KÄYTÄ matematiikan profiilitasolla

Työ koostuu 19 tehtävästä.
Osa 1:
8 tehtävää, joissa on lyhyt vastaus perusmonimutkaisuuden tasolle.
Osa 2:
4 tehtävää lyhyellä vastauksella
7 tehtävää, joissa on erittäin monimutkainen yksityiskohtainen vastaus.

Ajoaika - 3 tuntia 55 minuuttia.

Esimerkkejä USE-tehtävistä

USE-tehtävien ratkaiseminen matematiikassa.

Itsenäinen ratkaisu:

1 kilowattitunti sähköä maksaa 1 rupla 80 kopekkaa.
Sähkömittari näytti 1.11.12625 kilowattituntia ja 1.12.12802 kilowattituntia.
Paljonko joutuu maksamaan sähköstä marraskuussa?
Anna vastauksesi ruplissa.

Ongelma ratkaisun kanssa:

Tavallisessa kolmiopyramidissa ABCS, jonka pohja on ABC, tunnetaan reunat: AB \u003d 5 juurta 3:sta, SC \u003d 13.
Etsi kulma, jonka muodostavat kannan taso ja reunojen AS ja BC keskipisteen kautta kulkeva suora.

Ratkaisu:

1. Koska SABC on säännöllinen pyramidi, niin ABC on tasasivuinen kolmio ja loput pinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.
Eli pohjan kaikki sivut ovat 5 neliömetriä (3) ja kaikki sivureunat ovat 13.

2. Olkoon D pisteen BC keskipiste, E pisteen AS keskipiste, SH korkeus pisteestä S pyramidin kantaan, EP korkeus pisteestä E pyramidin kantaan.

3. Etsi AD suorasta kolmiosta CAD käyttämällä Pythagoraan lausetta. Saat 15/2 = 7,5.

4. Koska pyramidi on säännöllinen, piste H on kolmion ABC korkeuksien / mediaanien / puolittajien leikkauspiste, mikä tarkoittaa, että se jakaa AD:n suhteessa 2:1 (AH = 2 AD).

5. Etsi SH suorasta kolmiosta ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, Pythagoraan lauseen mukaan SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Kolmiot AEP ja ASH ovat molemmat suorakulmaisia ​​ja niillä on yhteinen kulma A, joten ne ovat samanlaisia. Oletuksena AE = AS/2, joten sekä AP = AH/2 että EP = SH/2.

7. On vielä harkittava suorakulmaista kolmiota EDP (meitä kiinnostaa vain kulma EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Kulman tangentti EDP = EP/DP = 6/5,
Kulma EDP = arctg(6/5)

Vastaus:

KÄYTÄ 2019 matematiikan tehtävässä 17 ratkaisulla

Demoversio Unified State Examination 2019 matematiikan kokeesta

Matematiikan yhtenäinen valtiokoe 2019 pdf-muodossa Perustaso | Profiilin taso

Matematiikan tenttiin valmistautumisen tehtävät: perus- ja profiilitaso sekä vastaukset ja ratkaisut.

17 matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon profiilitason tehtävä on rahoitukseen liittyvä tehtävä, eli tämä tehtävä voi olla korkoa, osaa velkoja jne. Vaikeus on siinä, että on tarpeen laskea korko tai osa pitkän ajanjakson ajan, joten tämä tehtävä ei ole suora analogia prosenttiosuuksien standardiongelmien kanssa. Jotta ei puhuta yleisestä, siirrytään suoraan tyypillisen tehtävän analyysiin.

Tyypillisten vaihtoehtojen analyysi tehtäville nro 17 KÄYTTÖ matematiikan profiilitasolla

Tehtävän ensimmäinen versio (demoversio 2018)

Sen palautusehdot ovat seuraavat:

• Kunkin kuukauden 1. päivänä velka kasvaa r prosenttia edellisen kuun loppuun verrattuna, missä r on kokonaisluku;
• kunkin kuukauden 2. päivästä 14. päivään osa velasta on maksettava;
• Kunkin kuukauden 15. päivänä velan tulee olla tietty määrä seuraavan taulukon mukaisesti.

Etsi suurin r:n arvo, jonka maksujen kokonaismäärä on alle 1,2 miljoonaa ruplaa.

Ratkaisualgoritmi:

1. Otamme huomioon lainan kuukausierän suuruuden.
2. Määritämme velan jokaiselle kuukaudelle.
3. Etsi tarvittava prosenttiosuus.
4. Määritämme maksujen määrän koko ajanjaksolle.
5. Laskemme prosenttiosuuden r velanmaksujen määrästä.
6. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Ratkaisu:

1. Ehdon mukaan velan pankille tulee pienentyä kuukausittain seuraavassa järjestyksessä:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. Olkoon k = 1 + r / 100, jolloin kuukausittainen velka on:

k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k.

3. Maksut 2. ja 14. kuukauden välillä ovat siis:

k - 0,6; 0,6k - 0,4; 0,4k - 0,3; 0,3k - 0,2; 0,2k - 0,1; 0,1k

4. Maksujen kokonaismäärä on yhtä suuri kuin:

Ehdolla koko maksujen määrä on alle 1,2 miljoonaa ruplaa, joten

Tuloksena olevan epäyhtälön suurin kokonaislukuratkaisu on 7. Silloin se on vaadittu yksi - 7.

Toinen vaihtoehto (Jaschenko, nro 1)

Heinäkuussa 2020 on tarkoitus ottaa pankista lainaa 300 000 ruplaa. Sen palautusehdot ovat seuraavat:

• velka kasvaa joka tammikuussa r % edellisen vuoden loppuun verrattuna;
• Joka vuosi helmi-kesäkuussa osa velasta on maksettava yhdellä erällä.

Etsi r, jos tiedetään, että laina maksetaan kokonaan takaisin kahdessa vuodessa, ja ensimmäisenä vuonna maksetaan 160 000 ruplaa ja toisena vuonna - 240 000 ruplaa.

Algoritmi ongelman ratkaisemiseksi:

1. Määritä velan määrä.
2. Laskemme velan määrän ensimmäisen erän jälkeen.
3. Velan määrän selvittäminen toisen erän jälkeen
4. Etsi tarvittava prosenttiosuus.
5. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Ratkaisu:

1. Lainattiin 300 000 ruplaa. Ehdon mukaan takaisin maksettavan velan määrä kasvaa r%, mikä tarkoittaa kertaa. Maksaaksesi velan, sinun on annettava pankille 300 000∙k.

2. 160 000 ruplaa vastaavan maksun suorittamisen jälkeen. Velan saldo on

Tänään poikkeamme hieman standardilogaritmeista, integraaleista, trigonometriasta jne. ja pohditaan yhdessä tärkeämpää tehtävää matematiikan yhtenäisestä valtiokokeesta, joka liittyy suoraan takapajuiseen Venäjän resurssipohjaiseen talouteemme. Tarkemmin sanottuna tarkastelemme talletusten, korkojen ja lainojen ongelmaa. Koska juuri prosenttimääräiset tehtävät on hiljattain lisätty matematiikan yhtenäisen valtiokokeen toiseen osaan. Teen heti varauksen, että USE-spesifikaatioiden mukaan tämän ongelman ratkaisemiseksi tarjotaan kolme ensisijaista pistettä kerralla, eli tutkijat pitävät tätä tehtävää yhtenä vaikeimmista.

Samaan aikaan, jotta voit ratkaista minkä tahansa näistä tehtävistä matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta, sinun on tiedettävä vain kaksi kaavaa, joista jokainen on täysin kaikkien valmistuneiden käytettävissä, mutta syistä, joita en ymmärrä, nämä kaavat ovat Sekä koulun opettajat että tenttiin valmistautuvien eri tehtävien laatijat jättävät kokonaan huomiotta. Siksi tänään en vain kerro sinulle, mitä nämä kaavat ovat ja kuinka niitä sovelletaan, vaan johdan jokaisen näistä kaavoista kirjaimellisesti silmiesi edessä ottamalla pohjana tehtävät avoimesta matematiikan USE-pankista.

Siksi oppitunti osoittautui melko laajaksi, varsin merkitykselliseksi, joten ole mukava ja aloitamme.

Rahan laittaminen pankkiin

Ensinnäkin haluaisin tehdä pienen lyyrisen poikkeaman, joka liittyy rahoitukseen, pankkeihin, lainoihin ja talletuksiin, jonka perusteella saamme kaavat, joita käytämme tämän ongelman ratkaisemiseksi. Poistutaanpa siis hieman kokeista, tulevista kouluongelmista ja katsotaan tulevaisuuteen.

Oletetaan, että olet kasvanut ja aiot ostaa asunnon. Oletetaan, että aiot ostaa huonon asunnon laitamilta, vaan laadukkaan asunnon 20 miljoonalla ruplalla. Oletetaan samalla, että sait enemmän tai vähemmän normaalin työn ja ansaitset 300 tuhatta ruplaa kuukaudessa. Tässä tapauksessa voit säästää vuoden aikana noin kolme miljoonaa ruplaa. Tietenkin ansaitsemalla 300 tuhatta ruplaa kuukaudessa, saat vuodelta hieman suuremman summan - 3 600 000 - mutta kuluttakoon nämä 600 000 ruokaan, vaatteisiin ja muihin päivittäisiin kodin iloihin. Kokonaissyöttötiedot ovat seuraavat: on tarpeen ansaita kaksikymmentä miljoonaa ruplaa, kun taas meillä on käytössämme vain kolme miljoonaa ruplaa vuodessa. Herää luonnollinen kysymys: kuinka moneksi vuodeksi meidän on jätettävä kolme miljoonaa sivuun saadaksemme nämä samat kaksikymmentä miljoonaa. Sitä pidetään alkeellisena:

\[\frac(20)(3)=6,....\to 7\]

Kuten olemme jo todenneet, ansaitset 300 tuhatta ruplaa kuukaudessa, mikä tarkoittaa, että olet älykkäitä ihmisiä etkä säästä rahaa "tyynyn alle", vaan vie sen pankkiin. Ja siksi pankkiin tuomistasi talletuksista veloitetaan vuosittain korko. Oletetaan, että valitset luotettavan, mutta samalla enemmän tai vähemmän kannattavan pankin, ja siksi talletuksesi kasvavat 15% vuodessa vuosittain. Toisin sanoen voimme sanoa, että tililläsi oleva summa kasvaa 1,15-kertaiseksi joka vuosi. Muistutan kaavasta:

Lasketaan kuinka paljon rahaa on tililläsi kunkin vuoden jälkeen:

Ensimmäisenä vuonna, kun aloitat vain säästämään rahaa, korkoa ei kerry, eli vuoden lopussa säästät kolme miljoonaa ruplaa:

Toisen vuoden lopussa korkoa kertyy jo niistä kolmesta miljoonasta ruplasta, jotka ovat jääneet ensimmäisestä vuodesta, ts. meidän täytyy kertoa 1,15:llä. Toisen vuoden aikana ilmoititte kuitenkin vielä kolme miljoonaa ruplaa. Nämä kolme miljoonaa eivät tietenkään olleet vielä kertyneet korkoja, sillä toisen vuoden lopussa nämä kolme miljoonaa olivat vasta ilmestyneet tilille:

Kolmas vuosi siis. Kolmannen vuoden lopussa tälle summalle kertyy korkoa, eli koko summa on kerrottava 1,15:llä. Ja jälleen, koko vuoden työskentelitte kovasti ja panitte syrjään kolme miljoonaa ruplaa:

\[\vasen(3m\cpiste 1,15+3m \oikea)\cpiste 1,15+3m\]

Lasketaan vielä neljäs vuosi. Jälleen koko summa, joka meillä oli kolmannen vuoden lopussa, kerrotaan 1,15:llä, ts. Koko summalle peritään korkoa. Tämä sisältää korkokorot. Ja tähän summaan lisätään kolme miljoonaa lisää, koska neljännen vuoden aikana teit myös töitä ja myös säästät rahaa:

\[\vasen(\vasen(3m\cpiste 1,15+3m \oikea)\cpiste 1,15+3m \oikea)\cpiste 1,15+3m\]

Ja nyt avataan sulut ja katsotaan mikä summa meillä on neljännen säästövuoden loppuun mennessä:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cpiste ((1,15)^(2))+3m\cpiste 1,15+3m \oikea)\cpiste 1,15+3m= \\& =3m\cpiste ((1,15)^(3 ))+3m\cpiste ((1,15)^(2))+3m\cpiste 1,15+3m= \\& =3m\vasen(((1,15)^(3))+((1) ,15)^(2))+1,15+1 \oikea)= \\& =3m\vasen(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \oikea) \\\end(tasaa)\]

Kuten näet, suluissa on geometrisen etenemisen elementit, eli meillä on geometrisen progression elementtien summa.

Muistutan, että jos geometrinen eteneminen annetaan elementillä $((b)_(1))$ sekä nimittäjällä $q$, niin elementtien summa lasketaan seuraavan kaavan mukaan:

Tämä kaava on tunnettava ja sitä on sovellettava selkeästi.

Huomaa: kaava n elementti kuulostaa tältä:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Tämän tutkinnon takia monet opiskelijat ovat hämmentyneitä. Kaiken kaikkiaan meillä on vain n summalle n- elementtejä ja n-:nnellä elementillä on aste $n-1$. Toisin sanoen, jos yritämme nyt laskea geometrisen progression summan, meidän on otettava huomioon seuraavat asiat:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(tasaa)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Lasketaan osoittaja erikseen:

\[((1,15)^(4))=((\vasen(((1,15)^(2)) \oikea))^(2))=((\vasen(1,3225 \oikea) ))^(2))=1,74900625\noin 1,75\]

Kaiken kaikkiaan, palaamalla geometrisen progression summaan, saamme:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Seurauksena on, että neljän vuoden säästämisen aikana alkuperäinen summamme ei kasva neljä kertaa, ikään kuin emme olisi tallettaneet rahaa pankkiin, vaan viisinkertaiseksi, eli viisitoista miljoonaa. Kirjoitetaan se erikseen:

4 vuotta → 5 kertaa

Tulevaisuudessa sanon, että jos emme olisi säästäneet neljä vuotta, vaan viisi vuotta, niin säästämismäärämme olisi sen seurauksena kasvanut 6,7-kertaiseksi:

5 vuotta → 6,7 kertaa

Toisin sanoen viidennen vuoden loppuun mennessä tilillämme olisi seuraava summa:

Eli viidennen säästövuoden loppuun mennessä, kun otetaan huomioon talletuksen korot, olisimme saaneet jo yli kaksikymmentä miljoonaa ruplaa. Pankkikoron säästötilin kokonaismäärä pienenisi siten lähes seitsemästä vuodesta viiteen vuoteen eli lähes kahdella vuodella.

Huolimatta siitä, että pankki veloittaa talletuksillemme melko alhaista korkoa (15 %), viiden vuoden kuluttua nämä samat 15 % antavat vuositulomme merkittävästi ylittävän nousun. Samaan aikaan pääasiallinen kerrannaisvaikutus ilmenee viime vuosina ja jopa pikemminkin viimeisenä säästämisvuonna.

Miksi kirjoitin tämän kaiken? Ei tietenkään kiihottaakseen sinua kantamaan rahaa pankkiin. Koska jos todella haluat kasvattaa säästöjäsi, sinun ei tarvitse sijoittaa niitä pankkiin, vaan oikeaan liiketoimintaan, jossa nämä samat prosenttiosuudet eli kannattavuus Venäjän talouden olosuhteissa putoavat harvoin alle 30 % eli kaksinkertaisesti. yhtä paljon pankkitalletuksia.

Mutta todella hyödyllinen kaikessa tässä päättelyssä on kaava, jonka avulla voimme löytää talletuksen lopullisen summan vuosimaksujen määrän sekä pankin veloittamien korkojen avulla. Joten kirjoitetaan:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\teksti(%))^(n))-1)(\teksti(%)-1)\]

Itse % lasketaan seuraavalla kaavalla:

Tämä kaava on myös tunnettava, samoin kuin peruskaava osuuden määrälle. Ja puolestaan ​​​​pääkaava voi vähentää merkittävästi laskelmia niissä prosenttiosuuksissa, joissa panos on laskettava.

Miksi käyttää kaavoja taulukoiden sijaan?

Monilla on luultavasti kysymys, miksi kaikki nämä vaikeudet ylipäänsä, onko mahdollista kirjoittaa joka vuosi tabletille, kuten monissa oppikirjoissa tehdään, laskea jokainen vuosi erikseen ja sitten laskea osuuden kokonaismäärä? Tietenkin voit yleensä unohtaa geometrisen progression summan ja laskea kaiken käyttämällä klassisia tabletteja - tämä tehdään useimmissa kokoelmissa tenttiin valmistautumiseksi. Ensinnäkin laskelmien määrä kuitenkin kasvaa jyrkästi, ja toiseksi tämän seurauksena virheen tekemisen todennäköisyys kasvaa.

Ja yleisesti ottaen pöytien käyttäminen tämän upean kaavan sijaan on sama kuin kaivantojen kaivaminen käsin rakennustyömaalla sen sijaan, että käytettäisiin lähellä seisovaa ja täysin toimivaa kaivinkonetta.

No, tai sama asia kuin kertoa viisi kymmenellä ei käyttämällä kertotaulukkoa, vaan lisäämällä viisi itseensä kymmenen kertaa peräkkäin. Olen kuitenkin jo poikennut, joten toistan vielä kerran tärkeimmän ajatuksen: jos laskelmia voidaan jollain tavalla yksinkertaistaa ja lyhentää, niin tämä on tapa käyttää.

Lainojen korot

Selvitimme talletukset, joten siirrymme seuraavaan aiheeseen, nimittäin lainojen korkoon.

Joten kun säästät rahaa, suunnittelet huolella budjettiasi, mietit tulevaa asuntoasi, luokkatoverisi ja nyt yksinkertainen työtön päätti elää tälle päivälle ja otti juuri lainaa. Samalla hän silti kiusoittelee ja nauraa sinulle, sanotaan, että hänellä on luottopuhelin ja käytetty auto, otettu lainaan, ja sinä kuljet edelleen metrossa ja käytät vanhaa painopuhelinta. Tietysti entisen luokkatoverisi joutuu maksamaan kalliisti kaikista näistä halvoista "keinotteluista". Kuinka kallista - tämän laskemme juuri nyt.

Ensin lyhyt esittely. Oletetaan, että entinen luokkatoverisi otti kaksi miljoonaa ruplaa luotolla. Samanaikaisesti hänen on sopimuksen mukaan maksettava x ruplaa kuukaudessa. Oletetaan, että hän otti lainaa 20% vuosikorolla, mikä näyttää nykytilanteessa varsin kohtuulliselta. Oletetaan myös, että laina-aika on vain kolme kuukautta. Yritetään yhdistää kaikki nämä suuret yhteen kaavaan.

Joten aivan alussa, heti kun entinen luokkatoverisi lähti pankista, hänellä on taskussaan kaksi miljoonaa, ja tämä on hänen velkansa. Samaan aikaan ei ole kulunut vuotta eikä kuukauttakaan, mutta tämä on vasta alkua:

Sitten kuukauden kuluttua velalliselle määrälle kertyy korkoa. Kuten jo tiedämme, koron laskemiseksi riittää kertoa alkuperäinen velka kertoimella, joka lasketaan seuraavalla kaavalla:

Meidän tapauksessamme puhumme 20 %:n vuosikorosta, eli voimme kirjoittaa:

Tämä on vuodessa veloitettavan summan suhde. Luokkatoverimme ei kuitenkaan ole kovin älykäs, eikä hän lukenut sopimusta, ja itse asiassa hänelle ei annettu lainaa 20% vuodessa vaan 20% kuukaudessa. Ja ensimmäisen kuukauden loppuun mennessä tälle summalle kertyy korkoa, ja se kasvaa 1,2-kertaiseksi. Välittömästi sen jälkeen henkilön on maksettava sovittu summa eli x ruplaa kuukaudessa:

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

Ja jälleen, poikamme suorittaa maksun $x$ ruplaa.

Sitten, kolmannen kuukauden loppuun mennessä, hänen velkansa määrä kasvaa jälleen 20%:

\[\vasen(\vasen(2m\cpiste 1,2- x\oikea)\cpiste 1,2- x\oikea)1,2- x\]

Ja kolmen kuukauden ehdon mukaan hänen on maksettava kokonaan, eli viimeisen kolmannen maksun suorittamisen jälkeen hänen velkamääränsä tulee olla nolla. Voimme kirjoittaa tämän yhtälön:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Päätetään:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \oikea) \\\end(tasaa)\]

Edessämme on jälleen geometrinen eteneminen, tai pikemminkin geometrisen progression kolmen elementin summa. Kirjoitetaan se uudelleen elementtien nousevaan järjestykseen:

Nyt meidän on löydettävä geometrisen progression kolmen elementin summa. Kirjoitetaan:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(tasaa)\]

Etsitään nyt geometrisen progression summa:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

On syytä muistaa, että geometrisen progression summa tällaisilla parametreilla $\left(((b)_(1));q \right)$ lasketaan kaavalla:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Tämä on kaava, jota juuri käytimme. Korvaa tämä kaava lauseeseemme:

Lisälaskelmia varten meidän on selvitettävä, mikä $((1,2)^(3))$ on yhtä suuri. Valitettavasti tässä tapauksessa emme voi enää maalata kuten viime kerralla kaksoisneliöön, mutta voimme laskea näin:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(tasaista)\]

Kirjoitamme ilmaisumme uudelleen:

Tämä on klassinen lineaarinen lauseke. Palataan seuraavaan kaavaan:

Itse asiassa, jos yleistämme sen, saamme kaavan, joka yhdistää korot, lainat, maksut ja ehdot. Kaava menee näin:

Tässä se on tämän päivän videotunnin tärkein kaava, jonka avulla otetaan huomioon vähintään 80% kaikista matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta toisessa osassa.

Useimmiten todellisissa tehtävissä sinulta kysytään maksua tai hieman harvemmin lainaa, eli velan kokonaismäärää, joka luokkatoverillamme oli maksujen alussa. Monimutkaisemmissa tehtävissä sinua pyydetään löytämään prosenttiosuus, mutta erittäin monimutkaisissa tehtävissä, joita analysoimme erillisellä videotunnilla, sinua pyydetään löytämään aikajakso, jonka aikana annetuilla laina- ja maksuparametreilla työtön luokkatoverimme pystyy maksamaan pankin kokonaan pois.

Ehkä joku nyt ajattelee, että vastustan ankarasti lainoja, rahoitusta ja pankkijärjestelmää yleensäkin. Eli ei mitään sellaista! Päinvastoin, uskon, että luottovälineet ovat erittäin hyödyllisiä ja välttämättömiä taloudellemme, mutta vain sillä ehdolla, että laina otetaan liiketoiminnan kehittämiseen. Äärimmäisissä tapauksissa voit ottaa lainaa asunnon ostamiseen, eli asuntolainaan tai ensiapuun - siinä ei yksinkertaisesti ole muita syitä ottaa lainaa. Ja kaikenlaisia ​​työttömiä, jotka ottavat lainaa ostaakseen "show-offeja" ja samalla eivät ajattele loppujen lopuksi ollenkaan seurauksia ja heistä tulee taloutemme kriisien ja ongelmien aiheuttajia.

Palatakseni tämän päivän oppitunnin aiheeseen, haluaisin huomauttaa, että on myös tarpeen tietää tämä lainat, maksut ja korot sekä geometrisen progression määrän yhdistävä kaava. Näiden kaavojen avulla ratkaistaan ​​todelliset taloudelliset ongelmat matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta. No, nyt kun tiedät kaiken tämän erittäin hyvin, kun ymmärrät mitä laina on ja miksi sinun ei pitäisi ottaa sitä, siirrytään todellisten taloudellisten ongelmien ratkaisemiseen matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta.

Ratkaisemme todellisia tehtäviä matematiikan kokeesta

Esimerkki #1

Ensimmäinen tehtävä on siis:

31. joulukuuta 2014 Aleksei otti pankista lainan 9 282 000 ruplaa 10 prosentin vuosikorolla. Lainan takaisinmaksujärjestelmä on seuraava: kunkin seuraavan vuoden joulukuun 31. päivänä pankki kerää korkoa jäljellä olevalle velan määrälle (eli lisää velkaa 10%), jonka jälkeen Aleksei siirtää X ruplaa pankkiin. Mikä pitäisi olla summa X, jotta Aleksei maksaa velan neljässä yhtä suuressa erässä (eli neljän vuoden ajan)?

Tämä on siis lainaan liittyvä ongelma, joten kirjoitamme heti kaavamme ylös:

Tiedämme lainan - 9 282 000 ruplaa.

Käsittelemme nyt prosentteja. Puhumme 10 prosentista ongelmasta. Siksi voimme kääntää ne:

Voimme tehdä yhtälön:

Olemme saaneet tavallisen lineaarisen yhtälön suhteessa $x$, vaikkakin melko valtavilla kertoimilla. Yritetään ratkaista se. Etsitään ensin lauseke $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\vasen(((1,1)^(2)) \oikea))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Kirjoitetaan nyt yhtälö uudelleen:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Siinä kaikki, prosenttiongelmamme on ratkaistu.

Tietenkin tämä oli vain yksinkertaisin tehtävä matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon prosenttiosuuksilla. Oikeassa kokeessa tällaista tehtävää ei todennäköisesti ole. Ja jos on, pidä itseäsi erittäin onnekkaana. No, niille, jotka haluavat laskea ja eivät halua ottaa riskejä, siirrytään seuraavaan vaikeampiin tehtäviin.

Esimerkki #2

Stepan lainasi 31. joulukuuta 2014 pankista 4 004 000 ruplaa 20 prosentin vuosikorolla. Lainan takaisinmaksujärjestelmä on seuraava: Pankki kartoittaa jokaisen seuraavan vuoden joulukuun 31. päivänä korkoa jäljellä olevalle velan määrälle (eli lisää velkaa 20 prosenttia), jonka jälkeen Stepan suorittaa maksun pankille. Stepan maksoi koko velan kolmessa yhtä suuressa erässä. Kuinka monta ruplaa vähemmän hän antaisi pankille, jos voisi maksaa velan pois kahdessa yhtä suuressa erässä.

Edessämme on lainojen ongelma, joten kirjoitamme kaavamme ylös:

\[\]\

Mitä me tiedämme? Ensinnäkin tiedämme luottojen kokonaismäärän. Tiedämme myös prosentit. Etsitään suhde:

Mitä tulee $n$:aan, sinun on luettava huolellisesti ongelman tila. Eli ensin on laskettava, kuinka paljon hän maksoi kolmelta vuodelta, eli $n=3$, ja sitten suoritettava samat vaiheet uudelleen, mutta laskettava maksut kahdelta vuodelta. Kirjoitetaan yhtälö tapaukselle, jossa maksua maksetaan kolmelta vuodelta:

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö. Mutta ensin etsitään lauseke $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(tasaista)\]

Kirjoitamme ilmaisumme uudelleen:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Maksumme on yhteensä 1900800 ruplaa. Huomioi kuitenkin: tehtävässä meidän ei tarvinnut löytää kuukausimaksua, vaan kuinka paljon Stepan maksaisi yhteensä kolmesta yhtä suuresta erästä eli koko lainan käyttöajalta. Siksi tuloksena oleva arvo on kerrottava uudelleen kolmella. Lasketaan:

Yhteensä Stepan maksaa 5 702 400 ruplaa kolmesta yhtä suuresta maksusta. Sen verran hän maksaa lainan kolmeksi vuodeksi.

Mieti nyt toista tilannetta, jolloin Stepan otti itsensä kasaan, valmistautui ja maksoi koko lainan pois ei kolmessa, vaan kahdessa yhtä suuressa erässä. Kirjoitamme muistiin saman kaavan:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Mutta se ei ole vielä kaikki, koska nyt olemme laskeneet vain toisen kahdesta maksusta, joten yhteensä Stepan maksaa täsmälleen kaksi kertaa niin paljon:

Hienoa, nyt olemme lähellä lopullista vastausta. Mutta kiinnitä huomiota: emme missään tapauksessa ole vielä saaneet lopullista vastausta, koska kolmen vuoden maksuista Stepan maksaa 5 702 400 ruplaa ja kahden vuoden maksuista 5 241 600 ruplaa, eli hieman vähemmän. Kuinka paljon vähemmän? Saadaksesi selville, sinun on vähennettävä toinen maksusumma ensimmäisen maksun summasta:

Lopullinen vastaus on yhteensä 460 800 ruplaa. Kuinka paljon Stepan säästää tarkalleen, jos hän ei maksa kolmea, vaan kaksi vuotta.

Kuten näette, korkojen, ehtojen ja maksujen yhdistävä kaava yksinkertaistaa huomattavasti laskelmia verrattuna perinteisiin taulukoihin, ja valitettavasti taulukoita käytetään tuntemattomista syistä edelleen useimmissa ongelmakokoelmissa.

Haluaisin erikseen kiinnittää huomionne lainan laina-aikaan ja kuukausierän suuruuteen. Tosiasia on, että tämä yhteys ei näy suoraan kirjoittamistamme kaavoista, mutta sen ymmärtäminen on välttämätöntä todellisten ongelmien nopeaan ja tehokkaaseen ratkaisemiseen kokeessa. Itse asiassa tämä yhteys on hyvin yksinkertainen: mitä pidempään lainaa otetaan, sitä pienempi summa on kuukausierissä, mutta sitä suurempi summa kertyy koko lainan käyttöajalle. Ja päinvastoin: mitä lyhyempi laina-aika, sitä korkeampi kuukausierä, mutta sitä pienempi on lopullinen ylilyhennys ja pienemmät lainan kokonaiskustannukset.

Tietenkin kaikki nämä lausumat ovat yhtäläisiä vain sillä ehdolla, että lainan määrä ja korko ovat samat molemmissa tapauksissa. Yleensä toistaiseksi muista vain tämä tosiasia - sitä käytetään tämän aiheen vaikeimpien ongelmien ratkaisemiseen, mutta toistaiseksi analysoimme yksinkertaisempaa ongelmaa, jossa sinun tarvitsee vain löytää alkuperäisen lainan kokonaismäärä.

Esimerkki #3

Joten vielä yksi tehtävä lainaa varten ja osa-aikainen viimeinen tehtävä tämän päivän video-opetusohjelmassa.

31. joulukuuta 2014 Vasily nosti pankista tietyn summan 13 prosentin vuosikorolla. Lainan takaisinmaksujärjestelmä on seuraava: kunkin seuraavan vuoden joulukuun 31. päivänä pankki kerää korkoa jäljellä olevalle velan määrälle (eli se lisää velkaa 13%), minkä jälkeen Vasily siirtää pankille 5 107 600 ruplaa. Minkä summan Vasily lainasi pankista, jos hän maksoi velan takaisin kahdessa yhtä suuressa erässä (kahdeksi vuodeksi)?

Joten ensinnäkin tämä tehtävä koskee jälleen lainoja, joten kirjoitamme upean kaavamme:

Katsotaanpa, mitä tiedämme ongelman tilasta. Ensinnäkin maksu - se on 5 107 600 ruplaa vuodessa. Toiseksi prosenttiosuudet, jotta voimme löytää suhteen:

Lisäksi Vasily otti ongelman tilanteen mukaan pankista lainaa kahdeksi vuodeksi, ts. maksetaan kahdessa yhtä suuressa erässä, joten $n=2$. Korvataan kaikki ja huomioidaan myös, että laina on meille tuntematon, ts. summa, jonka hän otti, ja merkitään se $x$:na. Saamme:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Kirjoitetaan yhtälömme uudelleen tämän tosiasian mielessä:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)\12769) \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

Siinä se, tämä on lopullinen vastaus. Juuri tämän summan Vasily otti luottoa heti alussa.

Nyt on selvää, miksi tässä ongelmassa meitä pyydetään ottamaan lainaa vain kahdeksi vuodeksi, koska täällä näkyy kaksinumeroisia korkoja, nimittäin 13%, mikä neliöitynä antaa jo melko "julman" luvun. Mutta tämä ei ole raja - seuraavassa erillisessä oppitunnissa tarkastelemme monimutkaisempia tehtäviä, joissa vaaditaan laina-ajan löytäminen, ja korko on yksi, kaksi tai kolme prosenttia.

Yleensä opi ratkaisemaan talletusten ja lainojen ongelmia, valmistaudu kokeisiin ja läpäise ne "erinomaisesti". Ja jos jokin ei ole selvä tämän päivän videotunnin materiaaleista, älä epäröi - kirjoita, soita, ja yritän auttaa sinua.

talousmatematiikka

Oikein suoritetusta tehtävästä ilman virheitä saat 3 pistettä.

suunnilleen 35 minuuttia.

Jotta voit ratkaista profiilitason matematiikan tehtävän 17, sinun on tiedettävä:

1. Tehtävä on jaettu useisiin tyyppeihin:
   • pankkeihin, talletuksiin ja lainoihin liittyvät tehtävät;
   • tehtäviä optimaalisen valinnan saamiseksi.
2. Kuukausimaksun laskentakaava: S luotto = S/12t
3. Kaava yksinkertaisen koron laskemiseksi: S=α (1 + tp/m)
4. Kaava koron laskentaan: C \u003d x (1 + a %)n

Prosentti - on sadasosa arvosta.

• x*(1 + p/100) - arvo x lisääntynyt p%
• x*(1 - k/100) - arvo x vähentynyt k%
• x*(1 + p/100) k - arvo x lisääntynyt p% k yhden kerran
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – arvo X ensin kasvoi p% ja laski sitten k%

Lainan takaisinmaksutehtävät tasaerissä:

Lainasumma otetaan muodossa X. Pankkikorko - a. Lainan takaisinmaksu - S.

Vuoden kuluttua koron kertymisestä ja summan maksamisesta S velka - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Velka 2 vuoden jälkeen: (xp-S)p-S
• Velka 3 vuoden jälkeen: ((xp - S)p - S)p - S
• Velan määrä läpi n vuotta: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)