Բազմապատկիչների ածանցյալ. Գործառույթների գումարի և տարբերության ածանցյալ: Գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին

Եթե ​​հետևենք սահմանմանը, ապա մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը Δ ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է։ yփաստարկի աճին Δ x:

Ամեն ինչ կարծես պարզ է. Բայց փորձեք այս բանաձեւով հաշվարկել, ասենք, ֆունկցիայի ածանցյալը զ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ե xմեղք x. Եթե ​​դուք ամեն ինչ անում եք ըստ սահմանման, ապա մի երկու էջ հաշվարկներից հետո դուք պարզապես կքնեք։ Հետեւաբար, կան ավելի պարզ եւ արդյունավետ ուղիներ:

Սկզբից մենք նշում ենք, որ այսպես կոչված տարրական գործառույթները կարելի է տարբերել գործառույթների ամբողջ բազմազանությունից: Սրանք համեմատաբար պարզ արտահայտություններ են, որոնց ածանցյալները վաղուց հաշվարկվել և մուտքագրվել են աղյուսակում։ Նման գործառույթները բավականին հեշտ են հիշել՝ դրանց ածանցյալների հետ միասին:

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ

Տարրական գործառույթները ստորև նշված են ամեն ինչ: Այս ֆունկցիաների ածանցյալները պետք է անգիր հայտնի լինեն։ Ավելին, դրանք անգիր անելը դժվար չէ, դրա համար էլ տարրական են։

Այսպիսով, տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները.

Եթե ​​տարրական ֆունկցիան բազմապատկվում է կամայական հաստատունով, ապա նոր ֆունկցիայի ածանցյալը նույնպես հեշտությամբ հաշվարկվում է.

(Գ · զ)’ = Գ · զ ’.

Ընդհանրապես հաստատունները կարելի է հանել ածանցյալի նշանից։ Օրինակ:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Ակնհայտ է, որ տարրական գործառույթները կարելի է ավելացնել միմյանց, բազմապատկել, բաժանել և շատ ավելին: Այսպես կհայտնվեն նոր գործառույթներ՝ արդեն ոչ շատ տարրական, բայց նաև տարբերվող՝ ըստ որոշակի կանոնների։ Այս կանոնները քննարկվում են ստորև:

Գումարի և տարբերության ածանցյալ

Թողեք գործառույթները զ(x) և է(x), որոնց ածանցյալները մեզ հայտնի են։ Օրինակ, կարող եք վերցնել վերը քննարկված տարրական գործառույթները: Այնուհետև կարող եք գտնել այս ֆունկցիաների գումարի և տարբերության ածանցյալը.

1. (զ + է)’ = զ ’ + է ’
2. (զ − է)’ = զ ’ − է ’

Այսպիսով, երկու ֆունկցիաների գումարի (տարբերության) ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին (տարբերությանը): Կարող են լինել ավելի շատ ժամկետներ: Օրինակ, ( զ + է + հ)’ = զ ’ + է ’ + հ ’.

Խիստ ասած, հանրահաշիվում «հանում» հասկացություն չկա։ Գոյություն ունի «բացասական տարր» հասկացություն։ Հետեւաբար, տարբերությունը զ − էկարող է վերագրվել որպես գումար զ+ (−1) է, և հետո մնում է միայն մեկ բանաձև՝ գումարի ածանցյալը։

զ(x) = x 2 + սինքս; է(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Գործառույթ զ(x) երկու տարրական ֆունկցիաների գումարն է, ուստի.

զ ’(x) = (x 2+ մեղք x)’ = (x 2)' + (մեղ x)’ = 2x+ cosx;

Մենք նմանապես վիճում ենք ֆունկցիայի համար է(x): Միայն կան երեք տերմիններ (հանրահաշվի տեսանկյունից).

է ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Պատասխան.
զ ’(x) = 2x+ cosx;
է ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Արտադրանքի ածանցյալ

Մաթեմատիկան տրամաբանական գիտություն է, ուստի շատերը կարծում են, որ եթե գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին, ապա արտադրյալի ածանցյալը. գործադուլ«\u003e հավասար է ածանցյալների արտադրյալին: Բայց թուզը ձեզ: Արտադրանքի ածանցյալը հաշվարկվում է բոլորովին այլ բանաձևով: Մասնավորապես.

(զ · է) ’ = զ ’ · է + զ · է ’

Բանաձևը պարզ է, բայց հաճախ մոռացվում է. Եվ ոչ միայն դպրոցականներ, այլեւ ուսանողներ։ Արդյունքը սխալ լուծված խնդիրներն են։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները. զ(x) = x 3 cosx; է(x) = (x 2 + 7x− 7) · ե x .

Գործառույթ զ(x) երկու տարրական ֆունկցիաների արդյունք է, ուստի ամեն ինչ պարզ է.

զ ’(x) = (x 3 կո x)’ = (x 3) կոթ x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 կո x + x 3 (-մեղ x) = x 2 (3cos x − xմեղք x)

Գործառույթ է(x) առաջին բազմապատկիչը մի փոքր ավելի բարդ է, բայց ընդհանուր սխեման դրանից չի փոխվում: Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի առաջին բազմապատկիչը է(x) բազմանդամ է, իսկ նրա ածանցյալը գումարի ածանցյալն է։ Մենք ունենք:

է ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ե x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · ե x + (x 2 + 7x− 7) ( ե x)’ = (2x+ 7) · ե x + (x 2 + 7x− 7) · ե x = ե x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ե x = x(x+ 9) · ե x .

Պատասխան.
զ ’(x) = x 2 (3cos x − xմեղք x);
է ’(x) = x(x+ 9) · ե x .

Նշենք, որ վերջին քայլում ածանցյալը գործոնացվում է: Ֆորմալ կերպով դա անհրաժեշտ չէ, բայց ածանցյալների մեծ մասը հաշվարկվում է ոչ թե ինքնուրույն, այլ ֆունկցիան ուսումնասիրելու համար: Սա նշանակում է, որ հետագայում ածանցյալը կհավասարեցվի զրոյի, նրա նշանները կպարզվեն և այլն։ Նման դեպքի համար ավելի լավ է գործոնների քայքայված արտահայտություն ունենալ։

Եթե ​​կա երկու գործառույթ զ(x) և է(x), և է(x) ≠ 0 մեզ հետաքրքրող բազմության վրա, մենք կարող ենք սահմանել նոր ֆունկցիա հ(x) = զ(x)/է(x): Նման ֆունկցիայի համար կարող եք նաև գտնել ածանցյալը.

Թույլ չէ, չէ՞: Որտեղի՞ց եկավ մինուսը: Ինչո՞ւ է 2? Բայց այսպես. Սա ամենաբարդ բանաձևերից մեկն է. առանց շշի չես կարող հասկանալ: Ուստի ավելի լավ է այն ուսումնասիրել կոնկրետ օրինակներով։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.

Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեջ կան տարրական ֆունկցիաներ, ուստի մեզ անհրաժեշտ է գործակիցի ածանցյալի բանաձևը.

Ավանդույթի համաձայն, մենք համարիչը վերածում ենք գործոնների, սա մեծապես կհեշտացնի պատասխանը.

Բարդ ֆունկցիան պարտադիր չէ, որ բանաձև լինի կես կիլոմետր երկարությամբ: Օրինակ, բավական է վերցնել ֆունկցիան զ(x) = մեղք xև փոխարինել փոփոխականը x, ասենք, վրա x 2+ln x. Պարզվում է զ(x) = մեղք ( x 2+ln x) բարդ ֆունկցիա է։ Նա նաև ունի ածանցյալ, բայց դա չի աշխատի գտնել այն վերը քննարկված կանոնների համաձայն:

Ինչպե՞ս լինել: Նման դեպքերում փոփոխականի փոխարինումը և բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը օգնում են.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ», եթե xփոխարինվում է տ(x).

Որպես կանոն, այս բանաձևի ըմբռնման հետ կապված իրավիճակը նույնիսկ ավելի տխուր է, քան գործակիցի ածանցյալը։ Ուստի ավելի լավ է նաև այն բացատրել կոնկրետ օրինակներով՝ յուրաքանչյուր քայլի մանրամասն նկարագրությամբ։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները. զ(x) = ե 2x + 3 ; է(x) = մեղք ( x 2+ln x)

Նշենք, որ եթե ֆունկցիայի մեջ զ(x) 2 արտահայտության փոխարեն x+ 3-ը հեշտ կլինի x, ապա ստանում ենք տարրական ֆունկցիա զ(x) = ե x. Հետևաբար, մենք կատարում ենք փոխարինում. թող 2 x + 3 = տ, զ(x) = զ(տ) = ե տ. Մենք փնտրում ենք բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ բանաձևով.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ ’ = (ե տ)’ · տ ’ = ե տ · տ ’

Եվ հիմա - ուշադրություն: Հակադարձ փոխարինման կատարում. տ = 2x+ 3. Մենք ստանում ենք.

զ ’(x) = ե տ · տ ’ = ե 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ե 2x+ 3 2 = 2 ե 2x + 3

Հիմա եկեք նայենք ֆունկցիային է(x): Ակնհայտորեն պետք է փոխարինել: x 2+ln x = տ. Մենք ունենք:

է ’(x) = է ’(տ) · տ= (մեղ տ)’ · տ' = cos տ · տ ’

Հակադարձ փոխարինում. տ = x 2+ln x. Ապա.

է ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Այսքանը: Ինչպես երևում է վերջին արտահայտությունից, ամբողջ խնդիրը կրճատվել է գումարի ածանցյալի հաշվարկով։

Պատասխան.
զ ’(x) = 2 ե 2x + 3 ;
է ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Շատ հաճախ իմ դասերին «ածանցյալ» տերմինի փոխարեն օգտագործում եմ «ինսուլտ» բառը։ Օրինակ, գումարի հարվածը հավասար է հարվածների գումարին: Դա ավելի պարզ է? Դե, դա լավ է:

Այսպիսով, ածանցյալի հաշվարկը հանգում է հենց այս հարվածներից ազատվելուն՝ համաձայն վերը քննարկված կանոնների։ Որպես վերջնական օրինակ՝ վերադառնանք ռացիոնալ ցուցիչով ածանցյալ հզորությանը.

(x n)’ = n · x n − 1

Քչերը գիտեն դա դերում nկարող է լինել կոտորակային թիվ: Օրինակ, արմատն է x 0,5 . Բայց ինչ անել, եթե արմատի տակ ինչ-որ բան կա: Դարձյալ բարդ ֆունկցիա կստացվի՝ թեստերում ու քննություններում սիրում են նման կոնստրուկցիաներ տալ։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Նախ, եկեք արմատը վերագրենք որպես ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժ.

զ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Այժմ մենք կատարում ենք փոխարինում. թող x 2 + 8x − 7 = տ. Մենք ածանցյալը գտնում ենք բանաձևով.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ ’ = (տ 0.5)' տ' = 0,5 տ−0,5 տ ’.

Մենք կատարում ենք հակադարձ փոխարինում. տ = x 2 + 8x− 7. Մենք ունենք.

զ ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Վերջապես, վերադառնանք արմատներին.

Հաշվիչը հաշվարկում է բոլոր տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները՝ տալով մանրամասն լուծում։ Տարբերակման փոփոխականը որոշվում է ավտոմատ կերպով:

Ֆունկցիայի ածանցյալմաթեմատիկական վերլուծության կարևորագույն հասկացություններից է։ Նման խնդիրները հանգեցրին ածանցյալի ի հայտ գալուն, ինչպիսին է, օրինակ, ժամանակի մի կետի ակնթարթային արագությունը հաշվարկելը, եթե ուղին հայտնի է ժամանակից կախված, մի կետում ֆունկցիայի շոշափող գտնելու խնդիր։ .

Ամենից հաճախ ֆունկցիայի ածանցյալը սահմանվում է որպես ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանը արգումենտի աճին, եթե այն գոյություն ունի:

Սահմանում.Թող ֆունկցիան սահմանվի կետի ինչ-որ հարևանությամբ: Այդ դեպքում ֆունկցիայի ածանցյալը կետում կոչվում է սահման, եթե այն գոյություն ունի

Ինչպե՞ս հաշվարկել ֆունկցիայի ածանցյալը:

Ֆունկցիաները տարբերել սովորելու համար պետք է սովորել և հասկանալ տարբերակման կանոններև սովորել, թե ինչպես օգտագործել ածանցյալ աղյուսակ.

Տարբերակման կանոններ

Թող լինեն և լինեն իրական փոփոխականի կամայական տարբերակվող ֆունկցիաներ, լինեն իրական հաստատուն: Հետո

ֆունկցիաների արտադրյալի տարբերակման կանոնն է

քանորդ ֆունկցիաների տարբերակման կանոնն է

0 height=33 width=370 style="vertical-align: -12px;"> — փոփոխական ցուցիչով ֆունկցիայի տարբերակում

- բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը

ուժային ֆունկցիայի տարբերակման կանոնն է

Գործառույթի ածանցյալ առցանց

Մեր հաշվիչը արագ և ճշգրիտ կհաշվարկի ցանկացած ֆունկցիայի ածանցյալը առցանց: Ծրագիրը չի սխալվի ածանցյալը հաշվարկելիս և կօգնի խուսափել երկար ու հոգնեցուցիչ հաշվարկներից։ Առցանց հաշվիչը օգտակար կլինի նաև այն դեպքում, երբ անհրաժեշտություն կա ստուգելու ձեր լուծումը ճիշտ լինելու համար, և եթե այն սխալ է, արագ գտեք սխալ:

Բացարձակապես անհնար է լուծել մաթեմատիկայի ֆիզիկական խնդիրներ կամ օրինակներ՝ առանց դրա ածանցյալի և դրա հաշվարկման մեթոդների իմացության։ Ածանցյալը մաթեմատիկական վերլուծության կարևորագույն հասկացություններից է։ Մենք որոշեցինք այսօրվա հոդվածը նվիրել այս հիմնարար թեմային: Ի՞նչ է ածանցյալը, ի՞նչ ֆիզիկական և երկրաչափական նշանակություն ունի, ինչպե՞ս հաշվարկել ֆունկցիայի ածանցյալը։ Այս բոլոր հարցերը կարելի է միավորել մեկի մեջ՝ ինչպե՞ս հասկանալ ածանցյալը:

Ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը

Թող ֆունկցիա լինի f(x) , տրված որոշակի ընդմիջումով (ա, բ) . Այս միջակայքին են պատկանում x և x0 կետերը։ Երբ x-ը փոխվում է, ֆունկցիան ինքնին փոխվում է: Փաստարկի փոփոխություն - դրա արժեքների տարբերություն x-x0 . Այս տարբերությունը գրված է այսպես դելտա x և կոչվում է արգումենտի ավելացում։ Ֆունկցիայի փոփոխությունը կամ ավելացումը երկու կետում ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունն է: Ածանցյալ սահմանում.

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է փաստարկի աճին, երբ վերջինս հակված է զրոյի:

Հակառակ դեպքում կարելի է գրել այսպես.

Ի՞նչ իմաստ ունի նման սահման գտնելը։ Բայց ո՞ր մեկը.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է OX առանցքի անկյան շոշափմանը և տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողին:

Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը. ուղու ժամանակային ածանցյալը հավասար է ուղղագիծ շարժման արագությանը։

Իսկապես, դպրոցական օրերից բոլորը գիտեն, որ արագությունը մասնավոր ճանապարհ է։ x=f(t) և ժամանակ տ . Միջին արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում.

Միանգամից շարժման արագությունը պարզելու համար t0 դուք պետք է հաշվարկեք սահմանը.

Կանոն առաջին. հանել հաստատունը

Հաստատունը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից։ Ավելին, դա պետք է արվի. Մաթեմատիկայի օրինակներ լուծելիս, որպես կանոն, վերցրեք. եթե դուք կարող եք պարզեցնել արտահայտությունը, անպայման պարզեցրեք .

Օրինակ. Եկեք հաշվարկենք ածանցյալը.

Կանոն երկրորդ՝ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին։ Նույնը վերաբերում է ֆունկցիաների տարբերության ածանցյալին։

Մենք չենք տա այս թեորեմի ապացույցը, այլ ավելի շուտ դիտարկենք գործնական օրինակ:

Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Երրորդ կանոն՝ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալ

Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ՝ գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Որոշում:

Այստեղ կարևոր է ասել բարդ ֆունկցիաների ածանցյալների հաշվարկի մասին։ Կոմպլեքս ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Վերոնշյալ օրինակում մենք հանդիպում ենք արտահայտության.

Այս դեպքում միջանկյալ արգումենտը 8x է հինգերորդ հզորությանը: Նման արտահայտության ածանցյալը հաշվարկելու համար մենք նախ դիտարկում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը միջանկյալ արգումենտի նկատմամբ, այնուհետև բազմապատկում ենք բուն միջանկյալ փաստարկի ածանցյալով անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Չորրորդ կանոն՝ երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալի որոշման բանաձև.

Մենք փորձեցինք զրոյից խոսել ածանցյալների մասին: Այս թեման այնքան էլ պարզ չէ, որքան թվում է, այնպես որ զգուշացե՛ք. օրինակներում հաճախ են որոգայթներ, ուստի զգույշ եղեք ածանցյալները հաշվարկելիս:

Այս և այլ թեմաների վերաբերյալ ցանկացած հարցով կարող եք կապվել ուսանողական ծառայության հետ: Կարճ ժամանակում մենք կօգնենք ձեզ լուծել ամենադժվար վերահսկողությունը և լուծել առաջադրանքները, նույնիսկ եթե նախկինում երբեք չեք զբաղվել ածանցյալների հաշվարկով: