Apskatīsim noteikta vai tā sauktā deterministiskā PV novērošanas rezultātu J kā gadījuma lielumu (CV), ņemot vērtības X ) dažādos novērojumos.

Universālākais veids, kā aprakstīt SW, ir atrast to integrālās vai diferenciālās sadales funkcijas

Novērojumu rezultātu sadalījuma integrālā funkcija ir atkarība no varbūtības vērtības x R to, ka X. novērojumu rezultāts būs mazāks jc. Tas ir rakstīts šādi:

Citiem vārdiem sakot, nejaušā lieluma integrālā sadalījuma funkcija X sauc par nevienādības piepildīšanās varbūtību X

neatņemama funkcija F(x) ir šādas īpašības.

• 1. F(x) — nesamazinoša funkcija.
• 2. F(x) tiecas uz vienotību kā jc -> +°°.
• 3. F(x) tiecas uz nulli kā x -> -°o.
• 4. F(x) — funkcija ir nepārtraukta, jo novērojumu rezultāts noteiktā intervālā var iegūt jebkuru vērtību.

Taču ceturtais īpašums praksē parasti netiek ieviests. Tas ir saistīts ar faktu, ka izmantotajam SI ir ierobežota izšķirtspēja: rādītāja instrumentiem tā ir skalas dalīšanas vērtība (PV kvants); digitālajiem instrumentiem šī ir mazākā koda cipara cena. Tāpēc realitātē sadalījuma funkcijai ir pakāpeniska forma (4.4. att.).

Neskatoties uz to, metroloģiskajā praksē integrālā sadalījuma funkcija bieži tiek uzskatīta par nepārtrauktu, kas ievērojami vienkāršo analīzi.

Nejaušai kļūdai, kā arī nejaušam mainīgajam ir arī sava integrālā sadalījuma funkcija:

neatņemama funkcija F(x), tāpat kā varbūtība, ir bezizmēra lielums.

Ērtāk un vizuāli ir aprakstīt novērojumu rezultātu īpašību, izmantojot diferenciālā sadalījuma funkciju, ko sauc varbūtības sadalījuma blīvums. Jāatzīmē, ka novērojumu rezultātu diferenciālās funkcijas X un nejauša kļūda A mačs, nulles punktā atrodas tikai diagrammas A izcelsme:

Diferenciālā sadalījuma funkcijas grafiks vai sadalījuma līkne visbiežāk ir simetriska funkcija ar maksimumu punktā J novērojumu rezultātiem (4.5. att.). Arī nejaušas kļūdas sadalījuma līkne visbiežāk ir simetriska funkcija, bet ar maksimumu “O” punktā (4.6. att.).

Novērošanas rezultātiem

Par nejaušu kļūdu

Tādējādi novērojumu rezultātu diferenciālā sadalījuma funkciju jeb gadījuma kļūdu iegūst, diferencējot integrālā sadalījuma funkciju.

Ir arī asimetriskas sadalījuma funkcijas, piemēram, Reilija funkcija (4.7. att.), vai funkcijas, kurām nav maksimuma (viendabīga vai trapecveida) (4.8., 4.9. att.).

Integrālā funkcija ir saistīta ar diferenciālo funkciju šādi:

jo tad , t.i. kvadrāts

zem sadalījuma funkcijas līknes ir vienāds ar vienu. Šis ir tā sauktais normalizācijas stāvoklis.

Varbūtības sadalījuma blīvuma dimensija ir apgriezta izmērītā fiziskā daudzuma dimensijai, jo integrālā sadalījuma funkcija ir bezdimensijas. Izmantojot sadalījuma funkcijas jēdzienu, var iegūt izteiksmi varbūtībai, ka novērojumu rezultāts ir pusatvērtos intervālos [x, x 2 ] vai [А„А 2]:

Šis izteiciens saka, ka varbūtība sasniegt novērojuma rezultātu X vai nejaušā mērījuma kļūda A noteiktā intervālā ir vienāda ar starpību starp integrālās sadalījuma funkcijas vērtībām norādītajās šī intervāla robežās.

Ja izsakām šo varbūtību ar diferenciālā sadalījuma funkciju vai varbūtības sadalījuma blīvumu, mēs iegūstam:

tie. varbūtība trāpīt novērojumu X rezultātam vai nejaušai kļūdai D noteiktā intervālā ir skaitliski vienāds ar laukumu zem varbūtības blīvuma līknes, ko ierobežo intervāla robežas(4.10. att.).

Darbs p x (x) dx sauca varbūtības elements. Gadījumā, ja varbūtības blīvuma sadalījuma likums ir tuvs tā sauktajam normālajam likumam, kā redzams no diferenciālā sadalījuma funkcijas grafika, visticamāk mazs kļūdu vērtības. Lielu kļūdu rašanās iespējamība ir daudz mazāka. Novērojumu rezultāti centrēta ap patieso vērtību izmērīto PV, un, tuvojoties tam, varbūtības elementi palielinās. Tas dod pamatu izmantot abscisu ass veidotās figūras smaguma centra abscisu un sadalījuma blīvuma līkni kā PV patiesās vērtības novērtējumu. Šo nejaušā lieluma raksturlielumu sauc matemātiskās cerības (4.11. att.):

Tagad mēs varam sniegt matemātiski stingru nejaušas un sistemātiskas kļūdas definīciju.

Sistemātiska kļūda 0 (4.11. att.) ir novērojumu rezultātu matemātiskās cerības novirze no izmērītā fiziskā lieluma patiesās vērtības:

nejauša kļūda A ir atšķirība starp viena novērojuma rezultātu un novērojumu rezultātu matemātisko cerību:

Tādējādi izmērītā fiziskā daudzuma faktiskā vērtība ir vienāda ar

testa jautājumi

• 1. Ko nozīmē diskrēti un nepārtraukti nejauši mainīgie?
• 2. Integrālā sadalījuma funkcija un tās īpašības.
• 3. Diferenciālā sadalījuma funkcija, integrālā un diferenciālā sadalījuma funkciju savienojums.
• 4. Integrālā sadalījuma funkcijas normalizācijas nosacījums.
• 5. Kas grafiski ir gadījuma lieluma matemātiskā sagaidāmība?
• 6. Kā saprast kopējās kļūdas sistemātiskās un nejaušās sastāvdaļas no fiziskā un matemātiskā viedokļa?
• 7. Ko nozīmē varbūtības elements?
• 8. Kā noteikt varbūtību, ka novērojumu rezultāts X vai nejauša kļūda D iekritīs dotajā intervālā skaitliski, izmantojot varbūtības sadalījuma blīvuma grafiku, ko ierobežo intervāla robežas?

Vietējās Moivra-Laplasa formulas apstākļos varbūtību, ka panākumu skaits m būs no m 1 līdz m 2, var aptuveni atrast ar Moivra-Laplasa integrāļa formulu.

kur x 1 =
, x 2 =
,
ir Laplasa funkcija.

Šo funkciju vērtības ir atrodamas varbūtības teorijas mācību grāmatu pielikumos.

Sadales likuma grafiskais uzdevums attēlā parādīts. viens

Rīsi. 1 Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma daudzstūris.

Metode gadījuma lieluma sadalījuma aprakstīšanai tabulas veidā, formulas veidā vai grafiski ir piemērojama tikai diskrētiem gadījuma mainīgajiem.

1.5. Kumulatīvā sadalījuma funkcija

Integrālā sadalījuma funkcija ļauj norādīt gan diskrētu, gan nepārtrauktu gadījuma lielumu.

Kumulatīvā sadalījuma funkcija (IDF) ir funkcija F(x), kas katrai iespējamai vērtībai x nosaka varbūtību, ka nejaušais lielums X iegūs vērtību, kas mazāka par x, t.i.

Integrālā sadalījuma funkcijas ģeometriskā nozīme ir iespējamība, ka gadījuma lielums X iegūs vērtību, kas atrodas pa kreisi no punkta x uz reālās ass.

Diskrētam gadījuma mainīgajam X, kas var ņemt vērtības X 1 , X 2 , …,X n, sadales funkcijai ir forma kur nevienlīdzība zem summas zīmes nozīmē, ka summēšana attiecas uz visām šīm vērtībām X i, kuras vērtība ir mazāka X. Izskaidrosim šo formulu, pamatojoties uz funkcijas definīciju F(x). Pieņemsim, ka argumentam x ir noteikts noteikts, bet tāds, ka nevienlīdzība ir izpildīta x i <x≤x i+1 . Tad pa kreisi no skaitļa x uz skaitļu ass būs tikai tās nejaušā lieluma vērtības, kurām ir indekss 1, 2, 3, ..., i. Tāpēc nevienlīdzība X<x tiek izpildīts, ja vērtība X pieņems vērtības X uz, kur k = 1, 2, …, i. Tādējādi pasākums X<x nāks, ja tāds būs, neatkarīgi no tā, kurš no notikumiem X = X 1 , X=X 2 , X=X 3 , …, X=X i. Tā kā šie notikumi nav savienojami, tad ar varbūtības saskaitīšanas teorēmu mums ir

Kumulatīvā sadalījuma funkcijas īpašības:

1. Integrālās sadalījuma funkcijas vērtības pieder segmentam

:
.

2. Varbūtība, ka gadījuma lielums X pieņems vērtību, kas ietverta intervālā (a, b), ir vienāda ar integrālās sadalījuma funkcijas pieaugumu šajā intervālā.

3. Ja visas iespējamās gadījuma lieluma vērtības x pieder intervālam (a, b), tad

, ja

, ja

Nepārtraukta gadījuma lieluma IGF grafiks ir parādīts attēlā. 2

Rīsi. 2 Nepārtraukta gadījuma lieluma IGF grafiks

Diskrēta gadījuma lieluma IGF grafiks ir parādīts attēlā. 3

Rīsi. 3 Diskrēta gadījuma lieluma IGF grafiks

1.6. Diferenciālā sadalījuma funkcija

Diferenciālā sadalījuma funkciju izmanto, lai aprakstītu nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījumu.

Diferenciālā sadalījuma funkcija (DDF)(vai varbūtības blīvums) ir integrālfunkcijas pirmais atvasinājums.

Kumulatīvā sadalījuma funkcija ir diferenciālā sadalījuma funkcijas antiatvasinājums. Tad

Varbūtība, ka nepārtraukts gadījuma lielums X iegūs vērtību, kas pieder intervālam (a, b), ir vienāda ar diferenciālās funkcijas noteikto integrāli, kas ņemta no a līdz b:

DFR ģeometriskā nozīme ir šāda: varbūtība, ka nepārtraukts gadījuma lielums X iegūst vērtību, kas pieder intervālam (a, b), ir vienāda ar līknes trapeces laukumu, ko ierobežo x ass, sadalījuma līkne. f(x) un taisnes x = a un x = b (4. att.).

Rīsi. 4 Diferenciālā sadalījuma funkcijas grafiku parasti sauc par sadalījuma līkni.

Diferenciālā sadalījuma funkcijas īpašības:

1. Diferenciālā sadalījuma funkcija nav negatīva, t.i.

2. Ja visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības pieder intervālam (a, b), tad

Diferenciālā sadalījuma funkciju bieži sauc par nepārtrauktu gadījuma lielumu varbūtības sadalījuma likumu.

Risinot lietišķās problēmas, rodas dažādi nepārtrauktu gadījuma lielumu varbūtības sadalījuma likumi. Bieži atrasts vienmērīga un normāla sadalījuma likumi.

Diferenciālie un integrālie sadales likumi

Gadījuma lieluma sadalījuma likums nosaka saikni starp iespējamām šī lieluma vērtībām un to rašanās varbūtībām, kas atbilst šīm vērtībām. Pastāv divi gadījuma lieluma sadalījuma likuma aprakstīšanas veidi - diferenciālis un integrālis . Turklāt metroloģijā galvenokārt izmanto diferenciālo formu - sadales likumu varbūtības blīvums izlases lielums.
Diferenciālās sadales likums raksturots sadalījuma blīvums Gadījuma lieluma sadalījuma blīvums šajā gadījumā varbūtība P trāpot nejaušam mainīgajam intervālā no x 1 pirms tam x2 :

Grafiski šī varbūtība ir platība zem līknes f(x) intervālā no x 1 pirms tam x2 uz kopējo platību, ko ierobežo visa sadalījuma līkne.

Šajā gadījumā sadale nepārtraukts izlases lielums. Papildus tiem ir diskrēts nejauši mainīgie, kas iegūst vairākas īpašas vērtības, kuras var numurēt.

Gadījuma lieluma integrālā sadalījuma likums ir funkcija F(x), definēts ar formulu

Varbūtība, ka nejaušais mainīgais būs mazāks x1 ko dod funkcijas vērtība F(x) plkst x = x 1:

F(X) ir nesamazinoša funkcija un kā X → ∞ F(X)→1

Kad X → - ∞ F(X)→0

F(x) — funkcija ir nepārtraukta, jo novērojumu rezultāts noteiktā intervālā var iegūt jebkuru vērtību

Taču ceturtais īpašums praksē parasti netiek ieviests. Tas ir saistīts ar faktu, ka izmantotajam SI ir ierobežota izšķirtspēja: rādītāja ierīcei tā ir skalas dalījuma (quantum FV) cena, digitālajām ierīcēm tā ir mazākā koda cipara cena. Tāpēc patiesībā kļūdas sadalījuma funkcijai ir pakāpeniska forma.

Tomēr metroloģiskajā praksē integrālā funkcija tiek uzskatīta par nepārtrauktu, kas vienkāršo kļūdu apstrādi.

Nepārtraukta gadījuma lieluma vienmērīgs sadalījuma likums.

Nepārtraukts gadījuma lielums ievēro vienotu sadalījuma likumu, ja tā iespējamās vērtības atrodas noteiktā intervālā, kurā visas vērtības ir vienādi ticamas, tas ir, tām ir vienāds varbūtības blīvums. Citiem vārdiem sakot, varbūtības sadalījumu sauc par vienmērīgu, ja intervālā, kuram pieder visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības, diferenciālfunkcijai ir nemainīga vērtība.

nejauši mainīgie ar vienmērīgu varbūtības sadalījumu,<<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

Atradīsim vienmērīgā sadalījuma diferenciālo funkciju (blīvumu), pieņemot, ka visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības X bloķēta starpā , uz kuras diferenciālā funkcija paliek nemainīga, t.i.

f(x) = C

Pēc nosacījuma X neņem vērtības ārpus diapazona , tāpēc f(x) = 0 visiem x< a un x< b.

Atradīsim konstantes vērtību NO . Tā kā visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības pieder intervālam , tad tā ir taisnība:

Tātad likums par gadījuma lieluma vienmērīgu sadalījumu intervālā (šeit a< b ) var analītiski uzrakstīt šādi:

Tagad atradīsim nepārtraukta gadījuma lieluma vienmērīgā sadalījuma integrālo funkciju. Lai to izdarītu, mēs izmantojam formulu

ja x< a tad f(x) = 0 un līdz ar to F(x) = 0

ja a ≤ x ≤ b tad un tāpēc

ja x ˃b tad

Tātad vēlamo integrālā sadalījuma funkciju var analītiski uzrakstīt šādi:

F(x) = 0 x< a

ja a ≤ x ≤ b

F(x) = 1 x ˃ b

Vienmērīga nepārtraukta sadalījuma īpašības:

1. Pirmais brīdis (gaidas)

2. Mediāna: M = M(X)

3. Mode - jebkurš segmenta skaitlis (režīms - visticamākā sadalījuma vērtība);

Apzīmē ar varbūtību, ka nejaušam mainīgajam x ir vērtība, kas ir mazāka par funkciju, ko sauc par x integrālā sadalījuma funkciju. Tā kā jebkurai varbūtībai ir jābūt starp un 1, tad visām vērtībām mums ir: Ja ir tādas, ka varbūtība ir lielāka vai vienāda ar varbūtību, t.i., funkcija nevar samazināties, palielinoties

Tipiska integrālā sadalījuma funkcijas forma ir parādīta attēlā. 1, kur ir attēlota horizontālā ass un vertikālā funkcija

Zinot integrālā sadalījuma funkciju, mēs varam viegli noteikt jebkurai dotai varbūtībai, ka Tā kā notikumi ir nesavienojami, tad jebkura no šiem notikumiem iestāšanās varbūtība būs vienāda ar katra notikuma iestāšanās varbūtību summu. notikumi, t.i.

(skatīt skenēšanu)

Tā kā jebkura no šiem diviem notikumiem iestāšanās varbūtība vai sakrīt ar notikuma iestāšanās iespējamību, tad saskaņā ar sakarību (1.1) mums ir

Tāpēc vēlamā notikuma iestāšanās varbūtība būs vienāda ar

Gadījumā, ja gadījuma lielums x ir iegūts, izmērot kādu no objektu grupas nejauši izvēlēta objekta raksturlielumu, ir iespējams sniegt vienkāršu integrālā sadalījuma funkcijas interpretāciju.Kā norādīts 1.1.1. punktā, šajā gadījumā ir varbūtība, ka novērotā vērtība x ir kāda vienādība vai nevienādība (teiksim, vai ir vienāda ar relatīvo proporciju (noteiktā objektu grupā) tādiem objektiem, kuriem vērtība x apmierina atbilstošo vienādību vai nevienādību. Tādējādi vienkārši nosaka to objektu relatīvais īpatsvars, kuriem Izmantojot šo varbūtību interpretāciju, kļūst acīmredzama sakarība (1.2 ), kas faktiski nosaka, ka relatīvais objektu skaits, kuriem ir vienāds ar relatīvo objektu skaitu, kuriem plus relatīvais objektu skaits ko Objektu Grupu bieži sauc par populāciju.Līdz šim mēs esam aplūkojuši tikai populācijas, kas satur ierobežotas jauns objektu skaits. Šādas populācijas sauc par ierobežotām.

Daudzos gadījumos ļoti noderīga ir tāda notikuma varbūtības interpretācija, kurai ir izpildīta noteikta sakarība (vienlīdzība vai nevienlīdzība) kā tādu elementu relatīvā proporcija noteiktā vispārējā populācijā, kuriem x vērtība apmierina šo sakarību. , un mēs to bieži izmantosim. Tomēr šāda varbūtību interpretācija ne vienmēr ir iespējama, ja neaprobežojamies ar ierobežotām populācijām. Patiešām, integrālajai sadalījuma funkcijai, kas saistīta ar ierobežotu vispārējo populāciju, ir savas īpašības.

Pieņemsim, ka vispārējā populācija sastāv no elementiem. Tad nejaušajam mainīgajam x var būt ne vairāk kā dažādas vērtības. Ļaujiet dažādām vērtībām, kuras var iegūt x vērtība, un šīs vērtības ir sakārtotas augošā secībā, ir skaidrs, ka, ja x vērtība ir vienāda vairākiem elementiem, tad kumulatīvā sadalījuma funkcija šajā gadījumam būs soļu līknes forma, kas parādīta attēlā. 2.

Sadalījuma funkcijai būs precīzi lēcieni, un katra lēciena lielums būs vienāds ar vai nu veselu skaitli, kas reizināts ar kumulatīvā sadalījuma funkciju, ko attēlo nepārtrauktā līkne attēlā. 1 acīmredzami nav šāda veida.

Tādējādi, ja integrālā sadalījuma funkcija ir nepārtraukta līkne, tad varbūtību interpretācija kā ierobežotas vispārējās populācijas noteiktu elementu relatīvā proporcija nav iespējama. Tomēr jebkuru nepārtrauktu kumulatīvo sadalījuma funkciju var tuvināt ar jebkuru noteiktu precizitāti, izmantojot pakāpenisku kumulatīvā sadalījuma funkciju, kas saistīta ar ierobežotu populāciju, ja elementu skaits pēdējā ir pietiekami liels. Tādējādi jebkuru nepārtrauktu kumulatīvo sadalījuma funkciju var uzskatīt par kumulatīvā sadalījuma funkcijas ierobežojošo formu, kas saistīta ar ierobežotu populāciju. Robeža tiek sasniegta, bezgalīgi palielinot elementu skaitu šajā vispārīgajā

agregāti. Tas nozīmē, ka, ja pieļaujam bezgalīgas populācijas (populācijas ar bezgalīgu elementu skaitu) eksistenci, tad jebkuru ar šo populāciju saistīto varbūtību vienmēr var interpretēt kā attiecīgo populācijas elementu relatīvo proporciju. Protams, bezgalīgas populācijas jēdziens ir tikai noderīga abstrakcija, kas ieviesta tikai teorijas vienkāršošanai.

Kā bezgalīgas vispārējās populācijas piemēru apsveriet eksperimentu, kas sastāv no noteikta stieņa garuma mērīšanas. Katra mērījuma rezultātu var uzskatīt par nejaušu lielumu, ko raksturo integrālā sadalījuma funkcija.Tad bezgalīga vispārējā populācija būs bezgalīga atkārtotu stieņa garuma mērījumu secība, lai katru faktiski veikto mērījumu varētu uzskatīt par elementu. no šīs populācijas. Dažkārt kopējā populācija ir ierobežota, bet šīs populācijas elementu skaits ir tik liels, ka izrādās ērtāk uzskatīt problēmas, kas saistītas ar šo populāciju tā, it kā tā būtu bezgalīga, tas ir, it kā kopējā populācija būtu bezgalīga. . Pieņemsim, piemēram, ka mūs interesē visu 20 gadus vecu un vecāku ASV dzīvojošo sieviešu auguma sadalījums. Ir acīmredzams, ka šādu indivīdu skaits ir tik liels, ka var rēķināties ar ievērojamiem matemātiskiem vienkāršojumiem, ja mēs uzskatām, ka šādu indivīdu kopējā populācija ir bezgalīga.

Gadījuma lieluma integrālā varbūtības sadalījuma funkcija

TZR-3. Integrālā varbūtības sadalījuma funkcija CB

Tas ir universālākais veids, kā noteikt sadales likumu. To var izmantot gan diskrētam, gan nepārtrauktam SW. Bieži vien, runājot par šo metodi, vārdi ʼʼintegralʼʼʼ un ʼʼvarbūtībasʼʼ tiek atmesti un tiek lietots termins ʼʼ. sadales funkcija SVʼʼ.

Kumulatīvā varbūtības sadalījuma funkcija ir varbūtība, ka kāds nejaušs mainīgais X iegūst vērtību, kas ir mazāka par pašreizējo x:

F(x) = P(X< х) (20)

Piemēram, ja tādam SW kā strāva elektrolīnijā sadales funkcija F (90) = 0,3, tad tas nozīmē, ka varbūtība, ka strāva elektrolīnijā iegūst vērtību, kas ir mazāka par 90 A, ir 0,3.

Ja spriegumam tīklā sadales funkcija F (215) = 0,4, tad 0,4 ir varbūtība, ka spriegums tīklā ir mazāks par 215 V.

Varbūtības sadalījuma funkcijai jābūt norādītai analītiski, tabulas veidā vai grafiski.

27. piemērs

Atbilstoši noteiktai studentu atzīmju sadalījuma sērijai eksāmenā (8. tabula, 1. un 2. rinda), pierakstiet integrālā sadalījuma funkciju (8. tabulas 3. rinda) un izveidojiet tās grafiku.

8. tabula. Eksāmena atzīmju sadalījuma virkne un integrālā funkcija

Ir vērts teikt, ka, lai atrastu sadalījuma funkcijas vērtības, ir ārkārtīgi svarīgi izmantot tās definīciju (20):

· priekš X = 2 F(2)= P(X< 2) = 0, jo eksāmenā nav mazāku atzīmju par 2;

· priekš X= 3 F(3)= P(X< 3) \u003d P (X \u003d 2) \u003d 0,1, jo mazāk par 3 ir tikai 2;

· priekš X = 4 F(4)= P(X< 4) = P( X= 2) + R(X= 3) = 0,1 + 0,5 = 0,6, jo mazāk par 4 ir divas atzīmes - 2 vai 3 (iegūt atzīmi, kas mazāka par 4, ir līdzvērtīga saņemšanai vai 2. klases vai punktus 3 un par atrašanu F(4) varat izmantot formulu nesaderīgu notikumu varbūtību pievienošanai;

· priekš X = 5 F(5)= P(X< 5) = R(X< 4) + R(X= 4) = 0,6 + 0,3 = 0,9, tas ir, līdz F(4) tiek pieskaitīta varbūtība, ka rezultāts ir 4.

Analizējot F(x) vērtību atrašanas secību, mēs redzam, ka CV mazākās vērtības varbūtība vispirms tiek pievienota otrās vērtības varbūtībai, pēc tam trešajai un tā tālāk. Tas ir, varbūtības, šķiet, uzkrājas. Šī iemesla dēļ tiek izsaukta arī integrālā sadalījuma funkcija ʼʼkumulatīvo varbūtību funkcijaʼʼ.

Statistikas literatūrā diezgan bieži tiek saukta kumulatīvo varbūtību funkcija kumulatīvs.

Pamatojoties uz datu tabulu. 8 jāatzīmē integrālfunkcijas grafiks diskrēts gadījuma lielums (29. att.). Šī funkcija ir pārtraukta. Pārlēkt fit atsevišķa diskrēta vērtības X, a augstumiʼʼsoļiʼʼ - atbilstošs varbūtības. Pārrāvuma vietās funkcija (29. att.) iegūst vērtības, kas norādītas ar punktiem, ᴛ.ᴇ. atstāta nepārtraukta. Vispārīgi runājot, diskrētam SW mēs varam rakstīt: F(x) = P(X< х) = . (21)

Lai saprastu, kā izskatīsies nepārtrauktas SW integrālā sadalījuma funkcijas grafiks, varat izmantot šādu argumentāciju. Ja iedomājamies, ka palielinās diskrēto SW vērtību skaits, tad būs vairāk atstarpju, un pakāpienu augstums samazināsies. Robežā, kad iespējamo vērtību skaits kļūst bezgalīgs (un tas ir nepārtraukts CV), soļu grafiks pārtaps nepārtrauktā (30. att.).

Tāpēc ka integrālā varbūtības sadalījuma funkcija CB ir ārkārtīgi svarīgi, apskatīsim to sīkāk īpašības:

1. īpašums. Šis izplatīšanas likuma noteikšanas veids universāls, jo tas ir piemērots gan diskrētu, gan nepārtrauktu SW sadales likuma iestatīšanai.

Īpašums 2 . Tā kā integrālā sadalījuma funkcija ir ϶ᴛᴏ varbūtība, tad tā vērtības atrodas segmentā no 0 līdz 1.

Īpašums 3 . Sadales funkcija bezizmēra, kā arī jebkura varbūtība.

Īpašums 4 . Sadales funkcija ir nesamazinoša funkcija, t.i., argumenta lielāka vērtība atbilst tādai pašai vai lielākai funkcijas vērtībai: kad x 2 > x 1 F(x 2) ≥ F(x 1).

Šī īpašība izriet no fakta (31. att.), ka varbūtība trāpīt lielākam segmentam (no -∞ līdz x 2) nekādā gadījumā nedrīkst būt mazāka par varbūtību trāpīt mazākam segmentam (no -∞ līdz x 1).

Gadījumā, ja teritorijā no plkst x 2 pirms tam x 1(32. att.) nav iespējamas SW vērtības (tas ir iespējams diskrētam SW), tad F(x 2) = F(x 1).

Nepārtrauktas SW sadales funkcijai (33. att.) F(x 2) vienmēr vairāk F(x 1).

Īpašumam 4 ir divas sekas.

Secinājums 1

AT varbūtība, ka X vērtība intervālā (x 1; x 2) iegūs vērtību, ir vienāda ar starpību starp integrālās funkcijas vērtībām pie intervāla robežām:

P(x 1 ≤ X< х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

Šīs sekas var izskaidrot šādi (31. att.):

F (x 2) \u003d P (X< х 2) –

varbūtība, ka SW ņem vērtības pa kreisi no punkta x 2 .

F (x 1) \u003d P (X< х 1) ir varbūtība, ka SW ņem vērtības pa kreisi no punkta x 1 .

Līdz ar to atšķirība

P(X< х 2) - Р(Х < х 1) pastāv iespēja, ka DR vērtības atrodas apgabalā no plkst x 1 pirms tam x 2 (34. att.) .

Gadījuma lieluma integrālā varbūtības sadalījuma funkcija - jēdziens un veidi. Kategorijas "Nejauša lieluma varbūtības sadalījuma integrālā funkcija" klasifikācija un pazīmes 2017., 2018.g.