)dx=f((t))`(t)dt, där x =(t) är en funktion som är differentierbar på det betraktade intervallet.
Bevis. Låt oss hitta derivatorna med avseende på variabeln t från vänster och höger del av formeln.
Observera att på vänster sida finns en komplex funktion vars mellanargument är x = (t). Därför, för att differentiera den med avseende på t, differentierar vi först integralen med avseende på x, och sedan tar vi derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Derivat av höger sida:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Eftersom dessa derivator är lika, genom en följd av Lagranges sats, skiljer sig de vänstra och högra delarna av formeln som bevisas med någon konstant. Eftersom de obestämda integralerna själva är definierade upp till en obestämd konstant term, kan denna konstant utelämnas i den slutliga notationen. Bevisat.
En framgångsrik förändring av variabeln tillåter oss att förenkla den ursprungliga integralen och i de enklaste fallen reducera den till en tabell. Vid tillämpningen av denna metod särskiljs metoderna för linjär och icke-linjär substitution.
a) Linjär substitutionsmetod låt oss titta på ett exempel.
Exempel 1
. Låt = 1 – 2x, alltså
dx=d(½ - ½t) = -½dt
Det bör noteras att den nya variabeln inte behöver skrivas ut explicit. I sådana fall talar man om transformationen av en funktion under differentialens tecken, eller om införandet av konstanter och variabler under differentialens tecken, d.v.s. handla om implicit variabelsubstitution.
Exempel 2 Låt oss till exempel hitta cos(3x + 2)dx. Genom egenskaperna för differentialen dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), dåcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
I båda övervägda exemplen användes den linjära substitutionen t=kx+b(k0) för att hitta integralerna.
I det allmänna fallet gäller följande teorem.
Linjär substitutionssats. Låt F(x) vara någon antiderivata för funktionen f(x). Dåf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, där k och b är några konstanter,k0.
Bevis.
Enligt definitionen av integralen f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Vi tar ut konstantfaktorn k för heltecknet: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nu kan vi dela den vänstra och högra delen av likheten med k och få påståendet som ska bevisas upp till notationen av en konstant term.
Denna sats säger att om uttrycket (kx+b) ersätts i definitionen av integralen f(x)dx= F(x) + C, så kommer detta att leda till uppkomsten av ytterligare en faktor 1/k framför av antiderivatet.
Med hjälp av den bevisade satsen löser vi följande exempel.
Exempel 3
Låt oss hitta 
. Här kx+b= 3 –x, dvs k= -1,b= 3. Sedan
Exempel 4
Låt oss hitta. Här är kx+b= 4x+ 3, dvs k= 4,b= 3. Sedan
Exempel 5
Låt oss hitta 
. Här är kx+b= -2x+ 7, dvs k= -2,b= 7. Sedan
.
Exempel 6 Låt oss hitta 
. Här är kx+b= 2x+ 0, dvs k= 2,b= 0.
.
Låt oss jämföra det erhållna resultatet med exempel 8, som löstes med sönderdelningsmetoden. När vi löste samma problem med en annan metod fick vi svaret 
. Låt oss jämföra resultaten: Således skiljer sig dessa uttryck från varandra med en konstant term 
, dvs. de inkomna svaren motsäger inte varandra.
Exempel 7 Låt oss hitta 
. Vi väljer en hel ruta i nämnaren.
I vissa fall reducerar förändringen av variabeln inte integralen direkt till en tabell, men det kan förenkla lösningen genom att göra det möjligt att tillämpa nedbrytningsmetoden i nästa steg.
Exempel 8 Till exempel, låt oss hitta 
. Byt ut t=x+ 2, sedan dt=d(x+ 2) =dx. Sedan
,
där C \u003d C 1 - 6 (när vi ersätter istället för t uttrycket (x + 2), istället för de två första termerna, får vi ½x 2 -2x - 6).
Exempel 9 Låt oss hitta 
. Låt t= 2x+ 1, sedan dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Vi ersätter uttrycket (2x + 1) istället för t, öppnar parenteserna och ger liknande.
Observera att vi under transformationsprocessen övergick till en annan konstant term, eftersom gruppen av konstanta termer i transformationsprocessen kunde utelämnas.
b) Metod för icke-linjär substitution låt oss titta på ett exempel.
Exempel 1
. Låt t= -x 2 . Vidare kan man uttrycka x i termer av t, sedan hitta ett uttryck för dx och implementera en förändring av variabeln i den nödvändiga integralen. Men i det här fallet är det lättare att göra annorlunda. Hitta dt=d(-x 2) = -2xdx. Observera att uttrycket xdx är en faktor för integranden för den nödvändiga integralen. Vi uttrycker det från den resulterande likheten xdx= - ½dt. Sedan
Integration är en av de grundläggande operationerna inom matematisk analys. Tabeller över kända antiderivat kan vara användbara, men nu, efter tillkomsten av datoralgebrasystem, tappar de sin betydelse. Nedan är en lista över de vanligaste antiderivaten.
Tabell över grundläggande integraler
Ytterligare en kompakt version
Tabell över integraler från trigonometriska funktioner
Från rationella funktioner
Från irrationella funktioner
Integraler av transcendentala funktioner
"C" är en godtycklig integrationskonstant, som bestäms om värdet på integralen vid någon punkt är känt. Varje funktion har ett oändligt antal antiderivator.
De flesta skolelever och elever har problem med beräkningen av integraler. Denna sida innehåller tabeller över integraler från trigonometriska, rationella, irrationella och transcendentala funktioner som hjälper till att lösa. Derivattabellen kommer också att hjälpa dig.