Eiklida algoritms – lielākā kopīgā dalītāja atrašana. Matemātika Man patīk Eiklida algoritms lielākā kopējā dalītāja aprēķināšanai

Sava pirmā izdevuma “Atjautības valstībā” (1908) priekšvārdā E. I. Ignatjevs raksta: Rezultāti ir ticami tikai tad, ja ievads matemātikas zināšanu jomā ir veikts vieglā un patīkamā veidā, uz priekšmetiem un ikdienas un sadzīvisku situāciju piemēriem, kas atlasīti ar atbilstošu asprātību un jautrību.

1911. gada izdevuma “Atmiņas loma matemātikā” priekšvārdā E.I. Ignatjevs raksta "... matemātikā jāatceras nevis formulas, bet gan domāšanas process."

Lai iegūtu kvadrātsakni, ir divciparu skaitļu kvadrātu tabulas, jūs varat sadalīt skaitļus primārajos faktoros un iegūt kvadrātsakni no reizinājuma. Ar kvadrātu tabulu nepietiek, saknes izvilkšana ar faktoringu ir laikietilpīgs uzdevums, kas arī ne vienmēr noved pie vēlamā rezultāta. Mēģināt izvilkt kvadrātsakni no skaitļa 209764? Sadalījums primārajos faktoros dod reizinājumu 2 * 2 * 52441. Ar izmēģinājumu un kļūdu, atlasi - to, protams, var izdarīt, ja esat pārliecināts, ka tas ir vesels skaitlis. Veids, kā es vēlos ieteikt, ļauj jebkurā gadījumā ņemt kvadrātsakni.

Reiz institūtā (Permas Valsts pedagoģiskajā institūtā) mēs tikām iepazīstināti ar šo metodi, par kuru es tagad gribu runāt. Es nekad neesmu domājis par to, vai šai metodei ir pierādījums, tāpēc tagad man pašam bija jāizsecina daži pierādījumi.

Šīs metodes pamatā ir skaitļa = sastāvs.

=&, t.i. &2=596334.

1. Sadaliet skaitli (5963364) pāros no labās puses uz kreiso (5`96`33`64)

2. Mēs izņemam kvadrātsakni no pirmās grupas kreisajā pusē ( - numurs 2). Tātad mēs iegūstam skaitļa & pirmo ciparu.

3. Atrodiet pirmā cipara kvadrātu (2 2 \u003d 4).

4. Atrodiet atšķirību starp pirmo grupu un pirmā cipara kvadrātu (5-4=1).

5. Nojaucam nākamos divus ciparus (saņēmām skaitli 196).

6. Divkāršojam pirmo atrasto skaitli, pierakstām to pa kreisi aiz līnijas (2*2=4).

7. Tagad jums ir jāatrod skaitļa otrais cipars &: mūsu atrastais dubultotais pirmais cipars kļūst par skaitļa desmitiem ciparu, reizinot ar vienību skaitu, jums jāiegūst skaitlis, kas ir mazāks par 196 ( šis ir skaitlis 4, 44 * 4 = 176). 4 ir & otrais cipars.

8. Atrodi atšķirību (196-176=20).

9. Nojaucam nākamo grupu (iegūstam numuru 2033).

10. Dubultojiet skaitli 24, iegūstam 48.

11,48 desmiti skaitļā, reizinot ar vienību skaitu, mums vajadzētu iegūt skaitli, kas ir mazāks par 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Mūsu atrastais vienību cipars (4) ir skaitļa & trešais cipars.

Es sniedzu pierādījumus šādiem gadījumiem:

1. Trīsciparu skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana;

2. Četrciparu skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana.

Aptuvenās kvadrātsaknes iegūšanas metodes (neizmantojot kalkulatoru).

1. Senie babilonieši izmantoja šādu metodi, lai atrastu sava x skaitļa kvadrātsaknes aptuveno vērtību. Viņi attēloja skaitli x kā summu a 2 + b, kur a 2 ir vistuvāk x precīzam naturālā skaitļa a kvadrātam (a 2 ? x), un izmantoja formulu. . (1)

Izmantojot formulu (1), mēs izņemam kvadrātsakni, piemēram, no skaitļa 28:

Rezultāts, iegūstot 28 sakni, izmantojot MK 5.2915026.

Kā redzat, Babilonijas metode sniedz labu tuvinājumu precīzai saknes vērtībai.

2. Īzaks Ņūtons izstrādāja kvadrātsaknes metodi, kas datēta ar Aleksandrijas Heronu (ap 100. gadu pēc Kristus). Šī metode (pazīstama kā Ņūtona metode) ir šāda.

Ļaujiet a 1- skaitļa pirmais tuvinājums (kā 1, jūs varat ņemt naturāla skaitļa kvadrātsaknes vērtības - precīzu kvadrātu, kas nepārsniedz X) .

Nākamais, precīzāks tuvinājums a 2 cipariem atrasts pēc formulas .

Izmērs: px

Sākt seansu no lapas:

atšifrējums

1 2. LEKCIJA LIELĀS KOPĒJĀS DALĪŠANAS APRĒĶINS Eiklida algoritms Strādājot ar lieliem saliktajiem skaitļiem, to sadalīšanās pirmfaktoros, kā likums, nav zināma. Taču daudzām skaitļu teorijas pielietotajām problēmām skaitļu faktoringa meklēšana ir svarīga, bieži sastopama praktiska problēma. Skaitļu teorijā ir salīdzinoši ātrs veids, kā aprēķināt divu skaitļu gcd, ko sauc par Eiklida algoritmu. Algoritms 1. Eiklida algoritms. Ieeja. Veseli skaitļi a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0, Eiklida algoritms apstājas un tā radītais skaitlis d ir lielākais skaitļu a un b kopīgais dalītājs. Pierādījums . Saskaņā ar dalīšanas teorēmu ar atlikumu jebkuram i 1 ir r i 1 = q i r i + r i+1, kur 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0 ierobežots no apakšas. Šāda secība nevar būt bezgalīga, tāpēc Eiklida algoritms apstājas. Eiklida binārais algoritms Īstenojot šo, Eiklida binārais GCD algoritms izrādās ātrāks

2 algoritmi datorā, jo tas izmanto skaitļu a un b bināro attēlojumu. Binārais Eiklida algoritms ir balstīts uz šādām lielākā kopējā dalītāja īpašībām (pieņemam, ka 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, tad gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) ja a = b, tad gcd(a, b) = a. Algoritms 2. Binārais Eiklida algoritms. Ieeja. Veseli skaitļi a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >b. Tad ir tādi veseli skaitļi x un y, ka d = ax + by. Citiem vārdiem sakot, divu skaitļu gcd var attēlot

3 kā šo skaitļu lineāra kombinācija ar veseliem skaitļiem. Algoritms 3. Paplašinātā Eiklida algoritma shēma. 1. Nosakiet = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b. 2. Lai skaitlis q ir daļa no skaitļa a, kas dalīts ar skaitli b, un skaitlis r ir šo skaitļu dalījuma atlikums (t.i., a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = x i-1 ; = tq; // = x i labajai pusei = x i+1 labajai pusei; //t = y i-1 ; = tq; 5. Atgriezieties pie darbības Nosakiet x = x 0, y = y 0, d = αx + βy. Paplašinātā Eiklida algoritma žurnāla variants. Veseli skaitļi a, b; 0< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4, kas aprēķināts pēc algoritma, parāda sekojošā teorēma. 4. teorēma. Katrā 3. algoritma iterācijā ir izpildīta vienādība ax i + ar i = r i, ja i 0. Pierādījums. Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi. Ja i = 0 un i = 1, vajadzīgā vienādība ir spēkā algoritma 3. soļa dēļ. Pieņemsim, ka tā ir patiesa i 1 un i. Tad 3. solī iegūstam x i+1 = x i 1 x i un y i+1 = y i 1 y i. Tāpēc ax i+1 + ar i+1 = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + ar i 1 (ax i + ar i) = r i 1 r i = r i+1 . Piemērs. Dots a = 1769, b = 551. Izmantojot paplašināto Eiklīda algoritmu, atrodiet veselus skaitļus x un y, lai d = ax + by, kur skaitļu a un b d gcd. Aprēķinu secības I posms. 1. Nosakiet = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = koeficients q = a / b = 1769/551 = 3, un dalījuma atlikums r = 116. a = 551; b = 116; t = =0: = t q = 1 0 = 1 = 0; = t q = 3; šādas starpvērtības

5 parametri: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Tā kā dalījuma atlikums ir r 0, mēs atgriežamies pie 2. soļa. Aprēķinu secības II posms. 1. Parametra vērtība: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = koeficients q = a/b = 551/116 = 4, un atlikums r = 87. a = 116; b = 87; t == 0; =1: = t q = = 4 = 3; = t q = 1 (3) 4 = 13; šādas parametru starpvērtības: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Tā kā dalījuma atlikusī daļa ir r 0, mēs atgriežamies pie 2. soļa. Aprēķinu secības III posms . 1. Parametru vērtība: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = koeficients q = a/b = 116/87 = 1, un atlikums r = 29.

6 a = 87; b = 29; t = = 4: = t q = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = t q = 3 (13) 1 = 16; šādas parametru starpvērtības: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Tā kā dalījuma atlikusī daļa ir r 0, mēs atgriežamies pie 2. soļa. Aprēķinu secības IV posms . 1. Parametra vērtība: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = koeficients q = a/b = 87/29 = 3, un atlikums r = 0. a = 87; b = 29; t == 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = t q = 13 (16) 3 = 61; šādas starpparametru vērtības: a= 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Tā kā dalījuma atlikusī daļa ir r = 0, mēs veicam 6. darbību.

7 6. Aprēķiniet GCD, izmantojot formulu d = αx + βy, kur x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α= 1769, β = 551. Aizvietojot parametru vērtību, iegūstam d = αx + βy = = = 29 Paplašināto Eiklida algoritmu var realizēt arī binārā formā. Algoritms 4. Paplašinātais binārais Eiklida algoritms. Ieeja. Veseli skaitļi a, b; 0< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Vienādojumu atrisināšana veselos skaitļos Lineārie vienādojumi. Tiešās uzskaitīšanas metode Piemērs. Truši un fazāni sēž būrī. Viņiem kopā ir 8 kājas. Uzziniet, cik no tiem un citiem ir kamerā. Uzskaitiet visus risinājumus. Risinājums.

7. nodarbība Skaitli d sauc par skaitļu a un b lielāko kopīgo dalītāju (GCD), ja (1) d a un d b, un arī (2) visiem x no x a un x b seko x d. Šajā gadījumā mēs rakstām d = (a, b). Lemma 1. Jebkuriem skaitļiem

Temats. Elementārās skaitļu teorijas pamati un pielietojumi - Teorētiskais materiāls. Moduļu atlieku kopa, kongruences īpašības. Ļaut ir naturāls skaitlis, kas lielāks par . Ar Z apzīmējam visu klašu kopu

Ugras fizikas un matemātikas licejs VP Čuvakovs SKAITĻU TEORIJAS PAMATI Lekciju konspekts (0)(mod) (0)(mod) Naturālie skaitļi N, - naturālo skaitļu kopa, ko izmanto skaitīšanai vai uzskaitīšanai

2. nodaļa Veseli, racionālie un reālie skaitļi 2.. Veseli skaitļi Skaitļus, 2, 3,... sauc par naturāliem. Visu naturālo skaitļu kopu apzīmē ar N, t.i. N = (,2,3,...). Skaitļi..., 3, 2,0,2,3,...

Turpinātās daļskaitļi Galīgās turpinātās daļas Definīcija Formas a 0 + a + a + + a m izteiksme, kur a 0 Z a a m N a m N/() tiek saukta par turpināto daļskaitli un m ir turpinātās daļas garums a 0 a a m. sauc par turpinātās daļas koeficientiem

1. LEKCIJA DAŽI SKAITĻU TEORIJAS ELEMENTI

Gorbačovs NAV Polinomi vienā mainīgajā Pakāpes vienādojumu atrisināšana Polinoma jēdziens Aritmētiskās darbības ar polinomiem Def th pakāpes polinoms (polinoms) attiecībā pret mainīgo

Veselu skaitļu dalāmība Skaitlis a dalās ar skaitli b (vai b dala a), ja ir tāds skaitlis c, ka a = bc Šajā gadījumā skaitli c sauc par a dalīšanas ar b koeficientu Apzīmējums: a - a dalās ar b vai ba b dalās

12. LEKCIJA OTRĀS KĀRTAS SALĪDZINĀJUMI PAR VIENKĀRŠIEM MODUĻU UN KVADRĀTISKAJIEM ATLIKUMIEM Otrās pakāpes modulo p salīdzinājuma vispārīgajai formai ir forma (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p. Salīdzinājuma risinājuma atrašana (1)

Norādījumi, risinājumi, atbildes VIENĀDĀJUMI VESELS SKAITS. Vienādojums ar vienu nezināmo Risinājums. Ieliksim to vienādojumā. Iegūstam vienādību (4a b 4) (a b 8) 0. Vienādība A B 0, kur A un B ir veseli skaitļi, ir izpildīta,

Algebriskie polinomi. 1 n pakāpes algebriskie polinomi laukā K Definīcija 1.1 Polinoms ar n pakāpi, n N (0) mainīgajā z skaitļa laukā K ir formas izteiksme: fz = a n z n

Lekcija Kvadrātiskie atlikumi un neatliekumi Lektors: Nyu Zolotykh Ierakstīja: E Zamaraeva?? 00. septembris Saturs Kvadrātiskie atlikumi un neatliekumi Leģendas simbols Leģendas simbola īpašības Kvadrātiskais savstarpības likums

Valsts izglītības iestādes internātskola "Intelektuālie" naturālie skaitļi kā lineāra kombinācija ar veselo skaitļu koeficientiem"

Matemātiskā analīze Sadaļa: Nenoteikts integrālis Tēma: Racionālo daļskaitļu integrācija Lektore Pakhomova E.G. 0 5. Racionālo daļskaitļu integrācija DEFINĪCIJA. Racionālo daļu sauc

4 Skaitļu teorija 4 Veseli skaitļi 7 Definīcija Pieņemt, b Z Tad dala b, ja eksistē tāds vesels skaitlis, ka b (apzīmē ar b) 73 Teorēma (dalīšana ar atlikumu) Ja, b Z un b, tad ir tādi veseli skaitļi

Matemātiskā analīze Sadaļa: Nenoteikts integrālis Tēma: Racionālo daļskaitļu integrācija Lektore Rožkova S.V. 0 5. Racionālo daļskaitļu integrācija DEFINĪCIJA. Racionālo daļu sauc

009-00 konts gadā. 6, 9 šūnas. Matemātika. Skaitļu teorijas elementi. 4. Lielākā kopīgā dalītāja un mazākā kopīgā reizinātāja aprēķins Paturēsim apzīmējumu no rindkopas. Naturālam skaitlim n apzīmējums n

LIETOTĀJĀ ALGEBRA. I daļa: ierobežotie lauki (Galois lauki). I 1 / 67 I daļa Ierobežotie lauki (Galois lauki). LIETOJU ALGEBRU. I daļa: ierobežotie lauki (Galois lauki). I 2 / 67 Atlikumu lauki modulo prime

5 Vienādojumu risināšana veselos skaitļos Atrisinot pat tādus vienkāršus vienādojumus kā lineārs vienādojums ar vienu nezināmo, ir dažas īpatnības, ja vienādojuma koeficienti ir veseli skaitļi, un tas ir nepieciešams

Laboratorijas darbs 8 Lielākā kopīgā dalītāja aprēķins diviem skaitļiem, izmantojot Eiklīda algoritmu

1. sadaļa. Kriptogrāfijas matemātiskie pamati 1 Lauka definīcija Galīgs lauks GF q (vai Galois lauks) ir ierobežota patvaļīga elementu kopa, starp kurām norādītas saskaitīšanas un reizināšanas darbības.

XIX starpnovadu olimpiāde skolēniem matemātikas un kriptogrāfijas uzdevumos 11. klasei 1. uzdevuma risinājums Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka, ja N = pq, kur p un q ir pirmskaitļi, tad naturālo skaitļu skaits ir mazāks par

Polinomi un to saknes 2018 Guščina Jeļena Nikolajevna Definīcija: n n N pakāpes polinoms ir jebkura formas izteiksme: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., kur a & , a &+, a, a. R, a&

Lekcija 4. STANDARTA AES. RIJNDEELA ALGORITMS. AES (Advnced Encrypton Stndrd) ir jauns vienas atslēgas šifrēšanas standarts, kas ir aizstājis DES standartu. Rjndel algoritms (reina-dal)

Polinomi un to saknes Definīcija: n (n N) pakāpes polinoms ir jebkura izteiksme šādā formā: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, kur a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n vadošais koeficients, a

1 Eiklida algoritms un tā sarežģītība Definīcija 1. Kopējais skaitļu a un b dalītājs ir tāds skaitlis c, ka c a un c b. 2. definīcija. Skaitļu a un b lielākais kopīgais dalītājs ir to kopīgais dalītājs,

14. LEKCIJA Kvadrātsakņu modulo salikto aprēķins No iepriekš minētās teorijas izriet, ka, ja =, kur un ir pirmskaitļi, grupa Z ir izomorfa telpai Z Z. Tā kā izomorfisms saglabā īpašības

3. LEKCIJA MODULĀRAS KVADRĀTSAKŅU APRĒĶINS Vienkārša moduļa gadījums Apskatīsim salīdzinājumu x a mod p, () kur skaitlis p ir pirmskaitlis un vesels skaitlis a nedalās ar p Šī vienādojuma risinājuma x aprēķins ir

Diskrētā matemātikas kolokvija programma (galvenā plūsma) Kolokvija sākumā jūs saņemsiet biļeti ar trim jautājumiem: definīciju jautājumu, uzdevumu un pierādījumu jautājumu.

Šora algoritms Yu. Lifshits. 005. gada 1. decembris Lekcijas izklāsts 1. Sagatavošana (a) Faktoringa skaitļi (b) Kvantu skaitļošana (c) Klasiskās skaitļošanas emulācija. Simona algoritms (a) Kvantu paralēlisms

No matemātikas vēstures Pirmā diezgan apjomīgā grāmata, kurā aritmētika tika pasniegta neatkarīgi no ģeometrijas, bija Nikomaha Ievads aritmētikā (okne).

Īss ievads elementārās skaitļu teorijas pirmsākumos Denisa Kirienko Datoru vasaras skola, 2009. gada 1. janvāris Veselo skaitļu dalīšana Doti divi veseli skaitļi a un b, b 0.

1.–9. tēma: polinomi. Polinomu gredzena uzbūve. Dalāmības teorija. Atvasinājums A. Ya. Ovsyannikov Urālas Federālās universitātes Matemātikas un datorzinātņu institūta Algebras un diskrētās nodaļas

Algebriskie vienādojumi kur Definīcija. Algebriskais ir vienādojums ar formu 0, P () 0, daži reāli skaitļi. 0 0 Šajā gadījumā mainīgo sauc par nezināmu, un skaitļus 0 sauc

6. lekcija Skaitļu teorijas elementi 1. uzdevums. Turpināt skaitļu secību 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 Integer Aritmētika Izmanto veselus skaitļus: Z = (, -2 , -1, 0,

Polinomi Polinoms ar vienu mainīgo x ar n pakāpi ir formas izteiksme, kur ir jebkuri skaitļi, ko sauc par polinoma koeficientiem, un polinoma vadošo koeficientu sauc par If, nevis mainīgo.

1 2 Saturs. 1. Ievads. 4-6 1.1. Abstract...4 1.2. 4. uzdevums 1.3. Darba mērķis 5 1.4. Hipotēze..5 1.5. Pētījuma priekšmets... 5 1.6. Pētījuma objekts. 5 1.7. Jaunums... 5-6 1.8. Pētījuma metodes...6

8.3., 8.4.2. klase, Matemātika (mācību grāmata Makaričevs) 2018.-2019.mācību gads Moduļa tēma “Veseli skaitļi. Skaitļu dalāmība. Grāds ar vesela skaitļa rādītāju ”Teorētiskā un praktiskās daļas tiek pārbaudītas ieskaitē. TĒMA Zināt

Lekcija RACIONĀLO DAĻU INTEGRĀCIJA Racionālās daļas Vienkāršu racionālu daļskaitļu integrēšana Racionālas daļskaitļu sadalīšana vienkāršās daļskaitļos Racionālo daļskaitļu integrācija Racionālā

Www.cryptolymp.ru XIX starpreģionu olimpiāde skolēniem matemātikā un kriptogrāfijā (11. klase) 1. uzdevuma risinājums Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka, ja N pq, kur p un q ir pirmskaitļi, tad naturālo skaitļu skaits,

Nodaļa Veseli skaitļi Dalāmības teorija Veselos skaitļus sauc par skaitļiem -3, -, -, 0, 3, tiem naturālajiem skaitļiem, 3, 4, kā arī nulles un negatīviem skaitļiem -, -, -3, -4, Visu veselo skaitļu kopa ir apzīmēts ar

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Urālas Valsts ekonomikas universitāte Yu. 4., rev. un papildu e-pasts: [aizsargāts ar e-pastu],

(trigonometriskās sērijas trigonometriskās sistēmas piemēri - intervāla [ -l; l ] izvēršana patvaļīga perioda funkcijām - nepilnīga rindas izvēršana sinusu un kosinusu pāra un nepāra turpinājumos)

Teorētiskā datorzinātne II Lekcija 5. Veselo skaitļu algoritmi: paplašinātais Eiklida algoritms, apgrieztais elements modulo, eksponenciācijas modulis. Publiskās atslēgas kriptogrāfija, RSA protokols. Varbūtības

5. Bose-Chaudhury-Hokvingham kodi Ciklisko kodu koriģējošās īpašības var noteikt, pamatojoties uz divām teorēmām. 1. teorēma. Jebkuram m un t pastāv ciklisks kods, kura garums ir n = 2 m 1, ar daudzkārtību

MODULĀRĀ ARITMĒTIKA Dažās lietojumprogrammās ir ērti veikt aritmētiskās darbības ar veseliem skaitļiem, kas doti tā sauktajā modulārajā attēlojumā.Šajā attēlojumā tiek pieņemts, ka vesels skaitlis

MATEMĀTIKAS IZMANTOŠANA 00 Korjanovs A.G. Uzdevumi no Brjanskas Sūtiet komentārus un ieteikumus uz: [aizsargāts ar e-pastu] VIENĀDĀJUMI UN NEVIENĀDĪBAS VESELS SKAITĻOS (no izglītības problēmām līdz olimpiādes uzdevumiem) Lineārs

2.22. Iekavās izņemiet kopējo koeficientu (n ir naturāls skaitlis): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Katrs numurs tika piešķirts

15. LEKCIJA PRIEKŠSKAITĻI Naturālu skaitli p, kas ir lielāks par vienu, sauc par pirmskaitli, ja tas dalās tikai ar 1 un pats sevi. Teorēma (Eiklids). Pirmskaitļu kopa ir bezgalīga. Apzīmē ar π(x)

3. tēma. Algebriskās un analītiskās skaitļu teorijas elementi Teorētiskais materiāls 1. Turpinājums frakcijas. Pēdējā turpinātā daļa ir izteiksme a +, (1), kur a ir vesels skaitlis, a, i > 0, naturāli skaitļi,

Http://vk.ucoz.et/ Darbības ar polinomiem k a k Polinoms (polinoms) ar pakāpi k ir a formas funkcija, kur mainīgais, a ir skaitliskie koeficienti (=,.k) un. Var uzskatīt jebkuru skaitli, kas nav nulle

Penzas Valsts pedagoģiskā universitāte nosaukta V. G. Beļinska M. V. Gļebova V. F. Timerbulatovas vārdā

Veselu skaitļu dalāmība ar atlikumu Lai m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis

Avdošins S.M., Saveļjeva A.A. Atlikuma gredzenu lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas algoritms Izstrādāts efektīvs algoritms atlikuma gredzenu lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai, kas pēc sarežģītības ir līdzvērtīgs

LIETOTĀJĀ ALGEBRA. I daļa: Galois lauki I 1 / 88 I daļa Galois lauki (Galois lauki) I LIETOTĀJĀ ALGEBRĀ. I daļa: galīgi lauki (Galois lauki) I 2 / 88 Atlikumu lauki modulo a pirmskaitļa

5 Algebriskās struktūras 6 Definīcija Bināra darbība kopā S ir S S kartēšana S

/E Skaitļu teorijas elementi un. Ročevs 2018. gada 28. augusts ..... 1 1.2 Lielākais kopīgais dalītājs .................................................

nodaļa Veseli, racionālie un reālie skaitļi. Sadaliet ar atlikumu. Sadaliet katru no skaitļiem ±23, ±4 ar atlikušo daļu ar katru no skaitļiem ±5. 2. Atrodiet visus pozitīvos dalītājus no 42. 3. Tagad ir pulksten 3.

Diferenciālvienādojumi lekcija 4 Vienādojumi kopējos diferenciāļos. Integrējošais faktors Lektore Anna Igorevna Šerstņeva 9. Vienādojumi kopējās diferenciālēs Vienādojumu d + d = 14 sauc par vienādojumu

Temats. Elementārās skaitļu teorijas pamati un pielietojumi. Primitīvās saknes, indeksi. Teorētiskais materiāls Lai a, m ir naturālie pirmskaitļi, un m, tad saskaņā ar Eilera teorēmu a m)

Matemātikas un informātikas katedra Augstākās matemātikas elementi Izglītības un metodiskais komplekss vidējās profesionālās izglītības audzēkņiem, kuri mācās, izmantojot distances tehnoloģijas Modulis Robežu teorija Sastādījis: Asociētais profesors

2.nodaļa. Skaitliskās metodes kriptogrāfijā Patstāvīgā darba uzdevums Pētīt kriptogrāfijā plaši izmantotos algoritmus. Skaitļu teorijas elementi: paplašinātais Eiklida algoritms;

Tematiskā plānojuma pamatā ir 206.-207.mācību gada programmas materiāls pēc mācību grāmatas "Algebra 8" izd. A.G.Mordkovičs, ņemot vērā ieteicamo obligāto minimālo izglītības saturu Tēma

Lekcija 2. Binomiālo koeficientu īpašības. Summēšana un funkciju ģenerēšanas metode (galīgais gadījums). Polinoma koeficienti. Binoma un polinoma koeficientu aprēķini. Summu aprēķini

Apskatīsim šo algoritmu ar piemēru. Atradīsim

1. solis. Mēs sadalām skaitli zem saknes divos ciparus (no labās uz kreiso):

2. solis. Mēs iegūstam kvadrātsakni no pirmās skaldnes, tas ir, no skaitļa 65, mēs iegūstam skaitli 8. Zem pirmās skaldnes mēs ierakstām skaitļa 8 kvadrātu un atņemam. Otro seju (59) attiecinām uz atlikumu:

(skaitlis 159 ir pirmais atlikums).

3. solis. Mēs dubultojam atrasto sakni un ierakstām rezultātu kreisajā pusē:

4. solis. Atlikušajā daļā (159) atdalām vienu ciparu labajā pusē, kreisajā pusē iegūstam desmitnieku skaitu (tas ir vienāds ar 15). Tad mēs dalām 15 ar dubultotu saknes pirmo ciparu, tas ir, ar 16, jo 15 nedalās ar 16, tad koeficientā mēs iegūstam nulli, ko mēs ierakstām kā saknes otro ciparu. Tātad koeficientā mēs saņēmām skaitli 80, kuru vēlreiz dubultojam un nojaucam nākamo seju

(skaitlis 15901 ir otrais atlikums).

5. solis. Otrajā atlikumā atdalām vienu ciparu no labās puses un iegūto skaitli 1590 sadalām ar 160. Rezultāts (skaitlis 9) tiek uzrakstīts kā trešais saknes cipars un tiek piešķirts skaitlim 160. Iegūtais skaitlis 1609 tiek reizināts ar 9. un mēs atrodam šādu atlikumu (1420):

Turpmākās darbības tiek veiktas algoritmā norādītajā secībā (sakni var iegūt ar nepieciešamo precizitātes pakāpi).

komentēt. Ja saknes izteiksme ir decimāldaļdaļa, tad tās veselā skaitļa daļa tiek sadalīta divos ciparos no labās puses uz kreiso, daļskaitļa daļa tiek sadalīta divos ciparos no kreisās puses uz labo, un sakne tiek izvilkta saskaņā ar norādīto algoritmu.

DIDAKTISKS MATERIĀLS

1. Ņem kvadrātsakni no skaitļa: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Sveiciens lasītājiem un mūsu vietnes apmeklētājiem!. Šajā sadaļā mēs analizēsim dažādus algoritmus, kā arī to ieviešanu Pascal.

Lai apgūtu šodienas nodarbības materiālu, būs nepieciešamas zināšanas un.

Šodien mēs apsvērsim trīs algoritmus (no pieciem), lai atrastu lielāko kopējo dalītāju diviem veseliem skaitļiem, no kuriem divi ir tieši saistīti ar Eiklida vārdu. Nākamajā sadaļā apskatīsim vēl divus.
Divu skaitļu a un b lielākais kopējais dalītājs (gcd) ir lielākais veselais skaitlis, kas dala tos abus.
Piemērs: gcd(25, 5) = 5; gcd(12, 18) = 6.

Meklēšanas algoritms

Sāksim ar d- mazākais no diviem skaitļiem. Šis ir pirmais acīmredzamais kandidāts uz to lielāko kopīgo dalītāju. Un tad, līdz d dala abus skaitļus, mēs to samazinām par vienu. Tiklīdz tiek nodrošināts šāds dalījums, mēs pārtraucam d samazināšanos.

Var a, b, d: vesels skaitlis; begin write("Ievadiet divus ciparus: "); readln(a, b); ja< b then d:= a + 1 else d:= b + 1; {так как мы используем цикл с постусловием, необходимо минимальное значение увеличить на один, иначе цикл repeat, в силу своих конструктивных особенностей, не учтет это минимальное число и не сделает его кандидатом в НОД. Например, 5 и 25.} repeat d:= d - 1 until (a mod d = 0) and (b mod d = 0); write("NOD = ", d) end.

Pievērsīsimies šai programmai, piemēram, ar cipariem 30 un 18. Tad ceļā uz atbildi (skaitli 6) tai būs jāiet cauri cipariem: 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12 , 11, 10, 9, 8, 7 .6.

Eiklida algoritms "ar atņemšanu"

Lai a un b ir veseli skaitļi, tad šādi apgalvojumi ir patiesi:

1. Visi pāra a un b kopīgie dalītāji ir arī pāra a - b, b kopīgie dalītāji;
2. Un otrādi, visi pāra a - b un b kopīgie dalītāji ir arī pāra a un b kopīgie dalītāji;
3. gcd(A, B) = gcd(A - B, B), ja A > B;
4. gcd(A, 0) = A.

Pierādījums:

1. Ja t ir patvaļīgs a un b kopīgais dalītājs, tad tas dala arī starpību a - b. Patiešām, no a = t * u un b = t * v izriet, ka a - b = t * u - t * v = t * (u - v). Tas ir, t ir arī a - b un b kopīgs dalītājs.
2. Un otrādi, ja t ir patvaļīgs dalītājs, a - b un b kopīgais dalītājs, tad tas arī dala to summu a - b + b = a. To var pierādīt līdzīgi kā iepriekšējais. Tāpēc t ir arī a un b kopīgs dalītājs.
3. Secinām, ka kopējo dalītāju kopa a un b sakrīt ar dalītāju kopu a - b un b. Jo īpaši sakrīt arī šo pāru lielākie kopīgie dalītāji.
4. Lielākais veselais skaitlis, kas dala skaitli a, ir pats skaitlis a. Skaitlis 0 dalās ar jebkuru skaitli. Tādējādi lielākais a un 0 kopīgais dalītājs ir a.

Pierādītā formula (3) ļauj reducēt viena pāra lielākā dalītāja aprēķinu uz cita pāra lielākā kopīgā dalītāja aprēķinu, kurā skaitļi jau ir mazāki. Acīmredzamā formula (4) ļauj mums zināt, kad apstāties.

Īsumā, Eiklida algoritms "ar atņemšanu" būtu šāds. Mēs atņemam mazāko skaitli no lielākā skaitļa un aizstājam lielāko ar starpību, līdz viens no skaitļiem kļūst nulle. Tad atlikušais skaitlis, kas nav nulle, ir lielākais kopējais dalītājs.

Piemērs. Pieņemsim, ka a = 82 un b = 60. GCD(82, 60) = GCD(22, 60) = GCD(22, 38) = GCD(22, 16) = GCD(6, 16) = GCD(6, 10) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(2, 2) = gcd(2, 0) = 2.

Algoritma priekšpēdējā solī pirms 0 parādīšanās abi skaitļi ir vienādi, pretējā gadījumā 0 nevarētu rasties. Tāpēc mēs izņemsim GCD tieši šajā brīdī.

Eiklida "ar atņemšanu" algoritma blokshēma

Programma

var a, b: vesels skaitlis; sākt rakstīt ("a = "); readln(a); rakstīt ("b = "); readln(b); kamēr a<>b darīt, ja a > b, tad a:= a - b else b:= b - a; writeln("NOD = ", a); beigas.

Eiklida algoritms ar "dalīšanu"

Lai a un b ir veseli skaitļi, un r ir atlikums, dalot a ar b. Tad gcd(a, b) = gcd(b, r).

Šī formula arī ļauj reducēt viena skaitļu pāra lielākā kopīgā dalītāja aprēķinu uz cita skaitļu pāra lielākā kopīgā dalītāja aprēķinu.

Piemērs. gcd(82, 60) = gcd(22, 60) = gcd(22, 16) = gcd(6, 16) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(0, 2) = 2 .

Var a, b: vesels skaitlis; sākt rakstīt ("a = "); readln(a); rakstīt ("b = "); readln(b); kamēr (a<>0) un (b<>0) darīt, ja a >= b, tad a:= a mod b else b:= b mod a; rakstiet (a + b) beigas.

Tas arī viss šodienai! Nākamajās nodarbībās jūs uzzināsit vēl dažas Eiklida algoritma modifikācijas un veidus, kā atrast GCD.