Если значение числового выражения существует то выражение. Числовые выражения. Сравнение числовых выражений

Запись условий задач с помощью принятых в математике обозначений приводит к появлению так называемых математических выражений, которые называют просто выражениями. В этой статье мы подробно поговорим про числовые, буквенные выражения и выражения с переменными : дадим определения и приведем примеры выражений каждого вида.

Навигация по странице.

Числовые выражения – что это?

Знакомство с числовыми выражениями начинается чуть ли не с самых первых уроков математики. Но свое имя – числовые выражения – они официально приобретают немного позже. Например, если следовать курсу М. И. Моро, то это происходит на страницах учебника математики для 2 классов. Там представление о числовых выражениях дается так: 3+5 , 12+1−6 , 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 и т.п. – это все числовые выражения , а если в выражении выполнить указанные действия, то найдем значение выражения .

Можно сделать вывод, что на этом этапе изучения математики числовыми выражениями называют имеющие математический смысл записи, составленные из чисел, скобок и знаков сложения и вычитания.

Чуть позже, после знакомства с умножением и делением, записи числовых выражений начинают содержать знаки «·» и «:». Приведем несколько примеров: 6·4 , (2+5)·2 , 6:2 , (9·3):3 и т.п.

А в старших классах разнообразие записей числовых выражений разрастается как снежный ком, катящийся с горы. В них появляются обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа и отрицательные числа, степени, корни, логарифмы, синусы, косинусы и так далее.

Обобщим всю информацию в определение числового выражения:

Определение.

Числовое выражение - это комбинация чисел, знаков арифметических действий, дробных черт, знаков корня (радикалов), логарифмов, обозначений тригонометрических, обратных тригонометрических и других функций, а также скобок и других специальных математических символов, составленная в соответствии с принятыми в математике правилами.

Разъясним все составные части озвученного определения.

В числовых выражениях могут участвовать абсолютно любые числа: от натуральных до действительных, и даже комплексных. То есть, в числовых выражениях можно встретить

Со знаками арифметических действий все понятно – это знаки сложения, вычитания, умножения и деления, имеющие соответственно вид «+», «−» , «·» и «:». В числовых выражениях может присутствовать один из этих знаков, некоторые из них или все сразу, и причем по нескольку раз. Вот примеры числовых выражений с ними: 3+6 , 2,2+3,3+4,4+5,5 , 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12 .

Что касается скобок , то имеют место как числовые выражения, в которых есть скобки, так и выражения без них. Если в числовом выражении есть скобки, то они в основном

А иногда скобки в числовых выражениях имеют какое-нибудь определенное отдельно указанное специальное предназначение. К примеру, можно встретить квадратные скобки, обозначающие целую часть числа, так числовое выражение +2 обозначает, что к целой части числа 1,75 прибавляется число 2 .

Из определения числового выражения также видно, что в выражении могут присутствовать , , log , ln , lg , обозначения или и т.п. Вот примеры числовых выражений с ними: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 и .

Деление в числовых выражениях может быть обозначено с помощью . В этом случае имеют место числовые выражения с дробями. Приведем примеры таких выражений: 1/(1+2) , 5+(2·3+1)/(7−2,2)+3 и .

В качестве специальных математических символов и обозначений, которые можно встретить в числовых выражениях, приведем . Для примера покажем числовое выражение с модулем .

Что такое буквенные выражения?

Понятие буквенных выражений дается практически сразу после знакомства с числовыми выражениями. Вводится оно примерно так. В некотором числовом выражении одно из чисел не записывается, а вместо него ставится кружочек (или квадратик, или нечто подобное), и говорится, что вместо кружочка можно подставить некоторое число. Для примера приведем запись . Если вместо квадратика поставить, например, число 2 , то получится числовое выражение 3+2 . Так вот вместо кружочков, квадратиков и т.п. условились записывать буквы, а такие выражения с буквами назвали буквенными выражениями . Вернемся к нашему примеру , если в этой записи вместо квадратика поставить букву a , то получится буквенное выражение вида 3+a .

Итак, если допустить в числовом выражении присутствие букв, которыми обозначены некоторые числа, то получится так называемое буквенное выражение. Дадим соответствующее определение.

Определение.

Выражение, содержащее буквы, которыми обозначены некоторые числа, называется буквенным выражением .

Из данного определения понятно, что принципиально буквенное выражение отличается от числового выражения тем, что может содержать буквы. Обычно в буквенных выражениях используются маленькие буквы латинского алфавита (a, b, c, … ), а при обозначении углов – маленькие буквы греческого алфавита (α, β, γ, … ).

Итак, буквенные выражения могут быть составлены из чисел, букв и содержать все математические символы, которые могут встречаться в числовых выражениях, такие как скобки, знаки корней, логарифмы, тригонометрические и другие функции и т.п. Отдельно подчеркнем, что буквенное выражение содержит по крайней мере одну букву. Но может содержать и несколько одинаковых или различных букв.

Теперь приведем несколько примеров буквенных выражений. Например, a+b – это буквенное выражение с буквами a и b . Вот другой пример буквенного выражения 5·x 3 −3·x 2 +x−2,5 . И приведем пример буквенного выражения сложного вида: .

Выражения с переменными

Если в буквенном выражении буква обозначает величину, которая принимает не какое-то одно конкретное значение, а может принимать различные значения, то эту букву называют переменной и выражение называют выражением с переменной .

Определение.

Выражение с переменными – это буквенное выражение, в котором буквы (все или некоторые) обозначают величины, принимающие различные значения.

Например, пусть в выражении x 2 −1 буква x может принимать любые натуральные значения из интервала от 0 до 10 , тогда x – есть переменная, а выражение x 2 −1 есть выражение с переменной x .

Стоит отметить, что переменных в выражении может быть несколько. К примеру, если считать x и y переменными, то выражение является выражением с двумя переменными x и y .

Вообще, переход от понятия буквенного выражения к выражению с переменными происходит в 7 классе, когда начинают изучать алгебру. До этого момента буквенные выражения моделировали какие-то конкретные задачи. В алгебре же начинают смотреть на выражение более общо, без привязки к конкретной задаче, с пониманием того, что данное выражение подходит под огромное число задач.

В заключение этого пункта обратим внимание еще на один момент: по внешнему виду буквенного выражения невозможно узнать, являются ли входящие в него буквы переменными или нет. Поэтому ничто нам не мешает считать эти буквы переменными. При этом разница между терминами «буквенное выражение» и «выражение с переменными» исчезает.

Список литературы.

• Математика . 2 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.] - 3-е изд. - М.: Просведение, 2012. - 96 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

При изучении темы числовые, буквенные выражения и выражения с переменными необходимо уделить внимание понятию значение выражения . В этой статье мы ответим на вопрос, что такое значение числового выражения, и что называют значением буквенного выражения и выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Для разъяснения этих определений приведем примеры.

Навигация по странице.

Что называют значением числового выражения?

Знакомство с числовыми выражениями начинается чуть ли не с первых уроков математики в школе. Практически сразу вводится и понятие «значение числового выражения». Его относят к выражениям, составленным из чисел, соединенных знаками арифметических действий (+, −, ·, :). Дадим соответствующее определение.

Определение.

Значение числового выражения – это число, которое получается после выполнения всех действий в исходном числовом выражении.

Для примера рассмотрим числовое выражение 1+2 . Выполнив , получаем число 3 , оно и является значением числового выражения 1+2 .

Часто в словосочетании «значение числового выражения» слово «числового» опускают, и говорят просто «значение выражения», так как все равно понятно, о значении какого выражения идет речь.

Данное выше определение значения выражения распространяется и на числовые выражения более сложного вида, которые изучаются в старших классах. Здесь нужно заметить, что можно столкнуться с числовыми выражениями, указать значения которых нет возможности. Это связано с тем, что в некоторых выражениях невозможно выполнить записанные действия. Например, поэтому мы не можем указать значение выражения 3:(2−2) . Подобные числовые выражения называют выражениями, не имеющими смысла .

Часто на практике интерес представляет не столько числовое выражение, как его значение. То есть, встает задача, заключающаяся в определении значения данного выражения. При этом обычно говорят, что нужно найти значение выражения . В указанной статье подробно разобран процесс нахождения значения числовых выражений различного вида, и рассмотрена масса примеров с детальными описаниями решений.

Значение буквенного выражения и выражения с переменными

Помимо числовых выражений изучают буквенные выражения, то есть выражения, в записи которых вместе с числами присутствует одна или несколько букв. Буквы в буквенном выражении могут обозначать различные числа, и если буквы заменить этими числами, то буквенное выражение станет числовым.

Определение.

Числа, которыми заменяют буквы в буквенном выражении, называют значениями этих букв , а значение полученного при этом числового выражения называют значением буквенного выражения при данных значениях букв .

Итак, для буквенных выражений говорят не просто о значении буквенного выражения, а о значении буквенного выражения при данных (заданных, указанных и т.п.) значениях букв.

Приведем пример. Возьмем буквенное выражение 2·a+b . Пусть заданы значения букв a и b , например, a=1 и b=6 . Заменив буквы в исходном выражении их значениями, получим числовое выражение вида 2·1+6 , его значение равно 8 . Таким образом, число 8 есть значение буквенного выражения 2·a+b при заданных значениях букв a=1 и b=6 . Если бы были даны другие значения букв, то мы бы получили значение буквенного выражения для этих значений букв. Например, при a=5 и b=1 имеем значение 2·5+1=11 .

В старших классах при изучении алгебры буквам в буквенных выражениях позволяют принимать различные значения, такие буквы называют переменными, а буквенные выражения – выражениями с переменными. Для этих выражений вводится понятие значения выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Разберемся, что это такое.

Определение.

Значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных называется значение числового выражения, которое получается после подстановки выбранных значений переменных в исходное выражение.

Поясним озвученное определение на примере. Рассмотрим выражение с переменными x и y вида 3·x·y+y . Возьмем x=2 и y=4 , подставим эти значения переменных в исходное выражение, получаем числовое выражение 3·2·4+4 . Вычислим значение этого выражения: 3·2·4+4=24+4=28 . Найденное значение 28 является значением исходного выражения с переменными 3·x·y+y при выбранных значениях переменных x=2 и y=4 .

Если выбрать другие значения переменных, например, x=5 и y=0 , то этим выбранным значениям переменных будет соответствовать значение выражения с переменными, равное 3·5·0+0=0 .

Можно отметить, что иногда для различных выбранных значений переменных могут получаться равные значения выражения. К примеру, для x=9 и y=1 значение выражения 3·x·y+y равно 28 (так как 3·9·1+1=27+1=28 ), а выше мы показали, что такое же значение это выражение с переменными имеет при x=2 и y=4 .

Значения переменных можно выбирать из соответствующих им областей допустимых значений . В противном случае при подстановке в исходное выражение значений этих переменных получится числовое выражение, не имеющее смысла. К примеру, если выбрать x=0 , и подставить это значение в выражение 1/x , то получится числовое выражение 1/0 , которое не имеет смысла, так как деление на нуль не определено.

Остается лишь добавить, что существуют выражения с переменными, значения которых не зависят от значений входящих в них переменных. Например, значение выражения с переменной x вида 2+x−x не зависит от значения этой переменной, оно равно 2 при любом выбранном значении переменной x из области ее допустимых значений, которая в данном случае является множеством всех действительных чисел.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

В пп. 8.2.1 было показано, что алгебраические понятия являются средствами обобщения, языком описания арифметических действий. Понятие математического выражения иной природы, чем понятия сложения, вычитания, умножения и деления. Отношения между эти­ми понятиями можно считать отношениями формы и содержания: математические выражения являются одной из форм знакового, пись­менного обозначения арифметических действий. Числовое выраже­ние можно считать также одной из форм числа, так как каждое чис­ловое выражение имеет единственное числовое значение - число.

Выражения появляются в обучении математике, как только в пер­вом классе появляются записи вида 2 + 3, 4 - 3 при изучении дей-

ствий сложения и вычитания. Вначале их так и называют: запись сложения, запись вычитания. Как известно, эти записи имеют и име­на собственные: «сумма», «разность», которые могут быть введены на одном уроке вместе с соответствующими действиями или через некоторое время. А понятие выражения предметом изучения следует делать только после того, как у учащихся уже будет некоторый прак­тический опыт действий с такими записями. При этом учитель может использовать термин «выражение» в своей речи, не требуя от де­тей его употребления, но вводя его в пассивную лексику учащихся. Именно так происходит, когда повседневной жизни, когда дети слы­шат новое слово, отнесенное к визуально выделенному объекту. На­пример, указывая на записи сложения и вычитания через несколько уроков после введения этих действий, учитель говорит: «Прочитайте эти записи, эти выражения: …», «Найдите в учебнике под № … вы­ражение, в котором из семи нужно вычесть три. …», «Рассмотрите эти выражения (показывает на доске). Прочитайте то, которое по­зволяет найти число, на 3 большее чем 5, в котором есть число, на 3 большее чем 5; на 3 меньшее чем 5».

При изучении числовых выражений в начальной школе рассма­тривают следующие понятия и способы действий.

Понятия: математическое выражение, числовое выражение (выражение), виды числовых выражений (в одно действие и в не­сколько действий; со скобками и без скобок; содержащие действия одной ступени и действия двух ступеней); числовое значение выра­жения; правила порядка действий; сравнение отношений.

Способы действий: чтение выражений в одно - два дей­ствия; запись выражений под диктовку в одно - два действия; определение порядка действий; вычисление значения выражений по правилам порядка действий; сравнение двух числовых выра­жений; преобразование выражений - замена одного выражения равным ему другим на основе свойств действий.

Введение понятий. Урок введения понятия выражения полезно начать с обсуждения записей. Какие бывают записи? Зачем люди пи­шут? Зачем вы учитесь писать? Какие записи мы делаем при изуче­нии математики? (Дети обращаются к своим тетрадям, к учебнику, к заранее подготовленным карточкам с примерами записей из тех, которые за период обучения делали учащиеся.) На какие группы можно разделить записи при изучении математики?

В результате такого обсуждения акцентируем внимание на двух основных группах записей: запись чисел и запись арифметических действий. Записи арифметических действий, в свою очередь, делим на две группы: без вычислений и с вычислениями, т. е. вида 2 + 3 и 2 + 3 = 5. На основании этой классификации сообщаем учащимся, что за­пись сложения и вычитания вида 2 + 3и7-5,а также любую запись составленную из таких записей, например, 2 + 3-4, 7 - 5 - 1 и подоб­ные им, принято называть (договорились называть) математическим

выражением, или просто выражением. Далее, как и при введении других понятий, необходимо выполнение заданий на распознавание, обучение универсальному учебному действию - распознаванию объ­ектов, относящихся к изучаемому понятию. В число распознаваемых объектов должны быть включены такие, которые обладают не всеми общими (существенными) свойствами понятия и потому не представ­ляют данное понятие и подпадающие под понятие, но обладающие разными вариативными (несущественными) свойствами. Например: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2, 18-6= 18-3-3 = 15-3 = 12.

Так как записи, называемые выражениями, уже использовались, читались и записывались учащимися, нужно обобщить способы чтения рассматриваемых выражений. Например, выражение 17 - 10 может быть прочитано как «разность чисел 17 и 10», как задание - «из 17 вычесть 10», «уменьшить число 17 на 10» или «найти число, меньшее семнадцати на десять» и по подобным названиям научаем учащихся записывать выражения. В дальнейшем вопросы: как про­читать записанное выражение и как записать названное выражение обсуждаются с появлением новых видов выражений.

На том же уроке, где вводим понятие выражения, вводим и по­нятие значение выражения - число, получающееся в результате выполнения всех его арифметических действий.

Для подведения итога введения понятий и планирования даль­нейшей работы, полезно обсудить на этом или на следующих уроках вопросы: Сколько существует выражений? Чем одно выражение может быть похожим на другое? Чем может отличаться от другого? Чем все выражения похожи друг на друга? О чем могут сообщить нам выражения? Что можно делать с выражениями? Чему нужно (можно научиться), изучая выражения?

Отвечая на последний вопрос вместе с учащимися формулируем учебные цели предстоящей деятельности: можно научиться и бу­дем учиться читать и записывать выражения, находить значения выражений, сравнивать выражения.

Чтение и запись выражений. Так как выражения суть записи, то нужно уметь их читать. Основные способы чтения задаются при введении действий. Читать выражение можно как наименование, как перечень знаков, как задание или вопрос. После изучения отношений «меньше (больше) на», «меньше (больше) в» между числами выраже­ния читаются еще и как утверждения или вопросы об отношениях равенства и неравенства. Каждый способ чтения раскрывает опре­деленную грань смысла соответствующего действия или действий. Поэтому очень полезно поощрять разные способы чтения. Образец чтения задает учитель при введении действия или при рассмотрении соответствующего понятия, свойства или отношения.

Основу чтения любого выражения составляет чтение выражения в одно действие. Обучение чтению происходит как и обучение любо-

му чтению при выполнении заданий, требующих такого чтения. Это могут быть специальные задания: «Прочитай выражения». Чтение необходимо при проверке значений выражения (читают выражение в составе равенства), при сообщении о результатах сравнения. Важ­но и обратное действие: запись выражения по его названию или за­даваемому им заданию, отношению. Такого рода действия учащиеся выполняют при проведении математических диктантов, специально предназначенных для формирования умения записывать выражения или в составе заданий на вычисление, сравнение и др. Чтение мате­матических выражений, обучение чтению выражений скорее не цель, а средство обучения - средство развития речи, средство углубления понимания смысла действий.

Покажем на примерах способы чтения основных ви­дов простых выражений:

1) 2 + 3 к двум прибавить три; сложить числа два и три; сум­
ма чисел два и три; два плюс три; найти сумму чисел два и три;

Найти сумму слагаемых два и три; найти число, на три большее,
чем число два; два увеличить на три; первое слагаемое 2, второе
слагаемое 3, найти сумму;

2) 5 - 3 из пяти вычесть (ни в коем случае не «отнять 1 «!) три;

Разность чисел пять и три; пять минус три; найти разность
чисел пять и три; уменьшаемое пять, вычитаемое три, найти раз­
ность; найти число, на три меньшее, чем пять; пять уменьшить
на три;

3) 2 ·3 два взять слагаемым три раза; по два взять три раза;

Два умножить на три; произведение чисел два и три; первый
множитель два, второй - три, найти произведение; найти произ­
ведение чисел два и три; дважды три, трижды два; два увеличить
в три раза; найти число в три раза большее чем два; первый мно­
житель два, второй три, найти произведение;

4) 12:4 двенадцать разделить на четыре; частное чисел двенад­
цать и четыре частное двенадцати и четырех); частное от деления
двенадцати на четыре; делимое двенадцать, делитель четыре, найти
частное (для 13:4 - найти частное и остаток); уменьшить 12 в че­
тыре раза; найти число, в четыре раза меньшее, чем двенадцать.

Чтение выражений, содержащих более двух действий, вызывает у младших школьников определенные трудности. В планируемые предметные результаты поэтому умение читать такие выражения мо-

1 «ОТНЯТЬ, … 1. кого (что). Взять у кого-н. силой, лишить кого-чего-н. О. деньги. О. сына. О. надежду. О. свое время у кого-н. (перен.: заставить потра­тить время на кого-что-н.). О. жизнь у кого-н. (убить). 2. что. Поглотить, вызвать расход чего-н. Работа отняла много сил у кого-н. 3. что. Отвести в сторону, от­делить от чего-н. О. лестницу от стены. …». [Ожегов С. И. Толковый словарь / С. И. Ожегов, Н.Ю.Шведова. - М., 1949 -1994.]

жет быть помещено в повышенный или высокий уровень владения математической речью. Называются выражения с двумя и более дей­ствиями по последнему действию, компонентами которого считают­ся выражения. Однако некоторые виды выражений входят в тексты правил. Знание словесных формулировок правил означает и знание способов (способа) чтения. Например, распределительное свойство умножения относительно сложения или правило умножения суммы на число в самом названии правила дает название выражения вида (А + □ ) · й . А в формулировке свойства называются два вида вы­ражений: «Произведение суммы на число равно сумме произведе­ний каждого слагаемого на это число». Способы чтения выражений в два и более действий могут быть заданы предписаниями алгорит­мического вида. В подразделе 4.2 приведен пример такого алгорит­ма. Овладение способами чтения таких выражений происходит при выполнении тех же видов заданий, что и при обучении чтению вы­ражений в одно действие.

Нахождение значения выражений. Правила порядка дей­ствий. С начала изучения арифметических действий и появления выражений негласно принимается правило: действия нужно выпол­нять слева направо в порядке их записи. Проблема порядка действий обнаруживается тогда, когда возникают трудности обозначения выра­жением некоторых предметных ситуаций. Например, требуется взять 7 синих кубиков, на 2 меньше белых и узнать, сколько всего кубиков взято. Выполняем практически все действия, обозначая число ку­биков цифрами, а действия - знаками арифметических действий. Отсчитаем 7 синих кубиков. Чтобы взять на 2 меньше белых, ото­двинем на время два синих кубика и путем составления пар возь­мем столько белых кубиков, сколько синих без двух. Белые и синие кубики объединим. Наши действия с кубиками в записи арифмети­ческими действиями: 7 + 7-2. Но в такой записи действия нужно выполнять в порядке записи, а это не те действия, по которым мы составляли запись! Имеет место противоречие. Нам нужно, чтобы вначале 2 вычиталось из 7 (узнаем требуемое число белых кубиков), а потом к 7 - числу синих кубиков прибавлялся результат вычита­ния 7 и 2. Как быть?

Выход из этой и подобных ситуаций может быть таким: нужно каким-либо образом в записи выражения выделить то действие или действия, которые нужно выполнять не в порядке записи слева - направо. И такой способ выделения есть. Это скобки, которые как раз и придуманы для ситуаций, когда действия в выражении нужно выполнять не в порядке следования слева направо. Со скобками ма­тематическая запись наших практических действий с кубиками будет выглядеть так: 7 + (7 - 2). Действия, записанные в скобках, принято выполнять в первую очередь. Чтобы освоить и присвоить это свой­ство скобок, составляем с учащимися разные выражения, ставим в них по-разному скобки, вычисляем, сравниваем результаты. Заме-

чаем: иногда изменение порядка действий не меняет значения выра­жения, а иногда - меняет. Например, 12 - 6 + 2 = 8, (12 - 6) + 2 = 8, 12 - (6 + 2) = 4.

При введении скобок общепринятые правила порядка действий явно еще не изучаются, хотя два правила уже практически приме­няются: а) если в выражении без скобок только сложение и вычита­ние, то действия выполняются в порядке их записи слева направо; б) действия в скобках выполняются первыми.

Вновь остро проблема порядка действий возникает после появ­ления выражений, содержащих действия умножения и (или) деле­ния и действия сложения и (или) вычитания. В этот период потреб­ность в правилах порядка действий может быть осознана учащимися и именно в этот период учащиеся уже могут обсуждать эту проблему, формулировать и понимать общепринятые формулировки правил порядка действий.

Обеспечить понимание необходимости таких правил можно соз­дать с помощью экспериментирования с выражением в несколько действий. Например, вычислим значение выражения 7 - 3 · 2 + 15: 5, выполняя действия в трех разных последовательностях: 1) - · + (в порядке записи); 2) - + ·: (вначале сложение и вычитание, потом умножение и деление); 3) ·: - + (вначале умножение и деление, за­тем сложение и вычитание). В результате получим три разных зна­чения: 1) 4 (ост. 3); 2) 13 (ост. 3); 3) 6. Обсуждая с учащимися воз­никшую ситуацию, делаем вывод: нужно договориться и принять только одну последовательность в качестве общепринятого правила действий. А так как значения выражений вычисляли еще и до нас, да еще и не одну сотню лет, то, вероятно, такие договоренности уже есть. Находим их в учебнике.

Далее обсуждаем с учащимися необходимость знания этих пра­вил и умения их применять. Обосновав для самих себя такую не­обходимость, учащиеся вполне могут попытаться сами определить для себя виды учебной работы, выполняя которую, они смогут за­помнить правила и научиться их безошибочно выполнять. Такое определение видов учебной работы может быть намечено в группо­вой работе и на том же уроке некоторые виды такой работы могут быть выполнены. В процессе работы группы учащиеся знакомятся с содержанием соответствующих страниц учебника и тетради для самостоятельной работы к учебнику, могут сами дополнить учеб­ные задания, выполнить некоторые из них, проверить себя и затем сделать отчет работы в группе по тому, что уже освоили в результате работы в группе. Например: «В нашей группе все научились в выра­жениях без скобок в три-четыре действия определять порядок дей­ствий, обращаясь к тексту правила в учебнике, и обозначать этот порядок номерами действий над знаками действий в выражении». Затем ставится цель научиться находить значения таких «больших» выражений - в три-четыре и более действий на многих уроках уча-

щиеся выполняют учебные действия для ее достижения. Способ на­хождения значений составного выражения может быть представлен в алгоритмическом виде.

Алгоритм нахождения значения числового выражения (задан сло­весным предписанием в виде перечня шагов).

1. Если в выражении есть скобки, то выполнить действия в скоб­ках как в выражении без скобок. 2. Если в выражении нет скобок, то: а) если в выражении только сложение и (или) вычитание или только умножение и (или) деление, то выполнить эти действия по порядку слева-направо; б) если в выражении есть действия из группы сложе­ние - вычитание и из группы умножение - деление, то выполнить вначале умножение и деление по порядку слева-направо, затем вы­полнить сложение и вычитание по порядку слева-направо. 3. Результат последнего действия назвать значением выражения.

Особую роль в обучении играют способы нахождения значений выражений на основе свойств действий. Такие способы заключаются в том, что вначале выражения преобразуются на основе свойств дей­ствий, и лишь потом применяются правила порядка действий. На­пример, нужно найти значение выражения: 23 + 78 + 77. По правилам порядка действий нужно вначале к 23 прибавить 78, а к результату прибавить 17. Однако переместительное и сочетательное свойства или правило «Складывать числа можно в любом порядке» позволяет нам это выражение заменить равным ему с другим порядком действий 23 + 77 + 78. Выполнив действия в соответствии с правилами поряд­ка действий, легко получим результат 100 + 78 = 178.

Собственно математическая деятельность, математическое раз­витие учащихся происходит именно тогда, когда они ищут рацио­нальные или оригинальные способы преобразования выражений с последующими удобными вычислениями. Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся привычку в любых не калькуляторных вы­числениях, искать способы упрощения вычислений, преобразования выражений с тем, чтобы вместо громоздких, некрасивых вычисле­ний искомое значение выражения находилось с помощью простых и красивых случаев вычисления. Задания формулируются для этого так «Вычисли удобным (или рациональным) способом …».

Нахождение значений буквенных выражений - важное умение, которое формирует представления о переменной и является основой понимания в дальнейшем функциональной зависимости. Очень удоб­ной формой заданий на нахождение значений буквенных выражений и для наблюдения зависимости значения выражения от значений вхо­дящих в него букв является табличная. Например, по табл. 8.1 уча­щиеся могут установить ряд зависимостей: если значения а являются последовательными числами, то значения 2а есть последовательные четные числа, а значения 3а - каждые третьи числа, начиная со зна­чения 3а при наименьшем значении а и др.

Таблица 8.1

Сравнение выражений. На выражения переносятся отношения, связывающие значения выражений. Основной способ сравнения - нахождение значений сравниваемых выражений и сравнение значе­ний выражения. Алгоритм сравнения :

1. Найти значения сравниваемых выражений. 2. Сравнить получен­ные числа. 3. Результат сравнения чисел перенести на выражения. Если требуется, поставить между выражениями соответствующий знак. Конец.

Также как и при нахождении значений выражений ценятся спосо­бы сравнения, основанные на свойствах арифметических действий, свойствах числовых равенств и неравенств, так как такое сравнение требует дедуктивных рассуждений и потому обеспечивает развитие логического мышления.

Например, нужно сравнить 73 + 48 и 73 + 50. Известно свойство: «Если одно слагаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то и сумма увеличится или уменьшится на столько же единиц». Следо­вательно, значение первого выражения меньше, чем значение второго, а значит первое выражение меньше второго, а второе - больше перво­го. Мы сравнили выражения без нахождения значений выражений, без выполнения каких-либо арифметических действий путем применения известного свойства сложения. Для таких случаев полезно сравнение выражений, записанных с использованием обобщающей символики. Сравните выражения. © + Ф и © + (Ф + 4), © + Ф и © + (Ф - 4).

Интересны способы сравнения, основанные на преобразовании срав­ниваемых выражений - заменой их равными. Например: 18 · 4 и 18 + 18 + 18 + 18; 25 · (117 - 19) и 25 · 117 - 19; 25 · (117 -119) и 25 · 117 - - 19 · 117 и т.п. Преобразуя выражение в одной части на основании свойств действий мы получаем выражения, сравнивать которые уже можно через сравне­ние чисел - компонентов одного и того же действия.

Пример. 126 + 487 и 428 + 150. Для сравнения применим переме-стительное свойство. Получим: 487 + 126 и 428 и 150. Преобразуем первое выражение: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (130 + 20) = 463 + 150. Теперь сравнивать нужно выражения 463 + 150 и 428 + 150.

Формула

Сложение, вычитание, умножение, деление - арифметические действия (или арифметические операции ). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем "плюс ") - знак операции сложения,

- (читаем "минус ") - знак операции вычитания,

∙ (читаем "умножить ") - знак операции умножения,

: (читаем "разделить ") - знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения . Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением . В этой записи могут присутствовать скобки. Например, запись a + b - 3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными .

Подставив в буквенное выражение числа вместо букв и вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения, если при подстановке значений букв получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла» . Например, буквенное выражение a - b не имеет значения при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея всего 10 яблок (a = 10), нельзя отдать из них 17 (b = 17)!

В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла) , т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для любого натурального числа b, частное b: 0 не определено.

Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой . Например, если стороны семиугольника равны a, b, c, d, e, f, g , то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:

p = a + b + c + d + e + f + g

При a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Блок 1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.

1. Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

2.Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить, «: » (разделить).

3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.

4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

5. Знак, стоящий перед значением числового выражения.

6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).

7. Общее название букв в буквенном выражении.

8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.

12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

Блок 2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде: 1а, 2г, 3б…

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что их можно решать на компьютере, проверять решения и сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

1. Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
2. Дан четырехугольник со сторонами b, c, d, m , выраженными в м
3. Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
4. Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
5. Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
6. Сумма двух чисел больше второго числа на 15
7. Разность меньше уменьшаемого на 7
8. Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом из рядов палубы m мест, рядов на палубе на n больше, чем мест в ряду
9. Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Значение данного выражения
2. Буквенное выражение для периметра имеет вид
3. Периметр, выраженный в сантиметрах
4. Формула пути s, пройденного автомобилем
5. Формула скорости v, движения туриста
6. Формула времени t, движения туриста
7. Путь, пройденный автомобилем в километрах
8. Скорость туриста в километрах в час
9. Время движения туриста в часах
10. Первое число равно…
11. Вычитаемое равно….
12. Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
13. Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
14. Буквенное выражение для возраста Кати
15. Возраст Кати
16. Координата точки В, если координата точки С равна t
17. Координата точки D, если координата точки С равна t
18. Координата точки А, если координата точки С равна t
19. Длина отрезка BD на числовом луче
20. Длина отрезка CА на числовом луче
21. Длина отрезка DА на числовом луче

Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».

Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5: + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 - уже настоящее числовое выражение.

Значение числового выражения.

Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения .

Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий , сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение числового выражения 5 + 8 ∙ 9.

Числовое равенство.

Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством . При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным . 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство , так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.

Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение числового выражения (5 + 8) ∙ 9.

Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма - «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».

Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».

Примеры числовых выражений.

Приведем пример более сложного числового выражения:

\[\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]

В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.

В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$ . Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.

$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$

Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$

Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$

Получаем $\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$

Когда числовые выражения не имеют смысла?

Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».

Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже алгебраическое выражение .

Дата публикации: 30.08.2014 10:58 UTC

• Геометрия, решебник к книге Балаяна Э.Н. «Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7-9 классы», 7 класс, Балаян Э.Н., 2019
• Тренажёр по геометрии, 7 класс, к учебнику Атанасяна Л.С. и др. «Геометрия. 7-9 классы», ФГОС, Глазков Ю.А., Егупова М.В., 2019